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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專(zhuān)題10 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專(zhuān)用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 4
【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算 4
【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 5
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 7
【分層檢測(cè)】 8
【基礎(chǔ)篇】 8
【能力篇】 9
【培優(yōu)篇】 10
考試要求：
1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
2.通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象.
3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
1.根式的概念及性質(zhì)
(1)概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).
(2)①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，記作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n為大于1的奇數(shù)).
⑤＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù)).
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質(zhì) 過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，01； 當(dāng)x>0時(shí)，0在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
y＝ax與y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.
2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與03.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算
一、單選題
1．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離（如圖），其中為雷達(dá)天線架設(shè)高度，為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于，．假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多選題
3．（23-24高一上·安徽安慶·期末）下列式子中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個(gè)大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
三、填空題
5．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，則的值為
6．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）隨著自然語(yǔ)言大模型技術(shù)的飛速發(fā)展，ChatGPT等預(yù)訓(xùn)練語(yǔ)言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，預(yù)訓(xùn)練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通過(guò)非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過(guò)實(shí)踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的激活函數(shù)不合適時(shí)，容易出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸的問(wèn)題.某工程師在進(jìn)行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓(xùn)練時(shí)，采用作為激活函數(shù)，為了快速測(cè)試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸?shù)臐M(mǎn)足則提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，滿(mǎn)足則提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，其中表示梯度消失閾值，表示梯度爆炸間值.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①是上的增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；
③當(dāng)時(shí)，，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”；
④，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
反思提升：
(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：
①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.
②運(yùn)算的先后順序.
(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).
(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（），，則（ ）
A． B． C．4 D．6
二、多選題
3．（2023·湖北武漢·二模）函數(shù)的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·山東濟(jì)南·期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（ ）
A．函數(shù)與函數(shù)相等
B．若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則
C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則
三、填空題
5．（2023·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是 .
6．（2023·上海寶山·一模）設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第 象限
反思提升：
1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.
2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2021·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式成立．若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 ．
6．（2024·山東聊城·一模）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
反思提升：
1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
易錯(cuò)警示　在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類(lèi)討論.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河北保定·二模）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知且，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)和是伴侶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
C．與是伴侶函數(shù)
D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
6．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題中，是真命題有（ ）
A．存在 B．存在
C．任意 D．任意
三、填空題
8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
9．（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為 .
10．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為 .
四、解答題
11．（22-23高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范圍．
12．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義在上有恒成立，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求的值及函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的值域.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增
B．函數(shù)值域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
三、填空題
3．（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)，用表示中的較大值，記為，若，則的最小值為 .
四、解答題
4．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．的最小值為
D．若有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且
三、填空題
3．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ，
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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專(zhuān)題10 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專(zhuān)用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 7
【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算 7
【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 12
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 17
【分層檢測(cè)】 20
【基礎(chǔ)篇】 20
【能力篇】 27
【培優(yōu)篇】 30
考試要求：
1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
2.通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象.
3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
1.根式的概念及性質(zhì)
(1)概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).
(2)①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，記作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n為大于1的奇數(shù)).
⑤＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù)).
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質(zhì) 過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，01； 當(dāng)x>0時(shí)，0在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
y＝ax與y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.
2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與03.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，
因?yàn)椋?br/>所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因?yàn)?，而?br/>即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
3．D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
4．A
【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
5．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
6．C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；
對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；
對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算
一、單選題
1．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離（如圖），其中為雷達(dá)天線架設(shè)高度，為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于，．假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多選題
3．（23-24高一上·安徽安慶·期末）下列式子中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個(gè)大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
三、填空題
5．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，則的值為
6．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）隨著自然語(yǔ)言大模型技術(shù)的飛速發(fā)展，ChatGPT等預(yù)訓(xùn)練語(yǔ)言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，預(yù)訓(xùn)練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通過(guò)非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過(guò)實(shí)踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的激活函數(shù)不合適時(shí)，容易出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸的問(wèn)題.某工程師在進(jìn)行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓(xùn)練時(shí)，采用作為激活函數(shù)，為了快速測(cè)試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸?shù)臐M(mǎn)足則提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，滿(mǎn)足則提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，其中表示梯度消失閾值，表示梯度爆炸間值.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①是上的增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；
③當(dāng)時(shí)，，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”；
④，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，然后求解即可.
【詳解】根據(jù)題意知，，
由
因?yàn)镽遠(yuǎn)大于，
∴
，
解得.
∴艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為9100m.
故選：C
2．A
【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.
【詳解】由，
得，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，
所以，解得.
故選：.
3．BCD
【分析】對(duì)于ABD，利用基本不等式運(yùn)算求解；對(duì)于C，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算及二次函數(shù)的最值可判斷．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
但不成立，所以的最小值不為4，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值4，故C成立；
對(duì)于選項(xiàng)D：由題意，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．
故選：BCD．
4．AC
【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A，根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A,若，均不大于2，則 ，則 ，故，則，至少有一個(gè)大于2為真命題，故A正確，
對(duì)于B, B. ，，故 B錯(cuò)誤，
對(duì)于C,由得，由得，所以，故C正確，
對(duì)于D，由于 ，函數(shù) 在單調(diào)遞增，故，D錯(cuò)誤，
故選:AC
5．/
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，因?yàn)椋?
故答案為：.
6．①③④
【分析】對(duì)于①：根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于③④：整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和值域，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>且在上單調(diào)遞減，所以是上的增函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②：因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
則，
令，整理得，
且是上的增函數(shù)，則，即無(wú)解，
所以不存在，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③④：因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則，即，
則，
令，
則，
令，則在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，即，可知在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，可知在上單調(diào)遞增；
則，
且當(dāng)x趨近于或時(shí)，趨近于0，
所以的值域?yàn)椋?br/>所以對(duì)，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故④正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，
且，即對(duì)任意恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，輸入會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故③正確；
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.充分理解新定義的含義，根據(jù)定義分析判斷；
2.再處理問(wèn)題③④時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)建函數(shù)求單調(diào)性和值域，進(jìn)而分析判斷.
反思提升：
(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：
①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.
②運(yùn)算的先后順序.
(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).
(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（），，則（ ）
A． B． C．4 D．6
二、多選題
3．（2023·湖北武漢·二模）函數(shù)的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·山東濟(jì)南·期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（ ）
A．函數(shù)與函數(shù)相等
B．若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則
C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則
三、填空題
5．（2023·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是 .
6．（2023·上海寶山·一模）設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第 象限
參考答案：
1．A
【分析】利用偶函數(shù)和0處函數(shù)值列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，
又，所以，
聯(lián)立，解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，滿(mǎn)足要求，
故.
故選：A.
2．B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的奇偶性，再借助奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)，顯然的定義域?yàn)椋?br/>則，即是奇函數(shù)，
由，得，，
所以.
故選：B
3．ABC
【分析】分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】，
當(dāng)時(shí), ,A選項(xiàng)正確；
，
，
,
時(shí), 有兩個(gè)根,且時(shí)
,根據(jù)極值點(diǎn)判斷，故C選項(xiàng)正確,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)根,且此時(shí)
,故B選項(xiàng)正確.
故選：ABC．
4．BD
【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域不同可判斷選項(xiàng)A不正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B，分離參數(shù)得，只需，即可判斷選項(xiàng)C，
是一個(gè)奇函數(shù)加常數(shù)，奇函數(shù)在定義域內(nèi)最大值與最小值之和等于可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)值域?yàn)?，所以與函數(shù)不是相等函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得：，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，
即，令，則，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，
所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：函數(shù)，令則
，所以是奇函數(shù)，所以，
因此，故選項(xiàng)D正確，
故選：BD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.
5．
【分析】求出函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，則有，則，則，化簡(jiǎn)整理，分離常數(shù)再結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)，
則，所以，
由，得，
則
令，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值是.
故答案為：.
6．二
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移可得.
【詳解】已知,
則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，過(guò)定點(diǎn)，且，
函數(shù)的圖象是由函數(shù)函數(shù)向下平移個(gè)單位，
作出函數(shù)的圖象，可知圖象必定不經(jīng)過(guò)第二象限.
故答案為：二.
反思提升：
1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.
2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2021·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式成立．若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 ．
6．（2024·山東聊城·一模）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
參考答案：
1．B
【分析】首先將不等式等價(jià)變形，再將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，得到，即可求解.
【詳解】易知，故，，在上恒成立，
等價(jià)于不等式即在上恒成立，
故，（點(diǎn)撥：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，所以），
故，即，又，故．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B
2．A
【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.
【詳解】，定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)；
又當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)增函數(shù)，故為上的單調(diào)增函數(shù)；
又，故當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)為上的單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；
，即，則，即，，
也即，解得.
故選：A.
3．BD
【分析】結(jié)合的單調(diào)性以及特殊值、基本不等式，確定正確選項(xiàng).
【詳解】在為增函數(shù)，
依題意，
所以，A錯(cuò)誤.
由基本不等式得，B正確.
若，則，C錯(cuò)誤.
若，則，D正確.
故選：BD
4．AD
【分析】將給定不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，逐項(xiàng)分析判斷作答.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，令，則在上單調(diào)遞增，
因，則，A正確；
因，則，B不正確；
由知，，有，則，
由選項(xiàng)A知，，即，C不正確；
由得，，則，D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及兩個(gè)量的大小，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求解作答的關(guān)鍵.
5．
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，，從而得到大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，
故且，所以，
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，，
所以，
，
故.
故答案為：
6．
【分析】
借助分段函數(shù)的性質(zhì)，求出時(shí)值域，可得時(shí)，有恒成立，解出即可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，有恒成立，
即在時(shí)恒成立，即，即.
故答案為：.
反思提升：
1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
易錯(cuò)警示　在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類(lèi)討論.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河北保定·二模）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知且，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)和是伴侶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
C．與是伴侶函數(shù)
D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
6．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題中，是真命題有（ ）
A．存在 B．存在
C．任意 D．任意
三、填空題
8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
9．（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為 .
10．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為 .
四、解答題
11．（22-23高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范圍．
12．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義在上有恒成立，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求的值及函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的值域.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)m無(wú)解，當(dāng)時(shí)解得，即可求解.
【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，
得，又，所以方程無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，
得，即，解得，
所以.
故選：D
2．D
【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>即是定義在上的奇函數(shù)，則，
則，所以.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意.
故選：D.
3．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以為奇函數(shù)，
設(shè)，可知為偶函數(shù)，
所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，
易知，所以A正確，D錯(cuò)誤．
故選：A.
4．A
【分析】由“函數(shù)為偶函數(shù)”，可得，結(jié)合充分條件與必要條件的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，由定義域?yàn)椋瑒t有，
即，即對(duì)任意的恒成立，
即有，故，
由“”是“”的充分不必要條件，
故“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
5．AD
【分析】根據(jù)伴侶函數(shù)的定義，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷A，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性以及值域可判斷B，求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性進(jìn)而可判斷C，根據(jù)常函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)：由題意得，
故存在，使得恒成立，故A正確；
B選項(xiàng)：由題意得，
由于為單調(diào)遞增函數(shù)，且值域?yàn)椋?br/>因此不存在，使得恒成立，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：由題意得，
令函數(shù)，則，
易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，不滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：令，則，
所以為常函數(shù)，（點(diǎn)撥：若兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)相同，則兩個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正確.
故選：AD
6．BCD
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，C；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可判斷．
【詳解】解：對(duì)于，因?yàn)椋?，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?，所以正確；
對(duì)于，因?yàn)椋?，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以D正確.
故選：BCD．
7．AC
【分析】根據(jù)指對(duì)函數(shù)的圖象和單調(diào)性，以及和特殊值比較，判斷選項(xiàng).
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，，即，故A正確；
B.，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，故B不正確；
C.時(shí)，，，所以成立，故C正確；
D.由函數(shù)和的圖象可知，兩個(gè)函數(shù)在上有交點(diǎn)，故D不正確.
故選：AC
8．/0.5
【分析】先求出（且）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，最后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，即可得值．
【詳解】函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>則在處的切線的斜率為，又，
所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得．
故答案為：
9．
【分析】把轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)所成直線的斜率，作出函數(shù)在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合斜率公式，即可求解.
【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，
又由是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
如圖所示：可得，則，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：.

10．
【分析】由題意可知此命題的否定為真命題，從而可求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椤?，”是假命題，
所以“，”是真命題，即在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
則.
故答案為：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由求出參數(shù)值，再檢驗(yàn)即可；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性列出不等式求解即可．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
則，解得；
經(jīng)檢驗(yàn)，故成立；
（2）因?yàn)?br/>對(duì)任意，有
所以在上單調(diào)遞增
又，所以
解得
12．（1），（2）
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
（2）利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時(shí)的取值范圍，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域．
【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義在上有恒成立
所以函數(shù)為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，
所以．
當(dāng)時(shí)，則．所以，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，即．
所以函數(shù)的解析式為．
（2）令，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，可寫(xiě)為，所以．
由是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)．
即函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增
B．函數(shù)值域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
三、填空題
3．（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)，用表示中的較大值，記為，若，則的最小值為 .
四、解答題
4．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
參考答案：
1．C
【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)和定義域逐項(xiàng)分析判斷．
【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析：
對(duì)于選項(xiàng)A：，當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋环项}意；
故選：C．
2．ABD
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.
【詳解】，
函數(shù)，，則，
又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)椋裕瑒t，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；
，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
3．
【分析】確定是方程的唯一解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算最值得到答案.
【詳解】取，時(shí)等式成立，函數(shù)單調(diào)遞增，
故是方程的唯一解，
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，；
綜上所述：的最小值為.
故答案為：.
4．(1)
(2)．
【分析】（1）利用整體思想解不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解集即可；
（2）結(jié)合（1）及條件可得，靈活運(yùn)用“1”化簡(jiǎn)問(wèn)題式，利用換元法及二次函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
即，
即，
解之得，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，
∴，
解得，
由在R上單調(diào)遞增可得，
故．
（2）∵，且，，
則，
由，兩邊平方得，，
所以
，
不妨令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
綜上，當(dāng)時(shí)取到最小值．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．的最小值為
D．若有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且
三、填空題
3．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ，
參考答案：
1．A
【分析】先考慮命題使得成立的否定為真命題時(shí)a的取值范圍，再求其補(bǔ)集即可.
【詳解】命題使得成立的否定為對(duì)，，
因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，，
若命題，為真命題，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，其中，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，命題，為真命題，
所以若使得成立，則a的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
2．BD
【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷是否成立即可，C應(yīng)用特殊值法有，即可判斷正誤，D由題設(shè)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定極值，根據(jù)極值的符號(hào)求參數(shù)范圍.
【詳解】A：，錯(cuò)誤；
B：，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，正確；
C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；
D：由題意有，整理得有兩個(gè)不同實(shí)根，顯然，令，
∴當(dāng)時(shí)，在上與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，
若得，則上，單調(diào)遞減；上，單調(diào)遞增；
又，，故僅需在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則；
當(dāng)時(shí)，在上與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，
若得，則上，單調(diào)遞增；上，單調(diào)遞減；
又，，故僅需在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則；
綜上，有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且，正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)條件成立時(shí)極值的符號(hào)求參數(shù)范圍.
3．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，先分析其值域，從而得到的最大值，進(jìn)而利用解絕對(duì)值不等式得到或，結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可得解.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，則，
且，
由絕對(duì)值的性質(zhì)可知的最大值為或，
因?yàn)榈葍r(jià)于，又，
即關(guān)于的不等式或在上恒成立，
由，得；
由，得；
所以，
則，整理得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，將等價(jià)于關(guān)于的不等式或在上恒成立，從而得解.
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