資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第七章 立體幾何第二節(jié) 大題篇
考點(diǎn)一 平行的判定
1.直線與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與此平面平行.
性質(zhì)定理 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行.
2.平面與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行
性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行
法一 線面平行構(gòu)造之三角形中位線法（又稱“A”型平行）
【例1】四棱椎底面為平行四邊形，分別為中點(diǎn)，證明：
圖一 圖二 圖三 圖四
法二 線面平行構(gòu)造之平行四邊形法（又稱“ ”型平行）
【例2】四棱椎底面為平行四邊形，分別為中點(diǎn)，證明：
圖一 圖二 圖三 圖四
法三 線面平行構(gòu)造之面面平行推導(dǎo)法（做一個(gè)輔助平行平面）
【例3】四棱椎底面為平行四邊形，分別為中點(diǎn)，證明：
【例4】如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)，證明：平面．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為正方形．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，證明：平面．

【訓(xùn)練2】如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．
【訓(xùn)練3】如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，
DG⊥平面ABCD，，若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
求證：MN//平面．
【訓(xùn)練4】如圖，四邊形ABCD為矩形，P是四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，請問在PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PCD，并說明理出
考點(diǎn)三 垂直的判定
1．直線和平面垂直的定義
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直
2．性質(zhì)定理與判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定 定理 一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面
性質(zhì)定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
3.平面與平面垂直
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面
題型1 線面垂直與面面垂直的判定定理
【例1】圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，
．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面
【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)，證明：平面平面PBC
題型2 異面直線垂直
【例3】如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．
證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．
題型3 等腰三角形三線合一構(gòu)造法
在沒有特殊的重垂線和水平面，證一些線面垂直則需要一些特殊的幾何性質(zhì),由有著共底邊的兩個(gè)等腰三角形構(gòu)成的立體圖形，則兩個(gè)頂點(diǎn)的連線一定垂直于底邊．
【例4】如圖，已知空間四邊形中，，，是的中點(diǎn)．
求證：（1）平面；
（2）平面平面；
（3）若為的重心，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面．
【例5】如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面是等邊三角形，且平面垂直于底面．
（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大小．
題型4 面面垂直的性質(zhì)定理
【例6】如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接.證明：平面平面.
題型5 鱉臑幾何體中的垂直
定理：若一條直線垂直于一個(gè)平面，如果在被垂直的平面內(nèi)找到相互垂直的兩條線（與相交），則與異面的直線垂直于和構(gòu)成的平面．鱉臑是最典型的例子．
當(dāng)出現(xiàn)重垂線時(shí)，就需要在水平面內(nèi)找到兩條垂直相交的直線，由于與重垂線相交，故能得到，同理，作為被垂直的平面，在平面內(nèi)找到，與相交，故可以得到，作為被垂直的平面，需要在這個(gè)面內(nèi)找到垂直的兩條直線，當(dāng)時(shí)（或），能得到．
【例7】如圖，幾何體中，平面，，于，于．
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）證明：；
（4）證明：．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面，分別是，的中點(diǎn)，證明：直線平面．
【訓(xùn)練2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，證明：平面平面；
【訓(xùn)練3】如圖，在三棱錐中，平面平面，且，,E為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，證明：

【訓(xùn)練4】如圖，在直角梯形中，，，是上一點(diǎn)，，，，將沿著翻折，使運(yùn)動到點(diǎn)處，得到四棱錐，證明：．
【訓(xùn)練5】（2023·乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
考向2 空間向量與立體幾何
知識點(diǎn)一：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
知識點(diǎn)二：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
知識點(diǎn)三：法向量的求解與簡單應(yīng)用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系
①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
知識點(diǎn)四：空間角公式．
（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
知識點(diǎn)五：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．
題型1 空間向量的基本運(yùn)算
【例1】如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【例2】若點(diǎn)，，在同一條直線上，則（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【例3】（多選題）已知向量，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線，則 ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】若、、三點(diǎn)共線，則（ ）．
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練3】（多選題）已知空間向量，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則
D．若與夾角為銳角，則
【訓(xùn)練4】已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C． D．
題型2 利用空間向量證明平行
【例1】如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．

【例2】在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．
證明：平面；
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.
【訓(xùn)練2】如圖，且，，且，且，平面，，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；

題型3 利用空間向量證明垂直
【例1】如圖，在平行六面體中，.
(1)求的長；
(2)求證：.
【例2】如圖，在四棱錐中，底面，底面
是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面；

【例3】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：平面平面.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且，求證：BE⊥平面.

【訓(xùn)練2】如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，，
證明：平面平面；

題型4 利用空間向量求夾角、長度、體積
【例1】如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.
(1)求證：平面；
(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
【例2】如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.
【例3】如圖，在菱形中，，，將沿著翻折，形成三棱錐.
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的余弦值.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.
【訓(xùn)練2】如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；
(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．
題型4 利用空間向量求距離
【例1】如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直線與平面的夾角；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【例2】如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；
(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【訓(xùn)練2】在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為 ．
題型5 探索性問題
與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．
【例1】等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，如圖甲，將沿折起到的位置，使二面角為直二面角，連接，如圖乙.

(1)求證：平面.
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
【例2】在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的最大值.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】在（圖1）中，為邊上的高，且滿
足，現(xiàn)將沿翻折得到三棱錐（圖2），使得二面角為.

(1)證明：平面；
(2)在三棱錐中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)到平面的距離為，求的值.
【訓(xùn)練2】如圖，在三棱臺中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.
(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面.
(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由.
【訓(xùn)練3】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點(diǎn).

(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；
(2)若四棱錐的體積為，設(shè)平面平面，求的最小值.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)立體幾何第二節(jié) 大題篇課后練習(xí)

a (2x, 1, 3) b (1, 3, 9) 1.（2024 廣西月考）已知 ， ，如果 a與b為共線向量，則 x （ ）
1 1
A．1 B 1． 2 C． D．3 6
2（. 2024 昆明月考）如圖所示，在平行六面體 ABCD A1B1C D

1 1中，M 為 A1C BD

1與 1 1的交點(diǎn)，若 AB=a，AD b，

AA1 c，則 BM （ ）
1 1 1 1
A． a b c B． a b c
2 2 2 2
1 1 1 1
C． a b c D． a b c
2 2 2 2

3.（2024·全國模擬·多選題）空間直角坐標(biāo)系中，已知O 0,0,0 ，OA 1, 2,1 ，OB 1,2, 1 ，

OC 2,3, 1 ，則（ ）

A． AB 2
B． ABC是等腰直角三角形
6 6 6 6 6
C．與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為 , , 或 , ,
6
6 3 6 6 3 6
2 4 2
D．OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為 , ,
3 3 3

4.（2024·濮陽月考）已知 a 2, 1,3 ,b 1, 4, 2 ,c 7,5, ，若 a,b,c三向量共面，則 等于（ ）
62 64 65
A． B．9 C． D．
7 7 7
5（. 2024·蚌埠模擬）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，平面 A1B1BA 平面 ABC，AB AC AB1 AA1 2，AC AB1，
D為 AC的中點(diǎn)．求證：平面 ACC1A1 平面 A1B1BA .
6．（2024·廣州一模）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長為 2的菱形， DCP是等邊三角形，
DCB PCB π ，點(diǎn)M ， N分別為DP和 AB的中點(diǎn).
4
(1)求證：MN / /平面 PBC；
(2)求證：平面 PBC 平面 ABCD；
7.（2024·佛山模擬）如圖，在四邊形 ABCD中， AB AD, AD∥BC, AD 6, BC 2AB 4，點(diǎn) E，F(xiàn)分別在
BC, AD上運(yùn)動，且EF∥AB，現(xiàn)將四邊形 ABEF 沿 EF 折起，使平面 ABEF 平面CDFE．
若 E為BC的中點(diǎn)，求證：CD 平面 ACF；
8.（2024·青島期末）如圖，四棱錐P ABCD中，底面 ABCD 為正方形， PAB為等邊三角形，面 PAB 底
面 ABCD，E 為 AD 的中點(diǎn).
(1)求證： AC PE；
(2) 5在線段 BD 上存在一點(diǎn) F，使直線 AP 與平面 PEF 所成角的正弦值為 .
5
①確定點(diǎn) F 的位置；
②求點(diǎn) C 到平面 PEF 的距離.
9.（2024·石家莊月考）在三棱臺 ABC DEF 中，G為 AC中點(diǎn)， AC 2DF ， AB BC， BC CF .
(1)求證： BC 平面DEG；
π
(2)若 AB BC 2，CF AB，平面 EFG 與平面 ACFD所成二面角大小為 ，求三棱錐 E DFG的體積.
3
10．（2023·全國乙卷（理））如圖，在三棱錐 P ABC中， AB BC， AB 2，BC 2 2，PB PC 6，
BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為 D，E，O， AD 5DO，點(diǎn) F在 AC上， BF AO .
(1)證明： EF / /平面 ADO；
(2)證明：平面 ADO 平面 BEF；
(3)求二面角D AO C的正弦值.
11．（2023·新課標(biāo)全國Ⅰ）如圖，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 2, AA1 4．點(diǎn) A2 ,B2 ,C2 ,D2分別在
棱 AA1,BB1,CC1 ,DD1上， AA2 1,BB2 DD2 2,CC2 3．
(1)證明： B2C2∥A2D2 ；
(2)點(diǎn) P在棱 BB1上，當(dāng)二面角 P A2C2 D2為150 時(shí)，求 B2P．
12．（2023·新課標(biāo)全國Ⅱ）如圖，三棱錐 A BCD中，DA DB DC，BD CD， ADB ADC 60 ，
E為 BC的中點(diǎn)．
(1)證明： BC DA；

(2)點(diǎn) F滿足 EF DA，求二面角D AB F的正弦值．
13．（2023·天津）三棱臺 ABC - A1B1C1中，若 A1A 面 ABC ,AB AC ,AB AC AA 1 2,A 1C 1 1 ，M ,N分
別是 BC , BA中點(diǎn).
(1)求證： A1N //平面C1MA；
(2)求平面C1MA與平面 ACC1A1所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)C到平面C1MA的距離．
14．（2022·全國甲卷（理））在四棱錐P ABCD中， PD 底面
ABCD,CD∥ AB, AD DC CB 1, AB 2,DP 3．
(1)證明： BD PA；
(2)求 PD與平面 PAB所成的角的正弦值．
15．（2022·全國乙卷（理））如圖，四面體 ABCD中，AD CD, AD CD, ADB BDC，E為 AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面 BED 平面 ACD；
(2)設(shè) AB BD 2, ACB 60 ，點(diǎn) F在 BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面 ABD所成的角的正
弦值．
16．（2022·新高考全國Ⅱ）如圖， PO是三棱錐 P ABC的高， PA PB， AB AC，E是 PB的中點(diǎn)．
(1)證明：OE / /平面 PAC；
(2)若 ABO CBO 30 ， PO 3，PA 5，求二面角C AE B的正弦值．
17．（2021·全國甲卷（理））已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側(cè)面 AA1B1B為正方形， AB BC 2，E，F(xiàn)分
別為 AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱 A1B1上的點(diǎn)． BF A1B1
（1）證明： BF DE；
（2）當(dāng) B1D為何值時(shí)，面 BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小
18．（2020·新高考全國Ⅰ（山東卷））如圖，四棱錐 P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面 ABCD．設(shè)平面 PAD
與平面 PBC的交線為 l．
（1）證明：l⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q為 l上的點(diǎn)，求 PB與平面 QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（2020·新課標(biāo)Ⅰ（理））如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE 為底面直徑，AE AD． ABC
6
是底面的內(nèi)接正三角形， P 為DO 上一點(diǎn)， PO DO ．
6
（1）證明： PA 平面 PBC；
（2）求二面角B PC E的余弦值．
20．（2024·河北滄州月考）如圖，在四棱錐 P ABCD中， PAD為正三角形，底面 ABCD為直角梯形，
AD∥BC， AD CD， AD 2BC 2，CD 3，PB 6．
(1)求證：平面 PAD 平面 ABCD；
(2)棱 PC上是否存在點(diǎn) M，使得二面角M AB D的大小為 45 ，若存在，求出MB的長；若不存在，請說
明理由．
21．（2024·廣東深圳模擬）三棱柱 ABC - A1B1C1中，側(cè)面 BCC1B1是矩形， AC AA1， AC1 A1B .
(1)求證：面 ACC1A 面 ABC；
(2)若 BC 1， AC 2， A1AC 60 ，在棱 AC上是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 B A1P C的大小為 45°？若
存在求出，不存在，請說明理由.
22．（2024·湖南師大附中校考階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱長均為 1．
(1)從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；
①B 61C ；② A1B1C為直角；③平面 ABC 平面 ABB1A1．2
(2)設(shè)點(diǎn) P是棱 BB1上一點(diǎn)．在（1）中條件都成立的情況下，試確定點(diǎn) P的位置，使得直線CP與平面 ACC1A1
所成的角最大．
23．（2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長為 2的菱形， ABC 60 ， PAB
為正三角形，平面 PAB 平面 ABCD， E為線段 AB的中點(diǎn)，M 是線段 PD（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動點(diǎn)．
(1)記平面 BCM 交 PA于點(diǎn) N ，求證：MN //平面 PBC；
(2) 10是否存在點(diǎn)M ，使得二面角P BC M的正弦值為 ，若存在，確定點(diǎn)M 的位置；若不存在，請說
10
明理由．
24．（2024·吉林模擬）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是正方形， AB 2，PA PD 5，E為
BC的中點(diǎn)．
(1)證明： AD PE．
2
(2)若二面角 P AD B的平面角為 ，G是線段 PC上的一個(gè)動點(diǎn)，求直線 DG與平面 PAB所成角的最大3
值．第七章 立體幾何第二節(jié) 大題篇
考點(diǎn)一 平行的判定
1.直線與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
平面外一條直線與此平面內(nèi)
判定
的一條直線平行，則直線與
定理
此平面平行.
如果一條直線和一個(gè)平面平
性質(zhì)
行，經(jīng)過這條直線的平面和
定理
這個(gè)平面相交，那么這條直
線就和交線平行.
2.平面與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線
判定 與另一個(gè)平面平行，則這兩
定理 個(gè)平面平行
如果兩個(gè)平行平面時(shí)與第三
性質(zhì)
個(gè)平面相交，那么它們的交
定理
線平行
法一 線面平行構(gòu)造之三角形中位線法（又稱“A”型平行）
【例 1】四棱椎 P ABCD底面為平行四邊形， E、F分別為 PD、BC中點(diǎn)，證明： PB∥平面ACE
圖一 圖二 圖三 圖四
法二 線面平行構(gòu)造之平行四邊形法（又稱“ ”型平行）
【例 2】四棱椎 P ABCD底面為平行四邊形， E、F分別為 PD、BC中點(diǎn)，證明： EF∥平面PAB
圖一 圖二 圖三 圖四
法三 線面平行構(gòu)造之面面平行推導(dǎo)法（做一個(gè)輔助平行平面）
【例 3】四棱椎P ABCD底面為平行四邊形， E、F分別為PD、BC中點(diǎn)，證明： EF 平面PAB
【例 4】如圖，在四棱錐 P ABCD中， AB∥CD, AB BC, 2AB 2BC CD PD PC，設(shè) E,F ,M 分列為
棱 AB,PC,CD的中點(diǎn)，證明： EF / /平面 PAM ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，側(cè)面 ACC1A1為菱形，側(cè)面CBB1C1 為正方形．點(diǎn)M 為 A1C的中
點(diǎn)，點(diǎn) N 為 AB 的中點(diǎn)，證明：MN //平面 BCC1B1．
1
【訓(xùn)練 2】如圖所示，在四棱錐 P ABCD中， BC//平面 PAD， BC AD， E是 PA的中點(diǎn)．
2
【訓(xùn)練 3】如圖，AD//BC 且 AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD 且EG AD，CD / /FG且CD 2FG，
DG⊥平面 ABCD，DA DC DG，若 M 為CF的中點(diǎn)，N 為EG的中點(diǎn)，
求證：MN//平面CDE．
【訓(xùn)練 4】如圖，四邊形 ABCD 為矩形，P 是四棱錐 P－ABCD 的頂點(diǎn)，E 為 BC 的中點(diǎn)，請
問在 PA 上是否存在點(diǎn) G，使得 EG∥平面 PCD，并說明理出
考點(diǎn)三 垂直的判定
1．直線和平面垂直的定義
直線 l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線 l 與平面α互相垂直
2．性質(zhì)定理與判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直
判定
線都垂直，則該直線與此平面垂
定理
直
如果在兩條平行直線中，有一條
推論 垂直于平面，那么另一條直線也
垂直這個(gè)平面
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平
性質(zhì)定理 行
3.平面與平面垂直
文字語言 圖形語言 符號語言
一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂
判定定理
線，則這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面
性質(zhì)定理
內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一
個(gè)平面
題型 1 線面垂直與面面垂直的判定定理
【例 1】圖 1 是由矩形 ADEB，Rt ABC和菱形 BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中 AB 1， BE BF 2，
FBC 60 ．將其沿 AB，BC折起使得 BE 與 BF 重合，連結(jié) DG，如圖 2．證明：圖 2 中的 A，C，G，
D四點(diǎn)共面，且平面 ABC 平面 BCGE
【例 2】如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為正方形，PA 底面 ABCD，PA AB 2，E為線段 PB 的
中點(diǎn)，F(xiàn) 為線段 BC 上的動點(diǎn)，證明：平面 AEF 平面 PBC
題型 2 異面直線垂直
【例 3】如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn) E， F 分別在棱DD1， BB1上，且 2DE ED1， BF 2FB1．
證明：（1）當(dāng) AB BC時(shí)， EF AC；（2）點(diǎn)C1在平面 AEF 內(nèi)．
題型 3 等腰三角形三線合一構(gòu)造法
在沒有特殊的重垂線和水平面，證一些線面垂直則需要一些特殊的幾何性質(zhì),由有著共底邊的兩個(gè)等腰三角形構(gòu)
成的立體圖形，則兩個(gè)頂點(diǎn)的連線一定垂直于底邊．
【例 4】如圖，已知空間四邊形 ABCD中， BC AC ， AD BD， E是 AB的中點(diǎn)．
求證：（1） AB 平面CDE；
（2）平面CDE 平面 ABC；
（3）若G為 ADC的重心，試在線段 AE上確定一點(diǎn) F ，使得GF / /平面CDE．
【例 5】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCd 是 DAB 60 且邊長為 a的菱形，側(cè)面 PAD是等邊三
角形，且平面 PAD垂直于底面 ABCD．
（1）若G為 AD的中點(diǎn)，求證： BG 平面 PAD；
（2）求證： AD PB；
（3）求二面角 A BC P的大小．
題型 4 面面垂直的性質(zhì)定理
【例 6】如圖，在平面四邊形 ABCP中，D為 PA的中點(diǎn)，PA AB,CD / / AB，且 PA CD 2AB 4 .將此
平面四邊形 ABCP沿CD折成直二面角 P DC B，連接 PA,PB,BD .證明：平面 PBD 平面 PBC .
題型 5 鱉臑幾何體中的垂直
定理：若一條直線 l 垂直于一個(gè)平面，如果在被垂直的平面內(nèi)找到相互垂直的兩條線 l1 l2（ l1與 l 相交），
則與 l 異面的直線 l2垂直于 l 和 l1構(gòu)成的平面．鱉臑是最典型的例子．
當(dāng)出現(xiàn)重垂線 PA 時(shí)，就需要在水平面 ACB內(nèi)找到兩條垂直相交的直線 AC BC，由于 AC 與重垂線
PA 相交，故能得到 BC 面PAC ，同理， PAC 作為被垂直的平面，在平面內(nèi)找到 AD PC， BC與 PC相
交，故可以得到 AD 面PBC，PBC 作為被垂直的平面，需要在這個(gè)面內(nèi)找到垂直的兩條直線，當(dāng) DE PB
時(shí)（或 AE PB），能得到 PB 面ADE．
【例 7】如圖，幾何體 P ABC中，PA 平面 ABC，AC CB，AM PB于M ，AN PC于 N ．
（1）證明： BC 平面PAC ；
（2）證明： PB 平面AMN ；
（3）證明：平面PBC 平面AMN ；
（4）證明： PB MN ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，在四棱錐 P ABCD中，四邊形 ABCD為菱形， ABC 60 ，PA AD，PA 平面 ABCD，
E,F 分別是BC，PC的中點(diǎn)，證明：直線 AE 平面 PAD．
【訓(xùn)練 2】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，平面 PCD 平面 PAD，證明：平面 PAD
平面 ABCD；
【訓(xùn)練 3】如圖，在三棱錐 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC，且 PA AC BC ， PAC ACB 90 ,E
為棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn) 為棱 PB上的點(diǎn)，證明： AE PB
【訓(xùn)練 4】如圖，在直角梯形 ABCD中， AB∥CD， AB BC， E是CD上一點(diǎn)， AB DE 2，CD 3，
BC 3，將VADE沿著 AE翻折，使D運(yùn)動到點(diǎn) P處，得到四棱錐 P ABCE，證明： PB AE．
【訓(xùn)練 5】（2023·乙卷）如圖，在三棱錐 P ABC中， AB BC， AB 2，BC 2 2， PB PC 6，
BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為 D，E，O， AD 5DO，點(diǎn) F在 AC上， BF AO .
(1)證明： EF / /平面 ADO；
(2)證明：平面 ADO 平面 BEF；
考向 2 空間向量與立體幾何
知識點(diǎn)一：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角

已知兩個(gè)非零向量 a， b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA a，OB b，則 AOB叫做向量 a， b的夾角，

記作 a,b ，通常規(guī)定 0 a,b ，如果 a,b ，那么向量 a，b互相垂直，記作 a b．
2
（2）數(shù)量積定義

已知兩個(gè)非零向量 a，b，則 a b cos a,b 叫做 a，b的數(shù)量積，記作 a b，即 a b a b cos a,b ．零
2
向量與任何向量的數(shù)量積為 0，特別地， a a a ．
（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

a b a b ， a b b a（交換律）；
a b c a b a c（分配律）．
知識點(diǎn)二：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

（1）設(shè) a a1,a2 ,a3 ， b b1,b2 ,b3 ，則 a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ；

a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ；

a a1, a2 , a3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 ；
a / /b b 0 a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 0．

（2）設(shè) A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB OB OA x2 x1, y2 y1, z2 z1 ．
這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
2
①已知 a a1,a2 ,a3 ， b b1,b2 ,b3 ，則 a a a 21 a 2 22 a3 ；
2
b b b 2 b 2 21 2 b3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 ；

cos a,b a1b1 a2b2 a 3b3 ；
a 21 a
2
2 a
2 2
3 b1 b
2
2 b
2
3
2 2 2
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB x1 x2 y1 y2 z1 z2 ，

或者 d A,B AB ．其中 d A,B 表示 A與 B兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．

4 a a b（ ）向量 在向量 b上的投影為 a cos a,b ．
b
知識點(diǎn)三：法向量的求解與簡單應(yīng)用
（1）平面的法向量：

如果表示向量 n的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量垂直于平面 ，記作 n ，如果

n ，那么向量 n叫做平面 的法向量．
幾點(diǎn)注意：

①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m是

與平面平行或在平面內(nèi)，則有m n 0．

第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向 a x1，y1，z1 ，b x2 ，y2 ，z2 ；

n a 0 xx yy zz 0
第二步：那么平面法向量 n x，y，z ，滿足 1 1 1 ．
n b 0 xx2 yy2 zz2 0
（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線 a， b的方向向量分別為 a， b ．

若 a∥ b ，即 a b，則 a∥b；

若 a⊥b，即 a b 0，則 a⊥b．

②直線與平面的位置關(guān)系：直線 l的方向向量為 a，平面 的法向量為 n ，且 l⊥ ．

若 a ∥ n ，即 a n，則 l⊥ ；

若 a⊥n，即 a n 0 ，則 a∥ ．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
n n 平面 的法向量為 1，平面 的法向量為 2．
n n 若 1∥ 2，即 n1 n

2，則 ∥ ；若 n1⊥ n2，即 n1 n2 0，則 ⊥ ．
知識點(diǎn)四：空間角公式．

（1）異面直線所成角公式：設(shè) a，b分別為異面直線 l1， l2 上的方向向量， 為異面直線所成角的大

a b
小，則 cos cos a,b ．
a b

（2）線面角公式：設(shè) l為平面 的斜線， a為 l的方向向量， n為平面 的法向量， 為

a n
l與 所成角的大小，則 sin cos a,n ．
a n
（3）二面角公式：

設(shè) n1，n2分別為平面 ， 的法向量，二面角的大小為 ，則 n1,n2 或 n1,n2 （需要根據(jù)具體

n1 n2
情況判斷相等或互補(bǔ)），其中 cos ．
n1 n2
知識點(diǎn)五：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直
接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線 a b ， 的公垂線的方向向量為 n ，這時(shí)分別在 a，b上任取 A，B兩點(diǎn)，則向量在 n

上的正射影長就是兩條異面直線 a，b n | AB n |的距離．則 d | AB | 即兩異面直線間的距離，等于兩異
| n | | n |
面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
A 為平面 外一點(diǎn)（如圖）， n 為平面 的法向量，過 A作平面 的斜線 AB及垂線 AH ．

| AH | | AB | sin | AB | | cos AB,n | = | AB | | AB n | | AB n |
AB n n

d | AB n |
| n |
題型 1 空間向量的基本運(yùn)算

【例 1】如圖.空間四邊形 OABC 中，OA a,OB b,OC c，點(diǎn) M 在 OA 上，且滿足OM 2MA，點(diǎn) N 為 BC

的中點(diǎn)，則MN （ ）
1 2 1 a b c 2

a 2 b 1

A． B． c
2 3 2 3 3 2
1 1 1 2 1 a 1

C． b c D． a b c
2 2 2 3 2 2
【例 2】若點(diǎn) A(2, 5, 1)， B( 1, 4, 2)，C(m 3, 3,n)在同一條直線上，則m n （ ）
A．21 B．4 C． 4 D．10

【例 3】（多選題）已知向量 a 1,1,1 ，b 1,0,2 ，則下列正確的是（ ）
a b
π
A． 0,1,3 B． a 3 C． a ×b = 2 D． a,b
4
1
【例 4】在四面體 OABC 中，點(diǎn) M，N 分別為 OA、BC 的中點(diǎn)，若OG OA xOB yOC，且 G、M、N 三
3
點(diǎn)共線，則 x y ．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】若 A(m 1，n 1，3)、 B(2m，n，m 2n)、C (m 3，n 3，9)三點(diǎn)共線，則m n （ ）．
A． 0 B．1 C． 2 D．3
1
【訓(xùn)練 2】如圖，M 在四面體 OABC 的棱 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在線段 OM 上，且MN OM ，設(shè)
3 OA a
，OB b，

OC c，則下列向量與 AN相等的向量是（ ）
1 1 1 1
A． a b c B． a b c
3 3 3 3
1 1 1 1
C． a b c D． a b c
6 6 6 6

【訓(xùn)練 3】（多選題）已知空間向量 a 2, 1,3 ，b 4,2, x ，下列說法正確的是（ ）
A

．若 a b，則 x
10

3

B．若3a b 2, 1,10 ，則 x 1
1
C．若 a在b 上的投影向量為 b，則 x 43
10
D．若 a 與b 夾角為銳角，則 x , 3
【訓(xùn)練 4】已知空間A、 B、C、D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè) P為空間中任意一點(diǎn)，若

BD 5PA 4PB PC，則 （ ）
A． 2 B． 2 C．1 D． 1
題型 2 利用空間向量證明平行
【例 1】如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形，PD 平面 ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N 為
1
DE的中點(diǎn)，DM DB,DA DP 1,CD 2，求證：MN //AP．
4
【例 2】在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體
ABCDE A1B1C1D1E1， AB AE， AE∥BC， AB∥ED， AA1 底面 ABCDE，四邊形 A1B1C1D1是邊長為 2
的正方形且平行于底面，AB∥A1B1，D1E，B1B的中點(diǎn)分別為 F ，G，AB AE 2DE 2BC 4，AA1 1．
證明： FG∥平面C1CD；
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，四邊形 ABCD 和 ABEF 都是平行四邊形，且不共面，M，N 分別是 AC，BF 的中點(diǎn)，求證：
CE / /MN .
【訓(xùn)練 2】如圖， AD //BC且 AD 2BC， AD CD， EG //AD且 EG AD，CD//FG且CD 2FG，DG
平面 ABCD，DA DC DG 2，若M 為CF 的中點(diǎn)， N 為 EG的中點(diǎn)，求證：MN //平面CDE；
題型 3 利用空間向量證明垂直
【例 1】如圖，在平行六面體 ABCD A1B1C1D1中， AB AD 4, AA1 5, DAB DAA1 BAA1 60
.
(1)求 AC1的長；
(2)求證： AC1 BD .
【例 2】如圖，在四棱錐P ABCD中， PD 底面 ABCD，底面 ABCD
是邊長為 2 的正方形， PD DC， F，G分別是 PB， AD的中點(diǎn)．求證：GF 平面 PCB；
【例 3】如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面 ABCD，AD CD，AD //BC，PA AD CD 2，BC 3 . E
PF 1
為 PD的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在PC上，且 ，求證：平面 AEF 平面 PCD .
FC 2
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC 90 ， AB AC 2， AA1 4，D 為 BC 的中點(diǎn)，E
1
為CC1上的點(diǎn)，且 CE CC1 ，求證：BE⊥平面 ADB1 .4
1
【訓(xùn)練 2】如圖，正三棱柱 ABC - A1B1C1中， E,F 分別是棱 AA1,BB1上的點(diǎn)， A1E BF AA1，3
證明：平面CEF 平面 ACC1A1；
題型 4 利用空間向量求夾角、長度、體積
【例 1】如圖，在三棱錐 P ABC中，PA 底面 ABC， BAC 90 .點(diǎn)D、E、N 分別為棱 PA、PC、BC
的中點(diǎn)，M 是線段 AD的中點(diǎn)， PA AC 4， AB 2 .
(1)求證：MN //平面 BDE；
(2) 7已知點(diǎn) H在棱 PA上，且直線 NH 與直線 BE所成角的余弦值為 ，求線段 AH的長．
21
【例 2】如圖，四棱錐P ABCD的底面為正方形，AB AP 2，PA 平面 ABCD，E,F 分別是線段PB,PD
的中點(diǎn)，G是線段PC上的一點(diǎn).
(1)求證：平面 EFG 平面 PAC；
1
(2)若直線 AG與平面 AEF 所成角的正弦值為 ，且G點(diǎn)不是線段 PC的中點(diǎn)，求三棱錐 E ABG體積.
3
【例 3】如圖，在菱形 ABCD中， AB 2， DAB 60 ，將△BCD沿著 BD翻折，形成三棱錐 A BCD .
(1)當(dāng) AC 2時(shí)，證明： AD BC；
(2)當(dāng)平面 ABD 平面 BDC時(shí)，求直線BC與平面 ACD所成角的余弦值.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD 為正方形，平面 PAD 平面 PAB， PAD 45 ， AB 2 .
(1)證明：平面 PAD 平面 ABCD；
(2)若 E為 PC 的中點(diǎn)，異面直線 BE 與 PA所成角為30 ，求四棱錐 P ABCD的體積.
π
【訓(xùn)練 2】如圖 1 所示，四邊形 ABCD 中 AD//BC， AB 1， AD 2， BC 3， ABC ，M 為 AD 的中
2
點(diǎn)，N 為 BC 上一點(diǎn)，且MN //AB．現(xiàn)將四邊形 ABNM 沿 MN 翻折，使得 AB 與 EF 重合，得到如圖 2 所示的
幾何體 MDCNFE，其中FD 3．
(1)證明：CD 平面 FND；
(2)若 P 為 FC 的中點(diǎn)，求二面角 F ND P的正弦值．
題型 4 利用空間向量求距離
【例 1】如圖，已知菱形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB AF 2， ADC 60
.
(1)求直線 BF與平面 ABCD的夾角；
(2)求點(diǎn)A到平面 FBD的距離.
【例 2】如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，側(cè)面 PAD是正三角形，且與底面 ABCD垂直，BC //平面 PAD，
BC 1 AD 1， E是棱 PD上的動點(diǎn).
2
(1)當(dāng) E是棱 PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：CE //平面 PAB；
(2)若 AB 1， AB AD，求點(diǎn) B到平面 ACE距離的范圍.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，側(cè)面 PAD是邊長為 2的正三角形，平
面 PAD 平面 ABCD， AB PD．
(1)求證：平行四邊形 ABCD為矩形；
(2)若 E 6為側(cè)棱 PD的中點(diǎn)，且平面 ACE與平面 ABP所成角的余弦值為 ，求點(diǎn) B到平面 ACE的距離．
4
【訓(xùn)練 2】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 AB BC 3，AC 2，D 是 AC 的中點(diǎn)，則直線B1C到平面 A1BD
的距離為 ．
題型 5 探索性問題
與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面
角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)
出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．
AD CE 1
【例 1】等邊三角形 ABC的邊長為 3，點(diǎn)D,E分別是邊 AB, AC上的點(diǎn)，且滿足 ，如圖甲，將
DB EA 2
VADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角 A1 DE B為直二面角，連接 A1B,A1C ，如圖乙.
(1)求證： BD 平面 A1DE .
(2)在線段 BC上是否存在點(diǎn) P，使平面 PA1E與平面 A1BD所成的角為60 ？若存在，求出 PB的長；若不存在，
請說明理由.
【例 2】在如圖所示的多面體中，四邊形 ABCD為正方形， A,E,B,F四點(diǎn)共面，且 ABE和△ABF 均為等
腰直角三角形， BAE AFB 90 ，平面 ABCD 平面 AEBF， AB 2 .
(1)求證：直線 BE 平面 ADF；
(2)求平面CBF與平面 BFD夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn) P在直線DE上，求直線 AP與平面 BCF所成角的最大值.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】在 ABC（圖 1）中，BC 3, C 45 , AD為 BC邊上的高，且滿

足DC 2BD，現(xiàn)將△ABD沿 AD翻折得到三棱錐 A BCD（圖 2），使得二面角 B AD C為60 .
(1)證明：BC 平面 ABD；
1
(2)在三棱錐 A BCD 中，M 為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn) P在棱 AC上，且 AP AC 0 ，若點(diǎn)C到平面 PBM
2
3 13
的距離為 ，求 的值.
13
【訓(xùn)練 2】如圖，在三棱臺 ABC - A1B1C1中，若 A1A 平面 ABC, AB AC, AB AC AA1 2，A1C1 1,N為
AB中點(diǎn)，M 為棱 BC上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.
(1)若M 為 BC的中點(diǎn)，求證： A1N / /平面C1MA .
(2)是否存在點(diǎn)M ，使得平面C1MA與平面 ACC1A
2
1所成角的余弦值為 7？若存在，求出
BM長度；若不存在，
請說明理由.
【訓(xùn)練 3】如圖，圓臺O1O2的軸截面為等腰梯形 A1ACC1，AC 2AA1 2A1C1 4,B為底面圓周上異于 A,C 的
點(diǎn).
(1)在平面 BCC1內(nèi)，過C1作一條直線與平面 A1AB平行，并說明理由；
(2)若四棱錐 B A1ACC1的體積為 2 3，設(shè)平面 A1AB 平面C1CB l,Q l，求 CQ 的最小值.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
立體幾何第二節(jié) 大題篇課后練習(xí)
1.（2024 廣西月考）已知，，如果與為共線向量，則（ ）
A． B． C． D．
2.（2024 昆明月考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（ ）

A． B．
C． D．
3.（2024·全國模擬·多選題）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或
D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
4.（2024·濮陽月考）已知，若三向量共面，則等于（ ）
A． B．9 C． D．
5.（2024·蚌埠模擬）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D為AC的中點(diǎn)．求證：平面平面.

6．（2024·廣州一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
7.（2024·佛山模擬）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上運(yùn)動，且，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面．
若E為的中點(diǎn)，求證：平面；

8.（2024·青島期末）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.
①確定點(diǎn)F的位置；
②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.
9.（2024·石家莊月考）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
10．（2023·全國乙卷（理））如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
11．（2023·新課標(biāo)全國Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
12．（2023·新課標(biāo)全國Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
13．（2023·天津）三棱臺中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
14．（2022·全國甲卷（理））在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
15．（2022·全國乙卷（理））如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
16．（2022·新高考全國Ⅱ）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．（2021·全國甲卷（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小
18．（2020·新高考全國Ⅰ（山東卷））如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（2020·新課標(biāo)Ⅰ（理））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2024·河北滄州月考）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，．

(1)求證：平面平面；
(2)棱上是否存在點(diǎn)M，使得二面角的大小為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
21．（2024·廣東深圳模擬）三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.

(1)求證：面面ABC；
(2)若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請說明理由.
22．（2024·湖南師大附中校考階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱柱的所有棱長均為1．
(1)從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；
①；②為直角；③平面平面．
(2)設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．在（1）中條件都成立的情況下，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角最大．
23．（2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動點(diǎn)．
(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．
24．（2024·吉林模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：．
(2)若二面角的平面角為，G是線段PC上的一個(gè)動點(diǎn)，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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