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第2節 等差數列
考向一 等差數列的概念及通項
知識點一　等差數列的概念
1．定義
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，即或者（），那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負可為零．
2．遞推公式形式的定義：（且）或者．
知識點二　等差中項的概念
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項且2A＝a＋b．
①兩個數的等差中項就是兩個數的算術平均數，任意兩實數a，b的等差中項存在且唯一；
②三個數,,成等差數列的充要條件是．
知識點三　等差數列的通項公式
1．首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d．
知識點四　從函數觀點看等差數列——等差數列與一次函數
由等差數列的通項公式，可得．
當時，是的一次函數，一次項系數是等差數列的公差，它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．
（1）當時數列為遞增數列；（2）當時數列為遞減數列；（3）當時，，等差數列為常數列，此時數列的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均勻分布的一群孤立的點．
從圖象上看（如下圖），表示數列的各點，即點，均勻分布在一條直線上．
知識點五　等差數列通項公式的變形及推廣
1．公式變形
設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則
①d＝(m，n∈N*，且m≠n)，可用來由等差數列任兩項求公差．
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1．
證明：∵，，∴，∴．
由上可知，等差數列的通項公式可以用數列中的任一項與公差來表示，公式可以看成是時的特殊情況．
③，已知首項，末項，公差即可計算出項數．
2．基本量法
（1）等差數列可以由首項a1和公差d確定，我們把a1和d稱為基本量，所有關于等差數列的計算和證明，都可圍繞a1和d進行．在基本量法中，不拘泥于，有可直接用．
解題時沒有思路了，可以回歸基本量法．
（2）求等差數列的通項公式的兩種思路：
①設出基本量，，利用條件構建方程組，通過加減消元法或代入消元法求出，，即可寫出等差數列的通項公式；
②已知等差數列中的兩項時，則可不必求而直接寫出等差數列的通項公式．
③設項技巧——對稱設項
（i）三個數成等差數列可設為：，，或，，；
（ii）四個數成等差數列可設為：，，，或，，，．
【例1】（2020 上海）已知數列是公差不為零的等差數列，且，則　?。?br/>【例2】設，，分別是內角，，的對邊，若依次成公差不為0的等差數列，則　　
A．，，依次成等差數列 B．，，依次成等差數列
C．依次成等差數列 D．依次成等差數列
【例3】(2022 新II卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結構，
是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．
其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數列，
且直線的斜率為0．725，則(　　)
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【例4】函數圖像上存在不同的三點到原點的距離構成等差數列，則以下不可能成為公差的數是　　
A． B． C．1 D．
【例5】(2023 乙卷)已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
跟蹤訓練
【訓練1】（2018 北京）設是等差數列，且，，則的通項公式為　 ?。?br/>【訓練2】在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31．5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28．5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為　　
A．25．5尺 B．34．5尺 C．37．5尺 D．96尺
【訓練3】已知等差數列的公差為；集合，若，，則　　
A． B．0 C． D．1
【訓練4】圖1是第七屆國際數學教育大會（簡稱的會徽圖案，會徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續作下去，則第個三角形的面積為　　
A． B． C． D．
【訓練5】函數的四個零點是以0為首項的等差數列，則　 　．
考向2　等差數列的性質
1．由等差數列生成新的等差數列
（1）公差為的等差數列具有如下性質：下標成公差為的等差數列的項組成以md為公差的等差數列，即在等差數列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數列．
（2）如果兩等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數．
（3）若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有
數列 結論
{c＋an} 公差為d的等差數列(c為任一常數)
{c·an} 公差為cd的等差數列(c為任一常數)
{an＋an＋k} 公差為kd的等差數列(k為常數，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)
2．角標和對稱性：若，則．
（1）若，則；
（2）若，則．
（3）有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和：
對于選填中的二元問題，單條件暗示考性質，可利用從一般到特殊思想，直接考慮特殊化的情形，令可簡化計算．
3．角標項對偶性：若，則．
證明：由 得，，
【例1】（2018 上海）已知是等差數列，若，則　 　
【例2】已知數列為等差數列，且，則　　
A． B． C． D．
【例3】已知，均為等差數列，且，，，則　　
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【例4】已知數列為等差數列，，，則　　
A．16 B．19 C．25 D．29
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列，則“”是“為等差數列”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【訓練2】已知等差數列滿足，則（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【訓練3】已知數列為等差數列，且，則　　
A． B． C． D．
【訓練4】已知數列為等差數列，，，則　　
A．19 B．22 C．25 D．27
考向3　等差數列的前n項
已知量 首項，末項與項數 首項，公差與項數
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
①；②．
1． an與Sn之間一步轉換
例：；．
公式一：（其中為奇數） 例：．
公式二： 例：；．
當也成等差數列時，均有．
2．只有S的模型與最值問題
性質1．等差數列中：，則有可以求出，甚至．
注意：①若，則一定有：；．
②，，成等差數列，公差為
性質2．等差數列中：為首項是，公差是的等差數列，若，則特別的，若，則有．
性質3．有最大值；有最小值，若，則有同時取得最值
，的最大值；,的最大值．
題型一 與的關系
【例1】（2023 甲卷）記為等差數列的前項和．若，，則　　
A．25 B．22 C．20 D．15
【例2】(2020 新高考I卷)將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得 到數列{an}，則{an}的前n項
和為________．
【例3】已知等差數列，，其前項和為，若，則　　
A．0 B． C．2025 D．
【例4】（2013 新課標Ⅰ）設等差數列{}的前項和為，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例5】設等差數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
【例6】設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，
則：（1）___________；（2）___________；（3）___________；
（4）___________；（5）___________；（6）求使為整數的正整數的集合．
【例7】等差數列和的前項和分別記為與，若，則　　
A． B． C． D．2
跟蹤訓練
【訓練1】已知為等差數列的前項和，若，，則　　
A．26 B．27 C．28 D．29
【訓練2】（2019 新課標Ⅲ）記為等差數列的前項和．若，，則　 ?。?br/>【訓練3】記等差數列與的前項和分別為與，若，則　　
A． B． C． D．
【訓練4】已知兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．6
【訓練5】已知等差數列的前項和為，則的值為　　
A．8 B．11 C．13 D．17
題型二 與有關的最值問題
【例1】若是等差數列，表示的前項和，，，則中最小的項是　　
A． B． C． D．
【例2】多選公差為的等差數列，其前項和為，，，下列說法正確的有　　
A． B． C．中最大 D．
【例3】（2019 北京）設等差數列的前項和為，若，，則　 　，的最小值為 　　．
跟蹤訓練
【訓練1】已知等差數列前項和為，滿足，，若，則　　
A．18 B．19 C．20 D．21
【訓練2】設等差數列的前項和為，滿足，，數列中最大的項為第　　項．
A．4 B．5 C．6 D．7
【訓練3】多選已知為等差數列的前項和，，，則下列選項錯誤的是　　
A．數列是單調遞增數列 B．當時，最大
C． D．
題型三 奇數項和與偶數項和
（1）①若數列共有項，則（為中間項），，；，；
②若數列共有項，則S2n＝n(an＋an＋1)（，為中間兩項），，＝．
【例1】等差數列共個項，且奇數項和為165，偶數項和為150，則　　
A．10 B．13 C．11 D．22
【例2】一個等差數列共有項，奇數項的和與偶數項的和分別為24和30，且末項比首項大10．5，則該數列的項數是　　
A．4 B．8 C．12 D．20
【例3】 一個等差數列的前10項和為30，前30項的和為10，則前40項的和為____________．
跟蹤訓練
【訓練1】已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則　10　．
【訓練2】已知等差數列中，前為奇數）項的和為77，其中偶數項之和為33，且，則數列的通項公式為　 ?。?br/>考向四　等差數列的判定方法
1．定義法：利用定義，an－an－1＝d(常數)(n≥2)，
2．等差中項法：即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
3．通項公式法：若數列的通項公式為的一次函數，即an＝An＋B(A、B是常數)，則是等差數列．
4．前n項和法：若數列的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數)，則為等差數列．
注：①解答題可利用（1）或（2）進行嚴格證明；②選擇、填空題時，可直接用(3)或(4)直接判斷．
5．常見的等差數列
（1）為等差數列，．
（2）（），即是從第二項開始為等差數列．
注：選填題可以直接用，解答題在規范書寫的基礎上結合結論可以簡化計算過程，避實就虛！
（3）若，則是等差數列，且．
（4），，型遞推關系式．
轉化步驟：方程兩邊分別同除以“積式”結構，，，即可分別得到，，為等差數列．可以類比基本不等式中的“整體代換”來理解記憶，見到結構，同除積式得．
（5）用于含指數冪型已知條件．
轉化方法：同除指數項，等式兩邊同時除以：，所以為等差數列．
（6）對于分式型遞推關系式型已知條件，且分子只有一項．
轉化方法：取倒數法，等式兩邊同時取倒數可得，故數列為等差數列．
【例1】(2022甲卷理科)記為數列的前n項和．已知．證明：是等差數列．
【例2】在數列中，，其中．
求證：數列是等差數列．
【例3】已知數列滿足．
證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式．
【例4】(2015 新課標2理)設是數列的前項和，且，，則
________．
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列滿足：且，求證：為等差數列．
【訓練2】已知數列滿足，，令．
（1）求證：數列是等差數列；
（2）求數列的通項公式．
【訓練3】若數列的前項和為，且滿足，，
（1）求證：成等差數列；
（2）求數列的通項公式．
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數列第2節 課后練習
1．（2024 河西月考）等差數列中，已知公差，且，則等于　　
A．145 B．170 C．150 D．120
2．（2024 鎮雄月考）數列是首項為1，公差為4的等差數列，若，則等于　　
A．503 B．504 C．505 D．506
3．（2024 桂林月考）已知3為，的等差中項，2為，的等比中項，則　　
A． B． C．1 D．2
4．（2024 岳陽月考）在中，，，分別是角，，所對的邊，是、的等差中項，則與的大小關系是　　
A． B． C． D．
5．（2024 東湖區一模）設某直角三角形的三個內角的余弦值成等差數列，則最小內角的正弦值為　　
A． B． C． D．
6．（2024 合肥月考）在等差數列中，若，則的值為　　
A． B．1 C． D．0
7．（2024 廈門月考）已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則的值等于　　
A． B． C． D．
8．（2024 南昌模擬）已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，設銳角三角形的內角，，的對邊分別為，，，且，，則的取值范圍為　 ?。?br/>9.（2019 全國III卷理）記Sn為等差數列{an}的前項和，，則________．
10.（2019江蘇卷）已知數列是等差數列，是其前項和．若
，則的值是_________．
11.（2017 新課標1卷理）記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
12.(2016 課標Ⅰ卷理)已知等差數列前9項的和為27，，則(　　)
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
13．（2024 長沙模擬）是等差數列的前項和，若，則　　
A． B． C． D．
14．（2024 武漢模擬）已知等差數列的前項和為，若，且，，則等于 ．
15．（2024 蚌埠模擬）設等差數列的前項和為，若，，則 ．
16．（2024 清遠模擬）等差數列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
17．（2024 石家莊模擬）在等差數列中，其前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
18.（2023 淮南二模）已知等差數列的前項和為，若，，則　　
A．8 B．12 C．14 D．20
19．（2024 北京期末）在等差數列中，，其前項和為，若，則　　
A．2021B． C． D．2022
20．（2024 贛州模擬）設等差數列，的前項和分別是，，若，則　　
A． B． C．1 D．
21．（2024 佛山月考）設等差數列與等差數列的前項和分別為，，若對任意自然數都有，則的值為　　
A． B． C． D．
22．（2024 信陽月考）已知兩個等差數列和的前項和分別為，，且，則使得為整數的正整數的個數是　?。?br/>23．（2024 武漢月考）等差數列，的前項和分別為，則下列說法正確的有　　
A．數列是遞增數列 B．
C． D．
24.（2024 遼寧模擬）設是等差數列的前項和，，，當取得最小值時，　　
A．10 B．9 C．8 D．7
25.（2024 西城區期中）等差數列中，，，則當前項和最小時，　　
A．7 B．8 C．6或7 D．7或8
26.（2024 海淀區月考）已知公差的等差數列的前項和為，若，則　　
A． B．
C． D．
27.（2018 新課標Ⅱ）記為等差數列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求，并求的最小值．
28.（2024 西安期中）已知各項均為正數的無窮數列的前項和為，且滿足，．證明數列是等差數列，并求出的通項公式．
29.（2024 大慶月考）已知數列中，，，數列滿足．
證明是等差數列，并求的通項公式．
30.（2024 大連月考）在數列中，，為數列的前項和，且滿足．
證明數列成等差數列，并求數列的通項公式；
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)數列第 2節 課后練習
1 1．（2024 河西月考）等差數列{an}中，已知公差 d ，且 a1 a3 a99 60，則 a2 1
a2 a3 a100 等
于 ( )
A．145 B．170 C．150 D．120
2．（2024 鎮雄月考）數列{an}是首項為 1，公差為 4的等差數列，若 an 2013，則 n等于 ( )
A．503 B．504 C．505 D．506
3．（2024 1 1 桂林月考）已知 3為 a， b的等差中項，2為 a，b的等比中項，則 ( )
a b
A 3． B 3． C．1 D．2
2 3
4．（2024 岳陽月考）在 ABC 中， a， b， c分別是角 A， B，C 所對的邊， B是 A、C的等差中項，則
a c與 2b的大小關系是 ( )
A． a c 2b B． a c 2b C． a c 2b D． a c 2b
5．（2024 東湖區一模）設某直角三角形的三個內角的余弦值成等差數列，則最小內角的正弦值為 ( )
A 3 B 4 5 2 5． ． C． D．
5 5 5 5
6．（2024 合肥月考）在等差數列{an}中，若 a1 a4 a8 a12 a15 ，則 sin(a3 a4 13
)的值為 ( )
A 1． B．1 C． 1 D．0
2
1
7．（2024 廈門月考）已知方程 (x2 2x m)(x2 2x n) 0 1的四個根組成一個首項為 的等差數列，則m n
4
的值等于 ( )
A 3 1 3 1． B． C． D．
4 2 4 2
8．（2024 南昌模擬）已知方程 (x2 2x m)(x2 2x n) 0 1的四個根組成一個首項為 的等差數列，設銳角
4
三角形 ABC的內角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，且 b 4 |m n |，A 2B，則 a的取值范圍為 ．
S
9.（2019 全國 III卷理）記 Sn為等差數列{an}的前 n項和， a1≠0，a2 3a
10
1，則 S ________．5
10. *（2019江蘇卷）已知數列{an}(n N )是等差數列， Sn是其前 n項和．若
a2a5 a8 0,S9 27，則 S8 的值是_________．
11.（2017 新課標 1卷理）記 Sn為等差數列{an}的前 n項和．若 a4 a5 24，S6 48，則{an}的公差為
（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
12.(2016 課標Ⅰ卷理)已知等差數列 an 前 9項的和為 27， a10=8，則 a100= ( )
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
2
13．（2024 a 4 S 長沙模擬） Sn 是等差數列{an}的前 n項和，若 7 ，則 13 ( )a9 5 S17
A 13 52 17 85． B． C． D．
17 85 13 52
14．（2024 2 武漢模擬）已知等差數列{an}的前 n項和為 Sn，若m 1，且 am 1 am 1 a m 1 0，S2m 1 39，
則m等于 ．
15．（2024 蚌埠模擬）設等差數列{an}的前 n項和為 Sn，若 S12 288， S9 162，則 S6 ．
16．（2024 清遠模擬）等差數列{an}的前m項和為 30，前 2m項和為 100，則它的前3m項和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
17．（2024 石家莊模擬）在等差數列{an}中，其前 n項和為 Sn ，若 S21 : S7 6 :1，則 S28 : S14 ( )
A．16 :1 B． 6 :1 C．12 :1 D．10 : 3
18.（2023 淮南二模）已知等差數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 Sn 2， S2n 6，則 S4n ( )
A．8 B．12 C．14 D．20
3
19．（2024 S S 北京期末）在等差數列{an}中，a1 2022，其前 n項和為 Sn ，若 10 8 2，則 S ( )10 8 2022
A．2021B． 2021 C． 2022 D．2022
20．（2024 S 2n a 贛州模擬）設等差數列{an}，{bn}的前 n項和分別是 Sn ，Tn ，若 n ，則 3 ( )Tn 3n 7 b3
A 3． B 5 22． C．1 D．
8 11 17
21．（2024 佛山月考）設等差數列{an}與等差數列{bn}的前 n項和分別為 Sn ，Tn ，若對任意自然數 n都有
Sn 2n 3 a9 a ，則 3 的值為 ( )
Tn 4n 3 b5 b7 b8 b4
A 3． B 7． C 19． D． 1
7 9 41
22．（2024 信陽月考）已知兩個等差數列{an}和{bn}的前 n項和分別為 Sn ，Tn ，且 (n 1)Sn (7n 23)Tn ，
a
則使得 n 為整數的正整數 n的個數是 ．
bn
23．（2024 a 2n 1 武漢月考）等差數列{an}，{bn}的前 n項和分別為 S ,T nn n , ,n N
* ，則下列說法正確的
bn n 1
有 ( )

A an
S 5
．數列 b
是遞增數列 B． 3
n T3 3
C S 35． 3 D S1 S2 S． n n 2
T5 36 T1 T2 Tn 2(n 1)
24（. 2024 遼寧模擬）設 Sn 是等差數列{an}的前 n項和，a2 7，S5 2a1，當 | Sn |取得最小值時，n ( )
A．10 B．9 C．8 D．7
4
25.（2024 西城區期中）等差數列{an}中， a6 a8 ， a6 a8 0，則當前 n項和 Sn 最小時， n ( )
A．7 B．8 C．6或 7 D．7或 8
26.（2024 海淀區月考）已知公差 d 0的等差數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 a2021a2022 0 a2021 a2022 ，則 (
)
A． a1d 0 B． | S2021 | | S2022 |
C． S4042S4043 0 D． a2022S4042S4043 0
27.（2018 新課標Ⅱ）記 Sn 為等差數列{an}的前 n項和，已知 a1 7， S3 15．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．
28.（2024 西安期中）已知各項均為正數的無窮數列{an}的前 n項和為 Sn ，且滿足 a1 1，
nS (n 1)S n(n 1)n 1 n (n N
* )．證明數列{an}是等差數列，并求出{an}的通項公式．2
5
29（. 2024 23 1 1 大慶月考）已知數列{an}中，a1 ，an 2 (n 2,n N * )，數列{b }滿足 b (n N *25 a n n )．n 1 an 1
證明{bn}是等差數列，并求{bn}的通項公式．
30.（2024 大連月考）在數列{bn}中，b1 1， S
2b
n 為數列{bn}的前 n項和，且滿足 n 2 1(n 2)．bnSn Sn
1
證明數列 成等差數列，并求數列{bn}的通項公式；
Sn
6第 2節 等差數列
考向一 等差數列的概念及通項
知識點一 等差數列的概念
1．定義
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，即 an 1 an d或者
an an 1 d（ n 2），那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母 d
表示，公差可正可負可為零．
2．遞推公式形式的定義： an an 1 d（ n N
且 n 2）或者 an 1 an d．
知識點二 等差中項的概念
由三個數 a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做 a與 b的等差中項且 2A＝a
＋b．
①兩個數的等差中項就是兩個數的算術平均數，任意兩實數 a，b的等差中項存在且唯一；
②三個數 a , A ,b a b成等差數列的充要條件是 A ．
2
知識點三 等差數列的通項公式
1．首項為 a1，公差為 d的等差數列{an}的通項公式 an＝a1＋(n－1)d．
知識點四 從函數觀點看等差數列——等差數列與一次函數
由等差數列的通項公式 an a1 (n 1)d ，可得 an dn (a1 d )．
當 d 0時， an dn b是 n的一次函數，一次項系數是等差數列的公差 d，它的圖象是在直線
y dx b上均勻排列的一群孤立的點．
（1）當 d 0時數列{an}為遞增數列；（2）當 d 0時數列{an}為遞減數列；（3）當 d 0時，an a1，
等差數列為常數列，此時數列的圖象是平行于 x軸的直線（或 x軸）上均勻分布的一群孤立的點．
從圖象上看（如下圖），表示數列{an}的各點，即點 (n,an )，均勻分布在一條直線上．
知識點五 等差數列通項公式的變形及推廣
1．公式變形
設等差數列{an}的首項為 a1，公差為 d，則
1
d an－am① ＝ (m，n∈N*，且 m≠n)，可用來由等差數列任兩項求公差．
n－m
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求 a1．
證明：∵ an a1 (n 1)d，am a1 (m 1)d ，∴ an am [a1 (n 1)d ] [a1 (m 1)d ] (n m)d ，
∴ an am (n m)d ．
由上可知，等差數列的通項公式可以用數列中的任一項與公差來表示，公式 an a1 (n 1)d可以看成是
m 1時的特殊情況．
a
③ n n a1 1，已知首項，末項，公差即可計算出項數．
d
2．基本量法
（1）等差數列可以由首項 a1和公差 d確定，我們把 a1和 d稱為基本量，所有關于等差數列的計算和證明，
都可圍繞 a1和 d進行．在基本量法中，不拘泥于 a1，有 am 可直接用 am ．
解題時沒有思路了，可以回歸基本量法．
（2）求等差數列的通項公式的兩種思路：
①設出基本量 a1， d ，利用條件構建方程組，通過加減消元法或代入消元法求出 a1， d ，即可寫出等差數
列 an 的通項公式；
a a (n 1)d a a
a ,a (n,m N* ,n m) n 1
d m n
②已知等差數列中的兩項 n m 時，則 m n ，可不
am a1 (m 1)d an am (n m)d
必求 a1而直接寫出等差數列{an}的通項公式．
③設項技巧——對稱設項
（i）三個數成等差數列可設為： a d ， a， a d 或 a， a d ， a 2d；
（ii）四個數成等差數列可設為： a 3d， a d ， a d ， a 3d 或 a， a d ， a 2d， a 3d ．
【例 1】（2020 上海）已知數列{a } a a a 27n 是公差不為零的等差數列，且 a1 a 1 2 910 a9 ，則 ．a10 8
2 a b c ABC 1 1 1【例 】設 ， ， 分別是 內角 A， B，C的對邊，若 , , 依次成公差不為 0的等差
tan A tan B tanC
數列，則 ( )
A． a， b， c依次成等差數列 B． a2 ， b2， c2 依次成等差數列
C． a , b, c D 1 , 1依次成等差數列 ． , 1 依次成等差數列
a b c
2
【例 3】(2022 新 II卷)圖 1是中國古代建筑中的舉架結構， AA ,BB ,CC ,DD
是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖 2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．
其中DD1,CC1,BB1, AA1 是舉，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為
DD1 0.5, CC 1 k , BB1 k , AA 1 k k ,k ,k
OD DC 1 CB 2 BA 3．已知 1 2 3成公差為 0．1的等差數列，1 1 1 1
且直線OA的斜率為 0．725，則 k3 ( )
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【例 4】函數 y 1 (x 2)2 圖像上存在不同的三點到原點的距離構成等差數列，則以下不可能成為公差的
數是 ( )
A 3 B 1． ． C．1 D． 3
3 2
【例 5】(2023 乙卷)已知等差數列 a 2 *n 的公差為 ，集合 S cosan n N ，若 S a,b ，則 ab （ ）3
1
A 1 B C 0 D 1．－ ． ． ．
2 2
跟蹤訓練
【訓練 1】（2018 北京）設{an}是等差數列，且 a1 3， a2 a5 36，則{an}的通項公式為 ．
3
【訓練 2】在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬
至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個
節氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為 31．5 尺，小寒、雨水，清明日影長
之和為 28．5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為 ( )
A．25．5尺 B．34．5尺 C．37．5尺 D．96尺
【訓練 3】已知等差數列{an}的公差為 ；集合 S {sin an | n N
*}，若 S {a， b}，則 a b ( )
A． 1 B．0 C 1． D．1
2
【訓練 4】圖 1是第七屆國際數學教育大會（簡稱 ICME 7)的會徽圖案，會徽的主題圖案是由如圖 2所示
的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1 A1A2 A2A3 A7A8 1，如果把圖 2中的直角三角形繼續作
下去，則第 n個三角形的面積為 ( )
2
A n． B n． C n． D． n
2 2 2
【訓練 5】函數 f (x) (x2 6x m)(ex 3 e3 x n)的四個零點是以 0為首項的等差數列，則m n ．
4
考向 2 等差數列的性質
1．由等差數列生成新的等差數列
（1）公差為d 的等差數列 an 具有如下性質：下標成公差為m的等差數列的項 ak ,ak m ,ak 2m ,L組成以
md為公差的等差數列，即在等差數列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差
數列．
（2）如果兩等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公
差是原兩等差數列公差的最小公倍數．
（3）若{an}，{bn}分別是公差為 d，d′的等差數列，則有
數列 結論
{c＋an} 公差為 d的等差數列(c為任一常數)
{c·an} 公差為 cd的等差數列(c為任一常數)
{an＋an＋k} 公差為 kd的等差數列(k為常數，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差為 pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)
2．角標和對稱性：若m n p q，則 a *m an a p aq (m,n, p,q N )．
（1）若m n 2k，則 am an 2ak (m,n, p N*) ；
（2）若m n t p q r，則 am an at ap a *q ar (m,n, p,q,t,r N ) ．
（3）有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和：
a1 an a2 an 1 L ai an 1 i L.
對于選填中的二元問題，單條件暗示考性質，可利用從一般到特殊思想，直接考慮特殊化的情形，令
an x可簡化計算．
3．角標項對偶性：若an m,am n，則 am n 0．
a a m n
證明：由 an am n m d 得， d n m 1， am n am m n m d n n 0n m n m
【例 1】（2018 上海）已知{an}是等差數列，若 a2 a8 10，則 a3 a5 a7
【例 2】已知數列{an}為等差數列，且 a1 a7 a13 4 ，則 sin a7 ( )
A 1 B 1 3 3． ． C． D．
2 2 2 2
5
【例 3】已知{an}，{bn}均為等差數列，且 a1 1，b1 2， a3 b3 5，則 a2023 b2023 ( )
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【例 4】已知數列{an}為等差數列， a4 a5 a6 6， a7 a8 a9 11，則 a10 a11 a12 ( )
A．16 B．19 C．25 D．29
跟蹤訓練
【訓練 1】已知數列{an}，則“ a2 a4 a1 a5”是“{an}為等差數列”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【訓練 2】已知等差數列 an 滿足 a1a3 a2a7 a3a9 a7a8 100，則 a5 （ ）
5 5 5
A． B．5 C．5或－5 D． 或
2 2 2
【訓練 3】已知數列{an}為等差數列，且 a1 a5 a9 4 ，則 tan(a3 a7 ) ( )
A． 3 B 3 3． C． 3 D．
3 3
【訓練 4】已知數列{an}為等差數列， a1 a2 a3 7， a7 a8 a9 13，則 a13 a14 a15 ( )
A．19 B．22 C．25 D．27
6
考向 3 等差數列的前 n項 Sn
已知量 首項，末項與項數 首項，公差與項數
S n a1＋an S na n n－1 求和公式 n＝ n＝ 1＋ d
2 2
S ,n 1
① an
1
；② S S a a a ．
Sn Sn 1,n 2
n m m 1 m 2 n
1． an與 Sn之間一步轉換
am am am am na1 2 3 n m1 m2 m3 ...... mn
n
例： a2 a6 a7 3a5 ；3a8 a12 2a6．
公式一： Sn a1 a2 a3 an Sn n an 1 （其中 n為奇數） 例： S5 5a3 ．
2
S S S
公式二： a 2n 1 9 15n 例： a ； a2n 1 5 9 8
．
15
當m1、m2、m3、…、mn 也成等差數列時，均有 am am am a1 2 3 m nan m m ．1 n
2
2．只有 S的模型與最值問題
S S S
m n m n
S
性質 1．等差數列中： ，則有 2m m
S
2m
Sm 可以求出 S ，甚至 S ．
m n m n 2m m 2m m
3m 4m
a 0
注意：①若 Sm Sn，則一定有： S 0； m n 1m n ．
2
② Sn ， S2n Sn， S3n S2n成等差數列，公差為 n
2d
S d S S S
2 p
Sq
性質 ．等差數列{a nn}中：{ }為首項是 a1，公差是 的等差數列，若m n p q，則 m n n 2 m n p q
2S
特別的，若m n 2p S S，則有 m n p ．
m n p
an 0 a 0
性質 3． Sn 有最大值 ； S 有最小值
n
，若 a 0，則有 S S 同時取得最值
an 1 0
n a 0 n n n 1 n 1
Sn 0 Sn 0Sn 0， n的最大值 ； Sn 0 , n的最大值 S 0 ． n 1 Sn 1 0
題型一 an與 Sn 的關系
【例 1】（2023 甲卷）記 Sn 為等差數列{an}的前 n項和．若 a2 a6 10， a4a8 45，則 S5 ( )
A．25 B．22 C．20 D．15
7
【例 2】(2020 新高考 I卷)將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得 到數列{an}，則{an}的前 n項
和為________．
S S
【例 3】已知等差數列{an}， a1 4048，其前 n項和為 S ，若 20 18n 4，則 S2025 ( )20 18
A．0 B． 20242 C．2025 D． 20252
【例 4】（2013 新課標Ⅰ）設等差數列{ an }的前 n項和為 Sn ，若 Sm 1 2，Sm 0，Sm 1 3，則m （ ）
A． 3 B． 4 C．5 D． 6
【例 5 S S】設等差數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 14 7，則 21 ( )S7 S14
A 18 B 3 C 11． ． ． D 11．
7 2 7 6
6 a b n S T S n 31n 101【例 】設{ n }與{ n }是兩個等差數列，它們的前 項和分別為 n 和 n，若 ，Tn n 3
a9 a a a則：（1） ___________；（2） 5 ___________；（3） 1 11 ___________；
b9 b4 b1 b11
a
（4） 1
a4 a7 a a ___________；（5） n ___________；（6）求使 n 為整數的正整數 n的集合．
b1 b4 b7 bn bn
【例 7】等差數列{an}和{b }
S 8n a a
n 的前 n項和分別記為 Sn 與T ，若 2n ，則 2 9n ( )Tn 3n 5 b3
A 12 32 16． B． C． D．2
7 17 7
8
跟蹤訓練
【訓練 1】已知{Sn}為等差數列{an}的前 n項和，若 S4 14， S6 S2 22，則 S6 ( )
A．26 B．27 C．28 D．29
【訓練 2】（2019 新課標Ⅲ）記 Sn 為等差數列{an}的前 n項和．若 a1 0， a2 3a
S
1，則
10 ．
S5
{a } {b } S T S3 n n n 1 a10b【訓練 】記等差數列 5n 與 n 的前 項和分別為 n 與 n ，若 ，則 ( )Tn 2n 3 a5b10
A 82 B 81． ． C 42 D 41． ．
81 82 41 42
【訓練 4】已知兩個等差數列{an}和{bn}的前 n項和分別為 An和 B
An 7n 45 an
n ，且 ，則使得 為整數的Bn n 3 bn
正整數 n可以是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
【訓練 5】已知等差數列{an}的前 n項和為 Sn ,S4 3,Sn 4 12(n 5,n N
*),Sn 17，則 n的值為 ( )
A．8 B．11 C．13 D．17
題型二 與 Sn 有關的最值問題
【例 1】若{an}是等差數列， Sn 表示{an}的前 n項和， a3 a8 0， S9 0，則{Sn}中最小的項是 ( )
A． S4 B． S5 C． S6 D． S7
9
【例 2】 (多選 )公差為 d的等差數列{an}，其前 n項和為 Sn ， S11 0， S12 0，下列說法正確的有 ( )
A． d 0 B． a7 0 C．{Sn}中 S6 最大 D． | a4 | | a9 |
【例 3】（2019 北京）設等差數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 a2 3， S5 10，則 a5 ， Sn 的最小值
為 ．
跟蹤訓練
【訓練 1】已知等差數列{an}前 n項和為 Sn ，滿足 S39 0， S40 0，若 am am 1 0，則m ( )
A．18 B．19 C．20 D．21
S
【訓練 2】設等差數列{an}的前 n項和為 Sn ，滿足 S11 0， S12 0，數列{ n }(1 n 11)中最大的項為第 (an
)項．
A．4 B．5 C．6 D．7
【訓練 3】(多選 )已知 Sn 為等差數列{an}的前 n項和，a9 a10 a11 0，a9 a12 0，則下列選項錯誤的是
( )
A．數列{an}是單調遞增數列 B．當 n 11時， Sn 最大
C． S19 S20 0 D． S11 S9
10
題型三 奇數項和與偶數項和
S n
（1）①若數列{an}共有 2n 1
奇
項，則 S2n 1=(2n 1)an （ an 為中間項）， S奇 S 偶 an ， S n 1；
偶
( S n(a1 a其中 2n 1) na S (n 1)(a a )奇 n，
2 2n 2 (n 1)a )
2 偶 2 n
；
②若數列{an}共有 2n項，則 S2n＝n(an＋an 1)（ an ， an 1為中間兩項）， S S奇 nd
S 偶 an＋1
＋ 偶 ， ＝ ．S 奇 an
【例 1】等差數列{an}共 2n 1個項，且奇數項和為 165，偶數項和為 150，則 n ( )
A．10 B．13 C．11 D．22
【例 2】一個等差數列共有 2n項，奇數項的和與偶數項的和分別為 24和 30，且末項比首項大 10．5，則該
數列的項數是 ( )
A．4 B．8 C．12 D．20
【例 3】 一個等差數列的前 10項和為 30，前 30項的和為 10，則前 40項的和為____________．
跟蹤訓練
【訓練 1】已知等差數列{an}共有 2n 1項，奇數項之和為 60，偶數項之和為 54，則 n 10 ．
【訓練 2】已知等差數列{an}中，前m(m為奇數）項的和為 77，其中偶數項之和為 33，且 a1 am 18，則
數列{an}的通項公式為 an ．
11
考向四 等差數列的判定方法
1．定義法：利用定義，an－an－1＝d(常數)(n≥2)，
2．等差中項法：即 2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
3．通項公式法：若數列 an 的通項公式為 n的一次函數，即 an＝An＋B(A、B是常數)，則 an 是等差數列．
4．前 n項和法：若數列 an 的前 n項和 Sn是 Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數)，則 an 為等差數列．
注：①解答題可利用（1）或（2）進行嚴格證明；②選擇、填空題時，可直接用(3)或(4)直接判斷．
5．常見的等差數列
（1） Sn an
2 bn {an}為等差數列， an 2an b a．
2 a b c,n 1
（2） Sn an bn c（ c 0） an ，即{a }是從第二項開始為等差數列．
2an b a,n 2
n
注：選填題可以直接用，解答題在規范書寫的基礎上結合結論可以簡化計算過程，避實就虛！
2 1
（3）若 Sn pan an c，則2 an
1
是等差數列，且 d ．
2p
（4） pan pan 1 can an 1， pSn pSn 1 cSn Sn 1， nSn 1 n 1 Sn n n 1 型遞推關系式．
1 1
轉化步驟：方程兩邊分別同除以“積式”結構 an an 1， Sn Sn 1， n n 1 ，即可分別得到 ， ，
an S

n
Sn 為等差數列．可以類比基本不等式中的“整體代換”來理解記憶，見到mx ny txy結構，同除積
n
式 xy n m得 t．
x y
n
（5）用于含指數冪 an pan 1 p 型已知條件．
n a
轉化方法：同除指數項，等式兩邊同時除以 p ： n an 1

1 a n n 1 ，所以
n
n 為等差數列．p p p
ca
（6）對于分式型遞推關系式 an 1 n 型已知條件，且分子只有一項．pan c
1 1 p 1
轉化方法：取倒數法，等式兩邊同時取倒數可得 ，故數列 為等差數列．an 1 an c an
12
2S
【例 1】(2022甲卷理科)記 Sn為數列 an 的前 n項和．已知 n n 2an 1．證明： an 是等差數列．n
1 1
【例 2】在數列{a *n}中， a1 1,an 1 1 ,bn ，其中 n N ．4an 2an 1
求證：數列{bn}是等差數列．
1 a
【例 3】已知數列{an}滿足 a1 ,a n3 n 1
．
2an 1
1
證明：數列 為等差數列，并求數列{an}的通項公式 aa n
．
n
【例 4】(2015 新課標 2理)設 Sn是數列 an 的前 n項和，且 a1 1， an 1 SnSn 1，則
Sn ________．
跟蹤訓練
【訓練 1 1】已知數列{an}滿足： a1 6，a a

n 1 n 6an 1 9 0，n N 且 n 2，求證：{ }為等差數列．an 3
13
【訓練 2】已知數列{an}滿足 (an＋1 1)(a 1) 3(a a
1
n n n＋1)， a1 2，令 bn ．an 1
（1）求證：數列{bn}是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式．
【訓練 3】若數列{an}的前 n項和為 Sn ，且滿足 Sn (Sn an ) 2an 0(n 2)， a1 2，
1
（1）求證：{ }成等差數列；
Sn
（2）求數列{an}的通項公式．
14

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