資源簡介

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專題06 函數的概念及其表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】函數的概念 7
【考點2】求函數的定義域 10
【考點3】求函數的解析式 14
【考點4】分段函數 20
【分層檢測】 26
【基礎篇】 26
【能力篇】 32
【培優篇】 35
考試要求：
1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.
2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
1.函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一個函數
(1)前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.
(2)結論：這兩個函數為同一個函數.
3.函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.分段函數表示的是一個函數.
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集.
1.直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象至多有1個交點.
2.注意以下幾個特殊函數的定義域：
(1)分式型函數，分母不為零的實數集合.
(2)偶次方根型函數，被開方式非負的實數集合.
(3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.
(5)正切函數y＝tan x的定義域為.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
2．（2023·北京·高考真題）設，函數，給出下列四個結論：
①在區間上單調遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結論的序號是 ．
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
5．（2022·北京·高考真題）函數的定義域是 ．
6．（2021·浙江·高考真題）已知，函數若，則 .
參考答案：
1．1
【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.
【詳解】函數，所以.
故答案為：1
2．②③
【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結論；對于①，取，結合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結合圖像可知的范圍；對于④，取，結合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.
【詳解】依題意，，
當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調遞增的射線；
當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調遞減的曲線；
對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調遞增，故①錯誤；
對于②，當時，
當時，；
當時，顯然取得最大值；
當時，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對于③，結合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，
此時，，故③正確；
對于④，取，則的圖像如下，

因為，
結合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，
聯立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.
故答案為：②③.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.
3． /
【分析】結合分段函數的解析式求函數值，由條件求出的最小值,的最大值即可.
【詳解】由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
4． 0（答案不唯一） 1
【分析】根據分段函數中的函數的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據定義域討論可知或， 解得 .
【詳解】解：若時，，∴；
若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時，
當時，單調遞減，，
當時，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
5．
【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因為，所以，解得且，
故函數的定義域為；
故答案為：
6．2
【分析】由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
【考點1】函數的概念
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若函數對任意，都滿足，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山東聊城·二模）已知函數為上的偶函數，且當時，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知函數，則下列判斷正確的是（ ）
A．若，且，則 B．若，且，則
C．是偶函數 D．在區間上單調遞增
三、填空題
5．（2023·山東·模擬預測）若函數的圖像經過點，且在上是減函數，則 ．
6．（2024·黑龍江·二模）已知函數滿足：，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據已知條件，結合選項中的函數解析式，令，可排除A、B、D 三個選項，利用指數運算判斷C對于任何，都滿足.
【詳解】A：若，則將分別代入，中，
得，，，故A不符合題意；
B：若，則將分別代入，中，
得，，，故B不符合題意；
C：若，則，
故C符合題意；
D：若，則將分別代入，中，
得，，，故D不符合題意．
故選：C．
2．A
【分析】根據偶函數的定義可得，結合函數解析式和對數的運算性質即可求解.
【詳解】因為為偶函數，所以，
則.
故選：A
3．BD
【分析】根據函數的定義分別檢驗各選項即可判斷．
【詳解】對于A：由圖象可知定義域不是，不滿足；
對于B：定義域為，值域為的子集，故符合函數的定義，滿足；
對于C：集合中有的元素在集合中對應兩個值，不符合函數定義，不滿足；
對于D： 由函數定義可知D滿足．
故選：BD．
4．AD
【分析】分別將和代入計算可得A正確，B錯誤；顯然當時，不是偶函數，即C錯誤；求導利用導函數可得在上恒成立，即D正確.
【詳解】對于A，時，，
所以，所以，A正確；
對于B，時，，
可得，解得且，即B錯誤；
對于C，當，，故C錯誤；
對于D，易知，
當時，，
所以在區間上單調遞增，即D正確；
故選：AD
5．
【分析】因函數圖像過，且在上是減函數，根據一次函數的性質，，可得.
【詳解】因為函數的圖像經過點，且在上是減函數，
所以，且，
得或（舍去）．
故答案為：．
6．
【分析】借助三角恒等變換公式可得，即可得解.
【詳解】，
則，
則
.
故答案為：.
反思提升：
（1）函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
（2）構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
【考點2】求函數的定義域
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）以下四個選項中的函數，其函數圖象最適合如圖的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖北·階段練習）已知函數的定義域是，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·山西呂梁·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要條件
C．若函數的定義域為，則函數的定義域為
D．記為函數圖象上的任意兩點，則
4．（2022·安徽合肥·模擬預測）下列說法不正確的是（ ）
A．函數 在定義域內是減函數
B．若是奇函數，則一定有
C．已知函數 在 上是增函數，則實數的取值范圍是
D．若的定義域為，則 的定義域為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京·開學考試）設函數的定義域為，能說明“若函數在上的最大值為，則函數在上單調遞增“為假命題的一個函數是 .
6．（2024·浙江·模擬預測）若分式不論x取何值總有意義，則點關于x軸的對稱點在第 象限．
參考答案：
1．C
【分析】利用排除法，結合函數值的符號和定義域逐項分析判斷．
【詳解】根據題意，用排除法分析：
對于選項A：，當時，有，不符合題意；
對于選項B：當時，，不符合題意；
對于選項D：的定義域為，不符合題意；
故選：C．
2．A
【分析】由函數定義域的概念及復合函數定義域的求解方法運算求解即可.
【詳解】因為函數的定義域是，所以，
所以，所以函數的定義域為，
所以要使函數有意義，則有，解得，
所以函數的定義域為.
故選：A.
3．BCD
【分析】根據全稱存在量詞命題的否定形式，判斷A，根據充分，必要條件的定義，判斷B，根據復合函數的定義域公式，判斷C，利用作差法判斷D.
【詳解】對于A選項，“，”的否定為“”，故A錯誤；
對于B選項，由，得，故或，
因此是的充分不必要條件，故B正確；
對于C選項，中，，中，，即，故C正確；
對于D選項，
，
,
，
，故D正確.
故選：BCD
4．ABC
【分析】
對于AB，取，即可說明；對于C，分段討論，但要注意結合，由此即可判斷；對于D，由即可判斷.
【詳解】對于AB，若，因為，是奇函數，但，時，無意義，故AB描述不正確，符合題意；
對于C，已知函數 在 上是增函數，
首先當時，單調遞增，則，
其次當時，（對稱軸為）單調遞增，則，即，
但若要保證函數 在 上是增函數，還需滿足，即，
所以實數的取值范圍是 ，故C描述不正確，符合題意；
對于D，若的定義域為，則的定義域滿足，解得，故D描述正確，不符合題意.
故選：ABC.
5．，，（答案不唯一）
【分析】根據題意，可以構造在定義域為上，先減后增的函數，滿足最大值為1，即可得答案.
【詳解】根據題意，要求函數的定義域為，在上的最大值為，但在上不是增函數，
可以考慮定義域為上，先減后增的函數的二次函數，
函數，符合，
故答案為：，，（答案不唯一）.
6．一
【分析】
先通過分式的分母恒不為零求出的范圍，根據的范圍可得點所在象限，進而可得其關于x軸的對稱點所在象限.
【詳解】分式不論x取何值總有意義，
即方程無解
所以，解得，
所以，
所以點在第四象限，其關于x軸的對稱點在第一象限.
故答案為：一.
反思提升：
1.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考點3】求函數的解析式
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒．出于對學生身體健康的考慮，相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為，函數的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）已知函數滿足，則（ ）
A． B． C．是偶函數 D．是奇函數
4．（2023·河北石家莊·三模）已知函數圖象上的點都滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．
B．若直線與函數的圖象有三個交點，且滿足，則直線的斜率為.
C．若函數在處取極小值，則.
D．存在四個頂點都在函數的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個.
三、填空題
5．（2022·山東淄博·一模）以模型去擬合一組數據時，設，將其變換后得到線性回歸方程，則 ．
6．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知函數滿足.若對于恒成立，則實數a的取值范圍是 .
參考答案：
1．B
【分析】將換成，得到即，聯立方程組求得 的解析式，進而求得的值.
【詳解】由，將換成，可得，
即，
聯立方程組，解得，
所以.
故選：B.
2．A
【分析】函數的圖像過點，代入函數的解析式求得未知系數a，解函數不等式即可.
【詳解】根據函數的圖像，可得函數的圖像過點，
由函數圖像連續，代入函數的解析式，可得，解得，
所以，
令，可得或，
解得或．
所以如果7：30學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是7：00．
故選：A．
3．AC
【分析】利用賦值法求得，，可判斷各選項的正誤。
【詳解】令，則，
令，則，解得或，
若，則恒成立，不合題意，故，A選項正確；
，則,，B選項錯誤；
函數，定義域為R，，
為偶函數，C正確，D錯誤.
故選：AC
4．ACD
【分析】由已知條件化同構，構造函數后求出的解析式，可判斷選項A，分類討論函數的極值情況，可判斷選項C，由過原點的直線和的對稱性，可判斷選項B，選項D.
【詳解】由得，，
注意到兩個高次項的底數與恰好滿足，
故有，
令，，
則等價于，
即
∵，為奇函數，
∴，
又∵，∴在上單調遞增，
∴由得，即，
由題意，即函數圖象上的點都滿足，
∴，故選項A正確；
對于B，∵，，
∴，
∴為奇函數，其圖象關于原點對稱.
當直線過原點且斜率存在時，設直線的方程為，
由直線和的對稱性知，若直線與函數的圖象有三個交點，且滿足，
則為坐標原點，不妨設，，（），
則由，消去，整理得，即，
∴，，
∴，即，
∴，
解得或或，即滿足題意的直線的斜率有，，，故選項B錯誤；
對于C，∵，
∴，
∴，令，則或，
當時，，，變化情況如下：
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減
當時，取極小值，
解得（舍）或；
當時，，，變化情況如下：
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減
當時，取極小值（舍），
綜上所述，若函數在處取極小值，則，故選項C正確；
對于D，由正方形和的對稱性知，設正方形四個頂點都在函數的圖象上，
則正方形的對角線與所在直線均過原點，斜率存在且不為，且，，
不妨設所在直線為，則與選項B判斷過程同理，，
設所在直線為，同理可得，
∵，∴，∴，
即，∴，
∴，∴，∴，
令，則，∴，∴，
∴等價于，
∵，∴有兩解，
即有兩組斜率，使，，
故存在四個頂點都在函數的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個，選項D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：本題解題關鍵是“同構”，通過“同構”構造函數，借助函數確定解析式.選項B和選項D的辨析，要利用好三次函數的對稱性.
5．
【分析】將回歸方程化為，再與模型比較系數，即可得到答案.
【詳解】由，得，，所以.
故答案為：.
6．
【分析】由，式中的x換成，聯立求得，從而，然后將，轉化為，利用在R上單調遞增求解.
【詳解】①，將①式中的x換成，得，
得，故.
所以由，得.
因為在R上單調遞增，
所以對于恒成立.
令，則，
令，得，令，得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，故，
解得.
故答案為：
反思提升：
函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【考點4】分段函數
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（23-24高二下·湖南·階段練習）已知函數，若的值域是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·廣東肇慶·模擬預測）已知定義在上的偶函數對任意的滿足，當時，，函數且，則下列結論正確的有（ ）
A．是周期為的周期函數
B．當時，
C．若在上單調遞減，則
D．若方程在上有個不同的實數根，則實數的取值范圍是
4．（2024·河北保定·二模）已知函數，函數，且，定義運算設函數，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小值為
B．若在上單調遞增，則k的取值范圍為
C．若有4個不同的解，則m的取值范圍為
D．若有3個不同的解，，則
三、填空題
5．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知函數的最小值為-1，則 .
6．（2024·北京平谷·模擬預測）已知函數，設．
給出下列四個結論：
①當時，不存在最小值；
②當時，在為增函數；
③當時，存在實數b，使得有三個零點；
④當時，存在實數b，使得有三個零點．
其中正確結論的序號是 ．
參考答案：
1．B
【分析】利用的圖象關于直線對稱，可知向左平移個單位為偶函數，再利用恒成立,知對應待定系數相等，即可解決問題.
【詳解】依題意，為偶函數，
當時，，
由可知，
解得，所以.
故選：B
2．C
【分析】畫出函數圖像，由分段函數中定義域的范圍分別求出值域的取值范圍再結合二次函數和對數運算可得正確結果.
【詳解】當時，，
因為的值域是，又在上單調遞減，
所以.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據周期性定義可知A正確；由，可知B錯誤；
由分段函數單調性可確定兩段函數單調性及分段處大小關系，由此得到不等式組知C正確；
分別在和兩種情況下，采用數形結合的方式確定不等關系，解得的范圍，知D正確.
【詳解】對于A，，是周期為的周期函數，A正確；
對于B，當時，，，
又是周期為的周期函數，當時，，B錯誤；
對于C，若在上單調遞減，則，，C正確；
對于D，當時，若在上有個不同的實數根，則大致圖象如下圖所示，
，解得：；
當時，若在上有個不同的實數根，則大致圖象如下圖所示，
，解得：；
綜上所述：的取值范圍為，D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：已知函數零點(方程根)的個數求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
4．AC
【分析】對A，對分類討論，并作出分段函數的圖象求出最小值即可；對B，令，求出，根據其單調性得到不等式，解出即可；對C和D結合圖象轉化為直線與函數圖象交點個數，并結合函數對稱性即可判斷.
【詳解】對A，
令，解得.
當時，作出函數和的圖象，如圖1所示.
此時，，顯然當時，，
當時，作出函數的圖象，如圖2所示.
，，所以的最小值為，
綜上的最小值為，A正確.
對B，令，解得，.
若在上單調遞增，則，解得.
因為當時，在上單調遞增，
所以k的取值范圍為，B錯誤.
對CD，若有3個不同的解，，，則結合圖象可得
或，D錯誤.
若有4個不同的解，則，C正確.
故選：AC.
【點睛】關鍵點點睛：本題B選項的關鍵是結合圖象找到臨界位置，從而得到不等式，CD選項應結合函數圖象，轉化為直線與函數圖象交點個數問題.
5．2
【分析】
由題意得出函數在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【詳解】當時，.
因為的最小值為-1，所以函數在上取得最小值-1，
則，解得.
故答案為：2.
6．②④
【分析】結合一次函數與二次函數的性質，利用分段函數的性質與函數的零點逐項判斷.
【詳解】對于①：當時，，
易知函數在上的最小值為0，
函數，在內單調遞增，即，
所以時，函數的最小值為0，故①錯誤；
對于②：當時，函數，在內單調遞減，在內單調遞增，
函數的對稱軸為，所以在內單調遞增，
又，即，解得，
綜上可知，當時，在為增函數，故②正確；
對于③：當時，
函數，則，即，存在一個零點；
函數，在內單調遞增，與存在一個交點，
又，即，解得或，
于是時，，如下圖所示：
綜上可知，當時，存在實數b，使得至多有兩個零點，故③錯誤；
④當時，
函數，在內單調遞減，在內單調遞增，
則與存在兩個個交點，
由③知，與存在一個交點，，
又，即，解得或，
于是時，如下圖所示：
綜上可知，當時，存在實數b，使得有三個零點.
故答案為：②④.
反思提升：
1.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
2.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·二模）已知對于任意，都有，且，則（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）對比函數和的圖象與性質，有下面四個結論：①它們的定義域不同，但值域相同；②它們在各自的定義域內都是增函數；③它們在各自的定義域內都是奇函數；④它們中一個是周期函數，另一個不是周期函數．其中所有正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023·四川成都·模擬預測）給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陜西銅川·三模）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·海南海口·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．的定義域為R B． 是奇函數
C．在上單調遞減 D． 有兩個零點
6．（2021·江西·模擬預測）下列各組函數中表示同一個函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·貴州遵義·一模）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點 B．函數是奇函數
C．在上單調遞減 D．函數的最小值為
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·二模）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
9．（2022·上海嘉定·一模）若函數的反函數的圖像經過點，則 .
10．（2024·遼寧沈陽·二模）已知函數，則 ．
四、解答題
11．（2021·江蘇·一模）已知向量，，若，求：
（1）實數m的取值范圍；
（2）函數定義域.
12．（2022·山東濟南·二模）已知函數
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
參考答案：
1．D
【分析】由題意有，得，求值即可.
【詳解】由，當時，有，
由，則有.
故選：D
2．C
【分析】分別研究函數和的性質，即可判斷.
【詳解】函數，定義域為，值域為，在定義域上單調遞增，
是奇函數，但不是周期函數；
函數，定義域為，值域為，
在區間上單調遞增，但是函數不連續，不在定義域上單調遞增，是奇函數，是周期為的周期函數，
所以①③④正確.
故選：C.
3．D
【分析】根據函數定義逐項判斷ABC，采用換元的方法求解D中函數的解析式并進行判斷.
【詳解】對于A，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；
對于B，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；
對于C，當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；
對于D，令，則，所以，
令，所以，
所以，
所以，符合.
故選：D.
4．C
【分析】根據一次函數以及對數函數的單調性，結合分段函數的性質即可求解.
【詳解】函數在上單調遞減，
解得.
故選：C.
5．BC
【分析】根據函數解析式，結合函數性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對：的定義域為，錯誤；
對：，且定義域關于原點對稱，故是奇函數，正確；
對：當時，，單調遞減，正確；
對：因為，，所以無解，即沒有零點，錯誤．
故選：.
6．AB
【分析】確定函數的定義域與對應法則是否相同即可判斷．
【詳解】A中兩個函數定義域都是，對應法則都是乘以2后取絕對值，是同一函數；
B中兩個函數定義域都是，對應法則都是取平方，是同一函數；
C中定義域是，的定義域是，不是同一函數；
D中的定義域是，的定義域是，不是同一函數．
故選：AB．
7．CD
【分析】求出函數零點判斷A；由奇函數定義判斷B；由分段函數的單調性判斷C；求出最小值判斷D.
【詳解】函數，
對于A，由，得或，A錯誤；
對于B，，而，，函數不是奇函數，B錯誤；
對于C，函數在上單調遞減，在上單調遞減，且，
因此在上單調遞減，C正確；
對于D，當時，，當時，，當且僅當時取等號，
因此函數的最小值為，D正確.
故選：CD
8．
【分析】借助函數定義域的定義計算即可得.
【詳解】由函數的定義域為，則有，
令，解得.
故答案為：.
9．4
【分析】由題意可得，由此可求得實數的值，進而可得，即可得解.
【詳解】由于函數的反函數的圖象經過點，
則，解得，
∴函數，
∴.
故答案為：4.
10．
【分析】根據分段函數解析式結合自變量范圍求解即可.
【詳解】，，
，
故答案為：
11．（1）；（2）.
【分析】（1）根據數量積的坐標表示，求解不等式即可得出答案；
（2）根據（1）中m的取值范圍，再運用指數函數的單調性求解定義域即可.
【詳解】（1）由題意得，，
，即m的取值范圍為；
（2）由題意知，即，
由（1）知，根據指數函數的單調性得：，解得或，
所以函數的定義域為.
12．(1)3或-2
(2)
【分析】（1）結合分段函數解析式列方程，由此求得的值.
（2）首先判斷的取值范圍，然后解一元二次不等式求得的取值集合.
【詳解】（1）當時，，
解得或（舍去）；
當時，，
解得.
∴m的值為3或-2.
（2）對任意實數，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建莆田·三模）已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）若函數的定義域為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是偶函數
C． D．若方程有4個不同的實數根，則
三、填空題
3．（2021·四川南充·模擬預測）具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數．給出下列函數：①；②；③其中滿足“倒負”變換的函數是 ．
四、解答題
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知，，點的坐標是．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若點在坐標軸上，且使得，求點的坐標．
參考答案：
1．A
【分析】設，得，構造等比數列求得，即可求解.
【詳解】設在數列中，，則，，
從而，故是首項和公比都是2的等比數列.
由等比數列的通項公式可得，則，
故.
故選：A
2．BCD
【分析】根據函數定義域的求解可判定A，根據函數奇偶性的定義即可判定B，根據對數的運算即可判定C，根據導數求解函數單調性，即可結合函數的最值以及奇偶性作出函數圖象，結合函數圖象即可求解D.
【詳解】選項A：由對數函數可知，得，所以函數的定義域，所以A錯誤．
選項B：因為函數的定義域關于原點對稱，，所以是偶函數，所以B正確．
選項C：因為，
，所以C正確．
對于D：因為是偶函數，所以只需要討論，時函數的情況即可，
當時，，所以，令，解得，
易知當時，單調遞減，當時，單調遞增，
所以的最小值為，且時，．作出的大致圖象和直線，
如圖，若方程有4個不同的實數根，則的圖象與直線有4個不同的交點，所以的取值范圍為． 所以D正確．
故選：BCD
3．②③/③②
【分析】根據“倒負”變換的函數的定義，依次代入判斷分析即得解
【詳解】①，所以不符合題意；
②，所以符合題意；
③，當時，故，當時顯然滿足題意，當時，，故符合題意
故答案為：②③
4．(1)，
(2)或或或
【分析】
（1）作軸，解直角三角形即可求出點，的坐標，利用待定系數法可求解；
（2）由題意可得，，依據點在坐標軸上，設或，根據，即可求得點的坐標.
【詳解】（1）
作軸，在，，，
所以，，所以，
因為在反比例函數的圖象上，
所以，所以反比例函數為，因為在的圖象上，
所以，把，兩點的坐標代入，則，
解得，
所以一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；
（2）由，令，則，令，則，
所以，，所以，
若點在軸上，設，則，
由可得，解得或，
所以點或，
若點在軸上，設，則，
由可得，解得或，
所以點或，
綜上所述，點的坐標為或或或.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·四川南充·三模）已知函數的定義域均為R，函數的圖象關于原點對稱，函數的圖象關于y軸對稱，，則（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多選題
2．（2024·全國·一模）已知函數的定義域為，且滿足①；②；③當時，，則（ ）
A． B．若，則
C． D．在區間是減函數
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）記表示在區間上的最大值，則取得最小值時， .
參考答案：
1．B
【分析】利用題設得到①和②，又由，結合①式，推得的周期為12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【詳解】由函數的圖象關于原點對稱，，
即，即①，
由函數的圖象關于y軸對稱，可得②，
由可得，又得，
兩式相加，，將①式代入，得，
則得，將②式代入得，，則，
于是，即的周期為12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查抽象函數的對稱性應用，屬于難題.
解題關鍵在于根據中心對稱和軸對稱得出函數關系式：①和②，再由利用消元思想，轉化為關于的關系式是最關鍵之處，其次是利用的關系式求得的周期是第二關鍵，之后賦值求得即可得解.
2．BC
【分析】根據題意求出的解析式，然后就可逐項求解判斷.
【詳解】由題意得當時，令，則，
因為，所以，
當時，令，則，
又因為，所以，即，
但在時不成立，
若有且，則得，
這時總可以找到，使，所以,
即，此式與矛盾，即，
從而，
對A：，故A錯誤；
對B：，即，即，故B正確；
對C：，故C正確；
對D：當，為增函數，故D錯誤；
故選：BC.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要是根據題中給出的3個條件進行合理運用求出函數的解析式，在求解析式時需要分情況討論并且要巧妙的當時設，當時設，再結合題中條件從而可求解.
3．/0.125
【分析】根據題意，取得最小值，即為在區間上的最大值取得最小值，先用分段函數表示在區間上的最大值，再根據圖象求分段函數的最小值即可.
【詳解】取得最小值，
即為在區間上的最大值取得最小值，
因為的對稱軸，且，
所以的最大值為或，
當時，即，
所以 ，
當時，取最小值，最小值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查 函數的最值，關鍵在于理解題意，取得最小值，即為在的最大值取得最小值，所以先要將的最大值表示出來，再用分段函數的性質即可.
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專題06 函數的概念及其表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】函數的概念 3
【考點2】求函數的定義域 4
【考點3】求函數的解析式 6
【考點4】分段函數 7
【分層檢測】 9
【基礎篇】 9
【能力篇】 10
【培優篇】 11
考試要求：
1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.
2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
1.函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一個函數
(1)前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.
(2)結論：這兩個函數為同一個函數.
3.函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.分段函數表示的是一個函數.
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集.
1.直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象至多有1個交點.
2.注意以下幾個特殊函數的定義域：
(1)分式型函數，分母不為零的實數集合.
(2)偶次方根型函數，被開方式非負的實數集合.
(3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.
(5)正切函數y＝tan x的定義域為.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
2．（2023·北京·高考真題）設，函數，給出下列四個結論：
①在區間上單調遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結論的序號是 ．
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
5．（2022·北京·高考真題）函數的定義域是 ．
6．（2021·浙江·高考真題）已知，函數若，則 .
【考點1】函數的概念
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若函數對任意，都滿足，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山東聊城·二模）已知函數為上的偶函數，且當時，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知函數，則下列判斷正確的是（ ）
A．若，且，則 B．若，且，則
C．是偶函數 D．在區間上單調遞增
三、填空題
5．（2023·山東·模擬預測）若函數的圖像經過點，且在上是減函數，則 ．
6．（2024·黑龍江·二模）已知函數滿足：，則 ．
反思提升：
（1）函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
（2）構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
【考點2】求函數的定義域
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）以下四個選項中的函數，其函數圖象最適合如圖的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖北·階段練習）已知函數的定義域是，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·山西呂梁·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要條件
C．若函數的定義域為，則函數的定義域為
D．記為函數圖象上的任意兩點，則
4．（2022·安徽合肥·模擬預測）下列說法不正確的是（ ）
A．函數 在定義域內是減函數
B．若是奇函數，則一定有
C．已知函數 在 上是增函數，則實數的取值范圍是
D．若的定義域為，則 的定義域為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京·開學考試）設函數的定義域為，能說明“若函數在上的最大值為，則函數在上單調遞增“為假命題的一個函數是 .
6．（2024·浙江·模擬預測）若分式不論x取何值總有意義，則點關于x軸的對稱點在第 象限．
反思提升：
1.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考點3】求函數的解析式
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒．出于對學生身體健康的考慮，相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為，函數的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）已知函數滿足，則（ ）
A． B． C．是偶函數 D．是奇函數
4．（2023·河北石家莊·三模）已知函數圖象上的點都滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．
B．若直線與函數的圖象有三個交點，且滿足，則直線的斜率為.
C．若函數在處取極小值，則.
D．存在四個頂點都在函數的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個.
三、填空題
5．（2022·山東淄博·一模）以模型去擬合一組數據時，設，將其變換后得到線性回歸方程，則 ．
6．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知函數滿足.若對于恒成立，則實數a的取值范圍是 .
反思提升：
函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【考點4】分段函數
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（23-24高二下·湖南·階段練習）已知函數，若的值域是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·廣東肇慶·模擬預測）已知定義在上的偶函數對任意的滿足，當時，，函數且，則下列結論正確的有（ ）
A．是周期為的周期函數
B．當時，
C．若在上單調遞減，則
D．若方程在上有個不同的實數根，則實數的取值范圍是
4．（2024·河北保定·二模）已知函數，函數，且，定義運算設函數，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小值為
B．若在上單調遞增，則k的取值范圍為
C．若有4個不同的解，則m的取值范圍為
D．若有3個不同的解，，則
三、填空題
5．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知函數的最小值為-1，則 .
6．（2024·北京平谷·模擬預測）已知函數，設．
給出下列四個結論：
①當時，不存在最小值；
②當時，在為增函數；
③當時，存在實數b，使得有三個零點；
④當時，存在實數b，使得有三個零點．
其中正確結論的序號是 ．
反思提升：
1.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
2.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·二模）已知對于任意，都有，且，則（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）對比函數和的圖象與性質，有下面四個結論：①它們的定義域不同，但值域相同；②它們在各自的定義域內都是增函數；③它們在各自的定義域內都是奇函數；④它們中一個是周期函數，另一個不是周期函數．其中所有正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023·四川成都·模擬預測）給出下列個函數，其中對于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陜西銅川·三模）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·海南海口·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．的定義域為R B． 是奇函數
C．在上單調遞減 D． 有兩個零點
6．（2021·江西·模擬預測）下列各組函數中表示同一個函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·貴州遵義·一模）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點 B．函數是奇函數
C．在上單調遞減 D．函數的最小值為
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·二模）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
9．（2022·上海嘉定·一模）若函數的反函數的圖像經過點，則 .
10．（2024·遼寧沈陽·二模）已知函數，則 ．
四、解答題
11．（2021·江蘇·一模）已知向量，，若，求：
（1）實數m的取值范圍；
（2）函數定義域.
12．（2022·山東濟南·二模）已知函數
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建莆田·三模）已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）若函數的定義域為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是偶函數
C． D．若方程有4個不同的實數根，則
三、填空題
3．（2021·四川南充·模擬預測）具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數．給出下列函數：①；②；③其中滿足“倒負”變換的函數是 ．
四、解答題
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知，，點的坐標是．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若點在坐標軸上，且使得，求點的坐標．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·四川南充·三模）已知函數的定義域均為R，函數的圖象關于原點對稱，函數的圖象關于y軸對稱，，則（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多選題
2．（2024·全國·一模）已知函數的定義域為，且滿足①；②；③當時，，則（ ）
A． B．若，則
C． D．在區間是減函數
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）記表示在區間上的最大值，則取得最小值時， .
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