資源簡介

1.1集合
考向1集合的概念
題型1元素與集合關系的判斷
1.集合與元素
某些指定的對象集在一起就成為一個集合，筒稱集，通常用大寫字母A,B,C,···表示。集合
中的每個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母a,b,C,···表示，
2.元素與集合之間的關系
元素與集合之間用“”或“”連接，元素與集合之間是個體與整體的關系，不存在大小或相等關系.
3,集合表示方法：列舉法、描述法、圖象法，
4.常用集合符號
R:實數集；Z:整數集；N:自然數集（含有O);N,或N:正整數集（沒有O);Q:有理數集
【例1】(2023·上海)已知P=1,2},Q=2,3}，若M={x|x∈P，xQ5，則M=()
A.{I}
B.{2}
C.3}
D.{1,2,3}
【例2】(2020·新課標I)己知集合A={(x,y)川x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)川x+y=8},則A∩B中元
素的個數為()
A.2
B.3
C.4
D.6
跟蹤訓練
【訓練1】下列關系中正確的個數為()
①￥R,②5e0,③1-3kN,④1-5e0.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【訓練2】(2020新課標川)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x3個數為()
A.2
B.3
C.4
D.5
題型2利用集合的三要素求參
1.集合中元素的性質
對于一個給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無序性.
2.集合的分類
集合按元素多少可分為：有限集（元素個數有限）、無限集（元素個數無限）、空集（不含任何元素）：
也可按元素的屬性分，如：數集（元素是數），點集（元素是點）等，
【例1】若-1∈2，a2-a-1,a2+1},則a=()
A.-1
B.0
C.1
D.0或1
【例2】（多選）由a2,2-a,4組成一個集合A,A中含有3個元素，則實數a的取值可以是()
A.-1
B.-2
C.6
D.2
跟蹤訓練
【訓練3】若a∈1，a2-2a+2}，,則實數a的值為()
A.1
B.2
C.0
D.1或2
【訓練4】已知A是由0，m,m2-3m+2三個元素組成的集合，且2∈A,則實數m為()
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
考向2集合的關系
題型1利用集合相等求參
1.集合與集合之間的關系
(1)包含關系：如果對任意x∈A,都有x∈B,則稱集合A是集合B的子集，記作AsB,顯然A三A,OsA;
(2)相等關系：對于集合A、B,如果A二B,同時A三B,那么稱集合A等于集合B,記作A=B;
(3)真包含關系：對于集合A、B,如果A二B,并且A≠B,我們就說集合A是集合B的真子集，記作AB;
(4)空集是任何非空集合的真子集.
【例1】(2023·上海)已知集合A={1,2},B=1,a,且A=B,則a=·中小學教育資源及組卷應用平臺
1. 1 集合
考向1 集合的概念
題型1 元素與集合關系的判斷
1．集合與元素
某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，通常用大寫字母，，，．．．表示．集合中的每個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母，，，．．．表示．
2．元素與集合之間的關系
元素與集合之間用“”或“”連接，元素與集合之間是個體與整體的關系，不存在大小或相等關系．
3．集合表示方法：列舉法、描述法、圖象法．
4．常用集合符號
R：實數集；Z：整數集；N：自然數集（含有0）；或N*：正整數集（沒有0）；Q：有理數集．
【例1】（2023 上海）已知，，，，若，，則　　
A． B． C． D．，2，
【例2】（2020 新課標Ⅲ）已知集合，，，，則中元素的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．6
跟蹤訓練
【訓練1】下列關系中正確的個數為　　
①，②，③，④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【訓練2】（2020 新課標Ⅲ）已知集合，2，3，5，7，，，則中元素的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
題型2 利用集合的三要素求參
1．集合中元素的性質
對于一個給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無序性．
2．集合的分類
集合按元素多少可分為：有限集（元素個數有限）、無限集（元素個數無限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的屬性分，如：數集（元素是數），點集（元素是點）等．
【例1】若，，，則　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
【例2】（多選）由，，4組成一個集合，中含有3個元素，則實數的取值可以是　　
A． B． C．6 D．2
跟蹤訓練
【訓練3】若，，則實數的值為　　
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
【訓練4】已知是由0，，三個元素組成的集合，且，則實數為　　
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
考向2 集合的關系
題型1 利用集合相等求參
1．集合與集合之間的關系
（1）包含關系：如果對任意，都有，則稱集合是集合的子集，記作，顯然，；
（2）相等關系：對于集合、，如果，同時，那么稱集合等于集合，記作；
（3）真包含關系：對于集合、，如果，并且，我們就說集合是集合的真子集，記作；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
【例1】（2023 上海）已知集合，，，，且，則　?。?br/>【例2】已知，，若集合，則的值為　　
A． B． C．1 D．2
跟蹤訓練
【訓練1】設集合，，，，若，則　　
A．0 B．1 C．2 D．
【訓練2】已知實數集合，，，，，，若，則　　
A． B．0 C．1 D．2
題型2 利用子集/真子集/空集關系求參
1．集合元素數量與子集、真子集和非空真子集數量之間的關系（集合含有個元素）
（1）子集的數量：
（2）真子集的數量：
（3）非空真子集的數量：
【例1】（2023 新高考Ⅱ）設集合，，，，，若，則　　
A．2 B．1 C． D．
【例2】已知，，若，則實數的取值范圍　　
A．， B．， C．， D．，，
【例3】已知，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例4】已知集合有8個子集，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練3】已知集合，3，，集合，，若，則實數的取值集合為　　
A． B． C．， D．
【訓練4】設，，若，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【訓練5】已知集合至多有1個真子集，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．或
【訓練6】（2020 全國）若集合共有5個元素，則的真子集的個數為　　
A．32 B．31 C．16 D．15
考向3 集合的運算
題型1 交集、并集、補集及其混合運算
1．集合之間的運算性質
（1）交集：，，，，，．
（2）并集：，，，，，．
（3）補集的運算性質：，，，，．
【例1】（2023 新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，則　　
A．，，0， B．，1， C． D．
【例2】（2022 浙江）設集合，，，4，，則　　
A． B．， C．，4， D．，2，4，
【例3】（2023 甲卷）設集合，，，，為整數集，則　　
A．， B．， C．， D．
跟蹤訓練
【訓練1】（2022 乙卷）集合，4，6，8，，，則　　
A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8，
【訓練2】（2021 北京）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【訓練3】（2023 天津）已知集合，2，3，4，，，，，2，，則　　
A．，3， B．， C．，2， D．，2，4，
題型2 韋恩圖表達集合的關系及運算
1．Venn圖：用平面上一條封閉的曲線（通常情況下是矩形）的內部代表集合，這個圖形就叫做韋恩圖．集合中圖形語言具有直觀形象的特點，將集合問題圖形化，利用Venn圖的直觀性，可以深刻理解集合有關概念、運算公式，而且有助于顯示集合間的關系．
（1）交集：
【例1】集合，0，1，，，2，，則圖中陰影部分所表示的集合為　　
A．， B．，0，1，2， C．，0，2， D．，1，
【例2】已知全集，2，3，4，，，，，，如圖所示，則陰影部分表示的集合是　　
A．，4， B．，3， C．，2， D．，
跟蹤訓練
【訓練4】如圖，陰影部分所表示的集合為　　
A． B． C． D．
【訓練5】已知，都是的子集，則圖中的陰影部分表示　　
A． B． C． D．
拓展思維
拓展1 新定義問題
集合的新定義問題主要考查元素的性質以及集合的運算，一般以新符號定義一種新的運算方式或者新的概念，處理這類題往往需要把新定義、新運算轉化為我們熟知的元素和集合的知識，利用元素的性質和集合之間的交并補空等關系進行解題．
【例1】集合，，都是非空集合，現規定如下運算：且．假設集合，，，其中實數，，，，，滿足：
（1），；；（2）；（3）．
計算　 ?。?br/>【例2】已知，，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和為56，求　　
A．8 B．6 C．7 D．4
跟蹤訓練
【訓練1】對于任意兩個正實數，，定義，其中常數．若，且與都是集合的元素，則　?。?br/>【訓練2】定義集合運算，，，集合，，，，則集合所有元素之和為 　?。?br/>拓展2 容斥問題
兩個集合的容斥原理，可以用下面的韋恩圖表示：
為了計算具有性質A或性質B的元素個數，我們使用下面的公式：
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
三個集合的容斥原理，畫成韋恩圖如下所示：
為了計算至少具有性質A、B、C之一的元素個數，我們使用下面的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
【例1】我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，用（A）表示有限集合中元素的個數．例如，，，，則（A）．容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有，，三類，那么，．某校初一四班學生46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？（教材閱讀與思考改編）　　
A．2 B．3 C．4 D．5
跟蹤訓練
【訓練3】（2020 海南）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是　　
A． B． C． D．
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1 集合課后練習
1．（2024 成都月考）設集合，2，，，，，，，則中元素的個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024 深圳期中）若的三邊長，，可構成集合，，，則不可能是　　
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2024 十堰月考）由，，1可組成含3個元素的集合，則實數的取值可以是　　
A．1 B． C．0 D．
4．（2024 秦皇島期中）下列集合中表示同一集合的是　　
A．， B．，
C．，， D．
5．（2024 河南月考）已知集合，，，，，，若，則實數，的值是　　
A．， B．，
C． D．；，
6．（2024 廈門月考）設集合，，，若，則　　
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
7．（2024 南京月考）已知集合，，，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
8．（2024 新疆月考）已知集合的真子集的個數為15個，則實數的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
9．（2020 新課標Ⅲ）已知集合，2，3，5，7，，，則中元素的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023 乙卷）設集合，集合，，則　　
A． B． C． D．
11．（2023 甲卷）設全集，2，3，4，，集合，，，，則
A．，3， B．，3， C．，2，4， D．，3，4，
12．（2021 乙卷）已知集合，，，，則
A． B． C． D．
13．（2024 江西月考）已知全集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A．， B．， C．， D．，
14．（2024 惠州月考）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2024 江門月考）用圖形直觀表示集合的運算關系，最早是由瑞士數學家歐拉所創，故將表示集合運算關系的圖形稱為“歐拉圖”，后來，英國邏輯學家約翰韋恩在歐拉圖的基礎上創建了世人所熟知的“韋恩圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為　　
A． B． C． D．
16．（2024 山東月考）若集合，則實數的取值范圍是 　 ?。?br/>17．（2024 南昌月考）某校校園文化節開展“筆墨飄香書漢字，文化傳承展風采”書法大賽，高一（1）班共有32名同學提交了作品進行參賽，有20人提交了楷書作品，有12人提交了隸書作品，有8人提交了行書作品，同時提交楷書作品和隸書作品的有4人，同時提交楷書作品和行書作品的有2人．沒有人同時提交三種作品，則同時提交隸書作品和行書作品的有　　
A．4人 B．3人 C．2人 D．1人
18．（2019 新課標Ⅲ）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該學校學生總數比值的估計值為　　
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
19．（2024 齊齊哈爾期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加數學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中同時參加數、理、化三科競賽的有7名，沒有參加任何競賽的學生共有10名，若該班學生共有51名，則只參與兩科競賽的同學有　　人．
A．19 B．18 C．9 D．29
20．（2024 多選 成都月考）定義集合運算且稱為集合與集合的差集；定義集合運算△稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：
則4個命題中是真命題的是　　
A．△△ B．△△△△
C．△△ D．△△
21．（2024 西安月考）對于集合，，定義且， ，設，，，則 　 　．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1集合課后練習
1.(2024成都月考)設集合A={1,2,3},B={4,5},M={xx=a+b,a∈A,b∈B},則M中元
素的個數為()
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(2024深圳期中)若△4BC的三邊長a,b,c可構成集合M={a,b,c,則△4BC不可能是()
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.等腰直角三角形
3.(2024十堰月考)由a2,3-2a,1可組成含3個元素的集合，則實數a的取值可以是()
A.1
B.-1
C.0
D.-3
4.(2024秦皇島期中)下列集合中表示同一集合的是()
A.M={3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)川x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M=1,2},N={(1,2)}
D.M=yly=x2+3,N=xly=x-3
5.(2024河南月考)己知集合A={a,b,2},B=2,b2,2a,若A=B,則實數a,b的值是()
A.a=0,b=1
B.a=0,b=0
1
1
1
D.a=4b=2a=0,b=l
6.(2024廈門月考)設集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,則a=()
A.-3或-1或2B.-3或-1
C.-3或2
D.-1或2
7.(2024南京月考)己知集合A={xxA.asl
B.a<1
C.a>2
D.a>2
8.(2024新疆月考)己知集合A={xeN|(x-2)(x-m-1)<0(m>2)}的真子集的個數為15個，則實數m的
取值范圍是()
A.
B.6
C.(5,6]
D.(6,7)
9.(2020新課標Ⅲ)已知集合A=1,2,3,5,7,1},B={x3A.2
B.3
C.4
D.5
10.(2023乙卷)設集合U=R,集合M={xx<1},N={x-1A.C(MN)
B.NCM
C.CM∩
D.MC N
11.(2023甲卷)設全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則NUCM=()
A.{2,3,5}
B.1,3,4}
C.1,2,4,5}D.{2,3,4,5}
12.(2021·乙卷)己知集合S={8|s=2n+1,n∈Z},T={t=4n+1,n∈Z},則S∩T=()
A.0
B.S
C.T
D.Z
13.(2024江西月考)已知全集U=R,集合A={xx≥2或x≤-3}，B={x0≤x≤4}，則Vnn圖中陰影部
分表示的集合為(
U
B
A.[0,2)
B.[0,3)
C.(2,4]
D.(3,4]
14.(2024·惠州月考)已知全集U=R,集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4或x≤-2}，則圖中陰影部
分表示的集合為()
U
A.(-2,0]
B.[-2,0]
C.[-2,0U4}D.(-2,0lU4}

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