資源簡介

第六節 數列放縮本質論
考向一 蛛網圖與數列極限單調性判斷
知識點一 函數迭代和數列的關系
已知函數 y f (x)滿足 an+1=f (an )，則一定有 an+1=f (an ) f2 (an 1) fn (a1) ，故函數 y f (x)通過反復迭代
產生的一系列數構成了數列 an 或者記為 bn 、 xn ，而數列的每一項與函數迭代的關系可以如下表所示：
下面以函數 y 2x 1和數列 an 1 2an 1
數列 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… an an 1
函數 x f (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) …… fn 1(x) fn (x)
數列 1 x 7 15 31 63 2n 1 2n 1 1
數列 1 1 1 1 1 1 1 1
函數 x 2x 1 4x 3 8x 7 16x+15 32x 31 …… 2n 1 x 2n 1 1 2n x 2n 1
可以發現：
①數列的遞推式和函數的迭代式是有著相同的法則的，故數列的任何一項 an ,an+1 都在函數 y f (x)上．
②數列的通項公式是函數對 a1迭代 n 1次的結果，即 an fn 1(a1)，每一次由于迭代產生出的因變量成為
下一次迭代的自變量．
③數列的首項 a1對整個數列有很大的影響，當迭代不斷重復出現同一結果時，我們將其稱為不動點．
知識點二 函數的迭代圖像——蛛網圖
函數的迭代圖像，簡稱蛛網圖或者折線圖，函數 y f (x)和直線 y x共同決定．
其步驟如下：
1．在同一坐標系中作出 y f (x)和 y x的圖像（草圖），并確定不動點．（如圖 1 所示）
圖 1 圖 2
2．在找出不動點之后，確定范圍，將不動點之間的圖像放大，并找出起始點 a1（如圖 2所示）
3．由 a1向 y f (x)作垂直于 x軸的直線與 y f (x)相交，并確定交點 a1,a2 ．
4．由 a1,a2 向 y x作平行于 x軸的直線與 y x相交，并確定交點 a2 ,a2 ．
5．由 a2 ,a2 向 y f (x)作垂直于 x軸的直線與 y f (x)相交，并確定交點 a2 ,a3 ．
重復 4，5，直至找到點 an ,an 1 的最終去向．
知識點三 蛛網圖與數列的單調性
定理 1： y f (x)的單調增區間存在兩個不動點 x1，x2（x1（如左圖）則數列 an 1 f (an )在兩個不動點之間的區間是遞增的，即 an 1 an ，在兩不動點以外的區間則
是遞減的，即 an 1 an ．
定理 2： y f (x)的單調增區間存在兩個不動點 x1，x2（x1（如右圖）則數列 an 1 f (an )在兩個不動點之間的區間是遞減的，即 an 1 an ，在兩不動點以外的區間則
是遞增的，即 an 1 an ．
綜上可得，當 y f (x)的單調增區間位于上凸內或者下凹外時，即當迭代起點 a1位于此區域時，一定有
an 1 an 同理，當迭代起點 a1位于單調增區間的上凸外或者下凹內時，一定有 an 1 an ．
知識點四 數列的極限
根據蛛網圖可知，當一數列 an 為單調上凸曲線時，迭代點 an ,an 1 會無限靠近大的不動點 x2，我們將這
個大的不動點 x2稱為數列 an 的極限，記為 lim a x ；當一數列 an n 2 n 為單調下凹曲線時，迭代點 an ,an 1
會無限靠近小的不動點 x1，我們將這個小的不動點 x1稱為數列 an 的極限，記為 lim a x ．n n 1
幾種常見的函數迭代圖（未畫折線）
y a x h 2 h a ax b 0 y a x h 2 h a 0 y ax b a 0,b 0 y ad bc
cx d
頂點為不動點拋物線 頂點為不動點的拋物線 橫著的拋物線 二四象限反比例函數的平移函數
請思考： lim an h lim an h lim an xn n n 1 lim an xn 2
知識點五 由反比例（遞減函數）函數迭代構成的擺動數列
如下左圖所示，當 f (x)在區間為減函數時，和直線 y x相交于不動點，那么由此函數迭代構成的數列為擺
動數列，即奇數項和偶數項構成相反的單調性，但都螺旋靠近不動點，極限也是不動點．
左圖所示 a1 a3 a5 a2n 1，同時 a2 a4 a6 a2n；如右圖所示 a1 a3 a5 a2n 1，
同時 a2 a4 a6 a2n．
1 2023 {a } a 1【例 】（ 北京）數列 n 滿足
3
n 1 (an 6) 6，下列說法正確的是 ( )4
A．若 a1 3，則{an}是遞減數列， M R，使得 n m時， an M
B．若 a1 5，則{an}是遞增數列， M 6，使得 n m時， an M
C．若 a1 7，則{an}是遞減數列， M 6，使得 n m時， an M
D．若 a1 9，則{an}是遞增數列， M R，使得 n m時， an M
【例 2】（多選）已知數列{an}的前 n項和為 Sn， a1 0,an 1 ln(e
an 2) a *n (n N )，則下列選項正確
的是 ( )
A． a2n 1 a2n B．存在 n N *，使得 an ln2
C． S 220232023 D．{a2n 1}是單調遞增數列，{a2n}是單調遞減數列
【例 3】（多選）數列{an}滿足 a1 1， an 1 f (a )， n N
*
n ，則下列說法正確的是 ( )
A．當 f (x) 2x 1時， a nn 2 1
B．當 f (x) x 1 時，1 a 2
x n
C．當 f (x) x 1 時， a7 a8 a5 ax 10
D．當 f (x) 2lnx 1 時，數列{a
x 2n 1
}單調遞增，數列{a2n}單調遞減
【例 4】（ 多選）已知數列{a }的首項為 a ，且 a ean 1 ann 1 n 7，則 ( )
A．存在 a1使數列{an}為常數列 B．存在 a1使數列{an}為遞增數列
C．存在 a1使數列{an}為遞減數列 D．存在 a1使得 a1 an恒成立
跟蹤訓練
【訓練 1】已知數列 a 滿足 a 1 1 ， a ( )ann 1 n 1 ，則下列結論成立的是（ ）2 2
A．a2022 a2023 a2024 B． a2024 a2023 a2022
C． a2023 a2022 a2024 D．a2023 a2024 a2022
【訓練 2】已知數列 an 滿足：0 a1 1， an 1 an ln 3 an ．則下列說法正確的是（ ）．
A．0 a2020 1 B．1 a2020 2
C． 2 a
5 5
2020 D． a2 2 2020
2 2
考向二 蛛網圖與數列等比放縮（一級精度）
a
第一類 無不動點判斷 n 1 的趨勢
an
若 an 1 f (an )，在 f (x) 0區間，且 f (x) 0， f (x)
a
為下凹函數，易知 f (x)越來越大，故通過構造 n 1
an
a3 a4 1 a a a a a a的單調性，如圖，當 ，且 6 5 4 1時，則一定有 n 1 n 4 ；
a2 a3 a5 a4 a3 an an 1 a3
【例 5】（2019 浙江）設 a， b R，數列{an}滿足 a1 a， an 1 a
2
n b， n N
*，則 ( )
A 1 1．當 b 時， a10 10 B．當 b 時， a10 102 4
C．當 b 2時， a10 10 D．當 b 4時， a10 10
a x
第二類 不動點判斷 n 1 0 的趨勢
an x0
當 f (x) 0， f (x) 0，若 ， 為 f (x)兩個不動點，如圖所示，我們假設 f (x) x2，此函數符合
模型，則根據蛛網圖，當 a1 (0，1)時，則有 a1 a2 an 0，兩個不動點為 0， 1，
a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a
如左圖， 2 3 n 1 f (0)，如右圖， 2 3 n 1 1 1，如此對不動點蛛
a1 0 a2 0 an 0 a1 1 a2 1 an 1
網圖的斜率翻譯放縮，稱為數列放縮的一級精度。
我們通過幾道例題來解析數列放縮的一級精度。
【例 6 1 1 a】已知數列 an 滿足 a1 [ ，）， an 1 sin n (n N*)，記數列 an 前 n 項和為 Sn ，則對于任意的3 2 2
n N *，下列結論正確的是（ ）
A. 存在 k N *，使 ak 1 B.數列 an 單調遞增
C. a 3 1n 1 an D. 2an 1 2a1 S4 4 n
【例 7】已知數列{a }滿足 a 1， a ean 1n 1 n e
an 1，則 ( )
A 1．{an}為單調遞減數列 B． an 1 a2 n
C a 2． 20232n 1 a2n 1 2a2n D． a2024 ( )3
跟蹤訓練
【訓練 3】已知正項數列{a }滿足： a2n n 1 an 2， n N
*，則以下結論正確的是 ( )
A．若 a1 (0,2)時，數列{an}單調遞減
B．若 a1 (2, )時，數列{an}單調遞增
C．若 a1 (2, )時， 2 an a1
D．若 a1 1，數列{an}的前 n項和 Sn a1 an，則 Sn 2n 1(n 2,n N*)
考向三 不動點與二次裂項
第一類 平方式可裂項遞推型 an 1 a a
2
n 1 b an c
（1）若 f (x) ax2 bx c 有兩個不動點，當且僅當一個不動點在頂點時，即 b2 4ac 2b，則一定有：
a bn 1 a(a
b 2
n ) ，此時屬于可求通項的遞推模型，例如 a
2
n 1 an 2an an 1 1 (a 1)
2
n ，此模型2a 2a
就是由于 f (x) x2 2x x，不動點為 1， 0，且 ( 1， 1)為 f (x)的頂點，故能完成平方式遞推；
（2）若 f (x) ax2 bx c 1 1 1僅有一個不動點 x0 ，且不動點不在頂點時，則一定有： ，an 1 x0 an x0 an m
1 1 1
此時屬于可直接裂項相消求通項模型，例如 a a2n 1 n an ，此模型就是由于an 1 an an 1
f (x) x2 x x，不動點為 x0 0，且 (0，0)不是 f (x)的頂點，故能完成裂項遞推，我們做一下總結：
n
① an 1 an an 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
an 1 an an 1 an 1 an an 1 i 1 ai 1 a1 an 1
a a
2
n a an 1 an an 1 1 1 1
n 1 1 1
② n 1 n m m m m an m an a

n 1 i 1 ai m a1 an 1
n
③ an 1 a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n an 1 an 1 1 an 1 an a

n an 1 an 1 1 i 1 ai a1 1 an 1 1
a an 1 1
n 1 1 1
④ n 1 ka a ( )ka2n 1 an 1 a
n i
n i 1 k an 1 a1
【例 8】（2024 青羊區月考）已知數列{an}滿足 a 1， a a
2
1 n 1 n an， n N
*，則 ( )
A．{an}是遞減數列 B． an n(n 2)
C． a 2023 1 1 12024 2 D． 1a1 1 a2 1 an 1
【例 9】（2024 福建期中）數列{an}滿足 a1 a， an 1 3an a2n 1，則下列說法正確的是 ( )
A．若 a 1且 a 2，數列{an}單調遞減 B．若存在無數個自然數 n，使得 an 1 an ，則 a 1
C．當 a 2 1 1 1 1 或 a 1時，{an}的最小值不存在 D．當 a 3時， ( ,1]a1 2 a2 2 an 2 2
【訓練 4】在數列{an}中，a1 2，2a
2a 1
n 1 a
2
n 1，n N
*，設b nn ，若數列{bn}的前 2025項和 Sa 1 2025
t，
n
則整數 t的最大值為 ．
第二類 對勾函數單不動點可裂項遞推型 a bn 1 a an nan m
如果二次符合，那么對勾函數僅有一個不動點的模型也符合可裂項原理.
2a2 4a 1
【例 10】已知正項數列{an}滿足 an 1
n n (n N *)，則 ( )
an 2
A．{an}為遞增數列
B． a 2nn 1 a1
C．若 0 a 1 11 ，則存在大于 1的正整數m，使得 a3 m
a1 6
D．已知b 1 1n i 1 ，則存在 n N
* ，使得 b 1
a nn 1 1 2ai 3
0 n0
第三類 平方式立方式等比轉化為等比遞推型
（1）若 f (x) ax2 bx c a a 有兩個不動點 ， ，則一定有： n 1 aan p， n 1 aan q，此時an an
通過蛛網圖算出 aan p和 aan q取值范圍，則可以進行兩次等比放縮；
（2）若 f (x) ax3 bx2 cx d有三個不動點，且中間不動點為 x0 ，且不動點不在對城中心時，則一定有：
an 1 x0 aa2n pan q，通過蛛網圖算出 aa
2
n pan q取值范圍，則可以進行等比放縮an x0
【例 11】已知數列{an}滿足： n N
* ， an 1 a
2
n 2an b，其中 b R，數列{an}的前 n項和是 Sn ，下列
說法正確的是 ( )
A．當 b (1, )時，數列{an}是遞增數列
B．當 b 6時，若數列{an}是遞增數列，則 a1 ( ， 3) (2， )
C 5
2
．當 b ,a1 2時， Sn
n 3n
4 2
D．當 b 2 a 1 1 1 3 ， 1 3時， a1 2 a2 2 an 2 10
【例 12】設數列{a }滿足 a 0，a ca3n 1 n 1 n 2 8c,n N *其中 c為實數，數列{a
2
n}的前 n項和是 Sn ，下列
說法不正確的是 ( )
A．當 c 1時，{an}一定是遞減數列 B．當 c 0時，不存在 c使{an}是周期數列
C 1 1 5．當 c [0, ]時， an [0， 2] D．當 c 時， Sn n 4 7 2
考向四 蛛網圖構造等比放縮升級為次裂項放縮（二級精度）
數列放縮的二級精度，是將不可裂項放縮的，通過等比放縮轉化為可裂項放縮的模型，或者
將可以裂項出來的二次函數模型，由等比定值轉化為等差通項模型.
利用差分方程 an 1 an和等比放縮轉化為次裂項放縮
pan q a
第一類：若 an 1 an ，則 pa q a (a a ) n 1a n n n 1 n ，利用二階導和蛛網圖判斷
( ， )
a ，從而得到次n n
裂項相消式子： (an 1 an )(an 1 an ) pan q (an 1 an )(an 1 an )；
【例 13 2】已知數列{an}滿足 a1 a，an 1 an 1，記數列{| an 2 |}的前 n項和為 Sn， Sn對 n N
*
an
恒成立，則下列說法正確的有 ( )
A．若 a 0，則數列{| an 2 |}為遞減數列 B．若 2 a 2，則數列{an}為遞增數列
C a 3 35．若 ，則 的可能取值為 D．若 a 3 5 5 ，則 Sn 12 2 3 2n 1
a a 2 1
【例 14】已知數列{an}滿足 a
n n
1 1， an 1 ，則下列說法正確的是 ( )2
A 1． a2024 a2023 B．{ 2 }為遞增數列an
C． 4a2 2n 1 1 4an 1an D． a2024 1013
an 1 an a
第二類：若 an 1 an ( pan q) an ，則 pan q a ，利用二階導和蛛網圖判斷
n 1 ( ， )，從而得
n an
1 an 1 an pa q 1 an 1 an到次裂項相消式子： 1 a a n ；n 1 n 1 an 1 an
a
【例 15】（2021 浙江）已知數列{an}滿足 a1 1，a
n
n 1 (n N*)．記數列{a1 a n
}的前 n項和為 Sn ，則 (
n
)
A 3 S 9 9．
2 100
3 B．3 S100 4 C． 4 S100 D． S2 2 100
5

【訓練 5】數列{a } 1n 滿足 a
3 *
1 0，an 1 an an 1，n N ，Sn 表示數列 前 n項和，則下列選項中錯誤
an
的是 ( )
A．若 0 2 a1 ，則 an 1 B
2
．若 a1 1，則{an}遞減3 3
C 1．若 a1 ，則 Sn 4(
1
2) D．若 a 2
2 a 1
2，則 S2025
n 1 3
1
【訓練 6】已知數列{an}滿足 a
2
2 ， an 1an an an 1,n N
*，則 ( )
2
A． an的最大值為 1 B．若 n
1
2，則 an 2
C． an
1 D． a1 a2 an n
2 n
考向五 裂項放縮升級為累加放縮（三級精度）
關于三級精度，通常需要在一級（等比）精度，二級（裂項）精度之上，進行通項與求和的
綜合放縮，其中浙江卷風格經常達到此精度.
1 1 1 1
如果可裂項式子 ，我們根據 ( ， )a x a x a m a m ，可以得到二級精度，就是等差n 1 0 n 0 n n
1 1
精度， (n 1) (n 1)
1
，從而再次得出 h(n) an g(n)a x a x ，這樣就將 a 由一級精度升級為n 0 1 0 n x0
二級精度，即從常數等比精度升級為可求通項精度.
在二級精度基礎上，通過累加法，將二級精度升級為三級精度，即
1 1 1
( (n 1 1 1) ， (n 1) )，此時通過累加法，得到一個三級精度。
an 1 x0 an x0 an m a1 x0 a1 x0
1
【例 16】已知數列{an}滿足 a1 1， an 1 an a
2
n ．給出下列四個結論：2
①數列{an}每一項 an都滿足 0 an 1(n N*)；②數列{an}的前 n項和 Sn 2；
2 1
③數列{an}每一項都滿足 an 成立；④數列{a }每一項 a 都滿足 a ( )n 1(n N * )．n 1 n n n 2
其中，所有正確結論的序號是 ( )
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④
17 2022 {a } a 1 a a 1【例 】（ 浙江）已知數列 n 滿足 1 ， n 1 n a
2
n (n N
* )，則 ( )
3
A 2 100a 5 5 7 7． 100 B． 100a100 3 C．3 100a100 D． 100a100 42 2 2 2中小學教育資源及組卷應用平臺
第六節 數列放縮本質論
考向一 蛛網圖與數列極限單調性判斷
知識點一 函數迭代和數列的關系
已知函數滿足，則一定有，故函數通過反復迭代產生的一系列數構成了數列或者記為，而數列的每一項與函數迭代的關系可以如下表所示：
下面以函數和數列
數列 ……
函數 ……
數列
數列
函數 16x+15 ……
可以發現：
①數列的遞推式和函數的迭代式是有著相同的法則的，故數列的任何一項都在函數上．
②數列的通項公式是函數對迭代次的結果，即，每一次由于迭代產生出的因變量成為下一次迭代的自變量．
③數列的首項對整個數列有很大的影響，當迭代不斷重復出現同一結果時，我們將其稱為不動點．
知識點二 函數的迭代圖像——蛛網圖
函數的迭代圖像，簡稱蛛網圖或者折線圖，函數和直線共同決定．
其步驟如下：
1．在同一坐標系中作出和的圖像（草圖），并確定不動點．（如圖1所示）
圖1 圖2
2．在找出不動點之后，確定范圍，將不動點之間的圖像放大，并找出起始點（如圖2所示）
3．由向作垂直于軸的直線與相交，并確定交點．
4．由向作平行于軸的直線與相交，并確定交點．
5．由向作垂直于軸的直線與相交，并確定交點．
重復4，5，直至找到點的最終去向．
知識點三 蛛網圖與數列的單調性
定理1：的單調增區間存在兩個不動點x1，x2（x1定理2：的單調增區間存在兩個不動點x1，x2（x1綜上可得，當的單調增區間位于上凸內或者下凹外時，即當迭代起點位于此區域時，一定有同理，當迭代起點位于單調增區間的上凸外或者下凹內時，一定有．
知識點四 數列的極限
根據蛛網圖可知，當一數列為單調上凸曲線時，迭代點會無限靠近大的不動點，我們將這個大的不動點稱為數列的極限，記為；當一數列為單調下凹曲線時，迭代點會無限靠近小的不動點，我們將這個小的不動點稱為數列的極限，記為．
幾種常見的函數迭代圖（未畫折線）
頂點為不動點拋物線 頂點為不動點的拋物線 橫著的拋物線 二四象限反比例函數的平移函數
請思考：
知識點五 由反比例（遞減函數）函數迭代構成的擺動數列
如下左圖所示，當在區間為減函數時，和直線相交于不動點，那么由此函數迭代構成的數列為擺動數列，即奇數項和偶數項構成相反的單調性，但都螺旋靠近不動點，極限也是不動點．
左圖所示，同時；如右圖所示，
同時．
【例1】（2023 北京）數列滿足，下列說法正確的是　　
A．若，則是遞減數列，，使得時，
B．若，則是遞增數列，，使得時，
C．若，則是遞減數列，，使得時，
D．若，則是遞增數列，，使得時，
【例2】（多選）已知數列的前項和為，，則下列選項正確的是　　
A． B．存在，使得
C． D．是單調遞增數列，是單調遞減數列
【例3】（多選）數列滿足，，，則下列說法正確的是　　
A．當時，
B．當時，
C．當時，
D．當時，數列單調遞增，數列單調遞減
【例4】（ 多選）已知數列的首項為，且，則　　
A．存在使數列為常數列 B．存在使數列為遞增數列
C．存在使數列為遞減數列 D．存在使得恒成立
跟蹤訓練
【訓練1】已知數列滿足，，則下列結論成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【訓練2】已知數列滿足：，．則下列說法正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
考向二 蛛網圖與數列等比放縮（一級精度）
第一類 無不動點判斷的趨勢
若，在區間，且，為下凹函數，易知越來越大，故通過構造
的單調性，如圖，當，且時，則一定有；
【例5】（2019 浙江）設，，數列滿足，，，則　　
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
第二類 不動點判斷的趨勢
當，，若為兩個不動點，如圖所示，我們假設，此函數符合模型，則根據蛛網圖，當時，則有，兩個不動點為，，
如左圖，，如右圖，，如此對不動點蛛網圖的斜率翻譯放縮，稱為數列放縮的一級精度。
我們通過幾道例題來解析數列放縮的一級精度。
【例6】已知數列滿足，，記數列前n項和為，則對于任意的，下列結論正確的是（ ）
存在，使 B.數列單調遞增
C. D.
【例7】已知數列滿足，，則　　
A．為單調遞減數列 B．
C． D．
跟蹤訓練
【訓練3】已知正項數列滿足：，，則以下結論正確的是　　
A．若時，數列單調遞減
B．若時，數列單調遞增
C．若時，
D．若，數列的前項和，則
考向三 不動點與二次裂項
第一類 平方式可裂項遞推型
（1）若有兩個不動點，當且僅當一個不動點在頂點時，即，則一定有：，此時屬于可求通項的遞推模型，例如，此模型就是由于，不動點為，，且為的頂點，故能完成平方式遞推；
（2）若僅有一個不動點，且不動點不在頂點時，則一定有：，此時屬于可直接裂項相消求通項模型，例如，此模型就是由于，不動點為，且不是的頂點，故能完成裂項遞推，我們做一下總結：
①
②
③
④
【例8】（2024 青羊區月考）已知數列滿足，，，則
A．是遞減數列 B．
C． D．
【例9】（2024 福建期中）數列滿足，，則下列說法正確的是　　
A．若且，數列單調遞減 B．若存在無數個自然數，使得，則
C．當或時，的最小值不存在 D．當時，
【訓練4】在數列中，，，，設，若數列的前2025項和，則整數的最大值為　　 ．
第二類 對勾函數單不動點可裂項遞推型
如果二次符合，那么對勾函數僅有一個不動點的模型也符合可裂項原理.
【例10】已知正項數列滿足，則
A．為遞增數列
B．
C．若，則存在大于1的正整數，使得
D．已知，則存在，使得
第三類 平方式立方式等比轉化為等比遞推型
（1）若有兩個不動點，則一定有：，，此時通過蛛網圖算出和取值范圍，則可以進行兩次等比放縮；
（2）若有三個不動點，且中間不動點為，且不動點不在對城中心時，則一定有：，通過蛛網圖算出取值范圍，則可以進行等比放縮
【例11】已知數列滿足：，，其中，數列的前項和是，下列說法正確的是　　
A．當時，數列是遞增數列
B．當時，若數列是遞增數列，則，，
C．當時，
D．當，時，
【例12】設數列滿足，其中為實數，數列的前項和是，下列說法不正確的是　　
A．當時，一定是遞減數列 B．當時，不存在使是周期數列
C．當時，， D．當時，
考向四 蛛網圖構造等比放縮升級為次裂項放縮（二級精度）
數列放縮的二級精度，是將不可裂項放縮的，通過等比放縮轉化為可裂項放縮的模型，或者將可以裂項出來的二次函數模型，由等比定值轉化為等差通項模型.
利用差分方程和等比放縮轉化為次裂項放縮
第一類：若，則，利用二階導和蛛網圖判斷，從而得到次裂項相消式子：；
【例13】已知數列滿足，，記數列的前項和為，對恒成立，則下列說法正確的有　　
A．若，則數列為遞減數列 B．若，則數列為遞增數列
C．若，則的可能取值為 D．若，則
【例14】已知數列滿足，，則下列說法正確的是　　
A． B．為遞增數列
C． D．
第二類：若，則，利用二階導和蛛網圖判斷，從而得到次裂項相消式子：；
【例15】（2021 浙江）已知數列滿足，．記數列的前項和為，則　　
A． B． C． D．
【訓練5】數列滿足，，，表示數列前項和，則下列選項中錯誤的是　　
A．若，則 B．若，則遞減
C．若，則 D．若，則
【訓練6】已知數列滿足，，則　　
A．的最大值為1 B．若，則
C． D．
考向五 裂項放縮升級為累加放縮（三級精度）
關于三級精度，通常需要在一級（等比）精度，二級（裂項）精度之上，進行通項與求和的綜合放縮，其中浙江卷風格經常達到此精度.
如果可裂項式子，我們根據，可以得到二級精度，就是等差精度，，從而再次得出，這樣就將由一級精度升級為二級精度，即從常數等比精度升級為可求通項精度.
在二級精度基礎上，通過累加法，將二級精度升級為三級精度，即
，此時通過累加法，得到一個三級精度。
【例16】已知數列滿足，．給出下列四個結論：
①數列每一項都滿足；②數列的前項和；
③數列每一項都滿足成立；④數列每一項都滿足．
其中，所有正確結論的序號是　　
①④ B．②④ C．①③④ D．①②④
【例17】（2022 浙江）已知數列滿足，，則　　
A． B． C． D．
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