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數列第 1 節課后練習
1．（2024 貴陽期末）根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式：
（1 4 1 4 2） ， ， ， ， ；（2） 2 ， 5 ， 10， 17， ；
5 2 11 7
3 1 3 7 15 31 4 3 5 7 9（ ） ， ， ， ， ， ；（ ） ， ， ， ， ；
2 4 8 16 32 5 8 11 14
5 1 8 15 24（ ） ， ， ， ， ；（6）7，77，777， ．
5 7 9
2
2．（2024 梅州期末）已知數列{9n 9n 2
9n2
}．
1
（1 98）求這個數列的第 10項；（2） 是不是該數列中的項？為什么？（3）求證：數列中的各項都在區間 (0,1)
101
1 2
內；（4）在區間 ( ， )內有無數列中的項？若有，有幾項？若沒有，請說明理由．
3 3
3．（2024 郴州期末）數列 an 中，a －n＝2n－1－k·2n 1， n N ，若 an 是遞減數列，求實數 k 的取值范圍．
4．（2024 1 襄陽期末）已知(－1)na＜1－ 對任意 n N 恒成立，則實數 a 的取值范圍是 ．
2n
(3 a)n 8,n 6
5．（2024 鄲城月考）已知數列{an}滿足：a

(n N *n n 6 )，且數列{an}是遞增數列，則實數 a
a ,n 6
的取值范圍是 ( )
A． (2,3) B 10． [2， 3) C． ( ,3) D． (1,3)
7
6．（2024 7 福州期末）已知數列 an 的通項公式為 an n ( )n 1， n N ，則該數列是否有最大項，若有，9
求出最大項的項數；若無，說明理由．
n 2021 n－ 2 0188．（2024 濟寧月考）在數列 an 中，an an＝ ，求該數列前 100項中的 最大項與最小n 2022 n－ 2 019
項的 項數．
9．（2024 2 大理期末）已知數列{an}的前 n 項和 Sn n n 1，求數列的通項公式 an ．
10．（2024 n 1 漳州期末）數列{an}的前 n 項和 Sn ( 1) n ，求數列的通項公式 an ．
11．（2024 欽州期末）數列{an}的前 n 項和 Sn 3 2
n
，求數列的通項公式 an ．
12．（2024 昆明月考）在數列 a 中 a 1，且對所有 n 2， n N *n 1 ，數列的前 n項之積 n2 ，求數列的通項
公式．
n,n為奇數
13．（2024 宜昌期末）我們可以利用數列{an}的遞推公式 an n n N * ，求出這個數列各項的值，
,n偶數 2
使得這個數列中的每一項都是奇數研究發現該數列中的奇數都會重復出現，那么第 4 個 5 是該數列的第
項．
an，an為偶數，
13．（2024 衡陽期末）已知數列{an}滿足：a 21＝m(m 為正整數)，an＋1＝ 若 a4＝4，求
3an＋1，an為奇數.
m 所有可能的取值．
14．（2024 韶關期末）如果數列{an}各項成周期性變化，那么稱數列{an}為周期數列．若數列{bn}滿足 b1 2，
b 1n (n 2)，觀察數列{bn}的周期性，b2024 的值為 ( )1 bn 1
A．2 B． 1 C 1． D． 2
2
15．（2025 1 冀州月考）已知數列{an}滿足 an＋1＝1－ ，且 a1＝2，則 a2 022的值為( )an
A 1． B．－1 C．2 D．1
2
16．（2024 蘇州月考 多選）（多選）已知數列{xn}滿足 x1 a ， x2 b ， xn 1 xn xn 1(n 2)，則下列結論
正確的是
( )
A． x2020 a B． x2022 a b
C． x11 x2021 D． x1 x2 x2020 2b a
2an ,n是奇數
17 ．（2024 杭州月考 多選）設數列{an}的前 n項和為 Sn ，且滿足 a1 1，an 1 1 ，則下列說法
,n是偶數
an
中正確的有 ( )
A． a4 2 B．{an}是周期數列 C． a2022 2 D． S18 21
18．（2024 鄭州）若數列{an}滿足 an 2 an 1 an (n N )， Sn 為{an}的前 n項和，且 S2 2008，
S3 2010，求 S2026．中小學教育資源及組卷應用平臺
第1節 數列的概念
考向一 數列的通向公式與遞推公式
一、數列及其有關概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第1項也叫做首項；第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示；……；第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用表示．類比函數中的定義域，容易得到數列中項的下角標．
2． 數列的一般形式可以寫成，，，…，，…，簡記為．
二、數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
三、數列的通項公式與遞推公式
1．如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．有的數列不止有一個通項公式（可類比相同函數），例如；，這個數列中的項是0與1交替出現，奇數項都是0，偶數項都是1，所以通項公式可以寫成，也可以寫成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．有的數列沒有通項公式，比如無理數和中的數依次排成的數列．
2．通項公式：數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．
3．遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，比如數列滿足：，且（），那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
【例1】寫出下面數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數：
（1）4，6，8，10，；
（2）1，3，6，10，15，；
（3），，，，，；
（4）2，3，5，9，17，33，；
（5）3，0，，0，3，0，，0，．；
（6）8，88，888，8888，；
【例2】是數列，，，中的第幾項　　
A．第98項 B．第99項 C．第100項 D．第101項
【例3】設數列{an}滿足an＝
寫出這個數列的前5項．
跟蹤訓練
【訓練1】數列1，3，6，10，，21，28，中，由給出的數之間的關系可知的值是　　
A．12 B．15 C．17 D．18
【訓練2】下列選項中能滿足數列1，0，1，0，1，0，的通項公式的有　　
A． B．
C． D．
【訓練3】我們可以利用數列的遞推公式，求出這個數列各項的值，使得
這個數列中的每一項都是奇數，則　 ?。?br/>考向2 數列的前n項和Sn（積）與an的關系
題型1 數列的前n項和Sn與an的關系
1．把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．．
3．已知與的關系式，記為，它可由階差公式直接求出通項，但要注意驗證與兩種情況能否統一，具體分三步進行：
(1)時，由，求的值；
(2)時，由，求得的表達式；
(3)檢驗的值是否滿足（2）中的表達式．
①若滿足，則合寫；
②若不滿足，則寫成分段函數的形式：．
4．前項和與通項的關系
（1）為等差數列，．
（2）（），即從第二項開始為等差數列．
注：選填題可以直接用，解答題在規范書寫的基礎上結合結論可以簡化計算過程，避實就虛！
【例1】已知數列的前項和為．求數列的通項公式．
【例2】已知數列的前項和為．求數列的通項公式．
【例3】在正項數列中，為其前項和，且，求通項公式．
【例4】數列的前項和，求數列的通項公式．
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列的前項和，那么它的通項公式為　 ?。?br/>【訓練2】數列的前項和，那么它的通項公式是　 ?。?br/>【訓練3】已知數列滿足，且其前項和滿足，請寫出一個符合上述條件的數列的通項公式　 ?。?br/>【訓練4】已知數列滿足，則中的最小項的值為 　　．
【訓練5】已知數列的前項和，則的最大值為 　 ?。?br/>題型2 數列的前n項積與an的關系
1．把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之積，稱為數列{an}的前n項積，記作，即．
2．．
3．已知與的關系式，記為，它可由階商公式直接求出通項，但要注意驗證與兩種情況能否統一，具體分三步進行：
(1)時，由，求的值；(2)時，由，求得的表達式；
(3)檢驗的值是否滿足（2）中的表達式．
①若滿足，則合寫；
②若不滿足，則寫成分段函數的形式：．
【例1】已知數列的前項積．求的通項公式．
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列的前項積．求數列的通項公式．
考向3 數列的性質
題型1 數列的單調性與最值問題
一般地，一個數列{an}，如果從第2項起，每一項都大于它的前一項，即，那么這個數列叫做遞增數列．如果從第2項起，每一項都小于它的前一項，即，那么這個數列叫做遞減數列．如果數列{an}的各項都相等，即，那么這個數列叫做常數列．
1．利用定義法判斷數列的單調性
（1）作差比較法，即較與的大小
單調性 是遞增數列 是遞減數列 是常數列
（2）作商比較法，即比較與的大小
是遞增數列 是遞減數列 是常數列
是遞減數列 是遞增數列
（3）轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性．常見的數列母函數有一次函數、二次函數、分式函數、分段函數、類指數函數等等．
【例1】數列的通項公式為，．求證：為遞增數列．
【例2】已知數列的通項公式，
（1）求證：；
（2）判斷是遞增數列還是遞減數列，并說明理由．
【訓練1】已知數列的通項公式為，求證：此數列為遞增數列．
【訓練2】已知函數()，構造數列()．試判斷數列的單調性．
2．利用數列的單調性求參數的取值范圍
常利用以下等價關系：數列遞增 恒成立；數列遞減 恒成立，通過分離變量法轉化為代數式的最值來解決．
【例3】已知數列是單調遞增數列，，，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練3】在數列中，已知，則“”是“為單調遞減數列”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．求數列中的最大(小)項問題
（1）先利用作差法或作商法判斷函數的單調性，再進一步求出數列的最值．
（2）構造函數，確定函數的單調性，進一步求出數列的最值．
（3）利用“兩邊夾”，()求數列中的最大項；利用()求數列中的最小項．
注：適用于單峰函數，若解不唯一時，比較各解大小即可確定．
【例4】已知數列中，，．
（1）若是遞增數列，求λ的取值范圍；
（2）若的第7項是最小項，求λ的取值范圍．
【例5】已知數列的通項公式為，求該數列的最大項．
【例6】已知，則數列中有沒有最大項？如果有，求出最大項；
如果沒有，請說明理由．
【訓練4】已知數列的前8項為1，1，2，3，5，8，13，21，令，則取最小值時，　?。?br/>【訓練5】已知，求該數列前30項中的最大項和最小項．
題型2 數列的周期性
1．定義
類比周期函數的概念，我們可定義：對于數列，如果存在一個常數，使得對任意的正整數恒有成立，則稱數列是從第項起的周期為的周期數列．若，則稱數列為純周期數列，若，則稱數列為混周期
數列，的最小值稱為最小正周期，簡稱周期．
2．常見的周期數列
以下類型針對非常數數列，即．
類型一 鄰項等和
①若，則；特別地，則；
②若，則；特別地，則；
類型二 鄰項等積
①若，則；證明：，兩式作商得．
特別地，則；
②若，則；證明同上．
特別地，則；
類型三 錯號等值
①若，則；證明類比類型一．
特別地，則；
②若，則；證明類比類型二．
特別地，即，則；
類型四 一次分式之
若，其中，則．
特別地，若，即為前面類型二（鄰項之積）
類型五 一次分式之
若，其中，則．
類型六 一次分式之
若，其中，則．
類型七 一次分式之
若，其中，則．
【例1】在數列中，，，設為數列的前項和，則
（　 　）
A． B． C．3 D．2
【例2】若數列滿足，，則該數列的前2025項的乘積
等于　　
A．2023 B．2024 C． D．
【例3】已知數列中，，則能使的的數值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【例4】已知實數列滿足（為實數），()，求．
跟蹤訓練
【訓練1】已知是的前項和，，則下列選項錯誤的是　　
A． B．
C． D．是以3為周期的周期數列
【訓練2】數列滿足，，則　　　．
【訓練3】已知數列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則等于(　　)
A．－ B．0 C． D．3
【訓練4】已知數列的前項和為，，，則下列結論不正確的是　　
A． B．
C．， D．是以4為周期的周期數列
【訓練5】數列滿足，，，，則下面正確的是　　
A．， B．，
C．， D．，
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第 1節 數列的概念
考向一 數列的通向公式與遞推公式
一、數列及其有關概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的
第一個位置上的數叫做這個數列的第 1項，常用符號 a1表示，第 1項也叫做首項；第二個位置上的數叫做
這個數列的第 2項，用 a2表示；……；第 n個位置上的數叫做這個數列的第 n項，用 an表示．類比函數中
的定義域，容易得到數列中項的下角標 n N ．
2． 數列的一般形式可以寫成 a1， a2， a3 ，…， an，…，簡記為 an ．
二、數列的分類
分類標準 名稱 含義
有窮數列 項數有限的數列
按項的個數
無窮數列 項數無限的數列
三、數列的通項公式與遞推公式
1．如果數列{an}的第 n項 an與它的序號 n之間的對應關系可以用一個式子 an f (n)來表示，那么這個式子
叫做這個數列的通項公式．有的數列不止有一個通項公式（可類比相同函數），例如； 0,1,0,1, ，這個數
0,n為奇數
列中的項是 0與 1交替出現，奇數項都是 0，偶數項都是 1，所以通項公式可以寫成 an ，也可
1,n為偶數
n
以寫成 a 1＋ －1 n＝ (n N*) a
1＋cos nπ
∈ 或 n＝ (n∈N*)．有的數列沒有通項公式，比如無理數 e和 中的數依
2 2
次排成的數列．
2．通項公式：數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離
散的數的函數．
3．遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，比如數列 an 滿足：
a1 1， a2 1且 an an 2 an 1（ n 3），那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
【例 1】寫出下面數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數：
（1）4，6，8，10， ；
（2）1，3，6，10，15， ；
3 2 4 6 8 10（ ） ， ， ， ， ， ；
3 15 35 63 99
（4）2，3，5，9，17，33， ；
（5）3，0， 3，0，3，0， 3，0， ．；
（6）8，88，888，8888， ；
【例 2】 401是數列 5， 9， 13， 17中的第幾項 ( )
A．第 98項 B．第 99項 C．第 100項 D．第 101項
1，n＝1，
【例 3】設數列{an}滿足 an＝ 1 1＋ ，n≥2，n∈N*.
an－1
寫出這個數列的前 5項．
跟蹤訓練
【訓練 1】數列 1，3，6，10， x，21，28， 中，由給出的數之間的關系可知 x的值是 ( )
A．12 B．15 C．17 D．18
【訓練 2】下列選項中能滿足數列 1，0，1，0，1，0， 的通項公式的有 ( )
1 ( 1)n 1A． an B a
n
．
2 n
sin
2
1,n是奇數
C． an cos
2 (n 1) D． a
2 n

0,n是偶數
n,n為奇數時
【訓練 3】我們可以利用數列{an}的遞推公式 an

an ,n為偶數時 n N ，求出這個數列各項的值，使得 2
這個數列中的每一項都是奇數，則 a64 a65 ．
考向 2 數列的前 n項和 Sn（積Tn ）與 an的關系
題型 1 數列的前 n項和 Sn與 an的關系
1．把數列{an}從第 1項起到第 n項止的各項之和，稱為數列{an}的前 n項和，記作 Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋
an．
S1 ,n 12．an ．
Sn Sn 1,n 2
S ,n 1
3．已知 Sn與 n的關系式，記為 Sn f n 1，它可由階差公式 an 直接求出通項 a ，但要
Sn S
n
n 1,n 2
注意驗證 n 1與 n 2兩種情況能否統一，具體分三步進行：
(1)n 1時，由 a1 S1，求 a1的值；
(2)n 2時，由 an Sn Sn 1，求得 an 的表達式；
(3)檢驗 a1的值是否滿足（2）中 an 的表達式．
①若滿足，則合寫；
S ,n 1
②若不滿足，則寫成分段函數的形式： a 1n ．
Sn Sn 1,n 2
4．前 n項和 Sn與通項 an 的關系
（1） Sn an
2 bn {an}為等差數列，an 2an b a．
2 a b c,n 1
（2） Sn an bn c（ c 0） an ，即{a }從第二項開始為等差數列．
2an b a,n 2
n
注：選填題可以直接用，解答題在規范書寫的基礎上結合結論可以簡化計算過程，避實就虛！
【例 1】已知數列{an}的前 n項和為 S
2
n n 2n．求數列{an}的通項公式．
【例 2】已知數列{an}的前 n項和為 S n
2
n 2n 1．求數列{an}的通項公式．
【例 3】在正項數列{an}中， Sn為其前 n項和，且 S 2n (n2 n 1)Sn (n2 n) 0，求通項公式 an ．
【例 4 n 1】數列{an}的前 n項和 Sn ( 1) n，求數列的通項公式 an ．
跟蹤訓練
【訓練 1】已知數列{an}的前 n項和 S n
2
n 2n，那么它的通項公式為 an ．
【訓練 2】數列的前 n項和 S 2n 2n n 1，那么它的通項公式是 ．
【訓練 3】已知數列{an}滿足 an 1 an ，且其前 n項和 Sn 滿足 Sn 1 Sn ，請寫出一個符合上述條件的數列的
通項公式 an ．
a a a
【訓練 4】已知數列{an}滿足 a 21 2
3
2
n
2 n
2 10n，則{an}中的最小項的值為 ．2 3 n
【訓練 5】已知數列{an}的前 n項和 Sn 20n
2 3n 2n，則 an的最大值為 ．
題型 2 數列的前 n項積Tn 與 an的關系
1．把數列{an}從第 1項起到第 n項止的各項之積，稱為數列{an}的前 n項積，記作Tn ，即Tn a1a2 an．
T1 ,n 1
2． an

Tn ．
,n 2 Tn 1
T1 ,n 1
3．已知Tn 與 n的關系式，記為Tn f n ，它可由階商公式 an Tn ,n 2直接求出通項 an ，但要注意
Tn 1
驗證 n 1與 n 2兩種情況能否統一，具體分三步進行：
(1)n 1 T時，由 a1 T1，求 a1的值；(2) n 2時，由 a nn ，求得 aT n
的表達式；
n 1
(3)檢驗 a1的值是否滿足（2）中 an 的表達式．
①若滿足，則合寫；
T
1
,n 1
②若不滿足，則寫成分段函數的形式： an Tn
,n 2
．
Tn 1
2
【例 1】已知數列{an}的前 n項積T
n 2n
n 2 ．求{an}的通項公式．
跟蹤訓練
n
【訓練 1】已知數列{a 2n}的前 n項積Tn ．求數列{an}的通項公式．n 1
考向 3 數列的性質
題型 1 數列的單調性與最值問題
一般地，一個數列{an}，如果從第 2項起，每一項都大于它的前一項，即 an 1 an 0，那么這個數列叫做
遞增數列．如果從第 2項起，每一項都小于它的前一項，即 an 1 an 0，那么這個數列叫做遞減數列．如
果數列{an}的各項都相等，即 an 1 an 0，那么這個數列叫做常數列．
1．利用定義法判斷數列的單調性
（1）作差比較法，即較 an 1 an與 0的大小
an 1 an 0 an 1 an 0 an 1 an 0
單調性 an 是遞增數列 an 是遞減數列 an 是常數列
（2 a）作商比較法，即比較 n 1 與1的大小
an
an 1 1 a n 1 1 a n 1 1
an an an
an 0 an 是遞增數列 an 是遞減數列
a 0 a a a 是常數列n n 是遞減數列 n 是遞增數列 n
（3）轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性．常見的數列母函
數有一次函數、二次函數、分式函數、分段函數、類指數函數等等．
【例 1】數列 an 的通項公式為 an 3 2n 2 2 3n 1， n N ．求證： an 為遞增數列．
【例 2】已知數列{an}
n
的通項公式 an 2 (n N )，n 1
（1）求證： 0 an 1；
（2）判斷{an}是遞增數列還是遞減數列，并說明理由．
【訓練 1】已知數列{an}的通項公式為 an n n 1，求證：此數列為遞增數列．
【訓練 2 1 2x】已知函數 f (x) ( x 1 )，構造數列 an f (n) ( n N
)．試判斷數列的單調性．
x 1
2．利用數列的單調性求參數的取值范圍
常利用以下等價關系：數列 an 遞增 an 1 an恒成立；數列 an 遞減 an 1 an恒成立，通過分離變量法
轉化為代數式的最值來解決．
【例 3】已知數列{an}是單調遞增數列， a m(2
n
n 1) n
2 ， n N * ，則實數m的取值范圍為 ( )
A． (2, ) B． (1,2) C． (3 , ) D． (2,3)
2
n2
【訓練 3】在數列{an}中，已知 an n ，則“ 1”是“{an}為單調遞減數列”的 ( )2
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．求數列中的最大(小)項問題
（1）先利用作差法或作商法判斷函數的單調性，再進一步求出數列的最值．
（2）構造函數，確定函數的單調性，進一步求出數列的最值．
a
（3）利用“兩邊夾”， n
an 1 a a
( n 2 )求數列中的最大項 a
n n 1
a a n
；利用 ( n 2 )求數列中的最小項 an．
n n 1 an an 1
注：適用于單峰函數，若解不唯一時，比較各解大小即可確定．
【例 4】已知數列 a 2 n 中， an n n， n N ．
（1）若 an 是遞增數列 ，求λ的取值范圍；
（2）若 an 的第 7項是最小項，求λ的取值范圍．
【例 5】已知數列{an}的通項公式為 a
2
n n 21n，求該數列的最大項．
9na (n 1)【例 6】已知 n n (n N*)，則數列{an}中有沒有最大項？如果有，求出最大項；10
如果沒有，請說明理由．
8
【訓練 4】已知數列{an}的前 8 項為 1，1，2，3，5，8，13，21，令 f (x) (x a )2i ，則 f (x)取最小值
i 1
時， x ．
【訓練 5】已知 a n 98n ，求該數列前 30項中的最大項和最小項．n 99
題型 2 數列的周期性
1．定義
類比周期函數的概念，我們可定義：對于數列{an}，如果存在一個常數T (T N
)，使得對任意的正整
數 n n0 恒有 an T an成立，則稱數列{an}是從第 n0 項起的周期為T 的周期數列．若 n0 1，則稱數列
{an}為純周期數列，若 n0 2，則稱數列{an}為混周期
數列，T 的最小值稱為最小正周期，簡稱周期．
2．常見的周期數列
以下類型針對非常數數列，即 an an 1．
類型一 鄰項等和
①若 an an 1 k，則T 2；特別地 an an 1 0，則T 2；
②若 an an 1 an 2 k ，則T 3；特別地 an an 1 an 2 0，則T 3；
類型二 鄰項等積
①若 an an 1 k (k 0)，則T 2；證明： an 1 an 2 k，兩式作商得 an 2 an ．
特別地 an an 1 1，則T 2；
②若 an an 1 an 2 k (k 0)，則T 3；證明同上．
特別地 an an 1 an 2 0，則T 3；
類型三 錯號等值
①若 an 2 an 1 an k ，則T 6；證明類比類型一．
特別地 an 2 an 1 an 0，則T 6；
②若 an 2 an 1 an k (k 0) ，則T 6；證明類比類型二．
a
特別地 an 2 an 1 an 1，即 an 2
n 1 ，則T 6；
an
類型四 一次分式之T 2
a a b
若 a nn 1 ，其中 a d 0，則T 2．c an d
k
特別地，若 a d 0，即為前面類型二（鄰項之積 an 1 ）an
類型五 一次分式之T 3
a an b若 an 1 ，其中 (a d )
2 ad bc，則T 3．
c an d
類型六 一次分式之T 4
a a b
若 a n 2n 1 ，其中 (a d ) 2(ad bc)，則T 4．c an d
類型七 一次分式之T 6
a an b若 an 1 ，其中 (a d )
2 3(ad bc)，則T 6．
c an d
【例 1】在數列 an 中， a1 2， an 1 1 an n N ，設 Sn為數列 an 的前項和，則
S2022 2S2023 S2024 （ ）
A． 3 B． 2 C．3 D．2
2 {a } a 1 a 1 a【例 】若數列 n 滿足 n1 ， n 1 (n N )，則該數列的前 2025項的乘積 a2 1 a 1
a2 a3 a2025
n
等于 ( )
A．2023 B．2024 C 3． D 1．
2 2
a a b(b 0) a 13 (n N 【例 】已知數列 n 中， 1 ， n 1 )則能使 an b的 n的數值是（ ）an 1
A．14 B．15 C．16 D．17
【例 4】已知實數列{an}滿足 a1 a（a
3a 1
為實數），an
n 1 ( n N )，求 a2024．
3 an 1
跟蹤訓練
1 S {a } n a 2,a 1 1【訓練 】已知 n 是 n 的前 項和， 1 n ，則下列選項錯誤的是 ( )an 1
A． a2021 2 B． S2021 1012
C． a3n a3n 1 a3n 2 1 D．{an}是以 3為周期的周期數列
【訓練 2】數列 an a
1 a
滿足 n 1n (n
1
2)， a1 ，則 a2023 ．1 an 1 100
an－ 3
【訓練 3】已知數列{an}滿足 a1＝0，an 1＝ (n∈N*＋ )，則 a
3a 1 2024
等于( )
n＋
A．－ 3 B．0 C． 3 D．3
【訓練 4】已知數列{an}的前 n項和為 Sn ， a1 3， an 1 anan 1 1(n 2)，則下列結論不正確的是 ( )
A a 1． 2022 B． S19 222
C． n N *， a3n a3n 1 a3n 2 1 D．{an}是以 4為周期的周期數列
【訓練 5】數列{xn}滿足 xn 1 xn xn 1(n 2)，x1 a，x2 b，Sn x1 x2 xn，則下面正確的是 ( )
A． x100 a， S100 2b a B． x100 b， S100 2b a
C． x100 b， S100 b a D． x100 a， S100 b a中小學教育資源及組卷應用平臺
數列第1節課后練習
1．（2024 貴陽期末）根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式：
（1），，，，；（2），，，，；
（3），，，，，；（4），，，，；
（5），，，，；（6）7，77，777，．
2．（2024 梅州期末）已知數列．
（1）求這個數列的第10項；（2）是不是該數列中的項？為什么？（3）求證：數列中的各項都在區間內；（4）在區間，內有無數列中的項？若有，有幾項？若沒有，請說明理由．
3．（2024 郴州期末）數列中，an＝2n－1－k·2n－1，，若是遞減數列，求實數k的取值范圍．
4．（2024 襄陽期末）已知(－1)na＜1－對任意恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
5．（2024 鄲城月考）已知數列滿足：，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．
6．（2024 福州期末）已知數列的通項公式為，，則該數列是否有最大項，若有，求出最大項的項數；若無，說明理由．
8．（2024 濟寧月考）在數列中，an＝，求該數列前100項中的最大項與最小項的項數．
9．（2024 大理期末）已知數列的前項和，求數列的通項公式．
10．（2024 漳州期末）數列的前項和，求數列的通項公式．
11．（2024 欽州期末）數列的前項和，求數列的通項公式．
12．（2024 昆明月考）在數列中，且對所有，，數列的前項之積，求數列的通項公式．
13．（2024 宜昌期末）我們可以利用數列的遞推公式，求出這個數列各項的值，使得這個數列中的每一項都是奇數研究發現該數列中的奇數都會重復出現，那么第4個5是該數列的第　　項．
（2024 衡陽期末）已知數列{an}滿足：a1＝m(m為正整數)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
14．（2024 韶關期末）如果數列各項成周期性變化，那么稱數列為周期數列．若數列滿足，，觀察數列的周期性，的值為　　
A．2 B． C． D．
15．（2025 冀州月考）已知數列{an}滿足an＋1＝1－，且a1＝2，則a2 022的值為(　　)
A． B．－1 C．2 D．1
16．（2024 蘇州月考 多選）（多選）已知數列滿足，，，則下列結論正確的是
　　
A． B．
C． D．
17．（2024 杭州月考 多選）設數列的前項和為，且滿足，，則下列說法中正確的有　　
A． B．是周期數列 C． D．
18．（2024 鄭州）若數列滿足，為的前項和，且，，求．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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