資源簡介

3 三角形的中位線
【學習目標】
1、了解三角形中位線的概念。
2、探索并掌握三角形中位線的性質，并能應用其性質解決有關問題。
【學習策略】
利用制作的多媒體課件，讓學生通過課件進行探究活動，使他們直觀、具體、形象地感知知識，進而達到化解難點、突破重點的目的。
【學習過程】
一、情境導入：
1．怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？
操作：（1）如圖，剪一個三角形，記為△ABC；（2）分別取AB,AC中點D,E，連接DE；（3） 沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ABC繞點E旋轉180°，得四邊形BCFD.
2.思考：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？
3.探索新結論：若四邊形ABCD是平行四邊形，那么DE與BC有什么位置和數量關系呢？
二.新課學習：
如果連接三角形每兩邊的中點，能得到四個全等的三角形嗎？
※定義：連接三角形 的 叫做三角形的中位線。
1、你能猜想出三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系
※定理：三角形的中位線 與第三邊，且 第三邊的 。
2、請寫出已知、求證，并證明：
已知：如圖，DE是△ABC的中位線.
求證:DE∥BC,DE=BC
證明:如圖,延長DE到F,使DE=EF,連接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠A=∠ECF,AD=CF，
∴CF∥AB，
∵BD=AD，
∴BD=CF，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴DF∥BC,DF=BC，
∴DE∥BC,DE=BC，
3.在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系．而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形．
三.嘗試應用：
1、三角形的中位線平行于__________，且等于__________的一半.
2、連接任意四邊形的四邊中點，所得到的四邊形是__________.
3、一個三角形的三邊長分別為4，5，6，則連接各邊中點所得三角形的周長為__________.
4、三角形三條中位線將其分成__________個全等三角形.
5、如圖所示，△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，AB=10 cm，AC=6 cm，則四邊形ADEF的周長為_________.
四、課堂小結
定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線
性質：三角形的中位線平行于第三邊，等于第三邊的一半.
五.達標測試
1．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點．若DE=2，則BC=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則∠DEC的度數為（　?。?br/>A．30° B．60° C．120° D．150°
3．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB，BC的中點．若△DBE的周長是6，則△ABC的周長是（　?。?br/>A．8 B．10 C．12 D．14
第1題圖 第2題圖 第3題圖
二．填空題（共3小題）
4．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．若AB=8，AD=12，則四邊形ENFM的周長為　 ?。?br/>5．如圖，H是△ABC的邊BC的中點，AG平分∠BAC，點D是AC上一點，且AG⊥BD于點G．已知AB=12，BC=15，GH=5，則△ABC的周長為　 ?。?br/>6．如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次連接△A1B1C1三邊中點，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點得△A3B3C3，…，則△A5B5C5的周長為　 ?。?br/>第4題圖 第5題圖 第6題圖
三．解答題（共3小題）
7．如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．
（1）求證：DE=CF；
（2）求EF的長．
8．如圖，在 ABCD中，E，F分別是AD、BC上的點，且DE=CF，BE和AF的交點為M，CE和DF的交點為N，求證：MN∥AD，MN=AD．
9．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）求證：∠DHF=∠DEF．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題
1．【解析】選C．∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE=2×2=4．
2．【解析】選C．由等邊△ABC得∠C=60°，由三角形中位線的性質得DE∥BC，∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
3．【解析】選C．∵點D、E分別是邊AB，BC的中點，∴DE是三角形BC的中位線，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周長是△DBE的周長的2倍，∵△DBE的周長是6，∴△ABC的周長是6×2=12．
二．填空題
4．【解析】∵M、N分別是邊AD、BC的中點，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，
∵E、F分別是線段BM、CM的中點，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位線，
∴EN=FN=5，∴四邊形ENFM的周長為5+5+5+5=20，
5．【解析】∵AG平分∠BAC，AG⊥BD，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，BG=DG，
又∵H是△ABC的邊BC的中點，∴出GH是△BCD的中位線，∴CD=2GH=2×5=10，
∴△ABC的周長=12+15+（12+10）=49．
6．【解析】∵A2B2、B2C2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此類推：△A5B5C5的周長為△A1B1C1的周長的，∴則△A5B5C5的周長為（7+4+5）÷16=1．
三．解析題
7．（1）證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DEBC，
∵延長BC至點F，使CF=BC，
∴DE=FC；
（2）解：∵DEFC，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴DC=EF，
∵D為AB的中點，等邊△ABC的邊長是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=．
8．證明：如圖，連接EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE=CF，
∴AE=BF．
∴四邊形ABFE和四邊形CDEF都是平行四邊形．
∴BM=ME，CN=NE．
∴MN是△BCE的中位線．
∴MN∥AD，MN=AD．
9．證明：（1）∵點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，
∴DE、EF都是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
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