資源簡介

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專題11 對數與對數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 10
【考點1】對數的運算 10
【考點2】對數函數的圖象及應用 14
【考點3】對數函數的性質及應用 18
【分層檢測】 23
【基礎篇】 23
【能力篇】 28
【培優篇】 32
考試要求：
1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數.
1.對數的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
2.對數的性質、運算性質與換底公式
(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對數的運算性質
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱.它們的定義域和值域正好互換.
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全國·高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
參考答案：
1．A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
2．C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
3．C
【分析】對數函數的單調性可比較、與的大小關系，由此可得出結論.
【詳解】，即.
故選：C.
4．C
【分析】根據關系，當時，求出，再用指數表示，即可求解.
【詳解】由，當時，，
則.
故選：C.
5．C
【分析】根據二次函數的性質可判斷選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；
對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對于C，因為函數定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；
對于D，，函數定義域為，而且，如當，，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解出．
6．B
【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數在（1，3)上單調遞增
綜上，，
故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
7．ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
8．
【分析】原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.
【詳解】由函數的解析式可得在區間上恒成立，
則，即在區間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
【考點1】對數的運算
一、單選題
1．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間小時的關系為（，均為正的常數）．已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當污染物過濾掉50%還需要經過（ ）（最終結果精確到1h，參考數據：，）
A．43h B．38h C．33h D．28h
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（2024·貴州畢節·二模）已知，則下列式子中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西萍鄉·二模）已知，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·江蘇·一模）已知，，則的最小值為 .
6．（2024·陜西商洛·模擬預測）人工智能（Artificial Intelligence），英文縮寫為AI.它是研究 開發用于模擬 延伸和擴展人的智能的理論 方法 技術及應用系統的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送 機器人測控體溫等都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產，到當年年底資金增長了，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，每年年底各項人員工資 稅務等支出合計1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第年年底企業除去各項支出資金后的剩余資金為萬元，第年年底企業的剩余資金超過21000萬元，則整數的最小值為 .
參考答案：
1．D
【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數，即可解出．
【詳解】∵廢氣中污染物含量與過濾時間小時的關系為，
令，得廢氣中初始污染物含量為，
又∵前5小時過濾掉了10%污染物，
∴，則，
∴當污染物過濾掉50%時，，
則，
∴當污染物過濾掉50%還需要經過.
故選：D.
2．D
【分析】設經過個小時才能駕駛，則，再根據指數函數的性質及對數的運算計算可得.
【詳解】設經過個小時才能駕駛，則即.
由于在定義域上單調遞減，.
他至少經過4小時才能駕駛.
故選：D.
3．BCD
【分析】
由指對互化得到，，進而結合對數運算性質和基本不等式的應用即可求解.
【詳解】
由已知可得 ，
所以 , 故A錯誤;
所以, 故B正確;
由 , 當且僅當 , 即 時取等號, 顯然取不到，所以, 故C正確;
,當且僅當,
即 時取等號, 顯然取不到所以，故D正確；
故選：BCD.
4．AD
【分析】利用對數的運算法則化簡，結合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.
【詳解】因為，
所以，
對A選項，，所以，故A正確；
對B選項，，
所以，故B選項不正確；
對C選項，因為，，
所以，
而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；
對D選項，
,故D正確.
故選：AD
5．/
【分析】依題意可得，則，令，利用導數求出的最小值，即可得解.
【詳解】，，
，，，
即，所以，
令，，
則，
所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，當且僅當時取得.
故答案為：
6．6
【分析】由題意中的遞推，得證數列是以3000為首項，為公比的等比數列，求出通項后解不等式即可.
【詳解】由題意得，，.
即，，
數列是以3000為首項，為公比的等比數列，即，
，即，
，，
所以的最小值為6.
故答案為：6.
反思提升：
1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【考點2】對數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數的圖象一定經過（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
2．（2024·陜西西安·一模）已知函數為偶函數，滿足，且時，，若關于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數且的圖象經過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為 .
6．（21-22高一上·陜西西安·階段練習）設定義域為R的函數，若關于x的方程有8個不同的實根，到實數b的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】由函數過點，分類可解.
【詳解】當時，，
則當時，函數圖象過二、三、四象限；
則當時，函數圖象過一、三、四象限；
所以函數的圖象一定經過三、四象限.
故選：D
2．C
【分析】根據函數的對稱性與周期性，數形結合可得函數交點情況，進而確定方程解的情況.
【詳解】由已知，則，則，
可知函數為周期函數，最小正周期，
又當時，，
可知函數的圖象如圖所示，且的值域為，
關于的方程至少有兩解，
可得函數與函數的圖象至少有兩個交點，
如圖所示，

可知當時，，解得，即，
當時，，解得，即，
綜上所述，
故選：C.
3．AD
【分析】根據函數解析式求出函數過的定點，再利用三角函數的定義求出和即可.
【詳解】因為函數的圖象經過定點,
令，得或，此時，則或,
當點在角的終邊上，則；
當點在角的終邊上，則；
綜上：或，故AD正確，BC錯誤.
故選：AD.
4．BCD
【分析】根據抽象函數性質可確定關于直線對稱，關于點對稱，從而可確定其周期性，再結合單調性可得函數的大致圖象，結合周期性、對稱性、對數函數性質、三角函數性質逐項判斷即可得結論.
【詳解】對于函數有，，則函數關于直線對稱，
由，則函數關于點對稱，
所以，所以得，
則，故函數的周期為，且，故函數為偶函數，
因為函數在區間上單調遞增，則函數的大致圖象如下圖：
由對稱性可得，
所以，故A不正確；
由于，，所以，故B正確；
又，，所以，故C正確；
，且，
因為，所以，故，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：抽象函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性，解決本題的關鍵是結合函數的性質確定函數的圖象，從而可確定函數值的大小關系、對稱關系.考查學生的基本分析能力與計算能力，屬于中等難度的題型.
5．16
【分析】根據對數函數性質求出定點，根據定點在橢圓上，將定點代入橢圓方程，得到與的等量關系，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】由題意得，函數，且的圖象所過定點為，
則，
所以，
當且僅當，
即時等號成立.
故答案為：16.
6．
【分析】由解析式畫出函數圖象，若且、為的兩根，結合圖像可知：、，再應用判別式、根與系數關系及對勾函數的值域求b的取值范圍.
【詳解】由題設，的圖象如下圖示：
令，則化為，
∴要使原方程有8個不同實根，則有2個不同的實根且兩根、，
∴，可得，又在上遞減，在上遞增，且，，即，
綜上，.
故答案為：.
反思提升：
1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
【考點3】對數函數的性質及應用
一、單選題
1．（23-24高三上·福建莆田·階段練習）若函數為偶函數，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
2．（2023·江蘇南通·模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》，某造紙企業的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數量，為改良工藝的次數，假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要（ ）(參考數據：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多選題
3．（2024·遼寧·二模）關于函數，下列說法正確的有（ ）
A．的定義域為 B．的函數圖象關于y軸對稱
C．的函數圖象關于原點對稱 D．在上單調遞增
4．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
三、填空題
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）若，則實數由小到大排列為 < < .
6．（23-24高一下·四川德陽·開學考試）已知函數，若，則的最小值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據函數是偶函數，則，解出后驗證即可.
【詳解】因為為偶函數，
，
則有，
解得，
經驗證時，符合條件，
故選：B.
2．C
【分析】依題運用特殊值求得函數模型中的值，然后運用函數模型得到關于的不等式，通過指、對運算求得的取值范圍，即可得解．
【詳解】依題意，，，當時，，即，可得，
于是，由，得，即，
則，又，因此，
所以若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要16次．
故選：C
3．ACD
【分析】由對數型復合函數的定義域即可判斷A，由函數的奇偶性即可判斷BC，由復合函數的單調性即可判斷D
【詳解】因為，則，解得，
所以的定義域為，故A正確；
因為，即為奇函數，
所以的圖像關于原點對稱，故B錯誤，C正確；
因為在上單調遞增，在上單調遞增，
所以在上單調遞增，故D正確；
故選：ACD
4．ABC
【分析】由原方程可得，構適函數，由函數的單調性得出值域，根據函數的值域判斷A；令，代入原方程轉化為判斷是否有解即可判斷B；條件變形放縮后構造函數，利用函數的單調性得出大小，判斷CD.
【詳解】由
得，
令，則分別在和上單調遞增，
令，則分別在和上單調遞增，
當時，的值域為，當時，的值域為，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故選項A正確．
令，則方程
可化為，
由換底公式可得，
顯然關于b的方程在上有解，所以，使，故選項B正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為，
令，則在上單調遞增．
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項C正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為．
令，則在上單調遞增，
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項D錯誤．
故選：ABC．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據對數式的運算規則和對數函數的單調性求解.
5． b c a
【分析】根據給定條件，構造函數，再利用導數探討單調性比較大小作答.
【詳解】依題意，，而，
令函數，求導得，
因此函數在上單調遞增，而，于是，
又，所以.
故答案為：b；c；a
6．
【分析】由題意及對數的運算與對數函數的性質可得，利用基本不等式即可求解．
【詳解】，
若，不妨設，
則，
所以，即，
所以，當且僅當，時，等號成立．
故答案為：．
反思提升：
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）已知函數，若，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·甘肅武威·模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·一模）函數的圖象經過變換后得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重慶·模擬預測）若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2021·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，則 .
9．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
10．（2022·上海·模擬預測）若函數（且）有最大值，則的取值范圍是 .
四、解答題
11．（2023·四川成都·二模）已知函數
(1)當時，求函數的定義域；
(2)當函數的值域為R時，求實數的取值范圍.
12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】由已知可得，進而求得，計算即可.
【詳解】由條件得，故，
所以，解得.
故選：B.
2．D
【分析】利用中間值“1”與比較得出，再由作差比較法比較，利用換底公式和對數函數的單調性即得.
【詳解】因為，所以．同理
又因在定義域內為減函數，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故選：D.
3．B
【分析】由已知可得出，代入可得出的表達式，即可得出的表達式.
【詳解】由已知可得，代入可得，則，
即，因此，.
故選：B.
4．A
【分析】由函數的奇偶性排除兩個選項，再根據時的函數值為正排除余下兩個中的一個即得.
【詳解】函數的定義域為，，
函數是奇函數，圖象關于原點對稱，BD不滿足；
當時，，則，C不滿足，A滿足.
故選：A
5．AC
【分析】取特值驗證可判斷B；根據對數函數、指數函數的單調性，結合不等式的性質可判斷ACD.
【詳解】因為，所以，C正確；
又因為在上單調遞增，所以，A正確；
不妨取，則，B錯誤；
因為，所以，
又在R上單調遞增，所以，D錯誤.
故選：AC.
6．ABD
【分析】根據指數冪的運算法則，對數的運算法則及換底公式逐項分析即得.
【詳解】對于A中，原式，所以A正確；
對于B中，原式，所以B正確；
對于C中，原式，所以C錯誤；
對于D中，原式，所以D正確.
故選：ABD.
7．BC
【分析】由已知可得，由冪函數性質可判斷A; 由對數函數性質可判斷B; 由冪函數性質可判斷C; 由不等式的性質可判斷D.
【詳解】對于A：∵，冪函數在上單調遞增，
且，∴，故選項A錯誤；
對于B：∵，∴函數在上單調遞減，
又∵，∴，
∴，即，故B正確；
對于選項C：∵，則，冪函數在上單調遞減，
且，∴，∴，故選項C正確；
對于選項D：由選項B可知：，∴，
∵，
∴，∴，故D錯誤.
故選：BC.
8．
【分析】根據函數為奇函數，求出當時的解析式，進而求出.
【詳解】因為當時，，
所以.
因為是奇函數，所以，所以當x<0時，，
則，所以.
故答案為：
9．2
【分析】根據零點的定義，等價轉化為兩個函數求交點，根據反函數的定義，結合對稱性，可得答案.
【詳解】由，得， 函數與互為反函數，
在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，
如圖所示，則，，由反函數性質知A，B關于對稱，
則，.
故答案為：.
10．
【分析】因為內函數的是開口向下的二次函數，有最大值，則外函數為增函數，且內函數的最大值為正數，由此可列出不等式組求解.
【詳解】因為內函數的是開口向下的二次函數，有最大值，則外函數為增函數，且內函數的最大值為正數,所以， 解得
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用零點分段法解不等式，求出函數的定義域；
（2）由的值域為R得到能取遍所有正數，結合絕對值三角不等式得到，故，求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定義域為；
（2）因為的值域為R，
故能取遍所有正數，
由絕對值三角不等式，
故，所以，故實數的取值范圍是.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由指數函數定義可直接構造方程組求得，進而得到所求解析式；
（2）將不等式化為，根據對數函數單調性和定義域要求可構造不等式組求得結果.
【詳解】（1）為指數函數，
，解得：，
.
（2）由（1）知：，
，解得：，
的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為
B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數則函數有 個零點．
四、解答題
4．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】將指數式化為對數式，根據對數換底公式、對數運算法則逐項驗證即可．
【詳解】依題意設，則，，，
所以，
則，故A，C錯誤；
則，故B錯誤；
則，故D正確.
故選：D.
2．ACD
【分析】對于A，令，利用換元法和對數函數的性質即可求得；對于B，令由復合函數的單調性進行判斷即可；對于C，利用函數的奇偶性和單調性進行解不等式；對于D，由即可求解.
【詳解】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數函數的性質可得，的值域為R，故A正確；
對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復合函數的單調性可知，為減函數，故B錯誤；
對于C，因為的定義域為，且,
，所以為奇函數，且在上為減函數，
不等式等價于即，
等價于，解得，故C正確；
對于D，因為且，所以
，故D正確.
故選：ACD.
3．7
【分析】設，則等價于，作出函數的圖像，由圖可知有3個根，再根據結合函數的圖象得出交點的個數，即得到結果.
【詳解】令，則，設，則等價于，
則函數的零點個數問題即為解的個數問題．
二次函數，其圖像開口向上，過點，對稱軸為，最小值為，
由題意得作出函數的圖像如圖所示．
由圖可知有3個根，當時，，即；
當時，，即.
則對于，當時，;
當時，，此時共有3個解．
對于，此時有1個解，，即有2個解．
對于，此時有1個解，，即無解．
因此，此時函數有7個零點．
故答案為：7.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由偶函數的性質即可求解的值；
（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解.
【詳解】（1）因為是偶函數，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因為對任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調遞增，
所以，
因為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預測）對于任意實數，定義運算“”，則滿足條件的實數的值可能為（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空題
3．（2023·湖南長沙·模擬預測）已知函數的定義域為，且，函數在區間內的所有零點的和為16，則實數的取值范圍是 .
參考答案：
1．A
【分析】構造函數，利用導數求取單調性可得、之間大小關系，構造函數，利用導數求取單調性可得、之間大小關系，即可得解.
【詳解】由，
即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
則有，即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調遞減，
則有，即，
故.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于構造出函數、，以比較、與、之間大小關系.
2．BD
【分析】由，可得，可得，故只需判斷四個選項中的是否為最大值即可，利用函數函數為減函數，為減函數可判斷AB；構造函數，利用單調性可得，進而再構造函數，求導可得，再構造函數，利用單調性可判斷CD．
【詳解】由，可得，即，
若，可得，符合題意，
若，可得，不符合題意，
若，可得，不符合題意，
若，可得，不符合題意，
綜上所述，，可得，
故只需判斷四個選項中的是否為最大值即可．
對于A，B，由題知，而，
，所以．
（點撥：函數為減函數，為減函數），
對于A，；對于B，，故A錯誤，B正確．
對于C，D，
（將0.9轉化為，方便構造函數）構造函數，
則，因為，所以單調遞減，因為，所以，
即，所以．（若找選項中的最大值，下面只需判斷與的大小即可）
，
構造函數，則，
因為，所以，令，則，
當時，單調遞減，因為，
所以，即單調遞減，又，所以，
即，所以．
綜上，．對于C，；對于D，，故C錯誤，D正確．
（提醒：本題要比較0.09與的大小關系的話可以利用作差法判斷，
即，
構造函數，
則，
因為，所以單調遞增，因為，所以，
即，所以）
故選：BD.
【點睛】方法點睛：本題考查定義新運算類的題目，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，構造函數，利用函數的單調性與最值比較數的大小.
3．
【分析】函數的零點轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點的橫坐標，作出它們的圖象，觀察圖象可得結果.
【詳解】函數的零點即為函數的圖象與函數的圖象的交點的橫坐標，
因為，
先利用指數函數與對數函數的性質作出函數在區間上的圖象，
又當時，，
即每過兩個單位，將的圖象向右平移個單位，同時將對應的坐標變為原來的兩倍，
再作出函數的圖象，如圖所示：

由圖象可得：，，，，，
則，
因為在區間內的所有零點的和為16，
所以，得，結合圖象，可得實數a的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是作出的大致圖象，從而利用數形結合即可得解.
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專題11 對數與對數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】對數的運算 4
【考點2】對數函數的圖象及應用 6
【考點3】對數函數的性質及應用 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數.
1.對數的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
2.對數的性質、運算性質與換底公式
(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對數的運算性質
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱.它們的定義域和值域正好互換.
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全國·高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【考點1】對數的運算
一、單選題
1．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間小時的關系為（，均為正的常數）．已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當污染物過濾掉50%還需要經過（ ）（最終結果精確到1h，參考數據：，）
A．43h B．38h C．33h D．28h
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（2024·貴州畢節·二模）已知，則下列式子中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西萍鄉·二模）已知，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·江蘇·一模）已知，，則的最小值為 .
6．（2024·陜西商洛·模擬預測）人工智能（Artificial Intelligence），英文縮寫為AI.它是研究 開發用于模擬 延伸和擴展人的智能的理論 方法 技術及應用系統的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送 機器人測控體溫等都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產，到當年年底資金增長了，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，每年年底各項人員工資 稅務等支出合計1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第年年底企業除去各項支出資金后的剩余資金為萬元，第年年底企業的剩余資金超過21000萬元，則整數的最小值為 .
反思提升：
1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【考點2】對數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數的圖象一定經過（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
2．（2024·陜西西安·一模）已知函數為偶函數，滿足，且時，，若關于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數且的圖象經過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為 .
6．（21-22高一上·陜西西安·階段練習）設定義域為R的函數，若關于x的方程有8個不同的實根，到實數b的取值范圍是 .
反思提升：
1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
【考點3】對數函數的性質及應用
一、單選題
1．（23-24高三上·福建莆田·階段練習）若函數為偶函數，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
2．（2023·江蘇南通·模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》，某造紙企業的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數量，為改良工藝的次數，假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要（ ）(參考數據：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多選題
3．（2024·遼寧·二模）關于函數，下列說法正確的有（ ）
A．的定義域為 B．的函數圖象關于y軸對稱
C．的函數圖象關于原點對稱 D．在上單調遞增
4．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
三、填空題
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）若，則實數由小到大排列為 < < .
6．（23-24高一下·四川德陽·開學考試）已知函數，若，則的最小值為 ．
反思提升：
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）已知函數，若，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·甘肅武威·模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·一模）函數的圖象經過變換后得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重慶·模擬預測）若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2021·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，則 .
9．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
10．（2022·上海·模擬預測）若函數（且）有最大值，則的取值范圍是 .
四、解答題
11．（2023·四川成都·二模）已知函數
(1)當時，求函數的定義域；
(2)當函數的值域為R時，求實數的取值范圍.
12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為
B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數則函數有 個零點．
四、解答題
4．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預測）對于任意實數，定義運算“”，則滿足條件的實數的值可能為（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空題
3．（2023·湖南長沙·模擬預測）已知函數的定義域為，且，函數在區間內的所有零點的和為16，則實數的取值范圍是 .
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