資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2 數量積
考向1 利用內積公式求解問題
題型1 求模長、夾角和內積
1．基底的定義
如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且僅有一對實數，，使得．我們把不共線的向量、叫做表示這個平面內所有向量的一組基底．
2．平面向量的直角坐標運算
特殊基底的應用:非0基底向量垂直時，可利用平面直角坐標系坐標化解題，在平面直角坐標系內，分別取與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，作為基底，對平面內任一向量，有且僅有一個實數對，使得，則實數對叫做向量的坐標，記作，其中，分別叫做在軸、軸上的坐標，相等向量的坐標相同，坐標相同的向量是相等向量．
①已知點，，則，
②已知，，則，，
3．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
4．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關系 (當且僅當時等號成立)
【例1】（2023 北京）已知向量，滿足，，則　　
A． B． C．0 D．1
【例2】（2020 新課標Ⅲ）已知向量，滿足，，，則，　　
A． B． C． D．
【例3】（2022 乙卷）已知向量，滿足，，，則　　
A． B． C．1 D．2
【例4】（2023 上海）已知向量，，則　 ?。?br/>跟蹤訓練
【訓練1】（2022 乙卷）已知向量，，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【訓練2】（2019 新課標Ⅲ）已知向量，，則，　 　．
【訓練3】（2018 新課標Ⅱ）已知向量，滿足，，則　　
A．4 B．3 C．2 D．0
【訓練4】已知向量，，則　　
A． B． C．3 D．5
【解題總結】
題型2 利用投影法求范圍
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0． 　　　　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
【例1】（2020 山東）已知是邊長為2的正六邊形內的一點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例2】如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
跟蹤訓練
【訓練5】已知是腰長為2的等腰直角斜邊上的動點，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【訓練6】已知在直角三角形中，，以斜邊的中點為圓心，為直徑，在點的另一側作半圓弧，為半圓弧上的動點，則的取值范圍為　　
A． B．， C． D．
考向2 利用坐標轉換求解問題
題型1 利用向量平行垂直關系求解
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，． ，
【例1】（2018 新課標Ⅲ）已知向量，，．若，則　　．
【例2】已知向量，滿足，，且，則與的夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】已知向量，，若，則　　
A． B．3 C． D．2
【訓練2】已知，且，則　　
A． B． C． D．
【解題總結】
題型2 特殊幾何圖形與建系法求解
1．常見特殊幾何圖形的建系處理
邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
對于向量中的特殊幾何圖形的數量積問題，我們可以參考以上圖形的建系方法來轉換成坐標運算降低思維難度，注意向量的代數問題也可以設坐標來表示，從而轉化為函數或者不等式去求取值范圍.
【例1】（2022 北京）在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【例2】如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例3】已知點，點，點都在單位圓上，且，則的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．，
跟蹤訓練
【訓練3】在正方形中，已知，點在射線上運動，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練4】若是邊長為1的等邊三角形，是邊的中點，是邊的中點，為線段上任意一點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【訓練5】在矩形中，，．若，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解題總結】
題型3 極化恒等式
2．極化恒等式
在中，若AM是的BC邊中線，有以下兩個重要的向量關系：
定理1 平行四邊形兩條對角線的平分和等于兩條鄰邊平分和的兩倍.以此類推到三角形，若AM是的中線，則.
定理2 在中，若M是BC的中點，則有
向量數量積問題中，夾角未知，向量動點變化，極化恒等式具有重要的作用.
【例1】在中，，，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例2】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，每年新春佳節，我國許多地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
跟蹤訓練
【訓練6】若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是　　
A．， B． C． D．
【訓練7】已知圖中正六邊形的邊長為6，圓的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解題總結】
考向3 奔馳定理與向量四心
題型1 奔馳定理
1．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點.
已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標為.
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：
奔馳定理最直觀的體現就是以中心為起點引出的三個向量，每個向量與其對面的三角形面積構成的向量數乘之和為0.
【例1】已知點O為內一點，且，則、、的面積之比等于（ ）
A．9∶4∶1 B．1∶4∶9 C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
跟蹤訓練
【訓練1】已知為正內的一點，且滿足，若的
面積與的面積的比值為3，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
題型2 外心向量定理
外心：三條邊垂直平分線的交點，外心到三個頂點的距離相等，即；
，；；
，，；
，，
證明：
推論：
【例2】在中，，，是的外心，則的值為　　
A．8 B．6 C．4 D．3
跟蹤訓練
【訓練2】在中，，為的外心，則　　
A． B． C． D．
題型3 垂心定理
若AD為三角形ABC底邊BC上的高，P為高AD上任意一點，則一定有
證明：
垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點（如圖右），故點O是的垂心，
則一定有．
，即，以此類推即可證明．
垂心的向量乘積定理：
如下圖，若O是的垂心，G是邊BC所在直線上的一點，則
證明：
推論：
【例3】在中，，為邊上一點（不含端點），，則　　
A．1 B． C． D．2
跟蹤訓練
【訓練3】若是的垂心，且，則的值為 　 ?。?br/>題型4 角平分線向量定理
若，，則平分線上的向量為 ，由決定
角平分線定理證明：和分別為和方向上的單位向量，是以和為一組鄰邊的平行四邊形過點的的一條對角線，而此平行四邊形為菱形，故在平分線上，但平分線上的向量終點的位置由決定.當時，四邊形構成以的菱形．
內心定理
（1）角平分線的交點，到三條邊的距離相等；
（2） ；
證明：
推論：
【例4】（多選）如圖．為內任意一點，角，，的對邊分別為，，，總有優美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理．則以下命題是真命題的有　　
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
跟蹤訓練
【訓練4】（多選）在中，角，，所對的邊分別為，，，為平面內一點，下列說法正確的有　　
A．若為的外心，且，則
B．若為的內心，，則
C．若為的重心，，則角
D．若為的外心，且到，，三邊距離分別為，，，則
【訓練5】（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內一點，，，的面積分別為，，，且．設是銳角內的一點，，，分別是的三個內角，以下命題正確的有　　
A．若，則
B．若，，，則
C．若為的內心，，則
D．若為的垂心，，則
題型2 向量四心的軌跡問題
【例1】已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過三角形的　 　心．
【例2】已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足
，，則動點的軌跡一定通過的　 　心．
【例3】已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足
，，，則動點的軌跡一定通過的　 　心．
【例4】已知是銳角所在平面內的一定點，動點滿足：
，，則動點的軌跡一定通過的　 　心．
【例5】（多選）在中，，，為內的一點，
設，則下列說法正確的是　　
A．若為的重心，則 B．若為的內心，則
C．若為的外心，則 D．若為的垂心，則
跟蹤訓練
【訓練6】若是平面上的定點，、、是平面上不共線的三點，且滿足，則點的軌跡一定過的　　
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【訓練7】、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則點的軌跡一定經過的　　
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【訓練8】設為所在平面上一點，動點滿足，其中，，為的三個內角，則點的軌跡一定通過的　　
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【訓練9】（多選）下列說法正確的是　　
A．向量，能作為平面內所有向量的一組基底
B．已知中，點為邊的中點，則必有
C．若，則是的垂心
D．若是的重心，則點滿足條件
【訓練10】（多選）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是
A．若，則點的軌跡不可能經過的外心
B．若，則點的軌跡不可能經過的垂心
C．若，則點的軌跡可能經過的重心
D．若，則點的軌跡可能經過的內心
【解題總結】
拓展思維
拓展1 矩形大法
如圖，在矩形中，若對角線和交于點，為平面內任意一點，有以下兩個重要的向量關系：① ；②
證明：
【例1】（2013 重慶卷）在平面內，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B. C. D.
【例2】（2012 江西卷）在中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則等于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
拓展2 隱圓問題
極化恒等式向量乘積型：
平面內，若為定點，且,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
證明：
【例1】（2017 江蘇）在平面直角坐標系中，，，點在圓O：上，若，則的橫坐標范圍是 ．
與向量模和向量數量積構成隱圓
【例2】已知平面向量，，滿足對任意都有，成立，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2008 浙江卷）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2018 浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是　　
A． B． C．2 D．
拓展3 向量新定義問題
【例1】我們把由平面內夾角成的兩條數軸，構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”如圖所示，，兩分別為，正方向上的單位向量若向量，則把實數對叫做向量的“@未來坐標”，記，已知分別為向量的@未來坐標．

(1)證明：
(2)若向量的“@未來坐標”分別為，已知，，求函數的最值．
【例2】個有次序的實數所組成的有序數組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量.特別地，對一個維向量，若，，稱為維信號向量.設，，則和的內積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；
(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：.
【例3】三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O為坐標原點、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A，B是空間直角坐標系中異于O的不同兩點．
(1)①若，，求；
②證明：．
(2)記的面積為，證明：．
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．
【例4】對于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．
(1)若，求及；
(2)證明：對于任意，經過若干次變換后，必存在，使；
(3)已知，將再經過次變換后，最小，求的最小值．
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6.2 數量積課后練習
1．（2019 新課標Ⅱ）已知向量，，則　　
A． B．2 C． D．50
2．（2024 邯鄲月考）已知向量的夾角為，且，，則　　
A． B． C． D．1
3．（2024 浙江月考）已知，，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
4．（2024 安徽月考）已知向量滿足，且，則的值為　　
A．2 B． C．1 D．
5．（2024 湖北期中）向量，，則　　
A． B．14 C． D．
6．（2024 福建期中）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為　　
A． B． C． D．
7．（2024 四川期中）已知單位向量，滿足，若向量，則　　
A． B． C． D．
8．（2024 長春月考）已知單位向量，的夾角為，則　　
A．1 B． C． D．3
9．（2024 湖北模擬）已知平面向量，，滿足，，，，則　　
A． B． C． D．
10．（2024 青島期中）在中，，，，為邊上的動點，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．
11．（2024 湖南模擬）已知在中，，以斜邊的中點為圓心，為直徑，在點的另一側作半圓弧，點在圓弧上運動，則的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．
12．（2024 甘肅模擬）如圖所示，邊長為2的正，以的中點為圓心，為直徑在點的另一側作半圓弧，點在圓弧上運動，則的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．
13．（2024 廣西月考）已知向量，，若，則　　
A．2 B． C． D．
14．（2024 寧夏期中）已知向量，，若，則　　
A．3 B． C． D．
15．（2024 河南模擬）剪紙是中國古老的傳統民間藝術之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為2，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
16．（2024 內蒙古模擬）如圖為等腰三角形，，，以為圓心，1為半徑的圓分別交，與點，，點是劣弧上的一點，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
17．（2024 江蘇月考）在中，，，，為的中點，點在斜邊的中線上，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
18．（2024 重慶月考）如圖，已知正六邊形的邊長為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
19．（2024 浙江月考）圓是中華民族傳統文化的形態象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且，，是圓上任意兩點，，點在線段上，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
20．（2024 河北月考）已知、、是平面上不共線的三點，是的重心，點滿足，則與面積比為　　
A． B． C． D．
21．（2024 贛州期中）奔馳定理：已知點是內的一點，若，，的面積分別記為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知是的垂心，且，則　　
A． B． C． D．
22．（2024 江蘇月考）在中，為垂心，，則　　
A． B． C． D．
23．（2024 開封月考）已知點是所在平面內的一個動點，滿足，則射線經過的　　
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
24．（2024 江蘇月考）動點滿足，動點一定會過的　　
A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心
25．（2024 新疆月考）已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足，則點的軌跡一定通過三角形的　　
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
26．（2024 泉州月考）已知為的外心，，，，則的面積為
A．12 B． C．6 D．
27．（2021 多選 新高考Ⅰ）已知為坐標原點，點，，，，，則　　
A． B．
C． D．
28．（2024 多選 重慶月考）設點是所在平面內一點，則下列說法正確的是　　
A．若，則點在線段上
B．若，則點是三角形的重心
C．若，則點的軌跡必過的內心
D．若，且，則的面積是面積的
29．（2024 多選 孝感期中）點是所在平面內的一點，下列說法正確的有　　
A．若則為的重心
B．若，則點為的垂心
C．在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形
D．若，，分別表示，的面積，則
30．（2024 多選 吉林月考）生于瑞士的數學巨星歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理．在中，，，分別是外心、垂心和重心，為邊的中點，下列四個選項中正確的是　　
A． B．
C． D．
31．（2024 多選 江蘇月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，為平面內一點，下列說法正確的有　　
A．若為的外心，且，則
B．若為的內心，，則
C．若為的重心，，則角
D．若為的外心，且到，，三邊距離分別為，，，則
32．（2024 多選 廣東期中）在中，，，為內的一點，設，則下列說法正確的是　　
A．若為的重心，則
B．若為的內心，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，則
33．（2022 甲卷）設向量，的夾角的余弦值為，且，，則　　．
34．（2021 甲卷）若向量，滿足，，，則　　．
35．（2020 上海）三角形中，是中點，，，，則　　．
36．（2019 新課標Ⅲ）已知，為單位向量，且，若，則，　?。?br/>37．（2024 威海模擬）已知向量，，，若，則　?。?br/>38．（2016 新課標Ⅱ）已知向量，，且，則　?。?br/>39．（2024 廣東期中）已知向量，，，，則　?。?br/>40．（2024 北京月考）已知向量，若，則　?。?br/>21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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1

．（2019 新課標Ⅱ）已知向量 a (2,3)， b (3,2)，則 | a b | ( )
A． 2 B．2 C．5 2 D．50

2 2024 a ．（ 邯鄲月考）已知向量 ,b 的夾角為 ，且 | a | 2， | b | 1 a ，則 (b a ) ( )
6
A． 3 4 B．3 3 4 C． 2 D．1

3．（2024 浙江月考）已知 | a b | 3， | a | 2 | b | cos a ,a ，則 b 的最小值為 ( )
A 1 B 2 C 3． ． ． D．1
2 2 2
4．（2024 安徽月考）已知向量 a,b滿足 | a b | | a |，且 | b | 2，則 a b的值為 ( )
A．2 B． 2 C．1 D． 1
5．（2024 湖北期中）向量 a (2,4)， b (5,3) a ，則 (a b) ( )
A． 10 B．14 C． ( 6,4) D． 2
6．（2024 福建期中）已知非零向量 a， b滿足 | b | 2 3 | a |，且 a (3a b)，則 a 與 b的夾角為 ( )
A B ． ． C D 2 ． ．
6 4 3 3

7．（2024 四川期中）已知單位向量 a， b滿足 a b 0，若向量 c a 3b，則 cos b,c ( )
A 3 B 1 C 3． ． ． D 1．
2 2 4 4
8 2024 a

b 60

．（ 長春月考）已知單位向量 ， 的夾角為 ，則 | 2a b | ( )
A．1 B． 3 C． 5 D．3

9．（2024 湖北模擬）已知平面向量 a，b，c 滿足 a (2,1)，b (1,2) ，a c ，b c 3 2，則 | c | ( )
A． 10 B． 2 5 C．5 2 D．3 5

10．（2024 青島期中）在 ABC 中， AB 2 3， BC 4， B 30 ， P為邊 AC 上的動點，則 BC BP的取
值范圍是 ( )
A． [0，12] B．[12，16] C． [4，12] D．[4 13,16]
11．（2024 湖南模擬）已知在Rt ABC中，CA CB 2，以斜邊 AB的中點O為圓心， AB為直徑，在點C

的另一側作半圓弧 AB，點M 在圓弧上運動，則CA CM 的取值范圍為 ( )
A．[0,2 2 2] B． [0， 4] C． [0， 6] D．[2 2 2,4]
12．（2024 甘肅模擬）如圖所示，邊長為 2的正 ABC，以 BC的中點O為圓心， BC為直徑在點 A的另一
側作半圓弧 BC，點 P在圓弧上運動，則 AB AP的取值范圍為 ( )
A．[2,2 3] B． [2， 4] C． [2， 5] D．[4,3 3]

13．（2024 廣西月考）已知向量 a ( 1,1)， b (2, x) ，若 a b，則 | a b | ( )
A．2 B． 2 2 C． 10 D． 2 3

14．（2024 寧夏期中）已知向量 a (2, )， b ( 1,2) a ，若 b，則 | a b | ( )
A．3 B． 10 C． 2 2 D． 2 3
15．（2024 河南模擬）剪紙是中國古老的傳統民間藝術之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一
張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形 ABCD的邊長

為 2，點 P在四段圓弧上運動，則 AP AB的取值范圍為 ( )
A． [ 1，3] B． [ 2， 6] C． [ 3，9] D． [ 3， 6]
16．（2024 內蒙古模擬）如圖 ABC 為等腰三角形， BAC 120 ， AB AC 4，以 A為圓心，1 為半徑

的圓分別交 AB， AC 與點 E， F ，點 P是劣弧 EF 上的一點，則 BP PC 的取值范圍是 ( )
A． [9，11] B．[10，11] C． [9，12] D．[10，12]
17．（2024 江蘇月考）在Rt ABC中， A 90 ， AB 2， AC 4，D為 BC的中點，點 P在 ABC斜邊

BC的中線 AD上，則 PB PC的取值范圍為 ( )
A． [ 5， 0] B． [ 3， 0] C． [0， 3] D．[0， 5]
18．（2024 重慶月考）如圖，已知正六邊形 ABCDEF 的邊長為 2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為

1，若點 P在正六邊形的邊上運動，MN 為圓O的直徑，則 PM PN 的取值范圍是 ( )
A． [3 ,3] B 3． [ , 4] C． [2， 3] D．[2， 4]
2 2
19．（2024 浙江月考）圓是中華民族傳統文化的形態象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的
中國人所崇拜的圖騰．如圖， AB是圓O的一條直徑，且 | AB | 6，C，D是圓O上任意兩點， |CD | 3，

點 P在線段CD上，則 PA PB的取值范圍是 ( )
A 27． [ ,9] B [3． ,3] C 9．[ ,0] D．[ 9， 0]
4 4 4
20．（2024 河北月考）已知 A、 B、C是平面上不共線的三點，O是 ABC的重心，點 P滿足

OP 1OB 1

OC 2 OA，則 ACP與 BCP面積比為 ( )
6 6 3
A．5 : 6 B．1: 4 C． 2 : 3 D．1: 2
21．（2024 贛州期中）奔馳定理：已知點O是 ABC 內的一點，若 BOC， AOC， AOB的面積分別記

為 S1， S2 ， S3，則 S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這
個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的 logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是 ABC的

垂心，且OA 2OB 3OC 0，則 cosC ( )
A 3 10 B 10 C 2 5 5． ． ． D．
10 10 5 5

22．（2024 江蘇月考）在 ABC中，H 為垂心， HA 2HB 3HC 0，則 A ( )
A B ． ． C． D．
2 4 3 6

23．（2024 開封月考）已知點 P是 ABC 所在平面內的一個動點，滿足 AP ( A B A C )( 0)，則射
| AB | | AC |
線 AP經過 ABC 的 ( )
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心

24．（2024 1 江蘇月考）動點 P滿足OP [(1 )OA (1 )OB (1 2 )OC]( R)，動點 P一定會過 ABC
3
的 ( )
A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心
25．（2024 新疆月考）已知O是三角形 ABC所在平面內一定點，動點 P滿足

OP OA AB AC ( )( 0) ，則 P點的軌跡一定通過三角形 ABC的 ( )
| AB | sin B | AC | sinC
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心

26 1 4．（2024 泉州月考）已知O為 ABC的外心，AB 4，AC 6，AO AB AC，則 ABC的面積為 ( )
6 9
A．12 B．12 3 C．6 D． 6 3
27．（2021 多選 新高考Ⅰ）已知O為坐標原點，點 P1(cos ,sin ) ， P2 (cos , sin )， P3 (cos( )，
sin( ))， A(1,0)，則 ( )

A． |OP1 | |OP2 | B． | AP1 | | AP2 |

C．OA OP3 OP1 OP2 D．OA OP1 OP2 OP3
28．（2024 多選 重慶月考）設點M 是 ABC所在平面內一點，則下列說法正確的是 ( )

A．若 AM 2AB AC，則點M 在線段 BC上
1 1 B．若 AM AB AC，則點M 是三角形的重心
3 3

C．若OM OA ( A B A C )( R)，則點M 的軌跡必過 ABC 的內心
| AB | | AC |

D 1 1．若 AM xAB yAC ，且 x y ，則 MBC的面積是 ABC面積的
2 2
29．（2024 多選 孝感期中）點O是 ABC 所在平面內的一點，下列說法正確的有 ( )

A．若OA OB OC 0則O為 ABC的重心

B．若 (OA OB) AB (OB OC) BC 0，則點O為 ABC的垂心

C ABC AB AC ( A B A C
BA
．在 中，向量 與 滿足 ) BC 0，且 B C 1 ，則 ABC 為等邊三角
| AB | | AC | | BA | | BC | 2
形

D．若 2OA OB 3OC 0， S AOC ， S ABC分別表示 AOC， ABC的面積，則 S AOC : S ABC 1: 6
30．（2024 多選 吉林月考）生于瑞士的數學巨星歐拉在 1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣
一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理．在 ABC中，O，H ，
G分別是外心、垂心和重心， D為 BC邊的中點，下列四個選項中正確的是 ( )

A．GH 2OG B．GA GB GC 0
C． AH 2OD D． S ABG S BCG S ACG
31．（2024 多選 江蘇月考）在 ABC中，角 A， B，C所對的邊分別為 a， b， c，O為平面內一點，下
列說法正確的有 ( )

A．若O為 ABC 的外心，且 3OA 4OB 5OC 0，則OA OB

B．若O為 ABC 的內心， AB AC 5,BC 5 8,AO mAB nBC (m,n R) ，則m n
6
3 C．若O為 ABC 的重心， aOA bOB cOC 0，則角 A 60
3
D．若O為 ABC的外心，且O到 a，b， c三邊距離分別為 k，m， n，則 k :m : n sin A : sin B : sinC

32．（2024 多選 廣東期中）在 ABC中，AB AC 3，BC 4，O為 ABC內的一點，設 AO AB AC，
則下列說法正確的是 ( )
A O ABC 2．若 為 的重心，則
3
B．若O為 ABC 2的內心，則
5
C 9．若O為 ABC 的外心，則
10
D．若O 1為 ABC的垂心，則
5

33．（2022 1 甲卷）設向量 a，b的夾角的余弦值為 ，且 | a | 1， | b | 3，則 (2a b) b ．
3

34．（2021 a 甲卷）若向量 ，b滿足 | a | 3 ， | a b | 5， a b 1，則 | b | ．

35．（2020 上海）三角形 ABC中， D是 BC中點， AB 2， BC 3， AC 4，則 AD AB ．

36．（2019 新課標Ⅲ）已知 a， b為單位向量，且 a b 0，若 c 2a 5b ，則 cos a ， c ．

37．（2024 威海模擬）已知向量 a (2,1)， b (0,1)， c a tb，若 a c 6，則 t ．

38．（2016 新課標Ⅱ）已知向量 a (m, 4)，b (3, 2) ，且 a / /b ，則m ．

39．（2024 廣東期中）已知向量 a ( 2,1)， b ( 2,3) ， c (m, 1) c ， b ，則 | a c | ．

40．（2024 北京月考）已知向量 a (k 3,3),b (k 2,2)(k R) a ，若 / /b ，則 | a b | ．6.2 數量積
考向 1 利用內積公式求解問題
題型 1 求模長、夾角和內積
1．基底的定義
如果 e1 、e2 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 a，有且僅有一對實數 1， 2，
使得 a 1e1 2e2 ．我們把不共線的向量 e1 、 e2 叫做表示這個平面內所有向量的一組基底．
2．平面向量的直角坐標運算
特殊基底的應用:非 0 基底向量垂直時，可利用平面直角坐標系坐標化解題，在平面直角坐標系內，分別取
與 x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量 i ，j 作為基底，對平面內任一向量 a ，有且僅有一個實數對 (x，y)，
使得 a xi yj ，則實數對 (x，y)叫做向量 a 的坐標，記作 a (x，y) ，其中 x， y分別叫做 a 在 x軸、 y軸
上的坐標，相等向量的坐標相同，坐標相同的向量是相等向量．

①已知點 A(x1，y1)， B(x2 ，y2 )，則 AB (x2 x1，y2 y1)， | AB | (x2 x
2 2
1) (y2 y1)
②已知 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )，則 a b (x1 x2 ，y1 y2 )， a ( x1， y1)，
3．數量積的運算律
已知向量 a 、 b 、 c 和實數 ，則：
① a b b a ；
② ( a) b = (a b) a ( b) ；
③ (a b) c = a c b c ．
4．數量積的坐標運算
已知非零向量 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )， 為向量 a 、 b 的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模 | a | a a | a | x2 y2
數量積 a b | a || b | cos a b x1x2 y1y2
x x y y
夾角 cos
a b
cos 1 2 1 2
| a || b | x2 y2 2 21 1 x2 y2
a b的充要條件 a b 0 x1x2 y1y2 0
a∥b 的充要條件 a （b b 0） x1y2 x2 y1 0
| a b | | a || b |(當且僅當
| a b |與 | a || b |的關系 | x1x2 y1y2 |≤ x
2 y2 x2 y21 1 2 2
a∥b時等號成立)

【例 1】（2023 北京）已知向量 a，b滿足 a b (2,3) ， a b ( 2,1)，則 | a |2 | b |2 ( )
A． 2 B． 1 C．0 D．1

2 2020 a b | a | 5 | b | 6 a b 6 cos a

【例 】（ 新課標Ⅲ）已知向量 ， 滿足 ， ， ，則 ， a b ( )
A 31 B 19． ． C 17． D 19．
35 35 35 35

【例 3】（2022 乙卷）已知向量 a，b滿足 | a | 1， | b | 3 ， | a 2b | 3，則 a b ( )
A． 2 B． 1 C．1 D．2

【例 4】（2023 上海）已知向量 a ( 2,3)， b (1,2)，則 a b ．
跟蹤訓練

【訓練 1】（2022 乙卷）已知向量 a (2,1)， b ( 2,4)，則 | a b | ( )
A．2 B．3 C．4 D．5

【訓練 2】（2019 新課標Ⅲ）已知向量 a (2,2)， b ( 8,6)，則 cos a，b ．

3 2018 a b | a | 1 a

【訓練 】（ 新課標Ⅱ）已知向量 ， 滿足 ， b 1，則 a (2a b) ( )
A．4 B．3 C．2 D．0

【訓練 4 】已知向量 a (2,1)，b (3,2)，則 a (a b) ( )
A． 5 B． 3 C．3 D．5
【解題總結】
題型 2 利用投影法求范圍
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量 a 與 b ，我們把數量 | a || b | cos 叫做 a 與 b 的數量積（或內積），記作 a b ，即
a b = | a || b | cos ，規定：零向量與任一向量的數量積為 0．
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：| a | cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影數量，當 為銳角時，它是正數；當 為鈍角時，
它是負數；當 為直角時，它是 0．
② a b的幾何意義：數量積 a b等于 a 的長度 | a |與 b 在 a 方向上射影 | b | cos 的乘積．

【例 1】（2020 山東）已知 P是邊長為 2的正六邊形 ABCDEF 內的一點，則 AP AB的取值范圍是 ( )
A． ( 2,6) B． ( 6,2) C． ( 2,4) D． ( 4,6)

【例 2】如圖，ABCD是邊長 2的正方形，P為半圓弧 BC上的動點（含端點）則 AB AP的取值范圍為 ( )
A． [2， 6] B． [2， 3] C． [4， 6] D．[4，8]
跟蹤訓練

【訓練 5】已知 D是腰長為 2的等腰直角 ABC 斜邊 BC上的動點，則 AB AD的取值范圍是 ( )
A． [ 2,4] B． [ 2,2] C． [0， 4] D．[2， 4]
【訓練 6】已知在直角三角形 ABC中，CA CB 1，以斜邊 AB的中點O為圓心，AB為直徑，在點C的另

一側作半圓弧 AB，M 為半圓弧上的動點，則CA CM 的取值范圍為 ( )
A 1 2 3 1 2． [0, ] B． [0，1] C． [0, ] D．[ ,1]
2 2 2
考向 2 利用坐標轉換求解問題
題型 1 利用向量平行垂直關系求解

①已知點 A(x1，y1)， B(x2 ，y2 )，則 AB (x2 x
2 2
1，y2 y1)， | AB | (x2 x1) (y2 y1)
②已知 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )，則 a b (x1 x2 ，y1 y2 )， a ( x1， y1)，
a b= x1x2 y1y2， a x
2 2
1 y1 ． a∥b x1y2 x2 y1 0， a b x1x2 y1y2 0

【例 1】（2018 新課標Ⅲ）已知向量 a (1,2)，b (2, 2)， c (1, )．若 c / /(2a b)，則 ．

【例 2】已知向量 a，b滿足 | a | 3， | b | 1 (2a ，且 9b) a ，則 2a 9b 與 b的夾角的余弦值為 ( )
A 5 B 5 2 5． ． C． D．
3 9 3 9
跟蹤訓練

【訓練 1】已知向量 a ( 1,1)， b (2, x)，若 a / /b ，則 | a b | ( )
A．3 2 B．3 C． 2 2 D．2

【訓練 2 】已知 a (2, 1),b (x 1,4) ，且 a b，則 | 2a b | ( )
A． 5 B． 2 5 C． 10 D． 2 10
【解題總結】
題型 2 特殊幾何圖形與建系法求解
1．常見特殊幾何圖形的建系處理
邊長為 a的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
對于向量中的特殊幾何圖形的數量積問題，我們可以參考以上圖形的建系方法來轉換成坐標運算降低思維
難度，注意向量的代數問題也可以設坐標來表示，從而轉化為函數或者不等式去求取值范圍.
【例 1】（2022 北京）在 ABC中，AC 3，BC 4， C 90 ．P為 ABC所在平面內的動點，且 PC 1，

則 PA PB的取值范圍是 ( )
A． [ 5， 3] B． [ 3，5] C． [ 6， 4] D．[ 4， 6]

【例 2】如圖所示，梯形 ABCD中， AD / /BC ，點 E為 AB的中點， BA BC 0， BD BA BD AD 4，

若向量CE 在向量CB上的投影向量的模為 4，設M 、 N分別為線段CD、 AD上的動點，且CM CD，
1 AN AD，則 EM EN 的取值范圍是 ( )
9
A 11． [ , ) B． [11,13] C 13 61 11 61． [ , ] D．[ , ]
9 9 9 9 9 9 9

【例 3】已知點 A，點 B，點 P都在單位圓上，且 | AB | 3 ，則 PA PB的取值范圍是 ( )
A． [ 1 , 3] B． [ 1，3] C． [ 2， 3] D． [ 1， 2]
2 2
跟蹤訓練

【訓練 3】在正方形 ABCD中，已知 AB 1，點 P在射線CD上運動，則 PA PB的取值范圍為 ( )
A． [0，1] B．[1 3 3， ) C． [ ，1] D． [ ， )
4 4
【訓練 4】若 ABC是邊長為 1的等邊三角形，G是邊 BC的中點，H 是邊 AC的中點，M 為線段 AG上任

意一點，則MB MH 的取值范圍是 ( )
A [ 1． , ) B [ 1 , 1] C [ 11 11 1． ． , ) D．[ , ]
8 8 4 64 64 4

【訓練 5】在矩形 ABCD中， AB 3， BC 4．若 AP 1，則 BP BD的取值范圍是 ( )
A． [4，13] B． [4，14] C． [6，13] D．[9，14]
【解題總結】
題型 3 極化恒等式
2．極化恒等式
2 2
a×b 1= a + b - a - b
4 ( ) ( )
1 AM AC AB
在△ABC中，若 AM 是△ABC 的 BC 邊中線，有以下兩個重要的向量關系： 2
BM 1

AC AB
2
定理 1 平行四邊形兩條對角線的平分和等于兩條鄰邊平分和的兩倍.以此類推到三角形，若AM是 ABC的
中線，則 AB2 AC2 2 AM 2 BM 2 .
2 2 2 2
定理 2 在 ABC 中，若 M是 BC 的中點，則有 AB AC AM 1 BC AM BM .
4
向量數量積問題中，夾角未知，向量動點變化，極化恒等式具有重要的作用.
【例 1】在 ABC 中，AB 2，cos(A B)cos(B C)cos(C A) 1，P為 ABC所在平面內的動點，且 PA 1，

則 PB PC的取值范圍是 ( )
A [ 3 , 9] B [ 1 ,11． ． ] C． [3 2 3,3 2 3] D．[3 3,3 3]
2 2 2 2
【例 2】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，每年新春佳節，我國許多
地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿
望．圖 1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖 2中正六邊形 ABCDEF 的邊長為 2 3，

圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為 2，若點 P在正六邊形的邊上運動，MN 為圓的直徑，則 PM PN 的
取值范圍是 ( )
A [5 8] B [2 3] C [5． ， ． ， ． , 4] D 3． [ ,3]
2 2
跟蹤訓練

【訓練 6】若正 ABC的邊長為 4，P為 ABC 所在平面內的動點，且 PA 1，則 PB PC的取值范圍是 ( )
A． [3，15] B．[9 2 3,9 2 3] C． [9 3 3,9 3 3] D．[9 4 3,9 4 3]
【訓練 7】已知圖中正六邊形 ABCDEF 的邊長為 6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為 4，若點 P在正

六邊形的邊上運動，MN 為圓O的直徑，則 PM PN 的取值范圍是 ( )
A． [26，35] B． [24，33] C． [25，35] D． [23，32]
【解題總結】
考向 3 奔馳定理與向量四心
題型 1 奔馳定理
1．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點.
已知△ABC x x x y y y的頂點 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 )，C(x ，y )，則△ABC的重心坐標為G( 1 2 3 ， 1 2 33 3 ) .3 3

注意：（1）在△ABC 中，若O為重心，則OA +OB +OC = 0．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為 2:1，且分的三個三角形面積相等．
1
重心的向量表示： AG = AB 1+ AC ．
3 3

奔馳定理： 1 OA 2 OB 3 OC 0，則△AOB、△AOC、△BOC的面積之比等于 3 : 2 : 1
奔馳定理證明：
奔馳定理最直觀的體現就是以中心O為起點引出的三個向量，每個向量與其對面的三角形面積
構成的向量數乘之和為 0.

【例 1】已知點 O為 ABC 內一點，且OA 2OB 3OC 0，則 AOB、 AOC、 BOC的面積之比等于（ ）
A．9∶4∶1 B．1∶4∶9 C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
跟蹤訓練

【訓練 1】已知O為正△ABC內的一點，且滿足OA OB (1 )OC 0，若△OAB的
面積與△OBC的面積的比值為 3，則 的值為（ ）
A 1 B 5． ． C．2 D．3
2 2
題型 2 外心向量定理
外心：三條邊垂直平分線的交點，外心到三個頂點的距離相等，即 OA OB OC ；
1 2 1 2 2
（1） AO AB AB ， AO AC AC ； BO BC 1 BC ；
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 AO 1
2 1 2
（2） AF AB AC ， BO BE AB BC ，CO CD BC AC ；
4 4 4 4 4 4
1 2 1 2 1 2 2 2 2
（3） AO BC AC AB ， BO AC BC
1
BA ，CO AB
1
BC 1 AC .
2 2 2 2 2 2
證明：
推論：

【例 2】在 ABC 中， AC 3， AB 1，O是 ABC 的外心，則 BC AO的值為 ( )
A．8 B．6 C．4 D．3
跟蹤訓練

【訓練 2】在 ABC 中，CA 2CB 4， F 為 ABC 的外心，則CF AB ( )
A． 6 B． 8 C． 9 D． 12
題型 3 垂心定理

若 AD 為三角形 ABC 底邊 BC 上的高，P為高 AD 上任意一點，則一定有 AP ×PB = AP ×PC
證明：
垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點（如圖右），故點 O是 ABC的垂心，

則一定有OA OB OB OC OC OA．

OA OB OC OB OB (OA OC ) = 0 OB CA = 0，即OB ^ CA，以此類推即可證明．
垂心的向量乘積定理：
如下圖，若 O 是 ABC的垂心，G是邊 BC 所在直線上的一點，則 AB AC AO AC AO AB AO AG
證明：
推論：

【例 3】在 ABC 中，OA OB OB OC OC OA， D為 BC 3邊上一點（不含端點）， AB AC ，則
2

AO AD ( )
A．1 B． 3 C 3． D．2
2
跟蹤訓練

【訓練 3】若H 是 ABC的垂心，且 2HA 2HB 3HC 0，則 tanC的值為 ．
題型 4 角平分線向量定理

若OA a，OB b，則 AOB平分線上的向量OM 為 ( a b )， 由OM 決定
| a | | b |
a b
角平分線定理證明： 和 分別為OA和OB方向上的單位向量，
a b 是以 a 和 b 為一組鄰邊的
| a | | b | | a | | b | | a | | b |

平行四邊形過O點的的一條對角線，而此平行四邊形為菱形，故 a b 在 AOB平分線上，但 AOB平
| a | | b |

分線上的向量OM 終點的位置由OM 決定.當 1時，四邊形OAMB構成以 AOB 120 的菱形．
內心定理
（1）角平分線的交點，到三條邊的距離相等；
（2） OA a OB b OC c 0；
證明：
推論：
【例 4】（多選）如圖． P為 ABC 內任意一點，角 A， B ，C的對邊分別為 a， b， c ，總有優美等式

S PBC PA S PAC PB S PAB PC 0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理．則以下命題是真
命題的有 ( )

A．若 P是 ABC 的重心，則有 PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，則 P是 ABC 的內心
2 1 C．若 AP AB AC，則 S
5 5 ABP
: S ABC 2 : 5

D．若 P是 ABC 的外心， A ， PA mPB nPC ，則m n [ 2,1)
4
跟蹤訓練
【訓練 4】（多選）在 ABC中，角 A， B，C所對的邊分別為 a， b， c，O為平面內一點，下列說法正
確的有 ( )

A．若O為 ABC 的外心，且 3OA 4OB 5OC 0，則OA OB

B．若O為 ABC 5的內心， AB AC 5,BC 8,AO mAB nBC (m,n R) ，則m n
6
3 C．若O為 ABC 的重心， aOA bOB cOC 0，則角 A 60
3
D．若O為 ABC的外心，且O到 a，b， c三邊距離分別為 k，m， n，則 k :m : n sin A : sin B : sinC
【訓練 5】（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎
車 (Mercedesbenz)的 logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是 ABC內一點， BOC，

AOC， AOB的面積分別為 SA，SB ，SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0．設O是銳角 ABC 內的一點，
BAC， ABC， ACB分別是 ABC的三個內角，以下命題正確的有 ( )

A．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3
5 B．若 |OA | |OB | 2， AOB ， 2OA 3OB 4OC 0 9 ，則 S
6 ABC

2

C O ．若 為 ABC 的內心， 3OA 4OB 5OC 0，則 C
2

D O ABC 3OA 4OB 5OC 0 cos AOB 6．若 為 的垂心， ，則
6
題型 2 向量四心的軌跡問題

【例 1 | AB | AB | AC | AC】已知O是三角形 ABC所在平面內一定點，動點 P滿足OP OA ( )， R，
sinC sin B
則 P點的軌跡一定通過三角形 ABC的 心．
【例 2】已知O是三角形 ABC所在平面內一定點，動點 P滿足

OP OA ( AB AC ) ， (0， )，則動點 P的軌跡一定通過 ABC 的 心．
| AB | cosB | AC | cosC
【例 3】已知O是三角形 ABC所在平面內一定點，動點 P滿足

OP OB OC ( AB AC ) ， [0， )，則動點 P的軌跡一定通過 ABC 的 心．
2 | AB | cosB | AC | cosC
【例 4】已知O是銳角 ABC所在平面內的一定點，動點 P滿足：

OP OA ( AB AC 2 2 )， (0， )，則動點 P的軌跡一定通過 ABC的 心．
| AB | sin ABC | AC | sin ACB
【例 5】（多選）在 ABC中， AB AC 3， BC 4，O為 ABC內的一點，

設 AO AB AC，則下列說法正確的是 ( )
A．若O為 ABC 2 2的重心，則 B．若O為 ABC的內心，則
3 5
C 9 1．若O為 ABC 的外心，則 D．若O為 ABC的垂心，則
10 5
跟蹤訓練

【訓練 6】若O是平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，且滿足OP OC (CB CA)( R)，
則 P點的軌跡一定過 ABC的 ( )
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心

【訓練 7】 A、 B、C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足 AP ( A B A C )( [0, ))，則點 P的
| AB | | AC |
軌跡一定經過 ABC的 ( )
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心

【訓練 8】設O為 ABC P OB OC AB AC所在平面上一點，動點 滿足OP ( ) ，其中 A，
2 | AB | cosB | AC | cosC
B，C為 ABC 的三個內角，則點 P的軌跡一定通過 ABC的 ( )
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【訓練 9】（多選）下列說法正確的是 ( )

A．向量 e1 (2,
1 3
3)， e2 ( , )能作為平面內所有向量的一組基底2 4
1 B．已知 OAB中，點 P為邊 AB的中點，則必有OP (OA OB)
2

C．若 PA PB PB PC PC PA，則 P是 ABC的垂心

D．若G是 ABC的重心，則點G滿足條件GA GB CG 0

【訓練 10】（多選）在 ABC 所在的平面上存在一點 P，AP AB AC ( , R )，則下列說法錯誤的是 ( )
A．若 1，則點 P的軌跡不可能經過 ABC的外心
B．若 2，則點 P的軌跡不可能經過 ABC的垂心
C．若 1 ，則點 P的軌跡可能經過 ABC的重心
2
D．若 ，則點 P的軌跡可能經過 ABC的內心
【解題總結】
拓展思維
拓展 1 矩形大法
如圖，在矩形 ABCD中，若對角線 AC 和 BD交于點O，P為平面內任意一點，有以下兩個重要的向量關系：

① PA2 + PC 2 = PB2 + PD2 ；② PA × PC = PB × PD.
證明：
1 【例 1】（2013 重慶卷）在平面內， AB1 AB2 ， OB1 OB2 1， AP AB1 AB2 若 OP < ，則 OA 的取值2
范圍是（ ）
5 5 7 A 0 , 5
7
． 2
B. ,2 2
C. , 2 D. , 2
2 2


PA 2 PB 2
【例 2】（2012 江西卷）在 Rt△ABC 中，點 D是斜邊 AB的中點，點 P為線段 CD的中點，則 等
PC 2
于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
拓展 2 隱圓問題

極化恒等式向量乘積型： PA PB

平面內，若 A，B 1為定點，且 PA PB ,則 P的軌跡是以 AB中點M 為圓心， AB2 為半徑的圓．
4
證明：
【例 1】（2017 江蘇）在平面直角坐標系 xOy中， A( 12，0)， B(0，6)，點 P在圓 O： x2 y2 50上，若

PA PB 20，則 P的橫坐標范圍是 ．
與向量模和向量數量積構成隱圓

【例 2 】已知平面向量 a， b， c滿足對任意 x R都有 | a xb | | a b |， | a xc | | a c |成立，

| a c | | b c | 1 | a b | 3 | a ， ，則 |的值為（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D． 7

【例 3】（2008 浙江卷）已知 a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足 (a c) (b c) 0，則

| c |的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C 2． 2 D．
2

【例 4】（2018 浙江）已知 a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量 a與 e的夾角為 ，向量 b滿
3

足 b 2 4e b 3 0，則 | a b |的最小值是 ( )
A． 3 1 B． 3 1 C．2 D． 2 3
拓展 3 向量新定義問題

【例 1】我們把由平面內夾角成60 的兩條數軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”．如圖所示，e1 ，

e2 兩分別為Ox，Oy正方向上的單位向量．若向量OP xe1 ye2 ，則把實數對 x, y 叫做向量OP的“@未來

坐標”，記OP x, y ，已知 x1, y1 , x2 , y2 分別為向量 a,b的@未來坐標．
(1)證明： x , y x , y x x y y 11 1 2 2 1 2 1 2 x1y2 x2 y1 2

(2)若向量 a,b的“@未來坐標”分別為 sin x,1 , cos x,1 ，已知 f x a b， x R ，求函數 f x 的最值．

【例 2】n個有次序的實數 a1,a2 , ,an 所組成的有序數組 a1,a2 , ,an 稱為一個 n維向量，其中 ai i 1, 2 ,n

稱為該向量的第 i個分量.特別地，對一個n維向量 a a1,a2 , ,a n ，若 ai 1，i 1, 2 n，稱 a為n維信號

n
向量.設 a a1,a2 , ,a n ，b b1,b2 , ,bn ，則 a和b的內積定義為 a b ai bi ，且 a b a b 0 .
i 1
(1)直接寫出 4個兩兩垂直的 4維信號向量；
(2)證明：不存在 14個兩兩垂直的 14維信號向量；

(3)已知 k個兩兩垂直的 2024維信號向量 x1, x2 , , xk 滿足它們的前m個分量都是相同的，求證： km 45 .
【例 3】三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下：

a1 a2 a3 i j k
b1 b2 b3 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c a b c a
b x y z 3 1 3 2．若 1 1 1 ，則稱 a b為空間向量 a與b
c1 c2 c3 x2 y2 z2
a

的叉乘，其中 x1i y1 j z1k （ x1, y1, z1 R），b x2i y2 j z2k（ x2 , y2 , z2 R）， i , j ,k 為單位正交基

底．以 O為坐標原點、分別以 i , j ,k 的方向為 x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知 A，B
是空間直角坐標系中異于 O的不同兩點．

(1)①若 A 1,2,1 ， B 0, 1,1 ，求OA OB；

②證明：OA OB OB OA 0．

(2)記 AOB 1的面積為 S AOB，證明： S AOB OA OB ．2

(3)證明： OA OB 2 的幾何意義表示以 AOB為底面、 OA OB為高的三棱錐體積的 6倍．

【例 4】對于三維向量 ak xk , yk , zk xk , yk , zk N, k 0,1,2, ，定義“ F 變換”： ak 1 F ak ，其中，

xk 1 xk yk , yk 1 yk zk , zk 1 zk xk ．記 ak xk yk zk ， ak xk yk zk ．

(1)若a0 3,1,2 ，求 a2 及 a2 ；
uur
(2)證明：對于任意 a0 ，經過若干次 F 變換后，必存在K N*，使 aK 0；

(3)已知 a1 p, 2,q q p , a1 2024，將 a1再經過m次 F變換后， am 最小，求m的最小值．

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