資源簡介

4 多邊形的內角和與 外角和
【學習目標】
1、掌握多邊形內角和定理，進一步了解轉化的數學思想.
2、經歷探索多邊形的內角和公式的過程;會應用公式解決問題.
3、經歷探索多邊形的外角和公式的過程;會應用公式解決問題；
4、把未知轉化為已知進行探究，發展說理能力與簡單的推理能力．
【學習策略】
把多邊形問題通過分割成三角形來研究，即把復雜問題轉化為簡單問題的思想方法。
【學習過程】
一、情境導入：
1．三角形是如何定義的？
2．仿照三角形定義，你能學著給四邊形、五邊形……邊形下定義嗎？
3．結合圖形認識多邊形的頂點、邊、內角及對角線。
二.新課學習：
1．三角形的內角和是多少度？你是怎么得出的？
①用量角器度量：分別測量出三角形三個內角的度數，再求和。
②拼角：將三角形兩個內角裁剪下來與第三個角拼在一起，可組成一個平角。
目的：學生分組，利用度量和拼角的方法驗證三角形的內角和，為四邊形內角和的探索奠定基礎。
2．四邊形的內角和是多少？你又是怎樣得出的？
（1）度量 ；（2）拼角；（3）將四邊形轉化成三角形求內角和。
小組合作，完成下面的表格。
（課件出示討論結果）
3．從表格中你發現了什么規律？
從邊形的一個頂點可以引出條對角線，把邊形分成個三角形。從而得出：邊形的內角和是。
1．多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。
2．在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和。
探究多邊形的外角和，提出一般性的問題：一個任意的凸n邊形，它的外角和是多少？
由n邊形的內角和等于（n-2）·180°出發，探究問題。
結論：多邊形的外角和等于360°
（1）還有什么方法可以推導出多邊形外角和公式？
（2）利用多邊形外角和的結論，能否推導出多邊形內角和的結論？
三.嘗試應用：
1、正七邊形的內角和為_______.
2、已知多邊形的內角和為900°，則這個多邊形的邊數為_____.
3、一個多邊形每個內角的度數是150°，則這個多邊形的邊數是_______.
4、如果一個多邊形的邊數增加1，那么這個多邊形的內角和增加_________度.
5.下列角中能成為一個多邊形的內角和的是（ ）
A.270° B.560° C.1800° D.1900°?
6、一個多邊形共有27條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A.8 B.10 C.9 D.11?
7、一個正多邊形，它的一個外角等于它的相鄰的內角的，則這個多邊形是（ ）．
A． 正十二邊形 B． 正十邊形 C．正八邊形 D．正六邊形
8、邊形內角和與外角和之比是5：2，則n＝ ．
9、已知，如圖，∠A＝∠C＝90°，對角線BE、DF分別平分∠ABC和∠ADC，BE和DF平行嗎？說明你的理由．
四、課堂小結
1. 從邊形的一個頂點可以引出條對角線，把邊形分成個三角形。從而得出：邊形的內角和是。
2. 多邊形的外角及外角和的定義，多邊形的外角和等于360°.
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．一個多邊形切去一個角（即切去一個只含原多邊形一個頂點的三角形）后，得到的新多邊形的內角和與原多邊形內角和相比（　　）
A．多180° B．少180° C．多360° D．相等
2．如圖，小陳從O點出發，前進5米后向右轉20°，再前進5米后又向右轉20°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發點O時一共走了（　　）
A．60米 B．100米 C．90米 D．120米
3．如圖，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n 90°，則n為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空題（共3小題）
4．若一個多邊形的外角和是它的內角和的，則此多邊形的邊數是　 　．
5．若一個多邊形的各邊都相等，它的周長為96，且它的內角和是1800°，則它的邊長是　 　．
6．如圖，一個六邊形的每個內角都是120°，連續四邊的長依次是2.7、3、5、2，則該六邊形的周長是　 　．
三．解答題（共3小題）
7．小馬虎同學在計算某個多邊形的內角和時得到1840°，老師說他算錯了，于是小馬虎認真地檢查了一遍
（1）若他檢查發現其中一個內角多算了一次，求這個多邊形的邊數是多少？
（2）若他檢查發現漏算了一個內角，求漏算的那個內角是多少度？這個多邊形是幾邊形？
8．閱讀下列內容，并答題：
我們知道計算n邊形的對角線條數公式為，如果有一個n邊形的對角線一共有20條，則可以得到方程=20，
去分母，得n（n﹣3）=40；
∵n為大于等于3的整數，且n比n﹣3的值大3，
∴滿足積為40且相差3的因數只有8和5，符合方程n（n﹣3）=40的整數n=8，
即多邊形是八邊形．根據以上內容，問：
（1）若有一個多邊形的對角線一共有14條，求這個多邊形的邊數；
（2）A同學說：“我求得一個多邊形的對角線一共有30條．”你認為A同學說地正確嗎？為什么？
9．請你來推算：
（1）一只螞蟻繞一個矩形的水池邊緣爬行，爬完一圈后，它的身體轉過的角度之和是多少？
（2）如果它繞一個不規則的四邊形的邊緣爬行呢？（如圖2），為什么？
（3）如果它繞五邊形的水池邊緣爬行呢？你是怎么推算出來的？如果繞n邊形呢？
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】選A.得到的新多邊形的內角和與原多邊形內角和相比多180度．
2．【解析】選C．∵小陳從O點出發當他第一次回到出發點O時正好走了一個正多邊形，
∴多邊形的邊數為360°÷20=18，∴他第一次回到出發點O時一共走了18×5=90米．
3．【解析】選C．設AG與DE交于點M，與DC交于點N，
則∠5+∠6+∠7=360°﹣∠ANC，∠2+∠3+∠4=360°﹣∠EMG，
則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+（360°﹣∠ANC）+（360°﹣∠EMG）
=720°+∠1﹣∠ANC﹣∠EMG=720°+∠1﹣（180°﹣∠DMN）﹣（180°﹣∠DNM）
=360°+（∠1+∠DMN+∠DNM）=360°+180°=540°．
又因∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°=n 90°，所以n=6．
二．填空題（共3小題）
4．【解析】根據題意，得（n﹣2） 180=1440，解得：n=10．則此多邊形的邊數是10．
5．【解析】根據題意，得（n﹣2）） 180=1800，解得n=12．所以它的邊長是96÷12=8．
6．【解析】如圖，延長并反向延長AB，CD，EF．∵六邊形ABCDEF的每個內角都是120°∴∠G=∠H=∠N=60°，∴△GHN是等邊三角形，∴六邊形ABCDEF的周長=HN+AG+CD=（3+5+2）+（2.7+3）+5=20.7．答：該六邊形周長是20.7．
三．解析題（共3小題）
7．解：（1）設這個多邊形的邊數是n，重復計算的內角的度數是x，
則（n﹣2） 180°=1840°﹣x，
n=12…40°．
故這個多邊形的邊數是12．
（2）設這個多邊形的邊數是n，沒有計算在內的內角的度數是x，
則（n﹣2） 180°=1840°+x，
n=12…40°．
180°﹣40°=140°，
故漏算的那個內角是140度，這個多邊形是十三邊形．
8．（1）解：方程=14，
去分母，得n（n﹣3）=28；
∵n為大于等于3的整數，且n比n﹣3的值大3，
∴滿足積為28且相差3的因數只有7和4，
符合方程的整數n=7，即多邊形是七邊形．
（2）解：A同學說法是不正確的，
∵方程=30，去分母得n（n﹣3）=60；
符合方程n（n﹣3）=60的正整數n不存在，即多邊形的對角線不可能有30條．
9．解：（1）∵各角是矩形的外角，
∴螞蟻身體轉過的角度之和是360°．
故螞蟻的身體轉過的角度之和是360°；
（2）∵各角是不規則的四邊形的外角，
∴螞蟻身體轉過的角度之和是360°．
故螞蟻的身體轉過的角度之和是360°；
（3）∵各角是五邊形的外角，∴螞蟻身體轉過的角度之和是360°；
∵各角是n邊形的外角，∴螞蟻身體轉過的角度之和是360°．
故螞蟻的身體轉過的角度之和都是360°．
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