資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題14 函數模型及其應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程 5
【考點2】已知函數模型解決實際問題 11
【考點3】構造函數模型解決實際問題 15
【分層檢測】 20
【基礎篇】 20
【能力篇】 29
【培優篇】 33
考試要求：
1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異，理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義.
2.通過收集、閱讀一些現實生活、生產實際等數學模型，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.
1.指數、對數、冪函數模型性質比較
　　函數 性質　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象 的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值 變化而 各有不同
值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有logax2.幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.
3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性.
一、單選題
1．（2020·山東·高考真題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．（2020·全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
參考答案：
1．B
【分析】根據題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，根據，解得即可得結果.
【詳解】因為，，，所以，所以，
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.
2．B
【分析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.
3．ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程
一、單選題
1．（2021·吉林長春·一模）中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感. 為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔測量一次茶水的溫度，根據所得數據做出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數關系．則下列說法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%
D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%
4．（2021·福建廈門·一模）某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
三、填空題
5．（2023·北京·模擬預測）農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第 號區域的總產量最大．
6．（2022·北京豐臺·二模）如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：）與時間t（單位：月）滿足關系式：（a為常數），記（）．給出下列四個結論：
①設，則數列是等比數列；
②存在唯一的實數，使得成立，其中是的導函數；
③常數；
④記浮萍蔓延到，，所經過的時間分別為，，，則．
其中所有正確結論的序號是 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據函數圖象的變化可直接判斷.
【詳解】由函數圖象可知符合條件的只有指數函數模型.
故選：C.
【點睛】本題考查函數模型的判斷，屬于基礎題.
2．A
【分析】由函數的數據即可得出答案.
【詳解】由函數的數據可知，函數，
偶函數滿足此性質，可排除B，D；
當時，由函數的數據可知，函數增長越來越快，可排除C.
故選：A.
3．AB
【分析】根據艾賓浩斯遺忘曲線對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由函數解析式和圖象可知隨著的增加而減少，故A正確．
由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確．
當時，，
則，
即天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯誤．
，故D錯誤．
故選：AB
4．AD
【分析】利用圖象分別求出兩段函數解析式，再進行逐個分析，即可解決．
【詳解】由函數圖象可知，
當時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
5．5
【分析】分別求出種植密度函數和單株產量函數的解析式，再求總產量的函數解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可.
【詳解】設區域代號為，種植密度為，單株產量為，則，
由圖象可得種植密度是區域代號的一次函數，
故設，，
由已知函數的圖象經過點,，
所以，解得，
所以，
由圖象可得單株產量是區域代號的一次函數，
故可設，，
觀察圖象可得當時，，當時，，
所以，解得，
所以，
所以總產量
當時，函數有最大值，即號區域總產量最大，最大值為.
故答案為：5.
6．①②④
【分析】根據、求出的取值范圍，即可判斷③，再根據等比數列的定義判斷①，構造函數利用導數說明函數的單調性，再結合零點存在性定理判斷②，根據指數對數的關系及對數函數的性質判斷④；
【詳解】解：依題意，因為，所以且，
又，所以，所以，即，
因為，所以，，故③錯誤；
由已知可得，則，，
所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，故①正確；
令，則，，，
令，則，，
因為，所以，即，在上單調遞增，
因為，所以，，，
令，，則，所以，在上單調遞減，
且，即，
令，，則，所以在上單調遞增，
又，所以，
所以，
，
故存在上，，故②正確；
依題意、、，所以，
所以，則，即，
所以，
因為，所以，所以，所以，
所以，即，故④正確；
故答案為：①②④
反思提升：
判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.
(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.
【考點2】已知函數模型解決實際問題
一、單選題
1．（2023·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件價格 37元 32元 30元 27元 25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
2．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考數據：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
二、多選題
3．（2024·重慶·二模）英國經濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經濟發展之間的關系，強調政府對市場經濟的干預，并形成了現代西方經濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核心要素：國民收入，國民消費和國民投資，假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：.其中常數表示房租 水電等固定消費，為國民“邊際消費傾向”.則（ ）
A．若固定且，則國民收入越高，“邊際消費傾向”越大
B．若固定且，則“邊際消費傾向”越大，國民投資越高
C．若，則收入增長量是投資增長量的5倍
D．若，則收入增長量是投資增長量的
4．（2024·重慶·模擬預測）放射性物質在衰變中產生輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數量隨時間的衰變公式，表示物質的初始數量，是一個具有時間量綱的數，研究放射性物質常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質數量從初始數量到衰變成一半所需的時間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（ ）
物質 τ的量綱單位 τ的值
鈾234 萬年 35.58
鈾235 億年 10.2
鈾238 億年 64.75
A． B．與成正比例關系
C． D．
三、填空題
5．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為 s．（注意：位移與時間的函數關系為，重力加速度取）
6．（2023·北京海淀·三模）假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下圖所示：
橫軸為投資時間（單位：天），縱軸為回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法正確的是 ；
①投資3天以內（含3天），采用方案一；
②投資4天，不采用方案三；
③投資6天，采用方案二；
④投資10天，采用方案二.
參考答案：
1．C
【分析】根據題意，設購買的件數為，花費為元，根據表中的數據列出滿足的函數關系式，當時，求出的最大值即可.
【詳解】設購買的件數為，花費為元，
則，當時，，
當時，，所以最多可購買這種產品件，
故選：C.
2．C
【分析】根據題意，分別求得，結合對數的運算法則，即可求解.
【詳解】由題意，以開頭的數出現的概率為，
可得，
所以.
故選：C.
3．AC
【分析】利用已知可得，可判斷A；由，可判斷B；若，可得，由導數的意義可判斷C；同理可判斷D.
【詳解】由題意可得固定且，又，所以，
所以，由于為定值，所以可得增大時(國民收入越高)，
增大(“邊際消費傾向”越大)，故A正確；
由上可得，為定值，故增大，減小(投資越小)，故B錯誤；
若，由，可得，
由導數的定義可得，所以可得收入增長量是投資增長量的倍，故C正確；
同C項討論可得若，可得，因此收入增長量是投資增長量的倍，故D錯誤.
故選：AC.
4．BD
【分析】A選項，根據半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項，由A選項得到結論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出，作商得到D正確.
【詳解】A選項，由題意得，
又，故，兩邊取對數得，，
，A錯誤；
B選項，由A可知，與成正比例關系，B正確；
C選項，由B可知，與成正比例關系，由于鈾234的值小于鈾235的值，
故，C錯誤；
D選項，，
，
故，D正確.
故選：BD
5．
【分析】由題意中的函數關系建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由已知得，木棒做自由落體運動，
設從開始下落到木棒的下端開始進入電子眼的視線和木棒的上端開始離開電子眼的視線所需要的時間分別為，
位移分別為，
所以，則，
所以電子眼A記錄到木棒通過的時間為．
故答案為：
6．①②③
【分析】觀察給定的圖象，逐一分析各個命題即可判斷作答.
【詳解】觀察圖象，從每天回報看，
在第一天到第三天，方案一最多，①正確；
在第四天，方案一、方案二一樣多，方案三最少，②正確；
在第五到第八天，方案二最多，③正確；
從第九天開始，方案三比其他兩個方案所得回報都多，④不正確.
故答案為：①②③.
反思提升：
1.求解已知函數模型解決實際問題的關注點.
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.
2.利用函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.
【考點3】構造函數模型解決實際問題
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品．要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西商洛·模擬預測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其工作原理中有多次的棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質，假設每一層棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，若過濾前水中大顆粒雜質含量為80mg/L，現要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過2mg/L，則棉濾芯的層數最少為（參考數據：，）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）一個半球體狀的雪堆，假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，其體積變化的速率與半球面面積成正比，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時，融化了其體積的，則該雪堆全部融化需要（ ）小時
A． B．4 C．5 D．6
二、填空題
4．（2023·上海崇明·二模）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈亮時，在一條直行道路上能有多少汽車通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習慣不同也會使車距、車速不同，行人和非機動車的干擾因素則復雜且不確定．面對這些不同和不確定，需要作出假設．例如小明發現雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數是小轎車，因此小明給出如下假設：通過路口的車輛長度都相等，請寫出一個你認為合理的假設 ．
5．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關系的預報，我們想選用一個函數來近似描述這一天港口的水深與時間之間的關系，該函數的表達式為 ．已知一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），則該船可以在此港口停留卸貨的時間最長為 小時（保留整數）．
時刻 水深m 時刻 水深m 時刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
6．（20-21高三下·陜西西安·階段練習）現在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒數，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當紅豆取完時，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當白豆取完時，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有 粒.
參考答案：
1．D
【分析】由已知作圖如圖所示，設，利用三角函數表示各邊長，借助三角函數性質計算可得結果.
【詳解】如圖所示，，
令，則，則，
，則
周長
，
故選：D．
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用三角函數的定義表示出所求周長，再利用三角恒等變換即可得解.
2．A
【分析】首先由條件抽象出經過層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質含量的函數，再結合指對運算，解不等式.
【詳解】設經過層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質含量為，則，
令，解得，兩邊取常用對數得，即
即，因為，，
所以，解得，因為，所以的最小值為9．
故選：A
3．D
【分析】設雪堆在時刻的體積為，側面積，依題意令，即可求出，令（為常數），求出，再根據求出，即可得解．
【詳解】設雪堆在時刻的體積為，側面積．
令，即于是，
令（為常數），由，得，故．
又，即，得，從而，
因雪堆全部融化時，，故，即雪堆全部融化需小時．
故選：D．
4．①等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（或②綠燈亮后，汽車都是在靜止狀態下勻加速啟動；或③前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；或④車輛行駛秩序良好，不會發生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要寫出一個即可）
【分析】利用數學建模，根據題意這次建模就只考慮小轎車的情況，根據小轎車的長度差距不大，對相關因素進行分析，從而可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設即可.
【詳解】根據題意可知和相關因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設，例如①等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；
②綠燈亮后，汽車都是在靜止狀態下勻加速啟動；
③前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；
④車輛行駛秩序良好，不會發生堵塞，等等；
故答案為：等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（不唯一）.
5． 4
【分析】第一空根據表中數據的周期性規律判斷為正弦型函數，先由周期計算出，再由最值計算出A和b，最后由最大值處的數據計算出，即可得到函數的表達式；第二空先判斷出水深的最小值，再由前面求得的函數列不等式，求出解集的寬度即為安全停留時長.
【詳解】觀察表中數據可知，水深與時間近似為正弦型函數.
設該函數表達式為，
由表中數據可知，一個周期為12小時24分，即744分鐘，
所以，
，，
則該函數的表達式為：.
由題可知，水深為米以上時安全，
令，
解得，
即安全時間為分鐘，約4小時.
故答案為：；4.
6．
【分析】設紅豆有粒，白豆有粒，由兩輪的結果可構造方程組，根據的范圍可計算求得，加和即可得到結果.
【詳解】設紅豆有粒，白豆有粒，
由第一輪結果可知：，整理可得：；
由第二輪結果可知：，整理可得：；
當時，由得：（舍）；
當時，由得：（舍）；
當時，由得：，，
即紅豆和白豆共有粒.
故答案為：.
反思提升：
(1)在應用函數解決實際問題時需注意以下四個步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇函數模型.
②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.
③解模：求解函數模型，得出數學結論.
④還原：將數學結論還原為實際意義的問題.
(2)通過對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識和方法構建函數模型解決問題，提升數學建模核心素養.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2022·廣東·一模）已知函數，，則圖象如圖的函數可能是( )
A． B． C． D．
2．（2022·甘肅酒泉·模擬預測）如圖，在矩形中，，，是的中點，點沿著邊、與運動，記，將的面積表示為關于的函數，則（ ）

A．當時，
B．當時，
C．當時，
D．當時，
3．（2024·江西·模擬預測）酒駕最新標準規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，達到及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據：）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式 ，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度， 是空氣阻力系數（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（ ）
A．若不變，則比原來提高不超過
B．若不變，則比原來提高超過
C．為使不變，則比原來降低不超過
D．為使不變，則比原來降低超過
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
6．（2024·河南鄭州·一模）溶液酸堿度是通過來計量的．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．例如純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，則純凈水的是7．當時，溶液呈酸性，當時，溶液呈堿性，當（例如：純凈水）時，溶液呈中性．我國規定飲用水的值在之間，則下列選項正確的是（ ）（參考數據：取）
A．若蘇打水的是8，則蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升
B．若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是
C．若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的是
D．若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則該種水適合飲用
7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設，當時，對這三個函數的增長速度進行比較，下列結論中，錯誤的是 （ ）
A．的增長速度最快， 的增長速度最慢
B．的增長速度最快， 的增長速度最慢
C．的增長速度最快， 的增長速度最慢
D．的增長速度最快， 的增長速度最慢
三、填空題
8．（2022·河北·模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識 鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會 回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產的一種衣服日產量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產量為 件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為 萬元.
9．（22-23高一上·江蘇常州·期末）某工廠生產一種溶液，按市場要求該溶液的雜質含量不得超過0.1％，這種溶液最初的雜質含量為3％，現進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少，則至少經過 次過濾才能達到市場要求．（參考數據：，）
10．（2023·四川宜賓·模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是 年前．
四、解答題
11．（2023·江西鷹潭·二模）某公司為了對某種商品進行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關系，對近6個月的月銷售量和月銷售單價數據進行了統計分析，得到一組檢測數據如表所示：
月銷售單價（單位：元/件） 4 5 6 7 8 9
月銷售量（萬件） 89 83 82 79 74 67
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關系，現有甲、乙、丙三位實習員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實習員工的計算結果是正確的.請結合統計學的相關知識，判斷哪位實習員工的計算結果是正確的，并說明理由；
(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計算正確的結果回答問題：當月銷售單價為何值時，啇品的月銷值額預報值最大，并求出其最大值.
12．（2021·全國·模擬預測）2021年2月1日教育部辦公廳關于加強中小學生手機管理工作的通知中明確“中小學生原則上不得將個人手機帶入校園”，為此某學校開展了一項“你能否有效管控手機”調查，并從調查表中隨機抽取200名學生(其中男 女生各占一半)的樣本數據，其2×2列聯表如下：
性別 能管控 不能管控 總計
男 30
女
總計 90 200
（1）完成上述2×2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為能否管控手機與性別有關？
（2）若學生確因需要帶手機進入校園需向學校有關部門報告，該校為做好這部分學生的手機管理工作，學校團委從能管控的學生中按樣本中的比例抽取了6名學生組成一個團隊.
①從該團隊中選取2名同學作個人經驗介紹，求選取的2人中恰有一名女生的概率.
②某老師根據以往學生自從玩手機導致成績下降的數據構建了一個函數模型：，其中k為沒有玩手機時的原始成績分數，I(t)是開始玩手機t天后的成績，試根據該模型，求某學生自從玩手機后經過多少天成績大約下滑到原來成績的一半？
參考公式及數據：K2=，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
參考答案：
1．D
【分析】結合函數圖像的奇偶性和單調性即可判斷.
【詳解】由圖可知，該函數為奇函數，和為非奇非偶函數，故A、B不符；
當x＞0時，單調遞增，與圖像不符，故C不符；
為奇函數，當x→＋時，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調遞減，故圖像應該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.
故選：D.
2．C
【分析】分、、三種情況討論，求出的邊上的高，結合三角形的面積公式可得出的表達式.
【詳解】，則，易得，，
所以，，則.

當時，點在線段上（不包括點），則，
此時，；

當時，點在線段上（不包括點），此時；

當時，點在線段上（不包括點），

此時，則，則.
故選：C.
3．B
【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數求出答案.
【詳解】由．即，兩邊取對數可得，
，
故至少經過7個小時才能駕駛.
故選：B
4．C
【分析】由題意可得，，結合選項，依次判斷即可.
【詳解】由題意，，所以，，
A：當，不變，比原來提高時，
則，
所以比原來提高超過，故A錯誤；
B：由選項A的分析知，，
所以比原來提高不超過，故B錯誤；
C：當，不變，比原來提高時，，
所以比原來降低不超過，故C正確；
D：由選項C的分析知，比原來降低不超過，故D錯誤.
故選：C
5．ACD
【分析】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數解析式，將代入，即可判斷C；結合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷D.
【詳解】設，代入，得,
解得，A正確，B錯誤．
此時，所以，C正確．
當時，即，得，所以，
所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確．
故選:ACD．
6．ABC
【分析】利用的計算公式可得A正確，將溶液中氫離子的濃度代入計算式利用參考數據可分別求得選項BCD的值，可得結論.
【詳解】對于A，若蘇打水的是8，即，所以，
即蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升，所以A正確；
對于B，若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則，即B正確；
對于C，若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的氫離子濃度是，
因此，即海水的是，所以C正確；
對于D，若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則；
而不在范圍內，即可得該種水不適合飲用，即D錯誤；
故選：ABC
7．ACD
【分析】
做出三個函數的圖象，結合圖象，即可求解
【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示，
結合圖象，可得三個函數中，
當時，函數增長速度最快，增長速度最慢.
所以選項B正確；選項ACD不正確.
故選：ACD.

8． 200 7.94
【分析】將利潤表示為關于的一個二次函數，求出該函數的最值即可.
【詳解】由題意易得日利潤，
故當日產量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，
故答案為：200，7.94.
9．9
【分析】根據題意列不等式，運算求解即可.
【詳解】由題意可得：經過次過濾后該溶液的雜質含量為，
則，解得，
∵，則的最小值為9，
故至少經過9次過濾才能達到市場要求.
故答案為：9.
【點睛】方法點睛：函數有關應用題的常見類型及解決問題的一般程序：
（1）常見類型：與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題；
（2）應用函數模型解決實際問題的一般程序：讀題（文字語言） 建模（數學語言） 求解（數學應用） 反饋（檢驗作答）；
（3）解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數解析式，然后應用函數、方程、不等式的有關知識加以綜合解答．
10．
【分析】根據題意，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【詳解】由題意，生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式 ，
因為測定發現某古生物遺體中碳14含量為，
令，可得，所以，解得年.
故答案為：年.
11．(1)甲，理由見解析
(2)時，商品的月銷售額預報值最大，最大值為萬元
【分析】（1）首先由數據可得，負相關，排除乙，再計算樣本中心點，代入方程檢驗即可；
（2）由題意知，根據二次函數的性質計算可得.
【詳解】（1）根據數據知，負相關，故排除乙，
又，，
由，可得過點，
由，可得不過點，
所以甲滿足，丙不滿足，故甲計算正確.
（2）根據題意
，
當時有最大值，
故當時，商品的月銷售額預報值最大，最大值為萬元.
12．（1）2×2列聯表見解析，，有99.9%的把握認為能否管控手機與性別有關；（2）；（3）天
【分析】（1）首先根據題意得到2×2列聯表，計算，從而得到有99.9%的把握認為能否管控手機與性別有關.
（2）①首先求出抽樣比為，從而得到男生抽取人，女生抽取人，再利用古典概型公式求解即可.②根據題意得到，再解方程即可.
【詳解】（1）2×2列聯表如下
性別 能管控 不能管控 總計
男 30 70 100
女 60 40 100
總計 90 110 200
，
所以有99.9%的把握認為能否管控手機與性別有關.
（2）①抽樣比，
男生抽取人，設為，女生抽取人，設為，
從人中選人，共有：，，，，，
，，，，，，，，，，共15個基本事件，
設事件：選取的2人中恰有一名女生，事件包含8個基本事件，
.
②由題知：，
化簡得到，解得.
所以某學生自從玩手機后經過30天成績大約下滑到原來成績的一半.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發布會的第28場發布會.會上提出蒙古國 中國，包括東北亞的日本 韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發現持續時間大于的沙塵暴次數滿足，目前經測驗地情況氣象局發現，時，次數時，次數，據此計算時對應的持續時間約為（ ）
（參考數據：）
A．389 B．358 C．423 D．431
二、多選題
2．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數量隨時間變化的函數，若，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（ ）
A．若是以月為單位，則
B．若是以年為單位，則
C．若是以月為單位，則
D．若是以年為單位，則
三、填空題
3．（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形的周長的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2024·浙江金華·模擬預測）太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數為k．
(1)若平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；
(2)現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設，給定不同的Q，請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應該選擇哪種蓄電池？
注：①蓄電池電能儲存量；
②當S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．
參考答案：
1．D
【分析】由題意可得，利用指數和對數的運算解出，再代入，利用對數的運算化簡求出時間即可.
【詳解】兩式相比，得，
又兩邊取對數可得，
所以，
令，即，
取對數并化簡可得，
因為，
所以
所以.
故選：D.
2．BC
【分析】對AC，計算，滿足，，，可確定，對CD，計算，滿足，，，可確定．
【詳解】選項A，，，A不符合；
選項B，，，，，符合；
選項C，，則，，，，，符合，
選項D，，，
，，不符合．
故選：BC．
3．
【分析】設，利用平行四邊形性質，結合勾股定理求出周長的函數關系，再求出函數的值域即可.
【詳解】設，則，由，得，顯然，
連接，由，，得，
，
因此的周長
顯然，當，即時，，而時，，
所以的周長的取值范圍是.
故答案為：
4．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用題目所給公式及數據計算即可得；
（2）用S，k，Q表示出兩種蓄電池的放電量后作差比大小即可得.
【詳解】（1），
若平方米，則；
（2）由，即，
鉛酸蓄電池的放電量為：，
鋰離子蓄電池的放電量為：，
則
，
令，可得，
即時，，此時應選擇鉛酸蓄電池，
當時，，此時應選擇鋰離子蓄電池，
當時，，兩種電池都可以.
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·上海徐匯·二模）已知函數，，對于不相等的實數、，設，，現有如下命題：
①對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得；
②對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得，
下列判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
二、多選題
2．（2023·遼寧大連·三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：
其中正實數分別為甲 乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲 乙兩方時刻的實力；正實數分別為甲對乙 乙對甲的比賽效果系數.規定當甲 乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為.則下列結論正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則甲比賽勝利
D．若，則甲比賽勝利
三、填空題
3．（2021·北京西城·一模）長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯合調度，統一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯合調度要求如下：
（ⅰ）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區間；
（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；
（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變．
記x為調度前某水庫的蓄滿指數，y為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個y關于x的函數解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的序號是 ．
參考答案：
1．D
【分析】假設①中的結論成立，構造，取，判斷函數的單調性，可判斷①；假設②中的結論成立，構造函數，判斷出函數的單調性，可判斷②.
【詳解】對于①，假設對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得，
則，可得，
即，取，可得，
令，因為函數、在上均為增函數，
所以，當、，且時，；
當時，函數的增長速度比函數的速度增長得更快，
任取、，且，記點、、、，
則直線比直線的斜率更大，即，
故，故①錯；
對于②，假設對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得，
則，可得，
構造函數，
因為函數為上的增函數，函數在上為增函數，
所以，函數在上為增函數，
取，則，
記，
當時，，則，
所以，存在區間，使得函數在上不是增函數，
故對任意的實數，函數不單調，
故對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得，②對.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查的是有關函數命題真假的判斷，解題的關鍵在于假設結論成立，通過等式的結構構造新函數，轉化為新函數的單調性問題來處理.
2．ABD
【分析】計算，A正確，確定，化簡得到B正確，甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，計算得到，C錯誤D正確，得到答案.
【詳解】對選項A：若且，則，
所以，由可得，正確；
對選項B：當時根據A中的結論可知，所以乙方實力先為0，
即，化簡可得，
即，兩邊同時取對數可得，
即，即，正確；
對選項C：，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，
設甲方實力為0時所用時間為，乙方實力為0時所用時間為，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因為都為正實數，所以可得，甲方獲得比賽勝利，錯誤；
對選項D：根據C知正確；
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用函數的性質比較函數值大小，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，利用作差法比較函數值的大小關系是解題的關鍵.
3．②④
【分析】需滿足四個條件：1.自變量的取值范圍為；
2.函數值域為的子集；
3.該函數在上恒有；
4.該函數為上增函數；
逐一對照分析求解即可.
【詳解】① ，該函數在時函數值為，超過了范圍，不合題意；
② 為增函數，且
且，則，符合題意；
③ ，當時，不合題意
④ ，當時，，故該函數在上單調遞增，又
設
即，
易知在上為減函數
令，則存在，有
當，；當，；
故在遞增，在遞減.
，
故上
即上
故④符合題意
故答案為：②④
【點睛】本題考查學生實際運用數學的能力.需要學生具備一定的數學建模思想，將文字語言描述的要求轉化為數學表達式，再用數學方法分析求解.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題14 函數模型及其應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程 4
【考點2】已知函數模型解決實際問題 6
【考點3】構造函數模型解決實際問題 8
【分層檢測】 10
【基礎篇】 10
【能力篇】 14
【培優篇】 15
考試要求：
1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異，理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義.
2.通過收集、閱讀一些現實生活、生產實際等數學模型，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.
1.指數、對數、冪函數模型性質比較
　　函數 性質　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象 的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值 變化而 各有不同
值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有logax2.幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.
3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性.
一、單選題
1．（2020·山東·高考真題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．（2020·全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【考點1】利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程
一、單選題
1．（2021·吉林長春·一模）中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感. 為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔測量一次茶水的溫度，根據所得數據做出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數關系．則下列說法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%
D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%
4．（2021·福建廈門·一模）某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
三、填空題
5．（2023·北京·模擬預測）農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第 號區域的總產量最大．
6．（2022·北京豐臺·二模）如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：）與時間t（單位：月）滿足關系式：（a為常數），記（）．給出下列四個結論：
①設，則數列是等比數列；
②存在唯一的實數，使得成立，其中是的導函數；
③常數；
④記浮萍蔓延到，，所經過的時間分別為，，，則．
其中所有正確結論的序號是 ．
反思提升：
判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.
(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.
【考點2】已知函數模型解決實際問題
一、單選題
1．（2023·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件價格 37元 32元 30元 27元 25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
2．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考數據：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
二、多選題
3．（2024·重慶·二模）英國經濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經濟發展之間的關系，強調政府對市場經濟的干預，并形成了現代西方經濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核心要素：國民收入，國民消費和國民投資，假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：.其中常數表示房租 水電等固定消費，為國民“邊際消費傾向”.則（ ）
A．若固定且，則國民收入越高，“邊際消費傾向”越大
B．若固定且，則“邊際消費傾向”越大，國民投資越高
C．若，則收入增長量是投資增長量的5倍
D．若，則收入增長量是投資增長量的
4．（2024·重慶·模擬預測）放射性物質在衰變中產生輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數量隨時間的衰變公式，表示物質的初始數量，是一個具有時間量綱的數，研究放射性物質常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質數量從初始數量到衰變成一半所需的時間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（ ）
物質 τ的量綱單位 τ的值
鈾234 萬年 35.58
鈾235 億年 10.2
鈾238 億年 64.75
A． B．與成正比例關系
C． D．
三、填空題
5．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為 s．（注意：位移與時間的函數關系為，重力加速度取）
6．（2023·北京海淀·三模）假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下圖所示：
橫軸為投資時間（單位：天），縱軸為回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法正確的是 ；
①投資3天以內（含3天），采用方案一；
②投資4天，不采用方案三；
③投資6天，采用方案二；
④投資10天，采用方案二.
反思提升：
1.求解已知函數模型解決實際問題的關注點.
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.
2.利用函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.
【考點3】構造函數模型解決實際問題
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品．要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西商洛·模擬預測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其工作原理中有多次的棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質，假設每一層棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，若過濾前水中大顆粒雜質含量為80mg/L，現要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過2mg/L，則棉濾芯的層數最少為（參考數據：，）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）一個半球體狀的雪堆，假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，其體積變化的速率與半球面面積成正比，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時，融化了其體積的，則該雪堆全部融化需要（ ）小時
A． B．4 C．5 D．6
二、填空題
4．（2023·上海崇明·二模）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈亮時，在一條直行道路上能有多少汽車通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習慣不同也會使車距、車速不同，行人和非機動車的干擾因素則復雜且不確定．面對這些不同和不確定，需要作出假設．例如小明發現雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數是小轎車，因此小明給出如下假設：通過路口的車輛長度都相等，請寫出一個你認為合理的假設 ．
5．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關系的預報，我們想選用一個函數來近似描述這一天港口的水深與時間之間的關系，該函數的表達式為 ．已知一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），則該船可以在此港口停留卸貨的時間最長為 小時（保留整數）．
時刻 水深m 時刻 水深m 時刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
6．（20-21高三下·陜西西安·階段練習）現在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒數，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當紅豆取完時，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當白豆取完時，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有 粒.
反思提升：
(1)在應用函數解決實際問題時需注意以下四個步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇函數模型.
②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.
③解模：求解函數模型，得出數學結論.
④還原：將數學結論還原為實際意義的問題.
(2)通過對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識和方法構建函數模型解決問題，提升數學建模核心素養.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2022·廣東·一模）已知函數，，則圖象如圖的函數可能是( )
A． B． C． D．
2．（2022·甘肅酒泉·模擬預測）如圖，在矩形中，，，是的中點，點沿著邊、與運動，記，將的面積表示為關于的函數，則（ ）

A．當時，
B．當時，
C．當時，
D．當時，
3．（2024·江西·模擬預測）酒駕最新標準規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，達到及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據：）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式 ，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度， 是空氣阻力系數（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（ ）
A．若不變，則比原來提高不超過
B．若不變，則比原來提高超過
C．為使不變，則比原來降低不超過
D．為使不變，則比原來降低超過
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
6．（2024·河南鄭州·一模）溶液酸堿度是通過來計量的．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．例如純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，則純凈水的是7．當時，溶液呈酸性，當時，溶液呈堿性，當（例如：純凈水）時，溶液呈中性．我國規定飲用水的值在之間，則下列選項正確的是（ ）（參考數據：取）
A．若蘇打水的是8，則蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升
B．若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是
C．若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的是
D．若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則該種水適合飲用
7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設，當時，對這三個函數的增長速度進行比較，下列結論中，錯誤的是 （ ）
A．的增長速度最快， 的增長速度最慢
B．的增長速度最快， 的增長速度最慢
C．的增長速度最快， 的增長速度最慢
D．的增長速度最快， 的增長速度最慢
三、填空題
8．（2022·河北·模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識 鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會 回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產的一種衣服日產量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產量為 件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為 萬元.
9．（22-23高一上·江蘇常州·期末）某工廠生產一種溶液，按市場要求該溶液的雜質含量不得超過0.1％，這種溶液最初的雜質含量為3％，現進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少，則至少經過 次過濾才能達到市場要求．（參考數據：，）
10．（2023·四川宜賓·模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是 年前．
四、解答題
11．（2023·江西鷹潭·二模）某公司為了對某種商品進行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關系，對近6個月的月銷售量和月銷售單價數據進行了統計分析，得到一組檢測數據如表所示：
月銷售單價（單位：元/件） 4 5 6 7 8 9
月銷售量（萬件） 89 83 82 79 74 67
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關系，現有甲、乙、丙三位實習員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實習員工的計算結果是正確的.請結合統計學的相關知識，判斷哪位實習員工的計算結果是正確的，并說明理由；
(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計算正確的結果回答問題：當月銷售單價為何值時，啇品的月銷值額預報值最大，并求出其最大值.
12．（2021·全國·模擬預測）2021年2月1日教育部辦公廳關于加強中小學生手機管理工作的通知中明確“中小學生原則上不得將個人手機帶入校園”，為此某學校開展了一項“你能否有效管控手機”調查，并從調查表中隨機抽取200名學生(其中男 女生各占一半)的樣本數據，其2×2列聯表如下：
性別 能管控 不能管控 總計
男 30
女
總計 90 200
（1）完成上述2×2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為能否管控手機與性別有關？
（2）若學生確因需要帶手機進入校園需向學校有關部門報告，該校為做好這部分學生的手機管理工作，學校團委從能管控的學生中按樣本中的比例抽取了6名學生組成一個團隊.
①從該團隊中選取2名同學作個人經驗介紹，求選取的2人中恰有一名女生的概率.
②某老師根據以往學生自從玩手機導致成績下降的數據構建了一個函數模型：，其中k為沒有玩手機時的原始成績分數，I(t)是開始玩手機t天后的成績，試根據該模型，求某學生自從玩手機后經過多少天成績大約下滑到原來成績的一半？
參考公式及數據：K2=，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發布會的第28場發布會.會上提出蒙古國 中國，包括東北亞的日本 韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發現持續時間大于的沙塵暴次數滿足，目前經測驗地情況氣象局發現，時，次數時，次數，據此計算時對應的持續時間約為（ ）
（參考數據：）
A．389 B．358 C．423 D．431
二、多選題
2．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數量隨時間變化的函數，若，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（ ）
A．若是以月為單位，則
B．若是以年為單位，則
C．若是以月為單位，則
D．若是以年為單位，則
三、填空題
3．（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形的周長的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2024·浙江金華·模擬預測）太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數為k．
(1)若平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；
(2)現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設，給定不同的Q，請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應該選擇哪種蓄電池？
注：①蓄電池電能儲存量；
②當S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·上海徐匯·二模）已知函數，，對于不相等的實數、，設，，現有如下命題：
①對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得；
②對于任意的實數，存在不相等的實數、，使得，
下列判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
二、多選題
2．（2023·遼寧大連·三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：
其中正實數分別為甲 乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲 乙兩方時刻的實力；正實數分別為甲對乙 乙對甲的比賽效果系數.規定當甲 乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為.則下列結論正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則甲比賽勝利
D．若，則甲比賽勝利
三、填空題
3．（2021·北京西城·一模）長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯合調度，統一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯合調度要求如下：
（ⅰ）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區間；
（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；
（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變．
記x為調度前某水庫的蓄滿指數，y為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個y關于x的函數解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的序號是 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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