資源簡介

1.3 基本不等式課后練習
1．（2020 上海）下列不等式恒成立的是 ( )
A． a2 b2 2ab B． a2 b2 2ab C． a b 2 | ab | D． a2 b2 2ab
2 9．（2024 北京模擬）已知 x 0，則 x 的最小值為 ( )
x
A． 3 B．3 C．6 D．10
3．（2024 4 北京月考）設實數 x滿足 x 0，函數 y 3x 的最小值為 ( )
x 1
A． 4 3 3 B． 4 3 C． 4 3 3 D．6
4．（2024 3 湖南模擬）若 x 4，則函數 f (x) x 的最小值是 ( )
x 1
A． 2 3 B． 2 3 1 C．4 D．5
2
5 2024 x 0 y 2x x 2 5．（ 黑龍江月考）設 ，則函數 的最小值為 ( )
2x 1 2
A 1．0 B． C． 1 D 3．
2 2
6．（2014 重慶）若 log4 (3a 4b) log2 ab ，則 a b的最小值是 ( )
A． 6 2 3 B． 7 2 3 C． 6 4 3 D． 7 4 3
7．（2024 福建月考）若正實數 a， b滿足 a b 1，則 ( )
A． ab 1 1 1有最大值 B． 有最大值 4
4 a b
C 2． a b有最大值 2 D． a2 b2有最小值
2
8．（2024 1 1 1 浙江模擬）已知 a， b為正實數，且滿足 ，則 a b的最小值為 ( )
a 2b a 3 2
A 1． B．1 C 5． D．2
2 2
9．（2024 江蘇月考）已知正實數 x， y滿足 x 4y 2xy，則 x y的最小值為 ( )
A． 2 5 B．4 C 9． D．5
2 2
10．（2024 廣東月考）已知 a 0， b 0，且 a 2b 2ab 8，則 a 2b的最小值為 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D．6
11．（2024 青島模擬）已知m 0， n 0，m2 3mn 2n2 1 1 m n 0 ，則 的最小值為 ( )
m n
A． 2 3 2 B．3 2 2 C． 4 2 D．6
12．（2024 (m 1)(n 1) 江蘇模擬）已知m 0， n 0，m 2n 1，則 的最小值為 ．
mn
2
13 2024 a 0 b 0 a 2b 1 b a 1．（ 株洲月考）已知 ， ， ，則 的最小值為 ．
2ab
14．（2024 北京模擬）數學里有一種證明方法為無字證明，是指僅用圖形而無需文字解釋就能不證自明的
數學命題．在同一平面內有形狀、大小相同的圖 1和圖 2，其中四邊形 ABCD為矩形， BCE為等腰直角三
角形，設 AB a ， BC b (b a 0)，則借助這兩個圖形可以直接無字證明的不等式是 ( )
A a b ab B 2ab． ． ab
2 a b
2 2
C． a2 b2 2 ab D a b a b．
2 2
15．（2024 山東月考）已知超市內某商品的日銷量 y（單位：件）與當日銷售單價 x（單位：元）滿足關系
y a式 2x 100，其中10 x 55，a為常數．當該商品的銷售單價為 15元時，日銷量為 110件．若
x 10
該商品的進價為每件 10元，則超市該商品的日利潤最大為 ( )
A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元
16．（2024 遼寧月考）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成
1
本已知購買m臺設備的總成本為 f (m) m2 m 200（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，
200
則應購買設備 ( )
A．100臺 B．200臺 C．300臺 D．400臺
17．（2024 河南模擬）設某批產品的產量為 x（單位：萬件），總成本 c(x) 100 13x（單位：萬元），銷售
單價 p(x) 800 3（單位：元 /件）．若該批產品全部售出，則總利潤（總利潤 銷售收入 總成本）最大
x 2
時的產量為 ( )
A．7萬件 B．8萬件 C．9萬件 D．10萬件
18．（2024 廈門月考）第 19 屆亞運會 2023 年 9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節儉、文
明”為辦會理念，展示杭州生態之美、文化之韻，充分發揮國際重大賽事對城市發展的牽引作用，從而促
進經濟快速發展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放當地市場，
已知該種設備年固定研發成本為 50萬元，每生產一萬臺需另投入 80萬元，設該公司一年內生產該設備 x萬
臺且全部售完．當 0 x 20時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產量 x（萬臺）滿足關系式：t 180 2x；
當 x 20 2000 9000時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產量 x（萬臺）滿足關系式： t 70 ．
x x(x 1)
（1）寫出年利潤 y（萬元）關于年產量 x（萬臺）的函數解析式（利潤 銷售收入 成本）；
（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．
19．（2024 1 4 y 杭州模擬）若兩個正實數 x， y滿足 1，且不等式 x m2 3m有解，則實數m的取值
x y 4
范圍是 ( )
A．{m | 1 m 4} B．{m |m 4或m 1}
C．{m | 4 m 1} D．{m |m 1或m 4}
20．（2024 江蘇模擬）已知 x 0， y 0 x y 2xy x y ，且 ，則 的最小值為 ( )
2x 1 y 1
A 4 B 3． ．1 C． D．2
5 2
21．（2024 xy 長沙月考）設正實數 x、 y、 z滿足 4x2 3xy y2 z 0，則 的最大值為 ( )
z
A．0 B．2 C．1 D．3
22．（2024 3 8 洛陽模擬）已知正數 x， y滿足 2，則 xy的最小值是 ( )
(x 2y)y (3x 2y)x
A 5． B 5 C 4． ． D 7．
8 4 3 4
23．（2024 5 浙江模擬）設 x， y為正實數，若 2x y 2xy ，則 2x y的最小值是 ( )
4
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2024 西安模擬）已知 a， b， c R，滿足 (a 2)2 b2 (c 1)2 12，則 a b c的最大值為 ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
25．（2024 吉林模擬）已知 a，b， c 0，且 a b c 1，則 3a 1 3b 1 3c 1的最大值為 ( )
A．3 B．3 2 C．18 D．9
26．（2024 1 2 湖南月考）已知 x 1， y 0，且 1，則 x 2y的最小值為 ( )
x 1 y
A．9 B．8 C． 2 2 D．3
27．（2024 1 1 1 佛山模擬）已知 a 1，b ，且 2a b 4，則 的最小值是 ( )
2 a 1 2b 1
A 1 B 4． ． C．2 D．3
3
28．（2024 河北模擬）已知正實數 a， b滿足 a b 5 4 9 ，則 的最小值為 ( )
3 a 2b 2a b
A．6 B．5 C．12 D．10
29．（2024 1 4 甘肅月考）已知 0 x 1，則 的最小值為 ( )
4x 1 x
A 25 25． B． C．9 D．12
2 4
30．（2024 1 3 2 成都月考）若 0 x ，則 y 的最小值為 ( )
3 2x 1 3x
A．12 B． 6 4 3 C 25．9 6 D．
21. 3 基本不等式
考向 1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式
a 0 b 0 ab a b a b如果 ， ，那么 ，當且僅當 a b時，等號成立．其中， 叫作 a，b的算術平均
2 2
數， ab 叫作 a，b的幾何平均數．即正數 a，b的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
基本不等式 1：若 a，b R ，則 a2 b2 2ab，當且僅當 a b 時取等號；
a b
基本不等式 2：若 a，b R+ ，則 ab （或 a b 2 ab），當且僅當 a b 時取等號．
2
2．兩個基本不等式的異同
（1）兩個基本不等式中實數 a，b的取值范圍是不同的，運用第二個不等式時， a，b必須都是 正實數 ．
（2）兩個基本不等式中等號成立的條件：當且僅當 a b 時取等號；
（3）兩個基本不等式的變形：（這里的變形要讓學生理解是如何得來的，同時也讓學生試著去發現這些不
等式都出現了哪些運算形式，有求和，乘積，平方和，開方和）
第一個不等式可變形為： a2 3b2 2b(a b)或 2a2 2b2 (a b)2，其中 a，b R；
a b
第二個不等式可變形為： ( a b )2 4 ab 或 ab ( )2 ，其中 a，b R+．
2
（4）常用基本不等式 2來求最值：當兩個正數 a，b的積為定值時，由 a b 2 ab可得當 a b時，它們的
a b
和有最 小 值；當兩個正數 a，b的和為定值時，由ab ( )2 可得當 a b時，它們的積有最 大 值，正
2
所謂“積定和最 小 ，和定積最 大 ”．
如：已知 x 0，y 0．
s2
①若 x y s（和為定值），則當 x y時，積 xy取得最大值 ；
4
②若 xy p（積為定值），則當 x y時，和 x y取得最小值 2 p ．
注意 （1）此結論應用的前提條件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正實數；“二定”指求
最值時和或積為定值；“三相等”指滿足等號成立的條件，即取等條件成立．
（2）連續使用基本不等式要注意取值條件一致．
題型 1 直接使用
n
模型一：mx 2 mn (m 0，n 0) n，當且僅當 x 時等號成立；
x m
n n
模型二：mx m(x a) ma 2 mn ma(m 0，n 0) n，當且僅當 x a 時等號成立．
x a x a m
ax2 bx c ax b c模型三： 2 ac b(a 0，c 0)，當且僅當 ax c 時等號成立．
x x x
【例 1】（2023 上海）已知正實數 a、b滿足 a 4b 1，則 ab的最大值為 ．
2 x (1【例 】若 ,1] 2x 1，則 的最小值為 ( )
2 2x 1
A．1 B．2 C． 2 2 D．3
x2 x 4
【例 3】若 x 1，則函數 y ( )
x 1
A．有最大值 5 B．有最小值 5 C．有最大值 3 D．有最小值 3
跟蹤訓練
【訓練 1】（2021 乙卷）下列函數中最小值為 4的是 ( )
A． y x2 2x 4 B． y | sin x | 4 C． y 2x 22 x D． y lnx 4
| sin x | lnx
【訓練 2】若 a 1，則 4a 1 的最小值為 ( )
a 1
A．4 B．6 C．8 D．無最小值
x 3 x
2 6x 11
【訓練 3】若 ，則 的最小值為 ( )
x 3
A．2 B． 2 C． 4 2 D． 2 2
題型 2 “1”的代換
x a b形如 y 1和 1x y 的形式，可以讓兩個式子進行相乘構造出基本不等式的倒數結構
x y
【例 1】（2015 福建）若直線 1(a 0,b 0)過點 (1,1)，則 a b的最小值等于 ( )
a b
A．2 B．3 C．4 D．5
2 a 1 3【例 】已知 a 0，b 0，且 2，則 3a b的最小值為 ( )
a b
A．4 B．6 C．9 D．12
【例 3】已知 a， b是兩個不同的正數，滿足 a b 2ab，則 3a 2b的最小值是 ( )
A 3 2 2． B．5 2 6 C．3 D 5． 6
2 2
跟蹤訓練
【訓練 4】若圓 x2 y2 2x 4y 1 0被直線 2ax by 2 0(a 1 1 0,b 0)平分，則 的最小值為 ( )
a b
A 1 B 1． ．9 C．4 D．
4 9
【訓練 5】若 a 0，b 0且 a b 4 b 4，則 的最小值為 ( )
a b
A 2 B 8 C 3 D 10． ． ． ．
3 3
【訓練 6】已知 a，b是兩個不同的正數，滿足 a b 2ab，則 3a 2b的最小值是 ( )
A 3 2 2． B．5 2 6 C．3 D 5． 6
2 2
題型 3 換元與消元
消參法就是對應不等式中的兩元問題，一般是二元二次問題（也有更高次），用一個參數去表示另一個
參數，再利用基本不等式進行求解．尤其遇到雙元分式問題，我們可以采用雙換元的方法，分別運用兩個
分式的分母作為新的兩個參數，再轉化為新參數的不等關系．
【例 1】（2020 江蘇）已知5x2 y2 y4 1(x, y R)，則 x2 y2的最小值是 ．
【例 2】已知 0 a 1， 0 1 3 b 1，且 4ab 4a 4b 3 0，則 的最小值是 ( )
a b
A 16 4 3． B．3 C． 2 3 D．8
3
3 x y 0 4x 3y 1 1 2【例 】已知 且 ，則 的最小值為 ( )
2x y x 2y
A．10 B．9 C．8 D．7
跟蹤訓練
【訓練 7】已知 x 0， y 0，且 x 2y xy 7 0 ，則 x y的最小值為 ( )
A．3 B． 37 3 C．4 D．6
【訓練 8】若正數 x， y滿足 x2 3xy 2 0，則 x y的最小值是 ( )
A 2 B 4 C 4 8． ． ． D．
3 3 9 9
【訓練 9】若正數 a， b滿足 4a 3b 1 1 1，則 最小值為 ( )
2a b a b
A． 2 3 2 B．1 2 2 C．3 2 2 D． 2 2
題型 4 齊次化
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以相關變量得到一個整體，然后轉化為運用基本
不等式進行求解．
【例 1】已知 x 0， y 0， x 2y 1 (x 1)(y 1)，則 的最小值為 ( )
xy
A． 4 4 3 B．12 C．8 4 3 D．16
2
【例 2】已知 x 0， y 0 x y 1 2x x 1， ，則 的最小值為 ( )
xy
A 14．7 B． C． 2 2 D． 2 2 1
3
跟蹤訓練
10 x 0 y 0 2x y 1 (x 2)(2y 1)【訓練 】設 ， ， ，則 的最小值為 ．
xy
2
【訓練 11 2x x 1】已知 x 0， y 0， x y 1，則 的最小值為 ( )
xy
A 4 B 14． ． C． 2 2 D． 2 2 1
3
考向 2 利用基本不等式解決實際問題
題型 1 常見的幾何無字證明模型
【例 1】數學里有一種證明方法叫做 Proofswithoutwords ，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無
需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數學證明更
為優雅．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形 ABC中，點O為斜邊 AB的中點，點 D為斜邊 AB上異于
頂點的一個動點，設 AD a， BD b，則該圖形可以完成的無字證明為 ( )
a b 2 2A． ab(a 0,b 0) B a b a b． (a 0,b 0)
2 2 2
C 2ab． ab(a 0,b 0) D． a2 b2 2 ab (a 0,b 0)
a b
跟蹤訓練
【訓練 1】《幾何原本》卷 2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重
要依據，通過這一原理，很多代數公理或定理都能通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示
圖形，點 F 在半圓O上，點C 在直徑 AB上，且OF AB，設 AC a，BC b，其中 a b 0，則該圖形
可以完成的無字證明為 ( )
A a b． ab B． a2 b2 2ab
2
C 2ab ab D a b a
2 b2
． ．
a b 2 2
題型 2 常見的幾個函數模型
1．常見實際應用問題
（1）經濟效益問題；（2）幾何圖形無字證明或最值問題．
2．常見函數模型
（1）反比例函數型；（2）二次函數型；（3）對勾函數型．
【例 1】杭州第 19屆亞運會，是亞洲最高規格的國際綜合性體育賽事．本屆亞運會于 2023年 9月 23日至
10月 8日在浙江杭州舉辦．某款亞運會周邊產品深受大家喜愛，供不應求，某工廠日夜加班生產該款產品．生
產該款產品的固定成本為 4 萬元，每生產 x 萬件，需另投入成本 p(x)萬元．當產量不足 6 萬件時，
p(x) 1 x2 81 63 x；當產量不小于 6萬件時， p(x) 7x ．若該款產品的售價為 6元 /件，通過市場分
2 x 2
析，該工廠生產的該款產品可以全部銷售完．
（1）求該款產品銷售利潤 y（萬元）關于產量 x（萬件）的函數關系式；
（2）當產量為多少萬件時，該工廠在生產中所獲得利潤最大？
【例 2】如圖，用面積140m2 的鐵皮制作一個長為 am，寬為 2m，高為 bm的無蓋盒子．制作要求如下：①
4a
鐵皮全部用完，且不計拼接用料；② 2 b ．
3
（1）求 a的取值范圍；
（2）當 a， b分別為多少時，箱子的容積V 最大，并求出最大值．
跟蹤訓練
【訓練 2】隨著我國經濟發展、醫療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影
響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢．某醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃
改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為 200萬元，最大產能為 100臺．每生產 x臺，需另投
x2 120x,0 x 50

入成本G(x)萬元，且G(x) 4900 ，由市場調研知，該產品每臺的售價為 200萬
201x 2100,50 x 100 x
元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤W (x)萬元關于年產量 x臺的函數解析式（利潤 銷售收入 成本）；
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【訓練 3】為了不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現群眾對舒適的居住條件、更優美的環境、更豐
富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂
噴泉綜合體 A1B1C1D1 ，該項目由長方形核心噴泉區 ABCD（陰影部分）和四周綠化帶組成．規劃核心噴泉
區的 ABCD面積為1000m2 ，綠化帶的寬分別為 2m和 5m（如圖所示）．當整個項目占地面積 A1B1C1D1 最小
時，則核心噴泉區 BC的長度為 ( )
A． 20m B．50m C．10 10m D．100m
拓展思維
拓展 1 柯西不等式
柯西不等式二元式：設 a， b， c， d R ，有 (a b)(c d ) ( ac bd )2 a b當且僅當 時等號成立．
c d
模型一：分母的倍數和為常數
(a m n b)( ) ( m n )2，其中 a , b ,m , n R ，例如： (a b)(1 1 ) ( a 1 1 b )2 4；
a b a b a b
模型二：一高一低和式配湊類型
(x2 y2 )(m2 n2 ) (mx ny)2 ，其中m， n R
2 2
(a2 b2 )(1 1) (a b)2 a b a b例 或者寫成
2 2
模型三：同次積式配湊類型
已知 xy的值，求 (x m)(y n)(m,n R )的最值，利用 (x m)(y n) ( xy mn )2求最值．
【例 1】（2014 陜西）設 a，b，m， n R，且 a2 b2 5，ma nb 5，則 m2 n2 的最小值為 ．
【例 2】柯西不等式 (Cauchy SchwarzLnequality) 是法國數學家柯西與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，
它在數學分析中有廣泛的應用．現給出一個二維柯西不等式：(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 ，當且僅當 ad bc
a b
時即 時等號成立．根據柯西不等式可以得知函數 f (x) 3 4 3x 3x 2 的最大值為 ( )
c d
A． 2 5 B． 2 3 C． 10 D． 13
【例 3】已知 3x 2y xy z 3，則 x2 y2 2z2的取最小值時， 為 ( )
z
A． 7 B 8． C．3 D 7．
3 3
跟蹤訓練
【訓練 1】設 a， b 0， a b 4，則 a 1 b 3的最大值為 ．
【訓練 2】函數 y 5 x 1 9 3x的最大值是( )
A． 6 3 B． 2 3 C．5 2 D． 2 14
【訓練 3】已知實數 x、 y、 z滿足 x 2y 3z 6，則 x2 y2 z2 的最小值是 ( )
A． 6 B．3 C 18． D．6
7
拓展 2 權方和不等式
a 0,b 0,m (a )
m 1 (a )m 1 (a m 1 m 1
若 0.則 1 2 n ) a1 a2 an i i (b )m (b )m (b )m

1 2 n b1 b2 bn m
a
當且僅當 1
a
2
a
n 時，等號成立.m為該不等式的權，它的特點是分子的冪比分母的冪多一次.
b1 b2 bn
【例 1】權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設
a b x y 0 a
2 b2 (a b)2 a b， ， ， ，則 ，當且僅當 時等號成立．根據權方和不等式，函數
x y x y x y
f (x) 1 4 (0 x 1 )的最小值為 ( )
x 1 4x 4
A．1 B．4 C．9 D．16
2 2
【例 2】 x , y x y x y為正實數，且 1，則 的最小值是 .
x 2 y 1
1 8
【例 3】設 x，y是正實數且滿足 x y 1，求
x2

y2
最小值.
跟蹤訓練
【訓練 4】函數 f (x) 3 16 (0 x 1 )的最小值為 ( )
x 1 3x 3
A．16 B．25 C．36 D．49
【訓練 5 1 1】若 a， b是正實數，且 1，則 a b的最小值為 ( )
3a b 2a 4b
A 4 B 2． ． C．1 D．2
5 3
2 2
【訓練 6】已知 x x 1 2y， y為非負實數，且 x 2y 2，則 的最小值為 ( )
x y 1
A 3． B 9 C 3 9． ． D．
4 4 2 2中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3 基本不等式課后練習
1．（2020 上海）下列不等式恒成立的是　　
A． B． C． D．
2．（2024 北京模擬）已知，則的最小值為　　
A． B．3 C．6 D．10
3．（2024 北京月考）設實數滿足，函數的最小值為　　
A． B． C． D．6
4．（2024 湖南模擬）若，則函數的最小值是　　
A． B． C．4 D．5
5．（2024 黑龍江月考）設，則函數的最小值為　　
A．0 B． C． D．
6．（2014 重慶）若，則的最小值是　　
A． B． C． D．
7．（2024 福建月考）若正實數，滿足，則　　
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值2 D．有最小值
8．（2024 浙江模擬）已知，為正實數，且滿足，則的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
9．（2024 江蘇月考）已知正實數，滿足，則的最小值為　　
A． B．4 C． D．5
10．（2024 廣東月考）已知，，且，則的最小值為　　
A．2 B． C．4 D．6
11．（2024 青島模擬）已知，，，則的最小值為　　
A． B． C． D．6
12．（2024 江蘇模擬）已知，，，則的最小值為 　　．
13．（2024 株洲月考）已知，，，則的最小值為 　　．
14．（2024 北京模擬）數學里有一種證明方法為無字證明，是指僅用圖形而無需文字解釋就能不證自明的數學命題．在同一平面內有形狀、大小相同的圖1和圖2，其中四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設，，則借助這兩個圖形可以直接無字證明的不等式是　　
A． B．
C． D．
15．（2024 山東月考）已知超市內某商品的日銷量（單位：件）與當日銷售單價（單位：元）滿足關系式，其中，為常數．當該商品的銷售單價為15元時，日銷量為110件．若該商品的進價為每件10元，則超市該商品的日利潤最大為　　
A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元
16．（2024 遼寧月考）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本已知購買臺設備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備　　
A．100臺 B．200臺 C．300臺 D．400臺
17．（2024 河南模擬）設某批產品的產量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元件）．若該批產品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入總成本）最大時的產量為　　
A．7萬件 B．8萬件 C．9萬件 D．10萬件
18．（2024 廈門月考）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態之美、文化之韻，充分發揮國際重大賽事對城市發展的牽引作用，從而促進經濟快速發展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放當地市場，已知該種設備年固定研發成本為50萬元，每生產一萬臺需另投入80萬元，設該公司一年內生產該設備萬臺且全部售完．當時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產量（萬臺）滿足關系式：；當時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產量（萬臺）滿足關系式：．
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬臺）的函數解析式（利潤銷售收入成本）；
（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．
19．（2024 杭州模擬）若兩個正實數，滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍是　　
A． B．或
C． D．或
20．（2024 江蘇模擬）已知，，且，則的最小值為　　
A． B．1 C． D．2
21．（2024 長沙月考）設正實數、、滿足，則的最大值為　　
A．0 B．2 C．1 D．3
22．（2024 洛陽模擬）已知正數，滿足，則的最小值是　　
A． B． C． D．
23．（2024 浙江模擬）設，為正實數，若，則的最小值是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2024 西安模擬）已知，，，滿足，則的最大值為　　
A．2 B．3 C．4 D．6
25．（2024 吉林模擬）已知，，，且，則的最大值為　　
A．3 B． C．18 D．9
26．（2024 湖南月考）已知，，且，則的最小值為　　
A．9 B．8 C． D．3
27．（2024 佛山模擬）已知，，且，則的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．3
28．（2024 河北模擬）已知正實數，滿足，則的最小值為　　
A．6 B．5 C．12 D．10
29．（2024 甘肅月考）已知，則的最小值為　　
A． B． C．9 D．12
30．（2024 成都月考）若，則的最小值為　　
A．12 B． C． D．
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1. 3 基本不等式
考向1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
基本不等式1：若 R ，則，當且僅當 時取等號；
基本不等式2：若 R+ ，則（或），當且僅當 時取等號．
2．兩個基本不等式的異同
（1）兩個基本不等式中實數的取值范圍是不同的，運用第二個不等式時，必須都是 正實數 ．
（2）兩個基本不等式中等號成立的條件：當且僅當 時取等號；
（3）兩個基本不等式的變形：（這里的變形要讓學生理解是如何得來的，同時也讓學生試著去發現這些不等式都出現了哪些運算形式，有求和，乘積，平方和，開方和）
第一個不等式可變形為：或，其中R；
第二個不等式可變形為：或，其中R+．
（4）常用基本不等式2來求最值：當兩個正數的積為定值時，由可得當時，它們的和有最 小 值；當兩個正數的和為定值時，由可得當時，它們的積有最 大 值，正所謂“積定和最 小 ，和定積最 大 ”．
如：已知．
①若（和為定值），則當時，積取得最大值；
②若（積為定值），則當時，和取得最小值．
注意 （1）此結論應用的前提條件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正實數；“二定”指求最值時和或積為定值；“三相等”指滿足等號成立的條件，即取等條件成立．
（2）連續使用基本不等式要注意取值條件一致．
題型1 直接使用
模型一：，當且僅當時等號成立；
模型二：，當且僅當時等號成立．
模型三：，當且僅當時等號成立．
【例1】（2023 上海）已知正實數、滿足，則的最大值為 　　．
【例2】若，則的最小值為　　
A．1 B．2 C． D．3
【例3】若，則函數　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值3 D．有最小值3
跟蹤訓練
【訓練1】（2021 乙卷）下列函數中最小值為4的是　　
A． B． C． D．
【訓練2】若，則的最小值為　　
A．4 B．6 C．8 D．無最小值
【訓練3】若，則的最小值為　　
A．2 B． C． D．
題型2 “1”的代換
形如和的形式，可以讓兩個式子進行相乘構造出基本不等式的倒數結構
【例1】（2015 福建）若直線過點，則的最小值等于　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】已知，，且，則的最小值為　　
A．4 B．6 C．9 D．12
【例3】已知，是兩個不同的正數，滿足，則的最小值是　　
A． B． C．3 D．
跟蹤訓練
【訓練4】若圓被直線平分，則的最小值為　　
A． B．9 C．4 D．
【訓練5】若，且，則的最小值為　　
A．2 B． C．3 D．
【訓練6】已知，是兩個不同的正數，滿足，則的最小值是　　
A． B． C．3 D．
題型3 換元與消元
消參法就是對應不等式中的兩元問題，一般是二元二次問題（也有更高次），用一個參數去表示另一個參數，再利用基本不等式進行求解．尤其遇到雙元分式問題，我們可以采用雙換元的方法，分別運用兩個分式的分母作為新的兩個參數，再轉化為新參數的不等關系．
【例1】（2020 江蘇）已知，則的最小值是 　 　．
【例2】已知，，且，則的最小值是　　
A． B．3 C． D．8
【例3】已知且，則的最小值為　　
A．10 B．9 C．8 D．7
跟蹤訓練
【訓練7】已知，，且，則的最小值為　　
A．3 B． C．4 D．6
【訓練8】若正數，滿足，則的最小值是　　
A． B． C． D．
【訓練9】若正數，滿足，則最小值為　　
A． B． C． D．
題型4 齊次化
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以相關變量得到一個整體，然后轉化為運用基本不等式進行求解．
【例1】已知，，，則的最小值為　　
A． B．12 C． D．16
【例2】已知，，，則的最小值為　　
A．7 B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練10】設，，，則的最小值為 　 　．
【訓練11】已知，，，則的最小值為　　
A．4 B． C． D．
考向2 利用基本不等式解決實際問題
題型1 常見的幾何無字證明模型
【例1】數學里有一種證明方法叫做，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優雅．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點為斜邊的中點，點為斜邊上異于頂點的一個動點，設，，則該圖形可以完成的無字證明為　　
A． B．
C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多代數公理或定理都能通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，其中，則該圖形可以完成的無字證明為　　
A． B．
C． D．
題型2 常見的幾個函數模型
1．常見實際應用問題
（1）經濟效益問題；（2）幾何圖形無字證明或最值問題．
2．常見函數模型
（1）反比例函數型；（2）二次函數型；（3）對勾函數型．
【例1】杭州第19屆亞運會，是亞洲最高規格的國際綜合性體育賽事．本屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉辦．某款亞運會周邊產品深受大家喜愛，供不應求，某工廠日夜加班生產該款產品．生產該款產品的固定成本為4萬元，每生產萬件，需另投入成本萬元．當產量不足6萬件時，；當產量不小于6萬件時，．若該款產品的售價為6元件，通過市場分析，該工廠生產的該款產品可以全部銷售完．
（1）求該款產品銷售利潤（萬元）關于產量（萬件）的函數關系式；
（2）當產量為多少萬件時，該工廠在生產中所獲得利潤最大？
【例2】如圖，用面積的鐵皮制作一個長為，寬為，高為的無蓋盒子．制作要求如下：①鐵皮全部用完，且不計拼接用料；②．
（1）求的取值范圍；
（2）當，分別為多少時，箱子的容積最大，并求出最大值．
跟蹤訓練
【訓練2】隨著我國經濟發展、醫療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢．某醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為200萬元，最大產能為100臺．每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤銷售收入成本）；
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【訓練3】為了不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現群眾對舒適的居住條件、更優美的環境、更豐富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂噴泉綜合體，該項目由長方形核心噴泉區（陰影部分）和四周綠化帶組成．規劃核心噴泉區的面積為，綠化帶的寬分別為和（如圖所示）．當整個項目占地面積最小時，則核心噴泉區的長度為　　
A． B． C． D．
拓展思維
拓展1 柯西不等式
柯西不等式二元式：設，，，，有 當且僅當時等號成立．
模型一：分母的倍數和為常數
，其中，例如：；
模型二：一高一低和式配湊類型
，其中，
例或者寫成
模型三：同次積式配湊類型
已知的值，求的最值，利用求最值．
【例1】（2014 陜西）設，，，，且，，則的最小值為　　．
【例2】柯西不等式是法國數學家柯西與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，它在數學分析中有廣泛的應用．現給出一個二維柯西不等式：，當且僅當時即時等號成立．根據柯西不等式可以得知函數的最大值為　　
A． B． C． D．
【例3】已知，則的取最小值時，為　　
A． B． C．3 D．
跟蹤訓練
【訓練1】設，，，則的最大值為　　．
【訓練2】函數　　
A． B． C． D．
【訓練3】已知實數、、滿足，則的最小值是　　
A． B．3 C． D．6
拓展2 權方和不等式
若則
當且僅當時，等號成立.為該不等式的權，它的特點是分子的冪比分母的冪多一次.
【例1】權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設，，，，則，當且僅當時等號成立．根據權方和不等式，函數的最小值為　　
A．1 B．4 C．9 D．16
【例2】為正實數，且，則的最小值是 .
【例3】設是正實數且滿足，求最小值.
跟蹤訓練
【訓練4】函數的最小值為　　
A．16 B．25 C．36 D．49
【訓練5】若，是正實數，且，則的最小值為　　
A． B． C．1 D．2
【訓練6】已知，為非負實數，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
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