資源簡介

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專題13 函數與方程（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 8
【考點1】函數零點所在區間的判斷 8
【考點2】函數零點個數的判定 13
【考點3】函數零點的應用 19
【分層檢測】 26
【基礎篇】 26
【能力篇】 34
【培優篇】 38
考試要求：
1.理解函數的零點與方程的解的聯系.
2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函數的零點
(1)概念：對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.
(2)函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：
2.函數零點存在定理
(1)條件：①函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.
(2)結論：函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2.由函數y＝f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件.
3.周期函數如果有零點，則必有無窮多個零點.
一、單選題
1．（2021·天津·高考真題）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·全國·高考真題）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
4．（2023·全國·高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
5．（2023·天津·高考真題）設,函數,若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ．
6．（2022·天津·高考真題）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 .
參考答案：
1．A
【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數零點個數情況，再結合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，
由可得，
由可得，
（1）時，當時，有4個零點，即；
當，有5個零點，即；
當，有6個零點，即；
（2）當時，，
，
當時，，無零點；
當時，，有1個零點；
當時，令，則，此時有2個零點；
所以若時，有1個零點.
綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數的零點個數情況.
2．BCD
【分析】求出函數的導數，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.
【詳解】函數的定義域為，求導得，
因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，
因此方程有兩個不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
3．ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
4．
【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結合余弦函數的圖像性質可得，故，
故答案為：.
5．
【分析】根據絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】（1）當時，，
即，
若時，，此時成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時，，此時成立．
（2）當時，，
即，
若時，，顯然不成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時，，顯然不成立；
綜上，
當時，零點為，；
當時，零點為，；
當時，只有一個零點；
當時，零點為，；
當時，只有一個零點；
當時，零點為，；
當時，零點為．
所以，當函數有兩個零點時，且．
故答案為：．
【點睛】本題的解題關鍵是根據定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據根存在的條件求出對應的范圍，然后根據范圍討論根（或零點）的個數，從而解出．
6．
【分析】設，，分析可知函數至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數的取值范圍進行分類討論，根據題意可得出關于實數的不等式，綜合可求得實數的取值范圍.
【詳解】設，，由可得.
要使得函數至少有個零點，則函數至少有一個零點，則，
解得或.
①當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
此時函數只有兩個零點，不合乎題意；
②當時，設函數的兩個零點分別為、，
要使得函數至少有個零點，則，
所以，，解得；
③當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數的零點個數為，合乎題意；
④當時，設函數的兩個零點分別為、，
要使得函數至少有個零點，則，
可得，解得，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
【考點1】函數零點所在區間的判斷
一、單選題
1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數，若存在，使得，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．在內有零點 D．若在內有零點，則
2．（2024·四川巴中·一模）若函數在區間內恰有一個零點，則實數a的取值集合為（ ）
A． B．或.
C． D．或.
二、多選題
3．（2022·福建三明·模擬預測）已知函數在區間（1，＋∞）內沒有零點，則實數a的取值可以為（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·廣東廣州·二模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為 B．的圖像在處的切線斜率為
C． D．有兩個零點，且
三、填空題
5．（2023·廣東深圳·一模）定義開區間的長度為．經過估算，函數的零點屬于開區間 （只要求寫出一個符合條件，且長度不超過的開區間）．
6．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）函數在區間上存在零點，則的最小值為 .
參考答案：
1．A
【分析】根據函數的單調性結合零點存在定理逐項判斷即可得結論.
【詳解】因為在上單調遞增，且，，
所以，，根據零點存在定理可得函數在內有零點，故C正確；
又因為，所以，故B正確；
又因為，則可能大于，故A不正確；
若函數在內有零點，則，故D正確.
故選：A.
2．D
【分析】根據題意，分和，結合二次函數的性質，以及零點存在性定理，列出不等式，即可求解.
由函數，
【詳解】由函數，
若，可得，令，即，解得，符合題意；
若，令，即，可得，
當時，即，解得，此時，解得，符合題意；
當時，即且，則滿足，
解得且，
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合題意；
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合題意；
綜上可得，實數的取值范圍為或.
故選：D.
3．ABC
【分析】由題意設，則在上， 與有相同的零點，即討論在區間內沒有零點，求出其導函數，分析其單調性，得出其最值情況，從而結合其大致的圖形可得出答案.
【詳解】，設
則在上， 與有相同的零點.
故函數在區間內沒有零點,即在區間內沒有零點
當時，在區間上恒成立,則在區間上單調遞增.
所以，顯然在區間內沒有零點.
當時, 令，得，令，得
所以在區間上單調遞減增.在區間上單調遞增.
所以
設，則
所以在上單調遞減,且
所以存在，使得
要使得在區間內沒有零點，則
所以
綜上所述，滿足條件的的范圍是
由選項可知：選項ABC可使得在區間內沒有零點，即滿足題意.
故選：ABC
4．BCD
【分析】根據題意直接求出的范圍即可判斷；求出導函數，進而求得即可判斷B；求得即可判斷C；易知的單調性，結合零點存在定理及C即可判斷D．
【詳解】由題意，，
對于選項A，易知且，故選項A錯誤，
對于選項B，因為，則，故選項B正確，
對于選項C，因為，所以，故選項C正確，
對于選項D，由選項可知，易知在和上單調遞增，
因為，
，
所以，使得，
又因為，則，結合選項C，得，
即也是的零點，則，，故，故選項D正確，
故選：BCD.
5．（不唯一）
【分析】利用函數的零點存在定理求解.
【詳解】解：因為都是減函數，
所以是減函數，
又，
即，
所以函數在上有零點，且，
故答案為（不唯一）
6．/
【分析】設為在上的零點，可得，轉化為點在直線上，根據的幾何意義，可得有解，利用導數求得函數的單調性和最值，即可得答案．
【詳解】設為在上的零點，可得，
所以，即點在直線，
又表示點到原點距離的平方，
則有解，即有解，
令，可得，
因為，，
所以恒成立，
可得在上為單調遞增函數，
所以當時，，
所以，即的最小值為．
故答案為：.
反思提升：
確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法：
(1)利用函數零點存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.
(2)數形結合法：若一個函數(或方程)由兩個初等函數的和(或差)構成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數f(x)的零點.
【考點2】函數零點個數的判定
一、單選題
1．（2024·四川內江·三模）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江·模擬預測）已知函數，若關于x的方程的不同實數根的個數為6，則a的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·安徽安慶·三模）已知函數，則（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在上單調遞增
C．函數的最大值為
D．若方程在上有且僅有8個不同的實根，則
4．（2024·河北保定·二模）已知函數，函數，且，定義運算設函數，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小值為
B．若在上單調遞增，則k的取值范圍為
C．若有4個不同的解，則m的取值范圍為
D．若有3個不同的解，，則
三、填空題
5．（2024·湖北·二模）已知函數（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是 ．
6．（2024·山東泰安·三模）已知函數若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】將函數有兩個零點，轉化為函數的圖象有兩個不同交點問題；由此設，利用導數判斷其單調性，作出其圖象，數形結合，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數有兩個零點，即有兩個不等實數根，
即函數的圖象有兩個不同交點；
設，則，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
當時，，當時，，
作出的圖象如圖：
當直線與圖象相切時，設切點為，
此時，則，
故此時，
結合圖象可知，要使函數的圖象有兩個不同交點，
需滿足，
故，
故選：D
2．C
【分析】方程因式分解得，所以或，根據函數的草圖，判斷的解的個數，從而確定解的個數，可得的取值范圍.
【詳解】當時，，由此可知在單調遞減，
且當時，，在上單調遞增，；
當時，在單調遞增，在上單調遞減，
，如圖所示．
得，即或，
由與有兩個交點，則必有四個零點，
即，得.
故選：C
3．ACD
【分析】A選項，由函數與的最小正周期的周期性即可；B選項，利用函數的單調性定義求解；C選項，由倍角公式化簡函數解析式，利用二次函數的性質求最大值；D選項，利用導數討論函數的單調性，數形結合求的取值范圍.
【詳解】由條件可知，
因，
又函數與的最小正周期均為，
所以函數的最小正周期為，A選項正確；
時，，，，
，則函數在上不可能單調遞增，B選項錯誤；
，
當時，函數取最大值，C選項正確；
，所以函數為偶函數，
方程在上有且僅有8個不同的實根，則在上有四個根，
此時，則，
設
令，得，令，得
則在上和單調遞增，在和上單調遞減，
又，，，如圖所示，
若想方程在上有四個根，則，即，
因此選項D正確.
故選：ACD．
4．AC
【分析】對A，對分類討論，并作出分段函數的圖象求出最小值即可；對B，令，求出，根據其單調性得到不等式，解出即可；對C和D結合圖象轉化為直線與函數圖象交點個數，并結合函數對稱性即可判斷.
【詳解】對A，
令，解得.
當時，作出函數和的圖象，如圖1所示.
此時，，顯然當時，，
當時，作出函數的圖象，如圖2所示.
，，所以的最小值為，
綜上的最小值為，A正確.
對B，令，解得，.
若在上單調遞增，則，解得.
因為當時，在上單調遞增，
所以k的取值范圍為，B錯誤.
對CD，若有3個不同的解，，，則結合圖象可得
或，D錯誤.
若有4個不同的解，則，C正確.
故選：AC.
【點睛】關鍵點點睛：本題B選項的關鍵是結合圖象找到臨界位置，從而得到不等式，CD選項應結合函數圖象，轉化為直線與函數圖象交點個數問題.
5．
【分析】由，可得，進而可求，進而根據在內恰有10個零點，可求的取值范圍.
【詳解】函數（，）的周期為，
又，所以，
所以，即，
因為，所以，解得，
所以，因為，所以，
要使在內恰有10個零點，則.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
6．
【分析】由導函數等求出函數單調性和切線方程，畫出的圖象，數形結合得到答案.
【詳解】當時，，其在上單調遞減，在上單調遞增，且，則；
當時，，，其在上單調遞減，且.
作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.
故答案為：
反思提升：
函數零點個數的判定有下列幾種方法
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.
(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點.
(3)畫兩個函數圖象，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.
【考點3】函數零點的應用
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預測）己知函數若函數有5個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數，，若關于的方程有兩個不等實根，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建福州·模擬預測）已知函數恰有三個零點，，，且，則（ ）
A． B．實數的取值范圍為
C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）已知函數，若函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則實數的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·安徽黃山·二模）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是 .
6．（2024·天津·一模）若函數恰有兩個不同的零點，且，則的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】求得，得到函數的單調性和極值，作出函數的圖象，根據題意，轉化為和共有5個不相等實數根，結合圖象，即可求解.
【詳解】當時，，此時，
則時，單調遞減；時，單調遞增，
所以，當是的極小值點，作出如圖所示的函數的圖象，
函數有5個不同的零點，則方程，
即有5個不相等實數根，
也即是和共有5個不相等實數根，
其中有唯一實數根，
只需有4個且均不為-2的不相等實數根，由圖可知，
即實數的取值范圍為.
故選：C.
2．B
【分析】先利用導函數得出函數在上單調遞增，將關于的方程有兩個不等實根轉化為關于的方程有兩個不等實根；再數形結合得出，；最后構造函數，并利用導數求出該函數的最大值即可.
【詳解】由可得：
函數的定義域為，，
所以函數在上單調遞增.
令.
因為關于的方程有兩個不等實根，，
則關于的方程有兩個不等實根，.
作出函數的圖象，如圖所示：
.
所以結合圖形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
設，
則.
令，得：；令，得：，
所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數研究函數的性質、方程的根與函數圖象交點問題等.解題關鍵在于先利用換元法和函數的單調性將已知條件進行轉化；再利用數形結合思想和導數即可求解.
3．ACD
【分析】利用的奇偶性可判斷A選項；將函數的零點問題轉化為函數圖像的交點問題，再利用導數和基本不等式確定切線斜率的取值范圍，進而得實數的取值范圍，即可判斷B選項；由來可判斷C選項；由得，進而等價于，令，用導數證明，即可判斷D選項.
【詳解】函數定義域為R，
，
所以是奇函數，則，
又因為有三個零點且，，
所以，，即，故A選項正確；
，得，
令，則，所以在R上增函數，
要使函數有3個零點，與的圖象有3個交點，如圖：

又，
當且僅當時取等號，即，
所以，故B錯誤；
，故C選項正確；
由得，又，
要使成立，則成立，
令，，
所以在單調遞增，則，
于是，則，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
4．CD
【分析】由函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，轉化為方程有兩個不同的根，構造函數，分類討論求出 的范圍，判斷選項.
【詳解】函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則方程有兩個不同的根，
即有兩個不同的根，
構造函數，
則.
①若，當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，取實數滿足且，則有，所以有兩個零點.
②若，當時，在上單調遞增，
當時，，故，故不存在兩個零點，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
又當時，故，故不存在兩個零點，綜上得，
故選：CD
【點睛】關鍵點點睛：當時，在時恒小于0，一定不存在零點，可減少討論情況.
5．．
【分析】令，則有，將問題轉化為半圓與直線有兩個交點，作出圖象，結合圖象求解即可．
【詳解】令，
則，所以，
又因為，即為，表示單位圓位于軸上及上方部分；
而，表示過點且斜率為的直線，
所以將問題轉化為半圓與直線有兩個交點，
當直線與半圓相切時；，解得，
當直線過點時，則有，解得，
綜上，．
故答案為：．
6．
【分析】借助換元法，設，可得，令可得，再令，借助對勾函數性質即可得的單調性及其值域，若恰有兩個不同的實數根、，可得，即可得的取值范圍.
【詳解】設，則，則，
令，顯然,則有，令，
由對勾函數性質可知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
若恰有兩個不同的實數根、，且，則，
令，解得或，故，
即有，故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在與使用換元法及參變分離的方式，得到，再設出函數，結合對勾函數的性質得到的性質，從而借助的性質研究的解的個數，即可得到的取值范圍.
反思提升：
(1)已知函數的零點求參數，主要方法有：①直接求方程的根，構建方程(不等式)求參數；②數形結合；③分離參數，轉化為求函數的最值.
(2)已知函數零點的個數求參數范圍，常利用數形結合法將其轉化為兩個函數的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數范圍.
(3)函數零點問題一般可以轉化為兩個函數圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關系解決問題，提升直觀想象核心素養.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·廣東梅州·二模）三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知是函數的一個零點，若，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高一下·湖北·階段練習）某同學用二分法求函數的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
二、多選題
5．（2024·貴州遵義·一模）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點 B．函數是奇函數
C．在上單調遞減 D．函數的最小值為
6．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）下列選項中說法正確的是（ ）
A．若冪函數過點，則
B．用二分法求方程在內的近似解的過程中得到，，，則方程的根落在區間上
C．某校一次高三年級數學檢測，經抽樣分析，成績近似服從正態分布，且，若該校學生參加此次檢測，估計該校此次檢測成績不低于分的學生人數為
D．位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種
7．（2022·廣東·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數的最小正周期為，則其圖象關于直線對稱
B．若函數的最小正周期為，則其圖象關于點對稱
C．若函數在區間上單調遞增，則的最大值為2
D．若函數在有且僅有5個零點，則的取值范圍是
三、填空題
8．（2021·福建三明·三模）函數零點的一個近似值為 .（誤差不超過0.25）
備注：自然對數的底數.
9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數在內恰有3個零點，則的取值范圍是 ．
10．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數在區間上不單調，則m的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（2024·廣東·一模）已知，函數.
(1)求的單調區間.
(2)討論方程的根的個數.
12．（21-22高一上·湖北武漢·期中）已知函數（為常數），若1為函數的零點.
(1)求的值；
(2)證明函數在上是單調增函數；
參考答案：
1．B
【分析】先判斷各函數的單調性，再根據零點的存在性定理求出函數零點的范圍，即可得出答案.
【詳解】因為函數，，，都是增函數，
所以函數，，均為增函數，
因為，
所以函數的零點在上，即，
因為，
所以函數的零點在上，即，
因為，
所以函數的零點在上，即，
綜上，．
故選：B．
2．D
【分析】利用數形結合判定函數值大小即可.
【詳解】令．從而有，此方程的解即為函數的零點．
在同一坐標系中作出函數與的圖象，如圖所示．
由圖象易知，，從而，故，即．
同理．
故選：D

3．A
【分析】
根據平移變換得到，且，結合函數零點個數得到不等式，求出實數的取值范圍.
【詳解】，
由題意得，故當時，，
顯然當，即為的一個零點，
要想在上恰有三個不同的零點，
若，解得，
若，無解，
若，無解.
故選：A
4．B
【分析】根據二分法基本原理滿足判斷即可.
【詳解】，又
A錯誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內，則B正確，D錯誤；
， C錯誤.
故選：B.
5．CD
【分析】求出函數零點判斷A；由奇函數定義判斷B；由分段函數的單調性判斷C；求出最小值判斷D.
【詳解】函數，
對于A，由，得或，A錯誤；
對于B，，而，，函數不是奇函數，B錯誤；
對于C，函數在上單調遞減，在上單調遞減，且，
因此在上單調遞減，C正確；
對于D，當時，，當時，，當且僅當時取等號，
因此函數的最小值為，D正確.
故選：CD
6．ABC
【分析】冪函數定義求出m，代入點求出，判斷A選項；零點存在性定理判斷B選項；根據正態分布的對稱性進行求解，進而判斷C選項，根據分步計數原理得到不同的報名方法，進而判斷出D選項.
【詳解】由冪函數定義得：，將代入，，，故，A正確；
由零點存在性定理，方程的根落在區間上，B正確；
由正態分布的對稱性可知：，故，故估計該校此次檢測成績不低于分的學生人數為，C正確；
位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種，D錯誤.
故選：ABC
7．ACD
【分析】根據最小正周期可以計算出，便可求出對稱軸和對稱點，可判斷A、B選項；根據正弦型函數的單調性可以推出的值，可判斷C選項；根據零點情況可以求出的取值范圍，可判斷D選項.
【詳解】選項：的最小正周期為
，故正確；
B選項：的最小正周期為
，故B錯誤；
C選項：
又函數在上單調遞增
，故C正確；
D選項：
又在有且僅有個零點，則，故D正確.
故選：ACD
8．（可填中的任一實數）
【分析】按照二分法求零點近似值的步驟可求得結果.
【詳解】因為，，，
所以在內有零點，此時，不滿足精確度，
因為，，
所以在內有零點，此時，不滿足精確度，
因為，，
所以在內有零點，此時，符合精確度，
所以函數零點的一個近似值為，
故答案為：（可填中的任一實數）
9．
【分析】先由的取值范圍求出的取值范圍，再由題意結合正弦函數的性質求解即可.
【詳解】由時，所以，
當時，令，解得，
又因為在上僅有三個零點，
因此，解得.
故答案為：.
10．
【分析】即導函數在在區間內有零點.
【詳解】由題意知，
因為在區間上不單調，
即在區間有零點，
又，即為的零點在區間內，
所以解得，即m的取值范圍是．
故答案為：
11．(1)減區間為：，；增區間為：.
(2)
【分析】（1）求導，利用導函數的符號可確定函數的單調區間.
（2）利用函數的單調性，確定函數值的符號和最值，可確定方程零點的個數.
【詳解】（1）因為（）.
所以：.
由，又函數定義域為，
所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增.
（2）因為，所以：當時，，方程無解；
當，函數在上遞減，在遞增，
所以，所以方程無解.
綜上可知：方程的根的個數為.
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據零點定義，可知，即可求；
（2）根據函數單調性的定義，即可證明.
【詳解】（1）因為1為函數的零點，所以，即；
（2）證明：設，則，
因為，所以，
所以，即函數在上是單調增函數.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·二模）若為上的偶函數，且，當時，，則函數在區間上的所有零點的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、多選題
2．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數的零點為，下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·云南昆明·三模）過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序實數對
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）設n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.
(1)若切比雪夫多項式，求實數a，b，c，d的值；
(2)對于正整數時，是否有成立？
(3)已知函數在區間上有3個不同的零點，分別記為，證明：.
參考答案：
1．A
【分析】數形結合，函數與在區間上的交點橫坐標即為的零點，根據對稱性即可求零點之和.
【詳解】若為上的偶函數，則，且，
則的周期，
當時，，
則當時，，即可畫出函數的圖象；
函數周期是2，最大值為3，把函數在下方圖象翻折到軸上方。
與在區間上一共有10個交點，
且這10個交點的橫坐標關于直線對稱，
所以在區間的的有零點的和是20.
故選：A
2．ABD
【分析】求導，利用導數判斷的單調性，結合零點存在性定理可得，進而逐項分析判斷.
【詳解】由題意可得：的定義域為，且，
因為，所以函數在上單調遞增，
對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，
所以，故B正確；
對于C：因為，則，，所以，故C錯誤；
對于D：因為，所以，故D正確．
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：對于函數零點的個數的相關問題，利用導數和數形結合的數學思想來求解．這類問題求解的通法是：
（1）構造函數，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；
（2）求導數，得單調區間和極值點；
（2）數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與x軸的交點情況進而求解．
3．（答案不唯一）
【分析】設切點坐標為，利用導數表示出切線方程，代入點，通過構造函數，研究新函數的單調性和極值，對的取值范圍進行討論，得到解的個數，可得對應的切線條數.
【詳解】，，
設所求切線的切點坐標為，則切線斜率為，
得切線方程為，
由切線過點，有，
化簡得，
設，則，
，解得或；，解得，
在和上單調遞減，在上單調遞增，
極大值，極小值，
且或時，時，，
的函數圖象如圖所示，
則當時，無解，；當或時， 有一個解，；
當或時，有兩個解， ；當時，有三個解， .
故答案為：（答案不唯一）
4．(1)
(2)成立
(3)證明見解析
【分析】（1）利用展開計算，根據切比雪夫多項式可求得；（2）要證原等式成立，只需證明成立即可，利用兩角和與差的余弦公式可證結論成立；
（3）由已知可得方程在區間上有3個不同的實根，令，結合（1）可是，可得，計算可得結論.
【詳解】（1）依題意，
，
因此，即，則，
（2）成立.
這個性質是容易證明的，只需考慮和差化積式.
首先有如下兩個式子：
，
，
兩式相加得，，
將替換為，所以.
所以對于正整數時，有成立.
（3）函數在區間上有3個不同的零點，
即方程在區間上有3個不同的實根，
令，由知，而，則或或，
于是，
則，
而，
所以.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數的單調遞減區間為
B．
C．若方程有6個不等實數根，則
D．對任意正實數，且，若，則
三、填空題
3．（2024·湖南·二模）函數在范圍內極值點的個數為 .
參考答案：
1．D
【分析】構造函數，，結合零點的存在性定理可得，，即可逐項判斷.
【詳解】令，由，故，
由與在上單調遞增，故在上單調遞增，
又，，故，故B錯誤；
令，
由函數的圖象及的圖象可得在上只有一個零點，
由，故，
又，
，故，故C錯誤；
有，故A錯誤；，故D正確.
故選：D.
2．BCD
【分析】對于A，分析導函數即得遞減區間，不能用“并”連接；對于B，由推理得，利用函數單調性比較即得；對于C，分析函數的奇偶性，分段討論函數的單調性和圖象趨勢，得圖象簡圖，結合圖象判斷兩函數交點個數即得；對于D，設函數，構造函數并判斷其單調性，利用單調性得出即可.
【詳解】函數的定義域為，，
對于A，由可得或，由可得，
即函數的單調遞減區間為和，故A錯誤；
對于B，由A得，函數在上單調遞增，
因，，
故，即B正確；
對于C，易知為偶函數，當時，，
由A項知，函數的單調減區間為和，增區間為.
又當時，，當時，，
當時，，時，，
當時，，當時，，時，，
故函數的圖象如圖所示.

由圖可得，直線與函數有6個不同交點，等價于，故C正確；
對于D，由圖，不妨設，由可得，
即，不妨取，
設，
則，
則當時，，故，在上單調遞增，
又，又，，即.
因，則，當時，，在上單調遞減，
因，故得，即，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查函數的零點和單調性應用,屬于難題.
解決該題的關鍵，在于對函數的圖象性質的探求，通過奇偶性單調性判斷，作出簡圖，利用函數零點與方程的根、兩函數的圖象交點的關系轉化解決；同時要根據待證不等式特征，設法構造對應的函數，利用該函數的單調性實現相關量的比較即得.
3．2
【分析】依題意可知，利用三角函數值域以及復合函數單調性求得的零點個數即可得出結論.
【詳解】易知.
當時，；當時，；
當時，和均為單調減函數，
令，則，
當時，恒成立，
所以在上是單調增函數，
根據復合函數單調性可知為減函數，又，
易知，由零點存在定理可得函數在上存在一個零點，
同理可得，所以函數在上存在一個零點，
結合的正負情況，的零點為函數的極值點，
因此函數在內一共有2個極值點.
故答案為：2
【點睛】方法點睛：求解函數極值點個數問題時往往利用極值點定義，由導函數單調性和零點存在定理求導函數的變號零點個數即可得出原函數的極值點個數.
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專題13 函數與方程（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 3
【考點1】函數零點所在區間的判斷 3
【考點2】函數零點個數的判定 4
【考點3】函數零點的應用 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 9
考試要求：
1.理解函數的零點與方程的解的聯系.
2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函數的零點
(1)概念：對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.
(2)函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：
2.函數零點存在定理
(1)條件：①函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.
(2)結論：函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2.由函數y＝f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件.
3.周期函數如果有零點，則必有無窮多個零點.
一、單選題
1．（2021·天津·高考真題）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·全國·高考真題）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
4．（2023·全國·高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
5．（2023·天津·高考真題）設,函數,若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ．
6．（2022·天津·高考真題）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 .
【考點1】函數零點所在區間的判斷
一、單選題
1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數，若存在，使得，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．在內有零點 D．若在內有零點，則
2．（2024·四川巴中·一模）若函數在區間內恰有一個零點，則實數a的取值集合為（ ）
A． B．或.
C． D．或.
二、多選題
3．（2022·福建三明·模擬預測）已知函數在區間（1，＋∞）內沒有零點，則實數a的取值可以為（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·廣東廣州·二模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為 B．的圖像在處的切線斜率為
C． D．有兩個零點，且
三、填空題
5．（2023·廣東深圳·一模）定義開區間的長度為．經過估算，函數的零點屬于開區間 （只要求寫出一個符合條件，且長度不超過的開區間）．
6．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）函數在區間上存在零點，則的最小值為 .
反思提升：
確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法：
(1)利用函數零點存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.
(2)數形結合法：若一個函數(或方程)由兩個初等函數的和(或差)構成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數f(x)的零點.
【考點2】函數零點個數的判定
一、單選題
1．（2024·四川內江·三模）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江·模擬預測）已知函數，若關于x的方程的不同實數根的個數為6，則a的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·安徽安慶·三模）已知函數，則（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在上單調遞增
C．函數的最大值為
D．若方程在上有且僅有8個不同的實根，則
4．（2024·河北保定·二模）已知函數，函數，且，定義運算設函數，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小值為
B．若在上單調遞增，則k的取值范圍為
C．若有4個不同的解，則m的取值范圍為
D．若有3個不同的解，，則
三、填空題
5．（2024·湖北·二模）已知函數（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是 ．
6．（2024·山東泰安·三模）已知函數若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是 .
反思提升：
函數零點個數的判定有下列幾種方法
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.
(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點.
(3)畫兩個函數圖象，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.
【考點3】函數零點的應用
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預測）己知函數若函數有5個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數，，若關于的方程有兩個不等實根，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建福州·模擬預測）已知函數恰有三個零點，，，且，則（ ）
A． B．實數的取值范圍為
C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）已知函數，若函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則實數的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·安徽黃山·二模）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是 .
6．（2024·天津·一模）若函數恰有兩個不同的零點，且，則的取值范圍為 ．
反思提升：
(1)已知函數的零點求參數，主要方法有：①直接求方程的根，構建方程(不等式)求參數；②數形結合；③分離參數，轉化為求函數的最值.
(2)已知函數零點的個數求參數范圍，常利用數形結合法將其轉化為兩個函數的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數范圍.
(3)函數零點問題一般可以轉化為兩個函數圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關系解決問題，提升直觀想象核心素養.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·廣東梅州·二模）三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知是函數的一個零點，若，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高一下·湖北·階段練習）某同學用二分法求函數的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
二、多選題
5．（2024·貴州遵義·一模）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點 B．函數是奇函數
C．在上單調遞減 D．函數的最小值為
6．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）下列選項中說法正確的是（ ）
A．若冪函數過點，則
B．用二分法求方程在內的近似解的過程中得到，，，則方程的根落在區間上
C．某校一次高三年級數學檢測，經抽樣分析，成績近似服從正態分布，且，若該校學生參加此次檢測，估計該校此次檢測成績不低于分的學生人數為
D．位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種
7．（2022·廣東·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數的最小正周期為，則其圖象關于直線對稱
B．若函數的最小正周期為，則其圖象關于點對稱
C．若函數在區間上單調遞增，則的最大值為2
D．若函數在有且僅有5個零點，則的取值范圍是
三、填空題
8．（2021·福建三明·三模）函數零點的一個近似值為 .（誤差不超過0.25）
備注：自然對數的底數.
9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數在內恰有3個零點，則的取值范圍是 ．
10．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數在區間上不單調，則m的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（2024·廣東·一模）已知，函數.
(1)求的單調區間.
(2)討論方程的根的個數.
12．（21-22高一上·湖北武漢·期中）已知函數（為常數），若1為函數的零點.
(1)求的值；
(2)證明函數在上是單調增函數；
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·二模）若為上的偶函數，且，當時，，則函數在區間上的所有零點的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、多選題
2．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數的零點為，下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·云南昆明·三模）過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序實數對
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）設n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.
(1)若切比雪夫多項式，求實數a，b，c，d的值；
(2)對于正整數時，是否有成立？
(3)已知函數在區間上有3個不同的零點，分別記為，證明：.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數的單調遞減區間為
B．
C．若方程有6個不等實數根，則
D．對任意正實數，且，若，則
三、填空題
3．（2024·湖南·二模）函數在范圍內極值點的個數為 .
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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