資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.6.3 平面與平面垂直（二）
平面與平面垂直的性質(zhì)
班級 姓名
學習目標
1．掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理，學會用定理證明垂直關系．
2．熟悉線線垂直、線面垂直、面面垂直間判定和性質(zhì)的轉化．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內(nèi)容 平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言圖形語言作用①面面垂直 線面垂直 ②作面的垂線【即時訓練】(1)(多選題)已知兩個平面垂直，下列命題中不正確的是(　　)A．—個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另—個平面內(nèi)的任意—條直線B．一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線C．一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面D．過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面(2)對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(　　)A．m⊥n，m∥α，n∥β　　　 B．m⊥n，α∩β＝m，n αC．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
平面與平面垂直的性質(zhì)定理 例2、如圖，P是邊長為a的菱形ABCD所在平面外的一點，∠DAB＝60°.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.變式2、如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求證：BC⊥AC.
變式3、如圖，M是半圓弧上異于C，D的點，四邊形ABCD是矩形，P為AM中點．(1)證明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，證明：平面AMD⊥平面BMC．例4、如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，將C沿BD折至C′，使C′的射影O恰好落在AB上．①求證：BC′⊥平面AC′D；②求A點到平面BC′D的距離．
課后作業(yè)
一、基礎訓練題
1．(多選題)下列命題中正確的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的所有直線都垂直于平面β
2．設平面α⊥平面β，在平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b，則(　　)
A．直線a必垂直于平面β B．直線b必垂直于平面α
C．直線a不一定垂直于平面β D．過a的平面與過b的平面垂直
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　)
A．α∥γ　　　　　　 B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能
4．《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．
設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，
以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是(　　)
A．8　　　 B．12　　 　 C．16　　　 D．18
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
6．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　)
A．平面ADC⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABD⊥平面ABC
7．(多選題)如圖，點P為四邊形ABCD外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點，則下列結論不一定成立的是(　　)
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
8．已知α，β是兩個不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個論斷：
①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，
寫出你認為正確的一個命題：________．(用序號表示)
9．如下左圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________．
10．如上右圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．
11．已知m，n是兩條不相同的直線，α，β是兩個不重合的平面，現(xiàn)有以下說法：
①若α∥β，n α，m β，則m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥β；
③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β；
④若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n；
⑤若α⊥β，m α，n β，則m⊥n.
其中正確說法的序號有________．
12．如圖，已知△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側，且CE∥BD，BD＝2CE，點F為AD中點，連接EF．
求證：平面AED⊥平面ABD．
13．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．
求證：平面AEC⊥平面AFC．
14．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點．
(1)求證：EF∥平面PAB；
(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，證明：AF⊥平面PCD.
15．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE.
(1)證明：CD⊥平面A1OC；
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1－BCDE的體積為36，求a的值．
二、綜合訓練題
16．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下面三個結論：
①點H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③直線AC1與直線B1C所成的角是90°.
其中正確結論的序號是________．
17．如圖，線段AB的兩端在直二面角α－l－β的兩個面內(nèi)，并與這兩個面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．75°
三、能力提升題
18．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，
AC⊥BD，則下列結論不一定成立的是(　　)
A．PB⊥AC
B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD
D．平面PBD⊥平面ABCD
19．(多選題)如圖，在四面體P ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，則下列結論中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
20．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，
AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直線PB與CD所成的角為45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E為線段PC上一點，試確定點E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并說明理由．
8.6.3　平面與平面垂直（二）
1、【答案】ABC
【解析】平面α⊥平面β，α∩β＝l，直線a在平面α內(nèi)，且a∥l，所以a∥β，所以A正確，D錯誤．
若平面α內(nèi)存在垂直于平面β的直線，根據(jù)面面垂直的判定定理，有平面α⊥平面β，與前提矛盾，
所以B正確．
設平面α∩平面γ＝m，平面β∩平面γ＝n，
在平面γ內(nèi)任取一點A，過該點作c⊥m，d⊥n，且c，d γ.
因為平面α⊥平面γ，平面α∩平面γ＝m，c 平面γ，所以c⊥平面α.
又l 平面α，所以l⊥c.同理l⊥d.
因為c∩d＝A，所以l⊥平面γ.所以C正確．
2、【答案】C　
【解析】當b＝α∩β時，必有a⊥β；當b不是α與β的交線時，直線a不一定垂直于平面β．
3、【答案】D　
【解析】兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，
故A，B，C都有可能．
4、【答案】C　
【解析】如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知，以四邊形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1為底面矩形，各有4個陽馬，故共有4×4＝16(個)陽馬．故選C．
5、【答案】D
【解析】如圖，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α AC⊥m，AB∥l AB∥β． 故選D．
6、【答案】A
解析　易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又BA 平面ABD，∴CD⊥BA.
又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，
∴BA⊥平面ADC，又BA 平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC.
7、【答案】ABC　
【解析】因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以A，B結論一定成立．又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以C結論一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，
此關系不一定成立，故選ABC．
8、【答案】①② ③(答案不唯一)　
【解析】由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③．
9、【答案】1　
【解析】因為AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B AD C的平面角，
因為平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．
在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，
所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1．
10、【答案】45°　
【解析】如圖，過A作AO⊥BD于O 點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，
則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD．∴∠ADO＝45°．
11、【答案】②③
【解析】對于①，分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線未必平行，可能是異面直線，因此①不正確；
對于②，由定理“垂直于同一直線的兩個平面平行”得α，β平行，由性質(zhì)“若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面”得n⊥β，因此②正確；
對于③，由性質(zhì)“由空間一點向一個二面角的兩個半平面分別引垂線，則這兩條垂線所成的角與該二面角相等或互補”得③正確；
對于④，分別平行兩個垂直平面的兩條直線未必垂直，因此④不正確；對于⑤，m與n還有可能平行或異面，因此⑤不正確．綜上所述，說法正確的有②③.
12、【證明】取AB中點O，連接OC，OF．
∵O，F(xiàn)分別為AB，AD中點，則OF∥BD且BD＝2OF．
又∵CE∥BD且BD＝2CE，
∴CE∥OF且CE＝OF，
∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴EF∥OC．
∵△ABC為等邊三角形，∴OC⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC∩平面ABD＝AB，
∴OC⊥平面ABD．
∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF 平面AED，
∴平面AED⊥平面ABD．
13、【證明】如圖，連接BD，設BD交AC于點G，連接EG，F(xiàn)G，EF．
在菱形ABCD中，不妨設GB＝1，
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．
在Rt△EBG中，BE＝＝，故DF＝．
在Rt△FDG中，F(xiàn)G＝＝．
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝．
因為EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．
又EG 平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．
14、【證明】(1)∵E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點，
∴EF∥CD，
又在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵AB 平面PAB，EF 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
又AF 平面PAD，∴CD⊥AF.
∵PA＝AD，F(xiàn)是PD的中點，∴AF⊥PD，
∵PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.
15、【解】①證明：在題圖1中，由已知條件易得BE⊥AC，
即在題圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC＝O，∴BE⊥平面A1OC.
易知四邊形BCDE是平行四邊形，
∴BE∥CD，∴CD⊥平面A1OC.
②已知平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE.
又由①知，A1O⊥BE，
∴A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1－BCDE的高．
易知A1O＝a，S四邊形BCDE＝a·a＝a2，
從而四棱錐A1－BCDE的體積V＝×S四邊形BCDE×A1O＝×a2×a＝a3＝36，解得a＝6.
16、【答案】①②③
【解析】①正確，連接A1H，BH，DH.
因為AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD，
所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H，
所以HB＝HD＝HA1.
又△A1BD是等邊三角形，所以點H是△A1BD的中心．
②正確，因為A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB，
所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD，
所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，
所以B1C∥A1D.
又A1D 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
同理可證B1D1∥平面A1BD.
又B1C∩B1D1＝B1，
所以平面CB1D1∥平面A1BD.
又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.
③正確，連接BC1，AC1，AD1，因為四邊形BCC1B1是正方形，
所以B1C⊥BC1.
因為AB⊥平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥AB.又BC1∩AB＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1.
又AC1 平面ABC1D1，
所以AC1⊥B1C，所以直線AC1與直線B1C所成的角是90°.
17、【答案】B
【解析】如圖，設AB＝a，在平面α內(nèi)，作AA′⊥l于A′，
則AA′⊥β，連接A′B，則∠ABA′＝30°.
在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝a.
同理作BB′⊥l于B′，連接AB′，則∠BAB′＝30°，
所以BB′＝a，AB′＝a，
所以A′B′＝＝a.
過B作BC綉A′B′，連接A′C，則A′C綉B(tài)B′，連接AC.
在Rt△AA′C中，AC＝＝a.
易證BC⊥平面AA′C，所以△ABC為直角三角形，
且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l與AB所成的角是45°.
18、【答案】B
【解析】如圖所示，取PB的中點O，連接AO，CO，
∵△PAB與△PBC是正三角形，
∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，
∴PB⊥平面AOC.∵AC 平面AOC，
∴PB⊥AC，故A成立；
∵△PAB與△PBC是正三角形，∴PA＝PC.
設AC∩BD＝M，易知M為AC中點，
若PD⊥平面ABCD，則PD⊥BD，
由已知條件知點D滿足AC⊥BD且位于BM的延長線上，
∴點D的位置不確定，
即PD與BD不一定垂直，故B不一定成立；
∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，
∴AC⊥平面PBD，∵PD 平面PBD，
∴AC⊥PD，故C成立；
∵AC⊥平面PBD，AC 平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故選B.
19、【答案】ABC　
【解析】因為D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，
所以DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，
依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中結論正確；
因為E為BC的中點，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，
依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因為BC∥DF，
所以DF⊥平面PAE，故B中結論正確；
因為DF 平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中結論正確；
假設平面PDF⊥平面ABC，則由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面ABC，
AE⊥DF，DF 平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，
由條件知此垂直關系不一定成立，故D中結論不正確．
20．解：(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．
又直線PB與CD所成的角為45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小為45°.
(2)當點E在線段PC上，且滿足PE∶EC＝1∶2時，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
連接AC交BD于點O，連接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO 平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
∴在線段PC上存在點E，滿足PE∶EC＝1∶2時，平面EBD⊥平面ABCD.
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