資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
9.2計數原理、概率、隨機變量及其分布
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 12
考點一：二項式定理 12
考點二：排列、組合 13
考點三：概率與正態分布 15
考點四：條件概率與全概率 16
考點五：二項分布與超幾何分布 17
考點六：離散型隨機變量的均值與方差 19
【真題在線】 21
【專項突破】 23
考點 考情分析 考頻
古典概率模型 2022年新高考Ⅰ卷T5 2022年全國甲卷T6 2022年全國甲卷T15 1年3考
相互獨立事件 2023年新高考Ⅰ卷T21 2022年全國乙卷T10 2年2考
獨立性檢驗模型 2022年全國甲卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T8 2年2考
分布列、均值與統計圖 2022年新高考Ⅱ卷T9
分布列、均值與概率 2022年全國甲卷T19
分布列、均值與獨立性檢驗 2023年全國甲卷T19
用樣本估計總體 2022年全國甲卷T2 2022年全國乙卷T4 1年2考
正態分布 2022年新高考Ⅱ卷T13
條件概率 2022年新高考Ⅰ卷T20
統計與樣本方差 2023年全國乙卷T17
預測：計數原理、概率、隨機變量及其分布為高考中點考察內容，考察形式變化多樣，要求全面掌握好基礎知識，考察的難度整體適中.建議在復習時重在掌握基礎概念的同時加強實際的應用問題.
考點一：二項式定理
【典例精析】（多選）（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·浙江·二模）展開式的常數項為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武漢·二模）已知二項式展開式的二項式系數的和為64，則 （ ）
A． B．
C．展開式的常數項為 D．的展開式中各項系數的和為1
二、多選題
3．（2024·云南曲靖·二模）下列命題正確的是（ ）
A．展開式中的系數為1
B．展開式的常數項等于20
C．展開式的二項式系數之和為64
D．展開式的系數之和為64
4．（2024·全國·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設a，b，m（m>0）為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余數都是3，則記為9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），則b的值可以是（ ）.
A．2019 B．2023 C．2029 D．2033
三、填空題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序實數組稱為維向量，為該向量的范數，范數在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數為奇數的的個數為，則 ； ．（用含的式子表示）
考點二：排列、組合
【典例精析】（多選）（23-24高二上·山東德州·階段練習）帶有編號、、、、的五個球，則（ ）
A．全部投入個不同的盒子里，共有種放法
B．放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法
C．將其中的個球投入個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法
D．全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·安徽馬鞍山·三模）甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）現某社區服務中心俱樂部將5名京劇演員、2名說書演員分配到甲、乙、丙3個居民區去義演，則每個居民區都有京劇演員的分配方法有（ ）
A．240種 B．640種 C．1350種 D．1440種
二、多選題
3．（20-21高二下·江蘇南京·期末）現安排甲 乙 丙 丁 戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯 導游 禮儀 司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是（ ）
A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為
B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數為
C．每項工作至少有1人參加，甲 乙不會開車但能從事其他三項工作，丙 丁 戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為
4．（2023·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．對于獨立性檢驗，的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小
B．在回歸分析中，決定系數越大，說明回歸模型擬合的效果越好
C．隨機變量，若，，則
D．甲、乙、丙、丁個人到個景點旅游，每人只去一個景點且每個景點都有人去，設事件為“個人去的景點各不相同”，事件為“甲不去其中的景點”，則
三、填空題
5．（2024·山東聊城·三模）兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有 種.
考點三：概率與正態分布
【典例精析】（多選）（2024·山東聊城·三模）在美國重壓之下，中國芯片異軍突起，當前我們國家生產的最小芯片制程是7納米.某芯片生產公司生產的芯片的優秀率為0.8，現從生產流水線上隨機抽取5件，其中優秀產品的件數為.另一隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．隨的增大先增大后減小
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·江西萍鄉·二模）已知隨機變量，且，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2024·全國·模擬預測）某項競賽活動需要完成某項任務，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊參加競賽，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊完成該項任務的概率分別為，，，且3隊是否完成任務相互獨立，則恰有2隊完成任務的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·三模）下列說法正確的是（ ）
A．連續拋擲一枚質地均勻的硬幣，直至出現正面向上，則停止拋擲.設隨機變量表示停止時拋擲的次數，則
B．從6名男同學和3名女同學組成的學習小組中，隨機選取2人參加某項活動，設隨機變量表示所選取的學生中男同學的人數，則
C．若隨機變量，則
D．若隨機變量，則當減小，增大時，保持不變
4．（2024·安徽淮北·二模）如圖所示的鐘表中，時針初始指向“12”，每次擲一枚均勻的硬幣，若出現正面則時針按順時針方向旋轉，若出現反面則時針按逆時針方向旋轉，用表示次后時針指向的數字，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·吉林長春·模擬預測）春暖花開季節，小王 小李 小張 小劉四人計劃“五 一”去踏青，現有三個出游的景點：南湖 凈月 蓮花山，假設每人隨機選擇一處景點，在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為 .
考點四：條件概率與全概率
【典例精析】（多選）（2024·江蘇·模擬預測）某企業使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記表示事件“某芯片通過智能檢測系統篩選”，表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”.改進生產工藝后，該款芯片的某項質量指標服從正態分布，現從中隨機抽取個，這個芯片中恰有個的質量指標位于區間，則下列說法正確的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值時，的估計值為53
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·二模）設A，B 是一個隨機試驗中的兩個事件，且 ，則 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇·二模）羽毛球比賽水平相當的甲、乙、丙三人舉行羽毛球比賽.規則為：每局兩人比賽，另一人擔任裁判.每局比賽結束時，負方在下一局比賽中擔任裁判.如果第1局甲擔任裁判，則第3局甲還擔任裁判的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）現有編號分別為的三個盒子，其中盒中共20個小球，其中紅球6個，盒中共20個小球，其中紅球5個，盒中共30個小球，其中紅球6個.現從所有球中隨機抽取一個，記事件：“該球為紅球”，事件：“該球出自編號為的盒中”，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自盒的概率最小
4．（2024·山東濟南·三模）某同學投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·重慶開州·模擬預測）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為，則的數學期望 .（用表示）
考點五：二項分布與超幾何分布
【典例精析】（多選）（2024高三·全國·專題練習）下列說法正確的有（　　）
A．若隨機變量，且，則
B．若隨機變量，則方差
C．若從名男生、名女生中選取人，則其中至少有名女生的概率為
D．若隨機變量X的分布列為，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·二模）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·內蒙古赤峰·階段練習）某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發現自己共中獎11次，根據這個結果，估計盒子中的有獎券有（ ）
A．1張 B．2張 C．3張 D．4張
二、多選題
3．（2024·云南紅河·二模）某種高精度產品在研發后期，一企業啟動產品試生產，假設試產期共有甲 乙 丙三條生產線且每天的生產數據如下表所示：
生產線 次品率 產量（件/天）
甲 500
乙 700
丙 800
試產期每天都需對每一件產品進行檢測，檢測方式包括智能檢測和人工檢測，選擇檢測方式的規則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計算機隨機等可能生成數字“0”或“1”，連續生成5次，把5次的數字相加，若和小于4，則該天檢測方式和前一天相同，否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是（ ）
A．若計算機5次生成的數字之和為，則
B．設表示事件第天該企業產品檢測選擇的是智能檢測，則
C．若每天任檢測一件產品，則這件產品為次品的概率為
D．若每天任檢測一件產品，檢測到這件產品是次品，則該次品來自甲生產線的概率為
4．（2022·全國·模擬預測）某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品．設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X，員工B抽取到的3件產品中次品數量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（ ）
A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布
C． D．
三、填空題
5．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形狀完全相同的4個黑球和6個紅球，每次從中隨機取一個球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是 ；若連續取2次球，設隨機變量表示取到的黑球個數，則 ．
考點六：離散型隨機變量的均值與方差
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發射，我國在航天事業中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識，某校舉行了航天知識競賽，競賽中設置了多選題目（每題4個選項中有2個或3個正確選項），每題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某一道多選題甲完全不會，他隨機選擇2個或3個選項，該題有2個正確選項的概率為．記表示甲的得分，則（ ）
A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個選項，則
C．若甲選擇3個選項，則 D．甲得5分的概率為
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）刷臉時代來了，人們為“刷臉支付”給生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔憂.某調查機構為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調查（問卷得分在分之間），并從參與者中隨機抽取人.根據調查結果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)據此估計這人滿意度的平均數同一組中的數據用該組區間的中點值作代表；
(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優惠，但可參加超市的抽獎返現金活動.活動方案為：從裝有個形狀、大小完全相同的小球其中紅球個，黑球個的抽獎盒中，一次性摸出個球，若摸到個紅球，返消費金額的；若摸到個紅球，返消費金額的，除此之外不返現金．
方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優惠，但不參加超市的抽獎返現金活動，根據統計結果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受折優惠，有的概率享受折優惠，有的概率享受折優惠.現小張在該超市購買了總價為元的商品．
①求小張選擇方案一付款時實際付款額的分布列與數學期望；
②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？（注：結果精確到）
2．（2024·浙江金華·三模）已知甲盒中有1個紅球，2個藍球，乙盒中有5個紅球，4個藍球，這些球除了顏色外完全相同.
(1)從甲盒中有放回地取球，每次取1個，共取3次，求這3次中取出2次紅球的概率；
(2)從甲、乙兩盒中各任取2個球，記取出的4個球中紅球的個數為，求的分布列和數學期望.
3．（2024·湖南邵陽·模擬預測）2023年8月3日，公安部召開的新聞發布會公布了“提高道路資源利用率”和“便利交通物流貨運車輛通行”優化措施，其中第二條提出推動緩解停車難問題．在持續推進緩解城鎮老舊小區居民停車難改革措施的基礎上，因地制宜在學校、醫院門口設置限時停車位，支持鼓勵住宅小區和機構停車位錯時共享．某醫院門口設置了限時停車場（停車時間不超過60分鐘），制定收費標準如下：停車時間不超過15分鐘的免費，超過15分鐘但不超過30分鐘收費3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場．甲、乙兩人相互獨立地來該停車場停車，且甲、乙的停車時間的概率如下表所示：
停車時間/分鐘
甲
乙
設此次停車中，甲所付停車費用為，乙所付停車費用為．
(1)在的條件下，求的概率；
(2)若，求隨機變量的分布列與數學期望．
4．（2024高三下·全國·專題練習）“九子游戲”是一種傳統的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.
(1)若，，設比賽結束時比賽的局數為，求的分布列與數學期望；
(2)設采用3局2勝制時乙獲勝的概率為，采用5局3勝制時乙獲勝的概率為，若，求的取值范圍.
5．（2024·河南三門峽·模擬預測）2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽
(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小王在初賽中答對的題目個數為，求的數學期望以及小王在已經答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；
(2)大學為鼓勵大學生踴躍參賽并取得佳績，對進入決賽的參賽大學生給予一定的獎勵.獎勵規則如下：已進入決賽的參賽大學生允許連續抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立.
（i）記一名進入決賽的大學生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；
（ii）大學數學系共有9名大學生進入了決賽，若這9名大學生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
3．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
4．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
6．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
二、多選題
7．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
三、填空題
8．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
9．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
四、解答題
11．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
12．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發現》，安徽省皖南地區郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經初步確認，該遺址現存馬家浜文化區 崧澤文化區 良渚文化區 錢山漾文化區四大區域，總面積約6萬平方米.該遺址延續時間長 譜系完整，是長江下游地區少有的連續時間近4000年的中心性聚落.對認識多元化一體中華文明在皖南地區的演進方式具有重要的價值，南京大學歷史學院趙東升教授團隊現在對該遺址四大區域進行考古發掘，現安排包含甲 乙在內的6名研究生同學到這4個區域做考古志愿者，每人去1個區域，每個區域至少安排1個人，則甲 乙兩人安排在相同區域的方法種數為（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
2．（2024·湖南長沙·三模）在的展開式中，的系數是（ ）
A．168 B． C．1512 D．
3．（2024·河北保定·二模）有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東·二模）拋擲一枚質地均勻的硬幣次，記事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若與獨立，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·浙江金華·三模）某市高中數學統考（總分150分），假設考試成績服從正態分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為，，，四個等級.若某同學考試成績為99分，則該同學的等級為（ ）
（參考數據：，）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知某隨機變量的分布列如圖表，則隨機變量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
二、多選題
7．（2024·安徽·三模）下列關于概率統計的說法中正確的是（ ）
A．某人在10次答題中，答對題數為，則答對7題的概率最大
B．設隨機變量服從正態分布，若，則
C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則
D．兩個變量的相關系數為，則越小，與之間的相關性越弱
8．（2024·云南昆明·三模）在一個有限樣本空間中，事件發生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（ ）
A． B．A與相互獨立
C． D．
三、填空題
9．（2024·天津和平·一模）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數X的數學期望為 ；黨員甲能通過初試的概率為 .
10．（2023·山西·模擬預測）甲、乙兩名足球運動員進行射門比賽，約定每人射門3次，射進的次數多者贏，一樣多則為平局．若甲每次射門射進的概率均為，乙每次射門射進的概率均為，且每人每次射門相互獨立．現已知甲第一次射門未射進，則乙贏的概率為 ．
11．（2024·上海松江·二模）已知隨機變量服從正態分布，且，則 .
四、解答題
12．（2024·湖北·模擬預測）某基層工會擬通過摸球的方式對會員發放節日紅包.現在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數學期望.
13．（2024·重慶·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率．
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）
14．（2024·全國·模擬預測）向“新”而行，向“新”而進，新質生產力能夠更好地推動高質量發展．以人工智能的應用為例，人工智能中的文生視頻模型Sora（以下簡稱Sora），能夠根據用戶的文本提示創建最長60秒的逼真視頻．為調查Sora的應用是否會對視頻從業人員的數量產生影響，某學校研究小組隨機抽取了120名視頻從業人員進行調查，結果如下表所示．
Sora的應用情況 視頻從業人員 合計
減少 未減少
應用 70 75
沒有應用 15
合計 100 120
(1)根據所給數據完成上表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為Sora的應用與視頻從業人員的減少有關？
(2)某公司視頻部現有員工100人，公司擬開展Sora培訓，分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優秀”的員工才能應用Sora．
（ⅰ）求員工經過培訓能應用Sora的概率．
（ⅱ）已知開展Sora培訓前，員工每人每年平均為公司創造利潤6萬元；開展Sora培訓后，能應用Sora的員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元；Sora培訓平均每人每年成本為1萬元．根據公司發展需要，計劃先將視頻部的部分員工隨機調至其他部門，然后開展Sora培訓，現要求培訓后視頻部的年利潤不低于員工調整前的年利潤，則視頻部最多可以調多少人到其他部門？
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
9.2計數原理、概率、隨機變量及其分布
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 12
考點一：二項式定理 12
考點二：排列、組合 16
考點三：概率與正態分布 19
考點四：條件概率與全概率 24
考點五：二項分布與超幾何分布 29
考點六：離散型隨機變量的均值與方差 33
【真題在線】 41
【專項突破】 48
考點 考情分析 考頻
古典概率模型 2022年新高考Ⅰ卷T5 2022年全國甲卷T6 2022年全國甲卷T15 1年3考
相互獨立事件 2023年新高考Ⅰ卷T21 2022年全國乙卷T10 2年2考
獨立性檢驗模型 2022年全國甲卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T8 2年2考
分布列、均值與統計圖 2022年新高考Ⅱ卷T9
分布列、均值與概率 2022年全國甲卷T19
分布列、均值與獨立性檢驗 2023年全國甲卷T19
用樣本估計總體 2022年全國甲卷T2 2022年全國乙卷T4 1年2考
正態分布 2022年新高考Ⅱ卷T13
條件概率 2022年新高考Ⅰ卷T20
統計與樣本方差 2023年全國乙卷T17
預測：計數原理、概率、隨機變量及其分布為高考中點考察內容，考察形式變化多樣，要求全面掌握好基礎知識，考察的難度整體適中.建議在復習時重在掌握基礎概念的同時加強實際的應用問題.
考點一：二項式定理
【典例精析】（多選）（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用賦值法一一計算可判定A、D選項；利用二項式定理可判定B、C選項.
【詳解】對于A，令，則，故A正確；
對于D，令，
令，
兩式相減得，故D正確；
易知，
而中的常數項為1，含項為，
含項為，含項為，
同理中的常數項為，含項為，
含項為，含項為，
所以，故B錯誤；
，故C正確.
故選：ACD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·浙江·二模）展開式的常數項為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武漢·二模）已知二項式展開式的二項式系數的和為64，則 （ ）
A． B．
C．展開式的常數項為 D．的展開式中各項系數的和為1
二、多選題
3．（2024·云南曲靖·二模）下列命題正確的是（ ）
A．展開式中的系數為1
B．展開式的常數項等于20
C．展開式的二項式系數之和為64
D．展開式的系數之和為64
4．（2024·全國·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設a，b，m（m>0）為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余數都是3，則記為9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），則b的值可以是（ ）.
A．2019 B．2023 C．2029 D．2033
三、填空題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序實數組稱為維向量，為該向量的范數，范數在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數為奇數的的個數為，則 ； ．（用含的式子表示）
參考答案：
1．A
【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數為0，得出常數項的項數，即可得常數項．
【詳解】展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數項為.
故選：A.
2．D
【分析】根據二項式系數和可得n，化簡通項公式，由x的指數為0求出k，然后可得常數項，再令即可判斷D.
【詳解】由題可知，，則.則AB錯誤；
展開式中的第項為.
令，得，則，故C錯誤；
令得，則的展開式中各項系數的和為1，
故選：D.
3．ABC
【分析】根據給定二項式，利用展開式的通項公式計算可判斷選項A,B；根據二項式系數之和為可判斷選項C；令，可得所有項系數之和進而判斷選項D.
【詳解】對于選項A：由展開式的通項為,
令，解得，所以含的項為此時系數為1，故A正確；
對于選項B：由展開式的通項為,
令，解得，所以常數項為故B正確；
對于選項C：由可知，所以二項式系數之和為，故C正確；
對于選項D：令，可得所有項系數之和為，故D錯誤.
故選：ABC.
4．AC
【分析】先利用二項式定理化簡得；再利用二項式定理將展開可得到a除以10所得的余數是9，進而可求解.
【詳解】因為
所以a除以10所得的余數是9.
又因為a≡b（mod 10）
所以b除以10所得的余數是9.
而，，，
故選：AC.
5． 40
【分析】根據乘法原理和加法原理即可求解；根據和的展開式相減得到的通項公式.
【詳解】根據乘法原理和加法原理得到．
奇數維向量，范數為奇數，則的個數為奇數，即1的個數為1，3，5，…，，
根據乘法原理和加法原理得到，
兩式相減得到.
故答案為：2；.
考點二：排列、組合
【典例精析】（多選）（23-24高二上·山東德州·階段練習）帶有編號、、、、的五個球，則（ ）
A．全部投入個不同的盒子里，共有種放法
B．放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法
C．將其中的個球投入個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法
D．全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
【答案】AC
【分析】利用分步計數原理判斷A，先分組，再分配，即可判斷B，先選出個球，再選出個盒子，即可判斷C，分和兩種情況討論，利用分組分配法判斷D.
【詳解】對于A：由分步計數原理，
五個球全部投入個不同的盒子里共有種放法，故A正確；
對于B：由排列數公式，
五個不同的球放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法，故B錯誤；
對于C：將其中的個球投入一個盒子里（另一個球不投入）共有種放法，故C正確；
對于D：全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，
共有種不同的放法，故D錯誤．
故選：AC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·安徽馬鞍山·三模）甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）現某社區服務中心俱樂部將5名京劇演員、2名說書演員分配到甲、乙、丙3個居民區去義演，則每個居民區都有京劇演員的分配方法有（ ）
A．240種 B．640種 C．1350種 D．1440種
二、多選題
3．（20-21高二下·江蘇南京·期末）現安排甲 乙 丙 丁 戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯 導游 禮儀 司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是（ ）
A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為
B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數為
C．每項工作至少有1人參加，甲 乙不會開車但能從事其他三項工作，丙 丁 戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為
4．（2023·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．對于獨立性檢驗，的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小
B．在回歸分析中，決定系數越大，說明回歸模型擬合的效果越好
C．隨機變量，若，，則
D．甲、乙、丙、丁個人到個景點旅游，每人只去一個景點且每個景點都有人去，設事件為“個人去的景點各不相同”，事件為“甲不去其中的景點”，則
三、填空題
5．（2024·山東聊城·三模）兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有 種.
參考答案：
1．C
【分析】分類討論人數的配比情況，分別求總共不同的安排方法和甲、乙兩人恰選擇同一崗位時不同的安排方法，結合古典概型運算求解.
【詳解】若人數配比為時，則有種不同安排方法；
若人數配比為時，則有種不同安排方法；
所以共有種不同安排方法.
若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數配比為時，則有種不同安排方法；
若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數配比為時，則有種不同安排方法；
所以共有種不同安排方法.
所以甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為.
故選：C.
2．C
【分析】將2名說書演員分配到3個居民區，共有9種分配方法. 對京劇演員進行分組分配，各組的人數分別為1，1，3或2，2，1. 分別計算兩種情況下的分配方法數，最后根據分類加法計數原理可得每個居民區都有京劇演員的分配方法共有1350種.
【詳解】將2名說書演員分配到3個居民區，有（種）分配方法.
若每個居民區都有京劇演員，則將京劇演員分成3組，各組的人數分別為1，1，3或2，2，1.
當京劇演員分成三組的人數為1，1，3時，此時共有（種）分配方法；
當京劇演員分成三組的人數為2，2，1時，此時共有（種）分配方法.
綜上可知，每個居民區都有京劇演員的分配方法有（種）.
故選：C
3．ABD
【分析】根據分步乘法計數原理判斷A、B，對開車的人員分類討論利用分步乘法計數原理及分類加法計數原理判斷C，按照部分平均分組法判斷D；
【詳解】解：根據題意，依次分析選項：
對于，安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有種安排方法，故錯誤；
對于，根據題意，分2步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有種安排方法，故錯誤；
對于，根據題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車，則有種安排方法，正確；
對于，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導游、禮儀三項工作，有種情況，則有種安排方法，錯誤；
故選：．
4．BD
【分析】直接利用獨立性檢驗，決定系數，二項分布的均值與方差，排列組合的應用以及古典概型的概率公式判斷．
【詳解】對于A：對于獨立性檢驗，的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大，故A錯誤；
對于B：在回歸分析中，決定系數越大，說明回歸模型擬合的效果越好，故B正確；
對于C：隨機變量，若，，故，則，故C錯誤；
對于D：甲、乙、丙、丁個人到個景點旅游，每人只去一個景點且每個景點都有人去，設事件為“個人去的景點各不相同”，事件為“甲不去其中的景點”，則，故D正確，
故選：BD．
5．15
【分析】按照分組的結果分類討論，利用分類加法原理求解即可.
【詳解】不妨記兩本相同的圖書為元素，兩本不同的音樂書為元素，根據題意，分類討論：
若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；
若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；
若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；
綜上，不同的分法共有種.
故答案為：15
考點三：概率與正態分布
【典例精析】（多選）（2024·山東聊城·三模）在美國重壓之下，中國芯片異軍突起，當前我們國家生產的最小芯片制程是7納米.某芯片生產公司生產的芯片的優秀率為0.8，現從生產流水線上隨機抽取5件，其中優秀產品的件數為.另一隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．隨的增大先增大后減小
【答案】CD
【分析】根據二項分布的方差性質判斷A，根據二項分布的期望公式及方差結合正態分布的期望與方差判斷B，根據二項分布概率公式和正態分布的性質求概率判斷C，根據二項分布的概率公式單調性判斷D.
【詳解】由題意，則，
所以，故選項A錯誤；
，則，設當時概率最大，
則有，即，
解得，由，所以當時概率最大，
則，
即隨的增大先增大后減小，故D選項正確；
又，則，，
所以，故選項B錯誤；
，
又，所以，故選項C正確.
故選：CD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·江西萍鄉·二模）已知隨機變量，且，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2024·全國·模擬預測）某項競賽活動需要完成某項任務，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊參加競賽，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊完成該項任務的概率分別為，，，且3隊是否完成任務相互獨立，則恰有2隊完成任務的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·三模）下列說法正確的是（ ）
A．連續拋擲一枚質地均勻的硬幣，直至出現正面向上，則停止拋擲.設隨機變量表示停止時拋擲的次數，則
B．從6名男同學和3名女同學組成的學習小組中，隨機選取2人參加某項活動，設隨機變量表示所選取的學生中男同學的人數，則
C．若隨機變量，則
D．若隨機變量，則當減小，增大時，保持不變
4．（2024·安徽淮北·二模）如圖所示的鐘表中，時針初始指向“12”，每次擲一枚均勻的硬幣，若出現正面則時針按順時針方向旋轉，若出現反面則時針按逆時針方向旋轉，用表示次后時針指向的數字，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·吉林長春·模擬預測）春暖花開季節，小王 小李 小張 小劉四人計劃“五 一”去踏青，現有三個出游的景點：南湖 凈月 蓮花山，假設每人隨機選擇一處景點，在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為 .
參考答案：
1．C
【分析】結合正態分布的性質直接得到答案即可.
【詳解】隨機變量，
所以，所以，故.
故選：C.
2．B
【分析】因為“恰有2隊完成任務”，即可能是“天涯隊、諦聽隊”或“諦聽隊、洪荒隊”或“天涯隊、洪荒隊”，根據相互獨立事件及互斥事件的概率可得結果.
【詳解】設事件A為“恰有2隊完成任務”，有三類：“天涯隊、諦聽隊”或“諦聽隊、洪荒隊”或“天涯隊、洪荒隊”，且相互互斥，
則，
故選：B．
3．BCD
【分析】求出判斷A；利用超幾何分布的期望公式計算判斷B；利用二項分布的方差公式計算判斷C，利用正態分布的特定區間的概率判斷D.
【詳解】對于A，拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面、反面的概率均為，則，A錯誤；
對于B，顯然隨機變量服從超幾何分布，則，B正確；
對于C，由隨機變量，得，C正確；
對于D，由正態分布的意義知，為定值，D正確.
故選：BCD
4．ACD
【分析】A選項，的可能取值為，求出相應的概率，得到期望；B選項，2次旋轉中，1次順時針方向旋轉，1次逆時針方向旋轉，得到概率；C選項，設硬幣正面朝上的次數為，列出方程，求出，求出；D選項，求出的可能取值及對應的概率，得到數學期望，得到答案.
【詳解】A選項，的可能取值為，
且，故，A正確；
B選項，，即2次旋轉中，1次順時針方向旋轉，1次逆時針方向旋轉，
故，B錯誤；
C選項，，即順時針走了或逆時針走了，
設硬幣正面朝上的次數為，則反面朝上的次數為，
，解得，
故，C正確；
D選項，若硬幣8次均正面朝上，此時，
故，
若硬幣7次正面朝上，1次反面朝上，此時，
故，
若硬幣6次正面朝上，2次反面朝上，此時，
故，
若硬幣5次正面朝上，3次反面朝上，此時，
故，
若硬幣4次正面朝上，4次反面朝上，此時，
，
若硬幣3次正面朝上，5次反面朝上，此時，
，
若硬幣2次正面朝上，6次反面朝上，此時，
，
若硬幣1次正面朝上，7次反面朝上，此時，
，
若硬幣8次均反面朝上，此時，
，
故，D正確.
故選：ACD
5．
【分析】由古典概率結合條件概率的形式計算即可.
【詳解】至少有兩人去南湖的情況有三種：兩人去，三人去，四人去，
其概率為，
至少有兩人去南湖且有人去凈月的概率為，
所以在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為，
故答案為：.
考點四：條件概率與全概率
【典例精析】（多選）（2024·江蘇·模擬預測）某企業使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記表示事件“某芯片通過智能檢測系統篩選”，表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”.改進生產工藝后，該款芯片的某項質量指標服從正態分布，現從中隨機抽取個，這個芯片中恰有個的質量指標位于區間，則下列說法正確的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值時，的估計值為53
【答案】ACD
【分析】直接利用題意判斷A；利用條件概率、全概率公式等進行轉化判斷B；利用正態分布的性質判斷C；設，由函數的單調性判斷D.
【詳解】對于A，由題意，故A正確；
對于B，由，則，
又，
于是，即，
因此，即，則，故B錯誤；
對于C，
，故C正確；
對于D，，
設，
，
解得，，
由，
解得，即，
所以取得最大值時，的估計值為53，故D正確.
故選：ACD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·二模）設A，B 是一個隨機試驗中的兩個事件，且 ，則 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇·二模）羽毛球比賽水平相當的甲、乙、丙三人舉行羽毛球比賽.規則為：每局兩人比賽，另一人擔任裁判.每局比賽結束時，負方在下一局比賽中擔任裁判.如果第1局甲擔任裁判，則第3局甲還擔任裁判的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）現有編號分別為的三個盒子，其中盒中共20個小球，其中紅球6個，盒中共20個小球，其中紅球5個，盒中共30個小球，其中紅球6個.現從所有球中隨機抽取一個，記事件：“該球為紅球”，事件：“該球出自編號為的盒中”，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自盒的概率最小
4．（2024·山東濟南·三模）某同學投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·重慶開州·模擬預測）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為，則的數學期望 .（用表示）
參考答案：
1．B
【分析】根據概率的性質解得，結合可得，代入條件概率公式分析求解.
【詳解】因為，即，解得，
又因為，即，解得，
且，可得，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】由全概率公式即可求解.
【詳解】由于甲、乙、丙三人的比賽水平相當，所以第二局乙或丙擔任裁判的概率都是，
第二局若是乙當裁判，則第三局甲或丙擔任裁判的概率都是，
第二局若是丙當裁判，則第三局甲或乙擔任裁判的概率都是，
由全概率公式可知，如果第1局甲擔任裁判，則第3局甲還擔任裁判的概率為.
故選：C.
3．ACD
【分析】由古典概率先計算，再由條件概率計算得到A正確；由全概率計算得到B錯誤；由條件概率得到C正確；由古典概率得到D正確.
【詳解】A：由題，，故A正確；
B：由選項A可得，故B錯誤；
C：因為，所以，
所以，故C正確；
D：由題該球來自的概率為，該球來自的概率為，該球來自的概率為，
所以該球來自的概率最小，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：本題A，C關鍵在于應用條件概率公式即.
4．ABD
【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式可判定A、D選項，利用期望與方差公式可判定B、C選項.
【詳解】對于A，易知，故A正確；
對于D，易知，故D正確；
對于B、C，易知可取，則,
，所以，
，故B正確；C錯誤；
故選：ABD
5．
【分析】一方面：利用已知條件求出，進一步推出，另一方面得出，由此可求出，進一步由期望公式即可求解.
【詳解】一方面：由題意可知：，，
則；．
另一方面：由題意可知：，
，
兩式相加可得，
則：時，，
所以，，
因為，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，
即，
所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得出，由此即可順利得解.
考點五：二項分布與超幾何分布
【典例精析】（多選）（2024高三·全國·專題練習）下列說法正確的有（　　）
A．若隨機變量，且，則
B．若隨機變量，則方差
C．若從名男生、名女生中選取人，則其中至少有名女生的概率為
D．若隨機變量X的分布列為，則
【答案】ABD
【分析】由正態分布求解判斷出選項A正確，由二項分布即可判斷選項B正確，由超幾何分布求解概率即可判斷選項C錯誤，由概率分布列的性質求解判斷選項D正確.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，，故B正確；
對于C，至少有一名女生的概率，故C錯誤；
對于D，，，，故D正確．
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·二模）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·內蒙古赤峰·階段練習）某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發現自己共中獎11次，根據這個結果，估計盒子中的有獎券有（ ）
A．1張 B．2張 C．3張 D．4張
二、多選題
3．（2024·云南紅河·二模）某種高精度產品在研發后期，一企業啟動產品試生產，假設試產期共有甲 乙 丙三條生產線且每天的生產數據如下表所示：
生產線 次品率 產量（件/天）
甲 500
乙 700
丙 800
試產期每天都需對每一件產品進行檢測，檢測方式包括智能檢測和人工檢測，選擇檢測方式的規則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計算機隨機等可能生成數字“0”或“1”，連續生成5次，把5次的數字相加，若和小于4，則該天檢測方式和前一天相同，否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是（ ）
A．若計算機5次生成的數字之和為，則
B．設表示事件第天該企業產品檢測選擇的是智能檢測，則
C．若每天任檢測一件產品，則這件產品為次品的概率為
D．若每天任檢測一件產品，檢測到這件產品是次品，則該次品來自甲生產線的概率為
4．（2022·全國·模擬預測）某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品．設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X，員工B抽取到的3件產品中次品數量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（ ）
A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布
C． D．
三、填空題
5．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形狀完全相同的4個黑球和6個紅球，每次從中隨機取一個球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是 ；若連續取2次球，設隨機變量表示取到的黑球個數，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據二項分布直接求解即可.
【詳解】因為隨機變量，
所以.
故選：B
2．B
【分析】根據題意，計算盒子中獎券數量對應的概率，結合期望分析更接近11的可能最大.
【詳解】設中獎的概率為，30天中獎的天數為，則
若盒子中的有獎券有1張，
則中獎的概率為，
，
若盒子中的有獎券有2張，
則中獎的概率為，
，
若盒子中的有獎券有3張，
則中獎的概率為，
，
若盒子中的有獎券有4張，
則中獎的概率為，
，
根據題意盒子中的有獎券有2張，更有可能30天中獎11天，
故選：B.
3．BD
【分析】根據題意可知，由二項分布計算，即可判斷A選項；由條件概率公式計算，由此判斷B選項；設每天任檢測一件產品，這件產品是次品為事件B，由全概率公式計算，由此判斷C選項；由貝葉斯公式計算，由此判斷D選項.
【詳解】對于A：因為，，
所以，故A錯誤；
對于B：由
故B正確；
對于C：設每天任檢測一件產品，這件產品是次品為事件B，
這件產品來自甲，乙，丙三條生產線分別為事件，
則由
，故C錯誤；
對于D：由C選項的解析可知，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，分析得服從二項分布，從而求得，進而利用全概率公式與貝葉斯公式即可得解.
4．ABD
【分析】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知“有放回”是二項分布，“無放回”是超幾何分布，故兩個選項均正確；C，D選項，可進行計算判斷.
【詳解】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知兩個選項均正確；
對于D選項，該批產品有M件，則，，因此D正確；
對于C選項，假若C正確可得，則D錯誤，矛盾！故C錯誤．
故選：ABD.
5． /0.8
【分析】第一空由條件概率公式可求出結果；第二空由超幾何分布求出期望.
【詳解】設第一次取到黑球為事件，第二次取到黑球為事件，
則，，
所以；
由題意可得的取值為，
，
所以，
故答案為：；.
考點六：離散型隨機變量的均值與方差
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發射，我國在航天事業中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識，某校舉行了航天知識競賽，競賽中設置了多選題目（每題4個選項中有2個或3個正確選項），每題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某一道多選題甲完全不會，他隨機選擇2個或3個選項，該題有2個正確選項的概率為．記表示甲的得分，則（ ）
A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個選項，則
C．若甲選擇3個選項，則 D．甲得5分的概率為
【答案】CD
【分析】根據給定條件，可得該題有3個正確選項的概率為，結合離散型隨機變量的期望計算方法逐項分析判斷即可.
【詳解】由該題有2個正確選項的概率為，得該題有3個正確選項的概率為，
對于A，若甲得2分，則該題有3個正確選項，甲選擇了2個正確選項，概率為，
因此甲得2分的概率，A錯誤；
對于B，若甲選擇2個選項，則的可能取值為，則，
，則，B錯誤；
對于C，若甲選擇3個選項，則的可能取值為0，5，則，
，因此，C正確；
對于D，由選項BC知，甲得5分的概率為，D正確．
故選：CD
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）刷臉時代來了，人們為“刷臉支付”給生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔憂.某調查機構為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調查（問卷得分在分之間），并從參與者中隨機抽取人.根據調查結果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)據此估計這人滿意度的平均數同一組中的數據用該組區間的中點值作代表；
(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優惠，但可參加超市的抽獎返現金活動.活動方案為：從裝有個形狀、大小完全相同的小球其中紅球個，黑球個的抽獎盒中，一次性摸出個球，若摸到個紅球，返消費金額的；若摸到個紅球，返消費金額的，除此之外不返現金．
方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優惠，但不參加超市的抽獎返現金活動，根據統計結果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受折優惠，有的概率享受折優惠，有的概率享受折優惠.現小張在該超市購買了總價為元的商品．
①求小張選擇方案一付款時實際付款額的分布列與數學期望；
②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？（注：結果精確到）
2．（2024·浙江金華·三模）已知甲盒中有1個紅球，2個藍球，乙盒中有5個紅球，4個藍球，這些球除了顏色外完全相同.
(1)從甲盒中有放回地取球，每次取1個，共取3次，求這3次中取出2次紅球的概率；
(2)從甲、乙兩盒中各任取2個球，記取出的4個球中紅球的個數為，求的分布列和數學期望.
3．（2024·湖南邵陽·模擬預測）2023年8月3日，公安部召開的新聞發布會公布了“提高道路資源利用率”和“便利交通物流貨運車輛通行”優化措施，其中第二條提出推動緩解停車難問題．在持續推進緩解城鎮老舊小區居民停車難改革措施的基礎上，因地制宜在學校、醫院門口設置限時停車位，支持鼓勵住宅小區和機構停車位錯時共享．某醫院門口設置了限時停車場（停車時間不超過60分鐘），制定收費標準如下：停車時間不超過15分鐘的免費，超過15分鐘但不超過30分鐘收費3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場．甲、乙兩人相互獨立地來該停車場停車，且甲、乙的停車時間的概率如下表所示：
停車時間/分鐘
甲
乙
設此次停車中，甲所付停車費用為，乙所付停車費用為．
(1)在的條件下，求的概率；
(2)若，求隨機變量的分布列與數學期望．
4．（2024高三下·全國·專題練習）“九子游戲”是一種傳統的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.
(1)若，，設比賽結束時比賽的局數為，求的分布列與數學期望；
(2)設采用3局2勝制時乙獲勝的概率為，采用5局3勝制時乙獲勝的概率為，若，求的取值范圍.
5．（2024·河南三門峽·模擬預測）2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽
(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小王在初賽中答對的題目個數為，求的數學期望以及小王在已經答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；
(2)大學為鼓勵大學生踴躍參賽并取得佳績，對進入決賽的參賽大學生給予一定的獎勵.獎勵規則如下：已進入決賽的參賽大學生允許連續抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立.
（i）記一名進入決賽的大學生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；
（ii）大學數學系共有9名大學生進入了決賽，若這9名大學生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍.
參考答案：
1．(1)68
(2)①分布列見詳解，；②選擇方案二更劃算.
【分析】（1）根據直方圖估算平均數的方法直接計算即可；
（2）①先確定X的取值，然后根據超幾何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②確定實際付款金額Y的值，然后根據所給概率寫出分布列，即可計算出期望，通過比較期望大小即可作出判斷.
【詳解】（1）由直方圖可知，滿意度的平均數為：
.
（2）①摸到個紅球，返消費金額的，實際付款為；
摸到個紅球，返消費金額的，實際付款為，
所以的可能取值為，
因為，
所以，
的分布列為：
X 800 900 1000
P
所以（元）.
②若選擇方案二，記實際付款金額為Y，依題意，Y的可能取值為，
因為，
所以，Y的分布列為：
Y 800 900 950
P
所以，（元）
因為，所以選擇方案二付款更劃算.
2．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）先求每次從甲盒中取出紅球的概率，然后利用獨立重復試驗的概率即可求解；
（2）確定隨機變量的所有可能取值，求出每個值對應的概率，可得分布列，即可求得數學期望.
【詳解】（1）設“每次從甲盒中取出紅球”，“這3次中取出2次紅球”.
則，.
（2）所有可能的取值為0，1，2，3
，，
，
0 1 2 3
.
3．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據概率的性質求出，求出的概率及的概率可得答案；
（2）根據的值可得的取值，再求取值對應的概率可得分布列、期望.
【詳解】（1）根據題意可得，解得，
，解得，
甲所付停車費用為18元，乙所付停車費用為0元可得，
其概率為；
甲所付停車費用為0元，乙所付停車費用為18元可得，
其概率為；
甲所付停車費用為9元，乙所付停車費用為9元可得，
其概率為；
所以的概率，
可得在的條件下，
的概率為；
（2）的取值為0，3，6，9，15，18，
，
，
，
，
，
，
隨機變量的分布列為
所以隨機變量的數學期望
.
4．(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）根據題意，得到的所有可能取值為2，3，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解；
（2）分別求，結合，運算求解即可.
【詳解】（1）因為，所以比賽采用3局2勝制，的所有可能取值為2，3，
，
，
的分布列為
2 3
所以.
（2）由題意知，
.
由，得，
且，則，可得，
整理得，解得，
所以的取值范圍為.
5．(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）6道題中小王能答對4道，答錯2道，結合超幾何分布計算即可，再結合條件概率計算即可.
（2）由，運用導數研究其極大值即可.
（3）分析每名進入決賽的大學生獲得的獎金的期望，解不等式即可.
【詳解】（1）由題意知，的可能取值為，
則，
，
，
故的分布列為
0 1 2
則.
記事件：小王已經答對一題，事件：小王未進入決賽，
則小王在已經答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率.
（2）（i）由題意知，，
則，
令，解得或（舍），
當時，，當時，，
所以在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，
所以當時，有極大值，且的極大值為.
（ii）由題可設每名進入決賽的大學生獲得的獎金為隨機變量，
則的可能取值為，
，
，
，
，
所以，
所以，
即，整理得，
經觀察可知是方程的根，
故，
因為恒成立，
所以由可得，解得得，
又，所以的取值范圍為.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
3．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
4．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
6．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
二、多選題
7．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
三、填空題
8．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
9．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
四、解答題
11．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
12．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
參考答案：
1．B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
2．C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
3．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
4．A
【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.
【詳解】同時愛好兩項的概率為，
記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，
則，
所以.
故選:.
5．D
【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.
故選：D
6．B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
故選：B
7．ABD
【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.
【詳解】對于A，依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1接收1的3個事件的積，
它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；
對于B，三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，
是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，
它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；
對于C，三次傳輸，發送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；
對于D，由選項C知，三次傳輸，發送0，則譯碼為0的概率，
單次傳輸發送0，則譯碼為0的概率，而，
因此，即，D正確.
故選：ABD
【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.
8．64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
9．/．
【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出．
【詳解】因為，所以，因此．
故答案為：．
10．.
【分析】根據古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．
故答案為：．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據全概率公式即可求出；
（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，
所以當時，，
故．
【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推式，然后根據數列的基本知識求解．
12．(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發現》，安徽省皖南地區郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經初步確認，該遺址現存馬家浜文化區 崧澤文化區 良渚文化區 錢山漾文化區四大區域，總面積約6萬平方米.該遺址延續時間長 譜系完整，是長江下游地區少有的連續時間近4000年的中心性聚落.對認識多元化一體中華文明在皖南地區的演進方式具有重要的價值，南京大學歷史學院趙東升教授團隊現在對該遺址四大區域進行考古發掘，現安排包含甲 乙在內的6名研究生同學到這4個區域做考古志愿者，每人去1個區域，每個區域至少安排1個人，則甲 乙兩人安排在相同區域的方法種數為（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
2．（2024·湖南長沙·三模）在的展開式中，的系數是（ ）
A．168 B． C．1512 D．
3．（2024·河北保定·二模）有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東·二模）拋擲一枚質地均勻的硬幣次，記事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若與獨立，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·浙江金華·三模）某市高中數學統考（總分150分），假設考試成績服從正態分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為，，，四個等級.若某同學考試成績為99分，則該同學的等級為（ ）
（參考數據：，）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知某隨機變量的分布列如圖表，則隨機變量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
二、多選題
7．（2024·安徽·三模）下列關于概率統計的說法中正確的是（ ）
A．某人在10次答題中，答對題數為，則答對7題的概率最大
B．設隨機變量服從正態分布，若，則
C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則
D．兩個變量的相關系數為，則越小，與之間的相關性越弱
8．（2024·云南昆明·三模）在一個有限樣本空間中，事件發生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（ ）
A． B．A與相互獨立
C． D．
三、填空題
9．（2024·天津和平·一模）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數X的數學期望為 ；黨員甲能通過初試的概率為 .
10．（2023·山西·模擬預測）甲、乙兩名足球運動員進行射門比賽，約定每人射門3次，射進的次數多者贏，一樣多則為平局．若甲每次射門射進的概率均為，乙每次射門射進的概率均為，且每人每次射門相互獨立．現已知甲第一次射門未射進，則乙贏的概率為 ．
11．（2024·上海松江·二模）已知隨機變量服從正態分布，且，則 .
四、解答題
12．（2024·湖北·模擬預測）某基層工會擬通過摸球的方式對會員發放節日紅包.現在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數學期望.
13．（2024·重慶·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率．
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）
14．（2024·全國·模擬預測）向“新”而行，向“新”而進，新質生產力能夠更好地推動高質量發展．以人工智能的應用為例，人工智能中的文生視頻模型Sora（以下簡稱Sora），能夠根據用戶的文本提示創建最長60秒的逼真視頻．為調查Sora的應用是否會對視頻從業人員的數量產生影響，某學校研究小組隨機抽取了120名視頻從業人員進行調查，結果如下表所示．
Sora的應用情況 視頻從業人員 合計
減少 未減少
應用 70 75
沒有應用 15
合計 100 120
(1)根據所給數據完成上表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為Sora的應用與視頻從業人員的減少有關？
(2)某公司視頻部現有員工100人，公司擬開展Sora培訓，分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優秀”的員工才能應用Sora．
（ⅰ）求員工經過培訓能應用Sora的概率．
（ⅱ）已知開展Sora培訓前，員工每人每年平均為公司創造利潤6萬元；開展Sora培訓后，能應用Sora的員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元；Sora培訓平均每人每年成本為1萬元．根據公司發展需要，計劃先將視頻部的部分員工隨機調至其他部門，然后開展Sora培訓，現要求培訓后視頻部的年利潤不低于員工調整前的年利潤，則視頻部最多可以調多少人到其他部門？
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
參考答案：
1．C
【分析】6名同學分成4組，再把4組人分到4個區域，
【詳解】先將6名同學分成4組，則4個組的人數為或，
當甲 乙在2人組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法；
當甲 乙在3人組，甲 乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法，
再把4組人分到4個區域，所以安排方法種數為.
故選：C.
2．D
【分析】利用多項式展開性質及組合數的應用求解即可.
【詳解】原問題可以理解為8個相乘，要想得到，需要8個因式中有2個取項，1個取項，
還剩5個取常數項，由題意的系數為：.
故選：D
3．B
【分析】先將4個盒子進行全排，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，分別計算出排列數，即可得到答案.
【詳解】將4個盒子按順序拆開有種方法，
若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，
則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，
則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.
故選：B
4．B
【分析】分別求出，，，根據相互獨立事件概率乘法公式即可求解.
【詳解】拋擲一枚質地均勻的硬幣次，則基本事件總數為，
事件“n次中至多有一次反面朝上”，則n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上，
則，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，則，于是，
因為A與B獨立，所以，即，
分別代入，3，4，5，驗證，可得符合題意.
故選：B
5．B
【分析】根據正態分布的性質即可求解.
【詳解】數學測試成績服從正態分布，
則，，
由于等級的概率之和為，
所以
，而即
故為A等級，為B等級，為C等級， 為D等級，
故99分為B等級．
故選：B．
6．C
【分析】根據概率和為，求得，再根據分布列求，再求即可.
【詳解】由題可知：，解得，則；
故.
故選：C.
7．AC
【分析】對于A，可利用不等式法求解；對于B，根據正態分布曲線的對稱性即可驗算；對于C，將樣本中心坐標代入回歸方程即可驗算；對于D，由相關系數的意義即可判斷.
【詳解】對于，故，
令，解得，故，故A正確；
對于，故錯誤；
對于，回歸直線必過樣本中心，可得，解得，故C正確；
對于，兩個變量的相關系數為越小，與之間的相關性越弱，故D錯誤.
故選：AC.
8．ABD
【分析】A選項，根據互斥得到，；B選項，根據求出，故，B正確；C選項，A與互斥，故與互斥，故C正確；D選項，根據求出D正確.
【詳解】A選項，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；
B選項，，
即，故，
故，A與相互獨立，B正確；
C選項，A與互斥，故與互斥，故，C錯誤；
D選項，
，
因為，故，D正確.
故選：ABD
9．
【分析】求出隨機變量的各個取值的概率，求期望，據此求即可.
【詳解】由題意，的可能取值為，
則，，
，，
所以；
黨員甲能通過初試的概率為.
故答案為：；
10．
【分析】利用獨立事件的乘法公式可得答案.
【詳解】若乙射進1次，則他贏的概率為；
若乙射進2次，則他贏的概率為；
若乙射進3次，則他贏的概率為；
故乙贏的概率為.
故答案為：.
11．/
【分析】根據題意，結合正態分布的對稱性，即可求解.
【詳解】因為隨機變量服從正態分布，且，
可得.
故答案為：.
12．(1)
(2)分布列見解析，96
【分析】（1）利用正難則反的原則即可得到答案；
（2）按步驟得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【詳解】（1）設事件“一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元”，
因為每次摸出的球不放回袋中，所以.
（2）由已知得，，
因為每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元紅包的概率分別為，，，
所以，，
，
，，
所以得分布列為
80 90 100 110 120
所以.
13．(1)
(2)
(3)第41天該茶品價格“不變”的概率估計值最大
【分析】（1）計算表格中的“上漲”，“下跌”，“不變”的天數，利用頻率估計概率即可求解；
（2）利用頻率估計概率求相應的頻率，結合獨立事件概率乘法公式運算求解；
（3）通過統計表格中前一天上漲，后一天發生的各種情況的概率進行推斷.
【詳解】（1）由表知：40天中價格“上漲”15天，“下跌”15天，“不變”10天，
可知該茶品價格“上漲”、 “下跌”、“不變”的頻率分別為為、、，
利用頻率估計概率，所以估計該農產品價格“上漲”的概率為.
（2）由（1）利用頻率估計概率可知：“上漲”、 “下跌”、 “不變”的概率分別為、、，
估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率為
.
（3）研究：40天中除去最后一天價格“上漲”的有14天，
價格“上漲”后仍“上漲”的有4次，概率為，
價格“上漲”后“下跌”的有2次，概率為，
價格“上漲”后“不變”的有8次，概率為，
所以第41天該茶品價格“不變”的概率估計值最大.
14．(1)表格見解析，有關
(2)（ⅰ）；（ⅱ）14人
【分析】（1）先根據已知條件，列出列聯表，，做出零假設，計算的值，即可得出結論.
（2）根據獨立事件同時發生的概率計算公式可求解；根據期望的應用解決問題.
【詳解】（1）依題意，列聯表如下：
Sora的應用的情況 視頻從業人員 合計
減少 未減少
應用 70 5 75
沒有應用 30 15 45
合計 100 20 120
零假設Sora的應用與視頻從業人員的減少無關，
由列聯表中數據得，，
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為Sora的應用與視頻從業人員的減少有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．
（2）（ⅰ）設“員工第輪獲得優秀”，且相互獨立．
設“員工經過培訓能應用Sora”，則
，故員工經過培訓能應用Sora的概率是．
（ⅱ）設視頻部調人至其他部門，為培訓后視頻部能應用Sora的人數，
則，
因此，
調整后視頻部的年利潤為（萬元），
令，解得，又，所以．
因此，視頻部最多可以調14人到其他部門．
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