資源簡介

正太分布
【考綱解讀】
理解正態分布和正態分布曲線的定義，了解正態分布曲線所表示的意義，掌握正態分布曲線的性質；
能夠運用正態分布和正態分布曲線解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、正態分布曲線和正態分布的定義：
1、正態分布曲線的定義：
【問題】認真分析下列問題，然后回答題后的思考問題：
為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了地區內100名年齡為17.5歲—18歲的男生的體重情況，結果如下（單位：kg）：
56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 68
5 7.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73
54 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65
69 71.5 73 62 58 77 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5
68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59
61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62
65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
試根據上述數據畫出樣本的頻率分布直方圖，并估計總體的頻率分布。
『思考問題』
（1）【問題】是頻率分布直方圖的問題，解答時可以按照頻率分布直方圖的基本作法去進行；
（2）在頻率分布直方圖中取每一個小矩形上端的中點，把這些點用折線連接起來，如果將組距縮小，再把樣本容量增大作出同樣的折線，你會發現什么問題？
（3）在【問題】中，作出的100名學生體重的頻率分布直方圖，當樣本的容量無限增大，組距相應縮小時，其頻率分布直方圖無限接近一條總體密度曲線，對于高三學生如果生活環境、生活水平相對穩定，并且不存在產生系統誤差的明顯因素，這樣學生的體重的總體密度曲線近似的為一個函數的圖像。
正態曲線的定義： 函數f(x)= ，x∈（-∞，+∞） ①，式中的實數u，（＞0）是參數，分別表示總體的平均數與標準差，這個函數的圖像稱為正太分布密度曲線，簡稱為正太曲線（如圖所示）；特別地在①的 y 標準正態分布曲線
函數中，當u=0，=1時，正太總體稱為標 正態分布曲線
準正態分布曲線，記作N（0，1）， 這時的函
數表達式為：f(x)= ，x∈（-∞，+ 0 a b x
∞） ②（如圖所示）。標準正態曲線的圖像關于y軸對稱，如果已知＞0時的值，則當＜0時，=
2、正態分布的定義：
如上圖，由正態分布曲線過點（a，0）和點（b，0）的兩條垂直x軸的直線及x軸圍成的平面圖形的面積，就是隨機變量X落在區間（a，b]的概率的近似值，即p(a一般地，如果對于任何實數a，b（a3、理解正態分布曲線和正態分布定義時應該注意的問題：
（1）參數u是反映隨機變量X取值的平均水平的特征數，可以用樣本平均值去估計總體平均值；是衡量隨機變量X總體波動大小的特征數，可以用樣本標準差去估計總體標準差。把u=0，=1的正態分布稱為標準正態分布，記作N（0，1）；
（2）若XN（u，），則事件變量X的數學期望與方差分別為EX=u，DX=，即參數u為所給數據的數學期望（或平均值），為所給數據的方差，為所給數據的標準差；
（3）正態分布是自然界中最常見的一種分布，許多現象都近似地服從正態分布，例如長度測量誤差，正常生產條件下各種產品質量指標等；
（4）一般地，一個手機變量如果是眾多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布。
二、正太分布曲線和正態分布的性質：
1、正態分布曲線的性質：
正態分布曲線f(x)= ，x∈（-∞，+∞）有如下性質：
曲線的圖像在x軸的上方，且與X軸不相交（說明函數f(x)的值域是正實數的子集，且x軸為漸近線）；
正態曲線的圖像關于直線x=u對稱（說明函數f(x)圖像的對稱性）；
曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低（說明函數f(x)在x=u時，取得最大值）；
曲線的對稱軸由u的值確定，曲線與X軸之間的面積為1（說明正太變量X在R上取值的概率為1）；
當一定時，曲線隨著u的變化而沿X軸平移如（圖2）所示；
當u一定時，曲線的形狀由確定，越大，圖像越“矮胖”表示總體的分布越分散；越小，圖像越“高瘦”，表示總體的分布越集中如（圖3）所示（說明均值u一定時，的變化確定總體分布的集中，離散程度）。
y y
0 x 0 x
（圖2） （圖3）
2、正太分布的性質：
（1）一般的正態總體N（u，）要化成標準正態總體N（0，1）只需通過線性代換y
=即可；
正太分布有三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997）。
【探導考點】
考點1正態分布曲線的性質及運用：熱點是根據正態分布曲線的性質，計算相關的概率；
考點2正態分布及運用：熱點①已知隨機變量某一取值范圍內的概率，求隨機變量給定范圍內的概率；熱點②正態分布的實際運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
設兩個正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函數圖像如圖所示，則有（ ）
A ＜,＜ B ＜,＞ C ＞,＜ D ＞,＞
把一個正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，下列說
法不正確的是（ ）
A 曲線b仍然是正態分布曲線 B 曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等C 以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體方差大2
D 以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體期望大2
『思考問題1』
（1）【典例1】是與正太分布曲線相關的問題，解答這類問題需要理解正太分布曲線的定義，掌握正太分布曲線的性質和相關的概率計算；
（2）正太曲線的主要性質是：①曲線圖像在x軸的上方，且與X軸不相交；②正態曲線的圖像關于直線x=u對稱；③曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低。
〔練習1〕解答下列問題：
1、設X—N（，），Y—（，）這兩個正態分布密度曲線如圖所示，下列結論中正確的是（ ）（答案：C）
A P（Y ）P（Y） B P（X ）P（X）
C 對任意正數t，P（X ≤t）P（Y≤t） D 對任意正數t，P（X t）P（Yt）
2、設隨機變量XN（2，），則D（X）的值為（ ）
A 1 B 2 C D 4
【典例2】解答下列問題：
1、已知隨機變量服從正太分布N（2，），且P（＜4）=0.8，則P（0＜＜2）=（ ）
A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2
2、設隨機變量X服從正態分布XN（1，4），試求：
（1）P（0（2）求常數C，使P（XC）=32P（X>C）。
參考數據：（0）=0.5，（1）=0.8413，（2）=0.9972，（0.5）=0.6915，（1.88）=0.9697，（3）=0.9987。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與正太分布相關的問題，解答這類問題需要理解正太分布的定義，掌握正太分布的性質和相關的概率計算；
（2）正態分布的性質主要包括：①一般的正態總體N（u，）要化成標準正態總體N（0，1）只需通過線性代換y=即可；②正太分布有三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997）。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知隨機變量X服從正太分布N（3,1），且P（2X4）=0.6826，則P（X＞4）=（ ）
A 0.1588 B 0.1587 C 0.1586 D 0.1585
2、若隨機變量XN（u，），且EX=3，DX=1，則P（-1A 2（1）-1 B （4）-（2） C （-4）-（-2） D （2）-（4）
【典例3】解答下列問題：
某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區火車站有兩條路線可走，第一條路穿過市區，路線較短，但交通擁擠，所需時間（單位：分）服從正態分布N（50，）；第二條路沿環城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態分布N（60，）。
若只有70分鐘可用，問應走哪條路線？
若只有65分鐘可用，問又應走哪條路線？
2、假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N（800，）的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為。
（1）求的值（參考數據：若X （u，），有P（u- ）＜X＜（u-+）=0.6826，P（u- 2）＜X＜（u-+2）=0.9544，P（u-,3）＜X＜（u-+3）=0.9974）；
（2）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲，乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛，公司擬組建不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛，若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應該購買A型車，B型車各多少輛？
（3）正太變量在（-∞，+∞）內取值的概率是1，對于固定的u，來說，隨機變量在（u-，u+）上的取值的概率隨著的減小而增大，即越小，隨機變量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
『思考問題3』
（1）【典例3】是正太分布的實際應用問題，解答這類問題需要理解正太分布的定義，掌握正太分布的性質和相關的概率計算；
（2）理解并掌握正太分布的三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997），是解答正態分布實際應用問題的重要途徑之一。
〔練習3〕解答下列問題：
某班有48名學生，一次考試后數學成績服從正態分布，平均分為80分，標準差為10，問從理論上講成績80分到90分之間有多少人？
商場經營的某種包裝的大米質量服從正態分布N（10，）（單位：kg），任選一袋這種大米，質量在9.8kg10.2kg的概率是多少？
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
設隨機變量XN（2，9），若P（X＞c+1）=P（XA 1 B 2 C 3 D 4
已知隨機變量XN（2，），P（X≤4）=0.84，則P（X<0）= 。
『思考問題4』
【典例4】是解答正態分布問題時，容易觸碰的雷區。這類問題的雷區主要包括：①忽視正態分布曲線的對稱性，導致解答問題出現錯誤；②忽視正態分布的三個常用數據，導致解答問題出現錯誤；
解答正態分布問題時，為避免忽視正態分布曲線的對稱性的雷區，需要理解正態分布曲線的定義，掌握正態分布曲線的性質；
解答正態分布問題時，為避免忽視正態分布的三個常用數據的雷區，需要理解正態分布的定義，掌握正態分布的性質。
〔練習4〕解答下列問題：
已知隨機變量服從正態分布N（3，），則p（＜3）=（ ）
A B C D
2、在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
【考題演練】
【典例5】解答下列問題：
1、某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考，根據經驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態分布N（u，）。
已知本次模擬考試甲市平均成績為65分，87分以上共有228人，甲市學生A的成績為76分，試估計學生A在甲市的大致名次；
在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記X表示在本次考試中化學成績在（u-3，u+3）之外的人數，求P（X≥1）的概率及X的數學期望。
參考數據：0.9011，參考公式：若XN（u，），有P（u-P（u,22、隨機變量X服從正態分布N（2，），若p（22.5）= （2022全國高考新高考II）
3、某物理量的測量結果服從正太分布N（10，），下列結論中不正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A 越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C 越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D 越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與正太分布相關的問題，歸結起來主要包括：①正態分布曲線定義，性質及運用；②正太分布定義，性質及運用；③正態分布的實際應用等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30,D(X)=20，則p= （2015全國高考廣東卷）
附：若X—N（u, ）,則P（u- ＜Xu+）=0.6826，P（u-2＜Xu+2）=0.9544。
已知隨機變量服從正態分布N（3，），則p（＜3）=（ ）（2015全國高考重慶卷）
A B C D
3、在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）（2015全國高考湖南卷）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
正太分布
【考綱解讀】
理解正態分布和正態分布曲線的定義，了解正態分布曲線所表示的意義，掌握正態分布曲線的性質；
能夠運用正態分布和正態分布曲線解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、正態分布曲線和正態分布的定義：
1、正態分布曲線的定義：
【問題】認真分析下列問題，然后回答題后的思考問題：
為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了地區內100名年齡為17.5歲—18歲的男生的體重情況，結果如下（單位：kg）：
56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 68
5 7.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73
54 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65
69 71.5 73 62 58 77 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5
68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59
61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62
65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
試根據上述數據畫出樣本的頻率分布直方圖，并估計總體的頻率分布。
『思考問題』
（1）【問題】是頻率分布直方圖的問題，解答時可以按照頻率分布直方圖的基本作法去進行；
（2）在頻率分布直方圖中取每一個小矩形上端的中點，把這些點用折線連接起來，如果將組距縮小，再把樣本容量增大作出同樣的折線，你會發現什么問題？
（3）在【問題】中，作出的100名學生體重的頻率分布直方圖，當樣本的容量無限增大，組距相應縮小時，其頻率分布直方圖無限接近一條總體密度曲線，對于高三學生如果生活環境、生活水平相對穩定，并且不存在產生系統誤差的明顯因素，這樣學生的體重的總體密度曲線近似的為一個函數的圖像。
正態曲線的定義： 函數f(x)= ，x∈（-∞，+∞） ①，式中的實數u，（＞0）是參數，分別表示總體的平均數與標準差，這個函數的圖像稱為正太分布密度曲線，簡稱為正太曲線（如圖所示）；特別地在①的 y 標準正態分布曲線
函數中，當u=0，=1時，正太總體稱為標 正態分布曲線
準正態分布曲線，記作N（0，1）， 這時的函
數表達式為：f(x)= ，x∈（-∞，+ 0 a b x
∞） ②（如圖所示）。標準正態曲線的圖像關于y軸對稱，如果已知＞0時的值，則當＜0時，=
2、正態分布的定義：
如上圖，由正態分布曲線過點（a，0）和點（b，0）的兩條垂直x軸的直線及x軸圍成的平面圖形的面積，就是隨機變量X落在區間（a，b]的概率的近似值，即p(a一般地，如果對于任何實數a，b（a3、理解正態分布曲線和正態分布定義時應該注意的問題：
（1）參數u是反映隨機變量X取值的平均水平的特征數，可以用樣本平均值去估計總體平均值；是衡量隨機變量X總體波動大小的特征數，可以用樣本標準差去估計總體標準差。把u=0，=1的正態分布稱為標準正態分布，記作N（0，1）；
（2）若XN（u，），則事件變量X的數學期望與方差分別為EX=u，DX=，即參數u為所給數據的數學期望（或平均值），為所給數據的方差，為所給數據的標準差；
（3）正態分布是自然界中最常見的一種分布，許多現象都近似地服從正態分布，例如長度測量誤差，正常生產條件下各種產品質量指標等；
（4）一般地，一個手機變量如果是眾多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布。
二、正太分布曲線和正態分布的性質：
1、正態分布曲線的性質：
正態分布曲線f(x)= ，x∈（-∞，+∞）有如下性質：
曲線的圖像在x軸的上方，且與X軸不相交（說明函數f(x)的值域是正實數的子集，且x軸為漸近線）；
正態曲線的圖像關于直線x=u對稱（說明函數f(x)圖像的對稱性）；
曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低（說明函數f(x)在x=u時，取得最大值）；
曲線的對稱軸由u的值確定，曲線與X軸之間的面積為1（說明正太變量X在R上取值的概率為1）；
當一定時，曲線隨著u的變化而沿X軸平移如（圖2）所示；
當u一定時，曲線的形狀由確定，越大，圖像越“矮胖”表示總體的分布越分散；越小，圖像越“高瘦”，表示總體的分布越集中如（圖3）所示（說明均值u一定時，的變化確定總體分布的集中，離散程度）。
y y
0 x 0 x
（圖2） （圖3）
2、正太分布的性質：
（1）一般的正態總體N（u，）要化成標準正態總體N（0，1）只需通過線性代換y
=即可；
正太分布有三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997）。
【探導考點】
考點1正態分布曲線的性質及運用：熱點是根據正態分布曲線的性質，計算相關的概率；
考點2正態分布及運用：熱點①已知隨機變量某一取值范圍內的概率，求隨機變量給定范圍內的概率；熱點②正態分布的實際運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、設兩個正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函數圖像如圖所示，則有（ ）
A ＜，＜ B ＜，＞ C ＞，＜ D ＞，＞
【解析】
【知識點】①正態分布曲線定義與性質；②正態分布曲線圖像及運用。
【解題思路】根據正態分布曲線的性質，運用正態分布曲線的圖像，結合問題條件求出 ，與，的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】兩個正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函數圖像如圖所示， ＜，＜，A正確，選A。
2、把一個正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，下列說
法不正確的是（ ）
A 曲線b仍然是正態分布曲線 B 曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等C 以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體方差大2
D 以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體期望大2
【解析】
【知識點】①正態分布曲線定義與性質；②正態分布曲線圖像及運用。
【解題思路】根據正態分布曲線的性質，運用正態分布曲線的圖像，結合問題條件對各選項說法的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，曲線b仍然是正態分布曲線，A正確；對B，正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，曲線b的大小與形狀沒有改變，即曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等，B正確；對C，正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，曲線b的大小與形狀沒有改變，但對稱軸發生了變化，若曲線a的對稱軸為x=m，則曲線b的對稱軸為x=m+2，即以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體方差大2，C正確；對D，正態分布曲線a沿著橫軸方向向右平移2個單位，得到新的一條曲線b，曲線b的大小與形狀沒有改變即以曲線b為概率密度曲線的總體的期望與以曲線a為概率密度曲線的總體期望不變，D錯誤，綜上所述，D的說法錯誤，選D。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與正太分布曲線相關的問題，解答這類問題需要理解正太分布曲線的定義，掌握正太分布曲線的性質和相關的概率計算；
（2）正太曲線的主要性質是：①曲線圖像在x軸的上方，且與X軸不相交；②正態曲線的圖像關于直線x=u對稱；③曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低。
〔練習1〕解答下列問題：
1、設X—N（，），Y—（，）這兩個正態分布密度曲線如圖所示，下列結論中正確的是（ ）（答案：C）
A P（Y ）P（Y） B P（X ）P（X）
C 對任意正數t，P（X ≤t）P（Y≤t） D 對任意正數t，P（X t）P（Yt）
2、設隨機變量XN（2，），則D（X）的值為（ ）（答案：A）
A 1 B 2 C D 4
【典例2】解答下列問題：
1、已知隨機變量服從正太分布N（2，），且P（＜4）=0.8，則P（0＜＜2）=（ ）
A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2
【解析】
【知識點】①正態分布定義與性質；②正態分布曲線圖像及運用。
【解題思路】根據正態分布的性質，運用正態分布曲線的圖像，結合問題條件求出P（0＜＜2）的值就可得出選項。
【詳細解答】隨機變量服從正太分布N（2，），P（＜4）=0.8，P（≥4）=1-0.8=0.2，
P（<0）=P（≥4）=0.2，P（0＜＜2）=[1-P（<0）-P（≥4）]=0.3，C正確，選C。
2、設隨機變量X服從正態分布XN（1，4），試求：
（1）P（0（2）求常數C，使P（XC）=32P（X>C）。
參考數據：（0）=0.5，（1）=0.8413，（2）=0.9972，（0.5）=0.6915，（1.88）=0.9697，（3）=0.9987。
【解析】
【知識點】①正態分布定義與性質；②正態分布曲線圖像及運用。
【解題思路】（1）根據正態分布的性質，運用正態分布曲線圖像，結合問題條件就可求出P（0【詳細解答】（1）隨機變量X服從正態分布XN（1，4），u=1，=2，P（0=2（0.5）-1=20.6915-1=0.3830；（2）P（X>C）=1-P（X≤C），P（XC）=32P（X>C），
P（XC）=32[1-P（X≤C）]，P（XC）==0.9697，P（X（）=0.9697，=1.88，C=21.88+1=4.76。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與正太分布相關的問題，解答這類問題需要理解正太分布的定義，掌握正太分布的性質和相關的概率計算；
（2）正態分布的性質主要包括：①一般的正態總體N（u，）要化成標準正態總體N（0，1）只需通過線性代換y=即可；②正太分布有三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997）；
（3）正太變量在（-∞，+∞）內取值的概率是1，對于固定的u，來說，隨機變量在（u-，u+）上的取值的概率隨著的減小而增大，即越小，隨機變量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知隨機變量X服從正太分布N（3，1），且P（2X4）=0.6826，則P（X＞4）=（ ）
A 0.1588 B 0.1587 C 0.1586 D 0.1585（答案：B）
2、若隨機變量XN（u，），且EX=3，DX=1，則P（-1A 2（1）-1 B （4）-（2） C （-4）-（-2） D （2）-（4）
【典例3】解答下列問題：
1、某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區火車站有兩條路線可走，第一條路穿過市區，路線較短，但交通擁擠，所需時間（單位：分）服從正態分布N（50，）；第二條路沿環城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態分布N（60，）。
（1）若只有70分鐘可用，問應走哪條路線？
（2）若只有65分鐘可用，問又應走哪條路線？
【解析】
【知識點】①正態分布定義與性質；②解答正態分布實際應用問題的基本方法。
【解題思路】（1）根據正態分布的性質，運用求解正態分布事件應用問題的基本方法，結合問題條件就可得出若只有70分鐘可用，應走路線；（2）根據正態分布的性質，運用求解正態分布事件應用問題的基本方法，結合問題條件就可得出若只有70分鐘可用，應走路線。
【詳細解答】（1）若走第一條路線，所需時間（單位：分）服從正態分布N（50，），
P（00.9772，若只有70分鐘可用，,應走第二條路線；（1）若走第一條路線，所需時間（單位：分）服從正態分布N（50，），P（0=（1.5）=0.9338，若走第二條路線，所需時間（單位：分）服從正態分布N（60，），P（00.8944，若只有65分鐘可用，,應走第一條路線。
2、假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N（800，）的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為。
（1）求的值（參考數據：若X （u，），有P（u- ＜X≤u-+）=0.6826，P（u- 2＜X≤u-+2）=0.9544，P（u-3＜X≤u-+3）=0.9974）；
（2）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲，乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛，公司擬組建不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛，若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應該購買A型車，B型車各多少輛？
【解析】
【知識點】①正態分布定義與性質；②簡單線性規劃定義與性質；③解答正態分布實際應用問題的基本方法；④求解簡單線性規劃問題的基本方法。
【解題思路】（1）根據正態分布的性質，運用求解正態分布事件應用問題的基本方法，結合問題條件就可求出一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率的值；（2）根據正態分布和解答線性規劃的性質，運用求解正態分布實際應用問題和解答線性規劃問題的基本方法，結合問題條件就可求出應該購買A型車，B型車的數量。
【詳細解答】（1）每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N（800，），P（700＜X≤900）=0.9544，=P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=0.5+P（700＜X≤900）=0.5+0.4772=0.9772；（2）設應該購買A型車x輛，B型車y輛，相應的經營成本為1600x+2400y，且x+y≤21,y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥，36x+60y≥900，正整數x，y應該滿足約束條件x+y≤21,y≤x+7， y
36x+60y≥900，作出約束條件的可行域如圖 P
所示，由圖可知，當目標函數z=1600x+2400y
經過點P（5，12）時，z=16005+240012 0 x
=36800（元）為最小值，公司擬組建不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛，若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，則應該購買A型車5輛，B型車12輛。
『思考問題3』
（1）【典例3】是正太分布的實際應用問題，解答這類問題需要理解正太分布的定義，掌握正太分布的性質和相關的概率計算；
（2）理解并掌握正太分布的三個常用數據：①P（u-＜Xu+）=0.683（說明在區間（u-，u+]內的概率為0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（說明在區間（u-2，u+2]內的概率為0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（說明在區間（u-3，u+3]內的概率為0.997），是解答正態分布實際應用問題的重要途徑之一。
〔練習3〕解答下列問題：
1、某班有48名學生，一次考試后數學成績服從正態分布，平均分為80分，標準差為10，問從理論上講成績80分到90分之間有多少人？（答案：從理論上講成績80分到90分之間約有16人）
2、商場經營的某種包裝的大米質量服從正態分布N（10，）（單位：kg），任選一袋這種大米，質量在9.8kg10.2kg的概率是多少？（答案：任選一袋這種大米，質量在9.8kg10.2kg的概率是0.954）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、設隨機變量XN（2，9），若P（X＞c+1）=P（XA 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知識點】①隨機變量正態分布定義與性質；②隨機變量正態分布曲線定義與性質。
【解題思路】根據隨機變量正態分布的性質，運用隨機變量正態分布曲線的性質，結合問題條件得到關于c的方程，求解方程求出c的值就可得出選項。
【詳細解答】隨機變量XN（2，9），正態分布曲線的圖像關于直線x=2對稱，
=2，P（X＞c+1）=P（X<3-c），P（X＞c+1）=P（X2、已知隨機變量XN（2，），P（X≤4）=0.84，則P（X<0）= 。
【解析】
【知識點】①隨機變量正態分布定義與性質；②求隨機變量正態分布中概率的基本方法。
【解題思路】根據隨機變量正態分布的性質，運用求隨機變量正態分布中概率的基本方法，結合問題條件就可求出P（X<0）的值。
【詳細解答】隨機變量XN（2，），P（X≤4）=0.84，P（X＞4）=1-0.84=0.16，
P（X<0）=P（X＞4）=0.16。
『思考問題4』
【典例4】是解答正態分布問題時，容易觸碰的雷區。這類問題的雷區主要包括：①忽視正態分布曲線的對稱性，導致解答問題出現錯誤；②忽視正態分布的三個常用數據，導致解答問題出現錯誤；
解答正態分布問題時，為避免忽視正態分布曲線的對稱性的雷區，需要理解正態分布曲線的定義，掌握正態分布曲線的性質；
解答正態分布問題時，為避免忽視正態分布的三個常用數據的雷區，需要理解正態分布的定義，掌握正態分布的性質。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知隨機變量服從正態分布N（3，），則p（＜3）=（ ）（答案：D）
A B C D
2、在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）（答案：C）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
【考題演練】
【典例5】解答下列問題：
1、某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考，根據經驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態分布N（u，）。
已知本次模擬考試甲市平均成績為65分，87分以上共有228人，甲市學生A的成績為76分，試估計學生A在甲市的大致名次；
在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記X表示在本次考試中化學成績在（u-3，u+3）之外的人數，求P（X≥1）的概率及X的數學期望。
參考數據：0.9011，參考公式：若XN（u，），有P（u-P（u,2【解析】
【考點】①正態分布定義與性質；②隨機變量概率分布定義與性質；③求隨機變量數學期望的基本求法。
【解題思路】（1）根據正態分布的性質，結合問題條件求出的值，從而得出系數A成績在該市的大致名次；（2）根據正態分布的性質，分別求出隨機抽取一名學生在（u-3【詳細解答】（1）本次模擬考試成績（滿分100分）近似服從正態分布N（u，），u=65分，=0.0228，==0.0228，P（X≥u+2）=0.0228，u+=65+2=87，=11，76=65+11=65+，
==0.1587，P（X≥u+）=0.1587，估計學生A在甲市的大致名次為1587名；（2）在甲市參考學生中，隨機抽取1名學生，成績在（u-3，u+3）之內的概率為P（u-31-0.90110.0989，隨機變量X的數學期望EX=np=400.0026=0.104。
2、隨機變量X服從正態分布N（2，），若p（22.5）= （2022全國高考新高考II卷）
【解析】
【考點】①隨機變量正態分布定義與性質；②隨機變量正態分布圖像及運用。
【解題思路】根據隨機變量正態分布的性質，運用隨機變量正態分布的圖像，結合問題條件就可求出p（X>2.5）的值。
【詳細解答】隨機變量X服從正態分布N（2，），p（22.5）=0.5- p（23、某物理量的測量結果服從正太分布N（10，），下列結論中不正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A 越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C 越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D 越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等
【解析】
【考點】①隨機變量正態分布定義與性質；②隨機變量正態分布圖像及運用。
【解題思路】根據隨機變量正態分布的性質，運用隨機變量正態分布的圖像，結合問題條件對各選項的結論的真假進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，為數據的方差，為數據的標準差，越小，數據在u=10附近越集中，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大 ，A正確；對B，正態分布N（10，）的圖像關于直線x=10對稱，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 ，B正確；對C，正態分布N（10，）的圖像關于直線x=10對稱，該物理量在一次測量中，小于9.99與大于10.01的概率相等 ，C正確；對D，正態分布N（10，）的圖像關于直線x=10對稱，該物理量在一次測量中，落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率不相等 ，D錯誤，選D。
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與正太分布相關的問題，歸結起來主要包括：①正態分布曲線定義，性質及運用；②正太分布定義，性質及運用；③正態分布的實際應用等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30,D(X)=20，則p= （2015全國高考廣東卷）（答案：p=）
附：若X—N（u, ）,則P（u- ＜Xu+）=0.6826，P（u-2＜Xu+2）=0.9544。
2、已知隨機變量服從正態分布N（3，），則p（＜3）=（ ）（2015全國高考重慶卷）（答案：D）
A B C D
3、在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）（2015全國高考湖南卷）（答案：C）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772

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