資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2. 1 函數的三要素
考向1 函數的定義域
題型1 定義域的基本限制
（1）分式中的分母不為0；
（2）偶次方根下的數（或式）大于或等于0；
（3）零指數冪的底數不為0；
（4）指數式的底數大于0且不等于1；
（5）對數式的底數大于0且不等于1，真數大于0；
（6）正切函數且，．
注：定義域需用區間或集合的形式寫出．
【例1】（2020 北京）函數的定義域是　 　．
【例2】函數的定義域為　　
A．， B．，， C． D．，，
【例3】已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C．，， D．
跟蹤訓練
【訓練1】函數的定義域為　　
A． B．， C． D．，
【訓練2】已知函數，則函數的定義域為　　
A．， B．，， C．， D．，，
【訓練3】已知函數的定義域是，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
題型2 抽象函數的定義域
此類型題目最關鍵的就是同一對應法則下的定義域不變，若的定義域為，則中的解的范圍，即為的定義域．
【例1】已知函數的定義域為，，則函數的定義域為　　
A．， B．， C． D．
【例2】已知函數的定義域為，則函數的定義域為　　
A． B． C． D．
【例3】函數的定義域為，則函數的定義域為　　
A． B．，，
C．，， D．，
跟蹤訓練
【訓練4】已知函數的定義域是，，則函數的定義域是　　
A． B．，，
C．， D．
【訓練5】已知函數的定義域為，，則函數的定義域為　　
A．， B．， C．， D．，，
考向2 函數的解析式
題型1 換元法
換元法：也稱變量替換或輔助元素法，在使用換元法時，一定要根據定義域確定所換“新元”的取值范圍．
【例1】若函數滿足，求函數的解析式；
【例2】已知，求的解析式并注明定義域；
題型2 待定系數法
待定系數法：解決某些問題時，常用一些字母來表示需要確定的系數，根據一些條件或要求來確定這些系數，從而解決問題，這樣的思維方法叫作待定系數法．
【例3】若一次函數滿足，求的函數解析式；
【例4】已知是二次函數，且，求的講解析式．
題型3 方程組消元法
方程組消元法：根據不同形式的變量之間的關系，利用變換形式構造不同的等式，通過解方程組求解．
【例5】已知函數滿足，求的解析式；
【例6】已知函數滿足，求的解析式；
題型4 賦值法
賦值法：對于自變量多于一個的函數方程，將其中一個或幾個自變量用一些特殊值代入原方程，從而簡化方程，達到求解的目的．
【例7】若函數對任意實數，均有，
則的解析式為　 　．
跟蹤訓練
【訓練1】已知二次函數滿足且，求的解析式．
【訓練2】已知是奇函數，是偶函數，并且，求和的函數解析式．
【訓練3】已知函數滿足，則　 　．
【訓練4】若定義在上的函數，滿足，且對任意，，
都有，則　 　．
考向3 函數的值域
題型1 求值域的基本方法
（1）配方法：與二次函數有關的函數（注意定義域）；
（2）換元法：形如的函數，即設，轉化成二次函數再求值域（注意）；
（3）分離常數法：形如的函數可借助反比例函數求其值域，且值域為；
（4）單調性法：將函數分為兩部分，如果單調性一致，可根據定義域求解其值域；
（5）基本不等式法：當函數可化為對勾函數模型時，可借助基本不等式求解其值域．
【例1】求下列函數的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【例2】求下列函數的值域：（1）；（2）的值域．
跟蹤訓練
【訓練1】分別求下列函數的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【訓練2】函數的值域為　 ．
【訓練3】函數的值域是 　 　．
題型2 數形結合法求值域
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目．適用于函數本身可和其幾何意義相聯系的函數類型．
【例1】求函數的值域．
【例2】求函數的值域．
【例3】求函數的值域．
跟蹤訓練
【訓練4】求函數的值域
【訓練5】求函數的值域．
【訓練6】求函數的值域．
題型3 值域與求參問題
【例1】（多選）若函數的定義域為，，值域為，，則實數的值可能為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】已知函數的值域為[)，則的取值范圍是 ．
【例3】定義：，，那么對于，，設函數，，則　 　（用分段函數表示）；函數的值域為　 　．
跟蹤訓練
【訓練7】已知函數在，上的值域是，，則的最大值是　　
A．3 B．6 C．4 D．8
【訓練8】函數，且，若的值域為，，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練9】若定義運算，則函數的值域為　　
A．， B．， C．， D．
拓展思維
拓展1 高斯函數
定義在全體實數集的函數，而函數值是離散的，這個函數即為取整函數，又稱高斯函數.
為了方便，用表示不超過的最大整數，函數又可記為．
【例1】世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”美譽的高斯提出了取整函數，表示不超過的最大整數，例如，．已知，，則函數的值域為　　
A．，6， B．，5， C．，5，6，7， D．，
【例2】（多選）函數稱為取整函數，也稱高斯函數，其中表示不大于實數的最大整數　　
A．若，則的最小值為
B．若，則的最大值為 1
C．若正數，滿足，則的最小值為 9
D．若，則的最小值為
跟蹤訓練
【訓練1】（多選）高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，．已知函數，則函數的值域中含有下列那些元素　　
A． B．0 C．1 D．2
【訓練2】（多選）函數稱為取整函數，也稱高斯函數，其中表示不超過實數的最大整數，例如，等，該函數被廣泛應用于數學和計算機等領域，關于函數，正確的結論是　　
A． B．若，則
C．若，則 D．
拓展2 三角換元法求值域
形如含的結構的函數，可利用三角代換（），令，
或令．
【例1】求函數的值域．
【例2】求函數的值域．
【訓練3】求函數的值域．
拓展3 判別式法求值域
形如（中至少有一個不為零）的函數求值域．
判別式法求其值域，要注意以下三個問題： ①檢驗二次項系數為零時，方程是否有解，若無解或是函數無意義，都應從值域中去掉該值；②定義域是否屬于；③閉區間的邊界值也要考查達到該值時的是否存在；④分子、分母必須是既約分式（不可約分）．
【例1】求函數的值域．
【例2】求函數的值域．
【訓練4】求函數的值域．
【訓練5】求函數的值域．
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2.1 函數的三要素課后練習
1．（2022 北京）函數的定義域是 　 　．
2．（2024 羅湖區期中）已知函數，則的定義域為　　
A． B．， C．， D．，
3．（2024 北辰區期中）若函數的定義域為，則的范圍是　　
A．， B．， C．， D．
4．（2024 淮南月考）已知函數定義域是，，則的定義域是　　
A． B．， C．， D．，
5．（2024 蘆淞區月考）若函數的定義域為，，則函數的定義域為　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2024 遵義期中）已知函數的定義域與值域均為，，則實數的取值為　　
A． B． C．1 D．11
7．（2024 深圳期中）19世紀德國數學家狄利克雷提出了一個有趣的函數若函數，則下列實數中不屬于函數值域的是　　
A．0 B． C． D．
8．（2024 武功縣模擬）已知函數滿足，則函數的解析式為　 　．
9．（2024 桐城市月考）已知，則的解析式為　 　．
10．（2024 沿河縣期中）若，求函數的解析式，并寫出其定義域；
11．（2024 荔灣區月考）設函數，滿足，且對任意，，
都有，則　　．
12．（2024 韶關月考）求函數的值域．
13．（2024 閔行區月考）函數的值域為 　　．
14．（2024 佛山月考）已知函數稱為高斯函數，表示不超過的最大整數，如，．則不等式的解集為 　 　；當時，的最大值為 　 　．
15．（2024 深圳期中）求函數的值域．
16．（2024 欽北期末）已知，則的定義域為　　
A．，， B．
C．，其中 D．，，
17．（2024 衡水月考）設函數，，，且的定義域為，若所有點，，構成一個正方形區域，則　　
A． B． C． D．
18．（2024 杭州月考）已知函數，若存在區間，，使得函數在，上的值域為，，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
19．（2024 長沙期末）已知偶函數，對任意的，恒有，
則函數的解析式為_________．
20．（2024 柳州期末）已知函數與函數的圖象關于直線成軸對稱圖形，則函數的解析式為_________．
21．（2024 鎮海月考）函數的值域為_________．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.1函數的三要素課后練習
1.(2022北京)函數f=1+-x的定義域是
2.(2024·羅湖區期中)已知函數f(x)=-
+3+log,2-),則f)的定義域為()
2
A.(-3,2)
B.[-3,2)
C.(-3,2]
D.[-3,2]
3.(2024·北辰區期中)若函數f(x)=√ax2-ax+1的定義域為R,則a的范圍是()
A.(0,4
B.[0,4)
C.[0,4]
D.(0,4)
4.(2024準南月考)己知函數y=f(x+1)定義域是[-2,3]，則y=f(2x-1)的定義域是()
A克
B.[-1,4
C.[-5,5]
D.[-3,7]
5.(2024蘆淞區月考)若函數fx+)的定義域為[-1,15]，則函數g)=f貯的定義域為()
x-1
A.1,4]
B.(1,4]
C.1,14]
D.1,14]
6.(2024遵義期中)已知函數y=Vax2+bx+c的定義域與值域均為[0,1]，則實數a的取值為()
A.-4
B.-2
C.1
D.11
山，是有理數，若函數
7.(2024深圳期中)19世紀德國數學家狄利克雷提出了一個有趣的函數D()=0,是無理數：
f(x)=D(x)-x2,則下列實數中不屬于函數f(x)值域的是()
A.0
B.-1
C.-2
D.-3
8.(2024武功縣模擬)已知函數f(x)滿足f(x)+2f(-)=x,則函數f(x)的解析式為
9.(2024桐城市月考)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,則f(x)的解析式為
10.(2024沿河縣期中)若f(W-2)=x-4V，求函數f(x)的解析式，并寫出其定義域：
11.(2024·荔灣區月考)設函數f:R→R,滿足f(0)=1,且對任意x,y∈R,
都有f(xy+)=f(x)f(y)-fy)-x+2,則f(x)=一·
2.(2024韶關月考)求函數y=2的值域。
13.(2024閔行區月考)函數y=Vx2-2x+5-√x2-4x+13的值域為[-V2,V2)
14.(2024佛山月考)已知函數y=[x]稱為高斯函數，表示不超過x的最大整數，如[π]=3，[-2.5]=-3.則
不等式回<0的解集為；當x>0時，岡的最大值為
[x]-4
[x]2+4
15.(2024深圳期中)求函數y=-x+3的值域.
x2-x+1
16.(2024欽北期末)已知f(x)=nsinx+V16-x2，則f(x)的定義域為()
A.(-4,-π)∪(0，π)
B.(0,π)
C.(2kπ，π+2kπ)，其中k∈Z
D.[-4,-π)八J(0,π)2.1函數的三要素
考向1函數的定義域
題型1定義域的基本限制
(1)分式中的分母不為0：
(2)偶次方根下的數（或式）大于或等于0：
(3)零指數冪的底數不為0：
(4)指數式的底數大于0且不等于1：
(5)對數式的底數大于0且不等于1，真數大于0：
(6)正切函數)y=amx(xeR且xk+分keZ).
注：定義域需用區間或集合的形式寫出.
【例1】(2020~北京)函數f(=1+m的定義域是
x+1
【例2】函數y=
4- 的定義域為(）
x2+3x-4
A.[-2,2]
B.[-2,0)(0,2]
C.(0,2)D.[-2,1)(1,2]
【例3】已知函數f(x)=Vmx2+(m-3)x+1的定義域為R,則實數m的取值范圍是()
A.[1,9]
B.(L,9)
C.(-0,1J[9,+o)D.3
跟蹤訓練
【訓練1】函數y=√x-1+g(3-x)的定義域為()
A.(1,3)
B.1,3)
C.(3,+0)
D.1,+o)
【訓練2】己知函數f(x)=V-x2-3x+4,則函數g(x)=f(-x)的定義域為()
A.[-1,4]
B.(-0,-1U[4,+o)
C.[-4,1]D.(-o,-4U1,+o)
【訓練3】已知函數f(x)=
1
的定義域是R,則m的取值范圍是()
mx2 +2mx+1
A.0B.0C.0D.0≤s1
題型2抽象函數的定義域
此類型題目最關鍵的就是同一對應法則下的定義域不變，若f(x)的定義域為(a,b),則f[g(x】中
a【例1】已知函數y=f(x)的定義域為[0，]，則函數y=f(2x+1)的定義域為()
A.[0,
B.[1,3]
c.2
D.【-20
【例2】已知函數f(x-1)的定義域為{x-2≤≤3}，則函數f(2x+1)的定義域為()
A.{x-l≤r≤9}B.{x-3≤x≤7}
C.x-2≤2j
D.{x|-2≤x≤1}
列3】函數fx+)的定義域為x-3<3,則函數)=22023/2)的定義域為()
A.(-1,2)
B.(-2,2)(2,4]
C.(-4,2)(2,8]
D.(-4,8]
跟蹤訓練
【訓練4】已知函數y=f)的定義域是[-2，引，則函數y=2x+D的定義域是()
x+1
A【3-U-
B.[-3,-1)(-1,7]
C.(-1,7]
D.-
【訓練5】已知函數y=f2)的定義域為，21，則函數y=+D的定義域為()
x-1
A.[-1,1)
B.(1,3]
C.[0,3]
D.[0,1)1,3]

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