資源簡介

1. 4 一元二次方程、函數(shù)和不等式的關系
考向 1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
題型 1 利用基本性質(zhì)判斷不等式對錯
1．等式與不等式的性質(zhì)
（ 1） 等 式 基 本 性 質(zhì)
1．如果 a＝b，那么 b＝a.
2．如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
3．如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
4．如果 a＝b，那么 ac＝bc.
5．如果 a＝b，c 0 a b≠ ，那么 ＝ .
c c
（ 2） 不 等 式 基本性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 注意
對稱性 a b b a；a b b a 可逆
傳遞性 a b，b c a c； a b，b c a c 同向
可加性 a b a c b c 可逆
可乘性 a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc c的正負
同向可加性 a b，c d a c b d 同向
同向同正可乘性 a b 0，c d 0 ac bd 同向同正
可乘方性 a b 0，n N * an bn 同正
可開方性 a b 0，n N * n a n b 同正
（3）倒數(shù)性質(zhì)
① a b，ab 0 1 1 1 1 ；② a 0 b ；
a b a b
a b 0 d c 0 a b 1 1 1③ ， ；④ 0 a x b或 a x b 0 ．
c d b x a
【例 1】（2022 上海）若 a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc
【例 2】（2019 新課標Ⅱ）若 a＞b，則（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a(chǎn)3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
跟蹤訓練
【訓練 1】若 a＞b＞0，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
1 1
A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c2＞bc2 C． ＜ D．a(chǎn)2＞ab

【訓練 2】（2016 北京）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，則（ ）
1 1
A． ＞0 B．sinx﹣siny＞0

1 1
C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0
2 2
題型 2 比較不等式大小關系的三種方法
1．比較大小基本方法
方法
關系 作差法與 0比較 作商法與 1比較
a
a b a b 0 1(a，b 0)
a
或 1(a，b 0)
b b
a
a b a b 0 1(b 0)
b
a a
a b a b 0 1(a，b 0)或 1(a，b 0)
b b
2．糖水不等式
若 a b 0，m 0 b m b a m a ，則一定有 ，或者 ．
a m a b m b
理解：通俗的理解就是 a克的不飽和糖水里含有 b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜．
b m b ab am ab bm (a b)m 0 a m a ab bm ab am (a b)m證明： 2 2 ； 0．a(chǎn) m a a am a am b m b b2 bm b2 bm
【例 1】已知 a，b∈R，設 m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，則（ ）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例 2】設 a＞0，b＞0，且 a≠b，則 abba和 aabb的大小關系是 ．
【例 3】若 = + + 5， = + 2 + + 3( ≥ 0)，則 P、Q的大小關系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能確定
+
【例 4】已知 x＞y＞0且 m＞0，則 與 的大小關系為 ．
+
跟蹤訓練
【訓練 3】設 a＝x2+y2，b＝2（x+y﹣1），則 a，b的大小關系為（ ）
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b
【訓練 4】若 = + + 7， = + 3 + + 4( ≥ 0)，則 P，Q的大小關系是（ ）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P，Q的大小由 a的取值確定
+1
【訓練 5】已知 a＞b＞0，則 與 的大小是 ．
+1
【訓練 6】（多選）已知 a＞b＞0，0＜c＜1，則（ ）
A．a(chǎn)bc c
+
＞ba B ca c C 1 1． ＞ ． ＜ D． ＞
+
考向 2 一元二次方程、函數(shù)和不等式的關系
題型 1 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常規(guī)一元二次不等式的解法
ax2 bx c 0意味著 y ax2 bx c中 y 0部分， ax2 bx c 0意味著 y ax2 bx c中 y 0部分，
ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) 0，求出兩個根 x1， x2；根據(jù)圖像可知：開口向上時，大于取兩邊，小于取
中間，反之亦然．
（2）一元二次不等式與韋達定理
模型一 已知關于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)（其中mn 0），解關于 x的不等式
cx2 bx a 0．
由 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)，得： a(1 )2 1 1 1 b c 0的解集為 ( ， )，即關于 x的不等式
x x n m
cx2 bx a 0 1 1的解集為 ( ， )．
n m
已知關于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)，解關于 x的不等式 cx2 bx a 0．
1 1 1 1
由 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)，得：a( )2 b c 0的解集為 ( ， ] [ ， )，即關于 x的不等
x x n m
式 cx2 bx a 0 1的解集為 ( ， ] [ 1 ， )．
n m
模型二 已知關于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)（其中 n m 0），解關于 x的不等式
cx2 bx a 0．
ax2 bx c 1 1 1 1由 0的解集為 (m，n)，得： a( )2 b c 0的解集為 ( ， )即關于 x的不等式
x x m n
cx2 bx a 1 1 0的解集為 ( ， )．
m n
已知關于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集為 (m，n)，解關于 x的不等式 cx2 bx a 0．
由 ax2 bx c 0的解集為 (m，n) a(1 1，得： )2 b c 0 1 1的解集為 ( ， ] [ ， )即關于 x的不
x x m n
1 1
等式 cx2 bx a 0的解集為 ( ， ] [ ， )，以此類推．
m n
（3）一元二次不等式與判別式
a 0
已知關于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集為 R，則一定滿足 ；
0
a 0
已知關于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集為 ，則一定滿足 ； 0
a 0
已知關于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集為 R，則一定滿足 ；
0
a 0
已知關于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集為 ，則一定滿足 ． 0
【例 1】（2019 天津）設 x R，使不等式3x2 x 2 0 成立的 x的取值范圍為 ．
【例 2】解關于 x的一元二次不等式： 3x2 2ax a2 0(a R)．
【例 3】已知不等式 ax2 bx c 0 {x | 1的解集為 x 3}，則不等式 cx2 bx a 0的解為 ( )
4
A．{x | 3 x 1 } B 1．{x | x 4或 x }
4 3
C．{x | 4 x 1 } D．{x | x 1 3或 x }
3 4
【例 4】已知不等式 ax2 bx c 0的解集為{x | x 3或 x 4}，則 ( )
A． c 0
B． a b c 0
C 12ax c．不等式 0的解集為{x | 1 x 2}
x 2
D．不等式 bx2 2ax c 3b 0的解集為{x | 3 x 5}
跟蹤訓練
【訓練 1】（2015 廣東）不等式 x2 3x 4 0的解集為 ．（用區(qū)間表示）
【訓練 2】解關于 x的不等式 ax2 (a 1)x 1 0(a R)．
【訓練 3】已知不等式 ax2 bx c 0的解集是 ( 3,2)，則不等式 cx2 bx a 0的解集是 ( )
A． ( ， 2) (3， ) B． ( 3,2)
C ( 1 1 1 1． , ) ( , ) D． ( , )3 2 3 2
【訓練 4】（多選）已知關于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集為{x | x 4或 x 3}，則 ( )
A． a 0
B．12a c 0
C． a b c 0
D ax b．不等式 0的解集為{x | 12 x 1}
ax c
題型 2 一元二次不等式求參
1．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系
判別式 ＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx 有兩個相等的實數(shù)根＋c 有兩個不相等的實數(shù)
b 沒有實數(shù)根
＝0(a>0)的根 根 x1，x2(x1ax2
b
＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x x } R2a
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1ax2 bx c 0意味著 y ax2 bx c中 y 0的部分， ax2 bx c 0意味著 y ax2 bx c中 y 0的部
分 ， ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) 0，求出兩個根 x1， x2；根據(jù)圖象可知：開口向上時，大于取兩邊，
小于取中間，反之亦然．
2.一元二次不等式參數(shù)問題之定海神針
二次函數(shù)涉及參數(shù)和變量的問題，很關鍵的一點就是參數(shù)的位置，到底是在二次項、一次項還是在常數(shù)
項？然后參數(shù)是一次出現(xiàn)還是多處出現(xiàn)，這個問題值得探討．二次函數(shù)的定海神針主要處理對稱軸是變量，
區(qū)間是定區(qū)間的類型（軸動區(qū)間定），或者是對稱軸不變，區(qū)間是動區(qū)間的類型（軸定區(qū)間動）．遵循對稱
軸從區(qū)間的左邊、中間和右邊的順序進行分類討論．
口訣：軸在區(qū)間內(nèi)，頂點定；軸在區(qū)間外，單調(diào)定．
3.二次函數(shù)的參變分離
當決定拋物線開口符號的 a與恒成立（能成立）的符號一致時，即 ax2 bx c 0(a 0)，此類型題目基
本上都是分類討論復雜，且注意參數(shù)此時盡量為一次，那么我們把式子的參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為求對勾函
數(shù)的最值問題．
【例 1】已知函數(shù) f (x) x2 2(a 1)x 2．若 f (x)滿足：對于任意的 x1， x2 [4， )，且 x1 x2 ，都有
f (x2 ) f (x1) 0，則實數(shù) a的取值范圍是 ( )
x2 x1
A． a 3 B． a 3 C． a 3 D． a 5
【例 2】已知函數(shù) f (x) mx2 2x m在 ( 1, )上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A． (0，1] B． [0，1] C．[1， ) D． ( ，1]
【例 3】已知二次函數(shù) y x2 2x 3，當 t x t 2時，若該函數(shù)的最大值為m，最小值為 5，則m等于
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 4】已知二次函數(shù) f (x) ax2 bx c(a 0)，恒有 f (x 2) f (x) 4x， f (0) 3．
（1）求函數(shù) f (x)的解析式；
（2）設 g(x) f (x) mx，若函數(shù) g(x)在區(qū)間 [1， 2]上的最大值為 3，求實數(shù)m的值．
【例 5】二次函數(shù) f (x)滿足 f (x 1) f (x) 2x且 f (0) 1．
（1）求 f (x)的解析式；
（2）設函數(shù) f (x)在區(qū)間 [a， a 1]上的最小值為 g（a），求 g（a）的表達式．
跟蹤訓練
【訓練 5】函數(shù) f (x) x2 (1 m)x 1在區(qū)間 [3， )上單調(diào)遞減．則m的取值范圍是 ( )
A． [ 5， ) B． ( ， 5] C． [7， ) D． ( ， 7]
【訓練 6】若函數(shù) f (x) ax2 x a在[1， )上單調(diào)遞增，則 a的取值范圍是 ( )
A． (0, ) B． (0，1] C．[1， ) D．[0， )
【訓練 7】（多選）已知函數(shù) f (x) x2 2x 1在區(qū)間 [a， a 6]上的最小值為 9，則 a可能的取值為 ( )
A．2 B．1 C 1． D． 10
2
【訓練 8】已知函數(shù) f (x) mx2 (3m 1)x m 2， (m R)．
（1）若 f (x)在區(qū)間 [2，3]上為單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（2）解關于 x不等式 f (x) m 0．
【訓練 9】已知二次函數(shù) f (x) ax2 bx c，且 f (2 x) f (2 x)，且 f (x) 0的解集為 ( 2,c)．
（Ⅰ）求 f (x)的解析式．
（Ⅱ）求 f (x)在區(qū)間 [m，m 1]的最大值記為 h(m)，并求 h(m)的最大值．
題型 3 一元二次函數(shù)根的分布問題
1.二次函數(shù)的根與定值的位置關系
兩根與 的大小比較(以 > 0為例)
兩根都小于 ， 兩根都大于 ， 一根小于 ，一根大于 ，
文字描述
即 1 < , 2 < 即 1 > , 2 > 即 1 < < 2
圖像表達
> 0 > 0

數(shù)學語言 2 < 2 > < 0
> 0 > 0
2.二次函數(shù)的根與區(qū)間的位置關系
（1）兩根分別在區(qū)間( , )外
> 0 < 0
圖像表達
< 0 > 0
數(shù)學語言 < 0 > 0
（2）根在區(qū)間上的分布(以 > 0 為例)
文
字 兩根都在( , )內(nèi) 兩根有且僅有一根在 一根( , )內(nèi)，
描 ( , )內(nèi) 另一根在( , )內(nèi)
述
圖
像
表
達
數(shù)
> 0
學 > 0
> 0
> 0 < 0 < 0 < 0
< 0
< 0
語
< < > 0
2
言
【例 1】方程 (2m 1)x2 2mx (m 1) 0有一正根和一負根的充分不必要條件是 ( )
A 1 m 1 B m 1． ． C． 0 m 1 D． 2 m 1
2 2
【例 2】若命題“關于 x的二次方程 x2 2mx 2m 1 0在 ( 1,3)上至多有一個解”是假命題，則m的取值
范圍是 ( )
A ( 3, 5 5． ) B． ( 3,1 2) C． ( ,1) D． ( 5 ,1 2)
4 4 4
【例 3】已知關于 x的二次方程 x2 2mx 2m 1 0，若方程有兩根，其中一根在區(qū)間 ( 1,0)內(nèi)，另一根在
區(qū)間 (1,2)內(nèi)，m的范圍是 ．
跟蹤訓練
【訓練 10】二次函數(shù) y x2 (m 3)x 2m的圖象與 x軸的兩個交點的橫坐標分別為 x1，x2，且 0 x1 2 x2 ，
如圖所示，則m的取值范圍是 ( )
A m 1 1． 或m 5 B． 0 m C．m 1 1 或m 5 D． m 0
2 2 2 2
【訓練 11】方程mx2 (m 1)x 1 0在區(qū)間 (0,1)內(nèi)有兩個不同的根，則m的取值范圍為 ( )
A．m 1 B．m 3 2 2
C．m 3 2 2或 0 m 3 2 D． 3 2 2 m 1
【訓練 12】已知方程 x2 (2a 1)x a(a 1) 0的兩根分別在區(qū)間 (0,1)， (1,3)之內(nèi)，則實數(shù) a的取值范圍
為 ．
拓展思維
拓展 1 高次方程和絕對值不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常先進行因式分解，化為 1 2 … > 0(或< 0)的形式，然后用穿針引線
法求解.首先保證每個因式中 的系數(shù)為正，然后從右側(cè)畫起，右側(cè)第一個區(qū)間為正，從右向左依次正負出
現(xiàn)，特別要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某個因式的次數(shù).
數(shù)軸穿根法的注意點：當不等式中含有 (x a)2n時，運用標根法不穿過 a點，而 (x a)2n 1則穿過 a點，俗
稱“奇穿偶不穿”．
Eg 解 + 1 2 3 4 ≥ 0，如圖所示，解集為 | ≥ 4或 2 ≤ ≤ 3或 ≤ 1 .
解 + 1 2 2 3 4 3 ≤ 0，如圖所示，解集為 | ≤ 1或 = 2 或 3 ≤ ≤ 4 .
2.絕對值不等式的解法
與分式不等式類似的是，求解絕對值不等式也是要將不等式的絕對值去掉，進行同解變形．
一般的， f (x) g(x)與 f (x) g(x)或 f (x) g(x)同解； f (x) g(x)與 g(x) f (x) g(x)同解．
一般的， f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 f (x)2 g(x)2，需要注意的是，如果不等式中有多個絕對值，那
么就需要對每個絕對值號進行討論．
1 x 2【例 】 1的解集是 ( )
x2 3x 2
A． (1， 2] B． [ 1， 0) (2，3] C． [0， 4] D．[0，1) (2， 4]
【例 2】不等式 | x 1| | x 2 | 3的解集是 ( )
A． ( ，1] [2， ) B．[1， 2] C． ( ， 0] [3， ) D．[0，3]
跟蹤訓練
1 (x 3)(x 2)【訓練 】不等式 0的解集為 ( )
x 1
A． [ 3，1) [2， ) B． ( ， 3] (1， 2]
C．[ 3，1) (1， 2] D． ( ， 3] [2， )
【訓練 2】不等式 | x 3 | | x 3 | 3的解集是 ．中小學教育資源及組卷應用平臺
1. 4 一元二次方程、函數(shù)和不等式的關系
考向1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
題型1 利用基本性質(zhì)判斷不等式對錯
1．等式與不等式的性質(zhì)
（1）等式基本性質(zhì)
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
（2）不等式基本性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 注意
對稱性 可逆
傳遞性 ； 同向
可加性 可逆
可乘性 ； 的正負
同向可加性 同向
同向同正可乘性 同向同正
可乘方性 同正
可開方性 同正
（3）倒數(shù)性質(zhì)
①；②；
③；④或．
【例1】（2022 上海）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（　　）
A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc
【例2】（2019 新課標Ⅱ）若a＞b，則（　　）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a(chǎn)3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
跟蹤訓練
【訓練1】若a＞b＞0，則下列結(jié)論錯誤的是（　　）
A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c2＞bc2 C． D．a(chǎn)2＞ab
【訓練2】（2016 北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，則（　　）
A．0 B．sinx﹣siny＞0
C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
題型2 比較不等式大小關系的三種方法
1．比較大小基本方法
關系 方法
作差法與0比較 作商法與1比較
或
或
2．糖水不等式
若，，則一定有，或者．
理解：通俗的理解就是克的不飽和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，則糖水更甜．
證明：；．
【例1】已知a，b∈R，設m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，則（　　）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例2】設a＞0，b＞0，且a≠b，則abba和aabb的大小關系是　 　．
【例3】若，，則P、Q的大小關系是（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能確定
【例4】已知x＞y＞0且m＞0，則與的大小關系為 　 　．
跟蹤訓練
【訓練3】設a＝x2+y2，b＝2（x+y﹣1），則a，b的大小關系為（　　）
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b
【訓練4】若，，則P，Q的大小關系是（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P，Q的大小由a的取值確定
【訓練5】已知a＞b＞0，則與的大小是　 　．
【訓練6】（多選）已知a＞b＞0，0＜c＜1，則（　　）
A．a(chǎn)bc＞bac B．ca＞c C． D．
考向2 一元二次方程、函數(shù)和不等式的關系
題型1 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常規(guī)一元二次不等式的解法
意味著中部分，意味著中部分，，求出兩個根，；根據(jù)圖像可知：開口向上時，大于取兩邊，小于取中間，反之亦然．
（2）一元二次不等式與韋達定理
模型一 已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為，即關于的不等式的解集為．
已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為，即關于的不等式的解集為．
模型二 已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．
已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．
（3）一元二次不等式與判別式
已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
已知關于的一元二次不等式的解集為 ，則一定滿足；
已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
已知關于的一元二次不等式的解集為 ，則一定滿足．
【例1】（2019 天津）設，使不等式成立的的取值范圍為　 　．
【例2】解關于的一元二次不等式：．
【例3】已知不等式的解集為，則不等式的解為　　
B．或
C． D．或
【例4】已知不等式的解集為或，則　　
A．
B．
C．不等式的解集為
D．不等式的解集為
跟蹤訓練
【訓練1】（2015 廣東）不等式的解集為　 　．（用區(qū)間表示）
【訓練2】解關于的不等式．
【訓練3】已知不等式的解集是，則不等式的解集是　　
A．，， B．
C． D．
【訓練4】（多選）已知關于的不等式的解集為或，則　　
A．
B．
C．
D．不等式的解集為
題型2 一元二次不等式求參
1．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系
判別式＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1意味著中的部分，意味著中的部分 ，，求出兩個根，；根據(jù)圖象可知：開口向上時，大于取兩邊，小于取中間，反之亦然．
2.一元二次不等式參數(shù)問題之定海神針
二次函數(shù)涉及參數(shù)和變量的問題，很關鍵的一點就是參數(shù)的位置，到底是在二次項、一次項還是在常數(shù)項？然后參數(shù)是一次出現(xiàn)還是多處出現(xiàn)，這個問題值得探討．二次函數(shù)的定海神針主要處理對稱軸是變量，區(qū)間是定區(qū)間的類型（軸動區(qū)間定），或者是對稱軸不變，區(qū)間是動區(qū)間的類型（軸定區(qū)間動）．遵循對稱軸從區(qū)間的左邊、中間和右邊的順序進行分類討論．
口訣：軸在區(qū)間內(nèi)，頂點定；軸在區(qū)間外，單調(diào)定．
3.二次函數(shù)的參變分離
當決定拋物線開口符號的與恒成立（能成立）的符號一致時，即，此類型題目基本上都是分類討論復雜，且注意參數(shù)此時盡量為一次，那么我們把式子的參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為求對勾函數(shù)的最值問題．
【例1】已知函數(shù)．若滿足：對于任意的，，，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知二次函數(shù)，當時，若該函數(shù)的最大值為，最小值為，則等于　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知二次函數(shù)，恒有，．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設，若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為3，求實數(shù)的值．
【例5】二次函數(shù)滿足且．
（1）求的解析式；
（2）設函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（a），求（a）的表達式．
跟蹤訓練
【訓練5】函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減．則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練6】若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．，
【訓練7】（多選）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為9，則可能的取值為　　
A．2 B．1 C． D．
【訓練8】已知函數(shù)，．
（1）若在區(qū)間，上為單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）解關于不等式．
【訓練9】已知二次函數(shù)，且，且的解集為．
（Ⅰ）求的解析式．
（Ⅱ）求在區(qū)間，的最大值記為，并求的最大值．
題型3 一元二次函數(shù)根的分布問題
1.二次函數(shù)的根與定值的位置關系
兩根與的大小比較(以為例)
文字描述 兩根都小于， 即 兩根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
圖像表達
數(shù)學語言
2.二次函數(shù)的根與區(qū)間的位置關系
（1）兩根分別在區(qū)間外
圖像表達
數(shù)學語言
（2）根在區(qū)間上的分布(以為例)
文字描述 兩根都在內(nèi) 兩根有且僅有一根在內(nèi) 一根內(nèi)， 另一根在內(nèi)
圖像 表達
數(shù)學語言
【例1】方程有一正根和一負根的充分不必要條件是　　
A． B． C． D．
【例2】若命題“關于的二次方程在上至多有一個解”是假命題，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例3】已知關于的二次方程，若方程有兩根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，的范圍是　 　．
跟蹤訓練
【訓練10】二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點的橫坐標分別為，，且，如圖所示，則的取值范圍是　　
A．或 B． C．或 D．
【訓練11】方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，則的取值范圍為　　
A． B．
C．或 D．
【訓練12】已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為 　　．
拓展思維
拓展1 高次方程和絕對值不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常先進行因式分解，化為(或)的形式，然后用穿針引線法求解.首先保證每個因式中的系數(shù)為正，然后從右側(cè)畫起，右側(cè)第一個區(qū)間為正，從右向左依次正負出現(xiàn)，特別要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某個因式的次數(shù).
數(shù)軸穿根法的注意點：當不等式中含有時，運用標根法不穿過點，而則穿過點，俗稱“奇穿偶不穿”．
Eg 解，如圖所示，解集為.
解，如圖所示，解集為.
2.絕對值不等式的解法
與分式不等式類似的是，求解絕對值不等式也是要將不等式的絕對值去掉，進行同解變形．
一般的，與或同解；與同解．
一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多個絕對值，那么就需要對每個絕對值號進行討論．
【例1】的解集是　　
A．， B．，， C．， D．，，
【例2】不等式的解集是　　
A．，， B．， C．，， D．，
跟蹤訓練
【訓練1】不等式的解集為　　
，， B．，，
C．，， D．，，
【訓練2】不等式的解集是　 　．
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.4一元二次方程、函數(shù)和不等式課后練習
1.(2018·全國)已知a+b>0,則()
A<令
B.29>(臺b
C.24<2b
D.24>2b
2
2.(2015·上海)若a<0A.11
B.-a>b
C.a2>b2
D.a33.(2014四川)若a>b>0,cA.->-
B.-<-
C.->-
D.-<-
4.(2013北京)設a,b,cR,且a>b,則()
A.ac>bc
B.a2>b2
C.a3>b3
D.1<1
5.(2024江蘇月考)若a,b,cR,且a>b,則下列不等式中一定成立的是()
A.1<3
B.a2>b2
C.-a+c<-b+c
0.若a>b>c≥0，則-<士
6.(2024安微期中)已知a>b>0>c>d,則()
A.a+d>b+c
B.adC.ab>cd
D.ac7.(2024山東月考)已知a>b>0,下列不等式中正確的是()
A.a-1C.
D.->-
8.(2024廣東模擬)若a>b>0,則下列不等式一定成立的是()
A.>1
B.+1>+1
+1
C.+-<+-
0-招
9.(2010·上海)已知a1,a2(0,1),記M=a1a2,N=a+a2-1,則M與N的大小關系是()
A.MB.M>N
C.M=N
D.不確定
10.(2024浙江月考)已知a=(x-2)(x-3),b=(x-1)(x-4),則，b的大小關系是()
A.aB.a>b
C.a=b
D.無法比較
11.(2024北京期中)若M=4x2+2+1.N=3x(x+1),則M與N的大小關系為()
A.M>N
B.M=N
C.MD.無法確定
12.(2024·多選·山東期中)下列選項正確的是()
A.若a>b,則->1
B.若a>b,c>d,則a-d>b-c
C.若ac2>bc2,則a>b
D.若a>b,則2<3
13.(2024·多選·浙江月考)下列命題敘述正確的是()
A.a,bR且a>b時，當m>0時，十
一>
B.a,bR+且a>b時，當m<0時，-
C.a,bR*且a>b時，當m>0時，+>-
D.a,bR*且a>b時，當m>0時，-一<-
14.(2023新高考I)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}，則M∩N=()
A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}
D.{2}
15.(2019新課標I）已知集合M={x-4A.{x|-416.(2024遼寧月考)已知關于x的不等式r2-bx+1>0的解集為（←2,2Um,o),其中m>0,則b+
的最小值為()
A.4
B.2W2
C.2
D.1
17.(2024·河北模擬)某同學解關于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時，因弄錯了常數(shù)c的符號，解得其
解集為(-0，-3)U(-2,+0),則不等式bx2+cx+a>0的解集為()
A53
B.（-0,-lU-5+∞)
C..
D..
18.(2024·多選·陜西模擬)下列結(jié)論正確的是()
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為R
B.若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2)，則a+b+c=0
C若關于x的不等式am2+x-l0的解集為R,則a<-
D.不等式上>1的解集為x1019.(2024·黑龍江模擬)已知函數(shù)y=-x2+2ax在區(qū)間(2，+o)上是減函數(shù)，則a的取值范圍()
A.(-0,2]
B.[2,+o)
C.(2,+0)
D.(-00,2)中小學教育資源及組卷應用平臺
1.4 一元二次方程、函數(shù)和不等式課后練習
1．（2018 全國）已知a+b＞0，則（　　）
A．2a＜（）b B．2a＞（）b C．2a＜2b D．2a＞2b
2．（2015 上海）若a＜0＜b，則下列不等式恒成立的是（　　）
A． B．﹣a＞b C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＜b3
3．（2014 四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（　　）
A． B． C． D．
4．（2013 北京）設a，b，c∈R，且a＞b，則（　　）
A．a(chǎn)c＞bc B．a(chǎn)2＞b2 C．a(chǎn)3＞b3 D．
5．（2024 江蘇月考）若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式中一定成立的是（　　）
A．
B．a(chǎn)2＞b2
C．﹣a+c＜﹣b+c
D．若a＞b＞c＞0，則
6．（2024 安徽期中）已知a＞b＞0＞c＞d，則（　　）
A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)d＜bc C．a(chǎn)b＞cd D．a(chǎn)c＜bd
7．（2024 山東月考）已知a＞b＞0，下列不等式中正確的是（　　）
A．a(chǎn)﹣1＜b﹣1 B．a(chǎn)b＜b2 C． D．
8．（2024 廣東模擬）若a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2010 上海）已知a1，a2∈（0，1），記M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，則M與N的大小關系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不確定
10．（2024 浙江月考）已知a＝（x﹣2）（x﹣3），b＝（x﹣1）（x﹣4），則a，b的大小關系是（　　）
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b D．無法比較
11．（2024 北京期中）若M＝4x2+2x+1．N＝3x（x+1），則M與N的大小關系為（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．無法確定
12．（2024 多選 山東期中）下列選項正確的是（　　）
A．若a＞b，則
B．若a＞b，c＞d，則a﹣d＞b﹣c
C．若ac2＞bc2，則a＞b
D．若a＞b，則
13．（2024 多選 浙江月考）下列命題敘述正確的是（　　）
A． a，b∈R+且a＞b時，當m＞0時，
B． a，b∈R+且a＞b時，當m＜0時，
C． a，b∈R+且a＞b時，當m＞0時，
D． a，b∈R+且a＞b時，當m＞0時，
14．（2023 新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，則
A．，，0， B．，1， C． D．
15．（2019 新課標Ⅰ）已知集合，，則　
A． B． C． D．
16．（2024 遼寧月考）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為　　
A．4 B． C．2 D．1
17．（2024 河北模擬）某同學解關于的不等式時，因弄錯了常數(shù)的符號，解得其解集為，，，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
18．（2024 多選 陜西模擬）下列結(jié)論正確的是　　
A．若方程沒有根，則不等式的解集為
B．若不等式的解集是，則
C．若關于的不等式的解集為，則
D．不等式的解集為
19．（2024 黑龍江模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍　　
A．， B．， C． D．
20．（2024 重慶月考）已知二次函數(shù)的值域為，，則的最小值為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
21．（2024 湖南模擬）已知函數(shù)的最小值為2，且圖象關于直線對稱，若當時，的最大值為6，則的最大值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2024 山西月考）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為，則　　
A． B． C．2 D．
23．（2024 北京模擬）已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域；
（2）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值記為（a），求（a）．
24．（2024 河北模擬）二次函數(shù)滿足且．
（1）求的解析式；
（2）當，時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（3）設函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（a），求（a）的表達式．
25．（2024 四川模擬）關于的方程的兩個不等根，，都在之內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．，，
26．（2024 江蘇期末）若關于的二次方程的兩個互異的實根都小于1，則實數(shù)的取值范圍是　 　．
27．（2024 四川模擬）方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是　　
A． B． C． D．
28．（2024 湖北模擬）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與，，其中，方程的兩根為，，則下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
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