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4.3 等比數(shù)列（精講）
考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的計(jì)算
【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
【一隅三反】
1．（2022·河南模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比q＝（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
2．（2022·河南模擬）在等比數(shù)列中，，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
考點(diǎn)二 等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)及應(yīng)用
【例2-1】（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知2，，成等比數(shù)列，則a的值為（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．無法確定
【例2-2】（2022·廣東·羅定邦中學(xué)高二期中）若數(shù)列是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．5
【例2-3】（2022·河南）正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為（ ）
A．4 B．－4 C． D．
2．（2022·河南 ）公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3（2022·黑龍江）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.則（ ）
A．3 B．505 C．1010 D．2020
4（2022·石嘴山）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
5.（2022·黑龍江）在等比數(shù)列中，是方程的根，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程兩根的等比中項(xiàng)是______．
考點(diǎn)三 等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)
【例3-1】（2022高二下·玉溪期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【例3-2】（2022·鄭州模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（　?。?br/>A． B． C．1 D．-1
【例3-3】（2022·全國·高二）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【一隅三反】
1.（2022黃岡月考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（　　）
A．32 B．28 C．48 D．60
2．（2022高三上·安陽開學(xué)考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·廣東）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
4．（2022·廣東）已知等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的證明或判斷
【例4-1】（2022·廣東）在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，，求的通項(xiàng)公式.
【例4-2】（2022·寧夏·靈武市第一中學(xué)高一期末）在數(shù)列中，，，．
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知數(shù)列中，且．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）已知數(shù)列滿足，，.
(1)請寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
3．（2022·重慶）在數(shù)列中，表示其前項(xiàng)和，滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
考點(diǎn)五 等比數(shù)列的單調(diào)性
【例5-1】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列，下列選項(xiàng)能判斷為遞增數(shù)列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例5-2】（2022云南）（多選）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知等比數(shù)列的公比為q．若為遞增數(shù)列且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
3．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．
考點(diǎn)六 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例6】（2022高二下·焦作期末）童謠是一種民間文學(xué)，因?yàn)槌Ｈ〔挠诂F(xiàn)實(shí)生活，語言幽默風(fēng)趣、朗朗上口而使少年兒童易于接受，從而成為了重要的傳統(tǒng)教育方式.有一首童謠中唱到：“玲瓏塔上琉璃燈，沙彌點(diǎn)燈向上行.首層掌燈共三盞，明燈層層更倍增（意為：每上一層，燈的數(shù)量增加一倍).小僧掌燈到塔頂，心中默數(shù)燈幾重.玲瓏塔上燈火數(shù)，三百八十一盞明.燈映湖心點(diǎn)點(diǎn)紅，但問塔頂幾盞燈 ”童謠中的玲瓏塔的頂層燈的盞數(shù)為（　?。?br/>A．96 B．144 C．192 D．231
【一隅三反】
1．（2022·浙江）我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為　 　里．
2．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列 B．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列
C． D．
3．（2022·云南）我國古代數(shù)學(xué)家典籍《九章算術(shù)》地第七章“盈不足”中有一“兩鼠穿墻”問題：有墻厚5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，則兩鼠在第______天相遇．
4.3 等比數(shù)列（精講）
考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的計(jì)算
【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
答案：(1)，(2)或(3)(4)
【解析】(1)由題知，解得，所以
(2)若，則，故
由題知，解得或
(3)由題知，解得
(4)易知，所以由題知，解得
【一隅三反】
1．（2022·河南模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比q＝（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
答案：D
【解析】由，則，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案為：D．
2．（2022·河南模擬）在等比數(shù)列中，，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為， 由，
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，于是有，
即或舍去。故答案為：B
3．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
答案：（1），；（2），；（3）或.
【解析】（1）等比數(shù)列中，，，，解得，．
（2）等比數(shù)列中，，，，解得，
，．
（3）當(dāng)時(shí)，，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，，即
∴， (舍去)，∴，所以；綜上所述：或
考點(diǎn)二 等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)及應(yīng)用
【例2-1】（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知2，，成等比數(shù)列，則a的值為（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．無法確定
答案：A
【解析】依題意，，故，解得a＝2．故選：A
【例2-2】（2022·廣東·羅定邦中學(xué)高二期中）若數(shù)列是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．5
答案：C
【解析】由已知得，∴，故選:C
【例2-3】（2022·河南）正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
答案：C
【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，即，
又由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，故．故選：C．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為（ ）
A．4 B．－4 C． D．
答案：C
【解析】由題意得，，∴與的等比中項(xiàng)為．故選：C.
2．（2022·河南 ）公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：D
【解析】等差數(shù)列中,,故原式等價(jià)于解得或
各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,故得到，數(shù)列是等比數(shù)列，故=16.故選：D.
3（2022·黑龍江）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.則（ ）
A．3 B．505 C．1010 D．2020
答案：C
【解析】由，
所以.故選：C
4（2022·石嘴山）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
答案：D
【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列中，因?yàn)?，所以，即，，故?故選：D.
5.（2022·黑龍江）在等比數(shù)列中，是方程的根，則（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】根據(jù)題意：，，故，，
故，則.故選：A.
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程兩根的等比中項(xiàng)是______．
答案：
【解析】由題，，存在不等兩根.由韋達(dá)定理，兩根，故兩根的等比中項(xiàng)為.
故答案為：
考點(diǎn)三 等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)
【例3-1】（2022高二下·玉溪期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（　?。?br/>A． B． C． D．
答案：A
【解析】由題可知，公比不為1，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則
，
解得：，所以，所以。故答案為：A.
【例3-2】（2022·鄭州模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（　?。?br/>A． B． C．1 D．-1
答案：B
【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且，
所以，，，
所以，即，解得。故答案為：B
【例3-3】（2022·全國·高二）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
答案：D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為
則，
又，則，解得，
故數(shù)列的所有項(xiàng)之和是.故選：D
【一隅三反】
1.（2022黃岡月考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（　　）
A．32 B．28 C．48 D．60
答案：D
【解析】由可知公比，所以，
因此，故答案為：D
2．（2022高三上·安陽開學(xué)考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（　?。?br/>A． B． C． D．
答案：B
【解析】因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，
所以，，，
又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比，
所以，所以，，所以，
故，故答案為：B.
3．（2022·廣東）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
答案：D
【解析】設(shè)，則，
又因?yàn)?，所以，所?故選: D
4．（2022·廣東）已知等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，因?yàn)?，所以，則，即，解得，故選：B.
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的證明或判斷
【例4-1】（2022·廣東）在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，，求的通項(xiàng)公式.
答案：(1)證明見解析(2)
【解析】（1）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，得，即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
（2）因?yàn)椋?，所以，由?）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，又因?yàn)?，所以，?
【例4-2】（2022·寧夏·靈武市第一中學(xué)高一期末）在數(shù)列中，，，．
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
答案：(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由得：，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）得：，，
，，
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知數(shù)列中，且．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
答案：(1)證明見解析(2)
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br/>又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，，所以，，
．
2．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）已知數(shù)列滿足，，.
(1)請寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案：(1)，，，，；
(2)證明見解析；
(3).
【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列滿足，，.
所以，
，
，
，
所以數(shù)列的前5項(xiàng)為：，，，，；
(2)，，
因此，數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)解：由于，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
，因此，.
3．（2022·重慶）在數(shù)列中，表示其前項(xiàng)和，滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
答案：證明見解析；；
【解析】，，，
整理可得：，，
又當(dāng)時(shí)，，解得：，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
考點(diǎn)五 等比數(shù)列的單調(diào)性
【例5-1】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列，下列選項(xiàng)能判斷為遞增數(shù)列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
答案：D
【解析】對于A，，，則單調(diào)遞減，故A不符題意；
對于B，，，則會(huì)隨著n取奇數(shù)或偶數(shù)發(fā)生符號改變，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，故B不符題意；
對于C，，，則為常數(shù)數(shù)列，不具有單調(diào)性，故C不符題意；
對于D，，，∵，y=在R上單調(diào)遞減，故為遞增數(shù)列，故D符合題意．故選：D﹒
【例5-2】（2022云南）（多選）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
答案：BD
【解析】由題意知，
：由得，由得，
所以，又，所以，故錯(cuò)誤；
：由得，故正確；
：因?yàn)槭歉黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，
有
所以，
所以，故錯(cuò)誤；
：，
則與均為的最大值，故正確.
故選：
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知等比數(shù)列的公比為q．若為遞增數(shù)列且，則（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由題意，，又，
∴要使為遞增數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，符合題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，符合題設(shè)；
故選：C.
2．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
答案：D
【解析】若，，則，，充分性不成立；
反過來，若，，則時(shí)，必要性不成立；
因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.
故選：D．
3．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．
答案：ABC
【解析】等比數(shù)列的公比為，若，則．
由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，
若，則，，則，故A正確；
所以，故B正確；
根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故C正確；
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
考點(diǎn)六 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例6】（2022高二下·焦作期末）童謠是一種民間文學(xué)，因?yàn)槌Ｈ〔挠诂F(xiàn)實(shí)生活，語言幽默風(fēng)趣、朗朗上口而使少年兒童易于接受，從而成為了重要的傳統(tǒng)教育方式.有一首童謠中唱到：“玲瓏塔上琉璃燈，沙彌點(diǎn)燈向上行.首層掌燈共三盞，明燈層層更倍增（意為：每上一層，燈的數(shù)量增加一倍).小僧掌燈到塔頂，心中默數(shù)燈幾重.玲瓏塔上燈火數(shù)，三百八十一盞明.燈映湖心點(diǎn)點(diǎn)紅，但問塔頂幾盞燈 ”童謠中的玲瓏塔的頂層燈的盞數(shù)為（　　）
A．96 B．144 C．192 D．231
答案：C
【解析】由題意可得玲瓏塔的燈盞數(shù)從首層到頂層為等比數(shù)列，
設(shè)其首層為，公比，頂層為，前項(xiàng)和為
由已知可得，，，
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，
所以．故玲瓏塔的頂層燈的盞數(shù)為192，
故答案為：C.
【一隅三反】
1．（2022·浙江）我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為　 　里．
答案：192
【解析】由題意得，該人每天所走的路程成等比數(shù)列，公比為，
設(shè)第一天走了里，則，解得，
即則該人第一天走的路程為192里.故答案為：192.
2．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列 B．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列
C． D．
答案：BD
【解析】依題意，所以依次成公比為的等比數(shù)列，
，即.所以BD選項(xiàng)正確.故選：BD
3．（2022·云南）我國古代數(shù)學(xué)家典籍《九章算術(shù)》地第七章“盈不足”中有一“兩鼠穿墻”問題：有墻厚5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，則兩鼠在第______天相遇．
答案：3
【解析】第一天：大老鼠與小老鼠的打洞尺數(shù)：；
第二天：大老鼠與小老鼠的打洞尺數(shù)：，兩天總和：，
第三天：大老鼠與小老鼠應(yīng)該能打洞尺數(shù)：，
所以兩鼠在第3天相遇
故答案為：3

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