資源簡介

4.2 恒等變換課后練習
1．（2024 重慶月考） sin 400 cos20 cos40 cos110 ( )
A 1． B 1 3 3． C． D．
2 2 2 2
2．（2024 河北月考） sin14 cos46 sin 46 cos14 ( )
A 3． B 3． C 1． D 1．
2 2 2 2
3．（2024 10 南京月考）已知 為銳角， cos( ) ，則 cos(2 ) ( )
3 10 3
A 3 3 4． B． C． D 4．
5 5 5 5
4．（2024 7 1 浙江期中）已知 , ( , )， cos(2 2 ) ， sin sin ，則 cos( ) ( )
4 4 9 4
A 1 B 1 1． ． C． D 5．
6 6 3 6
5．（2024 廣東期中）已知函數 f (x) 3sin 2 x sin xcos x 3 ，則 f (x)的最小正周期為 ( )
2
A．1 B． C．2 D． 2
6．（2022 新高考Ⅱ）若 sin( ) cos( ) 2 2 cos( )sin ，則 ( )
4
A． tan( ) 1 B． tan( ) 1 C． tan( ) 1 D． tan( ) 1
7 2．（2020 新課標Ⅱ）若 sin x ，則 cos 2x ．
3
8．（2020 浙江）已知 tan 2，則 cos2 tan( ， ) ．
4
9 2．（2020 江蘇）已知 sin2 ( ) ，則 sin 2 的值是 ．
4 3
10．（2024 1 天津模擬）已知 ， 為銳角，且 tan ， cos( ) 2 5 ，則 cos2 ( )
7 5
A 3 B 2 C 4 7 2． ． ． D．
5 3 5 10
11．（2024 福建期中）已知 ,sin 2cos 2,cos 2sin 1，則 sin( ) ( )
2 4 3
A 3 B 6 C 3 6． ． ． D．
3 3 6 6
12．（2024 10 淮安月考）已知 為銳角， cos( ) ，則 cos(2 ) ( )
3 10 3
A 3 3． B． C 4 4． D．
5 5 5 5
13．（2024 吉林月考）化簡 cos40 (1 3 tan10 ) 的結果是 ( )
A 3．1 B． C．2 D 1．
2 2
14．（2024 廣西月考）化簡 cos40 (1 3 tan10 ) 的結果是 ( )
A 1 B 3 C 2 D 1． ． ． ．
2 2
cos4 sin415 ．（2024 青海期中）已知 sin 5cos 0，則 ( )
sin2 sin 2
A 8 B 8 C 8． ． ． D 8．
5 5 3 3
16．（2024 湖北月考）數學可以刻畫現實世界中的和諧美，人體結構、建筑物、國旗、繪畫、優選法等美
的共性與黃金分割相關．古希臘的畢達哥拉斯學派發現了黃金分割常數約 0.618，該值也可用三角函數
m m 4 m
2
2sin18 來表示，則 ( )
sin 216
A．2 B 1． C． 2 D 1．
2 2
17．（2024 山東月考）函數 f (x) cos2 x sin x 3 ， x [0, ]的最大值是 ．
4 2
18．（2004 貴州）函數 f (x) 1 cos x cos2x(x R)的最大值等于 ．
2
19．（2024 cos20 sin30 cos40 江西模擬） ( )
3 sin 40
A 1 3 1． 3 B． C． D．
2 3 3
20 2024 1 1 1．（ 福州月考） ．
sin 30 sin 31 sin 31 sin 32 sin 59 sin 60
21．（2024 2sin80 cos20 武漢月考）求值： ( )
1 4cos20 sin2 50
A 3 B 2． ． C 3．1 D．
3 2 2
22．（2024 廣東月考）在 ABC中， C 120 ， tan A tan B 2 3，則 tan A tan B的值為 ( )
3
A 1． B 1． C 1 D 5． ．
4 3 2 3
23．（2024 3 新疆月考）已知 ，則 (1 tan )(1 tan )等于 ( )
4
A．2 B． 2 C．1 D． 1
24．（2024 河南月考）已知 sin sin( 3 2 ) ．
4 5
（1 ）利用三角函數的積化和差或和差化積公式，求 cos(2 )的值；
4
（2）求 tan 的值．
25．（2024 多選 成都期中）由兩角和差公式我們得到倍角公式 cos2 2cos 2 1，實際上 cos3 也可以表
示為 cos 的三次多項式，像18 、 36 、 54 、 72 這些非特殊角我們可以通過觀察發現它們之間的相互關
系，進而求出各自的三角函數值．則 ( )
A． cos3 4cos3 3cos
B． cos72 5 1
2
C 1．已知方程 4x3 3x 0在 ( 1,1)上有三個根，記為 x1， x ， x ，則 4x
3 4x32 3 1 2 4x
3 3
2 3 2
D．對于任意的 R，當 72 時一定有 cos cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 ) 04.2 恒等變換
考向 1 基本公式
題型 1 和差公式的應用
1．兩角和與差的正余弦與正切
① sin( ) sin cos cos sin ； ② cos( ) cos cos sin sin ；
tan( ) tan tan ③ ；
1 tan tan
【例 1】（2015 新課標Ⅰ） sin 20 cos10 cos160 sin10 ( )
A 3 3 1 1． B． C． D．
2 2 2 2
【例 2 1 1】（2023 新高考Ⅰ）已知 sin( ) ， cos sin ，則 cos(2 2 ) ( )
3 6
A 7 B 1． ． C 1 D 7． ．
9 9 9 9
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 1】（2017 全國） cos20 cos25 sin 20 sin 25 ( )
A 2 1． B． C．0 D 2．
2 2 2
1 1
【訓練 2】已知 sin( ) ， cos sin ，則 cos(2 2 ) ( )
3 6
A 1． B 1 C 7 7． ． D．
9 9 9 9
題型 2 二倍角公式的應用
2．二倍角公式
① sin 2 2sin cos 2 2 tan ；② cos2 cos sin2 2cos2 1 1 2sin2 ；③ tan 2 ；
1 tan 2
其他常用變式
sin 2 2sin cos 2 tan cos2 cos
2 sin 2 1 tan2 sin 1 cos
2 2 2 ； 2 2 2 ； tan ．sin cos 1 tan sin cos 1 tan 2 1 cos sin
1 5
【例 1】（2023 新高考Ⅱ）已知 為銳角， cos ，則 sin ( )
4 2
A 3 5 B 1 5 C 3 5． ． ． D 1 5．
8 8 4 4
【例 2】（2021 5 乙卷） cos2 cos2 ( )
12 12
A 1 B 3 2 3． ． C． D．
2 3 2 2
跟蹤訓練
【訓練 3】（2018 新課標Ⅲ）若 sin 1 ，則 cos2 ( )
3
A 8 7 7 8． B． C． D．
9 9 9 9
【訓練 4】（2023 上海）已知 tan 3，則 tan 2 ．
題型 3 輔助角公式的應用
3．輔助角公式
（1）一次輔助角：a sin bcos a2 b2 sin( )（其中 sin b ，cos a ，tan b ，
a2 b2 a2 b2 a
）．常見形式： sin x cos x 2 sin(x )， sinx 3cosx 2sin(x )， 3sinx cosx 2sin(x ) ．
2 4 3 6
2 2
（2）二次輔助角： a sinωx cosωx b cos2 ωx
a b b
sin(2 x ) b， tan ．
2 2 a
【例 1】（2016 上海）若函數 f (x) 4sin x a cos x的最大值為 5，則常數 a ．
【例 2】（2016 浙江）已知 2cos2 x sin 2x Asin( x ) b(A 0)，則 A ， b ．
跟蹤訓練
【訓練 5】（2020 新課標Ⅲ）已知 sin sin( ) 1，則 sin( ) ( )
3 6
A 1 3 2 2． B． C． D．
2 3 3 2
【訓練 6】（2021 全國）函數 y cos2 x sin xcos x圖像的對稱軸是 ( )
A x k (k Z ) B x k ． ． (k Z )
2 8 2 8
C． x k (k Z ) D． x k (k Z )
4 4
【解題總結】
考向 2 三角恒等變換求值
題型 1 利用角的拆分求值
1．拆分角問題：① =2 ；② =( + )- ； ( ) 1；③ [( ) ( )]；
2 2
1 [( ) ( )] ；④ 2 ( ) ( )；⑤ ( )． 注意 特殊的角也看成已知
2 4 2 4
角，如 ( )．
4 4
2． (cos cos )2 (sin sin )2 2 2cos cos 2sin sin 2 2cos( )
【例 1】已知 0 ，且 cos( ) 12 ， cos2 3 ，則 cos( ) ( )
2 13 5
A 16 B 33． ． C 56 63． D．
65 65 65 65
【例 2】（2011 1 3 浙江）若 0 ， 0，cos( ) ，cos( ) ，則 cos( ) ( )
2 2 4 3 4 2 3 2
A 3． B 3 5 3 6． C． D．
3 3 9 9
【例 3】若 sin 2 5 ， sin( ) 10 ，且 [ ， ]， [ 3 ， ]，則 的值是 ( )
5 10 4 2
A 7 ． B 9 C 5 7 ． ． 或 D 5 9 ． 或
4 4 4 4 4 4
跟蹤訓練
【訓練 1】銳角 ， 滿足 cos 12 ， cos(2 ) 3 ，那么 sin( ) ( )
13 5
A 63 B 53． ． C 43 33． D．
65 65 65 65
1 1
【訓練 2】已知 ， 為銳角， tan( ) ， tan( ) ，則 tan( 2 ) ( )
6 3 12 2
A 9 B 13 C 13 9． ． ． D．
13 9 9 13

【訓練 3】設 (0, )， (0, )，且 tan cos 1 sin ，則 ( )
2 2
A． sin(3 ) 1 B． sin(3 ) 1 C． sin(2 ) 1 D． sin(2 ) 1
題型 2 利用升降冪求值
sin2 1 cos2 cos2 1 cos2 13．降冪公式與升冪公式 ； ；sin cos sin2 ；
2 2 2
1 cos2 2cos2 ；1 cos2 2sin 2 ；1 sin2 (sin cos )2；1 sin2 (sin cos )2．
【例 1】設 fn (x) cos xcos
x cos x cos x 8
2 4 2n 1
，則 f5 ( ) ( )3
A 3 3 3． B． C 1 3． D．
32 16 16 16
【例 2】公元前 6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發現了黃金分割比
約為 0.618，這一數值恰好等于m 2sin18 ，則m(2 m2 ) ( )
A． tan18 B 1 ． C 1． D．1
tan18 2
跟蹤訓練
【訓練 4】設 fn (x) cos xcos
x cos x cos x 4 n 1 ，則 f4 ( ) ( )2 4 2 3
A 3 B 3 1 3． ． C． D．
32 16 16 16
16 2
【訓練 5】若圓周率 的近似值可以表示成 4cos38 ，則 2 的近似值為 ( )1 2sin 7
A 1 B 1． ． C．8 D． 8
8 8
題型 3 統一函數名換元求值
4．若遇到 sin2 ，利用基本公式 sin2 1 cos2 進行函數名的統一，采取換元的思想轉化為二次函數的問
題．
【例 1】（2021 北京）函數 f (x) cos x cos2x是 ( )
A．奇函數，且最大值為 2 B．偶函數，且最大值為 2
C 9 9．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
8 8
【例 2】函數 f (x) 2cos2 x sin x 1的最大值是 ．
跟蹤訓練
【訓練 6】（2019 新課標Ⅰ）函數 f (x) sin(2x 3 ) 3cos x的最小值為 ．
2
【訓練 7】函數 y 3 3sin x 2cos2 x的最小值是 ．
題型 4 綜合求值問題
1 2sin80 cos20 【例 】求值： ( )
1 4cos20 sin2 50
A 3． B 2． C 3．1 D．
3 2 2
【例 2】（2018 新課標Ⅱ）已知 sin cos 1， cos sin 0，則 sin( ) ．
2cos2 x 1
【例 3】設 f (x) 2 ，則 f (1 ) f (2 ) f (59 ) ．
sin(60 x)
跟蹤訓練
【訓練 8】已知 2sin sin 3 ， 2cos cos 1，則 cos(2 2 ) ( )
A 1 B 7 C 1 D 15． ． ． ．
8 8 4 4
3 4sin 20 8sin320
【訓練 9】 ( )
2sin 20 sin 480
A 2 3． B 3 2． C． D．2
3 3 3
10 f (x) cos x【訓練 】設 ，則 f (1 ) f (2 ) f (59 ) ．
cos(30 x)
【解題總結】
拓展思維
拓展 1 和差化積與積化和差
1.和化積公式
+ +
sinα + sinβ = 2 sin cos sinα sinβ = 2 cos sin
2 2 2 2
+ +
cosα + cosβ = 2 cos cos cosα cosβ = 2 sin sin
2 2 2 2
(由和差公式可得)
2.積化和公式
1
sinα cosβ = sin + + sin
2
1
cosα cosβ = [ cos + + cos ]
2
1
sinα sinβ = [ cos cos + ]
2
(由和差公式可得)
【例 1】計算 sin215 cos2 45 sin15 cos45 的值是 ( )
A 1 B 3． ． C 1 D 1． ．
4 2 4
【例 2】在 ABC 中，內角 A， B，C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 sin(B A) sin(B A) 3sin 2A ，
且 c 7，C ，則 a ( )
3
A 1 B 2 21 C 1 2 21 D 21． ． ． 或 ．
3 3 3
拓展 2 正切恒等式
tan A tan B tanC tan A tan B tanC 當A B C k 時
【證明】
A B 1
【推論】 tan tan tan A tan B 1 （當 A B C 時）
2 2 tan C 2 2 tan C
2 2
【例 3】已知 (0, )， ，且 2sin tan tan 2sin tan tan ，則 ( )
A ． B ． C D 2 ． ．
6 4 3 3
【例 4】在銳角 ABC 中， tan A t 1， tan B t 1，則實數 t的取值范圍是 ( )
A． ( 2 ， ) B． (1, ) C． (1, 2) D． ( 1,1)
拓展 3 “ n”倍角模型
余弦的 n倍角公式： cosn 2cos cos(n 1) cos(n 2)
正弦的 n倍角公式： sin n 2cos sin(n 1) sin(n 2)
【例 5】（多選）由倍角公式 cos2x 2cos2 x 1，可知 cos2x可以表示為 cos x的二次多項式．一般地，存
在一個 n(n N*)次多項式 Pn (t) a t
n a tn 10 1 a2t
n 2 an (a0，a1，a2， an R)，使得 cosnx Pn (cos x)，
這些多項式 Pn (t)稱為切比雪夫 (P．L．Tschebyscheff )多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得 ( )
A． P3(t) 4t
3 3t B． P4 (t) 8t
4 8t2 1
C 5 1 5 1． sin18 D． cos18
4 4
拓展 4 三角函數新定義問題
【例 1】人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻
或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似
度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點 A x1, y1 ，
B x2 , y2 ，則曼哈頓距離為： d A,B x1 x2 y1 y2 ，余弦相似度為：
cos A,B x x y y 1 2 1 2
2 2 ，余弦距離為1 cos A,B x1 y1 x2 2 2 2 2 22 y2 x1 y1 x2 y2
3 4
(1)若 A 1, 2 ， B , ，求 A，B之間的曼哈頓距離 d A,B 和余弦距離；
5 5
(2)已知M sin ,cos ，N sin ,cos ，Q sin , cos 1 2，若 cos M ,N ，cos M ,Q ，求 tan tan
5 5
的值
【例 2】如果實數 x, y 0, 2π ，且滿足cos x y cos x cos y ，則稱 x、y為“余弦相關”的.
(1)若 x π 2 ，請求出所有與之“余弦相關”的實數
y；
(2)若兩數 x、 y為“余弦相關”的，求證： π x y 3π；
(3)若不相等的兩數 x、 y為“余弦相關”的，求證：存在唯一的實數 z 0,2π ，使得 x、z為“余弦相關”的，
y、z也為“余弦相關”的.中小學教育資源及組卷應用平臺
4.2 恒等變換
考向1 基本公式
題型1 和差公式的應用
1．兩角和與差的正余弦與正切
①； ②；③；
【例1】（2015 新課標Ⅰ）　　
A． B． C． D．
【例2】（2023 新高考Ⅰ）已知，，則　　
A． B． C． D．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練1】（2017 全國）　　
A． B． C．0 D．
【訓練2】已知，，則　　
A． B． C． D．
題型2 二倍角公式的應用
2．二倍角公式
①；②；③；
其他常用變式
；；．
【例1】（2023 新高考Ⅱ）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
【例2】（2021 乙卷）　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練3】（2018 新課標Ⅲ）若，則　　
A． B． C． D．
【訓練4】（2023 上海）已知，則　 　．
題型3 輔助角公式的應用
3．輔助角公式
（1）一次輔助角：（其中，）．常見形式：，．
（2）二次輔助角：，．
【例1】（2016 上海）若函數的最大值為5，則常數　 ?。?br/>【例2】（2016 浙江）已知，則　　，　　．
跟蹤訓練
【訓練5】（2020 新課標Ⅲ）已知，則　　
A． B． C． D．
【訓練6】（2021 全國）函數圖像的對稱軸是　　
A． B．
C． D．
【解題總結】
考向2 三角恒等變換求值
題型1 利用角的拆分求值
1．拆分角問題：①；②；；③；
；④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如．
2．
【例1】已知，且，，則　　
A． B． C． D．
【例2】（2011 浙江）若，，，，則　　
A． B． C． D．
【例3】若，，且，，，，則的值是　　
A． B． C．或 D．或
跟蹤訓練
【訓練1】銳角，滿足，，那么　　
A． B． C． D．
【訓練2】已知，為銳角，，，則　　
A． B． C． D．
【訓練3】設，，且，則　　
A． B． C． D．
題型2 利用升降冪求值
3．降冪公式與升冪公式；
；．
【例1】設，則　　
A． B． C． D．
【例2】公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發現了黃金分割比約為0.618，這一數值恰好等于，則　　
A． B． C． D．1
跟蹤訓練
【訓練4】設，則　　
A． B． C． D．
【訓練5】若圓周率的近似值可以表示成，則的近似值為　　
A． B． C．8 D．
題型3 統一函數名換元求值
4．若遇到，利用基本公式進行函數名的統一，采取換元的思想轉化為二次函數的問題．
【例1】（2021 北京）函數是　　
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
【例2】函數的最大值是　 ?。?br/>跟蹤訓練
【訓練6】（2019 新課標Ⅰ）函數的最小值為 　 　．
【訓練7】函數的最小值是 　 ?。?br/>題型4 綜合求值問題
【例1】求值：　　
A． B． C．1 D．
【例2】（2018 新課標Ⅱ）已知，，則　?。?br/>【例3】設，則　?。?br/>跟蹤訓練
【訓練8】已知，，則　　
A． B． C． D．
【訓練9】　　
A． B． C． D．2
【訓練10】設，則　　．
【解題總結】
拓展思維
拓展1 和差化積與積化和差
1.和化積公式
(由和差公式可得)
2.積化和公式
(由和差公式可得)
【例1】計算的值是　　
A．1 B． C． D．
【例2】在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，且，，則　　
A．1 B． C．1或 D．
拓展2 正切恒等式
【證明】
【推論】（當時）
【例3】已知，，且，則
A． B． C． D．
【例4】在銳角中，，，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
拓展3 “”倍角模型
余弦的倍角公式：
正弦的倍角公式：
【例5】（多選）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個次多項式，，，，使得，這些多項式稱為切比雪夫．．多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得　　
A． B．
C． D．
拓展4 三角函數新定義問題
【例1】人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
【例2】如果實數，且滿足，則稱x、y為“余弦相關”的.
(1)若，請求出所有與之“余弦相關”的實數；
(2)若兩數、為“余弦相關”的，求證：；
(3)若不相等的兩數、為“余弦相關”的，求證：存在唯一的實數，使得x、z為“余弦相關”的，y、z也為“余弦相關”的.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
4.2 恒等變換課后練習
1．（2024 重慶月考）　　
A． B． C． D．
2．（2024 河北月考）　　
A． B． C． D．
3．（2024 南京月考）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
4．（2024 浙江期中）已知，，，則　　
A． B． C． D．
5．（2024 廣東期中）已知函數，則的最小正周期為　　
A．1 B． C．2 D．
6．（2022 新高考Ⅱ）若，則　　
A． B． C． D．
7．（2020 新課標Ⅱ）若，則　?。?br/>8．（2020 浙江）已知，則　，　?。?br/>9．（2020 江蘇）已知，則的值是　 ?。?br/>10．（2024 天津模擬）已知，為銳角，且，，則　　
A． B． C． D．
11．（2024 福建期中）已知，則　　
A． B． C． D．
12．（2024 淮安月考）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
13．（2024 吉林月考）化簡的結果是　　
A．1 B． C．2 D．
14．（2024 廣西月考）化簡的結果是　　
A．1 B． C．2 D．
15．（2024 青海期中）已知，則　　
A． B． C． D．
16．（2024 湖北月考）數學可以刻畫現實世界中的和諧美，人體結構、建筑物、國旗、繪畫、優選法等美的共性與黃金分割相關．古希臘的畢達哥拉斯學派發現了黃金分割常數約0.618，該值也可用三角函數來表示，則　　
A．2 B． C． D．
17．（2024 山東月考）函數，的最大值是 　?。?br/>18．（2004 貴州）函數的最大值等于　　．
19．（2024 江西模擬）　　
A． B． C． D．
20．（2024 福州月考）　 ?。?br/>21．（2024 武漢月考）求值：　　
A． B． C．1 D．
22．（2024 廣東月考）在中，，，則的值為　　
A． B． C． D．
23．（2024 新疆月考）已知，則等于　　
A．2 B． C．1 D．
24．（2024 河南月考）已知．
（1）利用三角函數的積化和差或和差化積公式，求的值；
（2）求的值．
25．（2024 多選 成都期中）由兩角和差公式我們得到倍角公式，實際上也可以表示為的三次多項式，像、、、這些非特殊角我們可以通過觀察發現它們之間的相互關系，進而求出各自的三角函數值．則　　
A．
B．
C．已知方程在上有三個根，記為，，，則
D．對于任意的，當時一定有
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑