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數列第3節課后練習
1．(2017 課標Ⅲ卷理)等差數列的首項為，公差不為．若成等比數
列，則前項的和為(　　)
A． B． C． D．
2．(2016 課標Ⅰ卷理)設等比數列滿足，，則的最大值為 ．
3．(2015 新課標2卷)已知等比數列滿足，，則
(　　)
A．21 B．42 C．63 D．84
4.（2024 哈爾濱月考）設等比數列滿足，，則使最大的為　　
A． B．3 C．3或4 D．4
5.（2024 廣西月考）若，，為實數，數列，，，，是等比數列，則的值為　　
A．5 B． C． D．
6.（2024 廣州月考），，，若是，的等差中項，正數是，的等比中項，則（ ）
A． B． C． D．
7.（2024 沈陽月考）在各項均為正數的等比數列中，，則　　
A．1 B． C．4 D．
8.（2024 呼和浩特月考）已知等比數列的前項和為，若，，則（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
9.（2024 青島月考）若等比數列中的，是方程的兩個根，則等于　　
A． B．1011 C． D．1012
10.（2024 唐山月考）設單調遞增的等比數列滿足，，則公比　　
A． B． C．2 D．
11.（2024 深圳月考）已知方程的四個根組成一個首項為的等比數列，則　　
A．1 B． C． D．
12.(2019 全國Ⅰ卷)記為等比數列的前項和．若，，則 ．
13.(2019 課標Ⅲ卷理)已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
14.(2017 新課標Ⅰ卷)幾位大學生響應國家的創業號召,開發了一款應用軟件．為激
發大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼
為下面數學問題的答案:已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項是,接下來的兩
項是,,再接下來的三項是,,,依此類推．求滿足如下條件的最小整數:
且該數列的前項和為的整數冪．那么該款軟件的激活碼是(　　)
A． B． C． D．
15.(2017 新課標Ⅱ卷)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，
共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是
上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈(　　)
A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞
16.（2024 湛江月考）等比數列的前項和，則　　
A． B． C．2 D．
17.（2024 運城月考）設等比數列的前項和為，若，則　　
A． B． C． D．
18.（2024 蕪湖月考）已知數列是等比數列，為其前項和，若，，則　　
A．26 B．24 C．18 D．12
19.（2024 泉州月考）在等比數列中，前項的和為，，，則（ ）
A．22 B．210 C．640 D．2560
20.（2024 十堰月考）已知等比數列的前項和為，若，，則（ ）
A．32 B．28 C．48 D．60
21.（2024 遵義月考）設等比數列的前項和為，若，則的值是　　
A． B．3 C． D．4
22.（2024 常州月考）在等比數列中，，，則（ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
23.（2024 蘇州月考）一個球從高的地方自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第6次著地時，經過的路程是　　
A． B．
C． D．
24.（2024 涼山月考）某銀行設立了教育助學低息貸款，其中規定一年期以上貸款月均等額還本付息（利息按月以復利計算）．如果小新同學貸款10000元，一年還清，假設月利率為，那么小新同學每月應還的錢約為　　
A．833 B．858 C．883 D．902
25.（2024 湖南期末）若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數列，再把所得數列按照同樣的方法可以不斷構造出新的數列．現將數列1，3進行構造，第1次得到數列1，4，3；第2次得到數列1，5，4，7，3；依次構造，第次得到數列1，，，，，，3．記，若成立，則的最小值為　　
A．6 B．7 C．8 D．9
26.（2023 湖北月考）古希臘哲學家芝諾提出了如下悖論：一個人以恒定的速度徑直從點走向點，要先走完總路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，會產生無限個“剩下的路程”，因此他有無限個“剩下路程的三分之一”要走，這個人永遠走不到終點．另一方面，我們可以從上述第一段“三分之一的路程”開始，通過分別計算他在每一個“三分之一距離”上行進的時間并將它們逐個累加，不難推理出這個人行進的總時間不會超過一個恒定的實數．記等比數列的首項，公比為，前項和為，則造成上述悖論的原理是　　
A． B．
C． D．
27.（2024 河南月考）德國數學家康托爾是集合論的創始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱谝徊僮?，將邊長為1的正方形分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個，刪除其余5個；第二次操作，將第一次剩余的每個小正方形繼續9等分，并保留每個小正方形靠角的4個，其余正方形刪除；以此方法繼續下去，經過次操作后，若要使保留下來的所有小正方形的面積之和不超過，則至少需要操作的次數為　 　．
28.（2017 新課標Ⅰ）記為等比數列的前項和．已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求，并判斷，，是否成等差數列．
29.（2023 深圳模擬）已知數列的首項，且滿足．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和．
30.（2024 江門月考）已知數列滿足：，且．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和．
31.（2024 太原月考）已知，點，在函數的圖象上，其中．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)數列第 3節 等比數列
考向一 等比數列的概念及通項公式
知識點一 等比數列的概念
1．定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列
叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母 q表示(q≠0)．
2 an q ( n N n 2 ) a．遞推公式形式的定義： 且 （ n 1 q， n N ）.
an 1 an
知識點二 等比中項
如果在 a與 b中間插入一個數 G，使 a，G，b成等比數列，那么 G叫做 a與 b的等比中項，此時，G2＝ab.
注：①并非任何兩數總有等比中項．僅當實數 a,b同號，即 ab 0時，實數 a,b存在等比中項．對同號兩實
數 a,b的等比中項不僅存在，而且有一對互為相反數的等比中項G ab．也就是說，兩實數要么沒有等
比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中
項關系”轉化求解．
2
②G ab是 a、G、b成等比數列的必要不充分條件.
知識點三 等比數列的通項公式
若等比數列{an}的首項為 a1，公比為 q，則 a a qn 1n 1 (n∈N*)．
知識點四 從函數觀點看等比數列——等比數列與指數函數
1.等比數列的圖象
對于等比數列{an}，通項公式 an a qn 1
a
11 q
n a．當 q 1且 a1 1時，它們都是一個非零常數 c(c＝
1 )
q q
與指數函數 y＝qx的乘積：y＝cqx.
由指數函數 y＝qx的圖象可以得出 y＝cqx的圖象，而 y＝cqx的圖象上橫坐標為正整數 n的孤立點(n，an)
組成如下圖等比數列的圖象．
當等比數列的公比 q＝1時等比數列的各項都為常數 a1，其圖象是一系列從左至右呈水平狀的孤立點．
2.等比數列的單調性
（1）已知等比數列{an}的首項為 a1，公比為 q，則
1
a1 0 a1 0 a{a } 1
0 a1 0
①當 或 時， n 是遞增數列；②當 或 時，{a }是遞減數列；
q 1 0 q 1

0 q

1 q 1 n
③當 q 1時，{an}為常數列 (an 0)．
（2）對于等比數列{an}，借助函數 y＝cqn的性質，可分析等比數列{an}的增減性如下表．
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 01 01
數列{an}的增減性 遞減數列 常數列 遞增數列 遞增數列 常數列 遞減數列
（3）等比數列{an}，當公比 q<0時，是擺動數列，即不遞增也不遞減，所有的奇數項（偶數項）同號，奇
數項與偶數項異號，反應在圖象上是一系列上下波動的孤立的點(如圖)
注：常數列不一定是等比數列，只有非零常數列才是公比為 1的等比數列.
知識點五 等比數列通項公式的推廣和變形
1.通項公式變形
等比數列{an}的公比為 q，則
① qn m a n ，可用來由等比數列任兩項求公比.
am
② a n mn am q ，可以用來利用任一項及公比直接得到通項公式，不必求 a1.
n 1
a a q n 1證明：∵ n 1 ， a a q
m 1 a a q
m 1 ，∴
n 1 m 1 q
n m
，∴ an am q
n m
.
am a1 q
由上可知，等比數列的通項公式可以用數列中的任一項與公比來表示，通項公式
an a1 q
n 1 (n N *，a1 q 0)可以看成是m 1時的特殊情況.
③ qn a n ，已知首項，末項，公比即可計算出項數.
a1
2.基本量法
（1）等比數列可以由首項 a1和公比 q確定，我們把 a1和 q稱為基本量，所有關于等比數列的計算和證明，
都可圍繞 a1和 q進行.在基本量法中，不拘泥于 a1，有 am 可以直接用 am .
解題時沒有思路了，可以回歸基本量法.
（2）求等比數列的通項公式的兩種思路：
2
①設出基本量 a1、 q，利用條件構建方程組，通過兩式相除法或者代入消元法求出 a1， q，即可寫出等比
數列 an 的通項公式；
a a qn 1 a
②已知等比數列中的兩項 an ,am (n,m

N* ,n m) n 1 n n m時，則 qa 可不必求
a1而直接寫
a a qm 1 m 1 m
出等比數列{an}的通項公式．
③設項技巧——對稱設項
a
（i）三個數成等比數列可設為： ， a， aq或 a， aq， aq2 ；
q
（ii a a）四個數成等比數列可設為： ， ， aq， aq33 或 a， aq， aq
2 ， aq3 .
q q
【例 1】(2022 乙卷理)已知等比數列 an 的前 3項和為 168， a2 a5 42，則 a6 ( )
A．14 B．12 C．6 D．3
【例 2】（2020 新課標Ⅰ文）設{an}是等比數列，且 a1 a2 a3 1，a2 a3+a4 2，則 a6 a7 a8 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【例 3】（2019 全國 III卷理）已知各項均為正數的等比數列 an 的前 4項和為 15，且
a5 3a3 4a1，則 a3 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
跟蹤訓練
【訓練 1】已知{an}是等比數列，且 a6 a4 24， a7 a5 48，則 a1 ( )
A． 1 B 1． C．1 D．2
2
3
【訓練 2】設{an}
a a
為等比數列， a2 2a4 3a 4 76 ，則 ( )a2 a5
A 1 B 1． ． C．3 D．9
9 3
【訓練 3】（2023 乙卷）已知{an}為等比數列， a2a4a5 a3a6， a9a10 8，則 a7 ．
1 a a
【訓練 4】已知在正項等比數列{an}中 3a1， a3， 2a2 成等差數列，則 2022 2021 ．2 a2020 a2019
考向二 等比數列的常用性質
一、由等比數列生成新的等比數列
若數列{a }是公比為 qn 的等比數列，由等比數列的定義可得等比數列具有如下性質：
1.數列 an ( 0)仍是公比為 q的等比數列；
1 1
2. 數列 an （ 為常數）為等比數列；特別地，當 1時，即 是公比為 的等比數列；
a

n q
3.若數列 bn 是公比為 q'的等比數列，則數列 anbn 是公比為 qq'的等比數列；
4．在等比數列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k 為
等比數列，公比為 qk ．
二、等差數列與等比數列的聯系
1. a若數列{an}是公差為 d的等差數列，則數列{b n}（b 0且b 1
d
）是公比為b 的等比數列．
2.若數列{an}是公比為 q等比數列，則數列{logb | an |}（b 0且b 1）公差為 logb | q |的等差數列．
3.如果數列{an}既成等差數列又成等比數列，那么數列{an}是非零常數數列；但數列{an}是常數數列僅是數
列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．
4
三、項的性質
1.對稱性：若m n p q，則 aman apaq ；若m n 2k，則 a 2m an ak ．
推廣：①若m n t p q r，則 amanat apaqar ．②有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積
都相等，都等于首末兩項的積： a1 an a2 an 1 am an 1 m．
2.若m,n, p成等差數列，則 am ,an ,ap 成等比數列．
am k a3.等比性質： 1 m2 k
amn k qk ．
am a a1 m2 mn
a3 a6 a99 q a3 a6 a a a a 99 q2 7 8 9 q3 a a a例如：① ；② ；③ ； 7 8 9 q6．
a2 a5 a98 a1 a4 a97 a4 a5 a6 a1 a2 a3
【例 1】在正項等比數列 an 中，a3與 a8是方程 x2 30x 10 0 的兩個根，則
lga1 lga2 lga10 .
【例 2 12 2 1 1 1】在等比數列{an}中， a1 a2 a8 ， a4a5 ，則 ( )5 5 a1 a2 a8
A． 6 B 24． C 14． D．2
25 5
【例 3】在各項均為正數的等比數列 an 中， a26 2a a a25 9 8 25，則 a6a8的最大值是（ ）
25 2
A．25 B．5 C． D．
4 5
跟蹤訓練
11 1 1 1 1 1 1
【訓練 1】在等比數列 an 中， a1 a2 a3 a4 a5 ， a4 3 ，則

a a a a a （ ）4 1 2 3 4 5
64 16
A． 44 B． C． D．11
11 11
5
【訓練 2】等比數列 an 滿足： a1 0,q 0,a1a3a5a7a9 32，則 a2 a8的最小值為 ．
【訓練 3】已知在等比數列 an 中，a3、a7分別是函數 y x3 6x2 6x 1的兩個駐點，則 a5 ．
考向三 等比數列的前 n項和公式及其性質
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
a1 1－qn q 1 a －a q ≠ 1 n， q≠1 ，
求和公式 Sn＝ 1－q S ＝ 1－qn
na1 q＝1 na1 q＝1
1.推導方法：
a a a
由等比數列的定義，有 2 3 n q
a1 a2 an 1
a2 a3 a S a根據等比性質，有 n n 1 q (1 q)S a a q
a1 a2 a S a
n 1 n
n 1 n n
a a q a (1 q n )
∴當 q 1時， S 1 nn 或 Sn
1 .
1 q 1 q
2.基本量法
（1）對于等比數列問題一般要給出兩個條件，可以通過列方程求出 a1，q .如果再給出第三個條件就可以完
成 an，a1， q， n，Sn的“知三求二”問題．這體現了利用方程思想通過兩式相除法或代入消元法求出基本量
解決問題．解題時沒有思路了，可以考慮“回歸基本量法”.
注：往往要用到乘法公式 a2 b2 (a b)(a b)， a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) .
（2）和式代換法：將 Sn層的計算先降維到 an 層，再進行下一步計算
S1 ,n 1
① an ；② Sn Sm a a aS S ,n 2 m 1 m 2 n
.
n n 1
6
3.前 n項和 Sn 的常用性質
① S S m nm n m q Sn Sn +q Sm ．例如： S10=S5+q
5S5 ；
證明： Sm n Sm am 1 am n，
而 am 1 a
m m m m m m
m n a1q a2q anq a1 a2 an q Snq ，于是 Sm n Sm q Sn .
特別地， Sn 1 a1 qSn .
② Sm ,S S
m
2m m ,S3m S2m ，…構成公比為 q 的等比數列( q 1 ).
若 a1 a2 am Sm ,am 1 am 2 a2m S2m Sm ,
a2m 1 a a S S , S ,S S ,S S , q
m
2m 2 3m 3m 2m ，則 m 2m m 3m 2m 成公比為 的等比數列.
4． S奇 與 S 的性質偶
等比數列{an}中，所有奇數項之和 S奇 與所有偶數項之和 S 具有的性質，設公比為 q．偶
S S a
（1）若共有 2n項，則 偶 q；（2）若共有 2n 1項， 奇 1 q．
S奇 S偶
S
【例 1】（2020 n 新課標Ⅱ文）記 Sn為等比數列{an}的前 n項和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，則 a =（ ）n
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【例 2】（2020 新課標Ⅱ）數列{an}中，a1 2，am n a a ．若 a a 15 5m n k 1 k 2 ak 10 2 2 ，則 k (
)
A．2 B．3 C．4 D．5
1
【例 3】（2019 全國 1）記 S 2n為等比數列{an}的前 n項和．若 a1 ，a4 a6 ，則 S5=___________．3
【例 4】在等比數列{an}中，已知前 n項和 S
n
n 2 a，則 a的值為 ( )
A．1 B． 1 C．2 D． 2
7
【例 5】（2021 甲卷文）記 Sn為等比數列 an 的前 n項和.若 S2 4， S4 6，則 S6 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
S S
【例 6】設等比數列{a 3 6n}的前 n項和為 Sn，若 3，則 （ ）S6 S9
2 8 3A. B. C. D.3
3 7
跟蹤訓練
【訓練 1】（2023 新高考Ⅱ）記 Sn 為等比數列{an}的前 n項和，若 S4 5， S6 21S2，則 S8 ( )
A．120 B．85 C． 85 D． 120
【訓練 2】（2023 甲卷）已知正項等比數列{an}中，a1 1，Sn 為{an}前 n項和，S5 5S3 4，則 S4 ( )
A．7 B．9 C．15 D．30
【訓練 3】（2019 上海）已知數列{an}前 n項和為 Sn ，且滿足 Sn an 2，則 S5 ．
【訓練 4】設 Sn是等比數列 an 的前 n項和，若 S3 ,S9 ,S6 成等差數列， a1 2，則 a7的值為（ ）
1
A． 2 B． C 1． 2 D．12
8
【訓練 5】（1）已知等比數列{an}共有 2n項，其和為 240，且奇數項的和比偶數項的和大 80，則公比
q _______．
（2）設等比數列{an}的前 n項和記為 Sn ，若 S10 : S5 1: 2，則 S15 : S5 _______．
考向四 等比數列的判定方法
1. an＋1 q(q an定義法：若 ＝ 為非零常數)或 ＝q(q為非零常數且 n≥2)，則 an 是等比數列．an an－1
2.等比中項法：若數列 an 中 an≠0且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，則數列 an 是等比數列．
3.通項公式法：若數列通項公式可寫成 an＝c·qn－1(c，q均為不為 0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列．
4.前 n項和法：若數列 an 的前 n項和 Sn＝k·qn－k(k為常數且 k≠0，q≠0,1)，則 an 是等比數列．
需要說明的是：對于方法 (1)、 (2)適用于任何題型，強調推理過程，而方法(3)、 (4)適合于選擇、填空題，
強調結論的應用，若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比即可．
5.常見的等比數列
（1）若 Sn A q
n B，當 A B 0時，{an}是等比數列；當 A B 0時，{an}是從第二項開始的等比
數列．
（2） Sn Aan B（ A 1），則{an}是等比數列．
（3）若 Sn Aan 1 B（ A 0），則 an 是從第二項 a2為首項的等比數列．
【例 1】（2019·全國卷Ⅱ）數列{an}和{bn}滿足 a1 1， b1 0， 4an＋1 3an bn 4， 4bn＋1 3bn an 4
（1）證明：{an bn}是等比數列，{an bn}是等差數列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式．
9
【例 2】已知數列{an}的前 n項和為 Sn ， a2 3，且 an 1 2Sn 2(n N
*)．
（1）求證：數列{an}是從第二項開始的等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式．
【例 3】記 Sn 為數列{an}的前 n項和，Tn 為數列{Sn}的前 n項和，已知 Sn Tn 2．
（1）求證：數列{Sn}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式．
3 3a
【例 4】已知數列{an}的首項 a1 ,a n
*
n 1 (n N )．5 2an 1

1 1

（ ）求證：數列 1a
是等比數列；
n
（2）求數列{an}的通項公式．
10
跟蹤訓練
【訓練 1】已知數列{an}的前 n項和為 Sn ， a1 a，3an 1 5Sn 10(n N*)，其中 a R
．
判斷數列{an}是否為等比數列，并說明理由．
【訓練 2】已知數列{an}的前 n項和為 Sn ，滿足 2Sn 3a
n
n 2 1．
求證：數列{an 2
n}是等比數列，并求數列{an}的通項公式．
【訓練 3】（2006 山東）已知 a 2，點 (a ， a )在函數 f (x) x2 2x的圖象上，其中 n N 1 n n 1 .
（1）證明數列{lg(1 an )}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項．
【訓練 4】數列{an}的前 n項和 Sn 滿足 a1 3， a2 0， an 6Sn 2， n 3， n N
*．
（1）證明：數列{Sn 2Sn 1}為等比數列；
（2）求{an}的通項公式．
11
考向五 等比數列前 n項和的實際應用
1．解應用問題的核心是建立數學模型．
2．解決應用題的一般步驟：
（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；
（2）建模：將已知條件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學（數列）問題，弄清該數列的結
構和特征；
（3）解模：求解數學模型，得出數學結論；
（4）還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義．
3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
（1）解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．
（2）在歸納或求通項公式時，一定要將項數 n計算準確．
（3）在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
（4）在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．
4.實際應用題常見的數列模型
（1）儲蓄的復利公式：本金為 a元，每期利率為 r，存期為 n期，則本利和 y ＝a(1＋r)n.
（2）總產值模型：基數為 N，平均增長率為 p，期數為 n，則總產值 y＝ N (1＋p)n.
（3）傳染病模型：第一天確診患者數 a1人，每個人的傳染力為 q，則經過 n 1輪傳染后，則患者總人數為
n
S a1(1 q )n .1 q
【例 1】某銀行在 2024年初給出的大額存款的年利率為 3%，某人存入大額存款 a0 元，按照復利計算，10
a
年后得到的本利和為 a10 ，下列各數中與 10 最接近的是 ( )a0
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【例 2】（多選）在流行病學中，基本傳染數 R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的
情況下，一個感染者平均傳染的人數．初始感染者傳染 R0個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的 R0個
人每人再傳染 R0個人為第二輪傳染， ．假設某種傳染病的基本傳染數 R0 4，平均感染周期為 7
天，初始感染者為 1人，則 ( )
A．第三輪被傳染人數為 16人 B．前三輪被傳染人數累計為 80人
C．每一輪被傳染的人數組成一個等比數列 D．被傳染人數累計達到 1000人大約需要 35天
12
【例 3】某牧場今年初牛的存欄數為 1200，預計以后每年存欄數的增長率為10%，且每年年底賣出 100頭
牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為 c1，c2，c3 ，Sn 為{cn}的前 n項和，則 S6 .（結
果保留成整數）（參考數據：1.15 1.611，1.16 1.771，1.17 1.949)
跟蹤訓練
【訓練 1】按復利計算，存入一筆 5萬元的三年定期存款，年利率為 4%，則 3年后支取可獲得利息為 ( )
A． (5 0.04)3萬元 B．5(1 0.04)3 萬元
C． 5(1 0.04)3 5萬元 D． 3 (5 0.04)萬元
【訓練 2】在流行病學中，基本傳染數 R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個
感染者平均傳染的人數． R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的
概率決定．假定某種傳染病的基本傳染數 R0 3，那么感染人數由 1個初始感染者增加到 2000人大約需要
的傳染輪數為 ( )
注：初始感染者傳染 R0個人為第一輪傳染，每個感染者再傳染 R0個人為第二輪感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【訓練 3】甲型 Hln1流感病毒是寄生在宿主的細胞內的，若該細胞開始時 2個，記為 a0 2，它們按以下規
律進行分裂，1小時后分裂成 4個并死去 1個，2小時后分裂成 6個并死去 1個，3小時后分裂成 10個并死
去 1個， ，記 n小時后細胞的個數為 an，則 an 2
n 1 （用 n表示）．
13
【訓練 4】某牧場今年初牛的存欄數為 1200，預計以后每年存欄數的增長率為 5%，且在每年年底賣出 100
頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為數列 c1，c2，c3， ，且滿足遞推公式：cn 1 k r(cn k)，
{Sn}為數列{cn}的前 n項和，則 S10 (1.05
10 1.63答案精確到1)．
14中小學教育資源及組卷應用平臺
數列第3節 等比數列
考向一 等比數列的概念及通項公式
知識點一　等比數列的概念
1．定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．遞推公式形式的定義：(且)（，）.
知識點二　等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
注：①并非任何兩數總有等比中項．僅當實數同號，即時，實數存在等比中項．對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對互為相反數的等比中項．也就是說，兩實數要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解．
②是、、成等比數列的必要不充分條件.
知識點三　等比數列的通項公式
若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則(n∈N*)．
知識點四　從函數觀點看等比數列——等比數列與指數函數
1.等比數列的圖象
對于等比數列，通項公式．當且時，它們都是一個非零常數c(c＝)與指數函數y＝qx的乘積：y＝cqx.
由指數函數y＝qx的圖象可以得出y＝cqx的圖象，而y＝cqx的圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n，an)組成如下圖等比數列的圖象．
當等比數列的公比q＝1時等比數列的各項都為常數a1，其圖象是一系列從左至右呈水平狀的孤立點．
2.等比數列的單調性
（1）已知等比數列的首項為，公比為，則
①當或時，是遞增數列；②當或時，是遞減數列；
③當時，為常數列．
（2）對于等比數列{an}，借助函數y＝cqn的性質，可分析等比數列{an}的增減性如下表．
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 01 01
數列{an}的增減性 遞減數列 常數列 遞增數列 遞增數列 常數列 遞減數列
（3）等比數列{an}，當公比q<0時，是擺動數列，即不遞增也不遞減，所有的奇數項（偶數項）同號，奇數項與偶數項異號，反應在圖象上是一系列上下波動的孤立的點(如圖)
注：常數列不一定是等比數列，只有非零常數列才是公比為1的等比數列.
知識點五　等比數列通項公式的推廣和變形
1.通項公式變形
等比數列{an}的公比為q，則
①，可用來由等比數列任兩項求公比.
②，可以用來利用任一項及公比直接得到通項公式，不必求a1.
證明：∵，，∴，∴.
由上可知，等比數列的通項公式可以用數列中的任一項與公比來表示，通項公式可以看成是時的特殊情況.
③，已知首項，末項，公比即可計算出項數.
2.基本量法
（1）等比數列可以由首項a1和公比確定，我們把a1和稱為基本量，所有關于等比數列的計算和證明，都可圍繞a1和進行.在基本量法中，不拘泥于，有可以直接用.
解題時沒有思路了，可以回歸基本量法.
（2）求等比數列的通項公式的兩種思路：
①設出基本量、，利用條件構建方程組，通過兩式相除法或者代入消元法求出，，即可寫出等比數列的通項公式；
②已知等比數列中的兩項時，則可不必求而直接寫出等比數列的通項公式．
③設項技巧——對稱設項
（i）三個數成等比數列可設為：，，或，，；
（ii）四個數成等比數列可設為：，，，或，，，.
【例1】(2022 乙卷理)已知等比數列的前3項和為168，，則(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
【例2】（2020 新課標Ⅰ文）設是等比數列，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【例3】（2019 全國III卷理）已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且
，則（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
跟蹤訓練
【訓練1】已知是等比數列，且，，則　　
A． B． C．1 D．2
【訓練2】設為等比數列，，則　　
A． B． C．3 D．9
【訓練3】（2023 乙卷）已知為等比數列，，，則　 ?。?br/>【訓練4】已知在正項等比數列中，，成等差數列，則　 ?。?br/>考向二　等比數列的常用性質
一、由等比數列生成新的等比數列
若數列是公比為的等比數列，由等比數列的定義可得等比數列具有如下性質：
1.數列仍是公比為的等比數列；
2.數列（為常數）為等比數列；特別地，當時，即是公比為的等比數列；
3.若數列是公比為的等比數列，則數列是公比為的等比數列；
4．在等比數列中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即為
等比數列，公比為．
二、等差數列與等比數列的聯系
1.若數列是公差為的等差數列，則數列（且）是公比為的等比數列．
2.若數列是公比為等比數列，則數列（且）公差為的等差數列．
3.如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．
三、項的性質
1.對稱性：若，則；若，則．
推廣：①若，則．②有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，都等于首末兩項的積：．
2.若成等差數列，則成等比數列．
3.等比性質：．
例如：①；②；③；．
【例1】在正項等比數列中，與是方程 的兩個根，則 .
【例2】在等比數列中，，，則　　
A． B． C． D．2
【例3】在各項均為正數的等比數列中，，則的最大值是（ ）
A．25 B．5 C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．11
【訓練2】等比數列滿足：，則的最小值為 ．
【訓練3】已知在等比數列中，、分別是函數的兩個駐點，則 ．
考向三 等比數列的前n項和公式及其性質
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
求和公式 Sn＝ Sn＝
1.推導方法：
由等比數列的定義，有
根據等比性質，有
∴當時，或.
2.基本量法
（1）對于等比數列問題一般要給出兩個條件，可以通過列方程求出a1，.如果再給出第三個條件就可以完成an，a1，，，Sn的“知三求二”問題．這體現了利用方程思想通過兩式相除法或代入消元法求出基本量解決問題．解題時沒有思路了，可以考慮“回歸基本量法”.
注：往往要用到乘法公式，.
（2）和式代換法：將層的計算先降維到層，再進行下一步計算
①；②.
3.前n項和的常用性質
①．例如：；
證明：，
而，于是.
特別地，.
②，…構成公比為的等比數列().
若
，則成公比為的等比數列.
4．與的性質
等比數列中，所有奇數項之和與所有偶數項之和具有的性質，設公比為．
（1）若共有項，則；（2）若共有項，．
【例1】（2020 新課標Ⅱ文）記Sn為等比數列{an}的前項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【例2】（2020 新課標Ⅱ）數列中，，．若，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3】（2019 全國1）記Sn為等比數列{an}的前項和．若，則S5=___________．
【例4】在等比數列中，已知前項和，則的值為　　
A．1 B． C．2 D．
【例5】（2021 甲卷文）記為等比數列的前項和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例6】設等比數列的前項和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
跟蹤訓練
【訓練1】（2023 新高考Ⅱ）記為等比數列的前項和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
【訓練2】（2023 甲卷）已知正項等比數列中，，為前項和，，則　　
A．7 B．9 C．15 D．30
【訓練3】（2019 上海）已知數列前項和為，且滿足，則　　．
【訓練4】設是等比數列的前項和，若成等差數列，，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【訓練5】（1）已知等比數列共有項，其和為，且奇數項的和比偶數項的和大，則公比_______．
（2）設等比數列的前項和記為，若，則_______．
考向四 等比數列的判定方法
1.定義法：若＝q(q為非零常數)或＝q(q為非零常數且n≥2)，則是等比數列．
2.等比中項法：若數列中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數列是等比數列．
3.通項公式法：若數列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列．
4.前n項和法：若數列的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則是等比數列．
需要說明的是：對于方法(1)、(2)適用于任何題型，強調推理過程，而方法(3)、(4)適合于選擇、填空題，強調結論的應用，若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比即可．
5.常見的等比數列
（1）若，當時，是等比數列；當時，是從第二項開始的等比數列．
（2）（），則是等比數列．
（3）若（），則是從第二項為首項的等比數列．
【例1】（2019·全國卷Ⅱ）數列和滿足，，，
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式．
【例2】已知數列的前項和為，，且．
（1）求證：數列是從第二項開始的等比數列；
（2）求數列的通項公式．
【例3】記為數列的前項和，為數列的前項和，已知．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式．
【例4】已知數列的首項．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式．
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列的前項和為，，，其中．
判斷數列是否為等比數列，并說明理由．
【訓練2】已知數列的前項和為，滿足．
求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式．
【訓練3】（2006 山東）已知，點，在函數的圖象上，其中.
（1）證明數列是等比數列；
（2）求數列的通項．
【訓練4】數列的前項和滿足，，，，．
（1）證明：數列為等比數列；
（2）求的通項公式．
考向五 等比數列前n項和的實際應用
1．解應用問題的核心是建立數學模型．
2．解決應用題的一般步驟：
（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；
（2）建模：將已知條件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學（數列）問題，弄清該數列的結構和特征；
（3）解模：求解數學模型，得出數學結論；
（4）還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義．
3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
（1）解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．
（2）在歸納或求通項公式時，一定要將項數n計算準確．
（3）在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
（4）在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．
4.實際應用題常見的數列模型
（1）儲蓄的復利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y ＝a(1＋r)n.
（2）總產值模型：基數為N，平均增長率為p，期數為n，則總產值y＝ N (1＋p)n.
（3）傳染病模型：第一天確診患者數人，每個人的傳染力為，則經過輪傳染后，則患者總人數為.
【例1】某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復利計算，10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是　　
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【例2】（多選）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．初始感染者傳染個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個人每人再傳染個人為第二輪傳染，．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則　　
A．第三輪被傳染人數為16人 B．前三輪被傳染人數累計為80人
C．每一輪被傳染的人數組成一個等比數列 D．被傳染人數累計達到1000人大約需要35天
【例3】某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，，為的前項和，則　 　（結果保留成整數）（參考數據：，，
跟蹤訓練
【訓練1】按復利計算，存入一筆5萬元的三年定期存款，年利率為，則3年后支取可獲得利息為　　
A．萬元 B．萬元
C．萬元 D．萬元
【訓練2】在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假定某種傳染病的基本傳染數，那么感染人數由1個初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數為　　
注：初始感染者傳染個人為第一輪傳染，每個感染者再傳染個人為第二輪感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【訓練3】甲型流感病毒是寄生在宿主的細胞內的，若該細胞開始時2個，記為，它們按以下規律進行分裂，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，，記小時后細胞的個數為，則　?。ㄓ帽硎荆?br/>【訓練4】某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為數列，，，，且滿足遞推公式：，為數列的前項和，則　 　答案精確到．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)數列第 3節課后練習
1．(2017 課標Ⅲ卷理)等差數列 an 的首項為1，公差不為0．若 a2 ,a3 ,a6 成等比數
列，則 an 前6項的和為( )
A． 24 B． 3 C．3 D．8
2．(2016 課標Ⅰ卷理)設等比數列滿足 a1 a3 10， a2 a4 5，則 a1a2...an的最大值為 ．
3．(2015 新課標 2卷)已知等比數列 an 滿足 a1 3， a1 a3 a5 21，則
a3 a5 a7 ( )
A．21 B．42 C．63 D．84
4.（2024 哈爾濱月考）設等比數列{an}滿足 a1 a3 10， a2 a4 5，則使 a1a2 an 最大的 n為 ( )
A 7． B．3 C．3或 4 D．4
2
5.（2024 廣西月考）若 a，b， c為實數，數列 1， a，b， c， 25是等比數列，則 b的值為 ( )
A．5 B． 5 C． 5 D． 13
6.（2024 廣州月考）a，b R ，a b，若 A是 a，b的等差中項，正數G是 a，b的等比中項，則（ ）
A． ab AG B． ab AG C． ab AG D． ab AG
1
7.（2024 沈陽月考）在各項均為正數的等比數列{an}中， a1a5 2a4a6 a5a9 8，則 a3 a7 ( )
A．1 B． 2 C．4 D． 2 2
8（. 2024 S 呼和浩特月考）已知等比數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 a4 a2 12，a5 a3 24，則 4 （ ）a1 a3
A．6 B．3 C．2 D．1
9.（2024 青島月考）若等比數列{an}中的 a5， a2019是方程 x
2 4x 3 0的兩個根，則
log3 a1 log3 a2 log3 a3 log3 a2023等于 ( )
A 2024． B．1011 C 2023． D．1012
3 2
10.（2024 1 1 13 唐山月考）設單調遞增的等比數列{an}滿足 ， a1a5 36，則公比 q ( )a2 a4 36
A 3 B 9 5． ． C．2 D．
2 4 2
11.（2024 1 深圳月考）已知方程 (x2 mx 2)(x2 nx 2) 0的四個根組成一個首項為 的等比數列，則
2
|m n | ( )
A．1 B 3 C 5 9． ． D．
2 2 2
12.(2019 全國Ⅰ卷)記 Sn為等比數列{an}的前 n項和．若 a
1
1 ， a
2
4 a6 ，則 S5 ．3
2
13.(2019 課標Ⅲ卷理)已知各項均為正數的等比數列 an 的前 4項和為 15，且 a5 3a3 4a1，則 a3 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
14.(2017 新課標Ⅰ卷)幾位大學生響應國家的創業號召,開發了一款應用軟件．為激
發大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼
為下面數學問題的答案:已知數列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,, 0其中第一項是 2 ,接下來的兩
20 ,21 , 20項是 再接下來的三項是 , 21 , 22 ,依此類推．求滿足如下條件的最小整數N :N 100
且該數列的前N 項和為2的整數冪．那么該款軟件的激活碼是( )
A．440 B．330 C． 220 D．110
15.(2017 新課標Ⅱ卷)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，
共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是
上一層燈數的 2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞
16.（2024 湛江月考）等比數列{an}的前 n項和 Sn a 2
n 1 b a，則 ( )
b
A． 2 B 3． C 3．2 D．
2 2
17.（2024 運城月考）設等比數列{an}的前 n項和為 S
S10 1 S，若 ，則 15n ( )S5 2 S5
A 1 B 1 2 3． ． C． D．
3 2 3 4
3
18.（2024 蕪湖月考）已知數列{an}是等比數列， Sn 為其前 n項和，若 a1 a2 a3 2，a4 a5 a6 6，則
S9 ( )
A．26 B．24 C．18 D．12
19（. 2024 泉州月考）在等比數列{an}中，前 n項的和為 Sn ，S5 10，S10 50，則 a16 a17 a20 （ ）
A．22 B．210 C．640 D．2560
20.（2024 十堰月考）已知等比數列{an}的前 n項和為 Sn ，若 S3 4， S6 12，則 S12 （ ）
A．32 B．28 C．48 D．60
21.（2024 1 S 遵義月考）設等比數列{an}的前 n項和為 S ，若 S 12n 4 S8，則 的值是 ( )2 S8 S4
A 3． 4 B．3 C． D．4
2
22.（2024 常州月考）在等比數列中， S30 13S10 ， S10 S30 140，則 S20 （ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
23.（2024 蘇州月考）一個球從100m高的地方自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它
第 6次著地時，經過的路程是 ( )
A．[100 200(1 2 5 )]m B．[100 100(1 2 5 )]m
C． 200(1 2 5 )m D．100(1 2 5 )m
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24.（2024 涼山月考）某銀行設立了教育助學低息貸款，其中規定一年期以上貸款月均等額還本付息（利息
按月以復利計算）．如果小新同學貸款 10000元，一年還清，假設月利率為 0.25%，那么小新同學每月應還
的錢約為 ( )(1.002512 1.03)
A．833 B．858 C．883 D．902
25.（2024 湖南期末）若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數列，再把所得數列
按照同樣的方法可以不斷構造出新的數列．現將數列 1，3進行構造，第 1次得到數列 1，4，3；第 2次得
到數列 1，5，4，7，3；依次構造，第 n(n N*)次得到數列 1，x1，x2 ，x3 ， ，xk ，3．記 an 1 x1 x2 xk 3，
若 an 4378成立，則 n的最小值為 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
26.（2023 湖北月考）古希臘哲學家芝諾提出了如下悖論：一個人以恒定的速度徑直從 A點走向 B點，要先
走完總路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，會產生無限個“剩下的路程”，因此他有
無限個“剩下路程的三分之一”要走，這個人永遠走不到終點．另一方面，我們可以從上述第一段“三分
之一的路程”開始，通過分別計算他在每一個“三分之一距離”上行進的時間并將它們逐個累加，不難推
1
理出這個人行進的總時間不會超過一個恒定的實數．記等比數列{an}的首項 a1 ，公比為 q，前 n項和為3
Sn ，則造成上述悖論的原理是 ( )
A 1． q , t R, n N * ,S t B 1n ． q , t R, n N
* ,Sn t6 3
C 1． q , t R, n N * ,S t D． q 2 , t R, n N * ,S t
2 n 3 n
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27.（2024 河南月考）德國數學家康托爾是集合論的創始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱?br/>1
一操作，將邊長為 1的正方形分成 9個邊長為 的小正方形，保留靠角的 4個，刪除其余 5個；第二次操
3
作，將第一次剩余的每個小正方形繼續 9等分，并保留每個小正方形靠角的 4個，其余正方形刪除；以此
1
方法繼續下去，經過 n次操作后，若要使保留下來的所有小正方形的面積之和不超過 20 ，則至少需要操作2
的次數為 ．
(lg2 0.3010, lg3 0.4771)
28.（2017 新課標Ⅰ）記 Sn 為等比數列{an}的前 n項和．已知 S2 2， S3 6．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求 Sn ，并判斷 Sn 1， Sn ， Sn 2 是否成等差數列．
29.（2023 深圳模擬）已知數列{an}的首項 a1 2，且滿足 an 1 a
n
n 4 3 (n N*)．
（1）證明：數列{a nn 3 }是等比數列；
（2）求數列{an}的前 n項和 Sn ．
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30.（2024 1 江門月考）已知數列{an}滿足： a
n
n 1 an 2 ，且 a1 1, b a
n
n n 2 ．3
（1）求證：數列{bn}是等比數列；
（2）求數列{an}的前 n項和 Sn ．
31.（2024 太原月考）已知 a 21 1，點 (an， an 1)在函數 f (x) x 4x 2的圖象上，其中 n N
．
（1）證明：數列{lg(an 2)}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式．
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