資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
8.6.1直線與直線垂直
班級 姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．
2．會用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角，會在直角三角形中求簡單異面直線所成的角．
學(xué)習(xí)過程
自學(xué)指導(dǎo) 自學(xué)檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內(nèi)容 一、兩直線的位置關(guān)系1．異面直線(1)定義：不同在 的兩條直線.(2)畫法：2．兩條直線的位置關(guān)系 INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\補33.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\補33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\補33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\補33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2019年同步最終\\數(shù)學(xué) 人教A版 必修第二冊(新教材)\\補33.TIF" \* MERGEFORMATINET 3．兩個定理(1)基本事實4①文字語言：平行于同一條直線的兩條直線 .②符號語言：直線a，b，c，a∥b，c∥b .③作用：證明空間兩條直線平行.(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角 .②作用：證明兩個角相等或互補.二、異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).2．范圍： .特別地，當(dāng)θ＝ 時，a與b互相垂直，記作 .
異面直線所成的角 例1、如圖，已知正方體ABCD A′B′C′D′．(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？變式1、如圖，已知在長方體ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．(1)BC和A′C′所成的角為________；(2)AA′和BC′所成的角為________．
直線與直線垂直的證明 例2、如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小．變式2、如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.
應(yīng)用余弦定理求異面直線所成的角 例3、在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 .變式3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 .
課后作業(yè)
一、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知直線a，b，c，下列三個命題：
①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，則b∥c．其中，正確命題的個數(shù)是(　　)
A．0　　　 　B．1　　　 　C．2　 　　　D．3
2．設(shè)P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線(　　)
A．有無數(shù)條　　　　　　　　 B．有兩條
C．至多有兩條 D．有一條
3．如圖所示，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐后，GH與IJ所成角的度數(shù)為(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
4．在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，則異面直線AC1與BB1所成的角為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，如圖所示，若M為線段A′C的中點，則異面直線BM與PA′所成角的正切值為(　　)
A． B．2 C． D．4
6．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是(　　)
A．60° B．75° C．90° D．105°
7．如下左圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．
8．如上中圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于________．
9．如上右圖，圓柱OO1中，底面半徑為1，OA⊥O1B，異面直線AB與OO1所成角的正切值為，則該圓柱OO1的體積為________．
10．如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF和AB所成的角．
11．如圖，已知長方體ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD中點．求證：CD1⊥EF．
二、綜合訓(xùn)練題
12．(多選題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AB，A1D1的中點，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列說法錯誤的是(　　)
A．直線EF，AO是異面直線
B．直線EF，BB1是相交直線
C．直線EF與BC1所成的角為30°
D．直線EF與BB1所成角的余弦值為
13．如下左圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．
14．如上右圖，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，則線段AA1的長為________．
三、能力提升題
15．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AB的中點，點E在側(cè)棱CC1上，DE∥平面AB1C1，
(1)證明：E是CC1的中點；
(2)設(shè)∠BAC＝90°，四邊形ABB1A1是邊長為4的正方形，四邊形ACC1A1為矩形，且異面直線DE與B1C1所成的角為30°，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．
8.6.1直線與直線垂直
參考答案
1、【答案】A
【解析】①不正確如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確．可能平行，可能相交也可能異面．
2、【答案】A
【解析】如圖所示，過點P作直線l′∥l，以l′為軸，
與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角．故選A.
3、【答案】B【解析】將三角形折成三棱錐，如圖所示，GH與IJ為異面直線，
在三棱錐A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF或其補角即為所求，因此GH與IJ所成角為60°.
4、【答案】C【解析】連接A1C1，因為BB1∥AA1，所以∠A1AC1為異面直線AC1與BB1所成的角．
因為tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故選C．
【答案】A【解析】取A′D的中點N，連接PN，MN．因為M是A′C的中點，
所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四邊形PBMN為平行四邊形，
所以MB∥PN，所以∠A′PN為異面直線BM與PA′所成的角．
在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故選A．
6、【答案】C　【解析】設(shè)BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，
使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，
所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角)．
連接AC2，因為AB1＝，B1C2＝，AC2＝，
所以AC＝AB＋B1C，則∠AB1C2＝90°．即AB1與BC1所成的角為90°．
【答案】90°　【解析】如圖，過點M作ME∥DN交CC1于點E，連接A1E，
則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角)．
設(shè)正方體的棱長為a，則A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，則異面直線A1M與DN所成的角為90°．
8、【答案】5【解析】取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN為異面直線AC與BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．
9．【答案】4π【解析】如圖，過B作BH⊥⊙O于點H，連接OH，AH，
則∠ABH(或其補角)即為異面直線AB與OO1所成的角，
則tan∠ABH＝，易知OH∥O1B，OH＝O1B，
由OA⊥O1B，可得OH⊥OA，所以AH＝＝.
又tan∠ABH＝，所以圓柱的高BH＝＝4，所以圓柱的體積為π·OA2·BH＝4π.
10、【解】如圖所示，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G．
∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．
∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF．∴∠EGF＝90°．
∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°．
11、【證明】取CD1的中點G，連接EG，DG，
∵E是BD1的中點，∴EG∥BC，EG＝BC．
∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角．
又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形．
且G為CD1的中點，∴DG⊥CD1．∴∠D1GD＝90°，
∴異面直線CD1，EF所成的角為90°，∴CD1⊥EF．
12、【答案】ABD【解析】連接OF，∵O為正方形A1B1C1D1的中心，F(xiàn)是A1D1的中點，
∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，從而EF，AO共面，A說法錯誤；
連接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，
∴EF，BB1是異面直線，B中說法錯誤；
連接OB，OC1，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四邊形EFOB是平行四邊形，
∴EF∥BO，∴∠OBC1是異面直線EF與BC1所成的角或其補角．
設(shè)正方體的棱長為1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，
∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中說法正確；
同理得∠OBB1是EF與BB1所成的角或其補角，在△OBB1中求得cos∠OBB1＝，D中說法錯誤．
13、【答案】【解析】如圖，連接ND，取ND的中點E，連接EM，CE，則ME∥AN，
則異面直線AN，CM所成的角或其補角即為∠EMC.
由題可知CN＝1，AN＝2，易得EM＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，
∴CE＝，則cos∠CME＝＝＝.
14、【答案】【解析】連接CD1，AC．由題意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角．
∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，∴∠AD1C＝90°．
∵四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC．
∵底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，∴AA1＝＝＝．
15、【解】(1)證明：連接A1D，A1E，分別交AB1，AC1于M，N，連接MN.
∵DE∥平面AB1C1，DE 平面A1DE，平面A1DE∩平面AB1C1＝MN，∴DE∥MN，
∵D為AB的中點，∴A1B1＝AB＝2AD.
由AD∥A1B1可得∠MAD＝∠MB1A1，∠MDA＝∠MA1B1，∴△ADM∽△B1A1M，故A1M＝2MD，
∵DE∥MN，∴A1N＝2NE.
同理可證得△A1NA∽△ENC1，∴CC1＝AA1＝2EC1，∴E是CC1的中點．
(2)取BB1的中點F，連接EF，DF，可知EF∥B1C1，
∴∠DEF即為異面直線DE與B1C1所成的角或其補角．
設(shè)AC＝x，則DE＝，DF＝2，EF＝BC＝，
在△DEF中，由余弦定理可得cos∠DEF＝＝，解得x＝4，
故V三棱柱ABC－A1B1C1＝×4×4×4＝32.
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