資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
9.1 直線與圓
考向1 直線與方程
題型1 傾斜角、斜率、直線方程
一．直線與方程
1．直線的傾斜角和斜率
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（3）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（4）越大，直線越陡峭
2.過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，， 則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
（四）三點共線
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
3．直線的方程
（一）直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于x軸的直線
斜截式 不含垂直于x軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
直線方程的五種形式
題型一 求直線斜率和方程
【例1】已知直線的傾斜角為，則　　
A． B． C．1 D．2
【例2】若經過，兩點的直線的傾斜角是，則　　
A． B． C．1 D．3
【例3】在下列四個命題中，正確的是　　
A．若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大
B．過點，的直線方程都可以表示為：
C．經過兩個不同的點，，，的直線方程都可以表示為：
D．經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
【例4】已知點，，若過的直線與線段相交，則實數的取值范圍為　　
A． B． C．或 D．
【例5】已知直線經過定點，直線經過點，且的方向向量，則直線的方程為　　
A． B． C． D．
【例6】根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．
（1）求經過、兩點的直線方程；
（2）求在軸、軸上的截距分別是、的直線方程；
（3）求經過點且斜率為的直線方程．
（三）直線系問題
概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系．它的方程稱直線系方程．
（1）過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數）．
（2） 斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數）．
（3）平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數）．
（4）垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．
（5）過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．（重點掌握）
【例7】已知直線與，求經過的交點且與已知直線平行的直線的方程．
【例8】求證：為任意實數時，直線恒過一定點，并求點坐標．
【例9】求過直線：與直線：的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練1】已知直線的傾斜角為，則實數　　
A． B． C． D．
【訓練2】若直線經過兩點，且傾斜角為，則的值為　　
A．2 B． C．1 D．
【訓練3】（多選）下列說法中不正確的是　　
A．直線與軸交于一點，其中截距
B．過點，且斜率為4的直線方程為
C．在軸和軸上的截距分別為與的直線方程是
D．方程表示過點，，，的直線
【訓練4】（多選）已知點，，斜率為的直線過點，則下列滿足直線與線段相交的斜率取值范圍是　　
A． B． C． D．
【訓練5】不論為任何實數，直線恒過定點，若直線過此定點其，是正實數，則的最小值是 　　．
【訓練6】求下列直線的方程：
（1）的傾斜角是，在軸上的截距是；
（2）在軸、軸上的截距分別是、4；
（3）直線經過點、．
【訓練7】求經過兩直線和的交點且與直線平行的直線方程．
題型2 位置關系
直線：，直線：，若，則；若，則.（此處注意與向量的區別）
【例1】“”是“直線與直線平行”的　　
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例2】直線，，若，則　 　．
跟蹤訓練
【訓練8】設，則“”是“直線與直線平行”的　　
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【訓練9】已知直線和直線垂直，則實數的值為 　?。?br/>題型3 距離問題
（一）兩點間距離 設，則．
（二）點到直線距離 設，，則點到直線的距離．
（三）兩平行線間距離 ，，則的距離為．
【例,1】已知點到直線的距離為1，則的值為　　
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【例2】已知直線，相互平行，則、之間的距離為　　
A． B． C． D．
【例3】（2020 新課標Ⅲ）點到直線距離的最大值為　　
A．1 B． C． D．2
【例4】求函數y=+的最小值．
【例5】已知兩點、，直線，在直線上求一點．
（1）使最小；
（2）使最大．
【例6】（2014 四川）設，過定點的動直線和過定點的直線交于點，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【例7】（多選）在平面直角坐標系中，設定點，是函數圖象上一動點．若點，之間的最短距離為，則滿足條件的實數的所有值為　　
A． B． C．1 D．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練10】點到直線的距離是　　
A． B． C． D．
【訓練11】已知直線與平行，則與的距離為　　
A． B． C． D．
【訓練12】（2018 北京）在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離．當、變化時，的最大值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【訓練13】（已知x，y∈R，S＝＋，則S的最小值是(　　)
A．0 B．2 C．4 D.
【訓練14】求函數的最小值．
題型4 對稱問題
兩點關于點對稱、兩點關于直線對稱的常見結論：
（1）點關于x軸的對稱點為．
（2）點關于y軸的對稱點為．
（3）點關于原點的對稱點為．
（4）點關于直線x－y=0的對稱點為．
（5）點關于直線x+y=0的對稱點為．
（6）點關于直線x－y+c=0的對稱點為．
（7）點關于直線x+y+c=0的對稱點為．
（一）點關于直線對稱
點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
策略：點關于直線對稱的妙解公式，設點關于直線
對稱的點為，則坐標為，其中．
定理1：點關于直線對稱的點坐標為．
點關于直線對稱的點坐標為．
直線關于直線對稱的直線方程為．
直線關于直線對稱的直線方程為．
直線關于點對稱的直線方程為．
定理2：點關于直線對稱的點坐標為．
點關于直線對稱的點坐標為．
直線關于直線對稱的直線方程為；
直線關于直線對稱的直線方程為；
關于定理2，只需記住或者
【例1】已知點與關于軸對稱，點與點關于軸對稱，點與點關于直線對稱，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【例2】點關于直線的對稱點坐標是　　
A． B． C． D．
【例3】已知直線，試求：①點P(4 , 5)關于的對稱坐標；②直線關于直線的對稱的直線方程．
【例4】設直線與關于直線對稱，則直線的方程是　
A． B． C． D．
【例5】如圖，在直角坐標系中，已知，，從點射出的光線經直線反射到軸上，再經軸反射后又回到點，則光線所經過的路程為 　　．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練15】點關于直線的對稱點的坐標為　　
A． B． C． D．
【訓練16】直線關于點對稱的直線方程為　　
A． B． C． D．
【訓練17】設直線，直線，則關于對稱的直線方程為
A． B． C． D．
【訓練18】線從出發，經，兩直線反射后，仍返回到點．則光線從點出發回到點所走的路程長度（即圖中周長）為 　 ?。?br/>考向2 圓與方程
題型1 圓的方程
1．圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
（2）圓的標準方程
設圓心的坐標，半徑為，則圓的標準方程為：
（3）圓的一般方程
圓方程為，圓心坐標：，半徑：
①的系數相同，方程中無項
②對于的取值要求：
③以 為直徑端點的圓的方程為
（4）確定圓心的位置：
①圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
③兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
（5）求圓方程的方法：
①幾何法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程
②待定系數法：
a．根據題意，選擇標準方程或一般方程；
b．根據條件列出關于或的方程組；
c．解出或，代入標準方程或一般方程
③相關點法（代入法）
若所求軌跡上的動點與另一個已知曲線上的動點存在著某種聯系，可設點，用點P的坐標表示出來點，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法（或稱代入法）．
④換元法（參數方程法）
若圓心為點，半徑為，則可將圓上的點換元為為．其中為參數，．
【例1】“”是“方程表示圓的方程”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例2】（2022 甲卷）設點在直線上，點和均在上，則的方程為 　 ?。?br/>【例3】（2022 乙卷）過四點，，，中的三點的一個圓的方程為 　　 ．
【例4】已知圓經過，，三點．
（1）求圓的方程；
（2）設點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為，求的方程．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練1】方程不能表示圓，則實數的值為　　
A．0 B．1 C． D．2
【訓練2】（2016 天津）已知圓的圓心在軸正半軸上，點在圓上，且圓心到直線的距離為，則圓的方程為　 　．
【訓練3】（2018 天津）在平面直角坐標系中，經過三點，，的圓的方程為 　?。?br/>【訓練4】已知圓的圓心在直線上，且與軸交于兩點，．
（1）設圓與直線交于，兩點，求的值；
（2）已知，點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程．
題型2 位置關系
2．位置關系
（1）點與圓的位置關系
法一 點與圓：的位置關系：
若在圓外，則；若在圓上，則；
若在圓內，則．
法二 點與圓：的位置關系：
若在圓外，則 ，若在圓上，則，若在圓內，則
（2）直線與圓的位置關系
直線與圓相交，有兩個公共點；直線與圓相切，只有一個公共點；直線與圓相離，沒有公共點．
（3）判斷直線與圓的位置關系的方法
幾何法：利用圓心到直線的距離和圓的半徑的大小關系．相交；相切；相離
代數法：聯立直線方程與圓方程，得到關于的一元二次方程
則判別式
（4）圓與圓的位置關系
設兩個圓的半徑分別為 ，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
【例1】若點在圓的外部，則的取值可能為　　
A． B．1 C．4 D．7
【例2】（2022 北京）若直線是圓的一條對稱軸，則　　
A． B． C．1 D．
【例3】（2021 多選 新高考Ⅱ）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是　　
A．若點在圓上，則直線與圓相切 B．若點在圓外，則直線與圓相離
C．若點在直線上，則直線與圓相切 D．若點在圓內，則直線與圓相離
【例4】（2016 山東）已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是　　
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練5】若點在圓的外部，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練6】若直線是圓的一條對稱軸，則　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【訓練7】直線與圓的位置關系為 　?。?br/>【訓練8】（2014 湖南）若圓與圓外切，則　
A．21 B．19 C．9 D．
題型3 切線問題與弦長問題
（1）圓的切線方程的求法
①點在圓上，
法一 利用切線的斜率與圓心和切點連線的斜率的乘積等于，即．
法二 圓心到直線的距離等于半徑．
②點在圓外，則設切線方程：
，變成一般式，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．
4．弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．
【例1】（2018 新課標Ⅰ）直線與圓交于，兩點，則　?。?br/>【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知直線與交于，兩點，寫出滿足“面積為”的的一個值 　 ?。?br/>【例3】（2023 新高考Ⅰ）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則　　
A．1 B． C． D．
【例4】過點引圓的切線，則切線的方程為　　
A．或 B．
C．或 D．
【例5】在平面直角坐標系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為，．則直線的方程為　　
A． B． C． D．
【例6】已知圓與圓有兩條公切線，則實數的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【例7】（2023 乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點，直線與交于，兩點，為的中點，若，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【例8】（2021 多選 新高考Ⅰ）已知點在圓上，點，，則　　
A．點到直線的距離小于10 B．點到直線的距離大于2
C．當最小時， D．當最大時，
【例9】已知為圓的弦，且點為的中點，點為平面內一動點，若，則　　
A．點構成的圖象是一條直線 B．點構成的圖象是一個圓
C．的最小值為2 D．的最小值為3
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練9】（2022 天津）若直線與圓相交所得的弦長為，則　 ?。?br/>【訓練10】（2018 新課標Ⅲ）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練11】過點引的兩條切線，這兩條切線夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【訓練12】過點作與圓相切的直線，則直線的方程為　　
A． B．
C．或 D．或
【訓練13】設點為直線上任意一點，過點作圓的切線，切點分別為，，則直線必過定點　　
A． B． C． D．
【訓練14】已知圓與圓，則兩圓的公切線條數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
題型4 動點與距離問題
與圓有關的長度或距離的最值問題的解法，一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．
（1）形如型的最值問題，可轉化為過點和點的直線的斜率的最值問題．
（2）形如型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題．
（3）形如型的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題
【例1】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓，則面積的取值范圍是　　
A． B． C．， D．，
【例2】（2023 乙卷）已知實數，滿足，則的最大值是　　
A． B．4 C． D．7
【例3】已知直線上存在點，使得過點可作兩條直線與圓分別切于點，，且，則實數的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【例4】若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例5】（多選）已知實數，滿足方程，則下列說法正確的是　　
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
跟蹤訓練
【訓練15】圓上的點到直線距離的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．
【訓練16】點在圓上運動，則的取值范圍　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練17】已知點為直線上的動點，若在圓上存在兩點，，使得，則點的橫坐標的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【訓練18】若過點且斜率為的直線與曲線有且只有一個交點，則實數的值不可能是　　
A． B． C． D．2
【訓練19】（多選）已知實數，滿足方程，則下列說法中正確的有　　
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
拓展思維
拓展1 阿氏圓
一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
求證：已知動點P與兩定點A、B的距離之比為，那么點P的軌跡是什么？
證明：
【例1】古希臘時期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足．當、、三點不共線時，面積的最大值為　　
A．24 B．12 C．6 D．
【例2】阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點、的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為　　
A． B． C． D．
拓展2 米勒定理與角度問題
米勒定理：已知點，是的邊上的兩個定點，點是邊上的一動點，則當且僅當三角形的外接圓與邊相切于點時，最大．
證明：如圖，設是邊上不同于點的任意一點，連結，’交圓于點,因為是圓外角，是圓周角，易證,故最大．
根據切割線定理得，，即，于是我們有：最大等價于三角形的外接圓與邊相切于點等價于
【例1】幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點，是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大．”如圖，其結論是：點為過，兩點且和射線相切的圓與射線的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是　　
A．2 B．6 C．2或6 D．1或3
【例2】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理” ：若點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當且僅當的外接圓與邊相切于點時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點是軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是　　
A． B．
C． D．
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9.1 直線與圓課后練習
1．（2024 百色月考）直線的傾斜角是　　
A． B． C． D．
2．（2024 重慶月考）過點和的直線斜率等于1，那么的值等于　　
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
3．（2024 廣東模擬）設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是　　
A．， B．
C． D．
4．（2024 廈門模擬）若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為　　
A． B． C． D．
5．（2010 安徽）過點且與直線平行的直線方程是　　
A． B． C． D．
6．（2007 天津）“”是“直線平行于直線”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024 杭州期中）已知直線與平行，則的值是　　
A．1 B．1或2 C．5 D．2或5
8．（2024 甘肅月考）直線與直線互相垂直，則　　
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2024 湖南月考）下列說法正確的是　　
A．過，，，兩點的直線方程為
B．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為
C．點關于直線的對稱點為
D．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8
10．（2024 廣州期中）已知點，點在直線上，則的最小值為　　
A． B． C． D．4
11．（2024 白銀期中）直線經過定點，則點的橫坐標與縱坐標之和為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2024 福建期中）已知直線恒過點，則的坐標為　　
A． B． C． D．
13．（2024 北京模擬）點，到兩條直線：，距離相等，，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
14．（2024 長春模擬）點關于直線的對稱點的坐標為　　
A． B． C． D．
15．（2024 四川月考）直線關于直線對稱的直線方程是　　
A． B． C． D．
16．（2015 山東）一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為　　
A．或 B．或 C．或 D．或
17．（2013 湖南）在等腰直角三角形中，，點是邊邊上異于的一點，光線從點出發，經，反射后又回到點（如圖），若光線經過的重心，則等于　　
A．2 B．1 C． D．
18．（2024 江蘇月考）如圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為　　
A．， B．，
C．， D．，
19．（2024 陜西期中）過四點，，，中的三點的圓的方程可能為　　
A． B．
C． D．
20．（2024 內蒙古月考）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的正切值為　　
A． B． C． D．0
21．（2020 新課標Ⅰ）已知圓，過點的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020 新課標Ⅰ）已知，直線，為上的動點．過點作的切線，，切點為，，當最小時，直線的方程為　　
A． B． C． D．
23．（2024 沈陽期中）若圓與圓恰有3條公切線，則　　
A． B． C． D．
24．（2024 四川模擬）已知圓，直線，直線與圓交于、，則的最大值為　　
A．1 B． C． D．
25．（2024 鄂托克旗期中）已知是坐標原點，若圓上有2個點到的距離為2，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C． D．，
26．（2024 多選 南京月考）下列說法中錯誤的是　　
A．不過原點的直線都可以用方程表示
B．若直線，則兩直線的斜率相等
C．過兩點，，，的直線都可用方程表示
D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直
27．（2021 多選 新高考Ⅰ）已知點在圓上，點，，則　　
A．點到直線的距離小于10 B．點到直線的距離大于2
C．當最小時， D．當最大時，
28．（2024 多選 深圳模擬）瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結論正確的是　　
A．圓上點到直線的最大距離為
B．若點在圓上，則的取值范圍是，
C．若點在圓上，則的最小值是1
D．圓與圓有公共點，則的取值范圍是，
29．（2016 上海）已知平行直線，，則，的距離　?。?br/>30．（2020 上海）已知直線，，若，則與的距離為 　?。?br/>31．（2020 天津）已知直線和圓相交于，兩點．若，則的值為 　?。?br/>32．（2024 北京模擬）分別求滿足下列條件的直線方程：
（1）過點且與直線垂直的直線方程；
（2）過點且與直線平行的直線方程；
（3）求過點，斜率是直線的斜率的的直線方程；
（4）求過點，且在軸上的截距等于在軸上截距的直線方程．
33．（2024 山東月考）的三個頂點是，，，求：
（1）邊上的中線所在直線的方程；
（2）邊上的高所在直線的方程．
34．（2024 臨川模擬）已知直線恒過定點，圓經過點和點，且圓心在直線上．
（1）求定點的坐標；
（2）求圓的方程；
（3）已知點為圓直徑的一個端點，若另一個端點為點，問：在軸上是否存在一點，使得為直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
35．（2024 廣西模擬）若圓與圓外切．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）若圓與軸的正半軸交于點，與軸的正半軸交于點，為第三象限內一點，且點在圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)9.1 直線與圓課后練習
1．（2024 百色月考）直線 3x y 3 0的傾斜角是 ( )
A B C 2 D 5 ． ． ． ．
6 3 3 6
2．（2024 重慶月考）過點 P( 2,m)和Q(m, 4)的直線斜率等于 1，那么m的值等于 ( )
A．1或 3 B．4 C．1 D．1或 4
3．（2024 廣東模擬）設直線 l的方程為 x y sin 2 0，則直線 l的傾斜角 的范圍是 ( )
A． [0 ] B [ ， ． , ]
4 2
C 3 3 ． [ , ] D． [ , ) ( , ]
4 4 4 2 2 4
4．（2024 廈門模擬）若直線 l的一個方向向量為 (1, 3)，則它的傾斜角為 ( )
A．30 B． 60 C．120 D．150
5．（2010 安徽）過點 (1,0)且與直線 x 2y 2 0平行的直線方程是 ( )
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0 C． 2x y 2 0 D． x 2y 1 0
6．（2007 天津）“ a 2”是“直線 ax 2y 0平行于直線 x y 1”的 ( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024 杭州期中）已知直線 l1 : (k 2)x (4 k)y 1 0與 l2 : 2(k 2)x 2y 3 0平行，則 k的值是 ( )
A．1 B．1或 2 C．5 D．2或 5
8．（2024 甘肅月考）直線 l1 : ax 2y 3 0與直線 l2 : x (a 1)y 2 0互相垂直，則 a ( )
A．0 B．1 C．2 D． 1
9．（2024 湖南月考）下列說法正確的是 ( )
A．過 (x1 ， y1)， (x2 ， y )
y y x x
2 兩點的直線方程為
1 1
y2 y1 x2 x1
B．過點 A(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為 x y 3 0
C．點 (1,0)關于直線 y x的對稱點為 ( 1,0)
D．直線 x y 4 0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 8
10．（2024 廣州期中）已知點 A(2,1)，點 B在直線 x y 3 0上，則 | AB |的最小值為 ( )
A． 5 B． 26 C． 2 2 D．4
11．（2024 白銀期中）直線 (m n)x (3m n)y 6m 2n 0 經過定點 A，則點 A的橫坐標與縱坐標之和為 (
)
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2024 福建期中）已知直線 kx y 6k 2 0恒過點 P，則 P的坐標為 ( )
A． (0, 2) B． ( 2,0) C． (6, 2) D． ( 6,2)
13．（2024 北京模擬）點M (x0，y0 )到兩條直線：x 3y
y
2 0，x 3y 6 0距離相等，y0 x 00 2，則 x0
的取值范圍是 ( )
A 1 1．[ ,0) B． ( , ) (0, )3 3
C ( 1 1． ,0) D． ( , )
3 3
14．（2024 長春模擬）點 P(2,0)關于直線 l : x y 1 0的對稱點Q的坐標為 ( )
A． ( 1, 3) B． ( 1, 4) C． (4,1) D． (2,3)
15．（2024 四川月考）直線 x 2y 1 0關于直線 y x 0對稱的直線方程是 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． x 2y 1 0
16．（2015 山東）一條光線從點 ( 2, 3)射出，經 y軸反射后與圓 (x 3)2 (y 2)2 1相切，則反射光線所
在直線的斜率為 ( )
A 5 3 B 3 2 C 5 4 D 4 3． 或 ． 或 ． 或 ． 或
3 5 2 3 4 5 3 4
17．（2013 湖南）在等腰直角三角形 ABC中， AB AC 4，點 P是邊 AB邊上異于 AB的一點，光線從點
P出發，經 BC，CA反射后又回到點 P（如圖），若光線QR經過 ABC 的重心，則 AP等于 ( )
A 2 B 1 C 8 D 4． ． ． ．
3 3
18．（2024 江蘇月考）如圖，一次函數 y x 4的圖象與 x軸， y軸分別交于點 A， B，點C( 2,0)是 x軸
上一點，點 E， F 分別為直線 y x 4和 y軸上的兩個動點，當 CEF周長最小時，點 E， F 的坐標分別
為 ( )
A． E( 5 3 , )， F (0,2) B． E( 2,2)， F (0,2)
2 2
C E( 5 , 3 2． )， F (0, ) D． E( 2,2)， F (0, 2)
2 2 3 3
19．（2024 陜西期中）過四點 (0,0)， (4,0)， ( 1,1)， (4,2)中的三點的圓的方程可能為 ( )
A． x2 y2 4x 2y 5 0 B (x 8． )2 (y 1)2 9
5 5
C． (x 4 )2 (y 7 )2 22 D． (x 2)2 (y 3)2 13
3 3
20．（2024 內蒙古月考）從圓 x2 2x y2 2y 1 0外一點 P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的
正切值為 ( )
A 4． B 3． C 3． D．0
3 5 2
21．（2020 新課標Ⅰ）已知圓 x2 y2 6x 0，過點 (1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020 新課標Ⅰ）已知 M : x2 y2 2x 2y 2 0，直線 l : 2x y 2 0，P為 l上的動點．過點 P作
M 的切線 PA， PB，切點為 A， B，當 | PM | | AB |最小時，直線 AB的方程為 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
23．（2024 沈陽期中）若圓C : x21 y
2 4與圓C 22 : (x a) (y 1)
2 1恰有 3條公切線，則 a ( )
A． 2 2 B． 3 C． 2 D． 1
24．（2024 四川模擬）已知圓C : (x 1)2 (y 2)2 25，直線 l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0 ，直線 l與圓
C交于 A、 B，則 sin ACB的最大值為 ( )
A 1 B 4 C 2 5． ． ． D 3．
5 5 5
25．（2024 鄂托克旗期中）已知O是坐標原點，若圓C : x2 y2 6x 8y a 0上有 2個點到O的距離為 2，
則實數 a的取值范圍為 ( )
A． ( 24,16) B． [ 24，16] C． ( 16,24) D． [ 16， 24]
26．（2024 多選 南京月考）下列說法中錯誤的是 ( )
A x y．不過原點的直線都可以用方程 1表示
a b
B．若直線 l1 / /l2 ，則兩直線的斜率相等
C．過兩點 P1(x1， y1)， P2 (x2， y2 )的直線都可用方程 (x x1)(y2 y1) (y y1)(x2 x1)表示
D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直
27．（2021 多選 新高考Ⅰ）已知點 P在圓 (x 5)2 (y 5)2 16上，點 A(4,0)， B(0,2)，則 ( )
A．點 P到直線 AB的距離小于 10 B．點 P到直線 AB的距離大于 2
C．當 PBA最小時， | PB | 3 2 D．當 PBA最大時， | PB | 3 2
28．（2024 多選 深圳模擬）瑞士著名數學家歐拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同
一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作 ABC ，AB AC，點 B( 2,4)，
點C(5, 3)，且其“歐拉線”與圓M : (x 5)2 y2 r2 相切，則下列結論正確的是 ( )
A．圓M 上點到直線 x y 3 0的最大距離為 4 2
B．若點 (x, y) y在圓M 上，則 的取值范圍是 [ 1，1]
x 1
C．若點 (x, y)在圓M 上，則 x y的最小值是 1
D．圓 (x a 1)2 (y a)2 2與圓M 有公共點，則 a的取值范圍是 [2 5 ， 2 5]
29．（2016 上海）已知平行直線 l1 : 2x y 1 0， l2 : 2x y 1 0，則 l1， l2 的距離 ．
30．（2020 上海）已知直線 l1 : x ay 1， l2 : ax y 1，若 l1 / /l2 ，則 l1 與 l2 的距離為 ．
31．（2020 天津）已知直線 x 3y 8 0和圓 x2 y2 r2 (r 0)相交于 A，B兩點．若 | AB | 6，則 r 的值
為 ．
32．（2024 北京模擬）分別求滿足下列條件的直線方程：
（1）過點 (3,1)且與直線 y 3x 1垂直的直線方程；
（2）過點 (1,2)且與直線 2x y 10 0 平行的直線方程；
（3）求過點 A(0, 2) 1，斜率是直線 y 6x 1的斜率的 的直線方程；
4
（4）求過點 A( 1,3)，且在 x軸上的截距等于在 y軸上截距的直線方程．
33．（2024 山東月考） ABC的三個頂點是 A(4,0)， B(6,7)，C(0,3)，求：
（1）邊 BC上的中線所在直線的方程；
（2）邊 BC上的高所在直線的方程．
34．（2024 臨川模擬）已知直線 l : (k 1)x 2y 5 3k 0(k R) 恒過定點 P，圓C經過點 A(4,0)和點 P，
且圓心在直線 x 2y 1 0上．
（1）求定點 P的坐標；
（2）求圓C的方程；
（3）已知點 P為圓C直徑的一個端點，若另一個端點為點Q，問：在 y軸上是否存在一點M (0,m)，使得
PMQ為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．
35．（2024 廣西模擬）若圓C1 : x
2 y2 m與圓C2 : x
2 y2 6x 8y 16 0外切．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若圓C1與 x軸的正半軸交于點 A，與 y軸的正半軸交于點 B， P為第三象限內一點，且點 P在圓C1
上，直線 PA與 y軸交于點M ，直線 PB與 x軸交于點 N，求證：四邊形 ABNM 的面積為定值．9.1 直線與圓
考向 1 直線與方程
題型 1 傾斜角、斜率、直線方程
一．直線與方程
1．直線的傾斜角和斜率
若直線 l與 x軸相交，則以 x軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與 l重合所成的角稱為直線 l的傾斜
角，
（1）若直線與 x軸平行（或重合），則傾斜角為0
（2）傾斜角的取值范圍 [0， )
設直線的傾斜角為 ，則 的正切值稱為直線的斜率，記為 k tan
（3）當

時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
2
（4） k 越大，直線越陡峭
2.過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點， A(x y ) B(x y2 y11， 1 ， 2 ，y2 ) 則 k x2 x1
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若 x1 x2 ，則直線 AB的斜率不存在，此時直線的傾斜角為 90°
（四）三點共線
兩直線 AB，AC 的斜率相等→ A、B、C三點共線；反過來， A、B、C三點共線，則直線 AB，AC 的斜率相
等（斜率存在時）或斜率都不存在．
3．直線的方程
（一）直線的截距
若直線 l與坐標軸分別交于 (a ，0 )，(0 ，b ) ，則稱 a，b分別為直線 l的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為 0（不要顧名思義誤認為與“距
離”相關）
（2）橫縱截距均為 0 的直線為過原點的非水平非豎直直線
（二）直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y y1 k x x1 不含垂直于 x軸的直線
斜截式 y kx b 不含垂直于 x軸的直線
y y1 x x 1兩點式 不含直線 x x1(x1 x2 )和直線y y x x y y1(y1 y2 )2 1 2 1
x y
截距式 1a b 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax By C 0(A2 B2 0) 平面直角坐標系內的直線都適用
題型一 求直線斜率和方程
【例 1】已知直線 ax 2y 4的傾斜角為135 ，則 a ( )
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【例 2】若經過 A(m 1,3)， B(m,1 m) 3 兩點的直線的傾斜角是 ，則m ( )
4
A． 3 B． 1 C．1 D．3
【例 3】在下列四個命題中，正確的是 ( )
A．若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大
B．過點 P(x0 ， y0 )的直線方程都可以表示為： y y0 k(x x0 )
C．經過兩個不同的點 P1(x1，y1)，P2 (x2，y2 )的直線方程都可以表示為：(y y1)(x2 x1) (x x1)(y2 y1)
D．經過點 (1,1)且在 x軸和 y軸上截距都相等的直線方程為 x y 2 0
【例 4】已知點 A(2,0)， B(0,4)，若過 P( 6, 8)的直線 l與線段 AB相交，則實數 k的取值范圍為 ( )
A． k 1 B． k 2 C． k 2或 k 1 D．1 k 2

【例 5】已知直線 l : (2m 1)x (m 1)y m 0經過定點 P，直線 l 經過點 P，且 l 的方向向量 a (3,2)，
則直線 l 的方程為 ( )
A． 2x 3y 5 0 B． 2x 3y 5 0 C．3x 2y 5 0 D．3x 2y 5 0
【例 6】根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．
（1）求經過 A( 1,5)、 B(2,1)兩點的直線方程；
（2）求在 x軸、 y軸上的截距分別是 3、 1的直線方程；
（3）求經過點Q( 1,2)且斜率為 2的直線方程．
（三）直線系問題
概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系．它的方程稱直線系方程．
（1）過定點直線系
過已知點 P(x0 ，y0 )的直線系方程 y y0 k (x x0 )（ k為參數）．
（2） 斜率為定值直線系
斜率為 k的直線系方程 y kx b（ b是參數）．
（3）平行直線系
與已知直線 Ax By C 0平行的直線系方程 Ax By 0（ 為參數）．
（4）垂直直線系
與已知直線 Ax By C 0垂直的直線系方程 Bx Ay 0（ 為參數）．
（5）過兩直線交點的直線系
過直線 l1 : A1x B1y C1 0 與 l2 : A2x B2 y C2 0的交點的直線系方程：
A1x B1y C1 (A2x B2 y C2 ) 0（ 為參數）．（重點掌握）
【例 7】已知直線 l1 : x y 2 0與 l2 : 2x 3y 3 0，求經過的交點且與已知直線 3x y 1 0平行的直線
L的方程．
【例 8】求證：m為任意實數時，直線 (m 1)x (2m 1)y m 5恒過一定點 P，并求 P點坐標．
【例 9】求過直線： x 2y 1 0與直線： 2x y 1 0的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 1】已知直線 l : x ay 6 0的傾斜角為 60 ，則實數 a ( )
A 3 B 3． ． C 3． D． 3
3 3
【訓練 2】若直線經過兩點 A(2, m)， B( m, 2m 1)且傾斜角為135 ，則m的值為 ( )
A 2 B 3． ． C．1 D 3．
2 2
【訓練 3】（多選）下列說法中不正確的是 ( )
A．直線 y kx b與 y軸交于一點 B(0,b)，其中截距 b |OB |
B．過點 P(1,2) y 2，且斜率為 4的直線方程為 4
x 1
C．在 x軸和 y軸上的截距分別為 a b x y與 的直線方程是 1
a b
D．方程 (x2 x1)(y y1) (y2 y1)(x x1)表示過點 P1(x1， y1)， P2 (x2， y2 )的直線
【訓練 4】（多選）已知點 A(2, 3)，B( 3, 2)，斜率為 k的直線 l過點 P(1,1)，則下列滿足直線 l與線段 AB
相交的斜率 k取值范圍是 ( )
A． k 3 B 3． k 4 C． 4 k 0 D． 0 k
4 4
【訓練 5】不論 k為任何實數，直線 (2k 1)x (k 3)y (k 11) 0 恒過定點，若直線mx ny 2過此定點
m 3 1其 ， n是正實數，則 的最小值是 ．
m 2n
【訓練 6】求下列直線 l的方程：
2
（1） l的傾斜角是 ， l在 x軸上的截距是 3；
3
（2） l在 x軸、 y軸上的截距分別是 2、4；
（3）直線 l經過點 A(2,1)、 B(1, 2)．
【訓練 7】求經過兩直線 2 x 3 y 3 0 和 x y 2 0 的交點且與直線 3 x y 1 0 平行的
直線方程．
題型 2 位置關系
直線 l1： y k1x b1，直線 l2： y k2x b2 ，若 l1 // l2 ，則 k1 k2；若 l1 l2 ，則 k1 k2 1.（此處注意與
向量的區別）
1 1
【例 1】“m 1”是“直線 l1 :mx 2y 1 0與直線 l2 : x my 0平行”的 ( )2 2
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例 2】直線 l1 : ax (a 1)y 1 0， l2 : (a 1)x 2y 3 0，若 l1 l2，則 a ．
跟蹤訓練
【訓練 8】設 a R，則“ a 1”是“直線 l1 : ax 2y 1 0與直線 l2 : x (a 1)y 4 0平行”的 ( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【訓練 9】已知直線 l1 : ax 2y 6 0和直線 l2 : x (a 1)y a
2 1 0垂直，則實數 a的值為 ．
題型 3 距離問題
（一）兩點間距離 設 A(x1，y1)，B(x2，y2 )，則 AB (x1 x2)
2 (y y )21 2 ．
Ax By C
（二）點到直線距離 設 P(x0 ，y0 )， l : Ax By C 0，則點 P到直線 l的距離 d
0 0 ．
A2 B2
C C
（三）兩平行線間距離 l1 : Ax By C1 0， l2 : Ax By C2 0 ，則 l ，l 的距離為 d
1 2
1 2 ．
A2 B2
【例,1】已知點 P( 1,2)到直線 l : 4x 3y m 0的距離為 1，則m的值為 ( )
A． 5或 15 B． 5或 15 C．5或 15 D．5或 15
【例 2】已知直線 l1 : x 2y 2 0， l2 : 2x 4y 3 0相互平行，則 l1 、 l2 之間的距離為 ( )
A 5 B 5 2 5 5． ． C． D．
10 5 5 2
【例 3】（2020 新課標Ⅲ）點 (0, 1)到直線 y k(x 1)距離的最大值為 ( )
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【例 4】求函數 y= x2 9 + x2 8x 41的最小值．
【例 5】已知兩點 A(2 , 3)、 B(4 ,1)，直線 l : x 2y 2 0，在直線 l上求一點 P．
（1）使 PA PB 最??；
（2）使 PA PB 最大．
【例 6】（2014 四川）設m R，過定點 A的動直線 x my 0和過定點 B的直線mx y m 3 0交于點
P(x, y)，則 | PA | | PB |的取值范圍是 ( )
A．[ 5， 2 5] B． [ 10 ， 2 5] C． [ 10 ， 4 5] D．[2 5， 4 5]
1
【例 7】（多選）在平面直角坐標系 xOy中，設定點 A(a,a)， P是函數 y (x 0)圖象上一動點．若點 P，
x
A之間的最短距離為 2 2，則滿足條件的實數 a的所有值為 ( )
A． 10 B． 10 C．1 D． 1
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 10】點 (2,1)到直線 l : x 2y 2 0 的距離是 ( )
A 2 B 2 5 C 4 5 D 6 5． ． ． ．
5 5 5 5
【訓練 11】已知直線 l1 : x ay 1 0與 l2 : 2x y 1 0平行，則 l1 與 l2 的距離為 ( )
A 1 B 5 3 3 5． ． C． D．
5 5 5 5
【訓練 12】（2018 北京）在平面直角坐標系中，記 d為點 P(cos ,sin )到直線 x my 2 0的距離．當 、
m變化時， d的最大值為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【訓練 13】（已知 x，y∈R，S＝ x＋1 2＋y2＋ x－1 2＋y2，則 S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D. 2
【訓練 14】求函數 y x 2 8 x 20 x 2 1 的最小值．
題型 4 對稱問題
兩點關于點對稱、兩點關于直線對稱的常見結論：
（1）點 (x , y)關于 x軸的對稱點為 (x , y)．
（2）點 (x , y)關于 y軸的對稱點為 ( x , y)．
（3）點 (x , y)關于原點的對稱點為 ( x , y)．
（4）點 (x , y)關于直線 x－y=0的對稱點為 (y , x)．
（5）點 (x , y)關于直線 x+y=0的對稱點為 ( y , x)．
（6）點 (x , y)關于直線 x－y+c=0的對稱點為 (y c , x c)．
（7）點 (x , y)關于直線 x+y+c=0的對稱點為 ( c y , c x)．
（一）點關于直線對稱
點 P(x1，y1)關于直線 l : Ax By C 0對稱的點為 P (x2 ，y2 )，連接 PP ，交 l于M 點，則 l垂直平分 PP ，
kl kPP 1
所以 PP l ，且M 為 PP

中點，又因為M 在直線 l上，故可得
A x1 x2 B y1 y
，解出 (x ，y )

2 C 0 2 2
2 2
即可．
策略：點關于直線對稱的妙解公式，設點 P(x1，y1)關于直線 l : Ax By C 0
Ax By C
對稱的點為 P (x2 ，y2 )，則 P (x2 ，y2 )坐標為 (x1 2At，y1 2Bt) ，其中 t 1 1A2 B2
．
定理 1：點 A(x0 , y0 )關于直線 l : x m對稱的點坐標為 A 2m x0 , y0 ．
點 A(x0 , y0 )關于直線 l : y n對稱的點坐標為 A x0 ,2n y0 ．
直線 l1 : Ax By C 0關于直線 l : x m對稱的直線方程為 l2 : A 2m x By C 0．
直線 l1 : Ax By C 0關于直線 l : y n對稱的直線方程為 l2 : Ax B 2n y C 0．
直線 l1 : Ax By C 0關于點 (m，n)對稱的直線方程為 l2 : A(2m x) B 2n y C 0．
定理 2：點 A x0 , y0 關于直線 l : x y C 0對稱的點坐標為 A C y0 , C x0 ．
點 A x0 , y0 關于直線 l : x y C 0對稱的點坐標為 A C y0 ,C x0 ．
直線 l1 : Ax By C 0關于直線 l : x y C 0對稱的直線方程為 l2 : A C y B C x C 0；
直線 l1 : Ax By C 0關于直線 l : x y C 0對稱的直線方程為 l2 : A C y B C x C 0；
x0 y C 0 y C x x y C 0 y C x關于定理 2，只需記住 0 或者 0 0
x y0 C 0

x C y

0 x y0 C 0

x C y0
【例 1】已知點M (a , b)與 N關于 x軸對稱，點 P與點 N關于 y軸對稱，點Q與點 P關于直線 x y 0對稱，
則點Q的坐標為（ ）
A． (a , b) B． (b , a) C． ( a , b) D． ( b , a)
【例 2】點 (1,2)關于直線 x 2y 2 0的對稱點坐標是 ( )
A． ( 1, 4) B． (3, 2) C． (0,4) D． ( 1,6)
【例 3】已知直線 l : x y 1 0 ，試求：①點 P(4 , 5)關于 l 的對稱坐標；②直線 l1 : y 2 x 3 關于
直線 l 的對稱的直線方程．
【例 4】設直線 l1 : x 2y 2 0與 l2 關于直線 l : 2x y 4 0 對稱，則直線 l2 的方程是 ( )
A．11x 2y 22 0 B．11x y 22 0 C．5x y 11 0 D．10x y 22 0
【例 5】如圖，在直角坐標系 xOy中，已知 A(3,0)， B(0,3)，從點 P(1,0)射出的光線經直線 AB反射到 y軸
上，再經 y軸反射后又回到點 P，則光線所經過的路程為 ．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 15】點 ( 1,2)關于直線 x y 4 0的對稱點的坐標為 ( )
A． ( 6, 3) B． ( 3, 6) C． ( 7, 2) D． ( 2, 7)
【訓練 16】直線 2x 3y 6 0關于點 (1,1)對稱的直線方程為 ( )
A．3x 2y 2 0 B． 2x 3y 7 0 C．3x 2y 12 0 D． 2x 3y 4 0
【訓練 17】設直線 l1 : 3x 2y 6 0，直線 l2 : x y 4 0，則 l1 關于 l2 對稱的直線方程為 ( )
A．3x 2y 14 0 B． 2x 3y 14 0 C．3x 2y 6 0 D． 2x 3y 6 0
【訓練 18】線從 P(2,0)出發，經 x 4， y x 1兩直線反射后，仍返回到 P點．則光線從 P點出發回到 P
點所走的路程長度（即圖中 PDE周長）為 ．
考向 2 圓與方程
題型 1 圓的方程
1．圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
（2）圓的標準方程
設圓心的坐標C(a，b)，半徑為 r，則圓的標準方程為： (x a)2 (y b)2 r 2
（3）圓的一般方程
D E 1
圓方程為 x2 y2 Dx Ey F 0，圓心坐標： ( ， )，半徑： r D2 E2 4F
2 2 2
① x2 ，y2的系數相同，方程中無 xy項
②對于 D、E、F的取值要求：D2 E 2 4F 0
③以 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 ) 為直徑端點的圓的方程為 (x x1) (x x2 ) (y y1)(y y2 ) 0
（4）確定圓心的位置：
①圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
③兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
（5）求圓方程的方法：
①幾何法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程
②待定系數法：
a．根據題意，選擇標準方程或一般方程；
b．根據條件列出關于 a，b，r或D，E，F 的方程組；
c．解出 a，b，r或D，E，F ，代入標準方程或一般方程
③相關點法（代入法）
若所求軌跡上的動點 P與另一個已知曲線上的動點Q存在著某種聯系，可設點 P(x，y)，用點 P 的坐標表
示出來點Q，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法（或稱代
入法）．
④換元法（參數方程法）
若圓心為點M (x0 ，y0 )，半徑為 r，則可將圓上的點換元為為 (x0 r cos ，y0 r sin ) ．其中 為參數，
0 2 ．
【例 1】“ k 4”是“方程 x2 y2 kx (k 2)y 5 0表示圓的方程”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例 2】（2022 甲卷）設點M 在直線 2x y 1 0上，點 (3,0)和 (0,1)均在 M 上，則 M 的方程為 ．
【例 3】（2022 乙卷）過四點 (0,0)， (4,0)， ( 1,1)， (4,2)中的三點的一個圓的方程為 ．
【例 4】已知圓C經過 ( 2,3)， (4,3)， (1,0)三點．
（1）求圓C的方程；

（2）設點 A在圓C上運動，點 B(7,6)，且點M 滿足 AM 2MB，記點M 的軌跡為 ，求 的方程．
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 1】方程 x2 y2 ax 2y 1 0不能表示圓，則實數 a的值為 ( )
A．0 B．1 C． 1 D．2
【訓練 2】（2016 天津）已知圓C的圓心在 x軸正半軸上，點M (0, 5)在圓C上，且圓心到直線 2x y 0的
4 5
距離為 ，則圓C的方程為 ．
5
【訓練 3】（2018 天津）在平面直角坐標系中，經過三點 (0,0)， (1,1)， (2,0)的圓的方程為 ．
【訓練 4】已知圓C的圓心在直線 x 2y 4 0上，且與 x軸交于兩點 A( 5,0)， B(1,0)．
（1）設圓C與直線 x y 1 0交于 E， F 兩點，求 | EF |的值；
（2）已知Q(2,1)，點 P在圓C上運動，求線段 PQ中點M 的軌跡方程．
題型 2 位置關系
2．位置關系
（1）點與圓的位置關系
法一 點M (x0 ，y0 )與圓O： (x a)2 (y b)2 r 2 的位置關系：
若M (x ，y )在圓外，則 (x a)2 (y b)2 r 20 0 0 0 ；若M (x0 ，y0 )在圓上，則 (x0 a)
2 (y0 b)
2 r 2 ；
若M (x ，y )在圓內，則 (x a)2 (y 2 20 0 0 0 b) r ．
法二 點M (x0 ，y0 )與圓O： (x a)2 (y b)2 r 2 的位置關系：
若M (x0 ，y0 )在圓外，則 |OM | r ，若M (x0 ，y0 )在圓上，則 |OM | r ，若M (x0 ，y0 )在圓內，則 |OM | r
（2）直線與圓的位置關系
直線與圓相交，有兩個公共點；直線與圓相切，只有一個公共點；直線與圓相離，沒有公共點．
（3）判斷直線與圓的位置關系的方法
幾何法：利用圓心到直線的距離 d和圓的半徑 r的大小關系．相交 d r；相切 d r；相離 d r
2
代數法：聯立直線方程與圓方程，得到關于 x的一元二次方程 Ax Bx C 0
0 相交
則判別式 B2 4AC

0 相切

0 相離
（4）圓與圓的位置關系
設兩個圓的半徑分別為 R，r ， R r，圓心距為 d，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征 d R r d R r R r d R r d R r d R r
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
【例 1】若點 P(1,0)在圓C : x2 y2 2x 4y m 0的外部，則m的取值可能為 ( )
A． 3 B．1 C．4 D．7
【例 2】（2022 北京）若直線 2x y 1 0是圓 (x a)2 y2 1的一條對稱軸，則 a ( )
A 1 B 1． ． C．1 D． 1
2 2
【例 3】（2021 多選 新高考Ⅱ）已知直線 l : ax by r2 0與圓C : x2 y2 r2 ，點 A(a,b) ，則下列說法正
確的是 ( )
A．若點 A在圓C上，則直線 l與圓C相切 B．若點 A在圓C外，則直線 l與圓C 相離
C．若點 A在直線 l上，則直線 l與圓C 相切 D．若點 A在圓C內，則直線 l與圓C相離
【例 4】（2016 山東）已知圓M : x2 y2 2ay 0(a 0)截直線 x y 0所得線段的長度是 2 2，則圓M 與
圓 N : (x 1)2 (y 1)2 1的位置關系是 ( )
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 5】若點 P(1,1)在圓C1x
2 y2 2x m 0的外部，則m的取值范圍為 ( )
A． ( 1,4) B． ( 4,1) C． ( 1, ) D． ( , 4)
【訓練 6】若直線 x y 1 0是圓 (x m)2 (y 1)2 1的一條對稱軸，則m ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【訓練 7】直線 l :mx y 2 m 0(m R) 與圓C : x2 (y 1)2 16的位置關系為 ．
【訓練 8】（2014 湖南）若圓C1 : x
2 y2 1與圓C2 : x
2 y2 6x 8y m 0外切，則m ( )
A．21 B．19 C．9 D． 11
題型 3 切線問題與弦長問題
（1）圓的切線方程的求法
①點M (x0 ，y0 )在圓上，
法一 利用切線的斜率 kl 與圓心O和切點M 連線的斜率 kOM 的乘積等于 1，即 kOM kl 1．
法二 圓心O到直線 l的距離等于半徑 r ．
②點M (x0 ，y0 )在圓外，則設切線方程：
y y0 k (x x0 ) ，變成一般式 kx y y0 kx0 0，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出 k．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一
條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓 x2 y2 r 2 上一點 P(x0 ，y0 )的切線方程是 x0x y0 y r
2 ；
過圓 (x a)2 (y b)2 r 2 上一點 P(x0 ，y0 )的切線方程是 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 ．
過圓 x2 y2 r 2 外一點 P(x0 ，y0 )作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為 x0x y0 y r
2
x x
過曲線上 P(x0 ，y0 )，做曲線的切線，只需把 x2 替換為 x 2
0 y
0x， y 替換為 y0 y， x替換為 ， 替換為2
y0 y即可，因此可得到上面的結論．
2
4．弦長問題
2 2 l 2
①利用垂徑定理：半徑 r ，圓心到直線的距離 d，弦長 l具有的關系 r d ( ) ，這也是求弦長最常
2
用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦
長．
③利用弦長公式：設直線 l : y kx b，與圓的兩交點 (x1，y1)，(x2 ，y2 ) ，將直線方程代入圓的方程，
消元后利用根與系數關系得弦長： l 1 k2 | x1 x2 | (1 k
2)[(x 21 x2) 4x

1x2] (1 k
2) ．
a
【例 1】（2018 新課標Ⅰ）直線 y x 1與圓 x2 y2 2y 3 0交于 A， B兩點，則 | AB | ．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知直線 x my 1 0與 C : (x 1)2 y2 4交于 A，B兩點，寫出滿足“ ABC
8
面積為 ”的m的一個值 ．
5
【例 3】（2023 新高考Ⅰ）過點 (0, 2)與圓 x2 y2 4x 1 0相切的兩條直線的夾角為 ，則 sin ( )
A 15．1 B． C 10 D 6． ．
4 4 4
【例 4】過點 P(2,4)引圓 (x 1)2 (y 1)2 1的切線，則切線的方程為 ( )
A． x 2或 4x 3y 4 0 B． 4x 3y 4 0
C． x 2或 4x 3y 4 0 D． 4x 3y 4 0
【例 5】在平面直角坐標系中，過點 P(3,0)作圓O : (x 1)2 (y 2 3)2 4的兩條切線，切點分別為 A，B．則
直線 AB的方程為 ( )
A． x 3y 3 0 B． x 3y 3 0 C． 3x y 3 0 D． 3x y 3 0
【例 6】已知圓M : (x 1)2 (y 2a)2 ( 2 1)2 與圓 N : (x a)2 y 2 ( 2 1)2 有兩條公切線，則實數 a的
取值范圍是 ( )
A ( 1,1) B ( 7 ,0) (2． ． ,1)5 3
C． ( 1, 3) D 7． ( , 1)
5 5 (
3 ,1)
5
【例 7】（2023 乙卷）已知 O的半徑為 1，直線 PA與 O相切于點 A，直線 PB與 O交于 B，C兩點，

D為 BC的中點，若 | PO | 2 ，則 PA PD的最大值為 ( )
A 1 2 B 1 2 2． ． C．1 2 D． 2 2
2 2
【例 8】（2021 多選 新高考Ⅰ）已知點 P在圓 (x 5)2 (y 5)2 16上，點 A(4,0)， B(0,2)，則 ( )
A．點 P到直線 AB的距離小于 10 B．點 P到直線 AB的距離大于 2
C．當 PBA最小時， | PB | 3 2 D．當 PBA最大時， | PB | 3 2
【例 9】已知 AB 為圓 O : x2 y2 49 的弦，且點 M (4,3) 為 AB 的中點，點 C 為平面內一動點，若
AC 2 BC 2 66，則 ( )
A．點C構成的圖象是一條直線 B．點C構成的圖象是一個圓
C．OC的最小值為 2 D．OC的最小值為 3
【解題總結】
跟蹤訓練
【訓練 9】（2022 天津）若直線 x y m 0(m 0) 與圓 (x 1)2 (y 1)2 3相交所得的弦長為 m ，則
m ．
【訓練 10】（2018 新課標Ⅲ）直線 x y 2 0分別與 x軸，y軸交于 A，B兩點，點 P在圓 (x 2)2 y2 2
上，則 ABP面積的取值范圍是 ( )
A． [2， 6] B． [4，8] C． [ 2 ，3 2] D．[2 2， 3 2]
【訓練 11】過點 (0,1)引 x2 y2 4x 3 0的兩條切線，這兩條切線夾角的余弦值為 ( )
A 2． B 1 4 3． C． D．
3 3 5 5
【訓練 12】過點 (0,2)作與圓 x2 y2 2x 0相切的直線 l，則直線 l的方程為 ( )
A．3x 4y 8 0 B．3x 4y 8 0
C． x 0或3x 4y 8 0 D． x 0或 3x 4y 8 0
【訓練 13】設點 P為直線 l : 2x y 4 0上任意一點，過點 P作圓O : x2 y2 1的切線，切點分別為 A，B，
則直線 AB必過定點 ( )
A (1 , 1) B (1 , 1) C (1, 1． ． ． ) D 1． ( ,1)
4 2 2 4 2 2
【訓練 14】已知圓C 2 21 : x y 1與圓C2 : (x 3)
2 (y 4)2 16，則兩圓的公切線條數為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
題型 4 動點與距離問題
與圓有關的長度或距離的最值問題的解法，一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形
結合求解．
y b
（1）形如 u 型的最值問題，可轉化為過點 (a，b)和點 (x，y)的直線的斜率的最值問題．
x a
（2）形如 t ax by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題．
(x a)2 2（3）形如 (y b) 型的最值問題，可轉化為動點到定點 (a，b)的距離的平方的最值問題
【例 1】直線 x y 2 0分別與 x軸， y軸交于 A， B兩點，點 P在圓 x2 y2 4x 2 0，則 PAB面積
的取值范圍是 ( )
A． [ 2,3 2] B． [2 2,3 2] C． [2， 6] D．[4，12]
【例 2】（2023 乙卷）已知實數 x， y滿足 x2 y2 4x 2y 4 0，則 x y的最大值是 ( )
A 1 3 2． B．4 C．1 3 2 D．7
2
【例 3】已知直線 l : 2x y m 0 上存在點 A，使得過點 A可作兩條直線與圓C : x2 y2 2x 4y 2 0分
別切于點M ， N，且 MAN 120 ，則實數m的取值范圍是 ( )
A． [ 5 2, 5 2] B． [ 2 5 4,2 5 4]
C． [ 15 2 3, 15 2 3] D． [0, 15 2 3]
【例 4】若直線 y x b與曲線 y 3 4x x2 有公共點，則 b的取值范圍是 ( )
A． [ 1,1 2 2] B． [1 2 2,1 2 2] C． [1 2 2,3] D．[1 2,3]
【例 5】（多選）已知實數 x， y滿足方程 x2 y2 4y 1 0，則下列說法正確的是 ( )
A． y x的最大值為 6 2 B． x2 y2的最大值為 2 3
C． x y y 3的最大值為 6 2 D． 的最大值為
x 3
跟蹤訓練
【訓練 15】圓 x2 y2 4y 3 0上的點到直線 3x 4y 2 0距離的取值范圍是 ( )
A．[1， 3] B．[2 3,4 3] C． [0， 3] D．[2 3,2 3]
【訓練 16】點 P(x, y)在圓 x2 y2 2上運動，則 | x y 3 |的取值范圍 ( )
A． [0，1] B． [0， 4] C．[1， 5] D．[1， 4]
【訓練 17】已知點 P為直線 l : x y 1 0 上的動點，若在圓C : (x 2)2 (y 1)2 1上存在兩點M ， N，
使得 MPN 60 ，則點 P的橫坐標的取值范圍為 ( )
A． [ 2，1] B． [ 1，3] C． [0， 2] D．[1， 3]
【訓練 18】若過點 P(2,4)且斜率為 k的直線 l與曲線 y 4 x2 有且只有一個交點，則實數 k的值不可能
是 ( )
A 3 B 4 C 4． ． ． D．2
4 5 3
【訓練 19】（多選）已知實數 x， y滿足方程 x2 y2 4x 1 0，則下列說法中正確的有 ( )
A． y x的最大值為 6 2 B． x2 y2的最大值為 7 4 3
C y 3． 的最大值為 D． x y的最大值為 2 3
x 2
拓展思維
拓展 1 阿氏圓
一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數 ( 0 , 1)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯
圓”．特殊地，當 1時，點 P的軌跡是線段 AB的中垂線．
求證：已知動點 P與兩定點 A、B的距離之比為 ( 0)，那么點 P的軌跡是什么？
證明：
【例 1】古希臘時期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之
比為定值 ( 1)的點所形成的圖形是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知在平面直角坐標系 xOy中，
A( 2,0)， B(4,0) P | PA | 1，點 滿足 ．當 P、 A、 B三點不共線時， PAB面積的最大值為 ( )
| PB | 2
A．24 B．12 C．6 D． 4 3
【例 2】阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓
錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研
|MQ |
究成果之一，指的是：已知動點M 與兩定點Q、 P的距離之比 ( 0, 1)，那么點M 的軌跡就
|MP |
是阿波羅尼斯圓．已知動點M 1的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為 x2 y2 1，定點Q為 x軸上一點，P( ,0)
2
且 2，若點 B(1,1)，則 2 |MP | |MB |的最小值為 ( )
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
拓展 2 米勒定理與角度問題
米勒定理：已知點M ， N是 AOB的邊OA上的兩個定點，點 P是邊OB上的一動點，則當且僅當三角形
MPN 的外接圓與邊OB相切于點 P時， MPN 最大．
證明：如圖，設 P '是邊OB上不同于點 P的任意一點，連結 P 'M ,P 'N ，P N ’交圓于點C ,因為 MP 'N
是圓外角， MPN 是圓周角，易證 MP 'N MCN MPN ,故 MPN 最大．
根據切割線定理得，OP2 OM ON ，即OP OM ON ，于是我們有： MPN 最大等價于三角形MPN 的
外接圓與邊OB相切于點 P OP2 OM ON 等價于OP OM ON .
【例 1】幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M ，N是銳角 AQB的一邊QA上的兩點，試在邊QB上
找一點 P，使得 MPN 最大．”如圖，其結論是：點 P為過M ，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的
切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系 xOy中，給定兩點M (0,2)，N (2,4)，點 P在 x軸上
移動，當 MPN 取最大值時，點 P的橫坐標是 ( )
A．2 B．6 C．2或 6 D．1或 3
【例 2】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理” )：若點 A，B是 MON 的
OM 邊上的兩個定點，C是ON邊上的一個動點，當且僅當 ABC的外接圓與邊ON相切于點C時， ACB
最大．在平面直角坐標系中，已知點 D(2,0)， E(4,0)，點 F 是 y軸負半軸的一個動點，當 DFE 最大時，
DEF 的外接圓的方程是 ( )
A． (x 3)2 (y 2 2)2 9 B． (x 3)2 (y 2 2)2 9
C． (x 2 2)2 (y 3)2 8 D． (x 2 2)2 (y 3)2 8

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