資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題12 函數(shù)的圖象（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 5
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象 5
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別 7
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用 9
【分層檢測】 11
【基礎(chǔ)篇】 11
【能力篇】 13
【培優(yōu)篇】 14
考試要求：
1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
2.會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.
3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.
1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.
2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱變換
y＝f(x)的圖象y＝－f(x)的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝f(－x)的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝－f(－x)的圖象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.
(3)伸縮變換
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折變換
y＝f(x)的圖象y＝|f(x)|的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝f(|x|)的圖象.
1.記住幾個(gè)重要結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.
一、單選題
1．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
6．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·天津·期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高三上·山東濱州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動(dòng)(無滑動(dòng)滾動(dòng))，點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是（ ）.

A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．對(duì)任意，都有
C．函數(shù)的值域?yàn)?br/>D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
4．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)的值域是
C．若方程有5個(gè)解，則的取值范圍為
D．若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（2023·浙江·二模）對(duì)任意，恒有，對(duì)任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為 .
反思提升：
1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.
2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一種核心的思想方法，它將數(shù)的概念與幾何圖形的特性相結(jié)合，從而使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，復(fù)雜的幾何問題直觀化.“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對(duì)數(shù)形結(jié)合簡潔而有力的表達(dá).數(shù)與形是不可分割的統(tǒng)一體，彼此相互依存.已知函數(shù)，則的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）在棱長為1的正四面體中，P為棱（不包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面，使，與此正四面體的其他棱分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)，則的面積S隨x變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)在,上的大致圖像可能為（　　）
A． B．
C． D．
反思提升：
1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.
2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.
3.根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩種方法
(1)定量計(jì)算法：根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象.
(2)定性分析法：采用“以靜觀動(dòng)”，即判斷動(dòng)點(diǎn)處于不同的特殊的位置時(shí)圖象的變化特征，從而利用排除法做出選擇.
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧·三模）已知對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一上·河南南陽·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．若，但，則
D．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
4．（2024·浙江金華·三模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·河北石家莊·三模）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記．若函數(shù)的圖象與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)，，其中．
①若函數(shù)無零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為 ；
②若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則 ．
反思提升：
1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問題.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，在同一直角坐標(biāo)系中，與的大致圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個(gè)半圓）上勻速跑步，他從點(diǎn)處出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)、、返回到點(diǎn)，共用時(shí)秒，他的同桌小陳在固定點(diǎn)位置觀察小李跑步的過程，設(shè)小李跑步的時(shí)間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
4．（2024·上海奉賢·二模）已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)?br/>C．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
6．（2021·廣東·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象可能是　　
A． B．
C． D．
7．（2023·湖南岳陽·二模）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則滿足條件的實(shí)數(shù)可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2023·四川瀘州·一模）函數(shù)的對(duì)稱中心為 ．
9．（2023·陜西渭南·一模）將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，，若，則 .
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，有以下四個(gè)結(jié)論：①的值域是；②在上有8個(gè)零點(diǎn)；③若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12；④若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題
11．（20-21高一上·山西·期中）已知函數(shù).
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡圖；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間﹔
（3）若，求實(shí)數(shù)的值.
12．（20-21高一上·廣西欽州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（3）討論方程解的個(gè)數(shù).
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A．為奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞增
C．恰有3個(gè)極值點(diǎn) D．有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)
三、填空題
3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為 .
四、解答題
4．（2023·四川樂山·一模）已知，.
(1)若曲線與直線圍成的圖形面積為，求的值；
(2)求不等式的解集.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知?jiǎng)t方程可能有（ ）個(gè)解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空題
3．（2024·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；
③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；
④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題12 函數(shù)的圖象（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 9
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象 9
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別 15
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用 22
【分層檢測】 27
【基礎(chǔ)篇】 27
【能力篇】 36
【培優(yōu)篇】 40
考試要求：
1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
2.會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.
3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.
1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.
2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱變換
y＝f(x)的圖象y＝－f(x)的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝f(－x)的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝－f(－x)的圖象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.
(3)伸縮變換
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折變換
y＝f(x)的圖象y＝|f(x)|的圖象；
y＝f(x)的圖象y＝f(|x|)的圖象.
1.記住幾個(gè)重要結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.
一、單選題
1．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
6．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
參考答案：
1．D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
2．A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
3．A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
4．D
【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>且，
函數(shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D.
5．D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對(duì)于C，，則，
當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
6．②③
【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對(duì)于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對(duì)于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對(duì)于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對(duì)于④，取，結(jié)合圖像可知此時(shí)存在最小值，從而得以判斷.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；
對(duì)于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；
當(dāng)時(shí)，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，
此時(shí)，，故③正確；
對(duì)于④，取，則的圖像如下，

因?yàn)椋?br/>結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，
同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，
此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當(dāng)時(shí)，的圖像為半圓，解決命題④時(shí)，可取特殊值進(jìn)行排除即可.
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·天津·期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高三上·山東濱州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動(dòng)(無滑動(dòng)滾動(dòng))，點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是（ ）.

A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．對(duì)任意，都有
C．函數(shù)的值域?yàn)?br/>D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
4．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)的值域是
C．若方程有5個(gè)解，則的取值范圍為
D．若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（2023·浙江·二模）對(duì)任意，恒有，對(duì)任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為 .
參考答案：
1．D
【分析】
轉(zhuǎn)化為與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】令，故，
畫出與的圖象，
函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，
解得.
故選：D
2．B
【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個(gè)零點(diǎn)的關(guān)系及范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】函數(shù)的四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，就是函數(shù)與兩個(gè)圖象四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出函數(shù)的圖象，
對(duì)于A，，
當(dāng)時(shí)，，令，解得，
結(jié)合圖象可知，故A錯(cuò)誤；
結(jié)合圖象可知，解得，故B正確；
又，且，
所以，即，
所以，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故D錯(cuò)誤；
故選：B
3．BCD
【分析】根據(jù)題意，整理函數(shù)關(guān)系并作圖，根據(jù)圖象，可得答案.
【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示：

此后依次重復(fù)，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由圖象可知，函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)橐詾橹芷冢裕?br/>即，故B正確；
由圖象可知，的值域?yàn)椋蔆正確；
由圖象可知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)橐詾橹芷冢栽谏系膱D象和在上的圖象相同，即單調(diào)遞增，故D正確．
故選：BCD.
4．BCD
【分析】AB選項(xiàng)，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)的單調(diào)性和值域，得到A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，方程有5個(gè)解，轉(zhuǎn)化為與有5個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍；D選項(xiàng)，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求出的取值范圍.
【詳解】，
畫出的圖象，如下：
A選項(xiàng)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，不能說在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，函數(shù)在處取得最小值為，故值域是，B正確；
C選項(xiàng)，若方程有5個(gè)解，則要滿足與有5個(gè)交點(diǎn)，
故，所以的取值范圍為，C正確；
D選項(xiàng)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則，
令，解得：，
又，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
解得：，即，
，
故的取值范圍為.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.
5．
【分析】先作出函數(shù)圖象，解一元二次方程，結(jié)合函數(shù)圖象含參討論即可.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由，得，
解得或．
由圖象易知，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
所以方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
6．
【分析】由，得，由已知條件可得函數(shù)的圖像的對(duì)稱性和周期性，可作出函數(shù)的圖像，由題意的圖像函數(shù)在上的圖像相切，聯(lián)立方程組利用判別式求解.
【詳解】，，，
令，則有，
任意，恒有，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的圖像，如圖所示，
函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，由圖像可知，的圖像函數(shù)在上的圖像相切，
由，消去得，則，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
反思提升：
1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.
2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一種核心的思想方法，它將數(shù)的概念與幾何圖形的特性相結(jié)合，從而使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，復(fù)雜的幾何問題直觀化.“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對(duì)數(shù)形結(jié)合簡潔而有力的表達(dá).數(shù)與形是不可分割的統(tǒng)一體，彼此相互依存.已知函數(shù)，則的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）在棱長為1的正四面體中，P為棱（不包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面，使，與此正四面體的其他棱分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)，則的面積S隨x變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)在,上的大致圖像可能為（　　）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．A
【分析】利用排除法，根據(jù)選項(xiàng)代特值檢驗(yàn)即可.
【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由選項(xiàng)可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為，
對(duì)于選項(xiàng)D：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除C；
對(duì)于選項(xiàng)B：若，但此時(shí)，矛盾，故可排除B.
故選：A.
2．A
【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)B D，再舉特殊區(qū)間，排除C即可.
【詳解】對(duì)于，
因?yàn)椋远x域?yàn)镽，
又
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B D：
當(dāng)時(shí)，總有，，
當(dāng)時(shí)，，，所以，排除C，
故選：A.
3．C
【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計(jì)算出的面積，利用三角形相似可得出的表達(dá)式，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椤榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，，
，、平面，平面，
因?yàn)槠矫妫裕矫媾c平面平行或重合，
且，
取的中點(diǎn)，連接，則，
且，故.
①當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：
則，則；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：
則，則.
綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項(xiàng)中的圖象.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵對(duì)分類討論，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而辨別出函數(shù)的圖象.
4．ABD
【分析】利用分類討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故A正確；C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
5．BCD
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過對(duì)進(jìn)行分類討論，得出的單調(diào)區(qū)間和奇偶性，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，解得，故定義域?yàn)?
，，
因?yàn)闀r(shí)，在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為選項(xiàng)D，故選項(xiàng)D正確.
當(dāng)時(shí)，由，得，又，
所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上可知，在區(qū)間上不嚴(yán)格單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，
且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確，
故選：BCD.
6．ABC
【分析】根據(jù)的取值分類討論，作出函數(shù)的大致圖象，研究函數(shù)性質(zhì)后判斷圖象.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)為奇函數(shù)，由時(shí)，時(shí)等性質(zhì)可知A選項(xiàng)符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，作出兩函數(shù)的大致圖象，
由圖象可知在內(nèi)必有一交點(diǎn)，記橫坐標(biāo)為，此時(shí)，故排除D選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
若在內(nèi)無交點(diǎn)，則在恒成立，則圖象如C選項(xiàng)所示，故C選項(xiàng)符合題意；
若在內(nèi)有兩交點(diǎn)，同理得B選項(xiàng)符合題意.
故選：ABC.
反思提升：
1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.
2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.
3.根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩種方法
(1)定量計(jì)算法：根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象.
(2)定性分析法：采用“以靜觀動(dòng)”，即判斷動(dòng)點(diǎn)處于不同的特殊的位置時(shí)圖象的變化特征，從而利用排除法做出選擇.
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧·三模）已知對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一上·河南南陽·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．若，但，則
D．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
4．（2024·浙江金華·三模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·河北石家莊·三模）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記．若函數(shù)的圖象與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)，，其中．
①若函數(shù)無零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為 ；
②若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則 ．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可
【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，
所以，即，
將的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，
因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)的圖象重合，
所以，
所以，又且，
解得，
故選：D
2．A
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，
令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使有6個(gè)零點(diǎn)，
則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：
若，但，故排除此種情況，
若，對(duì)于二次函數(shù)開口向上，又，則，得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問題需注意以下幾點(diǎn)：
（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行解答；
（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；
（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．
3．ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換，可得圖像，利用圖象注意檢測選項(xiàng)，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)的圖象，
將軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)的圖象，
將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，
則函數(shù)的圖象如圖所示.
由圖可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確；
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；
若，但，若，關(guān)于直線對(duì)稱，則，C錯(cuò)誤；
函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確.
故選：ABD.
4．ACD
【分析】將變形為，構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，即可判斷的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解.
【詳解】由可得，
記，
由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
記，則，
令，得，故在單調(diào)遞增，
令，得，故在單調(diào)遞減，
而，，故存在使得，
故當(dāng)，，即
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
故作出的大致圖象如下：
由圖可知：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，可得，
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，由此判斷的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解.
5．
【分析】在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；結(jié)合圖象再做出滿足條件的直線，進(jìn)而求出的取值范圍即可.
【詳解】
由，，
因?yàn)椋?br/>所以圖象變?yōu)椋?br/>其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值；
且設(shè)兩函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)為，即當(dāng)， ，
解得：，
由題意與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
由數(shù)形結(jié)合易知：，或，
故答案為：.
6．
【分析】①結(jié)合函數(shù)的圖象， 函數(shù)無零點(diǎn)，即與的圖象無交點(diǎn)，所以可得到的一個(gè)取值；②由圖象對(duì)稱，即可算出的值.
【詳解】畫函數(shù)的圖象如下：
①函數(shù)無零點(diǎn)，即 無解，
即與的圖象無交點(diǎn)，所以，可取；
②函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即 有4個(gè)根，
即與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
由關(guān)于對(duì)稱，所以，
關(guān)于對(duì)稱，所以，
所以.
故答案為：；.
反思提升：
1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問題.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，在同一直角坐標(biāo)系中，與的大致圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個(gè)半圓）上勻速跑步，他從點(diǎn)處出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)、、返回到點(diǎn)，共用時(shí)秒，他的同桌小陳在固定點(diǎn)位置觀察小李跑步的過程，設(shè)小李跑步的時(shí)間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
4．（2024·上海奉賢·二模）已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)?br/>C．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
6．（2021·廣東·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象可能是　　
A． B．
C． D．
7．（2023·湖南岳陽·二模）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則滿足條件的實(shí)數(shù)可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2023·四川瀘州·一模）函數(shù)的對(duì)稱中心為 ．
9．（2023·陜西渭南·一模）將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，，若，則 .
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，有以下四個(gè)結(jié)論：①的值域是；②在上有8個(gè)零點(diǎn)；③若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12；④若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題
11．（20-21高一上·山西·期中）已知函數(shù).
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡圖；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間﹔
（3）若，求實(shí)數(shù)的值.
12．（20-21高一上·廣西欽州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（3）討論方程解的個(gè)數(shù).
參考答案：
1．C
【分析】先通過特值代入易得A項(xiàng)符合，對(duì)于B, C, D項(xiàng)，通過圖象觀察分析可得，結(jié)合兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的位置舍去C項(xiàng).
【詳解】由可得
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，在第一象限上遞減，對(duì)應(yīng)圖象在第四象限且遞增，故A項(xiàng)符合；
對(duì)于在第一象限上與的圖象在上都單調(diào)遞增，故且，則.
又由可得，即與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1，顯然C項(xiàng)不符合，B, D項(xiàng)均符合.
故選：C.
2．C
【分析】去掉絕對(duì)值，得到，畫出其圖象，進(jìn)而判斷出四個(gè)選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)，，
畫出其函數(shù)圖象，如下：
故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
D選項(xiàng)，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯(cuò)誤.
故選：C
3．D
【分析】分析在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，小李和小陳之間的距離的變化，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】由題圖知，小李從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，的值先增后減，
從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，的值先減后增，
從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，的值先增后減，從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，的值先減后增，
所以，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，小李和小陳之間的距離（即的值）的增減性為：增、減、增、減、增，D選項(xiàng)合乎題意，
故選：D.
4．A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和的奇偶性判斷.
【詳解】易知是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù)，
A. ，定義域?yàn)镽，
又，所以是奇函數(shù)，符合題意，故正確；
B. ，，不符合圖象，故錯(cuò)誤；
C. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；
D. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，
故選：A
5．AD
【分析】由，可知由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，根據(jù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，即可判斷；
【詳解】解：
由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故D正確；
函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋蔄正確，B錯(cuò)誤；
函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
故選：AD
6．ABD
【分析】根據(jù)題意，分、以及三種情況討論函數(shù)的圖象，分析選項(xiàng)即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，
當(dāng)時(shí)，，，其圖象與選項(xiàng)對(duì)應(yīng)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，，其圖象在第一象限先減后增，在區(qū)間上，為減函數(shù)，其圖象與選項(xiàng)對(duì)應(yīng)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，為增函數(shù)，在區(qū)間上，，其圖象在第二象限先減后增，其圖象與選項(xiàng)對(duì)應(yīng)，
故選：．
7．BD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象，對(duì)a分類討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)和的圖象，如圖，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
由圖可知，函數(shù)在上，有，得
所以，解得，
結(jié)合選項(xiàng)，實(shí)數(shù)a可以是和.
故選：BD.
8．
【分析】依題意可得，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則的圖象可以由函數(shù)向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱.
故答案為：
9．10
【分析】根據(jù)題意作出兩個(gè)函數(shù)的圖象分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱性化簡向量的和即可求解.
【詳解】如圖可知：函數(shù)和直線共有5個(gè)交點(diǎn)，依次為，其中，
∵函數(shù)和直線均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴，且，
故.
故答案為：10.
10．①③④
【分析】由已知，畫出函數(shù)的簡圖，結(jié)合圖形即可判斷.
【詳解】由題意可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

數(shù)形結(jié)合可知的值域是，在上的零點(diǎn)分別為2，4，6，8，共4個(gè)，故①正確，②錯(cuò)誤；
易知函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，故若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12，故③正確；
作出直線，數(shù)形結(jié)合可知，若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，得，故④正確．
故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④.
11．（1）圖象見解析；（2）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（3）或.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象即可；
（2）由（1）中函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷；
（3）由函數(shù)圖象可知，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；
【詳解】解：（1）函數(shù)的簡圖如下:
（2）由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（3）由，及函數(shù)的單調(diào)性可知，
若則實(shí)數(shù)的值為或.
12．（1），圖象答案見解析；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為 ，函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）答案見解析.
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義即可求得時(shí)的函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而得到解；
（2）畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】解：（1）因?yàn)闀r(shí)，，設(shè)，則，
，
又函數(shù)為偶函數(shù)，，
故函數(shù)的解析式為.
函數(shù)圖像如圖：
（2）由函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
函數(shù)的值域?yàn)?
（3）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)，或時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為3；
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為4.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式的問題，考查了利用數(shù)形結(jié)合求單調(diào)區(qū)間以及值域問題.屬于中檔題.注意方程的根的個(gè)數(shù)常常轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定的函數(shù)的圖象和一條變動(dòng)的直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A．為奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞增
C．恰有3個(gè)極值點(diǎn) D．有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)
三、填空題
3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為 .
四、解答題
4．（2023·四川樂山·一模）已知，.
(1)若曲線與直線圍成的圖形面積為，求的值；
(2)求不等式的解集.
參考答案：
1．A
【分析】取特值可排除B，C；判斷為奇函數(shù)可排除D，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故排除選項(xiàng)C；
當(dāng)時(shí)，，故排除選項(xiàng)B；
令，則在上恒成立，
函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故排除選項(xiàng)D，A選項(xiàng)正確.
故選：A.
2．CD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性得到，A正確；B選項(xiàng)，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為和在的圖像，結(jié)合隱零點(diǎn)得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；CD選項(xiàng)，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)分析得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤．
B選項(xiàng)，，顯然，
當(dāng)時(shí)，令，即，得，
分別作出和在的圖像，如圖所示．
由圖可知，若存在使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．
C選項(xiàng)，由圖象可得和在區(qū)間上共有3個(gè)公共點(diǎn)，且圖像在這些公共點(diǎn)處都不相切，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，
故在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，故C，D正確．
故選：CD．
3．49或
【分析】由已知可得是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合已知可作出函數(shù)的圖象，關(guān)于的方程有兩解，可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求的值.
【詳解】由，可得，
所以是以為周期的周期函數(shù)，又為偶函數(shù)，且，故可作出函數(shù)的圖象如圖所示：
若關(guān)于的方程有兩解，
則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)，則過點(diǎn),所以，解得，
當(dāng)，則過點(diǎn),所以，解得，
綜上所述：的值為或.
故答案為：或.
4．(1)
(2)
【分析】（1）將表示為分度函數(shù)的形式，結(jié)合圖象以及圍成圖形的面積列方程，從而求得.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.
【詳解】（1）由題得.
畫出及得圖象，如下圖所示，
易知，，，.
，解得.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，即為，得，與條件矛盾，此時(shí)不等式的解為；
當(dāng)時(shí)，即為，得，此時(shí)不等式的解為.
綜上所述，原不等式的解集為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知?jiǎng)t方程可能有（ ）個(gè)解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空題
3．（2024·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；
③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；
④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
參考答案：
1．D
【分析】由題意可知：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求過原點(diǎn)的切線，結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】作出的圖象，如圖所示
令，可得，
由題意可知：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
若，則，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點(diǎn)，可得，解得，
此時(shí)切線斜率為；
若，則，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點(diǎn)，可得，解得，
此時(shí)切線斜率為；
結(jié)合圖象可知的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時(shí)，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯(cuò)誤的圖象反而導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇．
2．ABCD
【分析】方程得或，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷解的個(gè)數(shù).
【詳解】，有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值.
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有極大值.
由的圖象如圖所示，

由得或，
由圖象可知有3個(gè)解，可能有1，2，3，4個(gè)解，
若，則有3個(gè)解；
若，則方程可能有4，5，6，7個(gè)解.
故選：ABCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
3．②③④
【分析】根據(jù)時(shí)，即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)時(shí)，即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷，繼而根據(jù)對(duì)稱性聯(lián)立方程得，，根據(jù)可得，代入即可求解④.
【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)顯然不成立，故，
當(dāng)時(shí)，令，即，得，，要使有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，②正確，
對(duì)于③, 當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確
對(duì)于④,由①③可知：時(shí)，顯然不成立,故，
要使，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，
則只需要的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：

故，
，
由對(duì)稱可得，
化簡可得，故，
，化簡得
所以
由于均大于0，所以，，
因此
由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，
此時(shí)，因此，④正確，
故答案為：②③④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題常用的方法和思路
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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