資源簡介

4 分 式方程
第1課時 分式方程的定義及解法
【學習目標】
1、能找出現實情景中的等量關系；通過設適當的未知數根據等量關系列出分式方程；
2、通過列出的方程歸納出它們的共同特點，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明確分式和整式的區別；
3.體會分式方程到整式方程的轉化思想，掌握分式方程的解法；了解分式方程產生增根的原因，會檢驗根的合理性；
【學習策略】
掌握了列分式和分式計算式的基礎上，結合過去學過的列一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）、一次函數解應用題方法等，列出分式方程．在教學形式上采用學生口述、互評等多種方法，激活學生的思維，營造良好的課堂氛圍．對于解分式方程，學生已經學過等式的基本性質，分式的通分，一元一次方程的解法，所以，解分式方程的根本在于去分母，將分式方程化為整式方程，而要去分母，方程的兩邊要同乘以最簡公分母，這是關鍵.
【學習過程】
一、情境導入：
甲、乙兩地相距 1400 km，乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用 9 h，已
知高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的 2.8 倍．
（1）你能找出這一問題中的所有等量關系嗎？
（2）如果設特快列車的平均行駛速度為 x km/h，那么 x 滿足怎樣的方程？
（3）如果設小明乘高鐵列車從甲地到乙地需 y h，那么 y 滿足怎樣的方程？
二.新課學習：
回顧剛才我們得出的 4個方程：
（2） （3）
（4）
它們和我們以前所碰到的方程一樣嗎？有什么不一樣的地方？
上面所得到的方程有什么共同特點？
方程中的未知數都含在分母中，不是一元一次方程。
這就是我們今天要認識的一種新的方程——分式方程：分母中含有未知數得方程。
例1.解分式方程：
例2.解方程
下列哪種解法準確？
例3.解分式方程
解法一： 將原方程變形為
方程兩邊都乘以 ,得：
解這個方程，得：
解法二： 將原方程變形為
方程兩邊都乘以 ,得：
解這個方程，得：
你認為是原方程的根？與同伴交流。
三、嘗試應用：
1.找找看,下列方程哪些是分式方程：
（1） （2） （3） （4）
2. “退耕還林還草”是在我國西部地區實施的一項重要生態工程．某地規劃退耕面積共 69000 ，退耕還林與退耕還草的面積比為5∶3．設退耕還林的面積為 x ，那么 x 滿足怎樣的分式方程
3.解方程：
（1） （2）
四、課堂小結
1.分式方程概念，解分式方程的一般步驟.
2.增根與驗根.
3.解分式方程容易發生的錯誤.
4.在解分式方程中你有何收獲與體會.
5.要注意靈活運用解分式方程的步驟.
同時要有簡算意識,提高運算的速度和準確性
五.達標測試
一、選擇題
1．下列方程：（1）=5，其中是分式方程的有（　?。?br/>A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
2．解分式方程時，去分母后可得到（　?。?br/>A．x（2+x）﹣2（3+x）=1 B．x（2+x）﹣2=2+x
C．x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x） D．x﹣2（3+x）=3+x
3．若x=﹣3是分式方程的解，則a的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題
4．已知x=1是分式方程的根，則實數k=　 ?。?br/>5．在數軸上，點A、B對應的數分別為2，，且A、B兩點關于原點對稱，則x的值為　 ?。?br/>6．方程=的解是　 ?。?br/>三、解答題
7．解方程：
（1）； （2）．
8．要使與的值相等，則x為多少？
9．試問：當k為何值時，方程有增根？
參考答案
達標測試答案：
一、選擇題
1．【解析】選D．（1）的方程分母中不含未知數，故不是分式方程；
（2）（3）（4）的方程分母中含未知數x，所以是分式方程．
2．【解析】：選C．方程兩邊都乘以（3+x）（2+x），則x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x）．　
3．【解析】：選D將x=﹣3代入分式方程得：=1，解得a=﹣．
二、填空題
4．【解析】：將x=1代入，得=，解得k=．
5．【解析】：根據題意得：=﹣2，
去分母得：x﹣5=﹣2（x+1），
化簡得：3x=3，
解得：x=1．
經檢驗：x=1是原方程的解，
所以x=1．
6.【解析】：方程的兩邊同時乘以x（70﹣x），得3（70﹣x）=4x
解得x=30．
檢驗：把x=30代入x（70﹣x）≠0
∴原方程的解為x=30．
三、解答題
7. 解：（1）去分母，得3x=4x﹣4，
解得x=4，
經檢驗x=4是分式方程的解；
（2）去分母，得10﹣5=4x﹣2，
移項合并，得4x=7，
解得x=，
經檢驗是分式方程的解．
8．解：根據題意，得=，
去分母，得5x﹣10=4x﹣4，
解得x=6，
經檢驗x=6是分式方程的解．
9．解：方程兩邊都乘以（x﹣2）（x+2），得
x（x+2）﹣2x（x﹣2）=x+k，
x2﹣5x+k=0
分式方程無解，x=2或x=﹣2是整式方程的解，
把x=2代入x2﹣5x+k=0 k=6，
把x=﹣2代入x2﹣5x+k=0
k=﹣9，當k=6或k=﹣9時，方程有增根．
14 分式 方程
第2課時 分式方程的應用
【學習目標】
1、經歷將實際問題中的等量關系用分式方程表示的過程；
2、掌握列分式方程解應用題的一般步驟；
3、會列出分式方程解決簡單的應用題，提高學生的分析問題、解決問題的能力和應用意識；
【學習策略】
讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義，掌握必要的基礎知識與基本技能，發展應用數學知識的意識與能力，增強學好數學的愿望和信心．在教學形式上采用學生口述、互評等多種方法，激活學生的思維，營造良好的課堂氛圍．
【學習過程】
一、情境導入：
1.解分式方程的一般步驟：
2.解方程
3.列一元一次方程解應用題的一般步驟分哪幾步？
二、新課學習：
例1.某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元.
（1）你能找出這一情境的等量關系嗎？
（2）根據這一情境，你能提出哪些問題？
（3）你能利用方程求出這兩年每間房屋的租金各是多少嗎？
例2. 某市從今年1月1日起調整居民用水價格， 每立方米水費上漲．小麗家去年12月份的水費是 15 元，而今7月份的水費則是30 元．已知小麗家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 ，求該市今年居民用水的價格．
例1 甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲、乙兩人每天共加工35個玩具，求甲乙兩人每天各加工多少個玩具？
分析：等量關系是：甲用的時間與乙用的時間相等。
解：設該市去年居民用水的價格為x元/，則今年的水價為______________元/，
根據題意，得
三、嘗試應用：
1、小明和同學一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學書．科普書的價格比文學書高出一半，他們所買的科普書比所買的文學書少1 本．這種科普書和這種文學書的價格各是多少？
2.某商店銷售一批服裝，每件售價150元，可獲利25%。求這種服裝的成本.
3.甲、乙兩人練習騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時間和乙騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？
四、課堂小結
列分式方程解應用題的一般步驟
1).審:分析題意,找出研究對象，建立等量關系.
2).設:選擇恰當的未知數,注意單位.
3).列:根據等量關系正確列出方程.
4).解:認真仔細.
5).驗:有三種方法檢驗.
6).答:不要忘記寫答.
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．炎炎夏日，甲安裝隊為A小區安裝60臺空調，乙安裝隊為B小區安裝50臺空調，兩隊同時開工且恰好同時完工，甲隊比乙隊每天多安裝2臺．設乙隊每天安裝x臺，根據題意，下面所列方程中正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2父子兩人沿周長為a的圓周騎自行車勻速行駛．同向行駛時父親不時超過兒子，而反向行駛時相遇的頻率增大為11倍．已知兒子的速度為v，則父親的速度為（　?。?br/>A．1.1v B．1.2v C．1.3v D．1.4v
3.甲志愿者計劃用若干個工作日完成社區的某項工作，從第三個工作日起，乙志愿者加盟此項工作，且甲、乙兩人工效相同，結果提前3天完成任務，則甲志愿者計劃完成此項工作的天數是（　?。?br/>A．8 B．7 C．6 D．5　
二．填空題（共3小題）
4．某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，現在平均每天生產　 　臺機器．
5．某市從今年1月1日起調整居民天然氣價格，每立方米天然氣價格上漲25%，小穎家去年12月份的燃氣費是96元．今年小穎家將天燃氣熱水器換成了太陽能熱水器，5月份的用氣量比去年12月份少10m3，5月份燃氣費是90元，則該市今年居民用天然氣的價格是每立方米　 　元．
6．第八屆中國（重慶）國際園林博覽會吉祥物“山娃”深受市民喜歡．某特許商品零售商銷售A、B兩種山娃紀念品，其中A種紀念品的利潤率為10%，B種紀念品的利潤率為30%．當售出的A種紀念品的數量比B種紀念品的數量少40%時，該零售商獲得的總利潤率為20%；當售出的A種紀念品的數量與B種紀念品的數量相等時，該零售商獲得的總利潤率為　 　．（利潤率=利潤÷成本）.　
三．解答題（共3小題）
7.某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的倍，購進數量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元？
（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每支售價至少是多少元？
8．某中學組織學生到距學校20km的德夯苗寨參加社會實踐活動，一部分學生沿“谷韻綠道”騎自行車先走，半小時后，其余學生沿319國道乘汽車前往，結果他們同時到達（兩條道路路程相同），已知汽車速度是自行車速度的2倍，求騎自行車學生的速度．
9.甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝．結果：甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完．事后，甲同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說：“撿球過程不算在內時，甲的速度是我的1.2倍”．根據圖文信息，請問哪位同學獲勝？
參考答案
達標測試答案：
一、選擇題
1．【解析】：選D．設乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝x+2臺，
由題意得，甲隊用的時間為，
乙隊用的時間為，
則方程為=．
2.【解析】：選B．設父親的速度為x，根據題意得出：=，
解得：x=1.2V．
3．【解析】：選A．設甲志愿者計劃完成此項工作需x天，故甲、乙的工效都為：，甲前兩個工作日完成了，剩余的工作日完成了，，
則+=1，解得x=8，經檢驗，x=8是原方程的解．
二．填空題（共3小題）
4.【解析】：設：現在平均每天生產x臺機器，則原計劃可生產（x﹣50）臺．
依題意，得=．解得x=200．
檢驗：當x=200時，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴現在平均每天生產200臺機器．
5.【解析】：設該市去年居民用氣的價格為x元/m3，則今年的價格為（1+25%）x元/m3．根據題意，得﹣=10，解這個方程，得x=2.4，
經檢驗，x=2.4是所列方程的根，
∴2.4×（1+25%）=3（元）．
6.【解析】：設A進價為a元，則售出價為1.1a元；B的進價為b元，則售出價為1.3b元；若售出A：0.6x件，則售出B：x件．
=0.2，解得a=b，
故售出的A，B兩種紀念品的件數相等，均為y時，這個商人的總利潤率為：==17.5%．
三．解析題（共3小題）
7.解：（1）設第一次每支鉛筆進價為x元，
根據題意列方程，得﹣=30，解得x=4，
經檢驗：x=4是原分式方程的解．
答：第一次每支鉛筆的進價為4元．
（2）設售價為y元，第一次每支鉛筆的進價為4元，則第二次每支鉛筆的進價為4×=5元根據題意列不等式為×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得y≥6．
答：每支售價至少是6元．
8.解：設騎自行車學生的速度是x千米/時，由題意得：
﹣=，解得x=20，
經檢驗：x=20是原分式方程的解，
答：騎自行車學生的速度是20千米/時．
9. 解：設乙同學的速度為x米/秒，則甲同學的速度為1.2x米/秒，
根據題意，得，解得x=2.5．
經檢驗，x=2.5是方程的解，且符合題意．
∴甲同學所用的時間為（秒），
乙同學所用的時間為：（秒）．
∵26＞24，∴乙同學獲勝．
答：乙同學獲勝．　
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