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4.4 數(shù)學(xué)歸納法（精講）
考點(diǎn)一 等式的證明
【例1】（2022·廣西河池）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)）．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
2．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知n∈N*，求證1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
3．（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
考點(diǎn)二 不等式的證明
【例2】（2022·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）證明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
2．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）證明：不等式，恒成立.
3．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
考點(diǎn)三 數(shù)列的證明
【例3】（2022·江西贛州）已知數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和．
(1)求，，的值并猜想的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．
【一隅三反】
1．（2022·廣西·桂林市第十九中學(xué)高二期中（理））設(shè)數(shù)列滿足．
(1)求的值并猜測(cè)通項(xiàng)公式；
(2)證明上述猜想的通項(xiàng)公式．
2．（2022·廣西·桂林市國龍外國語學(xué)校高二階段練習(xí)（理））請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中，任意選擇一個(gè)填入題中橫線上，并解答題后的兩個(gè)問題：
①
②
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，_______.
(1)求；
(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
3．（2022·天津市）已知數(shù)列滿足.
(1)寫出，并推測(cè)的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．
考點(diǎn)四 整除問題
【例4-1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）證明：當(dāng)時(shí)，能被64整除．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求證：能被整除．
2．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)能被9整除．
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）試用數(shù)學(xué)歸納法證明.
考點(diǎn)五 增項(xiàng)
【例5-1】（2022·浙江·嘉興一中高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2022·江西撫州·高二期中（理））利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（ ）
A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肅慶陽·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陜西西安·高二期中（理））利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時(shí)，左邊增加了（ ）
A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．k項(xiàng) D．1項(xiàng)
4．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A． B．
C． D．
4.4 數(shù)學(xué)歸納法（精講）
考點(diǎn)一 等式的證明
【例1】（2022·廣西河池）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)）．
答案：證明見解析
【解析】證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，
即，
那么當(dāng)時(shí)，
．
故當(dāng)時(shí)，等式也成立．
綜上可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
答案：證明見解析
【解析】證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.
由（1）（2）知，等式對(duì)任何n∈N*都成立.
2．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知n∈N*，求證1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
答案：證明見解析
【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右邊．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)成立．
由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*結(jié)論成立．
3．（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
答案：證明見解析
【解析】證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．
②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，
即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)．
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．
由①②知，對(duì)一切n∈N*，等式成立．
考點(diǎn)二 不等式的證明
【例2】（2022·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).
答案：證明見解析
【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊右邊，
即當(dāng)n＝1時(shí)，原不等式成立，
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
綜合(1)和(2)得，原不等式對(duì)所有的n∈N*都成立.
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）證明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
答案：證明見解析
【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．
假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．
綜上，原不等式對(duì)任意n∈N*都成立．
2．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）證明：不等式，恒成立.
答案：證明見解析.
【解析】當(dāng)時(shí)，成立
假設(shè)時(shí)，不等式成立
那么時(shí)
，，，
即時(shí)，該不等式也成立
綜上：不等式，恒成立.
3．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
答案：證明見解析
【解析】先證明出，，即，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
則，即，
即，
對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.
則當(dāng)時(shí)，則.
這說明，當(dāng)時(shí)，原不等式也成立.
綜上所述，對(duì)任意的，.
考點(diǎn)三 數(shù)列的證明
【例3】（2022·江西贛州）已知數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和．
(1)求，，的值并猜想的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．
答案：(1)，，，；(2)證明見解析.
【解析】(1)∵，前n項(xiàng)和，
∴令，得，
∴，
令，得，
∴．
令，得，
∴．
猜想．
(2)
用數(shù)學(xué)歸納法給出證明如下
①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)，結(jié)論成立，
即，
則當(dāng)時(shí)，，
，
即，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．由①②可知，
對(duì)一切都有成立．
【一隅三反】
1．（2022·廣西·桂林市第十九中學(xué)高二期中（理））設(shè)數(shù)列滿足．
(1)求的值并猜測(cè)通項(xiàng)公式；
(2)證明上述猜想的通項(xiàng)公式．
答案：(1)， ，猜測(cè)
(2)見解析
【解析】(1)解：由題意得，時(shí)，，得，
時(shí)，，得，
故，
猜測(cè)；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，，即猜測(cè)成立；
假設(shè)時(shí)，猜測(cè)成立，即，
則時(shí)，由，
得，
所以時(shí)也成立，
綜上可得，成立．
2．（2022·廣西·桂林市國龍外國語學(xué)校高二階段練習(xí)（理））請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中，任意選擇一個(gè)填入題中橫線上，并解答題后的兩個(gè)問題：
①
②
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，_______.
(1)求；
(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
答案：(1)
(2)猜想，證明見解析
【解析】(1)解：選擇條件①，
當(dāng) 時(shí)，，即，
當(dāng) 時(shí)，，所以，即，
當(dāng) 時(shí)，，即，
故分別為3，5，7.
選擇條件②，
當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，.
當(dāng) 時(shí)，
故分別為3，5，7.
(2)解：猜想，理由如下：
選擇條件①
時(shí)，由題知，，猜想成立，
假設(shè)時(shí)，，
則，所以
兩式相減得：
即
所以，時(shí)成立，
綜上所述，任意，有．
選擇條件②
時(shí)，由題知，，猜想成立，
假設(shè)時(shí)，
則
所以，時(shí)成立，
綜上所述，任意，有．
3．（2022·天津市）已知數(shù)列滿足.
(1)寫出，并推測(cè)的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．
答案：(1);
(2)證明見解析.
【解析】(1)時(shí)，，則，
時(shí)，，則，
時(shí)，，則，
猜想.
(2)由（1）得：時(shí)，成立．
假設(shè)時(shí)，成立，
那么當(dāng)時(shí)，，而，
所以，即，
故時(shí)，也成立．
綜上，對(duì)一切n∈N*，都成立，得證．
考點(diǎn)四 整除問題
【例4-1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）證明：當(dāng)時(shí)，能被64整除．
答案：證明見解析.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，能被64整除．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被64整除，
則當(dāng)時(shí)，．
故也能被64整除．
綜合（1）（2）可知當(dāng)時(shí)，能被64整除．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求證：能被整除．
答案：證明見解析.
【解析】當(dāng)n=1時(shí)，能被整除，
假設(shè)當(dāng), 時(shí)能被整除，
則當(dāng)時(shí)，，
其中能被整除，所以能被整除，
所以能被整除，
即當(dāng)時(shí)，能被整除，
所以能被整除.
2．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)能被9整除．
答案：見解析
【解析】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，能被9整除，
故當(dāng)時(shí)， 能被9整除．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能被9整除，
則當(dāng)時(shí)，也能被9整除.
綜合(1)(2)可得, 對(duì)任意正整數(shù)能被9整除．
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）試用數(shù)學(xué)歸納法證明.
答案：證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，左邊＝，右邊＝，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即，
當(dāng)時(shí)，
∵
∴．即，
所以，當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立，故原不等式成立．
考點(diǎn)五 增項(xiàng)
【例5-1】（2022·浙江·嘉興一中高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】當(dāng)時(shí)，不等式左邊等于，
當(dāng)時(shí)，不等式左邊等于
當(dāng)時(shí)，不等式的左邊比時(shí)增加.
故選：D
【例5-2】（2022·江西撫州·高二期中（理））利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（ ）
A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)
答案：D
【解析】由題意知當(dāng)時(shí)，左邊為，當(dāng)時(shí)，左邊為，增加的部分為，共項(xiàng)．故選：D
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，
由于，左邊,
時(shí)，左邊，
比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是，
故選：．
2．（2022·甘肅慶陽·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】當(dāng)時(shí)，左端，
那么當(dāng)時(shí) 左端，
故由到時(shí)不等式左端的變化是增加了，兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)，
即，
故選：．
3．（2022·陜西西安·高二期中（理））利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時(shí)，左邊增加了（ ）
A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．k項(xiàng) D．1項(xiàng)
答案：A
【解析】由題意，時(shí)，不等式左邊，
最后一項(xiàng)為，
時(shí)，不等式左邊，
最后一項(xiàng)為，
由變到時(shí)，左邊增加了項(xiàng),
故選：A．
4．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】當(dāng)時(shí),左邊等于;
當(dāng)時(shí),左邊等于
，
即左邊等于；
所以左邊增乘的項(xiàng)為，
故選：B.

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