資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
數(shù)列第5節(jié) 數(shù)列前項(xiàng)和
考向一 公式法
1．等差數(shù)列求和公式：．
特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，，即前項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)，
用此公式可以簡化運(yùn)算．
2．等比數(shù)列求和公式：
（1），；
（2），，特別要注意對公比的討論．
3．常用公式
（1）平方和公式：；
（2）立方和公式：．
4．如果一個數(shù)列通過適當(dāng)分組可寫成的形式，而數(shù)列，可利用公式求和或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，進(jìn)而分別求和，再將其合并從而得出原數(shù)列的和．
【例1】己知等差數(shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．
求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【訓(xùn)練1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列前項(xiàng)和．
考向二 奇偶討論、并項(xiàng)分類
題型一 常規(guī)四大：類型：
1.常見模型
①通項(xiàng)含或或或型；
②型；
③型；
④．
2．解題策略：①并項(xiàng)求和：將與并項(xiàng)，把看作一個整體；
②分組求和．
3．注意事項(xiàng)：
①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”．
②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇．若通項(xiàng)公式確定，則求奇時候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)；若通項(xiàng)公式不確定，則按照求偶的方式求奇即可；
③并項(xiàng)后要注意新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．
【例1】已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【例2】已知數(shù)列滿足，．
若為等差數(shù)列，求；
（2）若，求．
【例3】數(shù)列中，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【例4】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，且，則的值為 ．
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【例5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
【例6】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】已知，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【訓(xùn)練2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 ．
【訓(xùn)練3】（2021 新高考I卷）已知數(shù)列滿足，．
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前項(xiàng)和．
【訓(xùn)練4】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【訓(xùn)練5】（2023 新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時，．
題型二 非常規(guī)找規(guī)律型
1．隔四項(xiàng)出規(guī)律的遞推數(shù)列——形如型
定理：若數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
證明：，
同理．
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，此類型題可以求出通項(xiàng)，但花的時間太多，顯然每項(xiàng)為一個整體操作更簡單．一些數(shù)列含有周期性，需要列舉幾項(xiàng)，先發(fā)現(xiàn)規(guī)律后再簡化要簡單得多．
【例1】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
【訓(xùn)練1】（2012 全國新課標(biāo)文）數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和．
2．二階等差數(shù)列的求和公式
在數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差按照前后次序排成新的數(shù)列，
即成為一個等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．
記，，其通項(xiàng)公式為；
二階等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為．
【例2】（2020 新課標(biāo)Ⅰ文）數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則 ．
【訓(xùn)練2】南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算術(shù)通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，例如：3，4，6，9，13，為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，3，13，31，57，91，133，則該數(shù)列的前20項(xiàng)和為 ．（參考公式：
考向三 倒序相加法
1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個．
2．如果一個數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
【例1】求的值．
【例2】已知函數(shù)．
(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;
(2)若，求；
【訓(xùn)練1】已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【訓(xùn)練2】已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
考向四 分段求和法
求數(shù)列的前項(xiàng)和，關(guān)鍵在于分清哪些項(xiàng)為非負(fù)的，哪些項(xiàng)為負(fù)的，最終應(yīng)化為去掉絕對值符號后的數(shù)列進(jìn)行求和．
【例1】在數(shù)列中，，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．
【訓(xùn)練1】（2023 乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考向五 裂項(xiàng)相消法
1．適用于分式型，是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列；部分無理數(shù)列．
可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式拆項(xiàng)，把每一項(xiàng)都裂成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只剩下開頭和結(jié)尾的有限幾項(xiàng)，再求和．相消時應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)．這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用．裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．
2．裂項(xiàng)原理：，其中．
3．裂項(xiàng)公式
（1）裂差型
①，；②；
③；④；
⑤，；
⑥ ；；
⑦，；⑧；
（3）裂和型
①，，
，，
②；
先分離，再裂項(xiàng)
①；②．
（4）階乘及三角型
①；②；
③．
題型一 裂差型
【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．
（1）求；
（2）求．
【例2】（2022 新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【例3】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．
【例4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型二 裂和型
【例5】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【例6】（2014 山東理）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型三 三角型
【例7】數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，的前n項(xiàng)和記作，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【訓(xùn)練2】已知等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【訓(xùn)練3】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【訓(xùn)練4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求．
(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值．
【訓(xùn)練5】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【訓(xùn)練6】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【訓(xùn)練7】已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
考向六 錯位相減法
題型一 錯位相減法
1．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則不妨稱為差比數(shù)列．教材中給出了這類數(shù)列的前項(xiàng)和的求法——錯位相減法，消除中的各項(xiàng)系數(shù)差異，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列（中間項(xiàng)構(gòu)成一個等比數(shù)列）求和問題．
2．錯位相減法解題步驟細(xì)化
（1）表達(dá)前項(xiàng)和，得 ①
（2）①式乘公比，可得②
（書寫時，尾首加零，并將“＋”號對齊，①與②自動對齊，避免出錯）
（3）兩式相減，①②得
（4）代入等比數(shù)列求和公式
①中間項(xiàng)一定是等比數(shù)列；②求和公式用，避免項(xiàng)數(shù)出錯．
（5）化簡：有負(fù)號給括號，能約分的約分
3．萬能公式法
（1）若差比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和，
其中，．
若差比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和，
其中，．
注：在考試書寫時可以按照錯位相減法的具體步驟進(jìn)行書寫，再結(jié)合萬能公式對所求結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，確保我們最后得到結(jié)果就是正確的答案，完美閉環(huán)！
【例1】（2023 甲卷）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【例2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，，求以及的最小值.
【訓(xùn)練1】（2021 乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．
【訓(xùn)練2】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型二 裂項(xiàng)相消破錯位相減法
①若差比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，利用待定系數(shù)法將差比數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)：
不妨設(shè)，
則，
比較系數(shù)得，，，
于是．
②若差比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不妨設(shè)，
后面同①中的操作待定系數(shù)裂項(xiàng)即可．
【例1】（2022 天津卷）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；
（3）求．
【例2】（2021 浙江卷）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【訓(xùn)練1】（2021·乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
考向七 放縮求和法
1．命題規(guī)律：數(shù)列放縮是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．此類問題往往從通項(xiàng)公式入手，若需要放縮也是考慮對通項(xiàng)公式進(jìn)行變形；在放縮時，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向可裂項(xiàng)相消的數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行靠攏．
2．核心考點(diǎn)：①裂項(xiàng)放縮核心；②等比放縮．
3．常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項(xiàng)式定理
①由于，
于是．
②，；
，．
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
題型一 放縮成裂項(xiàng)
對于放縮后，再裂項(xiàng)相消求和類型，通過放縮后的裂項(xiàng)公式的首項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和即可判斷放縮的精度是否滿足題設(shè)要求，常見的題目無非是從第一項(xiàng)開始放縮、從第二項(xiàng)開始放縮或者從第三項(xiàng)開始放縮這三種．比如：，從第二項(xiàng)開始放縮，放縮的精度為；保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開始放縮，放縮的精度為．
【例1】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時，．
【例2】（2013 廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)，有．
【例3】（2019 浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：
對任意成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，證明：．
【訓(xùn)練1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，a1＝1．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明．
【訓(xùn)練2】若數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【訓(xùn)練3】已知數(shù)列滿足，記．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
(3)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
題型二 放縮成等比
【例1】（2012 廣東理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（），且，，
成等差數(shù)列．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）證明：對一切正整數(shù)，有．
【例2】（2014 新課標(biāo)2理17）已知數(shù)列滿足，．
（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【訓(xùn)練1】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【訓(xùn)練2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【訓(xùn)練3】（2021·天津卷）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項(xiàng)公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)數(shù)列第 5節(jié) 數(shù)列前 n項(xiàng)和
考向一 公式法
S n(a1 an) n(n 1)1．等差數(shù)列求和公式： n na1 d ．2 2
特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù) n為奇數(shù)時， S2k 1 (2k 1) ak 1，即前 n項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)，
用此公式可以簡化運(yùn)算．
2．等比數(shù)列求和公式：
（1） q 1， Sn na1；
q 1 S a 1 q
n a a q
（2） ， 1n
1 n ，特別要注意對公比的討論．
1 q 1 q
3．常用公式
n
（1）平方和公式： k 2 12 22 1 32 n2 n(n 1)(2n 1 1) n(n 1 )(n 1) ；
k 1 6 3 2
n
（2）立方和公式： k 3 13 23 33 L n3 [ n(n 1) ]2 ．
k 1 2
4．如果一個數(shù)列通過適當(dāng)分組可寫成 cn = an ±bn 的形式，而數(shù)列 an ， bn 可利用公式求和或可轉(zhuǎn)化為
能夠求和的數(shù)列，進(jìn)而分別求和，再將其合并從而得出原數(shù)列的和．
【例 1】己知等差數(shù)列 an 中，a2 3，公差 d 0；等比數(shù)列 bn 中，b3 a1 ，b1是 a2和a3的等差中項(xiàng)，b2
是 a1和 a2的等差中項(xiàng)．
(1) 求數(shù)列 an ， bn 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 an bn 的前 n項(xiàng)和 Sn .
【訓(xùn)練 1 2】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn n 2n 3．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 Sn 前 n項(xiàng)和Tn ．
1
考向二 奇偶討論、并項(xiàng)分類
題型一 常規(guī)四大：類型：
1.常見模型
①通項(xiàng)含 ( 1)n或 ( 1)n 1或 sin n 或 cosn 型；
② an an 1 f (n) An B型；
③ an 2 an f (n) An B 型；
f (n)，n為奇
④ an ．
g(n)，n為偶
2．解題策略：①并項(xiàng)求和：將 an與 an 1并項(xiàng)，把 an an 1看作一個整體；
②分組求和．
3．注意事項(xiàng)：
①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”．
②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇．若通項(xiàng)公式確定，則求奇時候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)
公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)；若通項(xiàng)公式不確定，則按照求偶的方式求奇即可；
③并項(xiàng)后要注意新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．
【例 1】已知bn 2n 1(n N
)，數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和為 Sn，求數(shù)列 ( 1)n Sn 的前 n項(xiàng)和Tn .
【例 2】已知數(shù)列 an 滿足 a n 1 an 4n 3， n N ．
（1）若 an 為等差數(shù)列，求 a1；
（2）若 a1 2，求 Sn ．
2
【例 3】數(shù)列{an}中， a1 1，a2 4，an an 2 2(n 3)， Sn 為數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，求 Sn ．
【例 4】記 Sn 為數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，若 a1 1， a 2，且 a a 1 ( 1)
n 1
2 n 2 n ，則 S100的值為 ．
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【例 5】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn 1 2a
1
n 1，且 a2 4
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
log0.5an，n為奇數(shù)
(2)bn n N * ，求數(shù)列 bn 的前 2n項(xiàng)和T ；
a
2n
n ，n為偶數(shù)
【例 6】已知 Sn 為數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，且 S 2a n2n n 3n 1．
（1）求證：數(shù)列{an 2n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè) bn an cosn ，求數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和Tn ．
3
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】已知 an 2n 1，設(shè)bn ( 1)nan ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和Tn ．
【訓(xùn)練 2】已知數(shù)列{a 2 *n}的前 n項(xiàng)和為 Sn ， a1 1， Sn Sn 1 4n (n 2,n N )，則 a100 ．
a 1，n為奇數(shù)
【訓(xùn)練 3】（2021 新高考 I卷）已知數(shù)列{an}滿足 a1 1， a
n
n 1 ．
an 2，n為偶數(shù)
（1）記 bn a2n ，寫出b1， b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前 20項(xiàng)和．
【訓(xùn)練 4】已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 1，公差為 2．正項(xiàng)數(shù)列 bn 的前 n 2項(xiàng)和為 Sn，且 2Sn bn bn．
an ,n為奇數(shù)(1)求數(shù)列 an 和數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；(2)若 cn b ，求數(shù)列 cn 的前 2n項(xiàng)和．
2 n ,n為偶數(shù)
4
an 6,n為奇數(shù)【訓(xùn)練 5】（2023 新高考Ⅱ）已知{an}為等差數(shù)列，bn ，記 Sn ，Tn 為{an}，{bn}的前 n項(xiàng)
2an ,n為偶數(shù)
和， S4 32，T3 16．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng) n 5時，Tn Sn．
題型二 非常規(guī)找規(guī)律型
1．隔四項(xiàng)出規(guī)律的遞推數(shù)列——形如 a nn 1 ( 1) an An B型
定理：若數(shù)列 a nn 滿足 an 1 ( 1) an An B，Sn 為其前 n項(xiàng)和，則數(shù)列 S4 ,S8 S4 ,S12 S8 , 是以 6A 2B
為首項(xiàng)，8A為公差的等差數(shù)列．
a2 a1 A B （1）

證明： a3 a2 2A B （2） （2） （1） （2） （3）得：a1 a2 a3 a4 6A 2B，

a4 a3 3A B （3）
a6 a5 5A B （4）

同理 a7 a6 6A B （5） （5） （4） （5） （6）得：a5 a6 a7 a8 14A 2B．

a8 a7 7A B （6）
故數(shù)列{S4 ，S8 S4 ，S12 S8 ， }是以 6A 2B為首項(xiàng)，8A為公差的等差數(shù)列，此類型題可以求出通項(xiàng)，
但花的時間太多，顯然每 4項(xiàng)為一個整體操作更簡單．一些數(shù)列含有周期性，需要列舉幾項(xiàng)，先發(fā)現(xiàn)規(guī)律后
再簡化要簡單得多．
n(n 1)
【例 1】已知數(shù)列{an}滿足 a1 a2 0， a 2n 2 ( 1) an 2，則數(shù)列{an}的前 2020項(xiàng)的和為（ ）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
【訓(xùn)練 1】（2012 n全國新課標(biāo)文）數(shù)列 an 滿足 an 1 1 an 2n 1，求 an 前 60項(xiàng)和．
5
2．二階等差數(shù)列的求和公式
在數(shù)列{an}中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差按照前后次序排成新的數(shù)列，
即 a2 a1,a3 a2 ,a4 a3 , ,an an 1, 成為一個等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列．
記 d1 a2 a1， d2 (a3 a2 ) (a2 a1)
(n 1)(n 2)d
，其通項(xiàng)公式為 an a1 (n 1)d1 2 ；2
二階等差數(shù)列 an 的前 n S na
n(n 1)d1 n(n 1)(n 2)d項(xiàng)和公式為 n 1 2 ．2 6
【例 2】（2020 新課標(biāo)Ⅰ文）數(shù)列{an}滿足 a
n
n 2 ( 1) an 3n 1，前16項(xiàng)和為540，則 a1 ．
【訓(xùn)練 2】南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算術(shù)通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階
等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成
等差數(shù)列，例如：3，4，6，9，13， 為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有數(shù)列，其前 7 項(xiàng)分別為 1，3，13，31，57，
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)91，133，則該數(shù)列的前 20 項(xiàng)和為 ．（參考公式： )
6
考向三 倒序相加法
1．等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，
就可以得到 n個 (a1 an )．
2．如果一個數(shù)列 an ，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
1 2 2 2 2 2 【例 】求 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 的值．
3x
【例 2】已知函數(shù) f (x) log3 ．1 x
1
(1)證明函數(shù) f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn) ( ,1)對稱;
2
1 2 n 1
(2)若 Sn f ( ) f ( ) ... f ( )(n N ,n 2)，求 S ；n n n n
6
【訓(xùn)練 1】已知函數(shù) y f (x)滿足 f (x) f (1 x) 1，若數(shù)列 an 滿足
a 1 f (0) f f 2 f n 1 n f (1)，則數(shù)列 an 的前 20 項(xiàng)和為（ ）
n n n
A．100 B．105 C．110 D．115
1 2 1 *
【訓(xùn)練 2】已知函數(shù) f x x x ，數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，點(diǎn) n,Sn n N 均在函數(shù) f x 的圖象2 2
4x
上，函數(shù) g x
4x
.
2
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)求 g x g 1 x 的值；
b g an (3) *令 n n N ，求數(shù)列 bn 的前 2020項(xiàng)和T2021 2020 .
考向四 分段求和法
求數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和，關(guān)鍵在于分清哪些項(xiàng)為非負(fù)的，哪些項(xiàng)為負(fù)的，最終應(yīng)化為去掉絕對值符號
后的數(shù)列進(jìn)行求和．

【例 1】在數(shù)列 an 中， a1 8,a4 2，且滿足 an 2 2an 1 an 0 n N ．
（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn a1 a2 an ，求Tn ．
【訓(xùn)練 1】（2023 乙卷）記 Sn 為等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，已知 a2 11， S10 40．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{| an |}的前 n項(xiàng)和Tn ．
7
考向五 裂項(xiàng)相消法
c
1．適用于分式型{ }， an 是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列；部分無理數(shù)列．a(chǎn)n an 1
可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式拆項(xiàng)，把每一項(xiàng)都裂成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只剩下開頭和結(jié)尾的有限幾
項(xiàng)，再求和．相消時應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)．這是分解與組合思想（分是為了
更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用．裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使
之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．
k k 1 1
2．裂項(xiàng)原理： ( )，其中m n．
m n n m m n
3．裂項(xiàng)公式
（1）裂差型
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① ， ( )；② ( )；
n (n 1) n n 1 n (n k) k n n k (2n 1) (2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 n 1 1 1 1
③ ；④ ；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
n2 (n 2)2 4 n
2 n 2 2
2n 1 1 2 3n 1 1
⑤ ， ；
(2n 1) (2n 1 1) 2n 1 2n 1 1 (3n 1) (3n 1 1) 3n 1 3n 1 1
a q
n 1 1 q n qn qn 1 qna k 1 q
k n qn qn k
⑥ n ； n ；n n 1 n n 1 n n k n n k
1
⑦ n 1 n 1 1， ( n k n )；⑧ ln(n 1) ln n 1 ln n；
n 1 n n k n k n
（3）裂和型
n n n 1
① ( 1) n
2 n 1
( 1) n ( 1 1 ) ， ( 1)n
(3n 1) 2
( 1)n( 2 2 )
n ( n 1) n n ， 1 n(n 1) n n 1
( 1)n 4n ( 1)n ( 1 1 ) ( 1)n 1 4(n 1)， ( 1)n 1( 1 1 )，
(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 (2n 1) (2n 3) 2n 1 2n 3
② 1 n ln n n 1 1 n ln n 1 ln n ；
（3）先分離，再裂項(xiàng)
(2n)2 2 2
① 1 1 ( 1 1 ) 4n 4n 1 4n 1 4n 1 1 ；② 1 ( )．
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 (2n 1)(2n 1) 4n2 1 2n 1 2n 1
（4）階乘及三角型
n 1 1 sin1
① ；② tan(n 1)
tan n ；
(n 1)! n! (n 1)! cosn cos(n 1)
1 1
③ (tan tan )．
cos cos sin( )
8
題型一 裂差型
【例 1】已知數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn ， a1 2 ， an 0， an 1 (Sn 1 Sn ) 2．
（1）求 Sn ；
（2 1 1 1）求 ．
S1 S2 S2 S3 Sn Sn 1
【例 2】（2022 新高考Ⅰ）記 Sn 為數(shù)列{a }
S
n 的前 n
1
項(xiàng)和，已知 a1 1，{ n }是公差為 的等差數(shù)列．a(chǎn)n 3
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
1 1 1
（2）證明： 2．
a1 a2 an
2
【例 3】已知正項(xiàng)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 S a 1 n，滿足： S nn ．
2
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
n 1 5
(2)記bn b n T T S S ，設(shè)數(shù)列 n 的前 項(xiàng)和為 n，求證 n ．n n 2 16
9
【例 4】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn 2an 1,n N ．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列
n 2
bn 滿足bn ,n N b Ta n 2 n (n 1)
，求數(shù)列 n 的前 n項(xiàng)和 n．
題型二 裂和型
【例 5】設(shè)數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn ，已知 S
2
n n n．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2 2n 1）已知數(shù)列{bn}滿足 bn ( 1)
n 1 ，求數(shù)列{b
a a n
}的前 2n項(xiàng)和T2n．
n n 1
【例 6】（2014 山東理）已知等差數(shù)列{an}的公差為 2，前 n項(xiàng)和為 Sn ，且 S1，S2 ，S4 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式；（2）令 b ( 1)n 1 4nn n ，求數(shù)列{ba a n
}的前 n項(xiàng)和Tn．
n n 1
題型三 三角型
2
【例 7】數(shù)列 an 各項(xiàng)均為正數(shù)， an 的前 n項(xiàng)和記作 Sn，已知 S1 1，an an 2Sn 1 0,(n 2)．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn tan an tan an 1 ，求數(shù)列 bn 的前 2023項(xiàng)和．
10
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】已知等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 S2， a3 2a5 29， S8 80．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
1
(2)設(shè)bn a a ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和Tn．n n 1
a a
【訓(xùn)練 2】已知等差數(shù)列 a 滿足 n n 1n n 1 .4
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
1
(2)設(shè)bn a 1 a 1 ，數(shù)列 bn
3
的前 n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn .
n n 1 16
2
【訓(xùn)練 3】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn n ，
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an ；
1 1
(2)設(shè)bn 1 ，求數(shù)列 bS S n 的前 n項(xiàng)和Tn．n n 1
11
【訓(xùn)練 4】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn， an 0，且 a2n 2an 4Sn 1．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
S
(2) n設(shè)bn 的前 n項(xiàng)和為 Pa a n，求
Pn．
n n 1
an 1
1 2 1
(3) 記數(shù)列 的前 n項(xiàng)和為Tn，若 Tn tT 恒成立，求 t 的最小值． 2 n
【訓(xùn)練 5】設(shè)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn 2an n， n N* .
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
1 n 1
(2) b 3a令 n 1 n ，求數(shù)列 bn 的前 2n項(xiàng)和為T2n .anan 1
【訓(xùn)練 6】設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，數(shù)列 bn 為等差數(shù)列，且公差d 0,a1 b1 2，a3 b3,S3 b5 .
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式以及前 n項(xiàng)和 Sn；
2n 1
(2) 1數(shù)列 2 2 的前 n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn .
n bn 4 9
【訓(xùn)練 7】已知數(shù)列 an 中， a2 1，設(shè) Sn為 an 前 n項(xiàng)和， 2Sn nan．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
sin1
(2)若bn cos an 1 cos a 1 ，求數(shù)列
bn 的前 n項(xiàng)和Tn .
n 1
12
考向六 錯位相減法
題型一 錯位相減法
1．設(shè)數(shù)列 an 為等差數(shù)列，數(shù)列 bn 為等比數(shù)列，則不妨稱 an bn 為差比數(shù)列．教材中給出了這類數(shù)列
的前 n項(xiàng)和的求法——錯位相減法，消除 bn 中的各項(xiàng)系數(shù)差異，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列（中間 n 1項(xiàng)構(gòu)成一個
等比數(shù)列）求和問題．
2．錯位相減法解題步驟細(xì)化
（1）表達(dá)前n項(xiàng)和，得 Sn a1 a2 an 0 ①
（2）①式乘公比，可得 qSn 0 a1q an qq anq②
（書寫時，尾首加零，并將“＋”號對齊，①與②自動對齊，避免出錯）
（3）兩式相減，① ②得
（4）代入等比數(shù)列求和公式
①中間 n 1 a a q項(xiàng)一定是等比數(shù)列；②求和公式用 Sn 1 n ，避免項(xiàng)數(shù)出錯．1 q
（5）化簡：有負(fù)號給括號，能約分的約分
3．萬能公式法
（1）若差比數(shù)列 cn 的通項(xiàng)公式為 cn kn b qn 1，則數(shù)列 cn 的前 n項(xiàng)和 Sn An B qn B，
k B b A其中 A ， ．
q 1 q 1
（2）若差比數(shù)列 cn 的通項(xiàng)公式為 cn kn b qn n 1，則數(shù)列 cn 的前 n項(xiàng)和 Sn An B q qB，
k B b A其中 A ， ．
q 1 q 1
注：在考試書寫時可以按照錯位相減法的具體步驟進(jìn)行書寫，再結(jié)合萬能公式對所求結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，確保
我們最后得到結(jié)果就是正確的答案，完美閉環(huán)！
【例 1】（2023 甲卷）已知數(shù)列{an}中， a2 1，設(shè) Sn 為{an}前 n項(xiàng)和， 2Sn nan ．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
a 1
（2）求數(shù)列{ n n }的前 n項(xiàng)和Tn ．2
13
【例 2】已知數(shù)列 an 的前項(xiàng)和為 Sn ,Sn 2an 2,n N .
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.
b T ,b 1 T ,T x y 1 2b 2b(2) 1 2設(shè)數(shù)列 n 的前項(xiàng)和為 n 1 ，點(diǎn) n 1 n 在直線 上，Pn
2b
n
a a a ，求
P以及P
n 1 n 2 n n1 2 n
的最小值.
na
【訓(xùn)練 1】（2021 乙卷）設(shè){an}是首項(xiàng)為 1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足 b nn ，已知 a1，3a2 ，9a3成等差3
數(shù)列．
（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）記 Sn 和Tn 分別為{an}和{bn}
S
的前 n項(xiàng)和．證明：T nn ．2
1 2
【訓(xùn)練 2】已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 1，且滿足an 1 2an n 1，等比數(shù)列 bn 的首項(xiàng)b1 ，且滿足b2 2n bn .
(1)求證：數(shù)列 an n 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 anbn 的前 n項(xiàng)和 Sn．
14
題型二 裂項(xiàng)相消破錯位相減法
①若差比數(shù)列 cn 的通項(xiàng)公式為 cn kn b qn 1，利用待定系數(shù)法將差比數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)：
不妨設(shè) cn An B qn A n 1 B qn 1 bn 1 bn，
則 cn An B qn A n 1 B qn 1 q 1 An q 1 B A qn 1 kn b qn 1，
b kk
比較系數(shù)得， A B b A q 1 b k， ，
q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 2
于是Tn c1 c2 cn b2 b1 b3 b2 bn 1 bn bn 1 b1．
c c kn b qn②若差比數(shù)列 n 的通項(xiàng)公式為 n ，不妨設(shè) cn An B qn 1 A n 1 B qn bn 1 bn，
后面同①中的操作待定系數(shù)裂項(xiàng)即可．
【例 1】（2022 天津卷）設(shè) an 是等差數(shù)列， bn 是等比數(shù)列，a1 b1 a2 b2 a3 b3 1．
（1）求 an 與 bn 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，求證： (Sn 1 an 1)bn Sn 1bn 1 Snbn ；
2n
（3）求 (a ( 1)kn 1 ak )bk ．
k 1
15
【例 2】（2021 浙江卷）已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 S a
9
n， 1 ，且 4S4 n 1
3Sn 9．
（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列 bn 滿足3bn (n 4)an 0(n N *)，記 bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn ，若Tn bn對任意 n N 恒
成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
na
【訓(xùn)練 1】（2021·乙卷）設(shè) an 是首項(xiàng)為 1的等比數(shù)列，數(shù)列 bn 滿足b nn ，已知 a1，3a2 ，9a3 3成
等差數(shù)列．
（1）求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；
S
（2）記 Sn和Tn 分別為 an 和 bn 的前 n 項(xiàng)和．證明：T nn ．2
16
考向七 放縮求和法
1．命題規(guī)律：數(shù)列放縮是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，
難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．此類問題往往從通項(xiàng)公式入手，若需要放縮也是考慮對通項(xiàng)公式進(jìn)行
變形；在放縮時，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向可裂項(xiàng)相消的數(shù)列與等
比數(shù)列進(jìn)行靠攏．
2．核心考點(diǎn)：①裂項(xiàng)放縮核心；②等比放縮．
3．常見放縮公式：
1 1 1 1
（1） 2 n 2 ；n n 1 n n 1 n
（2 1 4 4 1 1） 2 2

2

；
n 4n 4n2 1 2n 1 2n 1
（3 1 1 1 1） ；
n2 n n 1 n n 1
n

（5） 1
1
1 1 1 1 1 3；
n 1 2 2 3 n 1 n
6 1 2 2（ ） 2 n 1 n n 2 ；
n n n n 1 n
1 2 2
（7） 2 n n 1 ；
n n n n n 1
8 1 2 2 2 2（ ） 2 2n 1 2n 1 ；
n n n n 1 n 1 2n 1 2n 1
2 2
2n 2n 2n 2n 19 1 1（ ） 2 n 2 ； 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 n

1 2 1
1 1 1 n 1 n 1 1
（10）
n3 n n2 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1

1 1


1 2 1 1 n 1 n 1


n 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

2 n
2 1 1 n 2 ；
n 1 n 1
（11 1 2 2 2）
n3 n2 n n n2 n n 1 n 1 n n 1 n n n 1
2 n 1 n 2 2
n 2 ；
n 1 n n 1 n
12 1 1 1 2 2 2（ ） ；
2n 1 1 1 n 1 C 0 1 2n Cn Cn 1 n n 1 n n 1
17
1 2n 113 1 1（ ） n n 1 n n 2 ．2 1 2n 1 1 2n 1 2 1 2 1
14 2( ) 2 1 2（ ） n 1 n 2( n n 1)．
n 1 n n n n 1
（15）二項(xiàng)式定理
①由于 2n 1 (1 1)n 1 C0n C1 C n n(n 1)n n 1 C1 2n Cn (n 3)，2
1 2
于是 2 1 1 (n 3)．
2n 1 n(n 1) n n 1
② 2n 2n 1(n 3)， 2n (1 1)n C0 C1 Cn 1 n 0 1n n n Cn Cn 2Cn 2n 1；
2n n2 n 2(n 5)， 2n (1 1)n C0 C1 C2 Cn 2 Cn 1 n 0 1 2 2n n n n n Cn 2Cn 2Cn 2Cn n n 2．
（16）糖水不等式
若b a 0,m 0，則 a m a ；若b a m 0，則 a m a ．
b m b b m b
題型一 放縮成裂項(xiàng)
對于放縮后，再裂項(xiàng)相消求和類型，通過放縮后的裂項(xiàng)公式的首項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和即可判斷放縮的精度
是否滿足題設(shè)要求，常見的題目無非是從第一項(xiàng)開始放縮、從第二項(xiàng)開始放縮或者從第三項(xiàng)開始放縮這三
1 1 1 1 1
種．比如： (n 1)，從第二項(xiàng)開始放縮，放縮的精度為 s 1 2；保留前兩項(xiàng)，
n2 n(n 1) n 1 n n 2 1
1 1 7
從第三項(xiàng)開始放縮，放縮的精度為 Sn 1 2 ．2 3 1 4
S 1
【例 1】記 Sn為數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和，已知 nn 是首項(xiàng)為 3，公差為 1的等差數(shù)列．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
1 1 1 a 1 1
(2) n證明：當(dāng) n 2時， S2 S3 Sn a
．
n 1 2
18
【例 2】（2013 廣東理 19）設(shè)數(shù)列{a 2S 1n}的前 n項(xiàng)和為 Sn ．已知 a 1， n1 an 1 n
2 n 2 ，n N *．
n 3 3
（1）求 a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3 1 1 1 7）證明：對一切正整數(shù) n，有 ．
a1 a2 an 4
【例 3】（2019 浙江）設(shè)等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， a3 4， a4 S3，數(shù)列{bn}滿足：
對任意 n N ，Sn bn ， Sn 1 bn ，Sn 2 bn成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；
a
（2）記C n n ,n N ，證明：C1 C2+ C2b n
2 n，n N ．
n
【訓(xùn)練 1】已知數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 4Sn 2n 1 an 1 1，a1＝1．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
1 3
(2)設(shè)bn a S ，數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，證明Tn ．n n 2
19
【訓(xùn)練 2】若數(shù)列 an 滿足 a1 1， an 1 an 2n．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
1 1 1(2)證明： 2a1 a a
．
2 n
a 1,n為奇數(shù)【訓(xùn)練 3】已知數(shù)列 an 滿足 a1 2,a nn 1 ，記b a ．
2an 2,n
n 2n 1
為偶數(shù)
(1)證明：數(shù)列 bn 為等比數(shù)列，并求出數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 an 的前 2n項(xiàng)和 S2n．
1 3
(3)設(shè) cn n 1 log b ，記數(shù)列 cn 的前 n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn ．2 n 1 4
題型二 放縮成等比
【例 1】（2012 廣東理）設(shè)數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，滿足 2S n 1 n an 1 2 1（ n N ），且 a1， a2 5，
a3成等差數(shù)列．
（1）求 a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
1 1 1 3
（3）證明：對一切正整數(shù) n，有 ．
a1 a 2 an 2
20
【例 2】（2014 新課標(biāo) 2理 17）已知數(shù)列{an}滿足 a1 1， an 1 3an 1．
（1）證明{an 1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；2
（2）證明： 1 1 …+ 1 3a1 a2 a
．
n 2
【訓(xùn)練 1】記 Sn為數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和，已知 a1=2， 3an 2Sn 是公差為 2的等差數(shù)列．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
1 1 1
(2)證明： 1a ．1 a2 an
【訓(xùn)練 2】已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn， a1 3， Sn 2 an 1．
(1)證明：數(shù)列 Sn 2 為等比數(shù)列；
1
(2)記數(shù)列 的前 n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn 2．
Sn
21
【訓(xùn)練 3】（2021·天津卷）已知 an 是公差為 2的等差數(shù)列，其前 8項(xiàng)和為 64． bn 是公比大于 0的等比數(shù)
列， b1 4,b3 b2 48．
（I）求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；
1
（II）記 cn b *2n ,n Nb ，n
i 2（ ）證明 cn c2n 是等比數(shù)列；
n a a
（ii k k 1 *）證明 c2 2 2c n N k 1 k 2k
22中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五節(jié)課后練習(xí)
1.（2024 紹興月考）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，則下列四個結(jié)論中，正確的是　　
A．的值為2 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 D．
2.（2024 運(yùn)城期末）設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3.（2024 沙市期末）已知數(shù)列滿足，，（且），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
4.（2024 新鄉(xiāng)模擬）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前40項(xiàng)和（ ）
A． B． C． D．
5.（2024 西城期中）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，，則　 　，　 　．
6.（2024 臨汾模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則　 　．
7.（2023 昆明一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 　．
8.（2024 溫州月考）數(shù)列滿足，則數(shù)列的前60項(xiàng)和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
9.（2024 濰坊期中）數(shù)列滿足，則的前44項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
10.（2024 山東模擬）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差．如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2．如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列．例如數(shù)列1，3，9，19，33，，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，是一個二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，的第五個數(shù)應(yīng)是　 　 ，第2021個數(shù)是　 　 ．
11.（2024 南京月考）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則　（ ）
A． B． C． D．
12.（2024 浙江月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則（ ）
A． B． C． D．
13.（2024 太原模擬）已知函數(shù)，則的值為　　
A．2022 B．2021 C．4043 D．4042
14.（2024 中山月考）設(shè)，若，求．
15.（2023 江蘇模擬）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16.（2024 廣州期末）已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+ +（2n﹣1）an＝2n，其中，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（　　）
A．a(chǎn)1＝2 B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：
C．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為： D．?dāng)?shù)列{an}為遞減數(shù)列
17（2024 重慶模擬）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B．
C． D．
18.（2024 四川模擬）等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
19.（2023 安徽模擬）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，
設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則　 　．
20.（2024 永州期末）已知函數(shù)且，則等于（ ）
A．0 B．100 C． D．10200
21.（2024 無錫模擬）在數(shù)列中，．
（1）若，求通項(xiàng)；
（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試說明當(dāng)時，存在自然數(shù)，使得時，和均取得最小值，并求出此時的值．
22.（2024 廣西模擬）設(shè)為等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，．在①，②，這兩個條件中任選一個，回答下列問題：
（1）寫出你選擇的條件并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
23.（2024 山東模擬）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．若數(shù)列滿足，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
24.（2024 山東模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意，它的前項(xiàng)和，滿足
，并且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
25.（2023 湖南模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
26.（2024 河北模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
27.（2024 廣東模擬）已知等差數(shù)列滿足，且，，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
28.（2024 金太陽模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，請?jiān)冖伲冢郏羞x擇一個填在橫線上并完成下面問題：
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前和為，求證：．
29.（2024 佛山模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，；數(shù)列對任意，總有成立．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
30.（2017 山東卷）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且．
(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
31.（2024 浙江模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
32.（2024·哈爾濱模擬）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.
33.（2024·海倫市月考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
34．（2024·濟(jì)寧市月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，a1＝1．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明．
35．（2024天津月考）已知數(shù)列滿足記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
36．（2024名校聯(lián)盟）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和的最大值、最小值.
(3)求證：對于任意正整數(shù)，.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第五節(jié)課后練習(xí)
3n21. 2024 {a } 2a 22a 2na 5n（ 紹興月考）已知數(shù)列 n 滿足 1 2 n ，設(shè)數(shù)列{cn}的前 n項(xiàng)和為 Sn，2
1
其中 cn 2n 1 ，則下列四個結(jié)論中，正確的是 ( )2 an an 1
A． a1的值為 2 B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an (3n 1) 2
n
C．?dāng)?shù)列{an}為遞減數(shù)列 D． S
n
n 12n 16
a 3，n 2k，k N*
2.（2024 運(yùn)城期末）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn ，且 an
n 1 ，若
2an 1 3，n 2k 1，k N
*
Sm 4042，則正整數(shù)m的最小值為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2 a ,n 2k 1
3（. 2024 沙市期末）已知數(shù)列{an}滿足 a1 0，a
n 2
2 1，an （ k N 且 k 2），則數(shù)列{a }
2an 2 ,n 2k
n
的前 10 項(xiàng)和為（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
4.（2024 新鄉(xiāng)模擬）已知數(shù)列{an}滿足 a2n a
n n
2n 1 3 1， a2n 1 a2n 3 5(n N
)，則數(shù)列{an}的前 40
項(xiàng)和 S40 （ ）
21
A 3 197 B 3
20 197
． ． C．910 98 D．920 98
2 2
5.（2024 西城期中）若數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn ， a1 1， a2 2， a2n 1 2a2n 1 1， a2n 2 a2n 1，則
a7 ， S20 ．
6.（2024 臨汾模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn ，且 a1 1， a2n an 1， a2n 1 n an，則 S100 ．
7.（2023 昆明一模）已知數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 S ，a
2 *
n 1 1，Sn Sn 1 4n (n 2,n N )，則 S25 ．
8.（2024 溫州月考）數(shù)列{a }滿足 a ( 1)n 1n n 1 an 2n，則數(shù)列{an}的前 60 項(xiàng)和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
9.（2024 濰坊期中）數(shù)列{an}滿足 an 1 ( 1)
nan 2n 1，則{an}的前 44 項(xiàng)和為（ ）
A． 990 B．870 C． 640 D． 615
10.（2024 山東模擬）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如 1，3，9，19，33， 就是一個數(shù)列，
如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，
這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差．如 2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為 2．如果一個數(shù)列
的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列．例如數(shù)列 1，3，9，
19，33， ，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是 2，6，10，14， ，這是一個公差為 4的等差
數(shù)列，所以，數(shù)列 1，3，9，19，33， 是一個二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列 1，3，7，13，
的第五個數(shù)應(yīng)是 ，第 2021個數(shù)是 ．
11（. 2024 1南京月考）設(shè) Sn 為數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，S ( 1)
n
n an n ,n N
*，則 S1 S2 S100 2 （ ）
A 1． [(1)100 1] B 1 1 ． [( )98 1] C 1． [(1)50 1] D 1． [(1)49 1]
3 2 3 2 3 2 3 2
12.（2024 1浙江月考）已知數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和 S 滿足 S ( 1)
n
n n an 2n 6 n ， (n N*)則 S （ ）2 100
A．196 B 1 1． 200 C．194 D．198
2100 2102
13.（2024 太原模擬）已知函數(shù) f (x) 2 1 1 ，則 f ( ) f ( ) 1 f ( ) f (1) f (2) f (2022) 的
1 x 2022 2021 2
值為 ( )
A．2022 B．2021 C．4043 D．4042
x
14.（2024 中山月考）設(shè) f x 4 S f ( 1 ) f ( 2 ) f (2022x ，若 )，求 S．4 2 2023 2023 2023
2
15.（2023 a 2a 3江蘇模擬）已知數(shù)列{an}滿足 an 0，其前 n項(xiàng)和 S
n n
n ，數(shù)列{bn}滿足4
b ( 1)n 1 n 1 n ，其前 n項(xiàng)和為Tn .若T2n 對任意 n N *恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）an an 1 n
A ( , 1 ) B 1 4 4． ． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
21 15 33 21
16.（2024 廣州期末）已知數(shù)列{an}滿足 a1+3a2+ +（2n﹣1）a ＝2n，其中 = n (2 +1)，Sn為數(shù)列{bn}
的前 n項(xiàng)和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（ ）
A．a(chǎn)1＝2 B．?dāng)?shù)列{an}
2
的通項(xiàng)公式為： = 2 +1
C．?dāng)?shù)列{bn}的前 n
2
項(xiàng)和為： = 2 +1 D．?dāng)?shù)列{an}為遞減數(shù)列
2
17（2024 a 重慶模擬）設(shè)數(shù)列{an}，{bn} n S T S 1 S
n 2
的前 項(xiàng)和分別為 ， ， ， S ，且b n 1n n 1 n 1 n n ，n anan 2
則下列結(jié)論正確的是 ( )
A a n(n 1)． 2021 2021 B． Sn 2
C b 1． n 1 D
1
． T 3 n
n(n 2) 3 n 4
18.（2024 四川模擬）等差數(shù)列{an}，Sn 為其前 n項(xiàng)和，a1 1，S6 36，記數(shù)列{( 1)
nan}的前 n項(xiàng)和為Tn ，
則T10 T21 （ ）
A． 11 B． 9 C． 13 D． 7
19.（2023 安徽模擬）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列， a5 14，且 a1， a3 ， a11成等比數(shù)列，
設(shè) bn ( 1)
n 1an，數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)的和為 Sn ，則 S2021 ．

20. 2024 n
2，(n為奇數(shù))
（ 永州期末）已知函數(shù) f (n) 且2 an f (n) f (n 1)，則 a1 a a n n 2 3
a100等于
，( 為偶數(shù))
（ ）
A．0 B．100 C． 100 D．10200
21.（2024 無錫模擬）在數(shù)列{an}中， an 1 an 3n 54．
（1）若a1 20 0，求通項(xiàng) an ；
（2）設(shè) Sn是數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，試說明當(dāng) a1 27 0時，存在自然數(shù) n，使得 n m時，Sn和 an 1 an
均取得最小值，并求出此時的m值．
22（. 2024 廣西模擬）設(shè) an 為等差數(shù)列， bn 是正項(xiàng)等比數(shù)列，且 a1 b1 2，a3 2b2．在①b5 b3 12b1，
②a5 2 b4，這兩個條件中任選一個，回答下列問題：
（1）寫出你選擇的條件并求數(shù)列 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，若 cn an bn n N* ，求數(shù)列 cn 的前 n項(xiàng)和 Sn．
23.（2024 山東模擬）設(shè) Sn為數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和，已知 an 0， a2n 2a 4S 3 n N n n ．若數(shù)列 bn 滿
足b1 2，b2 4
2
，bn 1 bnbn 2 n N ．
(1)求數(shù)列 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；
1
, n 2k 1, k N
(2)設(shè) cn Sn ，求數(shù)列 cn 的前 2n項(xiàng)的和T2n．

bn , n 2k ,k N
24.（2024 山東模擬）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意 n N
*，它的前 n項(xiàng)和 Sn ，滿足
S 1n (an 1)(an 2)，并且 a2， a4， a9 成等比數(shù)列．6
（1）求數(shù)列 (an}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè) b n 1n ( 1) anan 1，Tn 為數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和，求Tn ．
25.（2023 湖南模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 S ， 2S
2
n n an an 2．
（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
（2）若 b n 2n ( 1) an，求數(shù)列{bn}的前 2n項(xiàng)和為T2n．
26.（2024 2 2 2河北模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn n n 2 Sn 2 n n 0．
(1)求 a1的值和數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)b
1
n a a ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和Tn．n n 2
27.（2024 廣東模擬）已知等差數(shù)列 an a a *滿足 n 1 n 0 n N ，且 a1 a4 a10 15， a2， a4， a8成等比
數(shù)列．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
an
(2)若b
an 2
n ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和 Sa n．n 1 an 2
28.（2024 金太陽模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 滿足 a1 a3 30，請?jiān)冖?S4 120，② a4 81，
③ a2 a 2 *n n 1an 12an 1 0， n 2， n N 中選擇一個填在橫線上并完成下面問題：
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
n
(2) b
2 3
1設(shè) n a 1 a 1 ，
bn 的前 n和為 Sn，求證： S n ．n n 1 4
29.（2024 佛山模擬）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列， Sn為{an}的前 n項(xiàng)和，且 a10 19， S10 100；數(shù)列{bn}
對任意 n N ，總有b1 b2 b3 bn 1 bn an 2成立．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
4n b
（2）記 c ( 1)n nn ，求數(shù)列{c(2n 1)2 n
}的前 n項(xiàng)和Tn．
30.（2017 山東卷）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且 a1 a2 6,a1a2 a3 ．
(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
bn
(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前 n項(xiàng)和 Sn,已知 S2n 1 bnbn 1 ,求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和Tn ．
an
31.（2024 浙江模擬）已知等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 a1 2， S5 30，數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和為Tn，
且Tn 2
n 1．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) cn ( 1)
n (anbn ln Sn )，求數(shù)列{cn}的前 n項(xiàng)和．
32.（2024·哈爾濱模擬）已知數(shù)列 an 滿足 a1 14,an 1 3an 4 .
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
( 1)na
(2) n設(shè)b *n n n 1 ，數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和為T3 1 3 1 n，若存在 n N ，使m Tn，求m的取值范圍.
33.（2024·海倫市月考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an 中， a1 3，且 a2n 1 an an 1 6an ．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式；
2n 1 a 1
(2)若b

n b T 1n a ，數(shù)列 的前 n項(xiàng)和為 ，證明：T ．n 1 a n n nn 1 1 4
34．（2024·濟(jì)寧市月考）已知數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 4Sn 2n 1 an 1 1，a1＝1．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
1 3
(2)設(shè)bn a S ，數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，證明Tn ．n n 2
a 1,n為奇數(shù)
35．（2024 n天津月考）已知數(shù)列 an 滿足 a1 2,an 1 記bn a2n 1 .
2an 2,n為偶數(shù)
(1)證明：數(shù)列 bn 為等比數(shù)列，并求出數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 an 的前 2n項(xiàng)和 S2n .
1 3
(3)設(shè) cn n 1 log b ，記數(shù)列 cn 的前 n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn .2 n 1 4
36．（2024名校聯(lián)盟）記 Sn是公差不為 0的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，已知 a3 3a4 S5，a1a5 S4，數(shù)列 bn
b 3b 2n 1滿足 n n 1 n 2 ，且b1 a1 1.
b
(1)求 an 的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列 nn 1 是等比數(shù)列； 2
4n
(2)若數(shù)列
n 1
cn 滿足 cn 1 c na 1 a 1 ，求 n 的前 項(xiàng)和的最大值、最小值.n n 1
1 1 1 3
(3)求證：對于任意正整數(shù) n， b1 b2 bn 2
.

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