資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.通過本節課的學習掌握旋轉常見模型，能從復雜圖形中提煉出基本模型，體會旋轉思想在三角形、四邊形中的應用；
2.在解題過程中感悟旋轉思想，體會到可以利用旋轉添加輔助線，從而使分散的條件集中，達到順利解決問題的目的.
1.利用旋轉解決綜合性問題；
2.利用旋轉添加輔助線.
圖形的旋轉
圖形旋轉時，圖形中的每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，因此，可以以點帶面研究圖形的旋轉.
圖形的旋轉包括：
線段的旋轉；
三角形的旋轉；
四邊形的旋轉等.
例1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CF，連接EF．
（1）補充完成圖形；
（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．
練習1.已知坐標平面上的機器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行動結果為：在原地順時針旋轉A后，再向面對的方向沿直線行走a.若機器人的位置在原點，面對方向為y軸的負半軸，則它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐標為(　　)
A．(－1，－) B．(－1，) C．(，－1) D．(－，－1)
練習2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，點D在邊BC上，BD=2CD(如圖)，把BD繞著點D逆時針旋轉m(0＜m＜180)度后，如果點B恰好落在Rt△ABC的邊上，那么m=________.
線段的旋轉可以轉化為點的旋轉進行研究，如果求角的度數，要注意旋轉角相等；如果求線段長，要注意對應點到旋轉中心的距離相等.
例2.如圖1，△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點．過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．
（1）當A，B，C三點在同一直線上時，求AM與MN之間的數量關系；
（2）將△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；
（3）將△BCE繞點B旋轉到圖3的位置時，（2）中的結論是否仍然成立？
練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，則旋轉角度為( )
A．30° B．60° C．90° D．150°
練習2.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，將△DCB繞點C順時針旋轉60°后，點D的對應點恰好與點A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，則BD＝______．
練習3.如圖1，在平面直角坐標系，O為坐標原點，點A（﹣1，0），點B（0，）．
（1）求∠BAO的度數；
（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針旋轉得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關系？為什么？
（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖2所示的位置，S1與S2的關系發生變化了嗎？證明你的判斷．
三角形的旋轉可以轉化為線段的旋轉問題，旋轉就會得到等腰三角形，當旋轉角為60°時就會得到等邊三角形.當旋轉角為90°時就會得到等腰直角三角形，當旋轉角為180°時就會得到中心對稱圖形.
例3.如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．求證：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．
練習1.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是（　　）
A． B． C． D．
練習2.如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，將四邊形OABC繞點O時針方向旋轉α得到四邊形OA’B’C’，此時點A’落在線段BC上，且．
（1）求的值為多少；
（2）點的坐標是（20,15），繼續逆時針旋轉四邊形OA’B’C’，使其頂點落在的延長線上，與直線交于點，如圖2，求的面積為多少．
四邊形旋轉問題可以將其轉化為三角形旋轉或線段的旋轉，再根據旋轉的性質和四邊形的性質以及勾股定理等解決問題.
常見模型
1.“手拉手”模型
當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共頂點時就會出現“手拉手”模型，有手拉手就會有全等.
2.半角模型
當題中出現一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時就是半角模型，常采用旋轉將分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊.
3.四邊形對角互補模型
在四邊形中，如果出現一個角的兩邊相等且另兩個對角互補，就是對角互補模型.對角互補的原形是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可以通過旋轉將互補的角變為相等角從而得到全等.
例1.如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F.求證：△AEC≌△ADB.
練習1.如圖，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，EB=BD.試探究線段AE和CD之間有怎樣的數量關系和位置關系.并說明理由.

練習2.已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①∠AEB的度數為　 　°；
②探索線段CM、AE、BE之間的數量關系為　 　．（直接寫出答案，不需要說明理由）
“手拉手”模型
當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共頂點時就會出現“手拉手”模型，有手拉手就會有全等.
例2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．若AE=1，則FM的長為　 　．
練習1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠A+∠D=180°，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD.求證：EF=BE+DF.
當題中出現一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時就是半角模型，常采用旋轉將分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊.
例3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC為邊作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，若AB＝5，AC＝2.
求：(1)∠BAD的度數；
(2)AE的長．
練習1. 如圖，在△ABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補．
若AB=AC，D為BC的中點時，線段DE DF（填“=”“<”或“>”）
練習2. 已知，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=5，以斜邊AC為邊向外做正方形ACDE，連接AD、CE交于點M，連接BM，若BM=6 ，則BC= .
在四邊形中，如果出現一個角的兩邊相等且另兩個對角互補，就是對角互補模型.對角互補的原形是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可以通過旋轉將互補的角變為相等角從而得到全等.
利用旋轉求最值
利用旋轉求最值的依據是兩點之間，線段最短。已知線段AB=a,AC=b（a>b）,可以看成是點C繞著點A旋轉（圖1），
當點C在線段AB上時，線段BC取得最小值為a-b，（圖2）
當點C在BA的延長線上時，線段BC取得最大值為a+b（圖3）.
例1.如圖，AB=4cm，AC=2cm，以BC為直角邊作等腰直角三角形BCD.則線段AD的最大值為 cm.
練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC的中點為點D，將△ABC繞點C順時針旋轉任意一個角度得到△FEC，EF的中點為點G，連接DG，在旋轉過程中，DG的最大值是(　　)
A．4 B．6 C．2＋2 D．8
練習2.如圖①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90° ，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A 、C 分別在DG和DE上，連接 AE、BG ．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論．
（2）將正方形ABCD繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0° ，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）若BC=DE=2，在②的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．
利用旋轉求最值的基本模型是兩條定長的線段共頂點，理論依據是兩點之間，線段最短，當三點共線時會得到最大值或最小值.
利用旋轉添加輔助線
當已知條件沒有辦法利用或得不到所求問題時，就需要添加輔助線，將已知與所求聯系起來.旋轉可以將已知圖形從一個位置到另一個位置，從而再次得到全等形，將已知條件變換到另外的位置，從而使條件得以充分利用.
利用旋轉添加輔助線可以構造基本模型，如：手拉手、半角、倍長中線法等，還可以將分散的條件集中起來.
例1.如圖，P是正方形ABCD的邊CD上一點，∠BAP的平分線交BC于點Q，求證：AP=DP＋BQ.
練習1.已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過程如下：
過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）當MN繞A旋轉到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點A旋轉過程中，當∠BCD=30°，BD=時，則CD=　　，CB=　　．
練習2.在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90 得到AE，連結EC．如果AB=AC，∠BAC=90 ．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數量關系（直接寫出結論）；
②當點D在線段BC的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.
利用旋轉添加輔助線可以得到基本模型，從而使問題迎刃而解.
例2.如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．
練習1.如圖，點E是正方形ABCD內一點，連結AE、BE、DE．若AE=2，BE=，∠AED=135°，則正方形ABCD的面積為　 　．
練習2.閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
請你回答：圖1中∠APB的度數等于　 　．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數等于　 　，正方形的邊長為　 　；
（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=2，PB=1，PF=，則∠APB的度數等于　 　，正六邊形的邊長為　 　．
利用旋轉添加輔助線可以使分散的條件集中起來，從而利用勾股定理、全等來解決問題.
1.運用旋轉的知識解決簡單的計算問題，包括求線段長、求角的度數，以及圖形的面積等，在解決這類題目時要注意旋轉性質的應用，特別是旋轉角相等，對應點到旋轉中心的距離相等以及對應點連線的垂直平分線經過旋轉中心等.
2.利用旋轉的思想來解決比較復雜的幾何問題，包括探究線段之間的關系（位置關系和數量關系），較復雜的求線段長、角的度數以及圖形面積等.在這里我們一定要能夠識別基本模型、運用基本模型、利用線段的旋轉添加輔助線構造基本模型從而使問題得解，我們也可以通過旋轉三角形將分散的條件集中起來.
3.當兩條共端點的線段為定長時，另兩個點之間的距離就是變化的，也可以說一條定線段繞著端點旋轉，當三點在同一直線上時，另兩個點之間的距離就會出現極值.
第1頁中小學教育資源及組卷應用平臺
1.通過本節課的學習掌握旋轉常見模型，能從復雜圖形中提煉出基本模型，體會旋轉思想在三角形、四邊形中的應用；
2.在解題過程中感悟旋轉思想，體會到可以利用旋轉添加輔助線，從而使分散的條件集中，達到順利解決問題的目的.
1.利用旋轉解決綜合性問題；
2.利用旋轉添加輔助線.
圖形的旋轉
圖形旋轉時，圖形中的每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，因此，可以以點帶面研究圖形的旋轉.
圖形的旋轉包括：
線段的旋轉；
三角形的旋轉；
四邊形的旋轉等.
例1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CF，連接EF．
（1）補充完成圖形；
（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．
【答案】解：（1）補全圖形，如圖所示；
（2）由旋轉的性質得：∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．
【解析】（1）根據題意補全圖形，如圖所示；（2）由旋轉的性質得到∠DCF為直角，CD=CF，由EF與CD平行，得到∠EFC為直角，利用SAS得到三角形BDC與三角形EFC全等，利用全等三角形對應角相等即可得證．
練習1.已知坐標平面上的機器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行動結果為：在原地順時針旋轉A后，再向面對的方向沿直線行走a.若機器人的位置在原點，面對方向為y軸的負半軸，則它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐標為(　　)
A．(－1，－) B．(－1，) C．(，－1) D．(－，－1)
【答案】D
【解析】解：如圖所示，點P為完成指令后位置，作PQ⊥y軸于Q點，
∵OP=2，∠POQ=60°，∴OQ=1，PQ=，
∴P（-，-1）．故選D．
練習2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，點D在邊BC上，BD=2CD(如圖)，把BD繞著點D逆時針旋轉m(0＜m＜180)度后，如果點B恰好落在Rt△ABC的邊上，那么m=________.
【答案】80°，120°
【解析】本題可以將線段的旋轉問題轉化為點B繞D點逆時針旋轉的問題，故可以D點為圓心，DB長為半徑畫弧，第一次與原三角形交于斜邊AB上的一點B′，交直角邊AC于B″，此時DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性質求旋轉角∠BDB′的度數，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋轉角∠BDB″的度數．
線段的旋轉可以轉化為點的旋轉進行研究，如果求角的度數，要注意旋轉角相等；如果求線段長，要注意對應點到旋轉中心的距離相等.
例2.如圖1，△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點．過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．
（1）當A，B，C三點在同一直線上時，求AM與MN之間的數量關系；
（2）將△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；
（3）將△BCE繞點B旋轉到圖3的位置時，（2）中的結論是否仍然成立？
【答案】（1）
∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE
∵點M為DE的中點，∴DM=DN
又∵∠AMD=∠NME，∴△ADM≌△NEM
∴AM=MN
（2）
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形
∴AB=AD，BC=EC，∠CBE=∠CEB=45°
∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°
∵∠DAE+90°，∴∠NEA=90°∴∠NEC=135°
∵A，B，E三點在同一直線上
∴∠ABC=180°-∠CBE=135°∴∠ABC=∠NEC
∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=EN
∵AD=AB，∴AB=NE ∴△ABC≌△NEC
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE,∴∠CAN=∠BCE=90°
∴△ACN為等腰直角三角形
（3）成立
∵∠ABD=∠CBE=45°，
∴∠ABC=270°-∠DBE,∵AD∥EN，
∴∠MNE=∠MDA
∴∠NEC=∠MEN+∠DEB+45°=∠MDA+∠DEB+45°=∠BDE+45°+∠DEB+45°
=180°-∠DBE+90°+270°-∠DBE
∴∠ABC =∠MNE
又∵AB=NE（已證），BC=EC，
∴
∴，∠ACB=∠NCE,
∴∠CAN=∠BCE=90°
∴△ACN為等腰直角三角形
【解析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等的性質，可知∠MAD=∠MNE，∠AND=∠NEM.再根據邊角邊的判定定理，可得△ADM≌△NEM，根據全等三角形對應邊相等的性質可知：AM=MN，即可證得M為AN的中點.
（2）由（1）中△ADM≌△NEM，可得AB=DA=NE，根據邊角邊的判定定理，可知△ABC≌△NEC，根據全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質得AC=NC，∠CAN=∠BCE=90°，根據等腰直角三角形的定義即可得證.
（3）根據（1）中全等三角形的性質和角的基本運算，可知AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC ，再根據邊角邊的判定定理，可知△ABC≌△NEC，根據全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，可知AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，根據等腰直角三角形定義即可得證.
練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，則旋轉角度為( )
A．30° B．60° C．90° D．150°
【答案】B
【解析】因為在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，所以∠A=60°，因為△ABC 繞點C順時針旋轉至△A′B′C時點A’恰好落在AB上，所以AC=A’C，所以△A’AC是等邊三角形，所以旋轉角為60°.
練習2.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，將△DCB繞點C順時針旋轉60°后，點D的對應點恰好與點A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，則BD＝______．
【答案】5
【解析】解：連接BE，如圖所示，
由旋轉得∠BCE=60°，CE=BC=4，∴△BCE是等邊三角形，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，∴AE=BD=5，故答案為：5．
練習3.如圖1，在平面直角坐標系，O為坐標原點，點A（﹣1，0），點B（0，）．
（1）求∠BAO的度數；
（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針旋轉得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關系？為什么？
（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖2所示的位置，S1與S2的關系發生變化了嗎？證明你的判斷．
【答案】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，），
∴OA=1，OB=，
在Rt△AOB中，tan∠BAO==，∴∠BAO=60°；
（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，
∴CA'=AC=AB，∴OA'=AA'=AO，
根據等邊三角形的性質可得，△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2，
（3）S1=S2不發生變化；
方法1、理由：如圖，過點'作A'M⊥OB．過點A作AN⊥OB'交B'O的延長線于N，
∵△A'B'O是由△ABO繞點O旋轉得到，
∴BO=OB'，AO=OA'，
∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，
∴∠AON=∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，
，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN=A'M，
∴△BOA'的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2．
方法2、如圖2，
在x軸正半軸上取一點C，使OC=OA，連接B'C，
∴S△AOB'=S△B'OC，
由旋轉知，AO'=AO，BO=B'O，
∴OC=OA'
∵∠BOC=∠A'OB'=90°，
∴∠A'OB=∠COB'，
∴△A'OB≌△COB'，
∴S△A'OB=S△COB'，
∴S△A'OB=S△AOB'，即S1=S2
【解析】（1）先求出OA，OB，再用銳角三角函數即可得出結論；（2）根據等邊三角形的性質可得AO=AA'，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AO=AB，然后求出AO=OA'，再根據等邊三角形的性質求出點O到AB的距離等于點A'到AO的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；（3）方法1、根據旋轉的性質可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角邊”證明△AON和△A'OM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．方法2、利用三角形的中線判斷出S△AOB'=S△B'OC，再判斷出△A'OB≌△COB'，即S△A'OB=S△COB'，即可．
三角形的旋轉可以轉化為線段的旋轉問題，旋轉就會得到等腰三角形，當旋轉角為60°時就會得到等邊三角形.當旋轉角為90°時就會得到等腰直角三角形，當旋轉角為180°時就會得到中心對稱圖形.
例3.如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．求證：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．
【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，
根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°，
∴A′D=ED，
在△AA′D和△CED中，
，
∴△ADA′≌△CDE（SAS）；
（2）由正方形的性質及旋轉，得CD=CB′，∠CB′E=∠CDE=90°，又CE=CE，
∴Rt△CEB′≌Rt△CED
∴∠B′CE=∠DCE，
∵AC=A′C
∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．
【解析】（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據等角對等邊可得A′D=ED，即可利用SAS證明△ADA′≌△CDE；
（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進而得到點E也在AA′的垂直平分線上，再根據兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．
練習1.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：連接，
∵四邊形是正方形，∴，
∵邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1，
∴，∴，
∴AC1過D點，即A、D、C1三點共線，
∵正方形ABCD的邊長是1，∴四邊形AB1C1D1的邊長是，
在中，由勾股定理得：，
則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形AB1OD的面積是，故選：C．
練習2.如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，將四邊形OABC繞點O逆時針方向旋轉α得到四邊形OA’B’C’，此時點A’落在線段BC上，且．
（1）求的值為多少；
（2）點的坐標是（20,15），繼續逆時針旋轉四邊形OA’B’C’，使其頂點落在的延長線上，與直線交于點，如圖2，求的面積為多少．
【答案】解：（1）設，，
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
由旋轉可得，
在中，
∴，化簡得
∴，即．
（2）
∵點的坐標是
∴，，
由旋轉得，，，，
在和中，
∴
∴，，
在中，
∴，解得，
∵是對角線，∴，
∴．
∴的面積
四邊形旋轉問題可以將其轉化為三角形旋轉或線段的旋轉，再根據旋轉的性質和四邊形的性質以及勾股定理等解決問題.
常見模型
1.“手拉手”模型
當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共頂點時就會出現“手拉手”模型，有手拉手就會有全等.
2.半角模型
當題中出現一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時就是半角模型，常采用旋轉將分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊.
3.四邊形對角互補模型
在四邊形中，如果出現一個角的兩邊相等且另兩個對角互補，就是對角互補模型.對角互補的原形是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可以通過旋轉將互補的角變為相等角從而得到全等.
例1.如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F.求證：△AEC≌△ADB.
【答案】解：(1)由旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB(SAS)
【解析】由旋轉的性質得△ABC≌△ADE，從而得到對應線段和對應角相等，根據角和線段的等量代換可得∠CAE＝∠DAB，AE＝AD，由全等三角形“邊角邊”的判定定理即可證得結論
練習1.如圖，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，EB=BD.試探究線段AE和CD之間有怎樣的數量關系和位置關系.并說明理由.

【答案】解：AE=CE且AE⊥CD
理由如下：因為△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，
所以AB=CB,EB=DB，且∠ABC=∠EBD=90°，
則∠ABE=∠CBD.
所以△ABE≌△CBD.所以AE=CD；
如圖，延長CD分別交AE、AB于點F、G.
由全等可知，∠BAE=∠BCD.
又∠AGF=∠CGB
所以∠AFG=∠CBG=90°，即AE⊥CD.
【解析】根據SAS得到△ABE≌△CBD.從而AE=CD，∠BAE=∠BCD，再運用角度計算得到∠AFG=90°，從而得到垂直.
練習2.已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①∠AEB的度數為　 　°；
②探索線段CM、AE、BE之間的數量關系為　 　．（直接寫出答案，不需要說明理由）
【答案】解：（1）如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°；
（3）①如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180﹣45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
故答案為：90；
②如圖2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
故答案為：AE=BE+2CM．
【解析】（1）由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到對應邊相等，即AD=BE；（2）根據△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由點A，D，E在同一直線上，可求出∠ADC=120°，從而可以求出∠AEB的度數；（3）①首先根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°；②根據DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據此判斷出AE=BE+2CM．
“手拉手”模型
當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共頂點時就會出現“手拉手”模型，有手拉手就會有全等.
例2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．若AE=1，則FM的長為　 　．
【答案】解：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三點共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
設EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，∴FM=． 故答案為：．
【解析】由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．
練習1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠A+∠D=180°，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF= ∠BAD.求證：EF=BE+DF.
【答案】證明：延長FD至點G，使DG=BE.易證△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∴∠EAF=∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF
又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE
【解析】利用旋轉將△ABE旋轉至△ADG位置，再證△EAF≌△GAF即可.
當題中出現一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時就是半角模型，常采用旋轉將分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊.
例3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC為邊作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，若AB＝5，AC＝2.
求：(1)∠BAD的度數；
(2)AE的長．
【答案】解：(1)由旋轉的性質及等邊三角形的性質得△ABD≌△ECD，
∴∠ABD＝∠ECD，AD＝DE，∠ADE＝60°，
又∵在四邊形ABDC中，∠BAC＋∠CDB＋∠ABD＋∠ACD＝360°，
∴120°＋∠ABD＋∠ACD＋60°＝360°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＋∠ECD＝180°，
∴A，C，E三點在一條直線上，
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠BAD＝∠E＝60°.　
(2)由(1)知CE＝AB=5，
∴AE＝AC＋CE＝7.　
【解析】（1）由旋轉得到△ABD≌△ECD，從而得到△ADE為等邊三角形，于是可得∠BAD＝∠E＝60°.（2）由(1)知CE＝AB=5，∴AE＝AC＋CE＝7.
練習1. 如圖，在△ABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補．
若AB=AC，D為BC的中點時，線段DE DF（填“=”“<”或“>”）
【答案】=
【解析】如圖，因為AB=AC且點D是BC邊的中點，根據等腰三角形三線合一可知，AD平分∠BAC.當圖中出現角平分線時，向角的兩邊作垂線是常見的輔助線；同時，題中還存在對角互補四邊形，且題中沒有明顯的共端點相等線段，所以旋轉不予考慮.從以上分析得，可通過點D作DM⊥AB，DN⊥AC.可證△DME≌△DNF，所以DE=DF.
練習2. 已知，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=5，以斜邊AC為邊向外做正方形ACDE，連接AD、CE交于點M，連接BM，若BM=6 ，則BC= .
【答案】7
【解析】由正方形的性質可知，∠AMC=90°.所以∠ABC+∠AMC=180°.滿足對角互補.根據對角互補作垂線，過點M作MP⊥AB，MQ⊥BC垂足分別為點P，Q.如下圖：
易證△MPA≌△MQC，因此MP=MQ，由此可得，四邊形BQMP是正方形.所以MQ=BQ.又因為BM=6，根據勾股定理可得，BP=6.由此可得，AP=1=CQ.所以，BC=7.
在四邊形中，如果出現一個角的兩邊相等且另兩個對角互補，就是對角互補模型.對角互補的原形是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可以通過旋轉將互補的角變為相等角從而得到全等.
利用旋轉求最值
利用旋轉求最值的依據是兩點之間，線段最短。已知線段AB=a,AC=b（a>b）,可以看成是點C繞著點A旋轉（圖1），
當點C在線段AB上時，線段BC取得最小值為a-b，（圖2）
當點C在BA的延長線上時，線段BC取得最大值為a+b（圖3）.
例1.如圖，AB=4cm，AC=2cm，以BC為直角邊作等腰直角三角形BCD.則線段AD的最大值為 cm.
【答案】
【解析】以點B為直角頂點，構造共直角頂點的雙等腰直角三角形.如圖：
易證△ABC≌△EBD，所以DE=AC=2.AE=4√2，所以AD的最大值為AD=AE+ED=4+2
練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC的中點為點D，將△ABC繞點C順時針旋轉任意一個角度得到△FEC，EF的中點為點G，連接DG，在旋轉過程中，DG的最大值是(　　)
A．4 B．6 C．2＋2 D．8
【答案】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=AC÷cos30°=4÷=8，
BC=AC tan30°=4×=4，
∵BC的中點為D，∴CD=BC=×4=2，
連接CG，
∵△ABC繞點C順時針旋轉任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，
∴CG=EF=AB=×8=4，
由三角形的三邊關系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G三點共線時DG有最大值，此時DG=CD+CG=2+4=6．故選：B．
【解析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，連接CG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CG，然后根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出D、C、G三點共線時DG有最大值，再代入數據進行計算即可得解．
練習2.如圖①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90° ，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A 、C 分別在DG和DE上，連接 AE、BG ．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論．
（2）將正方形ABCD繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0° ，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）若BC=DE=2，在②的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．
【答案】（1）BG＝AE．
易得BD=DA,GD=DA,∠GDB=∠EDA；
故可得Rt△BDG≌Rt△ADE；故BG=AE；
（2）成立．
如圖，連接AD．
∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，
∴BG＝AE．
（3）由（2）知，BG=AE，故當BG最大時，AE也最大．
正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°時，BG最大，如圖．
若BC=DE=2，則AD=1，EF=2．
在Rt△AEF中，AF 2=AE 2＋EF 2=(AD＋DE)2＋EF 2=(1＋2)2＋2 2=13．
∴AF＝
【解析】（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA，故BG=AE；
（2）連接AD，根據直角三角形與正方形的性質可得Rt△BDG≌Rt△EDA，進而可得BG=AE；
（3）根據（2）的結論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．
利用旋轉求最值的基本模型是兩條定長的線段共頂點，理論依據是兩點之間，線段最短，當三點共線時會得到最大值或最小值.
利用旋轉添加輔助線
當已知條件沒有辦法利用或得不到所求問題時，就需要添加輔助線，將已知與所求聯系起來。旋轉可以將已知圖形從一個位置到另一個位置，從而再次得到全等形，將已知條件變換到另外的位置，從而使條件得以充分利用。
利用旋轉添加輔助線可以構造基本模型，如：手拉手、半角、倍長中線法等，還可以將分散的條件集中起來。
例1. 如圖，P是正方形ABCD的邊CD上一點，∠BAP的平分線交BC于點Q，求證：AP=DP＋BQ.
【答案】解：將△ABQ繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE，
由旋轉的性質得∠E＝∠AQB，DE＝BQ，∠EAQ＝90°，∠EDA＝∠B＝90°，
∵∠EDP＝∠EDA＋∠PDA＝90°＋90°＝180°，
∴E，D，P在一條直線上．
∵AQ是∠BAP的平分線，
∴∠QAB＝∠PAQ，
∴∠PAE＝90°－∠PAQ＝90°－∠QAB＝∠AQB＝∠E，
∴AP＝PE，
∴AP＝DP＋DE＝DP＋BQ
【解析】通過旋轉△ADE使E，D，P在一條直線上,再根據角度的轉化得到等腰三角形.
練習1.已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過程如下：
過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）當MN繞A旋轉到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點A旋轉過程中，當∠BCD=30°，BD=時，則CD=　　，CB=　　．
【答案】解：（1）如圖（2）：AB﹣BD=CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，
∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AB﹣AE，∴BE=AB﹣BD，∴AB﹣BD=CB．
如圖（3）：BD﹣AB=CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，
∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE﹣AB，∴BE=BD﹣AB，∴BD﹣AB=CB．
（2）MN在繞點A旋轉過程中，這個的意思并沒有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個圖和第二個圖兩種情況
若是第1個圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD=BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=．
∴CB=+1
若是第二個圖：過D作DH⊥CB交CB延長線于H．
解法類似上面，CD=2，但是CB=﹣1．
【解析】（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據此即可得到BE=CB，根據BE=AB﹣AE即可證得；（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
練習2.在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90 得到AE，連結EC．如果AB=AC，∠BAC=90 ．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數量關系（直接寫出結論）；
②當點D在線段BC的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.
【答案】①線段CE、BD之間的位置和數量關系分別是垂直和相等.
②結論仍然成立.
證明：畫出圖形.
如圖，由題意可知，，.
，即 .
∴ △BAD≌△CAE .
∴ BD=CE，.
∴，即 CE⊥BD.
利用旋轉添加輔助線可以得到基本模型，從而使問題迎刃而解.
例2.如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．
【答案】解法一：如圖，將△CAP繞點C逆時針旋轉90°，得到△CBQ.連接PQ.易得△PCQ是等腰直角三角形，所以PQ=√2PC=2√2.又因為PB=1，BQ=PA=3，根據勾股定理逆定理可得，∠BPQ=90°.又∠CPQ=45°，所以∠BPC=90°+45°=135°.
本題的輔助線也可以這樣添加，將CP繞點C逆時針旋轉90°，得到CQ，連接PQ可知△PCQ是等腰直角三角形，構造共直角頂點的等腰直角三角形.易證△ACP≌△BCQ.由全等可知BQ=PA=3，根據勾股定理的逆定理可得，∠BPQ=45°，所以∠BPC=135°.
解法二：將CP繞點C順時針旋轉90°，得到CQ，連接PQ.則△PCQ是等腰直角三角形.從而構造共直角頂點的等腰直角三角形.如圖：
易證△CBP≌△CAQ，所以AQ=BP=1，又PA=3，PQ=2√2.根據勾股定理的逆定理可證∠AQP=90°，所以∠AQC=∠BPC=135°.
練習1.如圖，點E是正方形ABCD內一點，連結AE、BE、DE．若AE=2，BE=，∠AED=135°，則正方形ABCD的面積為　 　．
【答案】解：如圖，把△ADE繞點B順時針旋轉90°得到△ABE′
則E′B=DE，AE=AE
∵旋轉角是90°，
∴∠EAE′=90°，
∴△EAE′是等腰直角三角形，
∴EE′= AE=2，∠AE′E=45°，
∵∠AED=135°，
∴∠AE′B=∠AED=135°，
∴∠EE′B=135°﹣45°=90°，
在Rt△EE′B中，由勾股定理得，BE′=DE==，
過點A作垂線垂直于BE'，交BE'的延長線于點G，可求出RT三角形AGB的AG和BG的長，分別為和
在△ABG中，由勾股定理可知AB2=2+2
∴正方形ABCD的面積=AB2=11+2．
故答案為：11+2．
【解析】把△ADE繞點B順時針旋轉90°得到△ABE′，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得E′B=DE，AE′=AE，然后求出△AEE′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出EE′，∠EE′A=45°，再求出∠EE′B=90°，利用勾股定理DE，然后根據余弦定理即可得到結果．
練習2.閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
請你回答：圖1中∠APB的度數等于　 　．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數等于　 　，正方形的邊長為　 　；
（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=2，PB=1，PF=，則∠APB的度數等于　 　，正六邊形的邊長為　 　．
【答案】解：閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；
（1）如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，
∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=2=17，
∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故∠APB=∠AP′D=135°，
∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴點P′、P、B三點共線，
過點A作AE⊥PP′于E，
則AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB===；
（2）如圖4，∵正六邊形的內角為×（6﹣2） 180°=120°，
∴把△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△AFP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，
∴∠APP′=∠AP′P=（180°﹣120°）=30°，
過點A作AM⊥PP′于M，設PP′與AF相交于N，
則AM=PA=×2=1，P′M=PM===，
∴PP′=2PM=2，
∵PP′2+P′F2=（2）2+12=13，PF2=2=13，
∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，
∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故∠APB=∠AP′F=120°，
∵P′F=AM=1，
∵△AMN和△FP′N中，
，
∴△AMN≌△FP′N（AAS），
∴AN=FN，P′N=MN=P′M=，
在Rt△AMN中，AN===，∴AF=2AN=2×=．
故答案為：150°；（1）135°，；（2）120°，．
【解析】閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，根據旋轉的性質可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數；（1）把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，根據旋轉的性質可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數；再求出點P′、P、B三點共線，過點A作AE⊥PP′于E，根據等腰直角三角形的性質求出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；（2）把△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△AFP′，根據旋轉的性質可得P′A=PA，P′F=PB，∠PAP′=120°，然后求出△APP′是底角為30°的等腰三角形，過點A作AM⊥PP′于M，設PP′與AF相交于N，求出AM=1，再求出PP′，∠AP′P=30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F=90°，然后求出∠AP′F，即為∠APB的度數；根據P′F、AM的長度得到P′F=AM，利用“角角邊”證明△AMN和△FP′N全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=FN，P′N=MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．
利用旋轉添加輔助線可以使分散的條件集中起來，從而利用勾股定理、全等來解決問題.
1.運用旋轉的知識解決簡單的計算問題，包括求線段長、求角的度數，以及圖形的面積等，在解決這類題目時要注意旋轉性質的應用，特別是旋轉角相等，對應點到旋轉中心的距離相等以及對應點連線的垂直平分線經過旋轉中心等.
2.利用旋轉的思想來解決比較復雜的幾何問題，包括探究線段之間的關系（位置關系和數量關系），較復雜的求線段長、角的度數以及圖形面積等.在這里我們一定要能夠識別基本模型、運用基本模型、利用線段的旋轉添加輔助線構造基本模型從而使問題得解，我們也可以通過旋轉三角形將分散的條件集中起來.
3.當兩條共端點的線段為定長時，另兩個點之間的距離就是變化的，也可以說一條定線段繞著端點旋轉，當三點在同一直線上時，另兩個點之間的距離就會出現極值.
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