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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第七章 立體幾何第1節(jié) 小題篇
考向1 空間點線面的位置關(guān)系
題型1 三垂線定理速證垂直
三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直．
已知是平面的垂線，垂足為，是平面的斜線，斜足為，直線．
求證：（1）若，則；
若，則．
證明：（1），又，故；
（2），又，故．
【例1】如圖，在長方體中，體對角線與面對角線的位置關(guān)系一定是　　
A．平行 B．相交 C．垂直 D．異面
【例2】在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線　　
A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條
【例3】（2021 浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點，則　　
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，正方體中，是底面的中心，，，，分別為棱，，，的中點，則下列與垂直的是　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】如圖，在正四棱柱，，分別是，的中點，則下面結(jié)論一定成立的是　　
A．與平行 B．與所成角大小為
C．與垂直 D．與垂直
題型2 幾何法求解距離問題
①兩點間的距離：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理處理；
②點到平面的距離：等體積法；
③直線到平面的距離：轉(zhuǎn)化為求點到面的距離；
④平面到平面間的距離：轉(zhuǎn)化為求點到面的距離．
注意：若二面角非直角，可以考慮用向量轉(zhuǎn)化求解距離，如訓(xùn)練5．
【例1】在矩形ABCD中，，，沿對角線AC將矩形折成一個直二面角，則點B與點D之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例2】如圖，已知在矩形ABCD中，，，M為邊BC的中點，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點重合于點P，則點P到平面MAD的距離為 ．

【例3】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為
A．2 B． C． D．1
【例4】直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點，求平面與平面的距離．

跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】（2009 全國1卷）已知二面角為，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【訓(xùn)練2】在三棱錐中，底面，則點到平面的距離是（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練3】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離．
【訓(xùn)練4】在長方體中，已知，，與平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距離是 ．
【訓(xùn)練5】已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點之間的距離為 　 　．
題型3 幾何法處理夾角問題
知識點1：線與線的夾角
（1）位置關(guān)系的分類：
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
②范圍：
③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
知識點2：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
知識點3：二面角
（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．
（3）二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點做面的垂線；即過點，作于；
②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．
圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：補棱法
當構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．
例如：過二面角內(nèi)一點作于，作于，面交棱于點，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．
角度1 幾何法求異面直線所成角
【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：
（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值．
【例1】（2021 乙卷文）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，
因為平面，所以，又，，
所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，
，所以．
【訓(xùn)練1】（2018 全國卷II文）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，
設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則．

角度2 幾何法求二面角
【例1】（2013 全國大綱卷理）已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（2014 四川卷理）如圖在正方體中，點為線段的中點． 設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
角度3 射影面積法求二面角
【例1】如圖，在正方體中，，，求二面角一一的余弦值．
【訓(xùn)練3】如圖△ABC與△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =，則二面角 A-BD-C的余弦值為 ．
考向2 靜態(tài)立體幾何
題型1 常見幾何體與重要特殊幾何體
1．常見空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側(cè)棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
3．空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱)
錐體(棱錐和圓錐)
臺體(棱臺和圓臺)
球
3． 常考其他幾何體
陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵．
再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．
4．正四面體
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．（正四面體的棱長為正方體棱長倍）
在棱長為的正四面體中
結(jié)論1：高．
結(jié)論2：內(nèi)切球半徑．
結(jié)論3：外切球半徑．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為　　
A．2 B． C．4 D．
【例2】（2022 甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則　　
A． B． C． D．
【例3】（2023 多選 新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，
，點在底面圓周上，且二面角為，則　　
A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為
C． D．的面積為
【例4】（2021 新高考Ⅱ）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，其上點的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為　　
A． B． C． D．
【例5】（2020 新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為　 　．
【例6】小張同學(xué)將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為　　
A． B． C． D．
【例7】正四面體中，棱長為，高為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，與平面所成角為，二面角的大小為，則　　
A． B． C． D．
【例8】已知正四面體，點為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為 　 　．
【例9】《九章算術(shù)商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一．”如圖解釋了這段話中由一個長方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程．在一個長方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為　　
A． B． C． D．
【例10】《九章算術(shù)商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．意思是：如圖，沿正方體對角面截正方體可得兩個塹堵，再沿平面截塹堵可得一個陽馬（四棱錐，一個鱉臑（三棱錐，若為線段上一動點，平面過點，平面，設(shè)正方體棱長為1，，與圖中的鱉臑截面面積為，則點從點移動到點的過程中，關(guān)于的函數(shù)圖象大致是　　
A． B．
C． D．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】（2015 山東）在梯形中，，，，將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（2021 新高考Ⅱ）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練3】（2023 甲卷）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為　　
A．1 B． C．2 D．3
【訓(xùn)練4】（2022 新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練5】（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練6】（2016 新課標Ⅲ）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練7】（2022 新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練8】若正四面體的表面積為，則其外接球的體積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練9】在棱長為1的正四面體中，、分別為、的中點，則下列命題正確的是　　
A． B．
C．平面 D．和夾角的正弦值為
【訓(xùn)練10】《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是　　
A．四棱錐為“陽馬”
B．四面體為“鱉臑”
C．四棱錐體積的最大值為
D．過點分別作于點，于點，則
題型2 截面問題
一、立體幾何與截面問題
1．定義
①截面:一個無限長的平面去截幾何體，該平面與幾何體的交面，為該幾何體的截面
②截線:該平面與幾何體表面上的交線叫做截線．
③截點:該平面與幾何體各棱上的交點叫做截點．連接各截點形成的線段即為截線(在表面上)，連接各截線形成的封閉圖形即為截面．
2．作截面的基本邏輯
(1)找截點→連截線→圍截面
(2)作截面的理論依據(jù)：
①任意兩點確定唯一直線，不共線的三點確定唯一平面；
②處于兩個平面中的兩條直線的交點，在這兩條直線所在的平面的交線上；
③若兩個平面互相平行，且第三個平面與它們相交，則兩條交線平行；
④若一條直線平行于一個平面，經(jīng)過該直線的平面與該此平面相交，則直線與交線平行：
(3)如何確定該截面是否“完整”
①所畫的線是否圍成了一個封閉圖形
②題目所要求過的點是否都在截面上
③該截面的各個邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內(nèi)部)
3．作截面的具體方法
（1）平行線法：適用于有兩個或兩個以上截面線段在表面上
（2）延長線法：適用于只有一個截面線段在表面上
【例1】正方體的棱長為2，為棱的中點，用過點，，的平面截取該正方體，則截面的面積為　　
A． B． C．5 D．
【例2】正方體中，，分別是，的中點，則過，，三點的平面截正
方體所得的截面形狀是　　
A．平行四邊形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形
【例3】如圖正方體，棱長為1，為中點，為線段上的動點，過點、、的平面截該正方體所得的截面記為．則下列命題正確的是　①②④　（寫出所有正確命題的編號）．
①當時，為四邊形；
②當時，為等腰梯形；
③當時，為六邊形；
④當時，的面積為．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】在正方體中，，分別為，的中點，過，，三點的平面截正方體所得的截面形狀為　　
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【訓(xùn)練2】在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則經(jīng)過，，三點的平面截正方體所得的截面的面積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練3】正方體的棱長為2，點，，分別是棱，，中點，則過點，，三點的截面面積是　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練4】如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，為線段上一個動點，則下列說法不正確的是　　
A．存在點，使直線平面
B．存在點，使平面平面
C．三棱錐的體積為定值
D．平面截正方體所得截面的最大面積為
二、正方體截面問題:
1．正方體的基本截面:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四邊形 正方形
菱形 矩形 任意五邊形 任意六邊形 正六邊形
正方體的截面不會出現(xiàn)以下圖形: 直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．
2．正方體截面面積最大值:
截面為三角形正三角形
截面為四邊形矩形
截面為六邊形正六邊形
注意：正方體的體對角線與所有棱所成角都相等．
【例1】（2018 新課標Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023 多選 新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有　　
A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體
三、球體的截面問題
1．球的截面一定是圓或者是圓的一部分；
2．確定球心與半徑，建立直角三角形，計算截面與球心的距離；
3． 最大的截面半徑，最小的截面半徑．
【例1】正四面體的棱長為4，為棱的中點，過作此正四面體的外接球的截面，則該截面面積的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【例1】【多選】在邊長為4的正方形中，如圖1所示，，，分別為，，的中點，分別沿，及所在直線把，和折起，使，，三點重合于點，得到三棱錐，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是　　
A．
B．三棱錐的體積為4
C．三棱錐外接球的表面積為
D．過點的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為，
【例2】已知三棱錐的各個頂點都在球的表面上，底面，，，，是線段上一點，且．過點作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為和，且兩截面間的距離為1，則該球的體積為 　 　．
【訓(xùn)練2】如圖，正方體的棱長為，以頂點為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于　　
A． B． C． D．
題型3 幾何體外接球
一、長方體切割體的外接球
圖1墻角體 圖2鱉臑 圖3挖墻角體 圖4對角線相等的四面體
【例1】（2020 天津）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為　　
A． B． C． D．
【例2】（2019 新課標Ⅰ）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點，，則球的體積為　　
A． B． C． D．
二、錐體的外接球
【例1】（2021 甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
【例2】（2020 新課標Ⅰ）已知，，為球的球面上的三個點，為的外接圓．若的面積為，，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
【例3】（2021 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為　　
A． B． C． D．
【例4】（2015 新課標Ⅱ）已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
三、含垂面and二面角的外接球
1．雙半徑單交線公式：
．
【例1】已知在三棱錐中，面面，和均是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為　 ．
【例2】已知平面圖形，為矩形，，是以為頂點的等腰直角三角形，如圖所示，將沿著翻折至△，當四棱錐體積的最大值為，此時四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．雙距離單交線公式：．證明：如圖，若空間四邊形中，
二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，
為公共弦中點，則，，，，，
由于四點共圓，且，余弦定理，
得．
【例1】已知三棱錐所有頂點都在球的球面上，為邊長為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，且，二面角為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型4 幾何體內(nèi)切球
1．棱錐的內(nèi)切球半徑：等體積法
第一步、先求出四個表面的面積和整個錐體的體積．
第二步、設(shè)內(nèi)切球半徑為，建立等式：．
第三步、解出．
注意：正四面體（棱長為）的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為．
外接球半徑：，內(nèi)切球半徑：．
【例1】正三棱錐，底面邊長為，側(cè)棱長為，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少
2．圓錐的內(nèi)切球問題
【例2】（2023 合肥月考）已知某圓錐的高為4，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的側(cè)面積　　
A． B． C． D．
【例3】點是棱長為4的正四面體表面上的動點，是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是　 ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】（2016 新課標Ⅱ）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（2017 新課標Ⅰ）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑．若平面平面，，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為　　．
解：三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑，若平面平面，，，三棱錐的體積為9，可知三角形與三角形都是等腰直角三角形，
設(shè)球的半徑為，可得，解得．球的表面積為：．故答案為：．
【訓(xùn)練3】（2022 乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練4】在三棱錐中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該三棱錐外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練5】在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為　　
A． B． C． D．
題型5 幾何體棱切球
1．常用結(jié)論：
①已知正方體的棱長為，則它的棱切球半徑為．
②已知正三棱柱的棱長均為，則它的棱切球半徑為．
③已知正四面體的棱長為，則它的棱切球半徑為．
解題技巧：
①找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形．
②正棱柱的棱切球的球心為上下底面中心連線的中點，正棱錐的棱切球的球心在其高線上，可以通過對稱性或者截面圓心的垂心確定．
③棱長都為的正棱柱，則棱切球的半徑為．
【例1】已知一個表面積為24的正方體，假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為
A． B． C． D．
【題2】已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
【題3】已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為　　
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
【訓(xùn)練3】已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，，則　 　．
【訓(xùn)練4】正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
考向3 動態(tài)立體幾何
立體幾何中的動態(tài)翻折問題
1．關(guān)于點的軌跡：某些點、線、面按照一定的規(guī)則運動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵點和翻折過程中不變的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．
2．證明或探索位置關(guān)系：
①確定翻折前后變與不變的關(guān)系，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．
②確定翻折后關(guān)鍵點的位置，所謂的關(guān)鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關(guān)的其他的點、線、面的關(guān)系變化，以及其他點、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關(guān)的證明與計算
3．關(guān)于體積最值問題，將一個多邊形沿一條線折疊得到一個棱錐,當該棱錐的體積最大時,以折線為交線的兩個半平面垂直，當在折疊過程中棱錐的底面積和高度同時變化時，則需要構(gòu)建目標函數(shù)，通過自變量的范圍,求函數(shù)最值解決．
4．旋轉(zhuǎn)問題，兩線段距離之和最值問題，將不共面的兩線段旋轉(zhuǎn)到同一平面，再利用平面幾何知識進行求解．
題型1 軌跡問題
【例1】如圖，矩形中，，為邊的中點，將沿翻折成，若為線段的中點，則在翻折過程中，點的軌跡為（ ）
A．橢圓的一段 B．直線的一段 C．拋物線的一段 D．一段圓弧
【例2】已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則點D的運動軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
題型2 最值問題
【例3】（2021 上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則的面積的取值范圍為 　 　．
【例4】在梯形中，，將沿直線翻折成，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為_______．
【例5】（2017 新課標Ⅰ）如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為．、、為圓上的點，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱錐．當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：的最大值為 　 　．
【例6】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
題型3 旋轉(zhuǎn)問題
【例1】如圖，正方體的棱長為2，是面對角線上一動點，是底面上一動點，則的最小值是 　 　．
【例2】在棱長為1的正方體中，點滿足，，，，，則以下說法正確的是　　
A．當時，平面
B．當時，存在唯一點使得與直線的夾角為
C．當時，的最小值為
D．當點落在以為球心，為半徑的球面上時，的最小值為
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，將四邊形中，沿著翻折到，則翻折過程中線段中點的軌跡是（ ）
A．橢圓的一段 B．拋物線的一段
C．雙曲線的一段 D．一段圓弧
【訓(xùn)練3】如圖1，直線將矩形分為兩個直角梯形和，將梯形沿邊翻折，如圖2，在翻折過程中（平面和平面不重合），下列說法正確的是（ ）
A．在翻折過程中，恒有直線平面 B．存在某一位置，使得平面
C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面
【訓(xùn)練4】已知矩形中，，，F(xiàn)為線段上一動點（不含端點），現(xiàn)將沿直線進行翻折，在翻折的過程中不可能成立的是（ ）
A．存在某個位置，使直線與垂直
B．存在某個位置，使直線與垂直
C．存在某個位置，使直線與垂直
D．存在某個位置，使直線與垂直
【例4】已知平面四邊形ABCD，連接對角線BD，得到等邊三角形ABD和直角三角形BCD，且，，，將平面四邊形ABCD沿對角線BD翻折，得到四面體，則當四面體的體積最大時，該四面體的外接球的表面積為（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【訓(xùn)練5】（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【訓(xùn)練6】在如圖所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線，上移動，則長度的最小值是 ．
【訓(xùn)練7】已知棱長為2的正方體中，為棱上一動點，則的最小值為 　 　．
【訓(xùn)練8】【多選】如圖，已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，是線段的中點，則下列說法正確的是　　
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．的最小值是
D．如果點是線段的中點，則平面截正方體所得的截面周長為
拓展思維1 新定義問題
【例1】如圖，撐開的傘面可近似看作一個球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圓面是底面，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高．球冠的面積，其中R為球冠對應(yīng)球面的半徑，為球冠的高，則撐開的傘面的面積大約為（ ）

A． B． C． D．
【例2】北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F滿足，則八面體的總曲率為（ ）

A． B． C． D．
【例3】祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個求積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足的點組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則滿足以下哪個關(guān)系式（ ）
A． B． C． D．
【例4】“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（ ）
A．該半正多面體的體積為
B．該半正多面體過三點的截面面積為
C．該半正多面體外接球的表面積為
D．該半正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】若給定一向量組和向量，如果存在一組實數(shù)，使得，則稱向量能由向量組A線性表示，或稱向量是向量組A的線性組合，若為三個不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【訓(xùn)練2】刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
【訓(xùn)練3】如果一個凸n面體共有m個面是直角三角形，那么我們稱這個凸n面體的直度為，則（ ）
A．三棱錐的直度的最大值為1
B．直度為的三棱錐只有一種
C．四棱錐的直度的最大值為1
D．四棱錐的直度的最大值為
【訓(xùn)練4】空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面α的方程為，經(jīng)過點的直線l的方程為，則直線l與平面α所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練5】如圖①，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（）（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練6】18世紀英國數(shù)學(xué)家辛卜森運用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統(tǒng)一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題:如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為 .

拓展思維2 折疊中的向量不變性
斯坦納定理
對角線向量定理之折痕向量乘積不變性
①
如左圖所示，在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有．所以在四邊形ABCD中，,即,這就是對角線向量定理（斯坦納定理）．
推論1：cos②
說明：式子①②既適用于平面向量也適用于空間向量
推論2：在空間向量中涉及折疊的問題，一定有折痕的向量與任意向量在折疊前后對應(yīng)的向量的乘積不變；
證明：如右圖所示，在四邊形中，沿著折疊后，移到了位置，則．
【例1】（2005 浙江）如圖所示，、是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于E，現(xiàn)將沿DE折起，使二面角為45°，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則、的連線與AE所成的角的大小為 ．
【例2】（2015 浙江）如圖，三棱錐中，，，點，分別是，的中點，則異面直線，所成的角的余弦值是 ．
【例3】（2009 浙江）如圖在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上的動點，現(xiàn)將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點做，為垂足，設(shè)，則的取值范圍是 ．
【例4】（2012 浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=，將沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（ ）
A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直
B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直
C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直
D．對任意位置，三對直線AC與BD，AB與CD，AD與BC均不垂直
【例5】（2016 浙江）如圖已知平面四邊形，，，,，沿直線AC將翻折成，直線與所成角的余弦值的最大值是 ．
類型三．異面直線兩點間距離公式與對角線向量定理
（1）作于點.于點，（2）平移交于點，（3）于點，（4）連接，.
則：.其中也是二面角的平面角；
其實對角線向量定理可以完整解決這個問題，不妨看看例題.
【例6】如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，則的長為（　　）
A． B．7 C． D．9
線線角，線面角與二面角分析與計算
1.三余弦定理（最小角定理）：如圖所示，設(shè)為平面上一點，過點的斜線在平面上的射影為，為平面內(nèi)的一條直線，那么，，三角的余弦關(guān)系為
【證明】如圖，過點作于點，過點作于點，連，則，，均為直角三角形.令，，，則，，
顯然，且，即斜線與射影所成的角是斜線與平面內(nèi)的任何直線所成的角中的最小的角.
2．三正弦定理（最大角定理）:對于一個銳二面角，在其中一個半平面內(nèi)的任一條直線與另一個半平面所成的線面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的線面角.(由三正弦定理可得)
證明 如圖，過平面內(nèi)一點作底平面的垂線，垂足為，則為與底平面所成的角，即，所以，在平面中，過點作棱的垂線，垂足為B，連接，則，為二面角的平面角，即，所以.又，
因此.
類型一 最大角和最小角定理判斷角度大小
關(guān)于異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，這三個角度比大小成為了近年考試的熱點和重難點，根據(jù)最小角定理，即異面角線面角，再根據(jù)最大角定理，即二面角線面角，所以通常線面角最小，二面角和異面角則需要具體情況具體分析.
【例1】(2022·浙江卷)如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點.記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A. B. C. D.
【例2】(2019·浙江卷)設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(不含端點).記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A.， B.， C.， D.，
【例3】（2018·浙江卷）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，是線段上的點（不含端點）.設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）.
A. B. C. D.
【例4】如圖，在正四面體中，已知，分別為，的中點，為線段上的動點（包括端點）.記與所成角的最小值為，與平面所成角的最大值為，則（ ）.
A. B. C. D.
【例5】如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點（不含端點）.若線段上存在點（不含端點），使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
【例6】（2023四省聯(lián)考）下圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算.圖中的，，，都是以為圓心的圓弧，是為計算所做的矩形，其中M，N，K，分別在線段OD，OB，OA上，，.記，，，，則
A. B. C. D.
類型二 二面角小題的方法選取
在一些二面角的小題中，我們通常在三正弦定理和面積射影定理中進行選取，這里考查我們立體幾何的基本功.
【例7】（2024·多選·廣東模擬）直棱柱中，，E分別是，的中點，.則下列判斷正確的是　　
A.面 B. C. D.二面角的平面角的正弦值為
【例8】(2024·多選·武漢模擬)如左圖，在直三棱柱中，，，，是的中點.則下列判斷正確的是　　
A.面 B.異面直線與所成角的余弦值為
C. D.面與面的平面角的正弦值為
【例9】(2024·多選·廣州模擬)如圖，在四面體中，平面.，，.是的中點，是的中點，點在線段上，且,二面角的大小為，則下列判斷正確的是　　
A.平面 B.二面角的大小為 C. D.體積為
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第七章 立體幾何小題篇課后練習
1．（2024 和平區(qū)期末）正方體中，為的中點，則直線垂直于　　
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
2．（2024 貴州期末）在棱長為4的正方體中，點到平面的距離為 ．
3．（2024 黑龍江模擬）在直三棱柱中，，，則點A到平面的距離為 ．
4．（2024 昆明模擬）如圖，棱長為2的正方體ABCD –A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面，使得//平面BDF，求平面與平面的距離．
5．（2008 全國卷II理）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2007 全國大綱卷文）已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024 深圳模擬）如圖所示，四棱錐中，平面，，
，．求平面和平面所成銳二面角的余弦值．
8．（2024 南海區(qū)月考）正四面體中，二面角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
9．（2024 六盤水期末 多選）已知正四面體的棱長為2，、分別是和的中點，下列說法正確的是　　
A．直線與直線互相垂直
B．線段的長為
C．直線與平面所成角的正弦值為
D．正四面體內(nèi)存在點到四個面的距離都為
10．（2020 浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：是　 　．
11．（2018 新課標Ⅰ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為　　
A． B． C． D．
12．（2021 甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為　　．
13．（2023 乙卷）已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為　　
A． B． C． D．
14．（2023 新高考Ⅰ）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為 　　．
15．（2023 新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，
高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 　 　．
16．（2023 天津）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為　　
A． B． C． D．
17．（2021 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為　　
A． B． C． D．
18．（2020 新課標Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為　　
A． B． C． D．
19．（2020 海南）已知正方體的棱長為2，、分別為、的中點，則三棱錐的體積為　 　．
20．（2019 江蘇）如圖，長方體的體積是120，為的中點，則三棱錐的體積是 　 　．
21．（2018 江蘇）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 　 　．
22．（2018 天津）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點，，，，（如圖），則四棱錐的體積為　 　．
23．（2017 江蘇）如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是　 　．
24．（2019 新課標Ⅲ）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 　 　．
25．（2024 四川模擬）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱作鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為　　
A． B． C． D．
26．（2024 武昌區(qū)月考）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．現(xiàn)有鱉臑，其中平面，，過作，，記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球體積分別為，，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
27．（2024 衡水月考）如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；
28．（2024 河南月考）棱長為6的正方體中，點E是線段的中點，點F在線段上，，則正方體被平面所截得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
29．（2024 江西月考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點.過作截面將此四棱錐分成上 下兩部分，記上 下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
30．（2024 長沙月考）如圖，在棱長為1的正方體的對角線上任取一點，以為球心，為半徑作一個球．設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖象最有可能的是　　
A． B．
C． D．
31．（2024 深圳期末）如圖，棱長為2的正方體的外接球的球心為，、分別為棱、的中點，在棱上，則　　
A．對于任意點，平面
B．存在點，使得平面平面
C．直線被球截得的弦長為
D．過直線的平面截球所得的截面圓面積的最小值為
32．（2017 天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體
積為　 ．
33．（2013 江蘇）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
34．（2024 山西模擬）一圓錐的高為4，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比為，則其內(nèi)切球的半徑是　　
A． B．1 C． D．
35．（2024 江蘇月考）在四面體中，，，為等邊三角形，二面角的余弦值為，則四面體的外接球表面積為 ．
36．（2024 鎮(zhèn)海月考）已知矩形，，，、分別為邊、的中點.沿直線將翻折成，在點從至的運動過程中，的中點的軌跡長度為______.
37．（2024 武漢月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中點，將△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，若此時三棱錐A1﹣CDE外接球的表面積為16π，則a＝（ ）
A．2 B． C． D．4
38．（2024 佛山月考）是邊長為的等邊三角形，、分別在、上滑動，，沿把折起，使點翻折到點的位置，連接、，則四棱錐的體積的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．2
39．（2024 蘇州月考）已知矩形，，，現(xiàn)將沿對角線向上翻折，若翻折過程中的長度在范圍內(nèi)變化，則點的運動軌跡的長度是（ ）
A． B． C． D．
40．（2024 武漢月考）在中，，，，是邊上的動點，設(shè)，把沿翻折為△，若存在某個位置，使得異面直線與所成的角為，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
41．（2024·衡水模擬）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，為棱上的動點（不含端點），記 面直線與所成的角為，則的取值范圍是 .
42．（2024 濰坊月考）如圖，棱長為3的正方體中，，分別為線段上和線段上任意一點，則的最小值為　　
A． B．4 C． D．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第七章 立體幾何小題篇課后練習
1．（2024 和平區(qū)期末）正方體 ABCD A1B1C1D1中， E為 A1C1的中點，則直線CE垂直于 ( )
A．直線 AC B．直線 B1D1 C．直線 A1D1 D．直線 A1A
2．（2024 貴州期末）在棱長為 4 的正方體 ABCD A1B1C1D1中，點B1到平面 A1BC1的距離為 ．
3．（2024 黑龍江模擬）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB AC BC 2， AA1 1，則點 A到平面 A1BC的
距離為 ．
4．（2024 昆明模擬）如圖，棱長為 2 的正方體 ABCD –A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱 AA1，CC1的中點，過
E作平面 ，使得 //平面 BDF，求平面 與平面 BDF 的距離．
5．（2008 全國卷 II 理）已知正四棱錐 S ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是 SB的中點，則 AE，SD所
成的角的余弦值為（ ）
1 2
A B 2 3． ． C． D．
3 3 3 3
6．（2007 全國大綱卷文）已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的 2 倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（ ）
A 3 B 3 C 2 D 3． ． ． ．
6 4 2 2
7．（2024 深圳模擬）如圖所示，四棱錐 S ABCD中， SA 平面 ABCD， AD / /BC ，
SA AB BC CD 1， AD 2．求平面 SAB和平面 SCD所成銳二面角的余弦值．
8．（2024 南海區(qū)月考）正四面體 A BCD中，二面角 A BC D的余弦值等于 ( )
A 1． B 1． C 1． D 1．
2 3 4 6
9．（2024 六盤水期末 多選）已知正四面體 ABCD的棱長為 2， E、 F 分別是 AB和CD的中點，下列說法
正確的是 ( )
A．直線 BD與直線 AC互相垂直
B．線段 EF 2的長為
2
C．直線 AB與平面 BCD 6所成角的正弦值為
3
D 6．正四面體 ABCD內(nèi)存在點到四個面的距離都為
6
10．（2020 浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2 )為 2 ，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底
面半徑（單位： cm)是 ．
11．（2018 新課標Ⅰ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2 ，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截
面是面積為 8的正方形，則該圓柱的表面積為 ( )
A．12 2 B．12 C．8 2 D．10
12．（2021 甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為 6，其體積為 30 ，則該圓錐的側(cè)面積為 39 ．
13．（2023 乙卷）已知圓錐 PO的底面半徑為 3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線， AOB 120 ，
PAB 9 3若 的面積等于 ，則該圓錐的體積為 ( )
4
A． B． 6 C．3 D．3 6
14．（2023 新高考Ⅰ）在正四棱臺 ABCD A1B1C1D1中，AB 2，A1B1 1，AA1 2 ，則該棱臺的體積為 ．
15．（2023 新高考Ⅱ）底面邊長為 4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為 2，
高為 3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 ．
16．（2023 1 天津）在三棱錐 P ABC 中，線段 PC 上的點 M 滿足 PM PC ，線段 PB上的點 N 滿足
3
PN 2 PB，則三棱錐 P AMN 和三棱錐 P ABC的體積之比為 ( )
3
A 1 B 2 C 1． ． ． D 4．
9 9 3 9
17 2021 32 ．（ 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為 ，兩個圓錐
3
的高之比為1: 3，則這兩個圓錐的體積之和為 ( )
A．3 B． 4 C．9 D．12
18．（2020 新課標Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四
棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正
方形的邊長的比值為 ( )
A 5 1 B 5 1 C 5 1 D 5 1． ． ． ．
4 2 4 2
19．（2020 海南）已知正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，M 、 N分別為 BB1 、 AB的中點，則三棱錐
A NMD1的體積為 ．
20．（2019 江蘇）如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1的體積是 120， E為CC1的中點，則三棱錐 E BCD的體
積是 ．
21．（2018 江蘇）如圖所示，正方體的棱長為 2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 ．
22．（2018 天津）已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 1，除面 ABCD外，該正方體其余各面的中心分別
為點 E， F ，G，H ，M （如圖），則四棱錐M EFGH 的體積為 ．
23．（2017 江蘇）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2
V
的體積為V1，球O的體積為V ，則 12 的值是 ．V2
24．（2019 新課標Ⅲ）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用 3D 打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體
ABCD A1B1C1D1挖去四棱錐O EFGH 后所得的幾何體，其中O為長方體的中心， E， F ，G ，H 分別
為所在棱的中點， AB BC 6cm， AA1 4cm.3D打印所用原料密度為 0.9g / cm
3．不考慮打印損耗，制作
該模型所需原料的質(zhì)量為 g．
25．（2024 四川模擬）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱作鱉臑．如圖，在鱉臑 S ABC
中，SC 平面 ABC， ABC是以點 B為直角頂點的等腰直角三角形，且 SC AB，E，F(xiàn) 分別為 SA，BC
的中點，則異面直線 EF與 BS 所成角的大小為 ( )
A．90 B． 60 C． 45 D．30
26．（2024 武昌區(qū)月考）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，
將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．現(xiàn)有鱉臑 S ABC，其中 SA 平面 ABC，AB BC，過 A
作 AD SB，AE SC，記四面體 S ADE，四棱錐 A BCED，鱉臑 S ABC的外接球體積分別為V1，V2，
V V1 V，則 2 的取值范圍是 ( )
V
A 2． [ ,1) B． (1, 2] C． [ 2,2) D．[ 3,2)
2
27．（2024 衡水月考）如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 6，M 是 A1B1的中點，點N在棱CC1上，且
CN 2NC1 .作出過點D，M ， N的平面截正方體 ABCD A1B1C1D1所得的截面，寫出作法；
28．（2024 河南月考）棱長為 6的正方體 ABCD A1B1C1D1中，點 E是線段C1D1的中點，點 F在線段 BB1上，
BF 4，則正方體 ABCD A1B1C1D1被平面 AEF 所截得的截面面積為（ ）
A 27 17 B 21 17 C 15 17． ． ． D 13 17．
2 2 2 2
29．（2024 江西月考）如圖，在四棱錐Q EFGH 中，底面是邊長為 2 2的正方形，QE QF QG QH 4，
V
M 為QG的中點. 1過 EM 作截面將此四棱錐分成上 下兩部分，記上 下兩部分的體積分別為V1，V2，則V 的2
最小值為（ ）
1 1 1
A 1． 2 B． C． D．3 4 5
30．（2024 長沙月考）如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD A1B1C1D1的對角線 AC1上任取一點 P，以 A為球
心， AP為半徑作一個球．設(shè) AP x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為 f (x)，則函數(shù) f (x)的圖象
最有可能的是 ( )
A． B．
C． D．
31．（2024 深圳期末）如圖，棱長為 2的正方體 ABCD A1B1C1D1的外接球的球心為O，E、F 分別為棱 AB、
CC1的中點，G在棱 BC上，則 ( )
A．對于任意點G，OA / /平面 EFG
B．存在點G，使得平面OAD 平面 EFG
C．直線 EF 被球O截得的弦長為 10
D ．過直線 EF 的平面截球O所得的截面圓面積的最小值為
2
32．（2017 天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為 18，則這個球的體
積為 ．
33．（2013 江蘇）一個四面體的所有棱長都為 2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
A．3 B． 4 C．3 3 D． 6
34．（2024 山西模擬）一圓錐的高為 4，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比為 2 :1，則其內(nèi)切球的半徑是 ( )
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
35．（2024 江蘇月考）在四面體 S ABC中， AB BC， AB BC 2 ，△SAC為等邊三角形，二面角
S AC B 3的余弦值為 ，則四面體 S ABC的外接球表面積為 ．
3
36．（2024 鎮(zhèn)海月考）已知矩形 ABCD，AB 4，BC 2，E、F分別為邊 AB、CD的中點.沿直線DE將
ADE翻折成 PDE，在點 P從A至 F 的運動過程中，CP的中點G的軌跡長度為______.
37．（2024 武漢月考）如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD＝2a，E 是 AB 的中點，將△ADE 沿 DE 翻折至△A1DE
的位置，使三棱錐 A1﹣CDE 的體積取得最大值，若此時三棱錐 A1﹣CDE 外接球的表面積為 16π，則 a＝（ ）
A．2 B． 2 C．2 2 D．4
38．（2024 佛山月考） ABC是邊長為 2 3的等邊三角形，E、F 分別在 AB、AC上滑動，EF∥BC ，沿 EF
把△AEF 折起，使點A翻折到點 P的位置，連接 PB、 PC，則四棱錐 P BCFE的體積的最大值為（ ）
A． 2 2 B． 3 C．3 D．2
39．（2024 蘇州月考）已知矩形 ABCD， AB 3， AD 1，現(xiàn)將 ACD沿對角線 AC向上翻折，若翻折過
7 13
程中 BD的長度在 , 范圍內(nèi)變化，則點D的運動軌跡的長度是（ ）
2 2

A． B 3 C 5 ． ． D 5 ．
2 6 6 3
40．（2024 武漢月考）在Rt ABC中， C ， AC 1，BC 3，D是 AB邊上的動點，設(shè) BD x，把
2
BDC沿DC 翻折為△ B DC，若存在某個位置，使得異面直線 B C 與 AD所成的角為 ，則實數(shù) x的取值
3
范圍是 ( )
A 0 x 3 3 B 3 3 x 2 3 2 2． ． 2 C． 0 x D． x 2
2 2 2 2
41．（2024·衡水模擬）已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 1，E是棱 A1D1的中點，G為棱 BC上的動點
（不含端點），記 面直線 AB 與 EG所成的角為 ，則 sin 的取值范圍是 .
42．（2024 濰坊月考）如圖，棱長為 3的正方體 ABCD A1B1C1D1中，M ，N分別為線段 AC1上和線段C1D
上任意一點，則 A1M MN的最小值為 ( )
A． 2 5 B．4 C．3 2 D． 2 3第七章 立體幾何第 1 節(jié) 小題篇
考向 1 空間點線面的位置關(guān)系
題型 1 三垂線定理速證垂直
三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂
直．
已知 PO是平面 的垂線，垂足為O， PA 是平面 的斜線，斜足為 A，直線 l ．
求證：（1）若 l PA ，則 l OA；
（2）若 l OA，則 l PA ．
PO
PO l
證明：（1） l l 平面OPA ，又OA 平面OPA，故 l OA；
l PA，PO PA P
PO
PO l
（2） l l 平面OPA，又 PA 平面OPA ，故 l PA ．
l OA，PO PA P
【例 1】如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1 中，體對角線 AC1與面對角線 BD的位置關(guān)系一定是 ( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．異面
【例 2】在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，點M ，N分別是棱 DD1 和線段 BC1 上的動點，則滿足與 DD1 垂直的
直線MN ( )
A．有且僅有 1 條 B．有且僅有 2 條 C．有且僅有 3 條 D．有無數(shù)條
1
【例 3】（2021 浙江）如圖，已知正方體 ABCD A1B1C1D1 ，M ， N分別是 A1D，D1B的中點，則 ( )
A．直線 A1D與直線 D1B垂直，直線MN / / 平面 ABCD
B．直線 A1D與直線D1B平行，直線MN 平面 BDD1B1
C．直線 A1D與直線D1B相交，直線MN / / 平面 ABCD
D．直線 A1D與直線 D1B異面，直線MN 平面 BDD1B1
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1 中，O是底面 ABCD的中心，M ，N，P，Q分別為棱 AA1 ，DD1 ，
A1B1， B1C1 的中點，則下列與 B1C垂直的是 ( )
A．OM B．ON C．OP D．OQ
【訓(xùn)練 2】如圖，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ， E， F 分別是 AB1， BC1 的中點，則下面結(jié)論一定成立的
是 ( )
A． EF 與 A1C1 平行 B． BC1 與 AB1所成角大小為 3
C． EF 與 BB1 垂直 D． EF 與 BD垂直
2
題型 2 幾何法求解距離問題
①兩點間的距離：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理處理；
②點到平面的距離：等體積法；
③直線到平面的距離：轉(zhuǎn)化為求點到面的距離；
④平面到平面間的距離：轉(zhuǎn)化為求點到面的距離．
注意：若二面角非直角，可以考慮用向量轉(zhuǎn)化求解距離，如訓(xùn)練 5．
【例 1】在矩形 ABCD中， AB 1， AD 3 ，沿對角線 AC將矩形折成一個直二面角 B AC D，則點 B
與點 D之間的距離為（ ）
A． 3 B． 5 C 10 D 5． ．
2 2
【例 2】如圖，已知在矩形 ABCD中， AD 4， AB 3，M為邊 BC的中點，將 ABM ，VCDM 分別沿著
直線 AM，MD翻折，使得 B，C兩點重合于點 P，則點 P到平面 MAD的距離為 ．
【例 3】已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= 2 2 E 為 CC1的中點，則直線 AC1與平面 BED
的距離為
A．2 B． 3 C． 2 D．1
3
【例 4】直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD為正方形，邊長為 2 ，側(cè)棱 A1A 3，M、N分別為 A1B1、A1D1
的中點， E、F分別是C1D1, B1C1的中點，求平面 AMN與平面 EFBD的距離．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】（2009 全國 1 卷）已知二面角 l 為60 ，動點 P、Q分別在面 、 內(nèi)，P到 的距離為
3 ，Q到 的距離為 2 3，則 P、Q兩點之間距離的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
【訓(xùn)練 2】在三棱錐 P ABC中，PC 底面 ABC, BAC 90 , AB AC 4, PBC 45 ，則點C到平面 PAB
的距離是（ ）
A 4 6 B 2 6 C 4 3 D 4 2． ． ． ．
3 3 3 3
【訓(xùn)練 3】如圖，在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，證明直線 BC1平行于平面 DA1C，
并求直線 BC1 到平面 D1AC 的距離．
【訓(xùn)練 4】在長方體 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB 3，BC 4， AC1與平面 ABCD所成角的大小是30 ，那
么平面 ABCD到平面 A1B1C1D1的距離是 ．
4
【訓(xùn)練 5】已知矩形 ABCD， AB 1，BC 3 ，沿對角線 AC 將 ABC折起，若二面角 B AC D的大小
為120 ，則 B，D兩點之間的距離為 ．
題型 3 幾何法處理夾角問題
知識點 1：線與線的夾角
平行直線
共面直線
1 （ ）位置關(guān)系的分類： 相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè) a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線 a ∥a，b ∥b，把 a 與 b 所成的銳角（或
直角）叫做異面直線 a與 b所成的角（或夾角）．
②范圍： (0 ， ]
2
③求法：平移法：將異面直線 a，b平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
知識點 2：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍： [0 ， ]
2
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點 B做 BB 平面 ，交平面 于點 B ' ；連接 AB ，則 BAB 即為直線 AB與平

面 的夾角．接下來在 Rt△ABB BB h中解三角形．即 sin BAB （其中 h即點 B到面 的距離，
AB 斜線長
可以采用等體積法求 h，斜線長即為線段 AB的長度）；
知識點 3：二面角
（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，
這兩個平面稱為二面角的面．（二面角 l 或者是二面角 A CD B）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于
棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍 [0， ]．
5
（3）二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，
如圖在二面角 l 的棱上任取一點O，以O(shè)為垂足，分別在半平面 和 內(nèi)作垂直于棱的射線OA和
OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就
相當于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面 或面 內(nèi)找一合適的點 A，作 AO 于O，過 A作 AB c于 B，則 BO為斜線 AB在面 內(nèi)的
射影， ABO為二面角 c 的平面角．如圖 1，具體步驟：
①找點做面的垂線；即過點 A，作 AO 于O；
②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過 A作 AB c于 B，連接 BO；
③計算： ABO為二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO中解三角形．
圖 1 圖 2 圖 3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面
S S
積公式（ cos 射 = A 'B 'C ' ，如圖 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：補棱法
當構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為
補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面
積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：過二面角內(nèi)一點 A作 AB 于 B，作 AC 于C，面 ABC交棱 a于點O，則 BOC就是二面
6
角的平面角．如圖 3．此法實際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．
角度 1 幾何法求異面直線所成角
【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：
（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所
在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余
弦取絕對值即為直線所成角的余弦值．
【例 1】（2021 乙卷文）在正方體 ABCD A1B1C1D1中，P為 B1D1的中點，則直線 PB與 AD1 所成的角為（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【詳解】如圖，連接 BC1,PC1,PB，因為 AD1 ∥ BC1，所以 PBC1 或其補角為直線 PB與 AD1 所成的角，
因為 BB1 平面 A1B1C1D1，所以BB1 PC1，又 PC1 B1D1， BB1 B1D1 B1，
所以 PC1
1
平面 PBB1 ，所以PC1 PB， 設(shè)正方體棱長為 2，則 BC1 2 2,PC1 D1B1 2 ，2
sin PC 1 PBC1 1

BC 2 ，所以 PBC1 ．1 6
【訓(xùn)練 1】（2018 全國卷 II 文）在正方體 ABCD A1B1C1D1中，E為棱CC1 的中點，則異面直線 AE與CD所
成角的正切值為（ ）
A 2． B 3 5． C． D 7．
2 2 2 2
【答案】C
【詳解】在正方體 ABCD A1B1C1D1中，CD //AB，所以異面直線 AE與CD所成角為 EAB，
設(shè)正方體邊長為 2a，則由 E為棱CC1 的中點，可得CE a
BE 5a 5
，所以 BE 5a，則 tan EAB ．
AB 2a 2
7
角度 2 幾何法求二面角
【例 1】（2013 全國大綱卷理）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2AB，則 CD 與平面 BDC1 所成
角的正弦值等于（ ）
1
A 2． 3 B
3 2
． C． D．
3 3 3
【訓(xùn)練 2】（2014 四川卷理）如圖在正方體 ABCD A1B1C1D1中，點O為線段BD的中點． 設(shè)點 P在線段CC1
上，直線OP與平面 A1BD所成的角為 ，則 sin 的取值范圍是（ ）
A [ 3 ,1] B [ 6 ,1] C [ 6 , 2 2 ] D [2 2． ． ． ． ,1]
3 3 3 3 3
角度 3 射影面積法求二面角
【例 1】如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3 ，CE 2EC1，求二面角D一 BE 一C 的余弦值．
8
【訓(xùn)練 3】如圖△ABC 與△BCD 所在平面垂直，且 AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =1200 ，則二面角 A-BD-C
的余弦值為 ．
考向 2 靜態(tài)立體幾何
題型 1 常見幾何體與重要特殊幾何體
1．常見空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
相交于一點，但不一定
側(cè)棱 平行且相等 延長線交于一點
相等
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
互相平行且相等，垂
母線 相交于一點 延長線交于一點
直于底面
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
9
2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式 S圓柱側(cè) =2 rl S圓錐側(cè) = rl S = (r＋r )l圓臺側(cè)
3．空間幾何體的表面積與體積公式
名稱
表面積 體積
幾何體
柱體(棱柱和圓柱) S表面積=S側(cè)+2S底 V =Sh
1
錐體(棱錐和圓錐) S表面積=S側(cè)+S底 V= Sh3
1
臺體(棱臺和圓臺) S表面積=S側(cè)+S上+S下 V= (S +S下+ S S3 上 上 下
) h
4
球 S=4 R2 V= R33
3． 常考其他幾何體
陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣
的三棱柱，稱為塹堵．
再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，另有一棱與底面垂直的
四棱錐，稱為陽馬．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．
10
4．正四面體
2
如圖，設(shè)正四面體ABCD 的的棱長為a ，將其放入正方體中，則正方體的棱長為 a ，顯然正四面體和正
2
方體有相同的外接球．（正四面體的棱長為正方體棱長 2 倍）
在棱長為 a的正四面體中
結(jié)論 1 6：高 h a．
3
2 6結(jié)論 ：內(nèi)切球半徑 r a．
12
6
結(jié)論 3：外切球半徑 R a．
4
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）圓錐的底面半徑為 2 ，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
【例 2】（2022 甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為 2 ，側(cè)面積分別為 S甲和
S V
S乙 ，體積分別為V甲和V乙．若
甲 2，則 甲 ( )
S乙 V乙
A． 5 B． 2 2 C． 10 D 5 10．
4
【例 3】（2023 多選 新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為 P，底面圓心為O， AB為底面直徑， APB 120 ，
PA 2 ，點C在底面圓周上，且二面角 P AC O為 45 ，則 ( )
A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為 4 3
C． AC 2 2 D． PAC的面積為 3
11
【例 4】（2021 新高考Ⅱ）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，
地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為 36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表
面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑 r 為 6400km的球，其上點 A的緯度是指OA與赤道平面所
成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為 ，該衛(wèi)星信號覆
蓋地球表面的表面積 S 2 r2 (1 cos ) （單位： km2 )，則 S占地球表面積的百分比約為 ( )
A． 26% B．34% C． 42% D．50%
【例 5】（2020 新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為 1，母線長為 3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為 ．
【例 6】小張同學(xué)將一塊棱長為 2 的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體（過程中橡皮泥無損失），
則該四面體外接球的體積為 ( )
A． 6 B． 2 6 C．3 6 D．9 6
【例 7】正四面體 ABCD中，棱長為 a，高為 h，外接球半徑為 R，內(nèi)切球半徑為 r， AB與平面 BCD所成
角為 ，二面角 A BD C 的大小為 ，則 ( )
A 6． h a B． R 2r C 6 1． sin D． cos
3 3 2
【例 8】已知正四面體 ABCD，點M 為棱CD的中點，則異面直線 AM 與 BC所成角的余弦值為 ．
12
【例 9】《九章算術(shù) 商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一．”
如圖解釋了這段話中由一個長方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程．在一個長方體截得的塹堵和鱉臑中，若
塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為 1，則鱉臑體積的最小值為 ( )
A． 2 2 2 B 4 2 ．3 3 C． 2 D． 2 3
3 3
【例 10】《九章算術(shù) 商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽
馬居二，鱉臑居一，不易之率也．意思是：如圖，沿正方體對角面 A1B1CD截正方體可得兩個塹堵，再沿平
面 B1C1D截塹堵可得一個陽馬（四棱錐 D A1B1C1D1)，一個鱉臑（三棱錐D B1C1C) ，若 P為線段CD上一
動點，平面 過點 P，CD 平面 ，設(shè)正方體棱長為 1，PD x， 與圖中的鱉臑截面面積為 S，則點 P
從點 D移動到點C的過程中， S關(guān)于 x的函數(shù)圖象大致是 ( )
A． B．
C． D．
13
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】（2015 山東）在梯形 ABCD中， ABC ， AD / /BC ， BC 2AD 2AB 2 ，將梯形 ABCD
2
繞 AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 ( )
A 2 ． B 4 5 ． C． D． 2
3 3 3
【訓(xùn)練 2】（2021 新高考Ⅱ）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為 2，4，側(cè)棱長為 2，則其體積為 ( )
A． 20 12 3 B． 28 2 C 56． D 28 2．
3 3
【訓(xùn)練 3】（2023 甲卷）在三棱錐 P ABC中， ABC 是邊長為 2 的等邊三角形，PA PB 2 ，PC 6 ，
則該棱錐的體積為 ( )
A．1 B． 3 C．2 D．3
【訓(xùn)練 4】（2022 新高考Ⅱ）如圖，四邊形 ABCD為正方形，ED 平面 ABCD，F(xiàn)B / /ED，AB ED 2FB．記
三棱錐 E ACD， F ABC， F ACE的體積分別為V1 ，V2 ，V3 ，則 ( )
A．V3 2V2 B．V3 V1 C．V3 V1 V2 D． 2V3 3V1
14
【訓(xùn)練 5】（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為 1，上、下底面邊長分別為 3 3 和 4 3 ，其頂點都在同
一球面上，則該球的表面積為 ( )
A．100 B．128 C．144 D．192
【訓(xùn)練 6】（2016 新課標Ⅲ）在封閉的直三棱柱 ABC A1B1C1 內(nèi)有一個體積為V 的球，若 AB BC，AB 6，
BC 8， AA1 3，則V 的最大值是 ( )
A． 4 B 9 ． C． 6 D 32 ．
2 3
【訓(xùn)練 7】（2022 新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水
庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2 ；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面
積為180.0km2 ．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m
時，增加的水量約為 ( 7 2.65)( )
A．1.0 109m3 B．1.2 109m3 C．1.4 109m3 D．1.6 109m3
【訓(xùn)練 8】若正四面體的表面積為8 3 ，則其外接球的體積為 ( )
A． 4 3 B．12 C．8 6 D．32 3
【訓(xùn)練 9】在棱長為 1 的正四面體 ABCD中，E、F 分別為 BC、AD的中點，則下列命題正確的是 ( )
1 A． EF (AB AC AD) B 2． EF
2 2
C． BC 2 平面 AEF D． AE和CF 夾角的正弦值為
3
15
【訓(xùn)練 10】《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，
一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹
堵 ABC A1B1C1 中， AC BC，且 AA1 AB 2．下列說法正確的是 ( )
A．四棱錐C A1B1BA為“陽馬”
B．四面體 A1CC1B1 為“鱉臑”
C 2．四棱錐 B A1ACC1 體積的最大值為 3
D．過 A點分別作 AE A1B于點 E， AF A1C 于點 F ，則 EF A1B
16
題型 2 截面問題
一、立體幾何與截面問題
1．定義
①截面:一個無限長的平面去截幾何體，該平面與幾何體的交面，為該幾何體的截面
②截線:該平面與幾何體表面上的交線叫做截線．
③截點:該平面與幾何體各棱上的交點叫做截點．連接各截點形成的線段即為截線(在表面上)，連接各截線
形成的封閉圖形即為截面．
2．作截面的基本邏輯
(1)找截點→連截線→圍截面
(2)作截面的理論依據(jù)：
①任意兩點確定唯一直線，不共線的三點確定唯一平面；
②處于兩個平面中的兩條直線的交點，在這兩條直線所在的平面的交線上；
③若兩個平面互相平行，且第三個平面與它們相交，則兩條交線平行；
④若一條直線平行于一個平面，經(jīng)過該直線的平面與該此平面相交，則直線與交線平行：
(3)如何確定該截面是否“完整”
①所畫的線是否圍成了一個封閉圖形
②題目所要求過的點是否都在截面上
③該截面的各個邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內(nèi)部)
3．作截面的具體方法
（1）平行線法：適用于有兩個或兩個以上截面線段在表面上
（2）延長線法：適用于只有一個截面線段在表面上
17
【例 1】正方體 ABCD A B C D 的棱長為 2，E為棱 BB 的中點，用過點 A，E，C 的平面截取該正方體，
則截面的面積為 ( )
A． 2 6 B． 2 5 C．5 D． 4 2
【例 2】正方體 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N分別是CC1 ， B1C1 的中點，則過 A1，M ， N三點的平面截正
方體所得的截面形狀是 ( )
A．平行四邊形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形
【例 3】如圖正方體 ABCD A1B1C1D1 ，棱長為 1，P為 BC中點，Q為線段CC1 上的動點，過點 A、P、Q
的平面截該正方體所得的截面記為 S．則下列命題正確的是 ①②④ （寫出所有正確命題的編號）．
1
①當 0 CQ 時， S為四邊形；
2
1
②當CQ 時， S為等腰梯形；
2
3
③當 CQ 1時， S為六邊形；
4
④當CQ 1時， S 6的面積為 ．
2
18
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N分別為 AD，C1D1 的中點，過M ， N， B1三點的平面截
正方體 ABCD A1B1C1D1 所得的截面形狀為 ( )
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【訓(xùn)練 2】在棱長為 2 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，點 P，Q分別是棱 AD，DD1 的中點，則經(jīng)過 B，P，
Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為 ( )
A．3 2 B 3 15． C 9 9． D． 2
2 2 2
【訓(xùn)練 3】正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，點 P，Q，R分別是棱 A1D1，C1D1 ，BC中點，則過點 P，
Q， R三點的截面面積是 ( )
A 3． B． 3 C． 2 3 D．3 3
2
19
【訓(xùn)練 4】如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分別為棱 A1D1， AA1 的中點，G為線段
B1C上一個動點，則下列說法不正確的是 ( )
A．存在點G，使直線 B1C 平面 EFG
B．存在點G，使平面 EFG / / 平面 BDC1
C．三棱錐 A1 EFG的體積為定值
D EFG 3 3．平面 截正方體所得截面的最大面積為
4
二、正方體截面問題:
1．正方體的基本截面:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四邊形 正方形
菱形 矩形 任意五邊形 任意六邊形 正六邊形
正方體的截面不會出現(xiàn)以下圖形: 直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．
20
2．正方體截面面積最大值:
截面為三角形→正三角形
截面為四邊形→矩形
截面為六邊形→正六邊形
注意：正方體的體對角線與所有棱所成角都相等．
【例 1】（2018 新課標Ⅰ)已知正方體的棱長為 1，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正
方體所得截面面積的最大值為（ ）
A 3 3 B 2 3 C 3 2 3． ． ． D．
4 3 4 2
【例 2】（2023 多選 新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為 1（單位：m) 的正方體容器（容器
壁厚度忽略不計）內(nèi)的有 ( )
A．直徑為 0.99m的球體 B．所有棱長均為1.4m的四面體
C．底面直徑為 0.01m，高為1.8m的圓柱體 D．底面直徑為1.2m，高為 0.01m的圓柱體
21
三、球體的截面問題
1．球的截面一定是圓或者是圓的一部分；
2．確定球心與半徑，建立直角三角形，計算截面與球心的距離；
3． 最大的截面半徑 r R，最小的截面半徑 r R2 d 2min ．
【例 1】正四面體 ABCD的棱長為 4， E為棱 AB的中點，過 E作此正四面體的外接球的截面，則該截面面
積的取值范圍是 ( )
A．[4 ， 6 ] B．[4 ，12 ] C．[ ， 4 ] D．[ ， 6 ]
【例 1】【多選】在邊長為 4 的正方形 ABCD中，如圖 1 所示，E，F(xiàn) ，M 分別為 BC，CD，BE 的中點，
分別沿 AE， AF 及 EF 所在直線把 AEB， AFD和 EFC 折起，使 B，C， D三點重合于點 P，得到三
棱錐 P AEF ，如圖 2 所示，則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A． PA EF
B．三棱錐M AEF的體積為 4
C．三棱錐 P AEF 外接球的表面積為 24
D．過點M 的平面截三棱錐 P AEF 的外接球所得截面的面積的取值范圍為 [ ， 6 ]
22
【例 2】已知三棱錐 P ABC的各個頂點都在球O的表面上，PA 底面 ABC，AB AC，AB 6，AC 8，
D是線段 AB上一點，且 AD 5DB．過點 D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為 28 ，
則球O的表面積為 ( )
A．128 B．132 C．144 D．156
【訓(xùn)練 1】已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為 9 和16 ，且兩截面間的距離為 1，則該球的
體積為 ．
【訓(xùn)練 2】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 3 ，以頂點 A為球心，2 為半徑作一個球，則圖中球面
與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于 ( )
A 5 B 2 7 ． ． C． D．
6 3 6
23
題型 3 幾何體外接球
一、長方體切割體的外接球
圖 1 墻角體 圖 2 鱉臑 圖 3 挖墻角體 圖 4 對角線相等的四面體
【例 1】（2020 天津）若棱長為 2 3 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 ( )
A．12 B． 24 C．36 D．144
【例 2】（2019 新課標Ⅰ）已知三棱錐 P ABC的四個頂點在球O的球面上， PA PB PC， ABC是邊
長為 2 的正三角形， E， F 分別是 PA， AB的中點， CEF 90 ，則球O的體積為 ( )
A．8 6 B． 4 6 C． 2 6 D． 6
二、錐體的外接球
【例 1】（2021 甲卷）已知 A，B，C是半徑為 1 的球O的球面上的三個點，且 AC BC， AC BC 1，
則三棱錐O ABC 的體積為 ( )
A 2 3 2 3． B． C． D．
12 12 4 4
【例 2】（2020 新課標Ⅰ）已知 A， B，C 為球O的球面上的三個點， O1 為 ABC 的外接圓．若 O1 的
面積為 4 ， AB BC AC OO1，則球O的表面積為 ( )
A． 64 B． 48 C．36 D．32
24
32
【例 3】（2021 天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為 ，兩個
3
圓錐的高之比為1: 3，則這兩個圓錐的體積之和為 ( )
A．3 B． 4 C．9 D．12
【例 4】（2015 新課標Ⅱ）已知 A， B是球O的球面上兩點， AOB 90 ，C 為該球面上的動點，若三
棱錐O ABC 體積的最大值為 36，則球O的表面積為 ( )
A．36 B． 64 C．144 D． 256
三、含垂面 and 二面角的外接球
2
1 l．雙半徑單交線公式： R2 R 2 R 21 2 4
2
R2 OD2 OO 2 1 l1 O D
2
1 O E
2
2 O1D
2 (O C 22 CE
2 ) O D21 O
2 2 2 2 2
2C ( BC) O1D R2 1
R2 ．4
【例 1】已知在三棱錐 A BCD中，面 ABD 面 BCD， BCD和 ABD均是邊長為 2 3 的正三角形，則該
三棱錐的外接球體積為 ．
25
【例 2】已知平面圖形 PABCD， ABCD為矩形， AB 4 ， PAD是以 P為頂點的等腰直角三角形，如圖所
16
示，將△PAD沿著 AD翻折至△ P AD，當四棱錐 P ABCD體積的最大值為 ，此時四棱錐 P ABCD外
3
接球的表面積為（ ）
A．12 B．16 C． 24 D．32
m2 n2 2mncos l 2
2．雙距離單交線公式： R2 2 ．證明：如圖，若空間四邊形 ABCD中，sin 4
二面角C AB D的平面角大小為 ， ABD的外接圓圓心為O1， ABC的外接圓圓心為O2 ，
E l為公共弦 AB中點，則 O1EO2 ，O1E m，O2E n， AE ，OA R，2
由于O、O O O 21、E、O2 四點共圓，且OE 2R 1 2 ，余弦定理 O1O2 m
2 n2 2mncos ，
sin
2
R2 OE 2 AE 2 m n
2 2mncos l 2
得
sin 2
．
4
【例 1】已知三棱錐D ABC所有頂點都在球O的球面上，△ABC為邊長為 2 3 的正三角形，△ABD是以
BD為斜邊的直角三角形，且 AD 2 ，二面角C AB D為120 ，則球O的表面積為（ ）
A 148 ． B． 28 C 37 ． D．36
3 3
26
題型 4 幾何體內(nèi)切球
1．棱錐的內(nèi)切球半徑：等體積法
第一步、先求出四個表面的面積和整個錐體的體積．
第二步、設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，建立等式：
V 1P ABC VO ABC VO PAB VO PAC VO PBC VP ABC (S3 ABC
S PAB S PAC S PBC ) r．
3V
第三步、解出 r P ABC ．
S ABC S PAB S PAC S PBC
注意：正四面體（棱長為 a）的外接球半徑 R與內(nèi)切球半徑 r 之比為 R : r 3:1．
6
外接球半徑： R a 6，內(nèi)切球半徑： r a．
4 12
【例 1】正三棱錐 S ABC，底面邊長為 3，側(cè)棱長為 2，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少
2．圓錐的內(nèi)切球問題
【例 2】（2023 4 合肥月考）已知某圓錐的高為 4，其內(nèi)切球的體積為 ，則該圓錐的側(cè)面積 S ( )
3
A． B．3 C． 6 D．12
27

【例 3】點 P是棱長為 4 的正四面體表面上的動點，MN 是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則 PM PN 的最大
值是 ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】（2016 新課標Ⅱ）體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為 ( )
A．12 B 32． C．8 D． 4
3
【訓(xùn)練 2】（2017 新課標Ⅰ）已知三棱錐 S ABC的所有頂點都在球O的球面上， SC是球O的直徑．若
平面 SCA 平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱錐 S ABC的體積為 9，則球O的表面積為 36 ．
解：三棱錐 S ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面 SCA 平面 SCB，SA AC，
SB BC，三棱錐 S ABC的體積為 9，可知三角形 SBC與三角形 SAC都是等腰直角三角形，
1 1
設(shè)球的半徑為 r ，可得 2r r r 9，解得 r 3．球O的表面積為： 4 r 2 36 ．故答案為： 36 ．
3 2
【訓(xùn)練 3】（2022 乙卷）已知球O的半徑為 1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，
則當該四棱錐的體積最大時，其高為 ( )
A 1． B 1 3． C． D 2．
3 2 3 2
28
【訓(xùn)練 4】在三棱錐 P ABC中，平面 PAB 平面 ABC， ABC是邊長為 2 3 的等邊三角形，PA PB 7 ，
則該三棱錐外接球的表面積為 ( )
A．16 B 65 65 49 ． C． D．
16 4 4
【訓(xùn)練 5】在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑 A BCD中， AB 平
面 BCD， BC CD，且 AB BC CD 1，則其內(nèi)切球表面積為 ( )
A．3 B． 3 C． (3 2 2) D． ( 2 1)
題型 5 幾何體棱切球
1．常用結(jié)論：
a2 a2 2a
①已知正方體的棱長為 a，則它的棱切球半徑為 R ．
2 2
3a
②已知正三棱柱的棱長均為 a，則它的棱切球半徑為 R ．
3
2a
③已知正四面體的棱長為 a，則它的棱切球半徑為 R ．
4
2．解題技巧：
①找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形．
②正 n棱柱的棱切球的球心為上下底面中心連線的中點O，正棱錐的棱切球的球心在其高線上，可以通過
對稱性或者截面圓心的垂心確定．
a
③棱長都為 a的正 n棱柱，則棱切球的半徑為 R ．
2sin
n
29
【例 1】已知一個表面積為 24 的正方體，假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為
4
A B 4 3 C 24 6 D 8 2 ． ． ． ．
3 3 3
【題 2】已知球O的表面積為9π，若球O與正四面體 S ABC的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B．3 2 C
9 2
． D 9 2．
2 8
【題 3】已知正三棱柱的高等于 1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為 ( )
A B 4 3 4 4 3 ． ． C． D．
6 27 3 3
【訓(xùn)練 1】已知某棱長為 2 2 的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
π π
A． B 3π 2π． C． D．
2 3 3 2
【訓(xùn)練 2】已知三棱錐 S ABC的棱長均為2 6 ，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
【訓(xùn)練 3】已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為
S S1 ， S2 ，則 1 ．S2
30
【訓(xùn)練 4】正三棱錐 P ABC的底面邊長為 2 3，側(cè)棱長為 2 2 ，若球 H與正三棱錐所有的棱都相切，則
這個球的表面積為（ ）
17
A．
9
B． (44 16 6) C． D． 32
4 2
考向 3 動態(tài)立體幾何
立體幾何中的動態(tài)翻折問題
1．關(guān)于點的軌跡：某些點、線、面按照一定的規(guī)則運動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡的關(guān)鍵是找
到關(guān)鍵點和翻折過程中不變的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．
2．證明或探索位置關(guān)系：
①確定翻折前后變與不變的關(guān)系，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，
而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而
對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．
②確定翻折后關(guān)鍵點的位置，所謂的關(guān)鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會
帶動與其相關(guān)的其他的點、線、面的關(guān)系變化，以及其他點、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只
有分析清楚關(guān)鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關(guān)的證明與
計算
3．關(guān)于體積最值問題，將一個多邊形沿一條線折疊得到一個棱錐,當該棱錐的體積最大時,以折線為交線的
兩個半平面垂直，當在折疊過程中棱錐的底面積和高度同時變化時，則需要構(gòu)建目標函數(shù)，通過自變量的
范圍,求函數(shù)最值解決．
4．旋轉(zhuǎn)問題，兩線段距離之和最值問題，將不共面的兩線段旋轉(zhuǎn)到同一平面，再利用平面幾何知識進行求
解．
題型 1 軌跡問題
【例 1】如圖，矩形 ABCD中，AB 2AD 2，E為邊 AB的中點，將VADE沿DE翻折成△A1DE，若M 為
線段 A1C的中點，則在翻折過程中，M 點的軌跡為（ ）
A．橢圓的一段 B．直線的一段 C．拋物線的一段 D．一段圓弧
31
【例 2】已知正方形 ABCD的邊長為 2，將 ACD沿 AC翻折到△ACD 的位置，得到四面體D ABC，在翻
折過程中，點D 始終位于 ABC所在平面的同一側(cè)，且 BD 的最小值為 2 ，則點 D的運動軌跡的長度為（ ）
A B 2 C 2 2π D 4 2π． ． ． ．
3 3
題型 2 最值問題
【例 3】（2021 上海）已知圓柱的底面圓半徑為 1，高為 2， AB為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周
上的一個動點，則 ABC的面積的取值范圍為 ．
1
【例 4】在梯形 ABCD中， ABC BAD 90 , AB BC AD 1，將 ABC沿直線 AC翻折成VAB
2 1
C，
當三棱錐 B1 ACD的體積最大時，三棱錐 B1 ACD的外接球的表面積為_______．
【例 5】（2017 新課標Ⅰ）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形 ABC的中心
為O．D、E、F 為圓O上的點， DBC， ECA， FAB分別是以 BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿
虛線剪開后，分別以 BC，CA， AB為折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三
棱錐．當 ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位： cm3) 的最大值為 ．
32
【例 6】如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面 ABC是邊長為 2 3的正三角形， AA1 7 ，頂點 A1在底面
的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線 AC1,A1B上的動點，則 P，Q兩點間距離的最小值是
（ ）
A 7． B．2 C 6． 6 D．
2 2
題型 3 旋轉(zhuǎn)問題
【例 1】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2， P是面對角線 BC1 上一動點，Q是底面 ABCD上一動
點，則D1P PQ的最小值是 ．

【例 2】在棱長為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，點 P滿足DP DD1 DA， [0，1]， [0 ，1]，
則以下說法正確的是 ( )
A．當 時， BP / / 平面CB1D1
B 1 ．當 時，存在唯一點 P使得 DP與直線CB
2 1
的夾角為
3
C．當 1時，DP PB的最小值為 2 2
D．當點 P落在以 B1為球心， 2 為半徑的球面上時， 的最小值為 2 2
33
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，將四邊形 ABCD中，△ADC沿著 AC翻折到 AD1C，則翻折過程中線段DB中點M 的軌跡
是（ ）
A．橢圓的一段 B．拋物線的一段
C．雙曲線的一段 D．一段圓弧
【訓(xùn)練 3】如圖 1，直線 EF 將矩形 ABCD分為兩個直角梯形 ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊 EF 翻折，
如圖 2，在翻折過程中（平面 ABFE 和平面CDEF不重合），下列說法正確的是（ ）
A．在翻折過程中，恒有直線 AD / / 平面 BCF B．存在某一位置，使得CD / /平面 ABFE
C．存在某一位置，使得 BF / /CD D．存在某一位置，使得DE 平面 ABFE
【訓(xùn)練 4】已知矩形 ABCD中，AB 2,BC 1，，F(xiàn)為線段CD上一動點（不含端點），現(xiàn)將△ADF沿直線
AF進行翻折，在翻折的過程中不．可．能．成立的是（ ）
A．存在某個位置，使直線 AF與 BD垂直
B．存在某個位置，使直線 AD與 BF垂直
C．存在某個位置，使直線 AB與DA垂直
D．存在某個位置，使直線 AB與DF垂直
34
【例 4】已知平面四邊形 ABCD，連接對角線 BD，得到等邊三角形 ABD和直角三角形 BCD，且 AB 3，
BDC π ，BC 3 2 ，將平面四邊形 ABCD沿對角線 BD翻折，得到四面體 A BC D，則當四面體 A BC D2
的體積最大時，該四面體的外接球的表面積為（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【訓(xùn)練 5】（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為 l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為36 ，
且 3 l 3 3 ，則該正四棱錐體積的取值范圍是 ( )
A [18 81 27 81 27 64． ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18， 27]
4 4 4 4 3
【訓(xùn)練 6】在如圖所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是 1，且平面 ABCD 平面 ABEF，活動彈子M ,N
分別在正方形對角線 AC， BF上移動，則MN長度的最小值是 ．
35
【訓(xùn)練 7】已知棱長為 2 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中， P為棱 DD1 上一動點，則 PB1 PC的最小值
為 ．
【訓(xùn)練 8】【多選】如圖，已知正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 1，P是線段 AB1上的動點，N是線段CC1
的中點，則下列說法正確的是 ( )
A． PD CD1
B．三棱錐C1 A1PD的體積為定值
C． (CP PA ) 2 31 的最小值是 2
D．如果點 P是線段 AB 171的中點，則平面 PDN截正方體所得的截面周長為 5 2
36
拓展思維 1 新定義問題
【例 1】如圖，撐開的傘面可近似看作一個球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圓面
是底面，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高．球冠的面積 S 2πRh，其中 R為球冠對應(yīng)球面的半徑， h為
球冠的高，則撐開的傘面的面積大約為（ ）
A． 2500πcm2 B．3600πcm2 C． 4800πcm2 D．6000πcm2
【例 2】北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：
多面體的頂點的曲率等于 2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度
用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和．例如：
π π
正四面體在每個頂點有 3 個面角，每個面角是 ，所以正四面體在每個頂點的曲率為 2π 3 π ，故其總
3 3
曲率為4π．已知多面體的頂點數(shù) V，棱數(shù) E，面數(shù) F滿足V E F 2 ，則八面體的總曲率為（ ）
10π
A． 3π B． C． 4π D．5π
3
【例 3】祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個求積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，
“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線
x2 4y, x2 4y, x 4, x 4圍成的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足
x2 y2 16, x2 y 2 2 4, x2 y 2 2 4的點 x, y 組成的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2 ，
則V1、V2 滿足以下哪個關(guān)系式（ ）
1
A．V1 V
2
2 B．V1 V2 C．V1 2V2 D．V2 3 1
V2
37
【例 4】“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的
多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共
可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．已知 AB 2 ，則關(guān)于
如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（ ）
20
A．該半正多面體的體積為
3
B 3 3．該半正多面體過 A,B,C三點的截面面積為
2
C．該半正多面體外接球的表面積為8
D．該半正多面體的頂點數(shù)V 、面數(shù) F 、棱數(shù) E滿足關(guān)系式V F E 2
跟蹤訓(xùn)練

【訓(xùn)練 1】若給定一向量組 A a1,a2 ,an 和向量 c，如果存在一組實數(shù) k1,k2 , ,kn ，使得

c k1a1 k2a2 knan，則稱向量 c能由向量組 A線性表示，或稱向量 c是向量組 A的線性組合，若

A e1 e2 ,e2 e3 ,c e1 me3 ,e1,e2 ,e3 為三個不共面的空間向量，且向量 c是向量組A 的線性組合，則m
（ ）
A． 4 B． 3 C．0 D．1
【訓(xùn)練 2】刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂
點的曲率等于 2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），
多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個
π 2π 3 π頂點有 3 個面角，每個面角是 ，所以正四面體在每個頂點的曲率為 π ，故其總曲率為 4π .根據(jù)
3 3
曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
38
m
【訓(xùn)練 3】如果一個凸 n面體共有 m個面是直角三角形，那么我們稱這個凸 n面體的直度為 ，則（ ）
n
A．三棱錐的直度的最大值為 1
3
B．直度為 的三棱錐只有一種
4
C．四棱錐的直度的最大值為 1
4
D．四棱錐的直度的最大值為
5

【訓(xùn)練 4】空間直角坐標系O xyz中，經(jīng)過點 P x0 , y0 , z0 且法向量為m (A,B,C)的平面方程為

A x x0 B y y0 C z z0 0，經(jīng)過點 x0 , y0 , z0 且一個方向向量為 n (a,b,c) abc 0 的直線 l的方
x x
程為 0
y y0 z z 0 0，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面α的方程為 2x 3y z 0，經(jīng)
a b c
過點 (0,0,0)
x y z
的直線 l的方程為 ，則直線 l與平面α所成角的正弦值為（ ）
1 2 3
5 3 5 3
A． B． C． D．
14 14 13 13
【訓(xùn)練 5】如圖①，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的
π
直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為V 3R h h2 ，其中 R是球的半徑， h是球缺的
3
高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的
部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（ π 3）（ ）
A．62326cm3 B．62328cm3
C．62352cm3 D．62356cm3
39
【訓(xùn)練 6】18 世紀英國數(shù)學(xué)家辛卜森運用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體
1
的統(tǒng)一體積公式V h(L 4M N )(其中 h,L,M ,N分別為 的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，
6
1 2 4
我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為 R，可得該球的體積為V 2R 0 4 πR 0 πR3 ；6 3
a V 1
2
已知正四棱錐的底面邊長為 ，高為 h，可得該正四棱錐的體積為 h 0 4
a 1
a
2 a2h .類似地，6 2 3
運用該公式求解下列問題:如圖，已知球O的表面積為36πcm2 ，若用距離球心O都為1cm的兩個平行平面去
截球O，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體 的體積為 cm3 .
40
拓展思維 2 折疊中的向量不變性
1. 斯坦納定理
對角線向量定理之折痕向量乘積不變性

2 2 2
AC BD (AD BC ) (AB CD
2 )
①
2

CA2 CB2 AB2
如左圖所示，在 ABC 中，由余弦定理的向量式有CA CB ；在 CAD中，同理有
2
CA2CA CD CD
2 AD2 (AD2 BC 2 ) (AB2 CD2 )
．所以在四邊形ABCD中，AC BD AC (CD CB) ,
2 2
(AD2 BC 2 ) (AB2 CD2 )
即 AC BD ,這就是對角線向量定理（斯坦納定理）．
2
AD2 BC 2 AB2 CD2
推論 1：cos AC,BD ②
2 AC BD
說明：式子①②既適用于平面向量也適用于空間向量
推論 2：在空間向量中涉及折疊的問題，一定有折痕的向量與任意向量在折疊前后對應(yīng)的向量的乘積不變；
證明：如右圖所示，在四邊形 ABCD中，沿著 BD折疊后， A移到了 A'位置，則
AC BD AD
2 BC2 AB2 CD2 A'D2 BC2 A'B2 CD2
A'C BD．
2 2
【例 1】（2005 浙江）如圖所示，M 、 N 是直角梯形 ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于 E，現(xiàn)將 ADE沿
DE折起，使二面角 A DE B為 45°，此時點 A在平面 BCDE內(nèi)的射影恰為點 B，則M 、 N的連線與 AE
所成的角的大小為 ．
【例 2】（2015 浙江）如圖，三棱錐 A BCD中， AB AC BD CD 3， AD BC 2 ，點M ，N分別
是 AD， BC的中點，則異面直線 AN，CM 所成的角的余弦值是 ．
41
【例 3】（2009 浙江）如圖在長方形 ABCD中， AB 2 ， BC 1， E為 DC的中點， F 為線段 EC（端點
除外）上的動點，現(xiàn)將△AFD沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABCF ，在平面 ABD內(nèi)過點D做 DK AB，
K為垂足，設(shè) AK t，則 t的取值范圍是 ．
【例 4】（2012 浙江）已知矩形 ABCD，AB=1，BC= 2 ，將 ABD沿矩形的對角線 BD所在的直線進行翻
折，在翻折過程中（ ）
A．存在某個位置，使得直線 AC與直線 BD垂直
B．存在某個位置，使得直線 AB與直線 CD垂直
C．存在某個位置，使得直線 AD與直線 BC垂直
D．對任意位置，三對直線 AC與 BD，AB與 CD，AD與 BC均不垂直
【例 5】（2016 浙江）如圖已知平面四邊形 ABCD， AB BC 3，CD 1， AD 5 , ADC 90 ，沿直
線 AC將△ACD翻折成△ACD ，直線 AC 與 BD 所成角的余弦值的最大值是 ．
42
類型三．異面直線兩點間距離公式與對角線向量定理
（1）作 AB b于點 A . AB a于點 B，（2）平移 b交 a于點 B，（3） PN BN 于點 N，（4）連接 PQ，
NQ .
2 2 2
則： l d m n
2 2mncos .其中 也是二面角 P AB Q的平面角；
其實對角線向量定理可以完整解決這個問題，不妨看看例題.
【例 6】如圖，60°的二面角的棱上有 A，B兩點，直線 AC， BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都
垂直于 AB．已知 AB 4 ， AC 6， BD 8 ，則CD的長為（ ）
A． 17 B．7 C． 2 17 D．9
2. 線線角，線面角與二面角分析與計算
1.三余弦定理（最小角定理）：如圖所示，設(shè) A為平面 上一點，過點 A的斜線 AO在平面 上的射影為 AB，
AC為平面 內(nèi)的一條直線，那么 OAC， OAB， BAC三角的余弦關(guān)系為
cos OAC cos BAC cos OAB
【證明】如圖，過點O作OB AB于點 B，過點 B作 BC AC 于點C，連OC，則△OAC，△ABC，△OAB
AB AC AC
均為直角三角形.令 OAB 1， BAC 2 ， OAC ，則 cos 1 ， cos 2 ， cos AO AB AO
顯然 cos cos 1 cos 2 ，且 1 ，即斜線與射影所成的角是斜線與平面內(nèi)的任何直線所成的角中的最小的
角.
43
2．三正弦定理（最大角定理）:對于一個銳二面角，在其中一個半平面內(nèi)的任一條直線與另一個半平面所
成的線面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的線面角.(由三正弦定理 sin sin sin PAB
可得)
證明 如圖，過平面 2 內(nèi)一點 P作底平面 1 的垂線，垂足為O，則 PAO為 PB與底平面所成的角，即
PAO ，所以 sin PO ，在平面 1 中，過點 A作棱OB的垂線，垂足為 B，連接OB，則OP AB， PBOPA
P AB O PBO sin OP . sin PAB PB為二面角 的平面角，即 ，所以 又 ，
PB PA
因此 sin sin sin PAB .
類型一 最大角和最小角定理判斷角度大小
關(guān)于異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，這三個角度比大小成為了近年考試的熱點和重
難點，根據(jù)最小角定理，即異面角 線面角，再根據(jù)最大角定理，即二面角 線面角，所以通常線面角最小，
二面角和異面角則需要具體情況具體分析.
【例 1】(2022·浙江卷)如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 ，AC AA1，E，F(xiàn) 分別是棱 BC，A1C1 上的點.
記 EF與 AA1 所成的角為 ， EF 與平面 ABC所成的角為 ，二面角 F BC A的平面角為 ，則（ ）
A. B. C. D.
【例 2】(2019·浙江卷)設(shè)三棱錐V ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點).
記直線 PB與直線 AC所成角為 ，直線 PB與平面 ABC所成角為 ，二面角 P AC B的平面角為 ，則
（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
44
【例 3】（2018·浙江卷）已知四棱錐 S ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段 AB上的點（不
含端點）.設(shè) SE與 BC所成的角為 1， SE與平面 ABCD所成的角為 2 ，二面角 S AB C的平面角為 3 ，
則（ ）.
A. 1 2 3 B. 3 2 1 C. 1 3 2 D. 2 3 1
【例 4】如圖，在正四面體 ABCD中，已知M ，N分別為 AD，BC的中點，P為線段MB上的動點（包括
端點）.記 PN 與CD所成角的最小值為 ， PN 與平面 BCD所成角的最大值為 ，則（ ）.
A. B. C. D.
2
【例 5】如圖，在四棱錐 P ABCD中，已知底面是邊長為 2 的正方形，△PAD是以 AD為斜邊的等腰直角
三角形， AB 平面 PAD，點 E是線段 PD上的動點（不含端點）.若線段 AB上存在點 F（不含端點），使
得異面直線 PA與 EF成 30 的角，則線段 PE 長的取值范圍是（ ）.
A. (0 , 2 ) B. (0 , 6 ) C. ( 2 , 2) D. ( 6 , 2)
2 3 2 3
45
【例 6】（2023 四省聯(lián)考）下圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在
編制《授時歷》時所做的天文計算.圖中的 AB， AC， B D，C D都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK 是為計算
所做的矩形，其中 M，N，K，分別在線段 OD，OB，OA上，MN OB，KN OB .記 AOB， AOC ，
BOD， COD，則
A. sin sin cos B. cos cos cos C. sin sin D. cos cos cos
cos cos
類型二 二面角小題的方法選取
在一些二面角的小題中，我們通常在三正弦定理和面積射影定理中進行選取，這里考查我們立體幾
何的基本功.
【例 7】（2024·多選·廣東模擬）直棱柱 ABC A1B1C1 中， D ，E 分別是 AB ， BB1 的中點，
AA1 AC CB
2
AB .則下列判斷正確的是 ( )
2
A. BC1∥面 A1CD B.面A1CD 面AB1C1 C. A1E EC D.
6
二面角D A1C E的平面角的正弦值為 3
46
【例 8】(2024·多選·武漢模擬)如左圖，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中， AB AC， AB AC 2， AA1 4，
D是 BC的中點.則下列判斷正確的是 ( )
A. A B 3 101 ∥面 AC1D B.異面直線 A1B與C1D所成角的余弦值為 10
C. A1D BC D.面 AA1B與面 ADC
5
1的平面角的正弦值為 3
【例 9】(2024·多選·廣州模擬)如圖，在四面體 A BCD中， AD 平面 BCD . BC CD， AD 2 ，
BD 2 2 .M 是 AD的中點， P是 BM 的中點，點Q在線段 AC 上，且 AQ 3QC ,二面角C BM D的大
小為 60 ，則下列判斷正確的是 ( )
A. PQ∥平面 BCD B.二面角 B MC D的大小為 60 C. BDC 60 D. A 2 3 BCD體積為
3
47

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