資源簡(jiǎn)介

提高例題設(shè)計(jì)有效性的策略
例題是幫助學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定理、公式和法則的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是教師用作示范的具有一定代表性的典型數(shù)學(xué)問(wèn)題。例題是把數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法進(jìn)行分析、綜合和運(yùn)用的重要手段，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是抽象的概念、定理、公式和具體實(shí)踐之間的橋梁，是使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的重要環(huán)節(jié)。
教師在備課時(shí)要選擇、設(shè)計(jì)例題，一般來(lái)說(shuō)，教材上原有的例題都是編者經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲而精選的，應(yīng)充分發(fā)揮作用。然而，教學(xué)中面對(duì)的實(shí)際情況卻各不相同，必須按照不同的學(xué)生實(shí)際情況和不同的內(nèi)容，在例題設(shè)計(jì)上精心思考和設(shè)計(jì).
一、教學(xué)案例的回眸
在學(xué)習(xí)了“圓”的有關(guān)性質(zhì)后，為了檢測(cè)學(xué)生的掌握情況，某教師出現(xiàn)了下面一道題：
如圖1，在△ABC中，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=3.求⊙O的半徑。
學(xué)生看了一遍題目，便在下面嚷開(kāi)了：太簡(jiǎn)單了！（此時(shí)教師讓一名學(xué)生解答本題）
學(xué)生：由AB是⊙O的直徑，得∠C=90°.
∵BC=3, ∠A=30°,
∴AB=6.
故⊙O的半徑為3.
教師:很好,利用直徑的特征,結(jié)合直角三角形性質(zhì)求出了半徑.
教師：若題中AB不是⊙O的直徑，其余條件不變，那么⊙O的半徑還會(huì)是3嗎？
學(xué)生：AB不是⊙O的直徑，當(dāng)然不能，故⊙O的半徑不會(huì)是3.
（其實(shí)這就是思維定勢(shì)在起作用，也正是教師需要學(xué)生注意的地方。促使學(xué)生思考：此時(shí)⊙O的內(nèi)接三角形中就一定不會(huì)有上題中那樣的直角三角形了嗎？）
教師：想一想，這個(gè)圓中會(huì)不會(huì)有上題中那樣的直角三角形出現(xiàn)？
……
此時(shí)的學(xué)生陷入了思考.圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角,故有多個(gè)直角三角形供選擇,但所構(gòu)造的直角三角形必須用到已知三角形中的條件,于是學(xué)生試著過(guò)A、B、C三點(diǎn)畫(huà)直徑，直至發(fā)現(xiàn)⊙O的半徑還是3.
學(xué)生:如圖2,作直徑A′B,連接A′C即可.(一臉興奮)原來(lái)一樣!
二、案例的分析
此時(shí)教師若再能引領(lǐng)學(xué)生的思維前進(jìn)一步,則收獲遠(yuǎn)不是解一道題目所能達(dá)到的.
教師:若設(shè)∠A=α(α＜90°),BC=a，則⊙O的直徑是多少？
此時(shí)的學(xué)生有了上面的經(jīng)驗(yàn)，不難得出⊙O的直徑．
這樣,教師就可針對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行小結(jié)：
（1）通過(guò)上述問(wèn)題的解決過(guò)程，你學(xué)到了哪些方法？
（2）從這3個(gè)問(wèn)題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？
　 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生能夠在課堂活動(dòng)中感悟知識(shí)生成、發(fā)展與變化的過(guò)程，幫助他們?cè)谧灾魈剿髋c合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)．從這個(gè)的案例中看到例題設(shè)計(jì)的重要性，如果例題設(shè)計(jì)到位，有助于學(xué)生鞏固、深化新學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、領(lǐng)悟和掌握隱含于其中的重要數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練良好思維品質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、發(fā)展智力等。從這個(gè)的案例中也體會(huì)到：
1.例題的功能
理解知識(shí)，鞏固應(yīng)用,為讓學(xué)生盡快熟悉課本基本內(nèi)容，加深對(duì)概念、公式等的理解，教材一般都會(huì)適當(dāng)安排一些例題加以說(shuō)明、驗(yàn)證．
滲透數(shù)學(xué)思想方法,教材中不少例題貌似簡(jiǎn)單，但常常蘊(yùn)涵著基本的數(shù)學(xué)思想方法和技巧，若在教學(xué)中能很好的挖掘與滲透，對(duì)提高學(xué)生解題能力、啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維大有幫助．
潛在的德育功能,新課標(biāo)非常重視數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，而教材中不少例題恰恰體現(xiàn)了這一點(diǎn)，常常選用能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)社會(huì)的關(guān)注．
較好的示范作用,解題時(shí)思路正確但表述混亂是不少學(xué)生的通病．教材中的例題，書(shū)寫(xiě)格式及過(guò)程敘述一般都比較規(guī)范，符號(hào)的使用、圖形的繪制也比較準(zhǔn)確，有較好的示范作用，解答中縝密的思維和嚴(yán)密的邏輯推理更是為學(xué)生提供了良好的學(xué)習(xí)素材，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣．
學(xué)業(yè)考的導(dǎo)向作用,課本的例題、習(xí)題是學(xué)業(yè)考題的生長(zhǎng)點(diǎn)，許多學(xué)業(yè)考題在課本中都能找到原型．在平常教學(xué)中重視教材例題的教學(xué)，無(wú)形中會(huì)對(duì)學(xué)生重視課本產(chǎn)生潛移默化的作用．
2. 例題的處理
教材的例題有難有易，解法有詳有略，功能又各有不同，教師應(yīng)該根據(jù)例題本身的特點(diǎn)和學(xué)生具體情況分別對(duì)待，靈活處理．對(duì)某些例題進(jìn)行適當(dāng)變式教學(xué)，以開(kāi)拓學(xué)生的視野，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)．
3.例題處理的誤區(qū)
一種是教師認(rèn)為教材中的例題太簡(jiǎn)單，經(jīng)常選用不能體現(xiàn)自己的教學(xué)特色，因而對(duì)其不屑一顧．另一種是教師教學(xué)時(shí)照本宣科，書(shū)上怎么寫(xiě)就怎么講，從而抑制學(xué)生的創(chuàng)造思維，阻礙學(xué)生思維能力的發(fā)展．
三、例題設(shè)計(jì)的思考與策略
數(shù)學(xué)教學(xué)中常出現(xiàn)這樣的“怪現(xiàn)象”：教師辛辛苦苦“講”過(guò)的題，隔一段時(shí)間再練或再考時(shí)出錯(cuò)率仍然很高，相當(dāng)多的教師把這一現(xiàn)象完全歸咎于學(xué)生，認(rèn)為是學(xué)生態(tài)度不認(rèn)真或者學(xué)生笨造成的，筆者認(rèn)為不能把責(zé)任全推到學(xué)生身上，教者應(yīng)反思自己的教學(xué)行為，要反思自己的例題設(shè)計(jì)過(guò)程中是否科學(xué)，是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教者“講”的東西學(xué)生掌握了多少？學(xué)生的思維參與度怎么樣？學(xué)生的體會(huì)體驗(yàn)是什么？學(xué)生能從中悟出那些思想方法、規(guī)律或一般結(jié)論？鑒于以上考慮，筆者認(rèn)為：例題設(shè)計(jì)絕不是單純的設(shè)計(jì)解題活動(dòng)或者解答過(guò)程的環(huán)節(jié)，還應(yīng)該設(shè)計(jì)題目解完后，反思解題的探索過(guò)程，概括提煉出規(guī)律性的東西，講所解之題進(jìn)行拓展延伸，歸納總結(jié)出一類(lèi)問(wèn)題最本質(zhì)的解法，從而達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。下面就例題設(shè)計(jì)談一些體會(huì)
1、注意前后知識(shí)的融合，例題的設(shè)計(jì)重在突出新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與差別。
三角形內(nèi)角和定理的證明時(shí)，怎么會(huì)想到延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，并過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB？當(dāng)初是用拼角的方法來(lái)驗(yàn)證三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°，如圖3，把∠A剪下來(lái)拼到∠ACE的位置，由于∠ACE與∠A是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，想到過(guò)點(diǎn)C 作CE∥AB。同樣，如圖4，如果是把∠C剪下來(lái)，拼到∠EAC的位置，∠B剪下來(lái)拼到∠BAD的位置，則∠EAC與∠C、∠DAB與∠B都是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，想到過(guò)點(diǎn)A作DE∥CB，有添這些輔助線的思路，證明就輕而易舉了。
在解答以上問(wèn)題的過(guò)程中，把前后知識(shí)復(fù)習(xí)了一遍，使學(xué)生溫故知新，既提高了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，又鍛煉了其思維能力。
2、注重例題設(shè)問(wèn)的引申和變式
課本例題的最大特點(diǎn)是針對(duì)性強(qiáng)，基礎(chǔ)性強(qiáng)，但教材中大多數(shù)例題是一題一問(wèn)，給學(xué)生的思維空間較小。盡管和老教材相比，新教材在部分例題解答后面安排了“思考”這個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)例題進(jìn)行了一些挖掘，但大多數(shù)例題仍缺乏縱向和橫向的引申。為了培養(yǎng)思維的深刻性和廣闊性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，結(jié)合教學(xué)的實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)貙?duì)課本例題的設(shè)問(wèn)進(jìn)行引申是非常有必要的。
例如，如圖5，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC 于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求證：。
分析： 連接AD，此題利用直徑所對(duì)的圓周角是直角；等腰三角形的三線合一；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等的知識(shí)來(lái)證明。
變化例題：點(diǎn)A,B,D,E在圓上，弦AE的延長(zhǎng)線與弦BD的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)C.給出下例三個(gè)條件：（1）AB是圓的直徑；（2）D是BD的中點(diǎn)；（3）AB=AC.
請(qǐng)?jiān)谏鲜鰲l件中選取兩個(gè)作為已知條件，第三個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的命題，并加以證明。
條件：_____________________________.
結(jié)論：____________________________.
證明：____________________________.
本題通過(guò)變化，力圖考查學(xué)生的推理能力，要求學(xué)生選擇其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，自主構(gòu)建一個(gè)正確的命題，這樣就具有一定的開(kāi)放性，同時(shí)也關(guān)注了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)。
3、到課后練習(xí)中去“淘寶”
一堂課總共才45分鐘，所以課堂上的例題一定要精練。教材中的例題有時(shí)會(huì)存在題型太過(guò)于單一，或者例題之間功能重復(fù)等問(wèn)題，講解后并不能達(dá)到最佳的教學(xué)效果。這時(shí)候，教師需要更換更適合教學(xué)要求的例題。就最大限度地利用教材而言，課后練習(xí)無(wú)疑是一塊絕佳的淘寶之地。
例如，如圖6，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證:AE=EF.
問(wèn)題的解決:按照教科書(shū)上的提示,取AB邊的中點(diǎn)M,連接ME,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF。
這顯然是利用構(gòu)造全等三角形的思想幫助我們解決了問(wèn)題。
問(wèn)題的生成：（1）學(xué)生問(wèn)教師，為什么不過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CG，垂足為G來(lái)解決問(wèn)題？這種做法很容易想到，這樣能否解決問(wèn)題？（在課堂上教師沒(méi)能夠給出學(xué)生滿意的解答）還有沒(méi)有其他的解法？如何探索？
（2）教師讓學(xué)生繼續(xù)研討，如果把上面的條件“點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E為BC邊（或BC延長(zhǎng)線）上的任意一點(diǎn)”，結(jié)論“AE＝EF”是否還成立呢？
從“特殊到一般”研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，是我們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常用到的，而且是著力滲透的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維能力起著橋梁和紐帶作用。果然，此題一經(jīng)拋出，激起千層浪，學(xué)生在認(rèn)真地思考、研究、探索、交流這個(gè)問(wèn)題的前提下，很多學(xué)生都期待能夠發(fā)表自己的見(jiàn)解。
4、設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性問(wèn)題思路，給學(xué)生提供充分的探究機(jī)會(huì)
　　開(kāi)放式問(wèn)題是近幾年學(xué)業(yè)考試的熱點(diǎn)，它能充分拓展學(xué)生的思維空間，對(duì)條件的不確定性與結(jié)論多樣性的探索、猜想，促使學(xué)生的思維更深刻、廣闊、活躍，更能體現(xiàn)學(xué)生的思維能力。探究是一種讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。因此，教師應(yīng)十分重視探究式學(xué)習(xí)，給學(xué)生提供充分的科學(xué)探究機(jī)會(huì)，盡力提高學(xué)生的探究能力。在課堂例題的設(shè)計(jì)中，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)適合學(xué)生獨(dú)立或集體探究的，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)能體現(xiàn)知識(shí)形成過(guò)程的探究情境，通過(guò)問(wèn)題解決來(lái)學(xué)習(xí)。
例如，如圖7，點(diǎn)E、F、G、H 分別是正方形ABCD
的邊上的中點(diǎn), 四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
這道題可以從條件中的“正方形”或“中點(diǎn)” 入手
進(jìn)行變形：
探究一：將條件中的“正方形”分別改為“矩形” 、“菱形” 、“等腰梯形” 、“四邊形”，那么
四邊形EFGH 分別是什么樣的四邊形? 如圖5
探究二：已知E、F、G、H 分別是正方形ABCD 邊上的點(diǎn), AE=BF=CG=DH,
那么四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
探究三：已知E、F、G、H 分別是正方形ABCD 邊上的點(diǎn), AE=FC=CG=HA,
那么四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
總之，例題設(shè)計(jì)要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，尤其是要考慮激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和認(rèn)知需求的原則，是一項(xiàng)十分重要的工作，也是一項(xiàng)十分艱巨而又細(xì)致的工作，要求我們教師既要了解學(xué)生，又要精選和設(shè)計(jì)例題、這樣，提供給學(xué)生的必然是最主要、最起作用的東西，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握知識(shí)本質(zhì)，提高了學(xué)習(xí)效率，從而達(dá)到事半功倍的效果。
開(kāi)放題的開(kāi)放性、靈活性、多變性可以提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，給學(xué)生的思維創(chuàng)設(shè)更廣闊的空間，有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、養(yǎng)成創(chuàng)新習(xí)慣、發(fā)展創(chuàng)新思維。由于開(kāi)放題的思考方法和答案不唯一，不同的學(xué)生會(huì)得到不同的結(jié)果。這是由于學(xué)生的生活經(jīng)歷和知識(shí)水平的差異造成的。
5、體現(xiàn)例題的思想方法
　 例題蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適度變形或拓展，引導(dǎo)學(xué)生分析探究，這樣可以提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探究能力。
例如，已知：∠BOC，∠BAC分別是同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角。求證：∠BAC=∠BOC。
分析：由于圓心有在圓周角內(nèi)、圓角外和圓周角的一條邊上三類(lèi)情況，因此需分別對(duì)三類(lèi)不同情況證明。
教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行引申、拓展，也可以變更題目的條件或結(jié)論，讓學(xué)生探索相應(yīng)結(jié)論或條件有何變化。
6、提倡一題多解
一題多解的不同解法，加深了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，長(zhǎng)期這樣多角度、多視角的解題，會(huì)使學(xué)生發(fā)生質(zhì)的變化，從而拓寬學(xué)生的思路，使思維靈活，在探求不同的解法中有效的提高能力，使學(xué)生掌握“精”而“巧”的方法。
例如，計(jì)算÷.
解法1:
原式=÷
=×＝＝－3
解法2：
原式＝×××
＝－2＋１＋＝－3
提出問(wèn)題：比較兩種算法，哪種更便捷？學(xué)生通過(guò)對(duì)照比較、尋求方法、交流討論后，知道有理數(shù)的混合運(yùn)算涉及多種運(yùn)算，確定合理運(yùn)算順序是正確解題的關(guān)鍵，解題過(guò)程中應(yīng)盡量使用簡(jiǎn)捷的算法。這樣，不僅能使學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)更加扎實(shí)，而且還能為培養(yǎng)思維創(chuàng)造性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生感受到知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，使他們?nèi)ビ^察、分析、猜想、探索學(xué)習(xí)。

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