資源簡介

6.1 線性運算
考向 1 線性運算與共線定理
題型 1 加減法運算
一．向量的基本概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．

（2）向量的模：向量 AB的大小，也就是向量 AB的長度，記作 | AB |．
（3）特殊向量：
①零向量：長度為 0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于 1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：0 與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
二．向量的線性運算
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
求兩個向量和的 ①交換律 a b b a
加法
運算 ②結合律 (a b) c = a (b c)
三角形法則 平行四邊形法則
求 a 與 b 的相反
向量 b 的和的運
減法 a b a ( b)
算，叫做 a 與 b 的
差 三角形法則
（1） | a | | || a | ， R
求實數 與向量 （2）當 0時， a 與 a 的方向相同； ( a) ( )a
數乘
a 的積的運算 當 0 時， a 與 a 的方向相反；當 ( )a a a

0時， a 0 (a b) a b
【提示】
1．向量表達式中的零向量寫成 0，而不能寫成 0．
2．兩個向量共線要區別于兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，
而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．
3．要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，
和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，
否則就要把向量進行平移，使之符合條件．

4．向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活，如：OA OB BA， AM AN NM ，

OA OB+CA OA OB CA BA CA 0 BA AC 0 BC 0
三．常用結論
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊
形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．

即 A1A2 A2A3 An 1An A1An ．
（2） || a | | b || | a b | | a | | b |，當且僅當 a，b 至少有一個為 0時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地： || a | | b || | a b |或 | a b | | a | | b |當且僅當 a，b 至少有一個為 0 時或者兩向量共線時，向
量不等式的等號成立．

（4）減法公式： AB AC CB，常用于向量式的化簡．

（5） A、 P、 B三點共線，則OP (1 )OA OB ( R)，這是直線的向量式方程．

【例 1】（2014 新課標Ⅰ）設D，E，F 分別為 ABC的三邊 BC，CA，AB的中點，則 EB FC ( )
1 A． AD B． AD C． BC D 1． BC
2 2
【例 2】（多選）下列各式中結果為零向量的為 ( )

A．OA OC BO CO B． AB MB BO OM

C． AB (AC BD) CD D． AB BC CA
跟蹤訓練

【訓練 1】設M 是平行四邊形 ABCD的對角線的交點，則 2MA 3MB 3MC 2MD ( )

A． AB B． BC C．CD D．5AB

【訓練 2】（多選）化簡下列各式，結果為 0的是 ( )

A．OA OD AD B． NQ QP MN MP

B．C． AB BC CA D． AB AC DB CD
題型 2 三點共線
四．向量的共線定理

（1）如果 a b 且 b 0，則 a∥ b ；反之 a∥ b 且 b 0，則一定存在唯一一個實數 ，使 a b ．

推論：三點 A， B，C共線 AB， AC共線（功能：證明三點共線）；

【例 1】（2015 新課標Ⅱ）設向量 a， b不平行，向量 a b 與 a 2b平行，則實數 ．

【例 2】已知 a，b是平面內兩個不共線向量，AB ma 2b，BC 3a b，A，B，C三點共線，則m ( )
A 2 B 2． ． C． 6 D．6
3 3
跟蹤訓練

【訓練 3】設向量 a，b不平行，向量 a 2b與 a 3b平行，則實數 ( )
A 2 2 3 3． B． C． D．
3 3 2 2

【訓練 4】已知 e1 ， e2 是兩個不共線的向量， AB e1 2e2 ， BC 2e1 ke2 ，若 A， B，C三點共線，則
實數 k的值為 ( )
A． 4 B． 1 C．1 D．4
題型 3 交叉分解定理
五．交叉分解定理

（1）如果平面上O， A， B三點不共線，D在直線 AB上，且 AD AB ,令OA a，OB b，OD x，

則有 x b (1 )a
其表達意思就是從一個頂點O引出三個向量，且它們共線，每一個向量 a，b分別乘以它對面的比值，簡稱
對面的女孩看過來．
1
特殊點：當 D 為 AB 中點時， ， x 1b 1
2 2 2
a（中線定理）

2 DB AD 1

（ ）若 ，則OD OA OB．
1 1

【例 1】（2022 新高考Ⅰ）在 ABC 中，點 D在邊 AB上，BD 2DA ．記CA m，CD n，則CB ( )
A 3m 2n B 2m 3n C 3m 2n D 2m 3n ． ． ． ．
3 2
【例 2】在 ABC中， AD DC， P是直線 BD上的一點，若 AP t AB AC 則實數 t的值為 ( )
2 5
A 1 B 1 C 2． ． ． D 2．
3 3 3 3
【例 3】在 ABC 中， D是 BC邊的中點， E 是 AC 邊上一點且滿足 AE 2EC， AD與 BE 交于 F ，若

AF AD,BF BE，則 的值是 ( )
A 1 B 7 C 7 D 3． ． ． ．
6 5 2
跟蹤訓練

【訓練 5】設D為 ABC 所在平面內一點， BC 2CD，則 ( )
1 4 1 A． AD AB AC B． AD AB 3 AC
3 3 2 2
3 1 3 1 C． AD AB AC D． AD AB AC
2 2 2 2
1
【訓練 6】在 ABC中，D為 AC上一點且滿足 AD DC，若 P為 BD的中點，且滿足 AP AB AC ，
2
則 的值是 ( )
A 1 1 3 2． B． C． D．
6 2 4 3

【訓練 7】如圖， ABC 中，點M 是 BC的中點，點 N滿足 AN 2NB，AM 與CN 交于

點D， AD AM ，則 ( )
A 2． B 3 4． C． D 5．
3 4 5 6
【解題總結】
拓展思維
拓展 1 等和線定理
如圖設 e1， e2是平面內兩個不共線向量，若OP = xe1 ye2，且 x y 1，OQ x'e1 y'e2 且 x' y' k ，則

OQ
有 k .
OP
證明：
同理，我們來分析等差線：
如圖設 AB e1， AC e2 是平面內兩個不共線向量，若 AP = xe1 ye2，反向延長 AC到 E ,使 AE AC ，

AQ
當 P位于直線 BE 上時，一定有 x y 1，若 AQ x'e1 y'e2 且 x' y' k ，則有 k .特殊的，當 Q 位于
AP
直線 CF 上時，有 x y 1，當 Q 位于直線 AD 上時，有 x y 0，

【例 1】如圖，平面內有三個向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為 30°，

且 OA OB 1， OC 2 3 ．若OC mOA nOB(m，n R) ，則m n的值為 ．

【例 2】給定兩個長度為 1的平面向量OA和OB，它們的夾角為 90 ，點C在以O為圓心的圓弧 AB上運動，

若OC xOA yOB，其中 x， y R，則 3x 5y的最大值為（ ）
A． 34 B．5 C． 37 D．6
拓展 2 等商線定理
OD OE OP PE BC
如圖所示，令 k，若OP OA OB，根據等和線定理可得 ，所以直線
OA OB OC PD CA
OC 就是一條等商線，特別的，當 M為 AB 中點時，OM 為等商 1線.

【例 1】在 ABC 中，點 D 滿足 4BD 3BC ，當點 E 在線段 AD （不含端點 A ， D) 上移動時，若

AE AB AC ，則 ．


【例 2】在矩形 ABCD中，AB 1，AD 2，動點 P在以點C為圓心且與 BD相切的圓上，若 AP mAB nAD ，
則m n的最大值為（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 5 D． 26.1 線性運算課后練習

1．（2024 廣東期中）化簡OP PS SQ的結果等于 ( )

A．QP B．OQ C． SP D． SQ

2．（2024 重慶期中）已知 AD為 ABC的中線，則 AD ( )
1 1 A． AB AC B． AB AC C． AB AC D 1 AB 1． AC
2 2 2 2

3．（2024 新疆月考） AB BC等于 ( )

A． AC B．CA C． BA D．CB

4．（2024 四川期中） PA BC BA ( )

A． PB B．CP C． AC D． PC

5．（2024 承德月考）設O為平行四邊形 ABCD的對角線的交點，則OA OB 2OC ( )

A． AC B． BD C． AD D． AB

6．（2024 駐馬店月考）已知矩形 ABCD的對角線相交于點O，則 AO BC ( )

A． AB B． AC C．OC D．OB

7 1．（2024 北京模擬）在平行四邊形 ABCD中， AC AB ( )
2

A 1 1． BD B．DB C． BD D． NN
2 2

8．（2024 深圳期中）如圖，在正六邊形 ABCDEF 中， AF ED EF 2AB ( )

A． 0 B． AB C． AD D．CF

9．（2024 湖南期中）在平行四邊形 ABCD中， AC BC ( )

A．DA B． BD C． BA D．DC

10．（2024 10(a 西安期中） b) (a b) ( )
A．9a 9b B．9a 11b C．11a 9b D．11a 11b

11．（2024 內蒙古月考）如圖，在平行四邊形 ABCD中， AC AB ( )

A．CB B． AD C． BD D．CD

12．（2024 山東月考）在平行四邊形 ABCD中， AB AD等于 ( )

A． AC B．DB C．CA D． BD

13．（2024 1 成都月考）如圖，在平行四邊形 ABCD中， BD AD ( )
2
1 1 A．CA B． AC C． AC D． CA
2 2

14．（2011 四川）如圖，正六邊形 ABCDEF 中， BA CD EF ( )

A． 0 B． BE C． AD D．CF

15．（2024 廣西月考）化簡：（1）AB BC CA，（2）AB AC BD CD，（3）FQ QP EF EM ，（4）

OA OB AB，結果為零向量的個數是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4

16．（2024 深圳月考）若 A， B，C 是三個互不相同的點，則“ AB AC( 0)”是“ A， B，C 三點
共線”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．（2024 東莞期中）已知MN a 5b， NP 2(a 4b )， PQ 3(a b )，則 ( )
A．M ， N， P三點共線 B．M ， N，Q三點共線
C．M ， P，Q三點共線 D． N， P，Q三點共線

18．（2024 上海月考）AB e1 e2 ，BC 3e1 2e2 ，CD ke1 2e2 ，且 A、C、D三點共線，則 k ( )
A．8 B．4 C．2 D．1

19．（2024 重慶期中）在 ABC中，D為 AB的中點，G為線段CD上一點，若 AG 1 AB AC，則 的
3
值為 ( )
A 1 B 1． ． C 2 5． D．
6 3 3 6

20．（2024 南京模擬）如圖，在 ABC 中，點 D是線段 BC上的動點（端點除外），且 AD xAB yAC ，
9 1
則 的最小值為 ( )
x y
A．16 B．17 C．18 D．19
21．（2024 日照期中）在 ABC 中，點 M 是邊 AC 上靠近點 A的三等分點，點 N 是 BC 的中點，若

MN xAB yAC，則 x y ( )
A．1 B 2 2． C． D． 1
3 3

22．（2024 2 1 山東期中）如圖，在 ABC 中， AD AC， BP BD，若 AP AB AC ，則 的值
3 3
為 ( )
A 4． B 8 C 2． ． D 4．
9 9 3 3

23．（2024 內蒙古期中）已知向量 a b ， 不共線，且向量 a b 與 a (2 1)b的方向相反，則實數 的值
為 ( )
A．1 B 1． C 1 1． 或 D 1． 1或
2 2 2

24．（2024 開封模擬）在 ABC 中， D為 AC的中點，CE 2EB，則DE ( )

A 1． AB 1 1 1 1 2 2 1 AC B． AB AC C． AB AC D． AB AC
2 3 3 2 6 3 3 6

25．（2024 多選 韶關模擬）已知 a ， b為非零向量，則下列命題中正確的有 ( )

A．若 || a | | b || | a b | a ，則 與 b方向相同
B．若 | a | | b | | a b | ，則 a與 b方向相反

C | a |

．若 | b | | a b |，則 a 與 b有相等的模
D || a

| | b || | a b | a

．若 ，則 與 b方向相同

26．（2024 多選 貴州月考）關于向量 a,b下列命題中不正確的是 ( )

A．若 | a | | b | ，則 a b B ．若 a b，則 a / /b
C．若 | a | | b |，則 a b D．若 a / /b ， b / /c ，則 a / /c

27．（2024 多選 湖北月考）下列四式可以化簡為 PQ的是 ( )

A． AB (PA BQ) B． (AB PC) (BA QC)

C．QC CQ QP D． PA AB BQ

28．（2024 多選 浙江期中）設兩個非零向量 e1 與 e2 不共線，如果 ke1 9e2 和 e1 ke2 共線，那么 k的可能
取值是 ( )
A．1 B． 1 C．3 D． 3
2 1 29．（2024 云南月考）在 ABC 中， AE AB， AF AC， D是 BC的中點， AD和 EF 相交于點O，
3 3

若 AO xAB yAC ，則 x y ．

30．（2024 成都模擬）已知 S是 ABC 所在平面外一點， D是 SC 的中點，若 BD xAB yAC zAS ，則
x y z ．中小學教育資源及組卷應用平臺
6.1 線性運算
考向1 線性運算與共線定理
題型1 加減法運算
一．向量的基本概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　 　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：0與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
二．向量的線性運算
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 ①交換律 ②結合律
減法 求與的相反向量的和的運算，叫做與的差 三角形法則
數乘 求實數與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相反；當時，
【提示】
1．向量表達式中的零向量寫成0，而不能寫成0．
2．兩個向量共線要區別于兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．
3．要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
4．向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活，如：，，
三．常用結論
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．
即．
（2），當且僅當至少有一個為0時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地：或當且僅當至少有一個為0時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡．
（5）、、三點共線，則，這是直線的向量式方程．
【例1】（2014 新課標Ⅰ）設，，分別為的三邊，，的中點，則　　
A． B． C． D．
【例2】（多選）下列各式中結果為零向量的為　　
A． B．
C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】設是平行四邊形的對角線的交點，則　　
A． B． C． D．
【訓練2】（多選）化簡下列各式，結果為的是　　
B．
C． D．
題型2 三點共線
四．向量的共線定理
（1）如果且，則；反之且，則一定存在唯一一個實數，使．
推論：三點，，共線，共線（功能：證明三點共線）；
【例1】（2015 新課標Ⅱ）設向量，不平行，向量與平行，則實數　　．
【例2】已知，是平面內兩個不共線向量，，，，，三點共線，則
A． B． C． D．6
跟蹤訓練
【訓練3】設向量，不平行，向量與平行，則實數　　
A． B． C． D．
【訓練4】已知，是兩個不共線的向量，，，若，，三點共線，則實數的值為　　
A． B． C．1 D．4
題型3 交叉分解定理
五．交叉分解定理
（1）如果平面上，，三點不共線，在直線上，且,令，，，則有
其表達意思就是從一個頂點引出三個向量，且它們共線，每一個向量，分別乘以它對面的比值，簡稱對面的女孩看過來．
特殊點：當D為AB中點時，，（中線定理）
（2）若，則．
【例1】（2022 新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則　　
A． B． C． D．
【例2】在中，，是直線上的一點，若則實數的值為　　
A． B． C． D．
【例3】在中，是邊的中點，是邊上一點且滿足，與交于，若，則的值是　　
A．1 B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練5】設為所在平面內一點，，則　　
A． B．
C． D．
【訓練6】在中，為上一點且滿足，若為的中點，且滿足，則的值是　　
A． B． C． D．
【訓練7】如圖，中，點是的中點，點滿足，與交于點，，則　　
A． B． C． D．
【解題總結】
拓展思維
拓展1 等和線定理
如圖設，是平面內兩個不共線向量，若=，且，且，則有.
證明：
同理，我們來分析等差線：
如圖設，是平面內兩個不共線向量，若=，反向延長到,使，當P位于直線BE上時，一定有，若且，則有.特殊的，當Q位于直線CF上時，有，當Q位于直線AD上時，有，
【例1】如圖，平面內有三個向量，，，其中與的夾角為，與的夾角為，且，．若，則的值為　　　　　．
【例2】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點在以為圓心的圓弧上運動，若，其中，，則的最大值為（ ）
A． B．5 C． D．6
拓展2 等商線定理
如圖所示，令，若，根據等和線定理可得，所以直線OC就是一條等商線，特別的，當M為AB中點時，OM為等商1線.
【例1】在中，點滿足，當點在線段（不含端點，上移動時，若，則　　．
【例2】在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
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6.1 線性運算課后練習
1．（2024 廣東期中）化簡的結果等于　　
A． B． C． D．
2．（2024 重慶期中）已知為的中線，則　　
A． B． C． D．
3．（2024 新疆月考）等于　　
A． B． C． D．
4．（2024 四川期中）　　
A． B． C． D．
5．（2024 承德月考）設為平行四邊形的對角線的交點，則　　
A． B． C． D．
6．（2024 駐馬店月考）已知矩形的對角線相交于點，則　　
A． B． C． D．
7．（2024 北京模擬）在平行四邊形中，　　
A． B． C． D．
8．（2024 深圳期中）如圖，在正六邊形中，　　
A． B． C． D．
9．（2024 湖南期中）在平行四邊形中，　　
A． B． C． D．
10．（2024 西安期中）　　
A． B． C． D．
11．（2024 內蒙古月考）如圖，在平行四邊形中，　　
A． B． C． D．
12．（2024 山東月考）在平行四邊形中，等于　　
A． B． C． D．
13．（2024 成都月考）如圖，在平行四邊形中，　　
A． B． C． D．
14．（2011 四川）如圖，正六邊形中，　　
A． B． C． D．
15．（2024 廣西月考）化簡：（1），（2），（3），（4），結果為零向量的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2024 深圳月考）若，，是三個互不相同的點，則“”是“，，三點共線”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．（2024 東莞期中）已知，，，則　　
A．，，三點共線 B．，，三點共線
C．，，三點共線 D．，，三點共線
18．（2024 上海月考），，，且、、三點共線，則　　
A．8 B．4 C．2 D．1
19．（2024 重慶期中）在中，為的中點，為線段上一點，若，則的值為　　
A． B． C． D．
20．（2024 南京模擬）如圖，在中，點是線段上的動點（端點除外），且，則的最小值為　　
A．16 B．17 C．18 D．19
21．（2024 日照期中）在中，點是邊上靠近點的三等分點，點是的中點，若，則　　
A．1 B． C． D．
22．（2024 山東期中）如圖，在中，，，若，則的值為　　
A． B． C． D．
23．（2024 內蒙古期中）已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實數的值為　　
A．1 B． C．1或 D．或
24．（2024 開封模擬）在中，為的中點，，則　　
A． B． C． D．
25．（2024 多選 韶關模擬）已知，為非零向量，則下列命題中正確的有　　
A．若，則與方向相同
B．若，則與方向相反
C．若，則與有相等的模
D．若，則與方向相同
26．（2024 多選 貴州月考）關于向量下列命題中不正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
27．（2024 多選 湖北月考）下列四式可以化簡為的是　　
A． B．
C． D．
28．（2024 多選 浙江期中）設兩個非零向量與不共線，如果和共線，那么的可能取值是　　
A．1 B． C．3 D．
29．（2024 云南月考）在中，，，是的中點，和相交于點，若，則　　．
30．（2024 成都模擬）已知是所在平面外一點，是的中點，若，則　　．
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