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第六章 平行 四邊形
1 平行四邊形的性質(zhì)
第1課時(shí) 平行四邊形邊、角的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過程，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣；
2．探索并掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用；
3．在探索活動(dòng)過程中發(fā)展學(xué)生的探究意識。
【學(xué)習(xí)策略】
探索并掌握四邊形的基本性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)說理和簡單的推理，將為學(xué)生學(xué)習(xí)空間與圖形的后繼內(nèi)容打下基礎(chǔ)，本節(jié)將用多種手段（直觀操作、圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、說理及簡單推理等）探索平行四邊形的性質(zhì)并培養(yǎng)學(xué)生的探索意識。
【學(xué)習(xí)過程】
一、情境導(dǎo)入：
準(zhǔn)備好剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個(gè)四邊形。
（1）你拼出了怎樣的四邊形？與同桌交流一下；
（2）給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關(guān)系？說說你的理由，請用簡捷的語言刻畫這個(gè)圖形的特征。
二.新課學(xué)習(xí)：
1、平行四邊形的相關(guān)概念：
平行四邊形定義中的兩個(gè)條件：①四邊形，②兩邊分別平行即AD // BC 且AB // CD；
平行四邊形的表示 “ ”。
2、 對角線。
3、生活中常見到平行四邊形的實(shí)例有什么呢？你能舉例說明嗎？
平行四邊形的性質(zhì)
1、平行四邊形是中心對稱圖形嗎？如果是,你能找出它的對稱中心并驗(yàn)證你的結(jié)論嗎
2、你還發(fā)現(xiàn)平行四邊形的哪些性質(zhì)呢
⑴你能通過剪紙，拼紙片，及旋轉(zhuǎn)，可以觀察到平行四邊形的性質(zhì)嗎？
⑵你能通過推理來證明這些結(jié)論嗎？
議一議：如果已知平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)，能確定其它三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)嗎？
1、提示：下面的題都需自己先畫出合適的平行四邊形.
（1）在□ABCD中若∠B＋∠D=80°，則∠A＝ ；∠C＝ .
（2）若∠ABC=65°∠CAD=60°，則∠D= °；∠ACD= °；∠BAC= °.
2、如圖，在□ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF．求證：BE=DF．
三、嘗試應(yīng)用
1、□ABCD中，周長為40cm，△ABC周長為25，則對角線AC= .
2、□ABCD中，周長為48cm，AB：BC=3：5，AD=__________,CD=_____________.
3、如圖，在□ABCD中，∠ADC=125°，∠CAD=21°，求∠ABC和∠CAB的度數(shù).
四、課堂小結(jié)
1.兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形.
2、平行四邊形的性質(zhì)：
（1）平行四邊形對邊
（2）平行四邊形對角
（3）平行四邊形是_ ，兩條對角線的交點(diǎn)是它對稱軸.
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共3小題）
1．平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是70°，則其他三個(gè)角是（　　）
A．70°，130°，130° B．110°，70°，120°
C．110°，70°，110° D．70°，120°，120°
2．在 ABCD中，∠ACB=25°，現(xiàn)將 ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在G處，則∠GFE的度數(shù)（　　）
A．135° B．120° C．115° D．100°
3．如圖，在 ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，則BE的長是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空題（共3小題）
4．平行四邊形ABCD中一個(gè)角的平分線把一條邊分成3cm和4cm兩部分，則這個(gè)四邊形的周長是　 　cm．
5．如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是　 　．
6．已知平行四邊形ABCD的周長為44，過點(diǎn)A作AE⊥直線BC于E，作AF⊥直線CD于點(diǎn)F，若AE=5，AF=6，則CE+CF的值為　 　．　
三．解答題（共3小題）
7．如圖，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．
求證：AF=EC．
8.如圖，在 ABCD中，E、F為對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF．求證：∠BAE=∠DCF．
9.已知：如圖，E，F(xiàn)為 ABCD對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，DF，求證：BE=DF．
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題
1．【解析】選C根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，相鄰的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)．一個(gè)角為70°，另三個(gè)角分別為110°，70°，110°．
2．【解析】選C．由折疊，得∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC=180°，∴∠DFE=115°，∴∠GFE=115°，
3．【解析】選A．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠DEC，∴EC=CD=4，∴BE=BC﹣EC=2．
二．填空題
4．【解析】如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∵∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAE=∠DAE∵AD∥BC，∴∠DEA=∠BEA，∴∠DAE=∠BEA，∴AB=BE，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)BE=3cm，EC=4cm時(shí)，AB=BE=3cm，BC=7cm，平行四邊形的周長=2（3+7）=20（cm）；當(dāng)BE=4cm，EC=3cm時(shí)，AB=BE=4cm，BC=7cm，平行四邊形的周長=2（4+7）=22（cm）；
綜上所述： ABCD的周長是22或22cm．
5．【解析】∵四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，4）；
6．【解析】①如圖1中，當(dāng)∠BAD是鈍角時(shí)，設(shè)AB=a，BC=b，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=a， BC AE= CD AF，∴6a=5b ①，∵a+b=22 ②，由①②解得a=10，b=12，在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，AE=5，∴BE===5，∴EC=12﹣5，
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°．AD=12，AF=6．∴DF===6，∵6 ＞10，∴CF=DF﹣CD=6﹣10，∴CE+CF=EC+CF=2+．②如圖2中，當(dāng)∠BAD是銳角時(shí)，由①可知：DF=6 ，BE=5，∴CF=10+6，CE=12+5，∴CE+CF=22+11．
三．解答題
7．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，
∴∠EAB=∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
∵AD=BC，∴AF=EC．
8．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE=∠DCF．
9．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．1 平行 四邊形的性質(zhì)
第2課時(shí) 平行四邊形對角線的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．進(jìn)一步掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì),學(xué)會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)；
2．在應(yīng)用中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)會(huì)合情推理能力，增強(qiáng)學(xué)生邏輯推理能力，使學(xué)生掌握說理的基本方法。
【學(xué)習(xí)策略】
本節(jié)課核心內(nèi)容平行四邊形的性質(zhì)，內(nèi)容較為簡單，對于性質(zhì)的證明也只是用三角形全等去研究，在教學(xué)中注意滲透解決四邊形問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化成三角形的轉(zhuǎn)化思想。
【學(xué)習(xí)過程】
1、復(fù)習(xí)回顧
平行四邊形的性質(zhì)（一）內(nèi)容 ，
幾何語言： 。
2、在證明“平行四邊形對邊相等，對角相等”的性質(zhì)時(shí)，是通過連接一條對角線，把它分成兩個(gè)全等的三角形來證明的，如果把平行四邊形的兩條對角線都連接起來，那么這兩條對角線之間又有什么樣的關(guān)系呢？
二.新課學(xué)習(xí)：
探究 閱讀課本135頁做一做，如圖，在□ABCD中．OA與OC，OB與OD有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？
猜想: 。語言描述：平行四邊形的對角線 你能證明這種關(guān)系嗎？
已知：
求證：
歸納總結(jié):平行四邊形的對角線 。
幾何語言： 。
三.嘗試應(yīng)用：
1．如圖，在ABCD中，AO=4，BO=2，BC=5，則CO= ,AC ,BD=
2．（1）如圖，在□ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，△AOD的周長是多少？△ABC與△DBC的周長哪個(gè)長，長多少？
（2）如果在□ABCD中，AB=6，BC=10，△ABO與△ADO的周長哪個(gè)長，長多少？
3．已知，□ABCD的周長為60，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△BOC的周長比△AOB 的周長小8cm，求AB和BC的長.
四、課堂小結(jié)
1．本節(jié)課你有哪些收獲？
你能將平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行歸納嗎？
2．利用平行四邊形可以解決哪些問題？
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共3小題）
1．某平行四邊形的對角線長為x、y，一邊長為6，則x與y的值可能是（　　）
A．4和7 B．5和7 C．5和8 D．4和17
2．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，圖中共有全等三角形（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
3．如圖， ABCD的對角線交于點(diǎn)O，且AB=5，△OCD的周長為23，則 ABCD的兩條對角線之和是（　　）
A．18 B．28 C．36 D．46
二．填空題（共4小題）
4．如圖，在 ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范圍是　 　．
5.如圖，在 ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，則S AEPH=　 　．
6.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，2），則點(diǎn)C坐標(biāo)為　 　．
第4題圖 第5題圖 第6題圖
三．解答題（共3小題）
7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BF=ED，求證：AE∥CF．
8.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD，相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，求證：AE=CF．
9.如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE=OF．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，連接DE，BF，判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由．
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】選C．三三角形兩邊之和大于第三邊 所以兩條對角線的一半 與要同時(shí)滿足：（1）+＞6，（2）+6＞，（3）+6＞，得x=5，y=8，
2．【解析】選D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
同理：△ABD≌△CDB；
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）；
同理：△AOD≌△COB．
∴圖中共有全等三角形4對．
3.【解析】選C．：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，BD=2DO，AC=2OC，
∵△OCD的周長為23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴ ABCD的兩條對角線的和=BD+AC=2（DO+OC）=36，
二．填空題（共4小題）
4．【解析】：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
5． 【解析】：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四邊形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG為平行四邊形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，
即S四邊形AEPH=S四邊形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四邊形AEPH=S四邊形PFCG=4×1=4；
6.【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線交于原點(diǎn)O，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∵點(diǎn)A（﹣4，2），∴點(diǎn)C（4，﹣2）．
三．解析題（共3小題）
7．證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，∴OE=OF，
∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE∥CF．
8.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
9.（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四邊形EBFD是矩形；理由如下：如圖所示：
∵OB=OD，OE=OF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
又∵BD=EF，
∴四邊形EBFD是矩形．
1

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