資源簡介

隨機變量的數學期望和方差
【考綱解讀】
理解隨機變量數學期望的定義，掌握求隨機變量數學期望的基本方法，能夠計算簡單離散型隨機變量的數學期望，并能解決一些實際問題；
理解隨機變量方差的定義，掌握求隨機變量方差的基本方法，能夠計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題。
【知識精講】
一、離散型隨機變量的期望：
1、隨機變量數學期望的定義：
（1）離散型隨機變量數學期望的定義：
若離散型隨機變量的分布列為：則稱 ------ --------
E=+ + +------- P ----- --------
為離散型隨機變量的數學期望，簡稱期望；
（2）離散型隨機變量數學期望的意義：離散型隨機變量數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平。
2、離散型隨機變量數學期望的性質：
（1）E（c）=c（c為常數）；
（2）E（a+b）=aE()+b(a、b為常數)；
（3）若離散型隨機變量滿足二項分布—B（n，p），則E（）=np；
（4）若離散型隨機變量滿足幾何分布—g（k，p），則E（）= ；
（5）若離散型隨機變量滿足0—1分布，則E（）=p。
3、求離散型隨機變量數學期望的基本方法：
求離散型隨機變量數學期望的基本方法是：①根據問題條件確定離散型隨機變量的可能取值；②運用求隨機事件概率的基本方法求出離散型隨機變量每個取值的概率；③由②得出離散型隨機變量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出隨機變量的數學期望。
4、理解離散型隨機變量數學期望時，應該注意的問題：
（1）離散型隨機變量數學期望是算術平均值概念的推廣，是離散型隨機變量意義下的平均值；
（2）E（）是一個實數，由的取值唯一確定，即作為隨機變量是可變的，而E（）是不變的，它描述值取值的平均狀態；
（3）在求E時，可直接運用公式：E=進行計算；
（4）E（a+b）=aE+b，說明隨機變量線性函數=a+b的期望等于隨機變量數學期望的線型函數，特別地：①當b=0時，E(a)=aE；②當a=1時，E（+b）=E+b；③當a=0時，E（b）=b。
二、離散型隨機變量的方差：
1、離散型隨機變量方差的定義：
（1）離散型隨機變量方差的定義：設離散型隨機變量 所有可能的取值為： ， ------ --------且取這些值的概率分別是： ，----- --------，則把D=.
+.+-------+.+-------叫做離散型隨機變量的均方差，簡稱方差；D的算術平方根叫做離散型隨機變量的標準差，記作=；
（2）離散型隨機變量的方差的意義：離散型隨機變量的方差反映了離散型隨機變量取值的穩定性，及離散型隨機變量對E（）的平均偏離程度。
2、離散型隨機變量方差的性質：
（1）D= ；
（2）D（a+b）= D(a、b為常數)；
（3）若隨機變量滿足0—1分布，則D=p(1-p)；
（4）若隨機變量滿足二項分布B（n,p），則D=np(1-p)；
（5）若隨機變量滿足幾何分布g(k,p)，則D= 。
3、求離散型隨機變量數學期望的基本方法：
求離散型隨機變量數學期望的基本方法是：①根據問題條件確定離散型隨機變量的可能取值；②運用求隨機事件概率的基本方法求出離散型隨機變量每個取值的概率；③由②得出離散型隨機變量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出離散型隨機變量的數學期望；⑤運用公式D=.+.+-------
+.+------求出離散型隨機變量的方差。
4、理解離散型隨機變量方差時，應該注意的問題：
（1）D表示隨機變量對數學期望E的平均偏離程度；
（2）D與E一樣也是一個實數，由隨機變量的取值唯一確定；
（3）D（a+b）= D≠aD（）+b≠aD（）。
【探導考點】
考點1離散型隨機變量數學期望定義及求法：熱點①已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的數學期望；熱點②求離散型隨機變量的數學期望；熱點③已知離散型隨機變量滿足某個特殊分布，求離散型隨機變量的數學期望；熱點④運用離散型隨機變量數學期望的性質，求離散型隨機變量的數學期望；熱點⑤離散型隨機變量的數學期望的運用；
考點2離散型隨機變量方差定義及求法：熱點①已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的方差；熱點②求離散型隨機變量的方差；熱點③已知離散型隨機變量滿足某個特殊分布，求離散型隨機變量的方差；熱點④運用離散型隨機變量方差的性質，求離散型隨機變量的方差；熱點⑤離散型隨機變量的方差的運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的期望。
2、有一批數量很大的產品，其次品率是15℅，對這批產品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續抽查，直到抽出次品，但抽查次數最多不超過10次，求抽查次數的期望（結果保留3個有效數字）。
3、一次英語單元測驗有20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選一個，求學生甲和學生乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。
4、某花店每天以毎枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以毎枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n N）的函數解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
頻數 10 20 16 16 15 13 10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元）求X的分布列，數學期望及方差；
②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由。
『思考問題1』
（1）【典例1】是求隨機變量數學期望的問題，解答這類問題需要理解隨機變量數學期望的定義和性質，掌握求隨機變量數學期望的基本方法；
（2）求隨機變量數學期望的一般方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列，并用分布列的性質進行驗證；④運用公式：E=+ + +-------求出數據變量的數學期望。
〔練習1〕解答下列問題：
1、隨機投擲一個骰子，求所得骰子的點數的期望。
2、某工廠規定，如果工人在一個季度里有一個月完成生產任務，可得獎金90元；如果有二個月完成生產任務，可得獎金210元；如果有三個月完成生產任務，可得獎金330元；如果工人三個月都未完成生產任務，則沒有獎金。假設某工人每月完成生產任務與否是等可能的，求此工人在一季度里所得獎金的期望。
3、一個盒子里裝有5張卡片，分別標有數2,3,4,5,6；另一個盒子里則裝有分別標有3,4,5,6,7五個數的5張卡片。
（1）從第一個盒子里任意取出一張卡片，求此卡片上的數的期望；
（2）從兩個盒子里各任意取一張卡片，求所取出的兩張卡片的數之和的期望；
4、一批數量較大的商品的次品率為6℅，從中任意地陸續取出20件，求其中次品數的期望。
5、同時拋擲2枚均勻硬幣100次，設兩枚硬幣都出現正面的次數為，求E。
6、拋擲兩個骰子，當至少有一個5點或6點出現時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數的期望。
7、袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分的概率分布和數學期望；
8、一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規則：凡愿摸彩者，每人交1元錢作為“手續費”，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：
模5個球中
白球的個數 5 個 4 個 3個 白球少于3個
中彩發放 1頂帽子 1張賀卡 紀念品 同樂一次
的獎品 （價值20元） （價值2元） （價值0.5元） (無任何價值)
試計算：（1）摸一次能獲得20元獎品的概率；
（2）按模1000次統計，這個人能否賺錢，如果賺錢，求出凈賺多少錢（精確到元）；
9、從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量比賽所選3人中女生的人數。
（1）求的分布列；
（2）求的期望；
（3）求“所選3人中女生人數≤1”的概率；
10、兩臺生產同一種零件的車床在每天生產中分別出現的次品數、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果兩臺車床的產量相同，哪臺車床更好一些？
11、一袋中裝有6只球，編號為1,2,3,4,5,6，在袋中同時取出3只球，求3只球中的最大號碼的數學期望。
12、設籃球隊A與B進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝4場則表示宣告結束，假定A、B在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數的期望；
13、某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球，6個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得10元獎金，摸出兩個紅球可獲得50元獎金，現有甲、乙兩位顧客，規定甲模一次，乙模兩次，令X表示甲、乙兩位顧客模球后獲得的獎金總額，求：
（1）X的分布列；
（2）X的均值；
14、A，B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊3名隊員，A隊隊員是，，，B隊隊員是，，，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：
對陣隊員 A隊隊員勝的概率 A隊隊員負的概率
對
對
對
現按表中的對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后總分分別為、。
（1）求、的分布列； （2）求E、E；
15、有10張卡片，其中8張標有數字2,2張標有數字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數字和為，求E。
【典例2】解答下列問題：
已知離散型隨機變量、的分布列分別如下表：
離散型隨機變量的概率分布 離散型隨機變量的概率分布
1 2 3 4 5 6 7 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
p p
求這兩個隨機變量的期望、方差與標準差；
2、甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下表：
擊中環數 8 9 10 擊中環數 8 9 10
概率p 0.2 0.6 0.2 概率p 0.4 0.2 0.4
用擊中環數的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平；
3、甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量大致相等，兩個保護區每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列如下表：
0 1 2 3 0 1 2 3
p 0.3 0.3 0.2 0.2 p 0.1 0.5 0.4 0
試評定這兩個保護區的管理水平。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求離散型隨機變量方差的問題，解答這類問題需要理解離散型隨機變量方差的定義和性質，掌握求離散型隨機變量方差的基本方法；
（4）求離散型隨機變量方差的一般方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列，并用分布列的性質進行驗證；④運用公式：D=.+ .+-------+.求出離散型隨機變量的方差。
〔練習2〕解答下列問題：
1、有甲乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為、（單位：s）其分布列如下表：
-1 0 1 2 -2 - 1 0 1 2
p 0.1 0.8 0.1 0 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根據兩種品牌手表的日走時誤差的期望與方差比較兩種品牌手表的質量；
2、有甲、乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結果如下表：
28 29 30 31 32 28 29 30 31 32
p 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 p 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中、表示纖維長度（單位：mm），根據纖維長度的期望與方差比較兩種棉花的質量。
【雷區警示】
【典例3】解答下列問題：
下午第三節體育課進行籃球達標測試，規定：每位同學有5次投籃的機會，若投中3次，則達標；否則，不達標。為了節約時間，同時規定：若投籃不到5次就達標，則停止投籃；若有3次未投中，不能達標，則停止投籃。已知李俊同學投籃的命中率為，且每次投籃互不影響，設X為測試中李俊投籃的次數，求X的概率分布列及數學期望。
有一所自主招生的高校設計了一個試驗考試方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部試驗操作，至少正確完成其中2題的便可通過，設系數甲，乙正確完成的題數分別為X，Y，其分布列如表所示：
X 1 2 3 Y 0 1 2 3
p p
則甲，乙兩人中試驗操作能力較強的是（ ）
A 甲 B 乙 C 一樣強 D 無法判定
『思考問題3』
【典例3】是解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視離散型隨機變量分布列的正確計算，導致解答問題出現錯誤；②解答實際應用問題時，忽視問題的全面考慮，導致解答問題出現錯誤；
解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，為避免忽視離散型隨機變量分布列的正確計算的雷區，需要理解離散型隨機變量分布列的定義，掌握離散型隨機變量分布列計算的基本方法；
解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，為避免解答實際應用問題時，忽視問題的全面考慮的雷區，需要理解隨機變量數學期望和方差的定義，掌握解答實際應用問題的基本方法。
〔練習3〕解答下列問題：
每年的3月12日是我國的植樹節，林管部門在植樹前，為保證樹苗的質量，都會在植樹前對樹苗進行檢測，現從甲，乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規定高于128厘米的為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根據抽測結果，作出莖葉圖，并由莖葉圖對甲，乙兩批樹苗的高度作比較，寫出對兩批樹苗高度的統計結論；
若小王在甲批樹苗中隨機領取了5株進行種植，用樣本的頻率分布估計總體分布，求小王領取到的“良種樹苗”株數X的分布列及數學期望。
2、兩臺生產同一種零件的車床在每天生產中分別出現的次品數、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果兩臺車床的產量相同，哪臺車床更好一些？
【追蹤考試】
【典例4】解答下列問題：
1、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
2、甲，乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局，三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立。
（1）求甲學校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與數學期望（2022全國高考甲卷理）
3、某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束。A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
4、《營造法式》是中國北宋時期官方頒布的一部建筑設計與施工的書籍，標志著我國古代建筑技術和工藝發展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現代語言和制圖方法對該書進行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學生了解古建筑設計與構造的原理，某建筑大學為大三和大四的學生開設了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學生學習效果，要求所有選修該門課程的學生完成“應用營造法式獨立制作一件古建筑模型”的作業，已知選修該門課程的大三與大四學生的人數之比為3:2，現用分層抽樣的方法從所有作業中隨機抽取100份（每位學生均上交一份作業），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
在這100份作業的樣本中，從成績在[50，80）的大四學生作業中隨機抽取2份，記抽取的這2份作業中成績在[60，70）的份數為X，求X的分布列與數學期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，試估計該學生的作業成績在[60，80）的概率；
（2）估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（2021成都市高三三診）
5、2019年12月，《生活垃圾分類標志》新標準發布并正式實施，為進一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區開展了一次關于垃圾分類的問卷調查活動，并對隨機抽取的1000人的年齡進行了統計，得到如下的各年齡段頻數分布表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
（1）請補全各年齡段人數頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數分布表中m，n的值；
（2）現從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應社區要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，求選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與隨機變量數學期望（或方差）的問題，歸結起來主要包括：①離散型隨機變量數學期望（或方差）定義及運用；②求離散型隨機變量數學期望（或方差）等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、2018年央視大型文化節目《經典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間（所有學生誦讀時間都在兩小時內），并按時間（單位：分鐘）將學生分成六個組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經統計得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數；
（2）若兩個同學誦讀詩詞的時間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個同學組成一個“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的兩人能組成一個“Tean”的概率。
2、（理）某部門為了解企業在生產過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業的日用水量的統計數據， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統計數據中隨機抽取12天的數據作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標。
（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，求至多有1天用水量超標的概率；
（2）以這12天的樣本數據中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業未來3天中用水量超標的天數，記隨機變量X為未來3天中用水量超標的天數，求X的分布列和數學期望。
（文）某部門為了解企業在生產過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業（單位：噸）
的日用水量的統計數據，從這些統計數據中隨機 頻數 3 6 m
抽取12天的用水量的數據作為樣本，得到的統 頻率 n 0.5 p
計結果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內的這六個數據分別為83，85，86，87，88，89，從六個數據中隨機抽取兩個，求抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率。
3、（理）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果氣溫位于區間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率（2017全國高考新課標III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，y的數學期望達到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率。
隨機變量的數學期望和方差
【考綱解讀】
理解隨機變量數學期望的定義，掌握求隨機變量數學期望的基本方法，能夠計算簡單離散型隨機變量的數學期望，并能解決一些實際問題；
理解隨機變量方差的定義，掌握求隨機變量方差的基本方法，能夠計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題。
【知識精講】
一、離散型隨機變量的期望：
1、隨機變量數學期望的定義：
（1）離散型隨機變量數學期望的定義：
若離散型隨機變量的分布列為：則稱 ------ --------
E=+ + +------- P ----- --------
為離散型隨機變量的數學期望，簡稱期望；
（2）離散型隨機變量數學期望的意義：離散型隨機變量數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平。
2、離散型隨機變量數學期望的性質：
（1）E（c）=c（c為常數）；
（2）E（a+b）=aE()+b(a、b為常數)；
（3）若離散型隨機變量滿足二項分布—B（n，p），則E（）=np；
（4）若離散型隨機變量滿足幾何分布—g（k，p），則E（）= ；
（5）若離散型隨機變量滿足0—1分布，則E（）=p。
3、求離散型隨機變量數學期望的基本方法：
求離散型隨機變量數學期望的基本方法是：①根據問題條件確定離散型隨機變量的可能取值；②運用求隨機事件概率的基本方法求出離散型隨機變量每個取值的概率；③由②得出離散型隨機變量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出隨機變量的數學期望。
4、理解離散型隨機變量數學期望時，應該注意的問題：
（1）離散型隨機變量數學期望是算術平均值概念的推廣，是離散型隨機變量意義下的平均值；
（2）E（）是一個實數，由的取值唯一確定，即作為隨機變量是可變的，而E（）是不變的，它描述值取值的平均狀態；
（3）在求E時，可直接運用公式：E=進行計算；
（4）E（a+b）=aE+b，說明隨機變量線性函數=a+b的期望等于隨機變量數學期望的線型函數，特別地：①當b=0時，E(a)=aE；②當a=1時，E（+b）=E+b；③當a=0時，E（b）=b。
二、離散型隨機變量的方差：
1、離散型隨機變量方差的定義：
（1）離散型隨機變量方差的定義：設離散型隨機變量 所有可能的取值為： ， ------ --------且取這些值的概率分別是： ，----- --------，則把D=.
+.+-------+.+-------叫做離散型隨機變量的均方差，簡稱方差；D的算術平方根叫做離散型隨機變量的標準差，記作=；
（2）離散型隨機變量的方差的意義：離散型隨機變量的方差反映了離散型隨機變量取值的穩定性，及離散型隨機變量對E（）的平均偏離程度。
2、離散型隨機變量方差的性質：
（1）D= ；
（2）D（a+b）= D(a、b為常數)；
（3）若隨機變量滿足0—1分布，則D=p(1-p)；
（4）若隨機變量滿足二項分布B（n,p），則D=np(1-p)；
（5）若隨機變量滿足幾何分布g(k,p)，則D= 。
3、求離散型隨機變量數學期望的基本方法：
求離散型隨機變量數學期望的基本方法是：①根據問題條件確定離散型隨機變量的可能取值；②運用求隨機事件概率的基本方法求出離散型隨機變量每個取值的概率；③由②得出離散型隨機變量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出離散型隨機變量的數學期望；⑤運用公式D=.+.+-------
+.+------求出離散型隨機變量的方差。
4、理解離散型隨機變量方差時，應該注意的問題：
（1）D表示隨機變量對數學期望E的平均偏離程度；
（2）D與E一樣也是一個實數，由隨機變量的取值唯一確定；
（3）D（a+b）= D≠aD（）+b≠aD（）。
【探導考點】
考點1離散型隨機變量數學期望定義及求法：熱點①已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的數學期望；熱點②求離散型隨機變量的數學期望；熱點③已知離散型隨機變量滿足某個特殊分布，求離散型隨機變量的數學期望；熱點④運用離散型隨機變量數學期望的性質，求離散型隨機變量的數學期望；熱點⑤離散型隨機變量的數學期望的運用；
考點2離散型隨機變量方差定義及求法：熱點①已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的方差；熱點②求離散型隨機變量的方差；熱點③已知離散型隨機變量滿足某個特殊分布，求離散型隨機變量的方差；熱點④運用離散型隨機變量方差的性質，求離散型隨機變量的方差；熱點⑤離散型隨機變量的方差的運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，命不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的期望。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量分布列定義與性質；②離散型隨機變量數線期望定義與性質；③求離散型隨機變量分布列的基本方法；④求離散型隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量分布列和數學期望差的性質，運用求離散型隨機變量分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的分布列，從而求出的數學期望。
【詳細解答】運動員罰球1次的得分為隨機變量，隨機變量的可能取值為1，0，
P（=1）=0.7，P（=0）=1-0.7=0.3，隨機變量的分布列如表 1 0
所示，隨機變量的數學期望為E=10.7+00.3=0.7（分）。 p 0.7 0.3
2、有一批數量很大的產品，其次品率是15℅，對這批產品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續抽查，直到抽出次品，但抽查次數最多不超過10次，求抽查次數的期望（結果保留3個有效數字）。
【解析】
【知識點】①幾何分布列定義與性質；②離散型隨機變量數線期望定義與性質；③求幾何分布離散型隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量分布列和數學期望差的性質，運用求離散型隨機變量分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的分布列，從而求出的數學期望。
【詳細解答】抽查次數為隨機變量，隨機變量滿足幾何分布，P=0.15，E
=6.67。
一次英語單元測驗有20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選一個，求學生甲和學生乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。
【解析】
【知識點】①二項分布列定義與性質；②離散型隨機變量數線期望定義與性質；③求二項分布離散型隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量分布列和數學期望差的性質，運用求離散型隨機變量分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的分布列，從而求出的數學期望。
【詳細解答】設甲學生在這次英語單元測驗中的成績為，乙學生在這次英語單元測驗中的成績為，抽隨機變量，滿足二項分布，甲，乙學生每題選對的概率分別為0.9,，0.25，E=1000.9=90（分），E=1000.25=25（分）。
4、某花店每天以毎枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以毎枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n N）的函數解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
頻數 10 20 16 16 15 13 10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元）求X的分布列，數學期望及方差；
②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由。
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；離散型隨機變量分布列定義與性質；②求分段函數解析式的基本方法；離散型隨機變量數線期望定義與性質；③求離散型隨機變量分布列的基本方法；④求離散型隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據分段函數的性質，運用求分段函數解析式的基本方法，幾何問題條件就可求出天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n N）的函數解析式；根據離散型隨機變量分布列和數學期望差的性質，運用求離散型隨機變量分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的分布列，從而求出的數學期望。
【詳細解答】（1）當0-80=80，天的利潤y關于當天需求量n的 函數解析式為 y= 80，n≥80；
①當天的利潤為隨機變量X，隨機變量X的可能取值為60，70，80，p（X=60）
=0.1，p（X=70）=0.2，p（X=80）=0.7，隨機變量X的 X 60 70 80
分布列如表所示，EX=600.1+700.2+800.7=76（元）， p 0.1 0.2 0.7
方差DX=2560.1+360.2+160.7=44；②若花店計劃一天購進17枝，隨機變量X的可能取值為55，65，75，85，p（X=55）=0.1，p（X=65） Y 55 65 75 85
=0.2，p（X=75）=0.16，p（X=85）=0.54，隨機變量 p 0.1 0.2 0.16 0.54
X的分布列如表所示，EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4（元），DY=457.960.1
+129.960.2+1.960.16+73.960.54=112.04， EX=76『思考問題1』
（1）【典例1】是求隨機變量數學期望的問題，解答這類問題需要理解隨機變量數學期望的定義和性質，掌握求隨機變量數學期望的基本方法；
（2）求隨機變量數學期望的一般方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列，并用分布列的性質進行驗證；④運用公式：E=+ + +-------求出數據變量的數學期望。
〔練習1〕解答下列問題：
1、隨機投擲一個骰子，求所得骰子的點數的期望（答案：所得骰子的點數的期望為。）
2、某工廠規定，如果工人在一個季度里有一個月完成生產任務，可得獎金90元；如果有二個月完成生產任務，可得獎金210元；如果有三個月完成生產任務，可得獎金330元；如果工人三個月都未完成生產任務，則沒有獎金。假設某工人每月完成生產任務與否是等可能的，求此工人在一季度里所得獎金的期望。
（答案：此工人在一季度里所得獎金的期望為153.75元。）
3、一個盒子里裝有5張卡片，分別標有數2，3，4，5，6；另一個盒子里則裝有分別標有3，4，5，6，7五個數的5張卡片。
（1）從第一個盒子里任意取出一張卡片，求此卡片上的數的期望；
（2）從兩個盒子里各任意取一張卡片，求所取出的兩張卡片的數之和的期望；
（答案：（1）從第一個盒子里任意取出一張卡片，此卡片上的數的期望為4；（2）從兩個盒子里各任意取一張卡片，所取出的兩張卡片的數之和的期望為9。）
4、一批數量較大的商品的次品率為6℅，從中任意地陸續取出20件，求其中次品數的期望。（答案：E=1.2（件））
5、同時拋擲2枚均勻硬幣100次，設兩枚硬幣都出現正面的次數為，求E。
（答案：E=25（次））
6、拋擲兩個骰子，當至少有一個5點或6點出現時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數的期望。（答案：在30次試驗中成功次數的期望為（次））
7、袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分的概率分布和數學期望；
（答案：得分的概率分布列為 5 6 7 8 得分的數學期望為
p E=（分））
8、一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規則：凡愿摸彩者，每人交1元錢作為“手續費”，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：
模5個球中
白球的個數 5 個 4 個 3個 白球少于3個
中彩發放 1頂帽子 1張賀卡 紀念品 同樂一次
的獎品 （價值20元） （價值2元） （價值0.5元） (無任何價值)
試計算：（1）摸一次能獲得20元獎品的概率；
按模10000次統計，這個人能否賺錢，如果賺錢，求出凈賺多少錢（精確到元）。
（答案：（1）摸一次能獲得20元獎品的概率為；（2）按模10000次統計，這個人能賺錢，期望凈賺4318元。）
9、從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量比賽所選3人中女生的人數。
（1）求的分布列；
（2）求的期望；
（3）求“所選3人中女生人數≤1”的概率；
（答案：（1）隨機變量的分布列為 0 1 2 （2）的期望為E=1
P （人）；（3）“所選3人中女生人數≤1”的概率為。 ）
10、一袋中裝有6只球，編號為1，2，3，4，5，6，在袋中同時取出3只球，求3只球中的最大號碼的數學期望。（答案：隨機變量的數學期望為E=。）
11、設籃球隊A與B進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝4場則表示宣告結束，假定A、B在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數的期望。
（答案：需要比賽場數的期望為EX=（場））
12、某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球，6個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得10元獎金，摸出兩個紅球可獲得50元獎金，現有甲、乙兩位顧客，規定甲模一次，乙模兩次，令X表示甲、乙兩位顧客模球后獲得的獎金總額，求：
（1）X的分布列； （2）X的均值。
（答案：（1）隨機變量X的分布列為 X 0 10 20 50 60
P
隨機變量X的均值為EX= 元。）
13、A，B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊3名隊員，A隊隊員是，，，B隊隊員是，，，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：
對陣隊員 A隊隊員勝的概率 A隊隊員負的概率
對
對
對
現按表中的對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊，B隊最后總分分別為，。
求、的分布列； （2）求E、E。
（答案：（1）隨機變量，的分布列分別如下表所示：
0 1 2 3 0 1 2 3
p p
E=，E=。）
14、有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數字和為，求E。（答案：E=。）
【典例2】解答下列問題：
1、已知離散型隨機變量，的分布列分別如下表：
離散型隨機變量的概率分布 離散型隨機變量的概率分布
1 2 3 4 5 6 7 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
p p
求這兩個隨機變量的期望、方差與標準差；
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量數學期望定義與性質；②離散型隨機變量方差定義與性質；③離散型隨機變量標準差定義與性質；④求離散型隨機變量數學期望的基本方法；⑤求離散型隨機變量方差的基本方法；⑥離散型隨機變量標準差的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量數學期望，方差和標準差的性質，運用求離散型隨機變量數學期望，方差和標準差的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量，的數學期望，方差和標準差。
【詳細解答】E=1+2+3+4+5+6+7=4（s），E=3.7
+3.8+3.9+4+4.1+4.2+4.3=4（s），D=9+4+1
+0+1+4+9=4，D=0.09+0.04+0.01+0+0.01+0.04
+0.09=0.04，==2，==0.2。
2、甲，乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下表：
擊中環數 8 9 10 擊中環數 8 9 10
概率p 0.2 0.6 0.2 概率p 0.4 0.2 0.4
用擊中環數的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量數學期望定義與性質；②離散型隨機變量方差定義與性質；③求離散型隨機變量數學期望的基本方法；④求離散型隨機變量方差的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量數學期望和方差的性質，運用求離散型隨機變量數學期望，和方差的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量，的數學期望和方差，從而比較兩名射手的射擊水平。
【詳細解答】E=80.2+90.6+100.2=9（環），E=80.4+90.2+100.4=9（環），D=10.2+00.6+10.2=0.4，D=10.4+00.2+10.4=0.8，D=0.43、甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量大致相等，兩
個保護區每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列如下表：
0 1 2 3 0 1 2 3
p 0.3 0.3 0.2 0.2 p 0.1 0.5 0.4 0
試評定這兩個保護區的管理水平。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量數學期望定義與性質；②離散型隨機變量方差定義與性質；③求離散型隨機變量數學期望的基本方法；④求離散型隨機變量方差的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量數學期望和方差的性質，運用求離散型隨機變量數學期望，和方差的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量，的數學期望和方差，從而比較兩個保護區的管理水平。
【詳細解答】E=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3（次），E=00.1+10.5+20.4
+30=1.3（次），D=1.690.3+0.090.3+0.490.2+2.890.2=1.21，D=1.690.1
+0.090.5+0.490.4+2.890=0.41，D=1.21>D=0.41，甲保護區的穩定性低于乙保護區的穩定性，從而得出甲保護區的管理水平低于乙保護區的管理水平。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求離散型隨機變量方差的問題，解答這類問題需要理解離散型隨機變量方差的定義和性質，掌握求離散型隨機變量方差的基本方法；
（4）求離散型隨機變量方差的一般方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列，并用分布列的性質進行驗證；④運用公式：D=.+ .+-------+.求出離散型隨機變量的方差。
〔練習2〕解答下列問題：
1、有甲乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為、（單位：s）其分布列如下表：
-1 0 1 2 -2 - 1 0 1 2
p 0.1 0.8 0.1 0 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根據兩種品牌手表的日走時誤差的期望與方差比較兩種品牌手表的質量；
（答案：E=0（s）=E=0（s），D=0.22、有甲、乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結果如下表：
28 29 30 31 32 28 29 30 31 32
p 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 p 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中，表示纖維長度（單位：mm），根據纖維長度的期望與方差比較兩種棉花的質量。
（答案：E=30（mm）=E=30（mm），D=1.1【雷區警示】
【典例3】解答下列問題：
下午第三節體育課進行籃球達標測試，規定：每位同學有5次投籃的機會，若投中3次，則達標；否則，不達標。為了節約時間，同時規定：若投籃不到5次就達標，則停止投籃；若有3次未投中，不能達標，則停止投籃。已知李俊同學投籃的命中率為，且每次投籃互不影響，設X為測試中李俊投籃的次數，求X的概率分布列及數學期望。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法；⑤求離散型隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量X的概率分布列，從而求出離散型隨機變量X的數學期望。
【詳細解答】測試中李俊投籃的次數為隨機變量X，隨機變量X的可能取值為3，4，5，p（X=3）=+=，p（X=4）=+=，p（X=5）=+=， X 3 4 5
隨機變量X的概率分布列為： P
隨機變量X的數學期望EX=3+4+5=（次）。
2、有一所自主招生的高校設計了一個試驗考試方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部試驗操作，至少正確完成其中2題的便可通過，設系數甲，乙正確完成的題數分別為X，Y，其分布列如表所示：
X 1 2 3 Y 0 1 2 3
p p
則甲，乙兩人中試驗操作能力較強的是（ ）
A 甲 B 乙 C 一樣強 D 無法判定
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量數學期望定義與性質；②離散型隨機變量方差定義與性質；③求離散型隨變量數學期望的基本方法；④求離散型隨機變量方差的基本方法。
【解題思路】（1）根據離散型隨機變量數學期望和方差的性質，運用求離散型隨機變量數學期望和離散型隨機變量方差的基本方法，結合問題條件求出離散型隨機變量X，Y的數學期望和方差，從而比較出甲，乙試驗操作的能力誰強就可得出選項。
【詳細解答】EX=1+2+3=2（題），EY=0+1+2+3=2（題），DX=1+0+1=，EY=4+1+0+1=，DX==，雖然甲，乙兩人的數學期望值一樣，但甲的方差小于乙的方差，說甲的穩定性比乙的穩定性好，即甲，乙兩人中試驗操作能力甲較強，A正確，選A。
『思考問題3』
【典例3】是解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視離散型隨機變量分布列的正確計算，導致解答問題出現錯誤；②解答實際應用問題時，忽視問題的全面考慮，導致解答問題出現錯誤；
解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，為避免忽視離散型隨機變量分布列的正確計算的雷區，需要理解離散型隨機變量分布列的定義，掌握離散型隨機變量分布列計算的基本方法；
解答離散型隨機變量數學期望（或方差）問題時，為避免解答實際應用問題時，忽視問題的全面考慮的雷區，需要理解隨機變量數學期望和方差的定義，掌握解答實際應用問題的基本方法。
〔練習3〕解答下列問題：
每年的3月12日是我國的植樹節，林管部門在植樹前，為保證樹苗的質量，都會在植樹前對樹苗進行檢測，現從甲，乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規定高于128厘米的為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根據抽測結果，作出莖葉圖，并由莖葉圖對甲，乙兩批樹苗的高度作比較，寫出對兩批樹苗高度的統計結論；
若小王在甲批樹苗中隨機領取了5株進行種植，用樣本的頻率分布估計總體分布，求小王領取到的“良種樹苗”株數X的分布列及數學期望。
2、兩臺生產同一種零件的車床在每天生產中分別出現的次品數、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果兩臺車床的產量相同，哪臺車床更好一些？
（答案：E=1（個）>E=009（個），D=1>D=0.49，后一臺車床比前一臺車床更好一些。）
【追蹤考試】
【典例4】解答下列問題：
1、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
【解析】
【考點】①相互獨立事件概率定義與性質；②求相互獨立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定義與性質；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機變量概率分布定義與性質；⑥求隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據相互獨立事件和互斥事件概率的性質，運用求相互獨立事件概率和互
斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出第二次投籃的人是乙的概率；（2）根據相互獨立事件和互斥事件概率的性質，運用求相互獨立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出第i次投籃的人是甲的概率；（3）由（2）得到隨機變量Y的概率分布列，根據隨機變量概率分布列的性質，運用求隨機變量數學期望的基本方法就可求出E（Y）的值。
【詳細解答】（1）設第n次甲投籃命中的事件為，設第n次乙投籃命中的事件為，第二次投籃的人是乙的事件為C，第二次投籃的人是乙的可能情況有兩種，其一，第一次投籃的人是甲，且甲第一次投籃沒有命中；其二，第一次投籃的人是乙，且乙第一次投籃命中，
p（C）=0.5（1-0.6）+0.50.8=0.2+0.4=0.6，即第二次投籃的人是乙的概率為0.6；（2）設第i次投籃的人是甲的事件為，當i=1時，p（）=0.5，當i≥2時，p（）=0.6p（）+0.2（1-p（））=0.4p（）+0.2，p（）-=（p（）-），p（）=0.5（1-0.8）+0.50.6=0.1+0.3=0.4，-=，-=，數列{（p（）-}是以為首項，為公比的等比數列，p（）-=，p（）=+，
即第i次投籃的人是甲的概率為+；（3）設第i次投籃的人是甲的事件為，
隨機變量Y的概率分布列滿足：p（）=+（i=1，2，---n，），
E（Y）===+=（1-）+（n）。
2、甲，乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0
分，沒有平局，三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立。
（1）求甲學校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與數學期望（2022全國高考甲卷理）
【解析】
【考點】①相互獨立事件定義與性質；②互斥事件定義與性質；③求相互獨立事件概率的基本方法；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機變量概率分布列定義與性質；⑥隨機變量數學期望定義與性質；⑦求隨機變量概率分布列和數學期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據相互獨立事件和互斥事件的性質，運用求相互獨立事件和互斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出甲學校獲得冠軍的概率；（2）根據隨機變量概率分布列和數學期望的性質，運用求隨機變量概率分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出隨機變量X的分布列與數學期望。
【詳細解答】（1）設甲學校獲得冠軍的事件為A，甲學校獲得冠軍要么比賽的三個項目都獲勝，要么是比賽的三個項目中兩個獲勝，甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8， p（A）=0.50.40.8+0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.16+0.04
+0.24+0.16=0.6；（2）由題意可知，隨機變量X的可能取值為0，10，20，30，p（X=0）=0.50.40.8=0.16，p（X=10）=0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.44，
p（X=20）=0.5（1-0.4）(1-0.8)+（1- 0.5）(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.4（1-0.8）=0.06+0.24
+0.04=0.34，p（X=30）=（1-0.5）（1-0.4）(1-0.8)=0.06，隨機變量X的概率分布列如表所示，隨機變量X的數學期望為E（X） X 0 10 20 30
=00.16+100.44+200.34+300.06=0 p 0.16 0.44 0.34 0.06
+4.4+6.8+1.8=13（分）。
3、某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束。A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
【解析】
【考點】①古典概率的定義與性質；②求古典概率的基本求法；③求隨機變量概率分布列的基本方法；④求隨機變量數學期望的基本求法。
【解題思路】（1）根據古典概率的性質和求古典概率的基本方法，結合問題條件分別求出X=0分，X=20分，X=100分的概率，運用求隨機變量分布列的基本方法就可求出小明先回答A類問題，記X為小明累計得分時，X的分布列；（2）根據求隨機變量概率分布列的基本方法，結合問題條件求出頻率的求法求出小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分時，Y的分布列，運用求隨機變量數學期望的基本方法，分別求出小明先回答A類問題，隨機變量X的數學期望和小明先回答B類問題，隨機變量Y的數學期望，比較兩個變量的數學期望就可得出結論。
【詳細解答】（1）隨機變量X的可能取值為0分， 隨機變量X 0 20 100
20分，100分，p（X=0）=1-0.8=0.2，p（X=20） 概率p 0.2 0.32 0.48
=0.8 （1-0.6）=0.32，p（X=100）=0.8 0.6=0.48，小明先回答A類問題，記X為小明累計得分時，X的分布列如表所示；（2）小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分，隨機變量Y的可能取值為0分，80分，100分，p 隨機變量Y 0 80 100
（Y=0）=1-0.6=0.4，p（Y=80）=0.6（1-0.8） 概率p 0.4 0.12 0.48
=0.12，p（Y=100）=0.60.8=0.48，小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分時，Y的分布列如表所示, EX=0+0.3220+1000.48=54.4（分），EY=0+0.1280+1000.48=57.6（分），57.6>54.4，為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答B類問題。
4、《營造法式》是中國北宋時期官方頒布的一部建筑設計與施工的書籍，標志著我國古代建筑技術和工藝發展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現代語言和制圖方法對該書進行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學生了解古建筑設計與構造的原理，某建筑大學為大三和大四的學生開設了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學生學習效果，要求所有選修該門課程的學生完成“應用營造法式獨立制作一件古建筑模型”的作業，已知選修該門課程的大三與大四學生的人數之比為3:2，現用分層抽樣的方法從所有作業中隨機抽取100份（每位學生均上交一份作業），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
在這100份作業的樣本中，從成績在[50，80）的大四學生作業中隨機抽取2份，記抽取的這2份作業中成績在[60，70）的份數為X，求X的分布列與數學期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，試估計該學生的作業成績在[60，80）的概率；
（2）估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（2021成都市高三三診）
【解析】
【考點】①頻數的定義與性質；②加權平均數計算公式及運用；③隨機變量概率分布列的定義與性質；④求隨機變量概率分布列的基本方法；⑤隨機變量數學期望的定義與性質；⑥求隨機變量數學期望的基本方法；⑦隨機事件概率大于與性質；⑧求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據頻數的性質，結合問題條件分別得到關于x，y的方程，求解方程求出x，y的值，根據求加權平均數公式和基本方法就可求出大三學生作業的平均成績；（2）運用求隨機變量概率分布列的基本方法求出隨機變量X的分布列，根據分布列利用求隨機變量數學期望的基本方法通過運算就可求出隨機變量X的數學期望。（文）（1）根據頻數的性質，結合問題條件分別得到關于y的方程，求解方程求出y的值，運用隨機事件概率的性質和求隨機事件概率的基本方法，就可求出該學生的作業成績在[60，80）的概率；（2）根據統計表，運用加權平均數計算公式就可求出這100份作業中大三學生作業的平均成績。
【詳細解答】（理）（1）4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，3+6+15+y+12
=100=60，y=60-（3+6+15+12）=24，
=81（分），這100份作業中大三學生作業的平均成績為81分；（2）由題意可知，X的取值可能為0，1，2，這100名學生中成績在[50，80）的大四學生人數為1+2+5=8（人），成績在[60，70）的大四學生人數為8-6=2(人)， X 0 1 2
p(X=0)= ==，p(X=1)= p
= = ，p(X=2)= = = ，隨機變量X的概率分布列如表所示，隨機變量X的數學期望為 0+1+2=。（文）（1）設從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，該學生的作業成績在[60，80）的事件為A3+6+15+y+12=100=60，
y=60-（3+6+15+12）=24，4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，這100
名學生中大四學生的人數為100=40（人），大四學生中作業成績在[60，80）的人數為
（8+20）-（6+15）=7（人），p(A)= ，即從選修該門課程的大四學生中隨機選取1
名，估計該學生的作業成績在[60，80）的概率為；
（2）==81（分），這100份作業中大三學生作業的平均成績為81分。
5、2019年12月，《生活垃圾分類標志》新標準發布并正式實施，為進一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區開展了一次關于垃圾分類的問卷調查活動，并對隨機抽取的1000人的年齡進行了統計，得到如下的各年齡段頻數分布表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
（1）請補全各年齡段人數頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數分布表中m，n的值；
（2）現從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應社區要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，求選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
【解析】
【考點】①頻數分布表的定義與性質；分層抽樣的定義與性質；②頻率分別直方圖的定義與性質；③分層抽樣的定義與性質；④分層抽樣各層抽樣數計算的基本方法；⑤組合的定義與性質；⑥組合數的計算公式與計算方法；⑦古典概率的定義與性質；⑧古典概率計算的基本方法。
【解題思路】（1）根據頻數分布表和頻率分布直方圖的性質，結合問題條件求出頻數分布表中m，n的值，就可補全各年齡段頻率分布直方圖；（2）根據分層抽樣的性質和分層抽樣各層抽樣數計算的基本方法，結合問題條件通過運算分別求出[30，35），[35，40）年齡段抽取的人數，運用組合數計算的基本方法和求古典概率的基本求法，結合問題條件通過運算就可得出選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率。
【詳細解答】（1）從頻率分布直方圖可知[45，50）年齡段的頻率為0.025=0.1，n=10000.1=100，m=1000-（200+300+150+100+50）=200，補全各年齡段人數頻率分布直方圖如圖所示；（2）設選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的事件為A，從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表，年齡段在[30，35）選取的人數為5=3（人），年齡段在[35，40）選取的人數為5=2（人），=，=32=6，p（A）==，即從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率為。
『思考問題4』
（1）【典例4】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與隨機變量數學期望（或方差）的問題，歸結起來主要包括：①離散型隨機變量數學期望（或方差）定義及運用；②求離散型隨機變量數學期望（或方差）等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、2018年央視大型文化節目《經典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間（所有學生誦讀時間都在兩小時內），并按時間（單位：分鐘）將學生分成六個組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經統計得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數；
（2）若兩個同學誦讀詩詞的時間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個同學組成一個“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的兩人能組成一個“Tean”的概率。
（答案：（1）a=0.0025，估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數64分鐘；（2）選取的兩人能組成一個“Tean”的概率為。）
2、（理）某部門為了解企業在生產過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業的日用水量的統計數據， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統計數據中隨機抽取12天的數據作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標。
（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，求至多有1天用水量超標的概率；
（2）以這12天的樣本數據中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業未來3天中用水量超標的天數，記隨機變量X為未來3天中用水量超標的天數，求X的分布列和數學期望。
（文）某部門為了解企業在生產過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業（單位：噸）
的日用水量的統計數據，從這些統計數據中隨機 頻數 3 6 m
抽取12天的用水量的數據作為樣本，得到的統 頻率 n 0.5 p
計結果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內的這六個數據分別為83，85，86，87，88，89，從六個數據中隨機抽取兩個，求抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率。
（答案：（理）（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，至多有1天用水量超標的概率為；（2）隨機變量X的分布列為， X 0 1 2 3 隨機變量X的數
p 學期望為為1天。
（文）（1）m=3，n=0.25，p=0.25；（2）抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率為0.8。）
（理）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果氣溫位于區間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率（2017全國高考新課標III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，y的數學期望達到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率。
（答案：（理）（1）隨機變量X概率的分布列為： X 200 300 500
p
（2）當n=300時，y的數學期望達到最大值520元。（文）（1）六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率為；（2）y的可能值為-20元，120元，360元，估計y大于零的概率為。）

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