資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.5.3 平面與平面平行
班級 姓名
學習目標
1．掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質定理，并能應用這兩個定理解決問題．
2．平面與平面平行的判定定理和性質定理的應用．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內的兩條 直線與另一個平面 ，那么這兩個平面平行圖形語言符號語言 作　用證明兩個平面 【即時訓練1】(1)(多選題)下列命題中正確的是(　　)A．若一個平面內有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．若一個平面內有無數條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行C．若一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行D．若一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行(2)(多選題)設a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是(　　)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a α，a∥βC．存在一個平面γ，滿足α∥γ，β∥γD．存在兩條異面直線a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
閱讀教材，完成右邊的內容 二、平面與平面平行的性質定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面 ，那么兩條交線 .圖形語言符號語言 作用證明兩條直線 【即時訓練2】(1)(多選題)如果平面α∥平面β，那么下列命題中正確的是(　　)A．平面α內有無數條互相平行的直線平行于平面βB．平面α內僅有兩條相交直線平行于平面βC．對于平面α內的任意一條直線，都能在平面β內找到一條直線與它平行D．平面α內的任意一條直線都不與平面β相交(2)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β，γ表示兩個不重合的平面，其中正確命題的序號是 ．①若α∥β，a α，b β，則a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，則α∥β；③若α∥β，a α，則a∥β； ④α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b；⑤α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β； ⑥若a α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b；⑦若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，則α∥β.
平面與平面平行的判定定理的應用 例1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.變式1、已知正方體ABCD－A1B1C1D1如圖，求證：平面AB1D1∥平面BDC1.
變式2、兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，G為AB上一點，且MG∥BC.求證：平面MNG∥平面BCE.例2、如圖，S為矩形ABCD所在平面外一點，E，F分別是SD，BC上的點，且SE∶ED＝BF∶FC，求證：EF∥平面SAB.
平面與平面平行的性質定理的應用 例3、已知AB，CD是夾在兩個平行平面α，β之間的線段，M，N分別是AB，CD的中點．求證：MN∥平面α.變式3、如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，N是PM與DE的交點，求證：NF∥CM.
截面問題 例4、如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點E，F，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個平面圖形．在圖中，畫出這個平面圖形，并求這個平面圖形的面積(不必說明畫法與理由)．變式4、在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．
課后作業
一、基礎訓練題
1．下列命題正確的有(　　)
①如果兩個平面(不重合)不相交，那么它們平行；②如果一個平面內有無數條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行；③空間兩個相等的角所在的平面平行．
A．0個　　　 B．1個　　 C．2個　　 　D．3個
2．平面α∥平面β，點A，C在平面α內，點B，D在平面β內，若AB＝CD，則AB，CD的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能
3．(多選題)下列說法中，正確的是(　　)
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．平行于同一平面的兩個平面平行
C．若一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則這條直線必與另一個平面相交
D．兩平面平行，一平面內的直線必平行于另一平面
4．如圖1所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′． 若PA′∶AA′＝2∶5，則△A′B′C′與△ABC的面積比為(　　)
A．2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25
5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若經過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E，F，則四邊形D1EBF的形狀是(　　)
A．矩形　　　 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形
圖1 圖2
6．(多選題)如圖2所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，則下列四個結論中正確的是(　　)
A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1
7．如圖3，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)
A． B． C． D．
圖3 圖4
8．如圖4，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F分別在線段DB，DD1上，且＝＝.若G在線段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，則＝(　　)
A. B. C. D.
9．如圖5，長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
10．如圖6，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中點，則直線DM與平面A1ACC1的位置關系是________，直線DM與平面BCC1B1的位置關系是________．
圖5 圖6 圖7
11．如圖7所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1.
12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中點，過點G的截面與側面ABB1A1平行，若側面ABB1A1是邊長為4的正方形，則截面的周長為________．
13．a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，現給出六個命題．
①若a∥c，b∥c，則a∥b； ②若a∥γ，b∥γ，則a∥b；
③若c∥α，c∥β，則α∥β； ④若α∥γ，β∥γ，則α∥β；
⑤若c∥α，a∥c，則a∥α； ⑥若α∥γ，a∥γ，則a∥α.
其中正確命題的序號是________．
14．如圖，在四棱錐P ABCD中，點E為PA的中點，點F為BC的中點，底面ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O．
求證：平面EFO∥平面PCD．
15．如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求證：N為AC的中點．
16．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，DC，SC的中點，求證：
①直線EG∥平面BDD1B1；
②平面EFG∥平面BDD1B1.
17．如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分別是CC1，C1D1的中點．
求證：AC∥平面BPQ.
18．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．
19．如圖，在棱長為2 cm的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面也是三角形嗎？并求該截面的面積．
二、綜合訓練題
20．棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積為(　　)
A．2 B．4 C． D．5
21．(多選題)如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列命題中，正確的有(　　)
A．BM∥平面DE
B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN
D．平面BDE∥平面NCF
22．如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與P，R，Q三點所在平面平行的是(　　)
三、能力提升題
23．如圖，四棱錐P ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分別是AB，CD的中點，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點H，則GH＝________．
24．如圖，四邊形ABCD為矩形，A，E，B，F四點共面，且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°．
求證：平面BCE∥平面ADF．
8.5.3 平面與平面平行
參考答案
1、【答案】B　
【解析】對①，由兩個平面平行的定義知正確；對②，若這無數條直線都平行，則這兩個平面可能相交，②錯誤；對③，這兩個角可能在同一平面內，故③錯誤．
2、【答案】D　
【解析】夾在兩個平行平面間的平行線段相等，但夾在兩個平行平面間的相等線段可以平行、相交或異面．
3、【答案】BCD
4、【答案】C　
【解析】因為平面α∥平面ABC，A′B′ α，AB 平面ABC，
所以A′B′∥AB． 所以A′B′∶AB＝PA′∶PA．
又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7．
同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49．
5、【答案】C
【解析】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
過D1B的平面BED1F與平面ABB1A1交于直線BE，
與平面CDD1C1交于直線D1F.由面面平行的性質定理，得BE∥D1F.
同理BF∥D1E.所以四邊形D1EBF為平行四邊形．
6、【答案】AC
【解析】∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1.
連接AD1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1.
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正確．
連接A1C1，易得EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，
∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤．
∵E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，
∴FG∥BC1.
∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故C正確．
∵EF與平面BC1D1相交，
∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤．
7、【答案】B　
【解析】取C1D1，B1C1的中點為P，Q，連接B1D1，NP．
易知MN∥B1D1∥BD，ADNP，所以四邊形ANPD為平行四邊形，
所以AN∥DP．又BD和DP為平面DBQP內的兩條相交直線，
所以平面DBQP∥平面AMN，則四邊形DBQP的面積即為所求．
因為PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四邊形DBQP為梯形，
其高為h＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4))))＝ ．
所以梯形DBQP的面積為(PQ＋BD)h＝×× ＝．
8、【答案】B
【解析】∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F分別在線段DB，DD1上，
且＝＝，∴＝，∵G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，
易得AF∥BG.易證△ADF≌△BCG，∴DF＝CG，∴＝＝.
9、【答案】平行四邊形　
【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG．同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
10、【答案】相交　平行
【解析】∵M是A1D1的中點，∴直線DM與直線AA1相交，
∴DM與平面A1ACC1有一個公共點，∴DM與平面A1ACC1相交．
取B1C1的中點M1，連接MM1，M1C(圖略)．
∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.
∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.
∴四邊形DMM1C為平行四邊形，∴DM∥CM1，
又DM 平面BCC1B1，CM1 平面BCC1B1，
∴DM∥平面BCC1B1.
11、【答案】M在線段FH上
【解析】連接HN，FH，FN，易得HN∥DB，FH∥D1D，
易證平面FHN∥平面B1BDD1.
∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，∴M∈FH.
故答案為M在線段FH上．
12、【答案】12
【解析】如圖，取B1C1的中點M，BC的中點N，AC的中點H，
連接GM，MN，HN，GH，則GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，
易得GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，
所以平面GMNH∥平面ABB1A1，
即四邊形GMNH為過點G且與側面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周長為4＋4＋2＋2＝12.
13、【答案】①④
【解析】a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面．
∵a∥c，b∥c，∴由基本事實4得a∥b，故①正確；
∵a∥γ，b∥γ，∴a與b相交、平行或異面，故②錯誤；
∵c∥α，c∥β，∴α與β相交或平行，故③錯誤；
∵α∥γ，β∥γ，∴由面面平行的性質得α∥β，故④正確；
∵c∥α，a∥c，∴a∥α或a α，故⑤錯誤；
∵a∥γ，α∥γ，∴a∥α或a α，故⑥錯誤．
14、 【證明】因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC∩BD＝O，所以點O為BD的中點．
又因為點F為BC的中點，所以OF∥CD．
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以OF∥平面PCD，
因為點O，E分別是AC，PA的中點，所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，所以OE∥平面PCD．
又OE 平面EFO，OF 平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD．
15、【證明】∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四邊形ANC1M為平行四邊形，
∵M是A1C1的中點，∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N為AC的中點．
16、【證明】①如圖，連接SB，
∵E，G分別是BC，SC的中點，
∴EG∥SB，
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，
∴直線EG∥平面BDD1B1.
②連接SD，∵F，G分別是DC，SC的中點，∴FG∥SD，
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
又由①知EG∥平面BDD1B1，
EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
17、【證明】連接CD1，AD1，
因為P，Q分別是CC1，C1D1的中點，
所以PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，PQ 平面BPQ，
所以CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
所以四邊形ABQD1是平行四邊形，
所以AD1∥BQ，
又因為AD1 平面BPQ，BQ 平面BPQ，
所以AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，AD1，CD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BPQ，
因為AC 平面ACD1，所以AC∥平面BPQ.
18、【證明】(1)∵E，F分別為B1C1，A1B1的中點，∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F＝BG，A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G與平面ABC有公共點G，且平面A1C1G∩BC＝H，
∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G為AB的中點，∴H為BC的中點．
19、【解】取AB的中點M，取C1D1的中點N，
連接A1M，A1N，CM，CN.
易得A1NPC1MC，則四邊形A1MCN是平行四邊形．
由于A1N∥PC1，A1N 平面PBC1，PC1 平面PBC1，則A1N∥平面PBC1.
同理，A1M∥平面PBC1.
又A1N∩A1M＝A1，A1M，A1N 平面A1MCN，所以平面A1MCN∥平面PBC1.
過A1點有且僅有一個平面與平面PBC1平行，
故過點A1作與截面PBC1平行的截面是平行四邊形A1MCN，容易求得S A1MCN＝2 cm2.
20、【答案】C　
【解析】如圖，由面面平行的性質知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的
中位線，所以截面是梯形CD1MN，
易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，
所以此截面的面積S＝×(＋2)×eq \r( \r(5) 2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2))))＝．
21、【答案】ABCD　
【解析】展開圖可以折成如圖①所示的正方體．
圖①　　　　　　　 圖② 圖③
在正方體中，連接AN，如圖②所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN．∴BM∥平面DE．同理可證CN∥平面AF，∴A、B正確；
如圖③所示，連接NF，BE，BD，DM，CF，可以證明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，
則平面BDM∥平面AFN，同理可證平面BDE∥平面NCF，所以C、D正確．
22、【答案】D
【解析】如圖，由題意可知P，Q，R三點所在的平面為平面PQEFRG，
則點N在P，Q，R三點所在的平面內，B、C錯誤．
因為Q，E分別為BC，CC1的中點，所以QE∥BC1.又MC1∩BC1＝C1，
所以MC1與QE是相交直線，A錯誤．顯然D正確，故選D.
23、【答案】　
【解析】因為ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，
AB＝CD，因為E，F分別是AB，CD的中點，
所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，
所以EH＝DH．
因為平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，
所以G是PD的中點，因為PA＝PB＝AB＝2，
所以PE＝2×sin 60°＝．所以GH＝PE＝．
24、【證明】∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，
又BC 平面ADF，AD 平面ADF，
∴BC∥平面ADF．
∵△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，
且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE 平面ADF，AF 平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
又BC 平面BCE，BE 平面BCE，
BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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