資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
思維拓展 與數列結合的概率遞推問題（馬爾科夫鏈）
【背景知識】
俄國數學家 Andrey Andreyevich Markov 研究并提出一個用數學方法就能解釋自然變化的一般規律模型，被命名為馬爾科夫鏈（Markov Chain）。馬爾科夫鏈為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶性 ”，即下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關。這種特定類型的“無記憶性 ”稱作馬爾可夫性質。
【知識拓展】
①轉移概率：對于有限狀態集合，定義：為從狀態到狀態的轉移概率.
②馬爾可夫鏈：若，即未來狀態只受當前狀態的影響，與之前的無關.
③完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：
（1）；（2）.
則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.
④全概率公式： 設是一個完備事件組，則有
⑤一維隨機游走模型，即：設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.
若記狀態表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據全概率公式可得：.
【例題1】（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．
記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【例題2】（2024·山東省實驗中學模擬）某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．
(1)求的值，并探究數列的通項公式；
(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．
【例題3】（2024·成都模擬）某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設第位員工獲得獎金為元.
(1)求的概率；
(2)求的數學期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數學期望最大.
【例題4】（2024·安陽模擬）網球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網球運動員提高自己的耐力．耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式．某網球俱樂部的運動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練．由訓練計劃知，在封閉集訓期間，若運動員第天進行有氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為；若運動員第天進行無氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為．若運動員封閉集訓的第1天進行有氧訓練與無氧訓練的概率相等．(1)封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數為，求的分布列與數學期望；
(2)封閉集訓期間，記某運動員第天進行有氧訓練的概率為，求．
【例題5】（2024·保定模擬）從甲 乙 丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數為隨機變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，①直接寫出的值；②求與的關系式，并求.
【訓練1】（2019 新課標Ⅰ）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，，1，，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，2，，，其中，，．假設，．
（ⅰ）證明：，1，2，，為等比數列；
（ⅱ）求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．
【訓練2】（2024·榆林模擬）為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學后，食堂從開學第一天起，每餐只推出即點即取的米飯套餐和面食套餐. 已知某同學每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯套餐的概率為，而前一天選擇了米飯套餐后一天繼續選擇米飯套餐的概率為，前一天選擇面食套餐后一天繼續選擇面食套餐的概率為，如此往復.
（1）求該同學第二天中午選擇米飯套餐的概率
（2）記該同學第天選擇米飯套餐的概率為
（Ⅰ）證明：為等比數列；（Ⅱ）證明：當時，.
【訓練3】（2024·成都模擬）現有甲、乙兩名籃球運動員進行投籃練習，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為.
(1)為了增加投籃練習的趣味性，甲、乙兩人約定進行如下游戲：甲、乙兩人同時投一次籃為一局比賽，若甲投進且乙未投進，則認定甲此局獲勝；若甲未投進乙投進，則認定乙此局獲勝；其它情況認定為平局，獲勝者此局得1分，其它情況均不得分，當一人得分比另一人得分多3分時，游戲結束，且得分多者取得游戲的勝利.求甲恰在第五局結束時取得游戲勝利的概率.
(2)投籃練習規定如下規則：甲、乙兩人輪流投籃，若命中則此人繼續投籃，若未命中則對方投籃，第一次投籃由甲完成，設為第次投籃由甲完成的概率.
（i）求，，的值；
（ii）求與的關系式，并求出.
【訓練4】（2024·濰坊模擬）現有甲、乙兩個袋子，每個袋子中均裝有大小、形狀、質地完全相同的個黑球和個紅球，若每次分別從兩個袋子中隨機摸出個球互相交換后放袋子中，重復進行次此操作．記第次操作后，甲袋子中紅球的個數為．
(1)求的分布列和數學期望；
(2)求第次操作后，甲袋子中恰有個紅球的概率．
【訓練5】（2024·曲靖模擬）某中學以學生為主體，以學生的興趣為導向，注重培育學生廣泛的興趣愛好，開展了豐富多彩的社團活動，其中一項社團活動為《奇妙的化學》，注重培養學生的創新精神和實踐能力.本社團在選拔賽階段，共設兩輪比賽．第一輪是實驗操作，第二輪是基礎知識搶答賽．第一輪給每個小組提供5個實驗操作的題目，小組代表從中抽取2個題目，若每個題目的實驗流程操作規范可得10分，否則得0分．
(1)已知某小組會5個實驗操作題目中的3個，求該小組在第一輪得20分的概率；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個小組參加化學基礎知識的搶答比賽，每一次由四個小組中的一個回答問題，無論答題對錯，該小組回答后由其他小組搶答下一問題，且其他小組有相同的機會搶答下一問題．記第次回答的是甲的概率是，若．
①求和；
②寫出與之間的關系式，并比較第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小．
【訓練6】（2024·湖南模擬）中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習慣地稱為“夢之隊”.小明是一名乒乓球運動愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對乒乓球技術的五個基本因素：弧線、力量、速度、旋轉和落點進行訓練.假設小明每天進行多次分項（將五個因素分別對應五項，一次練一項）訓練，為增加趣味性，計劃每次（從第二次起）都是從上次未訓練的四個項目中等可能地隨機選一項訓練.
（1）若某天在五個項目中等可能地隨機選一項開始訓練，求第三次訓練的是“弧線”的概率；
（2）若某天僅進行了次訓練，五個項目均有訓練，且第次訓練的是“旋轉”，前后訓練項不同視為不同的訓練順序，設變量為次訓練中“旋轉”項訓練的次數，求的分布列及期望；
（3）若某天規定第一次訓練的是“力量”，從第二次起，后面訓練項的選擇服從上述計劃的安排，設表示第次訓練的是“力量”的概率，求的值.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)思維拓展與數列結合的概率遞推問題（馬爾科夫鏈）
【背景知識】
俄國數學家Andrey Andreyevich Markov研究并提出一個用數學方法就能解釋自然變化的一般規律模
型，被命名為馬爾科夫鏈(Markov Chain)。馬爾科夫鏈為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換
的隨機過程，該過程要求具備“無記憶性”，即下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中
它前面的事件均與之無關。這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質。
【知識拓展】
①轉移概率：對于有限狀態集合S，定義：P,=P(XX)為從狀態i到狀態廣的轉移概率。
②馬爾可夫鏈：若P(X4X,X1,X)=P(X時X)=P,即未來狀態X+1只受當前狀
態Xn的影響，與之前的X,X-2,X無關.
③完備事件組：如果樣本空間2中一組事件組{4，A2,…A}符合下列兩個條件：
(1)AnA=0,i≠j,ij=1,2,n；(2)04=2
則稱{A,A2,…A}是2的一個完備事件組，也稱是2的一個分割
④全概率公式：設{4，A2,A,}是一個完備事件組，則有P(B)=∑P(A)P(B1A)
⑤一維隨機游走模型，即：設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻t=0時，位于點
x=i(i∈N+),下一個時刻，它將以概率a或者B(a∈(0,1)，a+B=1)向左或者向右平移一個單位.
若記狀態X,表示：在時刻t該點位于位置x=i(i∈N),那么由全概率公式可得：
P(X)=P(X)P(XX)+P(X)P(X)
另一方面，由于P(X4tX)=B,P(X4tX,)=a,代入上式可得：
P=a·P,+B.P·進一步，我們假設在x=0與x=m(m>0,m∈N)處各有一個吸收壁，當點到達吸收
壁時被吸收，不再游走.于是，P=0,P=1.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某
個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為b,向右平移一個單位，其概
率為c,那么根據全概率公式可得：P=aP+bP+CP+
【例題1】(2023新高考1卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，
若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均
為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率：
(2)求第i次投籃的人是甲的概率：
(3)已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P(X,=)=1-P(X,=0)=gi=l,2n,則E∑X立9
記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y,求E(Y).
【例題2】(2024·山東省實驗中學模擬)某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會
員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會.已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開
始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為方，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為；·記該顧客
第n次摸球抽中獎品的概率為P.
(1)求的值，并探究數列{P}的通項公式：
(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程.

展開更多......

收起↑