資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【暑假預習講義】人教新版數學新八上
第二單元 全等三角形
03講 角的平分線的性質
學習目標：
1、使學生知道三角形的角平分線和中線的定義，并能熟練地畫出這兩種線段
2、能應用三角形的角平分線和中線的性質解決簡單的數學問題
【基礎知識】
一、角平分線
角平分線的性質
1.角的平分線的性質定理
　角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
　角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線
三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關的輔助線
在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；
在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
【例題精選】
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，小明進行如圖步驟尺規作圖，根據操作，對結論判斷正確的序號是（　　）
①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
【分析】利用基本作圖得到DG⊥BC，BD＝CD，則AD為△ABC的中線，則可對①進行判斷；再證明DG為△ABC的中位線，則可對②進行判斷；然后根據三角形面積公式對③④進行判斷．
【解答】解：由作法得DG垂直平分BC，
∴DG⊥BC，BD＝CD，
∴AD為△ABC的中線，所以①錯誤；
∵∠C＝90°，
∴DG∥AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴AC＝2DG，所以②正確；
BG＝AG，
∴S△ADC＝S△ABD，所以③正確；
S△ADG＝S△BDG，
∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正確．
故選：D．
【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了線段垂直平分線的性質和三角形面積公式。
例2 如圖，已知點P到△ABC三邊的距離相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周長為（　　）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
【分析】根據角平分線的定義和平行線的性質以及等腰三角形的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：∵點P到△ABC三邊的距離相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故選：B．
【點評】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵。
二、垂直平分線
線段的垂直平分線
定義：
經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．
性質：
性質1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
　 性質2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
要點詮釋：
線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.
三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.
【例題精選】
例1 如圖，以△ABD的頂點B為圓心，以BD為半徑作弧交邊AD于點E，分別以點D、點E為圓心，BD長為半徑作弧，兩弧相交于不同于點B的另一點F，再過點B和點F作直線BF．則作出的直線是（　　）
A．線段AD的垂線但不一定平分線段AD
B．線段AD的垂直平分線
C．∠ABD的平分線
D．△ABD的中線
【分析】根據線段垂直平分線的作法解答即可．
【解答】解：由題意可知，BF是線段ED的垂直平分線，垂直AD但不一定平分AD，
故選：A．
【點評】此題考查線段垂直平分線，關鍵是根據線段垂直平分線的作法解答．
例2 如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于點E，垂足為點D，BE＝6cm，∠B＝15°，則AC等于（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根據三角形內角和定理求出∠BAC，根據線段垂直平分性質求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根據含30°角的直角三角形性質求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6cm＝3cm，
故選：D．
【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，含30°角的直角三角形性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用，能求出∠AEC的度數和AF＝BF是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．
【課后練習】
一．選擇題（共2小題）
1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（　　）
A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
2．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數為（　　）
A．130° B．95° C．90° D．85°
二．解答題
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．
（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數．（用含α的代數式表示）
2．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足為點E，交AC于點D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的長度．
3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂線交BC于E，連接AE，若AE＝4，求BC的長．
4．如圖，C，D是AB的垂直平分線上兩點，延長AC，DB交于點E，AF∥BC交DE于點F．求證：
（1）AB是∠CAF的角平分線；
（2）∠FAD＝∠E．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共2小題）
1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（　　）
A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周長為AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故選：D．
2．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數為（　　）
A．130° B．95° C．90° D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故選：B．
二．解答題
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．
（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數．（用含α的代數式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）當0°＜α＜90°時，∠EAN＝180°﹣2α；
當180°＞α＞90°時，∠EAN＝2α﹣180°．
2．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足為點E，交AC于點D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的長度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂線交BC于E，連接AE，若AE＝4，求BC的長．
【解答】解：如圖，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂線交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
4．如圖，C，D是AB的垂直平分線上兩點，延長AC，DB交于點E，AF∥BC交DE于點F．求證：
（1）AB是∠CAF的角平分線；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】證明：（1）∵點C是AB的垂直平分線上的點，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于點F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分線．
（2）∵點D是AB的垂直平分線上的點，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．

展開更多......

收起↑