資源簡介

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專題09 冪函數與二次函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】冪函數的圖象和性質 5
【考點2】求二次函數的解析式 9
【考點3】二次函數的圖象與性質 12
【分層檢測】 17
【基礎篇】 17
【能力篇】 23
【培優篇】 28
考試要求：
1.了解冪函數的概念；結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況；
2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
1.冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.
2.二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點 坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上是減函數； 在上是增函數 在上是增函數； 在上是減函數
1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當時，恒有f(x)>0；當時，恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數y＝xα中，α的取值影響冪函數的定義域、圖象及性質；
(2)冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限.
一、單選題
1．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
參考答案：
1．D
【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
2．D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
3．C
【分析】利用冪函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.
【詳解】因為，故.
故答案為：C.
4．C
【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設，由，因為 ，，所以
，
因為，當，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值．
【考點1】冪函數的圖象和性質
一、單選題
1．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知冪函數在上單調遞減，則實數的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
2．（2023·四川成都·一模）與有相同定義域的函數是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定義，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則與的全部元素之和等于3874
B．若表示實數集，表示正實數集，則
C．若表示實數集，則
D．若表示正實數集，函數，則2049屬于函數的值域
4．（23-24高一上·貴州·階段練習）現有4個冪函數的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空題
5．（2024·北京延慶·一模）已知函數在區間上單調遞減，則的一個取值為 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則與的圖象交點的縱坐標之和為 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據冪函數的定義，求得或，結合冪函數的單調性，即可求解.
【詳解】由函數為冪函數，可得，
即，解得或，
當時，函數在上單調遞減，符合題意；
當時，函數在上單調遞增，不符合題意.
故選：A.
2．D
【分析】求出各函數的定義域，即可得出合適的選項.
【詳解】對于函數，有，即函數的定義域為，
對于A選項，函數的定義域為，A不滿足；
對于B選項，函數的定義域為，B不滿足；
對于C選項，對任意的，，即函數的定義域為，C不滿足；
對于D選項，函數的定義域為，D滿足.
故選：D.
3．BD
【分析】對于A：根據題意可得，，即可得結果；對于B：根據題意結合指數函數的值域分析判斷；對于C：根據題意結合冪函數值域分析判斷；對于D：根據題意取特值檢驗即可.
【詳解】對于選項A：因為，
根據所給定義可得，，
則與的全部元素之和等于3872，故選項A錯誤；
對于選項B：，故選項B正確；
對于選項C：，表示冪函數的值域，
可知冪函數的值域為，即，故選項C錯誤；
對于選項D：因為，
當時，則，
可得，故選項D正確.
故選：BD.
4．AB
【分析】根據冪函數的圖象和性質結合已知圖象分析判斷即可.
【詳解】對于冪函數，若函數在上單調遞增，則，若函數在上單調遞減，則，所以，D選項錯誤；
當時，若的圖象在的上方，則，若的圖象在的下方，則，
所以，C選項錯誤；
因為當時，指數越大，圖象越高，所以，
綜上，，AB選項正確.
故選：AB
5．（不唯一）
【分析】根據冪函數的單調性奇偶性即可得解.
【詳解】因為在上單調遞增，又在區間上單調遞減，
所以可以為偶函數，不妨取，
此時，函數定義域為，
且，故為偶函數，
滿足在區間上單調遞減.
故答案為：（不唯一）
6．2
【分析】分析函數的奇偶性，由圖象的平移變換求解即可.
【詳解】對于，可以把的圖象看作：
由的圖象向上平移1個單位長度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個單位長度得到；
對于的圖象可看作由
的圖象向上平移1個單位長度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個單位長度得到．
易知與都為奇函數，
則易知與的圖象共有兩個關于原點對稱的交點，且交點的縱坐標之和為0．
因為將函數圖象向右平移不改變與兩函數圖象交點處函數值的大小，
所以與的圖象交點的縱坐標之和為0，
又將函數圖象向上平移1個單位長度會使得原交點處的函數值都增加1，
則與的圖象的兩個交點的縱坐標與與的圖象兩個交點的縱坐標相比都增加1，
故與的圖象交點的縱坐標之和為2．
故答案為：2
反思提升：
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
(2)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.
(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.
【考點2】求二次函數的解析式
一、單選題
1．（2023高一·江蘇·專題練習）函數在的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西·模擬預測）設函數的定義域為，且，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）若正數，滿足，則（ ）
A．的最大值是
B．的最小值為
C．當時，
D．的最小值為
4．（2023·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的且．若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·湖北武漢·二模）已知動點的軌跡方程為，其中，則的最小值為 .
6．（2021·江蘇蘇州·三模）已知函數f(x)同時滿足①；②在[1，3]上單調遞減；③.該函數的表達式可以是f(x)= .
參考答案：
1．B
【分析】利用三角恒等變換結合換元法，最后利用二次函數的值域求解即可.
【詳解】函數，
令，，
因為，所以，
，對稱軸為，圖象開口向下，
當時，取得最大值，，
當時，取得最小值，，
所以在的值域為
故選：B
2．D
【分析】根據題意，通過賦值法求得，即可聯立方程解出.
【詳解】由題意可得①；②．
令，由①得：，
令，由②得，因為，
所以，即.
令，由①得，
解得，所以．
故選：D．
3．ACD
【分析】ABC項，利用均值不等式和“1”的代換求解，D項，消元利用二次函數求最值.
【詳解】對于A，因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立，故選項A正確；
對于B，因為，，
所以，
所以的最小值為，
當且僅當時，即時，等號成立，故選項B錯誤；
對于C，因為，所以．
當且僅當，即時，等號成立，
又因為，所以，此時，故選項C正確；
對于D，由題知，
則，
當時取最小值，最小值為，故選項D正確.
故選：ACD．
4．BD
【分析】設，根據題意，求得，由，得到，設，得到，結合三角函數的性質，逐項計算，即可求解.
【詳解】設二次函數，
因為，令，可得，故，所以，
令，得，故，即；
又因為，即，解得，所以，
由，可得，
設，即，
從而，故A錯誤，B正確；
又由
，所以C錯誤、D正確．
故選：BD．
5．/
【分析】令，由，，轉化為，進行求解.
【詳解】令，則且，
則
，當且僅當取等號.
故答案為：
6．
【分析】根據題意構造符合題意的二次函數即可.
【詳解】由可知：關于對稱；可設f(x)為二次函數，
又且f(x)在[1，3]上單調遞減，
所以可設符合題意.
故答案為：
反思提升：
求二次函數解析式的方法
【考點3】二次函數的圖象與性質
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上有最大值或最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）若函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）若函數，則（ ）
A．為偶函數 B．的圖像關于 對稱
C．在上有4個零點 D．在上單調遞減
4．（2024·河南信陽·模擬預測）若函數在上單調，則實數的值可以為（ ）
A． B． C． D．3
三、填空題
5．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
6．（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍為 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據開口向上，故需在區間上有最小值，且，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】要使函數在區間上有最大值或最小值，
由于開口向上，
故需函數在區間上有最小值，且．
該函數圖像的對稱軸為直線，所以，
解得，
所以，且，即實數的取值范圍為．
故選：B．
2．C
【分析】由題意，根據二次函數的圖象與性質建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】令，
則或或或
解得或，
即實數m得取值范圍為.
故選：C．
3．ABD
【分析】先通過二倍角公式將函數化簡，進而化為，進而結合三角函數的性質及二次函數的性質求得答案.
【詳解】由題意，.
對A，，A正確；
對B，，則函數的圖像關于對稱，B正確；
對C，令，而，則或或或或，C錯誤；
對D，時，，，且當x增大時，減小，此時減小，即函數為減函數，D正確.
故選：ABD.
4．BD
【分析】分別討論和兩種情況，結合二次函數的圖像分析，即可得到答案.
【詳解】①當，即時，，所以的對稱軸為，則的圖象如下：
結合圖象可知，要使函數在上單調，則或，解得：或，即或；
②當，即或，令，則的對稱軸為，則的圖象如下：
結合圖象可知，要使函數在上單調，
則，或，或，或
解得：，或，
綜上：或；
故選：BD
5．
【分析】分析函數的性質，借助函數單調性和代入求解不等式作答.
【詳解】當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，是增函數，且，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，
則當，即時，恒有成立，則，
當時，，不等式化為，解得，則，
所以不等式的解集為.
故答案為：
6．
【分析】
利用分段函數的值域是各段值域的并集，結合二次函數的單調性列不等式求解即可.
【詳解】當時，
若，可得；
若，，函數的值域不可能為；
②當時，，
所以函數在 ，上單調遞增，
若函數的值域為，只需，可得．
由上知，實數a的取值范圍為．
故答案為：
反思提升：
1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.
3.閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.
4不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在中，為線段的一個三等分點，.連接，在線段上任取一點，連接，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2024·遼寧·一模）若函數在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（20-21高三上·遼寧遼陽·期末）下列函數中是奇函數，且值域為的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·海南·模擬預測）下列函數最小值為2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·甘肅平涼·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，設，則a、b、c的大小用小于號連接為 ．
9．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數的最小值為3，則 .
10．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數，則的值域為 ．
四、解答題
11．（2021·甘肅天水·模擬預測）已知冪函數在上為增函數.
（1）求實數的值；
（2）若在上為減函數，求實數的取值范圍.
12．（2024·山東·二模）已知是二次函數，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數的最小值和最大值．
參考答案：
1．A
【分析】求出值域，得到，故A是B的真子集，得到答案.
【詳解】由冪函數的性質可知，則A是B的真子集，
則是的充分不必要條件.
故選：A
2．C
【分析】根據在線段上得到，結合已知條件得到，和的關系式，最后轉化為二次函數求最小值.
【詳解】在線段上，，，
為線段的一個三等分點，，，
，
由平面向量基本定理得，，
，
當時，取得最小值.
故選：C.
3．C
【分析】設，根據題意求得，由得到，設，，即，，利用三角函數的性質求最大值最小值即可.
【詳解】設，
因為，令，得，故，所以，
令，得，故，即，
又，即，故，，所以，
由，得，設，，即，，
則
，
所以的最大值與最小值之和為，
故選：C
4．A
【分析】利用“同增異減”判斷復合函數的單調性，從而求參數的取值范圍.
【詳解】設，，則在上單調遞增.
因為在區間內單調遞減，所以函數在區間內單調遞減，
結合二次函數的圖象和性質，可得：，解得4.
故選：
5．AC
【分析】根據奇函數的定義判斷四個函數的奇偶性，并求出值域可得答案.
【詳解】對于A，因為，所以是奇函數，且值域為，故A正確；
對于B，因為，所以為奇函數，但值域為，故B不正確；
對于C，因為，所以為奇函數，且且值域為，故C正確；
對于D，因為，所以為奇函數，但是值域為．故D不正確.
故選：AC
6．ABC
【分析】A選項直接由二次函數的性質判斷；B、C選項指數函數結合基本不等式進行判斷；D選項通過對數函數的性質進行判斷.
【詳解】對于A，，最小值為2；
對于B，，當且僅當，時取得最小值2；
對于C，，當且僅當，即時取得最小值2；
對于D，，當時取得最小值1，綜上可知：ABC正確.
故選：ABC.
7．ABD
【分析】根據的關系與各圖形一個個檢驗即可判斷．
【詳解】當時，A正確；當時，B正確；
當時，D正確；當時，無此選項．
故選：ABD．
8．
【分析】首先求出冪函數的解析式，再利用其單調性即可比較大小.
【詳解】冪函數的圖象過點，
則，
所以冪函數的解析式為，且函數為單調遞增函數，
又，所以，即.
故答案為：.
9．
【分析】由換元法得函數最值，由此可列方程求參數.
【詳解】令，所以，
令，則的最小值為，
解得.
故答案為：2.
10．
【分析】利用基本不等式及二次函數與指數函數的性質計算即可.
【詳解】由題意可知時，，當且僅當時取得等號，
時，，當且僅當時取得等號，
故.
故答案為：.
11．（1）；（2）.
【分析】(1)由冪函數的意義列出關于m的方程，再結合函數性質即可得解；
(2)由(1)求得，再由復合函數單調性探求出對數的真數構成的二次函數單調性即可作答.
【詳解】（1）因為冪函數，則，解得或，
又在上為增函數，即有，于是；
（2）由（1）知，，
在上為減函數，而函數在上是增函數，則由復合函數單調性知函數在上為減函數，
又的遞減區間是，則，
于是得解得，
所以實數的取值范圍為.
12．(1)；
(2)，．
【分析】（1）設二次函數為，根據題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）根據二次函數的性質，求得函數的單調區間，進而求得其最值.
【詳解】（1）解：設二次函數為，
因為，可得，解得，
所以函數的解析式．
（2）解：函數，開口向下，對稱軸方程為，
即函數在單調遞增，在單調遞減，
所以，．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·北京海淀·二模）設函數的定義域為，對于函數圖象上一點，若集合只有1個元素，則稱函數具有性質.下列函數中具有性質的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·河北滄州·三模）已知二次函數滿足，；當時，.函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，為自然對數的底數，則（ ）
A．函數的最小值為
B．
C．
D．函數的導函數的最小值為
三、填空題
3．（2024·遼寧·模擬預測）命題：存在，使得函數在區間內單調，若的否定為真命題，則的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知，，點的坐標是．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若點在坐標軸上，且使得，求點的坐標．
參考答案：
1．D
【分析】根據性質的定義，結合各個函數的圖象，數形結合，即可逐一判斷各選擇.
【詳解】根據題意，要滿足性質，則的圖象不能在過點的直線的上方，且這樣的直線只有一條；
對A：的圖象，以及過點的直線，如下所示：
數形結合可知，過點的直線有無數條都滿足題意，故A錯誤；
對B：的圖象，以及過點的直線，如下所示：
數形結合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故B錯誤；
對C：的圖象，以及過點的直線，如下所示：
數形結合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故C錯誤；
對D：的圖象，以及過點的直線，如下所示：
數形結合可知，存在唯一的一條過點的直線，即，滿足題意，故D正確.
故選：D.
2．ACD
【分析】設，根據已知條件求出、、的值，可得出函數的解析式，利用二次函數的基本性質可判斷A選項；利用函數奇偶性的定義可得出關于、的等式組，求出的解析式，求出的值，可判斷B選項；利用函數的最值與導數的關系可判斷C選項；利用基本不等式求出的最小值，可判斷D選項.
【詳解】設，
由知函數的圖象關于直線對稱，
即，解得.
因為，由題意可得，
當時，，則，
所以，故，即，
所以.
又恒成立，即恒成立，
于是，整理可得，解得，
所以，，則，
因此，函數的最小值為，A正確；
因為函數為奇函數，則，①
又因為函數為偶函數，則，②
聯立①②可得，于是，，B錯誤；
于是，，即在上單調遞增.
注意到，從而，C正確；
由基本不等式可得，當且僅當時，
即當時，等號成立，故函數的最小值為，D正確，
故選：ACD.
3．
【分析】先給出命題p的否定，由函數的單調性進行求解.
【詳解】命題p的否定為：任意，使得函數在區間內不單調，
由函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則，而，
得，
故答案為：
4．(1)，
(2)或或或
【分析】
（1）作軸，解直角三角形即可求出點，的坐標，利用待定系數法可求解；
（2）由題意可得，，依據點在坐標軸上，設或，根據，即可求得點的坐標.
【詳解】（1）
作軸，在，，，
所以，，所以，
因為在反比例函數的圖象上，
所以，所以反比例函數為，因為在的圖象上，
所以，把，兩點的坐標代入，則，
解得，
所以一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；
（2）由，令，則，令，則，
所以，，所以，
若點在軸上，設，則，
由可得，解得或，
所以點或，
若點在軸上，設，則，
由可得，解得或，
所以點或，
綜上所述，點的坐標為或或或.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·安徽淮北·二模）當實數變化時，函數最大值的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
2．（2023·湖南株洲·一模）已知是函數的零點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2022·北京東城·二模）某公司通過統計分析發現，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動動機相關，并建立了數學模型．
已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結論：
①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；
②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高；
③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強：
④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．
其中所有正確結論的序號是 ．
參考答案：
1．D
【分析】先對內函數對應的方程的根的情況分類討論，得出時，結果為16，對于時，求出兩根，根據圖象，就內函數的零點與區間端點的位置進行分類考慮，利用函數單調性分析即得.
【詳解】若，即時，，其對稱軸為，，
此時，因，故的最小值為16；
若，由可得，
（Ⅰ）如圖1，當時，即時，在上遞減，
在上遞增，
在上遞減，在上遞增，又，
① 當時，，故，而在上單調遞
減，則此時，；
② 當時，，故，而在上單調
遞增，則此時，.
（Ⅱ）如圖2，當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，
則此時，而在上單調遞減，則.
綜上，函數最大值的最小值為8.
故選：D.
【點睛】方法點睛：本題主考查絕對值函數在給定區間上的最值問題，屬于難題.
解決絕對值函數的方法，主要是根據其內部函數的特點，結合圖象，就參數分類討論去掉絕對值，再利用函數的單調性，即可求其最值.
2．ABC
【分析】設，由可得，再根據選項依次判斷正誤即可.
【詳解】設，
，，，
即，
所以要使為系數都是整數的整式方程的根，則方程必須包含因式.
由中的最高次數為4，是它的一個零點，
因此，
即.
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，當時，最小值為，當時，無最小值，因此選項是錯誤的.
故選：.
【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵在于將含有無理數的平方根式通過兩次平方化成有理數，得到含有無理數解的有理數整式方程，從而得解.
3．①②④
【分析】利用指數函數的性質，冪函數的性質逐項分析即得.
【詳解】設甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，
對于①，，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正確；
對于②，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正確；
對于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故③錯誤；
對于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故④正確.
故答案為：①②④.
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專題09 冪函數與二次函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】冪函數的圖象和性質 4
【考點2】求二次函數的解析式 5
【考點3】二次函數的圖象與性質 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.了解冪函數的概念；結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況；
2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
1.冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.
2.二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點 坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上是減函數； 在上是增函數 在上是增函數； 在上是減函數
1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當時，恒有f(x)>0；當時，恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數y＝xα中，α的取值影響冪函數的定義域、圖象及性質；
(2)冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限.
一、單選題
1．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【考點1】冪函數的圖象和性質
一、單選題
1．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知冪函數在上單調遞減，則實數的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
2．（2023·四川成都·一模）與有相同定義域的函數是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定義，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則與的全部元素之和等于3874
B．若表示實數集，表示正實數集，則
C．若表示實數集，則
D．若表示正實數集，函數，則2049屬于函數的值域
4．（23-24高一上·貴州·階段練習）現有4個冪函數的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空題
5．（2024·北京延慶·一模）已知函數在區間上單調遞減，則的一個取值為 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則與的圖象交點的縱坐標之和為 ．
反思提升：
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
(2)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.
(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.
【考點2】求二次函數的解析式
一、單選題
1．（2023高一·江蘇·專題練習）函數在的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西·模擬預測）設函數的定義域為，且，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）若正數，滿足，則（ ）
A．的最大值是
B．的最小值為
C．當時，
D．的最小值為
4．（2023·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的且．若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·湖北武漢·二模）已知動點的軌跡方程為，其中，則的最小值為 .
6．（2021·江蘇蘇州·三模）已知函數f(x)同時滿足①；②在[1，3]上單調遞減；③.該函數的表達式可以是f(x)= .
反思提升：
求二次函數解析式的方法
【考點3】二次函數的圖象與性質
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上有最大值或最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）若函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）若函數，則（ ）
A．為偶函數 B．的圖像關于 對稱
C．在上有4個零點 D．在上單調遞減
4．（2024·河南信陽·模擬預測）若函數在上單調，則實數的值可以為（ ）
A． B． C． D．3
三、填空題
5．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
6．（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍為 ．
反思提升：
1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.
3.閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.
4不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在中，為線段的一個三等分點，.連接，在線段上任取一點，連接，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2024·遼寧·一模）若函數在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（20-21高三上·遼寧遼陽·期末）下列函數中是奇函數，且值域為的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·海南·模擬預測）下列函數最小值為2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·甘肅平涼·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，設，則a、b、c的大小用小于號連接為 ．
9．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數的最小值為3，則 .
10．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數，則的值域為 ．
四、解答題
11．（2021·甘肅天水·模擬預測）已知冪函數在上為增函數.
（1）求實數的值；
（2）若在上為減函數，求實數的取值范圍.
12．（2024·山東·二模）已知是二次函數，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數的最小值和最大值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·北京海淀·二模）設函數的定義域為，對于函數圖象上一點，若集合只有1個元素，則稱函數具有性質.下列函數中具有性質的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·河北滄州·三模）已知二次函數滿足，；當時，.函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，為自然對數的底數，則（ ）
A．函數的最小值為
B．
C．
D．函數的導函數的最小值為
三、填空題
3．（2024·遼寧·模擬預測）命題：存在，使得函數在區間內單調，若的否定為真命題，則的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知，，點的坐標是．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若點在坐標軸上，且使得，求點的坐標．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·安徽淮北·二模）當實數變化時，函數最大值的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
2．（2023·湖南株洲·一模）已知是函數的零點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2022·北京東城·二模）某公司通過統計分析發現，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動動機相關，并建立了數學模型．
已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結論：
①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；
②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高；
③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強：
④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．
其中所有正確結論的序號是 ．
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