資源簡介

5.1 解三角形小題篇
考向 1 公式問題
題型 1 利用公式解三角形
一．基本定理公式
1．正弦定理和余弦定理： a，b，c指△ABC的內角 A，B，C的對邊， R指△ABC的外接圓半徑
定理 正弦定理 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A；
基本 a = b = c 2R b2 c2 a2 2ac cosB；
公式 sinA sinB sinC
c2 a2 b2 2abcosC．
（1） a 2R sin A，b 2R sinB， c 2R sinC； 2 2
cosA b c a
2
；
2bc
（2） sin A a ， sinB b ，
2R 2R sinC
c
；
常見 2R 2 2 2
cosB c a b ；
推論 （3） a：b：c sin A：sin B：sinC； 2ac
a b c k1a k2a k3a
2 2
cosC a b c
2
（4） = = ． ．
sinA sinB sinC k1sinA k2 sinB k3 sinC 2ab
注意：（1）涉及三角形兩邊以及對角的問題優先考慮正弦定理，其中包含①已知兩邊＋其中一邊的對角類
型；②已知兩角+其中一角的對邊類型．
（2）涉及三角形三邊加一個內角的問題選擇余弦定理，其中包含①已知三邊求一內角的類型；②已知兩邊
和一內角，求另一邊的類型（若該內角為兩邊的夾角，直接使用公式求解；若內角不為夾角，則用公式建
立方程求解．）
2．三角形的面積公式
1
（1） S absinC 1 bc sin A 1 ac sin B；
2 2 2
（2） S 1 (a b c)r (r為三角形內切圓半徑)；
2
（3） S p( p a)(p b)(p c) ( p a b c )；
2
（4） S 2R2 sin Asin B sinC abc (R為三角形外接圓半徑)；
4R
【例 1】（2017 新課標Ⅲ） ABC 的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，已知C 60 ，b 6 ，c 3，
則 A ．
【例 2】（2023 乙卷）在 ABC 中，內角 A，B，C的對邊分別是 a，b，c，若 a cosB bcos A c，且C ，
5
則 B ( )
A B C 3 2 ． ． ． D．
10 5 10 5
【例 3】（2023 上海）已知 ABC 中，角 A， B，C所對的邊 a 4，b 5， c 6，則 sin A ．
【例 4】（2021 乙卷）記 ABC 的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，面積為 3，B 60 ，a2 c2 3ac，
則 b ．
【例 5】（2023 北京）在 ABC 中， (a c)(sin A sinC) b(sin A sin B) ，則 C ( )
A ． B 2 5 ． C． D．
6 3 3 6
跟蹤訓練
【訓練 1】（2023 全國）在 ABC 中， A 2B， a 6，b 4，則 cosB ．
【訓練 2】（2017 新課標Ⅱ） ABC的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，若 2bcosB a cosC ccos A，
則 B ．

【訓練 3】（2019 新課標Ⅱ） ABC的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c．若 b 6，a 2c，B ，
3
則 ABC的面積為 ．
【 訓 練 4 】（ 2018 新 課 標 Ⅰ ） ABC 的 內 角 A ， B ， C 的 對 邊 分 別 為 a ， b ， c ． 已 知
bsinC csin B 4a sin B sinC，b2 c2 a2 8，則 ABC的面積為 ．
【訓練 5】（2019 新課標Ⅰ） ABC的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c．已知 a sin A bsin B 4csinC，
cos A 1 b ，則 ( )
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
題型 2 判斷三角形解的個數
1．判斷三角形解的情況
A 為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a bsin A bsin A a b a b a b a b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
大角求小角一解（銳角）

兩解— sin A （1 一銳角、一鈍角）
總結：
小角求大角 一解— sin A （1 直角）

無解— sin A 1
3 2
【例 1】在 ABC中，若 b 3， c ， B 45 ，則此三角形解的情況為 ( )
2
A．無解 B．兩解
C．一解 D．解的個數不能確定
【例 2】若 ABC 中， a x,b 3, A ，若該三角形有兩個解，則 x范圍是 ( )
4
A． ( 3,6) B． (2,2 3) C [ 6． , 3) D 6． ( , 3)
2 2
跟蹤訓練
【訓練 6】在 ABC 中， a 6，b 8， A 40 ，則 B的解的個數是 ( )
A．0個 B．2個 C．1個 D．1個或 2個

【訓練 7】在 ABC中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．若 B ， a 4，且該三角形有兩解，
3
則 b的范圍是 ( )
A． (2 3, ) B． (2 3,4) C． (0,4) D． (3 3,4)
題型 3 判斷三角形的形狀
1．判斷三角形的形狀
（1）余弦定理推形狀：三角形三條邊從小到大排列，即 a b c，
（1）若 a2 b2 c2 0，則△ABC是銳角三角形；
（2）若 a2 b2 c2 0，則△ABC是直角三角形；
（3）若 a2 b2 c2 0，則△ABC是鈍角三角形；
2.三角恒等變換推形狀：
①直角三角形判定： sin A sinBcosC或 sinB sinC cos A或 sinC sin AcosB
證明：
②等腰三角形判定： sin A 2sin BcosC或 sin B 2sinCcos A或 sinC 2sin AcosB
證明：
③等腰或直角三角形判定： sin Acos A sin BcosB
證明：
④等邊三角形判定： A、B、C成等差數列， a、b、c成等比數列
證明：
【例 1】（2012 上海）在 ABC中，若 sin2 A sin2 B sin2 C，則 ABC的形狀是 ( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
【例 2】（2013 陜西）設 ABC 的內角 A， B，C所對的邊分別為 a， b， c，若 bcosC ccosB a sin A，
則 ABC 的形狀為 ( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【例 3】在 ABC 中，若 a sin B 3bcos A，且 sinC 2sin Acos B，那么 ABC一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
跟蹤訓練
【訓練 8】設 ABC的內角 A， B，C的對邊分別為 a，b， c，若 b2 c2 a2 ca，且 sin A 2sinC ，則
ABC的形狀為 ( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【訓練 9】 ABC C中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，且 (a cosB bcos A)cosC 2a cos2 a， ABC
2
為 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【訓練 10】在 ABC 中，角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c，已知 2cosB(acosC 3 ccos A) b，sinC ，
2
則 ABC 的形狀為 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【解題總結】
考向 2 圖形問題
二．圖形應用模型
解三角形的圖形應用部分包含嵌套三角形和實際應用部分的問題，解題過程中常涉及中線、角平分線以及
求距離和角度的問題，我們用下面的模型幫助大家解決選擇填空題.
1.嵌套三角形問題
（1）射影定理
在△ABC中， a = bcosC + c cosB， b = c cos A + a cosC ， c = a cosB + bcos A .
證明：
題型 1 中線定理
中線定理
（1）如圖，在△ABC中， D為 BC邊上的中點，連接 AD，則有： AB2 AC 2 2(AD2 BD2 ) .
證明：
【例 1】已知 ABC 中， AB 6， BC 8， B 60 ，則 AB邊上的中線長為 ( )
A． 78 B．8 C．7 D．6
跟蹤訓練
【訓練 1】已知 ABC 中， AB 5， AC 15， AD為邊 BC的中線，且 AD 4，則 BC邊的長為 ( )
A．3 B．3 2 C． 2 3 D．4
題型 2 張角定理
1）張角定理
如圖，在△ABC中， D為 BC邊上的一點，連接 AD，設 AD = l， BAD ， CAD ，則一定有
sin(a+b)= sina sin b+ ．
l b c
證明：
2）角平分線張角定理
1 AD AD
根據張角定理：①當a = b 時， cosa = +2 b c （角平分線張角定理）
S 1② △ABC = AD×(b + c)sina AD
2 tana （角平分線面積問題）
2
證明：
【例 1】（2013 2 2福建）如圖，在△ABC中，已知點D在 BC邊上，AD AC，sin BAC ，AB 3 2，
3
AD 3，則CD的長為 ．
【例 2】在 ABC 中， BAC 60 ， AB 2， BC 6 ， BAC的角平分線交 BC于 D，則 AD ( )
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 2 3
跟蹤訓練
【訓練 2】在中△ABC，角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c， ABC 120 ，BD BC交 AC于點D，
且 BD 1，則 2a c的最小值為 ．
【訓練 3】在 ABC 中， BAC 120 ， AB 2， AC 3，D為 BC上一點， AD為 BAC的角平分線，則
AD ．
題型 3 斯庫頓定理
如圖，AD是△ABC的角平分線，則 AD2 AB·AC BD·CD.就其位置關系而言，可記憶：中方=上積一下積.
已知：在△ABC 中， AD是 BAC 的平分線，求證： AD2 BD·DC AB·AC
證明：
【例 1】在 ABC中，AD為 A的角平分線，D在線段 BC上，若 | AB | 2，| AD | | AC | 1，則 | BD | ( )
A 2． B． 2 C．2 D 3 2．
2 2
跟蹤訓練
【訓練 4】在 ABC 中， AM 是 BAC的角平分線，且交 BC于M ．已知 AM 2 3， BM 2，MC 3，
則 AC ．
【解題總結】
題型 2 實際應用問題
2.實際應用問題
（1）距離問題
類型 圖形 方法
兩點間不可到達的距離 余弦定理
兩點間可視不可到達的距離 正弦定理
先用正弦定理，
兩個不可到達的點之間的距離
再用余弦定理
1.兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解.
2.兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解.
（2）高度問題
類型 簡圖 計算方法
測得 BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
底部可達
a·tan C.
測得 CD＝a及 C與∠ADB 的度
點 B 與 C， 數.
D 共線 先由正弦定理求出 AC 或 AD，
再解三角形得 AB 的值.
底部不可達
測得 CD＝a 及∠BCD，∠BDC，
點 B 與 C， ∠ACB 的度數.
D 不共線 在△BCD 中由正弦定理求得
BC，再解三角形得 AB 的值.
1.仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角.
2.高度問題大多通過正(余)弦定理構造直角三角形來解決.
【例 1】（2021 乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的
高．如圖，點 E，H ，G在水平線 AC上，DE和 FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為
“表高”， EG稱為“表距”， GC和 EH 都稱為“表目距”， GC與 EH 的差稱為“表目距的差”，則海島
的高 AB ( )
A 表高 表距 B 表高 表距． 表高 ． 表高
表目距的差 表目距的差
C 表高 表距 D 表高 表距． 表距 ． 表距
表目距的差 表目距的差
【例 2】（2021 甲卷）2020年 12月 8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為 8848.86（單位：m)，
三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有 A， B，C三點，
且 A， B，C在同一水平面上的投影 A ， B ，C 滿足 A C B 45 ， A B C 60 ．由C 點測得 B點的
仰角為15 ， BB 與CC 的差為 100；由 B點測得 A點的仰角為 45 ，則 A，C兩點到水平面 A B C 的高度
差 AA CC 約為 ( )( 3 1.732)
A．346 B．373 C．446 D．473
跟蹤訓練
【訓練 5】如圖，在山腳 A測得山頂 P的仰角為 ，沿傾斜角為 的斜坡向上走 a米到 B，在 B處測得山
頂 P的仰角為 ，則山高 h ( )
A a cos sin( ) B a sin sin( )． ．
sin( ) sin( )
C a cos sin( ) D a sin sin( )． ．
sin( ) sin( )
【訓練 6】《中國建筑史》（梁思成著）載：“大雄殿之左側白塔凌空，高十三級，甚峻拔．“該塔位于蓬溪縣
赤城鎮白塔街，坐西向東，為四方形樓閣式磚石塔，塔身白色，共十三層，自宋代始建以來至今已 800余
年，充分體現了中國傳統建筑技術水平．某數學興趣小組為了測得塔高，如圖，在 A點測得塔底位于北偏
東 60 方向上的點 D處，塔頂C 的仰角為 30 ，在 A的正東方向且距 D點 44m的 B點測得塔底位于北偏西
45 方向上 (A， B， D在同一水平面），則塔的高度CD約為 ( )（參考數據： 6 2.45)
A． 42m B． 45m C．36m D．38m
考向 3 范圍問題
解三角形的一類取值范圍題型，我們分類為求單元素（邊或角的取值范圍）和比值類范圍問題兩種.一般采
取正弦定理實現邊角互換后消元保留成要求元素的函數關系式，角度和邊長問題利用三角函數的有界性求
值域.分式齊次化問題也是相同的處理.下面我們分析一下銳角三角形的角度范圍的限定方式：
1.銳角三角形的角度限定

0 B
（1）若銳角△ABC 的定角 A (0 A ) ，則 2
2
；

0 C

A B
2

0

A
2
ABC A (0 A （2）若銳角△ 的定角 )，若 B 2A ，則 0 B

2A ；
2 2
0 C A B 3A 2
1 1
（3）若銳角△ABC 的定角 A (0 A )，若 sin A sin B，則 sin B sin A ，可推出 B的范圍.
2
2.齊次式的處理
b
（ 1） 銳 角三 角 形 △ABC 中 處 理齊 次 式 類 型 ，可 以 先 通 過 正弦 定 理 進 行邊 角 互 換 ， 即
a
b sin B sin[ (A C)] sin A cos A
（角C為定值， 和 為常數），用角度的限定方
a sin A sin A sin A tan A
法求出角 A的范圍即可.
bc
（2）銳角三角形△ABC 中處理非齊次式 類型，若知道三角形外接圓半徑，根據正弦定理得到
a
bc 2R sin B 2R sinC sinC
（角 B為定值， 為常數），后續處理轉化為齊次化.
a 2R sin A sin A
題型 1 單元素范圍
【例 1】已知在銳角三角形 ABC中，角 A， B，C所對的邊分別為 a，b， c，若 a c 2a cosB．則角 A
的取值范圍是 ( )
A (0, ． ) B． (0, ) C ． ( , ) D ． ( , )
4 6 6 4 4 3

【例 2】在銳角 ABC中，C ， AC 4，則 BC的取值范圍是 ( )
6
A (0, 8 3) B (2 3, 8 3． ． ) C． (2 3, ) D (4, 8 3． )
3 3 3
【例 3】在銳角三角形 ABC中， B 60 ， AB 2，則 AB邊上的高的取值范圍是 ( )
A ( 3． , 2) B ( 3． , 3) C 3． ( , 3) D 3． ( ,2 3)
4 4 2 2
跟蹤訓練
【訓練 1】銳角 ABC中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 c2 a(a b)，則 sin A的取值范圍是 ( )
A． (0, 2 ) B 1． ( , 2 ) C (1． , 3 ) D． (0, 3 )
2 2 2 2 2 2

【訓練 2】在銳角 ABC中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，b 2，C ，則 c的取值范圍為 ( )
3
A． (2,2 3) B． (2 3, ) C． ( 3,2 3) D． (2, )
【訓練 3】在銳角三角形 ABC中， B 60 ， AB 1，則 AB邊上的高的取值范圍是 ( )
A． ( 3 ，1) B ( 3 3 ) C 3 3． ， ． ( ， 3) D． ( ， 3)
4 4 2 2 4
題型 2 比值類范圍
【例 1】在銳角 ABC中，若 B sin A 2A，則 的取值范圍是 ( )
sin B
A． ( 2, 3) B [ 1． , 1] C 3 2． ( , ) D ( 1 , 1． )
2 2 3 2 2 2
【例 2】在銳角 ABC中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，S為 ABC的面積，且 2S a2 (b c)2，
b2 c2
則 的取值范圍為 ( )
bc
A (34． , 41) B 41 34．[2, ) C．[2, ) D．[2， )
15 15 15 15
【例 3】已知銳角 ABC 的內角 A， B，C所對的邊分別為 a， b， c，若 a cosB bcos2A c且 ABC 外
a2
接圓半徑為 2，則 的取值范圍是 ( )
b c
A．[2 3,4) B．[2 3,6) C． [ 3,2) D．[ 3,4)
跟蹤訓練
【訓練 4】在 ABC 中，若 B 3A b，則 的取值范圍是 ( )
a
A． (1,2) B． (2,3) C． (1,3) D． (0,3)
【訓練 5】在銳角 ABC中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，S為 ABC的面積，且 a2 2S (b c)2 ，
2sin2B sin2C
則 的取值范圍為 ( )
sinBsinC
A (43 , 59． ) B． [2 2, 43) C． [2 2, 59) D．[2 2, )
15 15 15 15
2
【訓練 6】銳角 ABC中，角 A， B，C的對邊分別為 a，b， c，若 c2 a(a b) sin A，則 的取值范
sin(C A)
圍是 ( )
A (0, 2 ) B (1 , 2． ． ) C (1 , 3． ) D． (0, 3 )
2 2 2 2 2 2
【解題總結】
拓展思維
拓展 1 托勒密定理
圓內接四邊形之托勒密定理
托勒密定理：在圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．
如圖上，設四邊形 ABCD內接于圓O，則有 AB CD AD BC AC BD，
【證明】
廣義托勒密定理：在四邊形 ABCD中，有 AB CD AD BC AC BD ，當且僅當四邊形 ABCD 四點共圓時，
等號成立.
【證明】
【例 1】克羅狄斯 托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制
作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，
當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形 ABCD內接于半徑
為 2 3的圓， A 120 ， B 45 ， AB AD，則四邊形 ABCD的周長為 ( )
A． 4 3 6 2 B．10 3 C． 4 3 4 2 D． 4 3 5 2
【例 2】克羅狄斯 托勒密 (Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意
凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．根據以上材
料，完成下題：如圖，半圓O的直徑為 2， A為直徑延長線上的一點，OA 2，B為半圓上一點，以 AB為
一邊作等邊三角形 ABC，則當線段OC的長取最大值時， AOC ．5.1 解三角形小題篇練習
1．（2017 新課標Ⅰ） ABC的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，已知 sin B sin A(sinC cosC) 0 ，
a 2， c 2，則C ( )
A ． B． C ． D．
12 6 4 3
2．（2024 湖北期中）在 ABC中， a 5， b 8， A ，則此三角形 ( )
6
A．有兩解 B．有一解
C．無解 D．解的個數不確定
3．（2024 開封月考）在 ABC 中，內角 A， B，C的對邊分別為 a， b， c．已知 a 2 2,b 4, A ，
6
則此三角形 ( )
A．無解 B．有一解
C．有兩解 D．解的個數不確定
4．（2024 重慶月考）在 ABC 中，角 A， B，C所對的邊分別為 a， b， c，且 c 8,B ．若 ABC 有
6
兩解，則 b的值可以是 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024 西安月考）在 ABC中，已知 A ， a 2，若 ABC有兩解，則 ( )
6
A． 2 b 4 B．b 4 C． 2 b 4 D． 0 b 2
6 2024 ABC sin A cosB cosC．（ 廣東月考）在 中，若 ，則 ABC是 ( )
a b c
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．有一內角為 60 的直角三角形
7．（2024 惠州月考）在 ABC中，已知 b2 c2 a2 bc，且 2cosB sinC sin A，則該三角形的形狀是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
8．（2024 河北期中）在 ABC中，若 a cosB c，則 ABC 的形狀是 ( )
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．（2024 上海期中）在 ABC中， a2 b2 c2 2bc cosA 2ac cosB，則 ABC一定是 ( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形
10．（2024 內蒙古月考）在 ABC中，已知 sin 2A sin 2B，則 ABC 的形狀為 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2024 廣西月考）如圖，已知 ABC的內角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c，且b 2，b2 c2 a2 bc，
若 BC邊上的中線 AD 7 ，則 BC的長為 ( )
A． 2 3 B． 2 6 C． 2 2 D．3 2
12．（2024 南陽月考）已知 ABC 中，sin A : sin B 2 : 3 ， ACB ，且 ABC的面積為 6 3 ，則 ABC的
3
邊 AB上的中線長為 ( )
A 3 19． B． 19 C．3 2 D．3 3
2
13．（2024 杭州期中）在 ABC 中， BAC 90 ， AD是 BAC的角平分線， AB 3， AC 4， E是 AC
的中點，則DE的長度為 ( )
A 2 37． B 2 17 C 37 D 17． ． ．
7 7 7 7
14．（2024 甘肅模擬）在 ABC 中，角 A、B、C所對的邊分別為 a、b、c，若 a sin A bsin B (c b)sinC ，
AD為 ABC的角平分線，且 AD 2 3， c 2b，則 a的值為 ( )
A． 2 3 B．3 3 C． 4 7 D． 6 7
15．（2024 貴州期中）已知 ABC 的邊 AB，AC的長分別為 20，18， BAC 120 ，則 ABC的角平分線 AD
的長為 ( )
A 180． 3 B 90 180 90． C． D． 3
19 19 19 19
16．（2014 四川）如圖，從氣球 A上測得正前方的河流的兩岸 B，C 的俯角分別為 75 ，30 ，此時氣球的
高度是 60m，則河流的寬度 BC等于 ( )
A．30( 3 1)m B．120( 3 1)m C．180( 2 1)m D． 240( 3 1)m
17．（2024 浙江月考）如圖，在坡度一定的山坡 A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15 ，
向山頂前進100m到達 B處，在 B處測得C 對于山坡的斜度為 45 ．若CD 50m，山坡對于地平面的坡度
為 ，則 cos 等于 ( )
A 3 B 2． ． C． 3 1 D． 2 1
2 2
18．（2024 齊齊哈爾期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥爾摩的愛立信球形體育館（瑞典語：
EricssonGlobe)，在世界上最大的瑞典太陽系模型中，由該體育館代表太陽的位置，其外形像一個大高爾夫
球，可容納 16000名觀眾觀看表演和演唱會，或 14119名觀眾觀看冰上曲棍球比賽．某數學興趣小組為了
測得愛立信體育館的直徑，在體育館外圍測得 AB 40 6m，CD 80m， ACB 45 ， ABC ACD 60
（其中 A， B，C，D四點共面），據此可估計該體育館的直徑 AD大約為 ( )
（參考數據： 3 1.732， 7 2.646)
A．98m B．102m C．106m D．122m
19．（2024 駐馬店月考）如圖，某景區為方便游客，計劃在兩個山頭M ， N間架設一條索道．為測量M ，
N間的距離，施工單位測得以下數據：兩個山頭的海拔高度MC 100 3m,NB 50 2m，在 BC同一水平面
上選一點 A，測得M 點的仰角為 60 ，N點的人仰角為 30 ，以及 MAN 45 ，則M ，N間的距離為 ( )
A．100 2m B．120m C．100 3m D． 200m
20．（2024 泰州模擬）古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了
數學基礎．現根據劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點 A是球體建筑物與水平地面的接觸
點（切點），地面上 B，C 兩點與點 A在同一條直線上，且在點 A的同側．若在 B，C處分別測得球體建
筑物的最大仰角為 60 和 20 ，且 BC 100m，則該球體建筑物的高度約為 ( )(cos10 0.985)
A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m
21．（2024 湖南月考）在銳角 ABC 中，角 A， B，C 的對邊分別為 a， b， c，若 a2 2S (b c)2 ，其
中 S為 ABC 的面積，則 sin B的取值范圍為 ( )
A (0, 3． ) B 4 3 4． (0, ) C． ( ,1) D． ( ,1)
5 5 5 5
22．（2024 福建模擬）已知銳角 ABC 的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，若 a 3，b2 c2 bc 3，
則 ABC 面積的取值范圍是 ( )
A ( 3 , 3 3． ] B ( 3 , 3 3． ) C 3． ( , 3 3 ) D ( 3． , 3 3]
2 4 2 4 4 4 4 4
23．（2024 云南月考）在銳角 ABC 中，角 A， B，C 的對邊分別為 a， b， c， S為 ABC 的面積，且
2S a2 (b c)2 b，則 的取值范圍為 ( )
c
A (1 ,2) B (2 , 3． ． ) C 3 5 3 4． ( , ) D． ( , )
2 3 2 5 3 4 3
24．（2024 珠海模擬）銳角 ABC 中，角 A、B、C所對的邊分別為 a、b、c，若 2sin A(acosC ccos A) 3a ，
c
則 的取值范圍是 ( )
b
A． (1 2) B ( 3 2 3， ． ， ) C． (1,2) D 3． ( ，1)
2 3 3 2
25．（2024 煙臺期中）在銳角 ABC中，角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c．若 2ccosB sin(A C) a c，則
sin B
的取值范圍為 ( )
A． (1, 3) B． (0,1) C． (0, 2) D． ( 2, 3)
26．（2024 湖北期中）已知銳角 ABC， AB 2 3，C ，則 AB邊上的高的取值范圍為 ( )
3
A． (0， 3] B． (0,3) C． (2， 3] D． (2,3)
27．（2019 上海）在 ABC中， AC 3， 3sin A 2sin B，且 cosC 1 ，則 AB ．
4
28．（2019 新課標Ⅱ） ABC 的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c．已知 bsin A a cosB 0，則 B ．
29．（2022 上海）已知在 ABC中， A ， AB 2， AC 3，則 ABC的外接圓半徑為 ．
3
30．（2018 浙江）在 ABC中，角 A， B，C所對的邊分別為 a，b， c．若 a 7 ，b 2， A 60 ，則
sin B ， c ．中小學教育資源及組卷應用平臺
5.1 解三角形小題篇
考向1 公式問題
題型1 利用公式解三角形
一．基本定理公式
1．正弦定理和余弦定理：指的內角的對邊，指的外接圓半徑
定理 正弦定理 余弦定理
基本公式 ； ； ．
常見 推論 （1），，； （2），，； （3）； （4）． ； ； ．
注意：（1）涉及三角形兩邊以及對角的問題優先考慮正弦定理，其中包含①已知兩邊＋其中一邊的對角類型；②已知兩角+其中一角的對邊類型．
（2）涉及三角形三邊加一個內角的問題選擇余弦定理，其中包含①已知三邊求一內角的類型；②已知兩邊和一內角，求另一邊的類型（若該內角為兩邊的夾角，直接使用公式求解；若內角不為夾角，則用公式建立方程求解．）
2．三角形的面積公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【例1】（2017 新課標Ⅲ）的內角，，的對邊分別為，，，已知，，，則　　．
【例2】（2023 乙卷）在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則　　
A． B． C． D．
【例3】（2023 上海）已知中，角，，所對的邊，，，則　　．
【例4】（2021 乙卷）記的內角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則　　．
【例5】（2023 北京）在中，，則　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】（2023 全國）在中，，，，則　　．
【訓練2】（2017 新課標Ⅱ）的內角，，的對邊分別為，，，若，則　　．
【訓練3】（2019 新課標Ⅱ）的內角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為　　．
【訓練4】（2018 新課標Ⅰ）的內角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為　 　．
【訓練5】（2019 新課標Ⅰ）的內角，，的對邊分別為，，．已知，，則　　
A．6 B．5 C．4 D．3
題型2 判斷三角形解的個數
1．判斷三角形解的情況
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
總結：
【例1】在中，若，，，則此三角形解的情況為　　
A．無解 B．兩解
C．一解 D．解的個數不能確定
【例2】若中，，若該三角形有兩個解，則范圍是　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練6】在中，，，，則的解的個數是　　
A．0個 B．2個 C．1個 D．1個或2個
【訓練7】在中，角，， 所對的邊分別為，，．若，，且該三角形有兩解，則的范圍是　　
A． B． C． D．
題型3 判斷三角形的形狀
1．判斷三角形的形狀
（1）余弦定理推形狀：三角形三條邊從小到大排列，即，
若，則是銳角三角形；
若，則是直角三角形；
若，則是鈍角三角形；
2.三角恒等變換推形狀：
①直角三角形判定：或或
證明：
②等腰三角形判定：或或
證明：
③等腰或直角三角形判定：
證明：
④等邊三角形判定：成等差數列，成等比數列
證明：
【例1】（2012 上海）在中，若，則的形狀是　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
【例2】（2013 陜西）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【例3】在中，若，且，那么一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
跟蹤訓練
【訓練8】設的內角，，的對邊分別為，，，若，且，則的形狀為　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【訓練9】中，角，，的對邊分別為，，，且，為　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【訓練10】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，則的形狀為　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【解題總結】
考向2 圖形問題
二．圖形應用模型
解三角形的圖形應用部分包含嵌套三角形和實際應用部分的問題，解題過程中常涉及中線、角平分線以及求距離和角度的問題，我們用下面的模型幫助大家解決選擇填空題.
1.嵌套三角形問題
（1）射影定理
在中，，，.
證明：
題型1 中線定理
中線定理
（1）如圖，在中，為邊上的中點，連接，則有：.
證明：
【例1】已知中，，，，則邊上的中線長為　　
A． B．8 C．7 D．6
跟蹤訓練
【訓練1】已知中，，，為邊的中線，且，則邊的長為　　
A．3 B． C． D．4
題型2 張角定理
1）張角定理
如圖，在中，為邊上的一點，連接，設，，，則一定有．
證明：
2）角平分線張角定理
根據張角定理：①當時，（角平分線張角定理）
②（角平分線面積問題）
證明：
【例1】（2013 福建）如圖， 在中， 已知點在邊上，，，，，則的長為　　 ．
【例2】在中，，，，的角平分線交于，則　　
A． B．2 C． D．
跟蹤訓練
【訓練2】在中，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點，且，則的最小值為 ．
【訓練3】在中，，，，為上一點，為的角平分線，則　　．
題型3 斯庫頓定理
如圖，是的角平分線，則就其位置關系而言，可記憶：中方=上積一下積.
已知：在中，是的平分線，求證：
證明：
【例1】在中，為的角平分線，在線段上，若，，則　　
A． B． C．2 D．
跟蹤訓練
【訓練4】在中，是的角平分線，且交于．已知，，，則　　．
【解題總結】
題型2 實際應用問題
2.實際應用問題
（1）距離問題
類型 圖形 方法
兩點間不可到達的距離 余弦定理
兩點間可視不可到達的距離 正弦定理
兩個不可到達的點之間的距離 先用正弦定理， 再用余弦定理
1.兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解.
2.兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解.
（2）高度問題
類型 簡圖 計算方法
底部可達 測得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可達 點B與C，D共線 測得CD＝a及C與∠ADB的度數. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
點B與C，D不共線 測得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
1.仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角.
2.高度問題大多通過正(余)弦定理構造直角三角形來解決.
【例1】（2021 乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”， 稱為“表距”， 和都稱為“表目距”， 與的差稱為“表目距的差”，則海島的高　　
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【例2】（2021 甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有，，三點，且，，在同一水平面上的投影，，滿足，．由點測得點的仰角為，與的差為100；由點測得點的仰角為，則，兩點到水平面的高度差約為　　
A．346 B．373 C．446 D．473
跟蹤訓練
【訓練5】如圖，在山腳測得山頂的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在處測得山頂的仰角為，則山高　　
A． B．
C． D．
【訓練6】《中國建筑史》（梁思成著）載：“大雄殿之左側白塔凌空，高十三級，甚峻拔．“該塔位于蓬溪縣赤城鎮白塔街，坐西向東，為四方形樓閣式磚石塔，塔身白色，共十三層，自宋代始建以來至今已800余年，充分體現了中國傳統建筑技術水平．某數學興趣小組為了測得塔高，如圖，在點測得塔底位于北偏東方向上的點處，塔頂的仰角為，在的正東方向且距點的點測得塔底位于北偏西方向上，，在同一水平面），則塔的高度約為　　（參考數據：
A． B． C． D．
考向3 范圍問題
解三角形的一類取值范圍題型，我們分類為求單元素（邊或角的取值范圍）和比值類范圍問題兩種.一般采取正弦定理實現邊角互換后消元保留成要求元素的函數關系式，角度和邊長問題利用三角函數的有界性求值域.分式齊次化問題也是相同的處理.下面我們分析一下銳角三角形的角度范圍的限定方式：
1.銳角三角形的角度限定
若銳角的定角，則；
（2）若銳角的定角，若，則；
（3）若銳角的定角，若，則，可推出的范圍.
2.齊次式的處理
（1）銳角三角形中處理齊次式類型，可以先通過正弦定理進行邊角互換，即（角為定值，和為常數），用角度的限定方法求出角的范圍即可.
（2）銳角三角形中處理非齊次式類型，若知道三角形外接圓半徑，根據正弦定理得到（角為定值，為常數），后續處理轉化為齊次化.
題型1 單元素范圍
【例1】已知在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，若．則角的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例2】在銳角中，，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例3】在銳角三角形中，，，則邊上的高的取值范圍是　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【訓練2】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，，，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練3】在銳角三角形中，，，則邊上的高的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
題型2 比值類范圍
【例1】在銳角中，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例2】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．，
【例3】已知銳角的內角，，所對的邊分別為，，，若且外接圓半徑為2，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練4】在中，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【訓練5】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練6】銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解題總結】
拓展思維
拓展1 托勒密定理
圓內接四邊形之托勒密定理
托勒密定理：在圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．
如圖上，設四邊形內接于圓，則有，
【證明】
廣義托勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立.
【證明】
【例1】克羅狄斯托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形內接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長為　　
A． B． C． D．
【例2】克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．根據以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長線上的一點，，為半圓上一點，以為一邊作等邊三角形，則當線段的長取最大值時，　 　．
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5.1 解三角形小題篇練習
1．（2017 新課標Ⅰ）的內角，，的對邊分別為，，，已知，，，則　　
A． B． C． D．
2．（2024 湖北期中）在中，，，，則此三角形　　
A．有兩解 B．有一解
C．無解 D．解的個數不確定
3．（2024 開封月考）在中，內角，，的對邊分別為，，．已知，則此三角形　　
A．無解 B．有一解
C．有兩解 D．解的個數不確定
4．（2024 重慶月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．若有兩解，則的值可以是　　
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024 西安月考）在中，已知，，若有兩解，則　　
A． B． C． D．
6．（2024 廣東月考）在中，若，則是　　
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．有一內角為的直角三角形
7．（2024 惠州月考）在中，已知，且，則該三角形的形狀是　　
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
8．（2024 河北期中）在中，若，則的形狀是　　
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．（2024 上海期中）在中，，則一定是　　
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形
10．（2024 內蒙古月考）在中，已知，則的形狀為　　
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2024 廣西月考）如圖，已知的內角，，所對的邊分別為，，，且，，若邊上的中線，則的長為　　
A． B． C． D．
12．（2024 南陽月考）已知中，，，且的面積為，則的邊上的中線長為　　
A． B． C． D．
13．（2024 杭州期中）在中，，是的角平分線，，，是的中點，則的長度為　　
A． B． C． D．
14．（2024 甘肅模擬）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為　　
A． B． C． D．
15．（2024 貴州期中）已知的邊，的長分別為20，18，，則的角平分線的長為　　
A． B． C． D．
16．（2014 四川）如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高度是，則河流的寬度等于　　
A． B． C． D．
17．（2024 浙江月考）如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為．若，山坡對于地平面的坡度為，則等于　　
A． B． C． D．
18．（2024 齊齊哈爾期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥爾摩的愛立信球形體育館（瑞典語：，在世界上最大的瑞典太陽系模型中，由該體育館代表太陽的位置，其外形像一個大高爾夫球，可容納16000名觀眾觀看表演和演唱會，或14119名觀眾觀看冰上曲棍球比賽．某數學興趣小組為了測得愛立信體育館的直徑，在體育館外圍測得，，，（其中，，，四點共面），據此可估計該體育館的直徑大約為　　
（參考數據：，
A． B． C． D．
19．（2024 駐馬店月考）如圖，某景區為方便游客，計劃在兩個山頭，間架設一條索道．為測量，間的距離，施工單位測得以下數據：兩個山頭的海拔高度，在同一水平面上選一點，測得點的仰角為，點的人仰角為，以及，則，間的距離為　　
A． B． C． D．
20．（2024 泰州模擬）古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎．現根據劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上，兩點與點在同一條直線上，且在點的同側．若在，處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為　　
A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
21．（2024 湖南月考）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，其中為的面積，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
22．（2024 福建模擬）已知銳角的內角，，的對邊分別為，，，若，，則面積的取值范圍是　　
A． B． C． D．
23．（2024 云南月考）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
24．（2024 珠海模擬）銳角中，角、、所對的邊分別為、、，若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
25．（2024 煙臺期中）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，．若，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
26．（2024 湖北期中）已知銳角，，，則邊上的高的取值范圍為　　
A．， B． C．， D．
27．（2019 上海）在中，，，且，則　 　．
28．（2019 新課標Ⅱ）的內角，，的對邊分別為，，．已知，則　　．
29．（2022 上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為 　　．
30．（2018 浙江）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，，則　　，　　．
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