資源簡介

9.2 圓錐曲線小題篇
考向 1 橢圓雙曲線的第一定義
題型 1 橢圓第一定義
1．橢圓的第一定義
平面內與兩個定點 F1 、F2 的距離的和等于常數 2a（ 2a大于 F1F2 ）的點的軌跡；其中，兩個定點稱
做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．
設M (x , y)是橢圓上任意一點，焦點 F1( c , 0)和 F2 (c , 0)，由上述橢圓的定義可得：
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a，將這個方程移項，兩邊平方得：a2 cx a (x c)2 y2 ，兩邊再平方，
x2 y2
整理得： 2 1 a b 0 a b2
x2 y2
2 1 a b 0 中心在原點，焦點在x軸上；
1. a b
2
注意： 橢圓的標準方程 2 2
y x
2 1 a b 0 中心在原點，焦點在y軸上． a b2
x2 y2
后面我們僅以 2 2 1 a b 0 展開性質介紹分析．a b
2.頂點 A1( a , 0)， A2 (a , 0) ， B1(0 , b) ， B2 (0 , b)．
3. 長軸和短軸 長軸為 2a，短軸為 2b，注意區分長半軸為 a，短半軸為 b．
4. 焦點 F1( c , 0)， F2 (c , 0)．
5. 焦距 F1F2 2c(c 0) ，同時： c
2 a2 b2 ．
c
6. 離心率 e 0 e 1 ；離心率越大，橢圓越扁．
a
橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數據．因為 a c 0，所以 e的取值范圍是 0 e 1；
①e越接近 1，則 c就越接近 a，從而 b a2 c2 越小，因此橢圓越扁；
②e越接近于 0，c就越接近 0，從而 b越接近于 a，這時橢圓就越接近于圓．
7.P為橢圓上一點，則 PF PF | PO |2 c2 [b21 2 c
2，b2 ] (利用極化恒等式證明).
【例 1】兩個焦點的坐標分別為 ( 3,0)， (3,0)的橢圓上的任一點到兩焦點的距離之和為 8，則橢圓的標準
方程為 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A x y． 1 B． 1 C． 1 D． 1
16 9 16 7 9 16 7 16
2 2
【例 2】（2021 x y 新高考Ⅰ）已知 F1 ，F2 是橢圓C : 1的兩個焦點，點M 在C上，則 |MF1 | |MF2 | 的9 4
最大值為 ( )
A．13 B．12 C．9 D．6
題型 2橢圓最值問題：
一．橢圓最值問題：
1.若 Q 在橢圓外，求 PQ PF1 最小值，則構造 PQ 2a PF1 2a PQ PF2 2a,利用三點共線求最值
（如左圖所示），當且僅當 P、Q、F2 三點共線時等號成立.此類型的題目叫做聲東擊西，即問左焦點，則連
接右焦點，問右焦點則連左焦點，三點共線是關鍵．
2.若 Q 為橢圓外一定點（如右圖所示），則 QF1 PQ PF1 2a QF2 ，當且僅當 P1 、F1 、Q三點共線時，
左邊等號成立，當且僅當Q、F2、P2 三點共線時（ P2 位于QF2 延長線上），等號成立.
3. 若 Q 為橢圓內一定點（如下圖所示），則 2a QF2 PQ PF1 2a QF2 ，當且僅當 P1 、Q、F2 三點共
線時，左邊等號成立，當且僅當 P2 、F2、Q三點共線時（ P2 位于QF2 延長線上），右邊等號成立，
x2 y2
【例 3】已知橢圓C : 1的左、右焦點分別為 F1 ， F2 ，M 為C上任意一點， N為圓4 3
E : (x 5)2 (y 4)2 1上任意一點，則 |MN | |MF1 |的最小值為 ．
2 2
【例 4 x y】已知 F 是橢圓C : 1的左焦點，P為橢圓C 上任意一點，點Q坐標為 (4,4)，則 | PQ | | PF |
16 15
的最大值為 ( )
A． 41 B．13 C．3 D．5
跟蹤訓練
【訓練 1】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是 (0,5) ， (0, 5) ，橢圓上一點 P到兩個焦點的距離之和為 26，則
該橢圓方程為 ．
2
【訓練 2】若點 P在橢圓C : x y21 1上，C1 的右焦點為 F ，點Q在圓C : x
2 y22 10x 8y 39 0上，2
則 | PQ | | PF |的最小值為 ．
x2 y2
【訓練 3】設橢圓 2 2 1(a b 0) 的左、右焦點分別為 F1 、F2 ，其焦距為 2c
a
，點Q(c, )在橢圓內部，
a b 2
點 P是橢圓上動點，且 | PF1 | | PQ | 6 | F1F2 |恒成立．則橢圓離心率的取值范圍是 ．
題型 3 雙曲線第一定義
雙曲線的第一定義
平面內與兩個定點 F1 、F2 的距離的差的絕對值等于常數且小于 F1F2 的點的軌跡；其中，兩個定點叫
做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距．
注意： PF1 PF2 2a與 PF2 PF1 2a（ a 0 ）分別表示雙曲線的一支．若有“絕對值”，點的軌跡表
示雙曲線的兩支；若無“絕對值”，點的軌跡僅為雙曲線的一支；
2
x c 2 y2 x c 2 y2 2a x y
2
根據 ，化簡得： 2 2 1 a,b 0 .a b
x2 y2
2 2 1 a,b 0 中心在原點，焦點在x軸上； a b
注意：1.雙曲線的標準方程： y2 x2
1 a,b 0 中心在原點，焦點在 y軸上． a2 b2
2．頂點： A1( a , 0)， A2 (a , 0) ．
3．實軸和虛軸 實軸長為 2a，虛軸長為 2b；
4．焦點 F1( c , 0)， F2 (c , 0)．
5．焦距 F1F2 2c(c 0) ，滿足關系式： c
2 a2 b2．
y
B2
F A1 1 O A2 F x2
B1
6. c離心率 e e 1 ，離心率越大，開口越大；
a
7. P為雙曲線上一點，則 PF1 PF2 | PO |
2 c2 [ b2， ) (利用極化恒等式證明).
【例 1】已知點M ( 5,0)， N ( 5,0)，動點 P滿足條件 | PM | | PN | 4 ．則動點 P的軌跡方程為 ( )
A x
2 2
． y2 1(x 2) B x． y2 1(x 2)
2 2
C x
2 x2
． y2 1(x 2) D． y2 1(x 2)
4 4
題型 4 雙曲線最值問題：求 PQ PF1 最值，則構造 PQ 2a PF2 2a PQ PF2 2a，當且僅當
P、Q、F2 三點共線時等號成立.（如下圖所示）．
1
注意：由于橢圓和雙曲線的第二定義已經不在高考范圍內，形如“ PM PF ”的最值已經不是考試的
e
常考范圍，關于問焦點則連接準線的類型題目只適合拋物線，這里不做詳述．其它雙曲線最值類比橢圓，
畫圖仔細分析即可.
2 A( 1,4) F x2 y
2
【例 】已知 ， 是雙曲線 1的左焦點， P是雙曲線右支上的動點，則 | PF | | PA | 的最
3
小值為 ．
3 F F C : x
2
【例 】已知 1 、 2 分別是雙曲線 y
2 1的左、右焦點，動點 P 在雙曲線的左支上，點Q為圓
4
G : x2 (y 2)2 1上一動點，則 | PQ | | PF2 | 的最小值為 ．
跟蹤訓練
【訓練 4】平面內有兩個定點 F1( 5,0) 和 F2 (5,0) ，動點 P滿足條件 | PF1 | | PF2 | 6，則動點 P的軌跡方程
是 ( )
x2 y2 x2 2A y． 1(x 4) B． 1(x 3)
16 9 9 16
x2 y2 2 2C． 1(x 4) D x y． 1(x 3)
16 9 9 16
2
【訓練 5】設M x為雙曲線C : y2 1上一動點，F1 、F2 為上、下焦點，O為原點，則下列結論正確的是3
( )
A．若點 N (0,8) ，則 |MN |最小值為 7
B 1．若過點O的直線交C 于 A、 B兩點 (A、 B與M 均不重合），則 kMAkMB 3
C．若點Q(8,1)，M 在雙曲線C 的上支，則 |MF2 | |MQ |最小值為 2 65
D．過 F1 的直線 l交C于G、H 不同兩點，若 |GH | 7 ，則 l有 4 條
考向 2 橢圓雙曲線的第二定義
題型 1 橢圓第二定義與焦半徑公式
1．橢圓的第二定義
平面內與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數 e(0 e 1) 的點的軌跡，其中，定點為焦
點，定直線叫做準線，常數 e叫做離心率．
2
設M (x , y) a c是橢圓上任意一點，定點為 F1( c , 0)，定直線為 x ，常數 e ，由上述橢圓的定義可c a
(x c)2 y 2 c
得： ，變形即可．
a2 a
x
c
焦半徑 橢圓上的點到焦點的距離；設 P(x0 , y0 )為橢圓上的一點，
PF1 a ex0 PF1 a ey① 0焦點在 x軸：焦半徑 (左加右減)；② 焦點在 y軸：焦半徑 (上加下減)．
PF2 a ex0 PF2 a ey0
注意：利用第二定義快速進行證明，結合圖像，長的加，短的減。
注意：焦半徑公式，在大題中不能直接使用，大題建議使用余弦定理推導。
25 4
【例 1】點M 與定點 F (4,0) 的距離和它到定直線 x 的距離之比是常數 ，則M 的軌跡方程為 ( )
4 5
x2 2 2A y 1 B x y
2
． ． 1
4 9 9 3
x2 y2 x2C y
2
． 1 D． 1
25 9 25 16
x2 y2
【例 2】已知 P(x, y) 是橢圓 1上一點， F1 ， F2 為橢圓的兩個焦點，則 PF1 PF2 的最大值與最小值4 3
的差是 ．
【例 3】平面內到定點 F (5,0) 16及到定直線 x 的距離之比為 5 : 4 的點的軌跡方程是 ( )
5
x2 y2 x2 2 2 2A 1 B y 1 C y x 1 D y
2 x2
． ． ． ． 1
16 9 9 16 16 9 9 16
x2 y2
【例 4】設 F1 、F2 為橢圓 : 1的兩個焦點，P為 上一點且在第二象限．若 | PF1 | | F1F2 |，則點 P25 21
的坐標為 ．
跟蹤訓練
【訓練 1】動點 P(x, y)到點 (1,0) 3的距離與到定直線 x 3的距離之比是 ，則動點 P的軌跡方程是 ．
3
x2 y2
【訓練 2】已知橢圓 1的焦點為 F1 ，F2 ，橢圓上的動點 P坐標 (x0 ， y0 )在第一象限，且 F PF9 4 1 2
為
銳角，則 x0 的取值范圍為 ．
x23 y
2
【訓練 】若雙曲線 1上一點 P到它的右焦點的距離是 8，則點 P到它的右準線的距離是 ．
64 36
x2 2
【訓練 4】（2010 江西）點 A(x y0 ， y0 )在雙曲線 1的右支上，若點 A到右焦點的距離等于 2x ，則4 32 0
x0 ．
考向 3 橢圓雙曲線的第三定義
題型 1 橢圓雙曲線第三定義與點差法
1．橢圓的第三定義
b2 2
已知關于原點對稱的兩個定點，那么到這兩定點連線的斜率之積為定值 2 或e 1(0 e 1) 的點的軌a
跡是橢圓，通常這兩個定點分別為長軸或者短軸頂點．
c
另一方面，設M (x , y)是橢圓上任意一點，兩個定點為 A1(x1 , y1) 、 A2 ( x1 , y1) ，常數 e ，a
k k y y
2 2 2 2
1 y y1 y y1 x y 2 2 b
2x2
MA 1 MA 2 x x x x x 2 2
，根據橢圓方程：將 2 2 1 a b 0 ，變形成 y b ，所以
1 1 x1 a b a
2
b2kMA kMA 2 ，橢圓上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數．1 2 a
若橢圓與直線 l交于 AB兩點，其中 A(x1 ，y1) ， B(x2 ，y2)，M (x0 ，y0) ，為 AB中點，
1 k k b
2
定理 ： AB OM 2 （橢圓）；a
2．雙曲線的第三定義
b2 2
到關于原點對稱的兩個定點連線的斜率之積為定值 2 或e 1(e 1)的點的軌跡是雙曲線；通常定點為a
實軸或虛軸頂點，定值為正值．
另一方面，設 M (x , y) c是雙曲線上任意一點，兩個定點為 A1(x1 , y1) 、 A2 ( x1 , y1) ，常數 e ，a
y y y y y2 y2 x2 y2 b2x2kMA kMA 1 1 1 ，根據雙曲線方程：將 1 a,b 0 ，變形成 y2 b2 ，所以1 2 x x x x x2 x2 2 2 21 1 1 a b a
b2kMA kMA 2 ，雙曲線上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數．1 2 a
若雙曲線與直線 l交于 AB兩點，其中 A(x1 ，y1) ， B(x2 ，y2)，M (x0 ，y0) ，為 AB中點，
b2
定理 1： kAB kOM （雙曲線）a2
y y
B B M
M A
A
O x O x
C
C
x2 y2
【例 1】（2022 甲卷）橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的左頂點為 A，點 P，Q均在C上，且關于 y軸對稱．若a b
1
直線 AP， AQ的斜率之積為 ，則C的離心率為 ( )
4
A 3 2 1 1． B． C． D．
2 2 2 3
x2 y2
【例 2】（2013 新課標Ⅰ）已知橢圓 E : 2 2 1(a b 0) 的右焦點為 F (3,0)，過點 F 的直線交橢圓 E于a b
A、 B兩點．若 AB的中點坐標為 (1, 1)，則 E的方程為 ( )
x2 y2 2 2A． 1 B x y． 1
45 36 36 27
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
27 18 18 9
x2 y2
【例 3】已知點 A， B是雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 上關于原點對稱的任意兩點，點 P在雙曲線上（異a b
A B PA PB 5c 4a于 ， 兩點），若直線 ， 斜率之積為 ，則雙曲線的離心率為 ( )
2a
A 3． B．2 C 5． D．3
2 2
x2 y2 1
【例 4】已知橢圓 C : 2 2 1(a b 0) 的離心率為 ，點 A ， B 是橢圓 C 的長軸頂點，直線a b 2
x m( a m a) 與橢圓C 交于 P，Q兩點，記 k1 ， k2 分別為直線 AP和直線 BQ的斜率，則 | k1 4k2 | 的
最小值為 ( )
A 3． B． 3 C． 2 3 D． 4 2
4
2 2
【例 5 x y】（2022 新高考Ⅱ）已知直線 l與橢圓 1在第一象限交于 A， B兩點， l與 x軸、 y軸分別
6 3
相交于M ， N兩點，且 |MA | | NB |， |MN | 2 3 ，則 l的方程為 ．
跟蹤訓練
x2 y2
【訓練 1】橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的左頂點為 A，點 P，Q均在C上，且關于 y軸對稱．若直線 AP，a b
AQ 1的斜率之積為 ，則C的離心率為 ( )
3
A 1 3． B． C 2 6． D．
3 3 3 3
2 2
【訓練 2】（2014 江西）過點M (1,1) 1 x y作斜率為 的直線與橢圓C : 1(a b 0) 相交于 A，B兩點，
2 a2 b2
若M 是線段 AB的中點，則橢圓C的離心率等于 ．
【訓練 3】過原點的直線 l與雙曲線 x2 y2 6交于 A， B兩點，點 P為雙曲線上一點，若直線 PA的斜率
為 2，則直線 PB的斜率為 ( )
A 1 1．4 B．1 C． D．
2 4
x2 y2
【訓練 4】已知雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)上有不同的三點 A，B，P，且 A，B關于原點對稱，直a b
線 PA， PB 1的斜率分別為 kPA， kPB ，且 kPA kPB ( ,1)，則離心率 e的取值范圍是 ．4
x2 y2
【訓練 5】已知點 P在橢圓T : 2 2 1(a b 0) 上，點 P在第一象限，點 P關于原點O的對稱點為 A，a b
3
點 P關于 x軸的對稱點為Q，設 PD PQ，直線 AD與橢圓T 的另一個交點為 B，若 PA PB，則橢圓T
4
的離心率 e ( )
A 1． B 2 3 3． C． D．
2 2 2 3
拓展：中點弦存在定理
x2 y2 2 2
1. 在橢圓 2 2 1(a b 0) 中，只需要 AB 中點M (x
x y
0，y0 )在橢圓內，即 02
0
2 1；a b a b
b b
x2 y2 k OM 2 2
kOM
a x y a
2. 在雙曲線 2 2 1(a 0，b 0) 中，一定有① 或
0
2
0
a b 2
0；② 2 2

k
b
a b x0 y0AB 1 a a2 b2
y2
【例 6】（2023 乙卷）設 A，B為雙曲線 x2 1上兩點，下列四個點中，可為線段 AB中點的是 ( )
9
A． (1,1) B． ( 1,2) C． (1,3) D． ( 1, 4)
x27 y
2
【例 】已知雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0) 的實軸長為 4，離心率為 2 ，直線 l與C交于 A， B兩點，a b
M 是線段 AB的中點，O為坐標原點．若點M 的橫坐標為 1，則 |OM | 的取值范圍為 ．
跟蹤訓練
y2
【訓練 6】已知雙曲線 x2 1，過點 P(1,1)的直線 l與該雙曲線相交于 A， B兩點，若 P是線段 AB的
2
中點，則直線 l的方程為 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D．該直線不存在
考向 4 橢圓雙曲線的焦點三角形
1．橢圓的焦點三角形問題
x 2 y 2
周長問題:過橢圓 2 2 1 a b 0 的左焦點F1的弦 AB與右焦點F2圍成的三角形△ABF2 的周長是 4a；a b
2 2
角度問題: x y①已知橢圓 2 2 1 a b 0 的左、右兩焦點分別為 F1 、F2 ，P是橢圓上一動點，在焦點三a b
角形 PF1F2 中，若 F1PF2 最大，則點 P為橢圓短軸的端點．
證明 S 2△PF F b tan
F1PF2 c yP ，故當 yP 取得最大值 b時，當點 P位于短軸端點時， F1PF2 取1 2 2
得最大值。
x2 y2
②已知橢圓 2 2 1 a b 0 的左、右兩焦點分別為 F1 、F2 ，若橢圓上存在一點 P，使得 F1PF2 ，a b

則橢圓離心率 e sin ,12
．

x2 y2
面積問題:橢圓 2 2 1(a b 0)焦點為 F1 ， F2 ，P為橢圓上的點， Fa b 1
PF2 ，如圖 1，
S b2 sin 則 F PF b
2 tan （靈動橢圓焦點三角形面積公式）
1 2 1 cos 2
圖 1
2.雙曲線焦點三角形性質
x2 y 2
雙曲線 2 2 1(a 0，b 0) 的焦點為 F1、F2， B為雙曲線上的點， F1BF2 ，如圖，則a b
2
S b 2 sin b△F BF （靈動雙曲線焦點三角形面積公式）．1 2 1 cos a tan
2
x2 y2
【例 1】（2021 甲卷）已知 F1 ，F2 為橢圓C : 1的兩個焦點，P，Q為C 上關于坐標原點對稱的兩16 4
點，且 | PQ | | F1F2 |，則四邊形 PF1QF2 的面積為 ．
2
【例 2】（2020 y 新課標Ⅰ）設 F1 ， F2 是雙曲線C : x
2 1的兩個焦點，O為坐標原點，點 P在C 上且
3
|OP | 2，則△ PF1F2 的面積為 ( )
A 7 B 5． ．3 C． D．2
2 2
2 2
【例 3 x y】（2019 新課標 II）已知 F1 ， F2 是橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的兩個焦點， P為C 上的點，O為a b
坐標原點．
（1）若△POF2 為等邊三角形，求C 的離心率；
（2）如果存在點 P，使得 PF1 PF2 ，且△ F1PF2 的面積等于 16，求 b的值和 a的取值范圍．
x2 y2
【例 4】已知 F 是橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的一個焦點，若橢圓上存在關于原點對稱的 A，B兩點滿足a b
AFB 90 ，則橢圓C離心率的取值范圍是 ( )
A． [ 3 ,1) B 2 2 3． (0, ] C． [ ,1) D． (0, ]
2 2 2 2
x2 y2
【例 5】 F1 、 F2 是雙曲線 E : 2 2 1(a,b 0)的左、右焦點，點M 為雙曲線 E右支上一點，點 N在 x軸a b

上，滿足 F1MN F2MN 60 ，若 3MF1 5MF2 MN ( R) ，則雙曲線 E的離心率為 ( )
A 8． B 6 5 7． C． D．
7 5 3 2
跟蹤訓練
2 2
【訓練 1 x y】已知點 F1 是橢圓 2 2 1(a b 0) 的左焦點，過原點作直線 l交橢圓于 A、B兩點，M 、Na b
分別是 AF1 、 BF1的中點，若 MON 90 ，則橢圓離心率的最小值為 ( )
A 1 B 3 C 1 D 2． ． ． ．
4 4 2 2
x2 y2
【訓練 2】已知 F 是橢圓 E : 2 2 1(a b 0) 的左焦點，經過原點O的直線 l與橢圓 E交于 P，Q兩點，a b
若 | PF | 5 |QF | 且 PFQ 120 ，則橢圓 E的離心率為 ( )
A 7 1 21 21． B． C． D．
6 3 6 5
3.橢圓雙曲線共焦點問題
圖 17
2 2 2 2
橢圓雙曲線共焦點三角形的問題：如圖 17 x y x y，橢圓 2 2 1和雙曲線 2 2 1共焦點，由于兩個式子 a,ba b a b
x2 y2 2 2
不同，將橢圓寫成 1(m 0,n 0) x y，雙曲線寫成 1( p 0,q 0) 可以知道
m n p q
S n sin =q sin n = q cos n q△F PF ， PF PF m p n q1 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos n q 1 2
2c F1F2 2c F F①當 PF1 PF2 時，橢圓和雙曲線的離心率 e橢 ;e
1 2 ；
2a PF 雙1 PF2 2a PF1 PF2
2 2 2 21 1 PF1 + PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF2
e 2
2
e 2 2 2
橢 雙 F1F2 F1F2 F F
2
1 2
2 2
F PF 1-cos 1 cos
sin cos
②當 2 21 2 時，一定有 2 2 2 2 2 1 ．e e
橢 雙
e e
橢 雙
1
1 1 1 2 2
a2橢 c
2 c2 a2 e2 e2 sin cos
證明： 雙 橢 雙 2 2 1．
1 cos 1 cos 2cos2 2sin2 e
2 2
橢 e雙
2 2
【例 6】（2014 湖北卷）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點 F1 、F2 ，P是它們的一個交點，且 F1PF2 60 ，記
1 1
橢圓和雙曲線的離心率分別為 e1， e2 ，則 的最大值為 ．e1 e2
7 x
2 y2 2 2
【例 】（多選）P是橢圓C1 : 2 2 1(a b 0) 與雙曲線C :
x y
2 2 2 1(m 0,n 0)在第一象限的交點，a b m n
且C1 ，C2 共焦點 F1 ， F2 ， F1PF2 ，C1 ，C2 的離心率分別為 e1， e2 ，則下列結論正確的是 ( )
A 1 3． | PF1 | a m， | PF2 | a m B．若 60 ，則 2 4e1 e
2
2
C n．若 90 ，則 e21 e
2
2 的最小值為 2 D． tan 2 b

【訓練 3】已知橢圓和雙曲線有共同的焦點 F1 ，F2 ，P是它們的一個交點，且 F1PF2 ，記橢圓和雙曲3
1
線的離心率分別為 e1， e2 ，則 的最大值是 ( )e1e2
A 2 3 B 4 3． ． C．2 D．3
3 3
4.有關|PF1|·|PF2|的結論
2 2
（1）.設 F x y1 、F2 是橢圓 2 2 1 a b 0 的兩個焦點，O是橢圓的中心，P是橢圓上任意一點， F1PF2 ，a b
PF PF a2 b2 OP 2 2b
2
則 1 2 ．1 cos
2 2
（2）. x y設 F1 、F2 是雙曲線 2 2 1 a 0 , b 0 的兩個焦點，O是雙曲線的中心，P是雙曲線上任意一點，a b
2
F1PF2 ，則 PF1 PF2 b
2 a2 + OP 2 2b ．
1 cos
（3）. 2等軸雙曲線滿足： PO PF1 PF2 ；
2 2
證明：（1）. PF1 PF2 (a ex0 )(a ex ) a
2 c
0 2 x
2 b
0 a
2 (1 )x 2 a2 b2 22 0 OP ，利用等面積法，a a
1 2b2S PF F PF1 PF2 sin b
2 sin ，故 PF1 PF2 ；也可以利用中線定理，1 2 2 1 cos 1 cos
2 OP 2 2c2 PF 2 PF 2 ( PF PF )2 2 PF 2 2 21 2 1 2 1 PF2 ，從而 PF1 PF2 a b OP
b2 2
（2）. PF1 PF
2 2 2
2 e x0 a x
2 x 2 a20 b
2 a2 + OP ，或者利用中線定理，
a2 0
2 OP 2 2c2 PF 2 PF 21 2 ( PF1 PF )
2 2 PF 2 2 22 1 PF2 ，整理得 PF1 PF2 b a + OP ，再利用等面
1 sin 2b2
積法 S 2 PF F PF1 PF2 sin b ，故 PF PF 1 2 2 1 cos 1 2 1 cos
（3）.由于等軸雙曲線滿足 a b，所以 PF1 PF2 b
2 a2 + OP 2 OP 2 ．
2 2
【例 8】（2023 x y 3 甲卷）已知橢圓 1，F1 ，F2 為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cos F PF ，9 6 1 2 5
則 | PO | ( )
A 2 B 30 C 3 35． ． ． D．
5 2 5 2
2
【例 9】（多選）已知雙曲線 E : x2 y 1 3的左、右焦點分別為 F1 、F2 ，過點C(1, ) 的直線 l與雙曲線 E的3 2
左、右兩支分別交于 P、Q兩點，下列命題正確的有 ( )
A．當點C為線段 PQ的中點時，直線 l的斜率為 3
B．若 A( 1,0)，則 QF2A 2 QAF2
C． | PF1 | | PF2 | | PO |
2
D 2 3．若直線 l的斜率為 ，且 B(0, 3)，則 | PF1 | |QF1 | | PB | |QB |3
2 2
【例 10】已知橢圓C : x y2 2 1(a b 0) 的兩焦點 F1 ， F2 ，若橢圓C上存在點 P，a b
2
使得 | PO |2 |OF |2 a1 (O為原點）， | PF
2
1 | | PF2 |
2 4a2 3b2 ，則橢圓C的離心率的取值范圍是 ．
6
x2 y2
【訓練 4】已知點 P是雙曲線 2 2 1 a 0,b 0 上的動點， F1 、F2 是其左、右焦點，O坐標原點，若a b
PF1 PF存在四個點 P滿足 2 6 ，則此雙曲線的離心率取值范圍 ．
OP
2 2
【訓練 5】已知橢圓C : x y 1(a b 0) 的焦點為 F 2
a2 b2 1
，F2 ，若點 P在橢圓上，且滿足 | PO | | PF1 | | PF2 |
（其中O為坐標原點）的 P的個數 ( )
A．0 B．2 C．4 D．8
考向 5 橢圓雙曲線的焦點弦問題
1. 橢圓焦長公式：
x 2A y
2
是橢圓 2 2 1 a b 0 上一點， Fa b 1
、 F2 是左、右焦點， AF1F2 為 ， AB過 F1 ，c是橢圓半

1 AF b
2 2
2 BF b 3 AB 2ab
2 2ab2
焦距，則（ ） 1 ；（ ） 1 ；（ ） 2 2 2 ．a c cos a c cos a c cos b2 c2 sin 2
2．雙曲線的焦長公式
x2 y2
周長問題：雙曲線 2 - 2 = 1（ a 0， b 0 ）的兩個焦點為 F1 、 F2 ，弦 AB過左焦點 F1 （ A、 B都在左a b
支上）， AB l，則△ABF2 的周長為 4a 2l（如下圖）
2ab2
焦長公式：（1）當 AB 1交雙曲線于一支時， | AB |= 2 2 2 ， a
2 - c2 cos2 a > 0 1< e < （圖左）
a - c cos a cosa
2
（2）當 AB交雙曲線于兩支時， | AB | 2ab= ， a2 - c2 cos2 a 0 e 12 2 2 < > （圖右）c cos a - a cosa
雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：
b2 lb2 l -1 l +1 b2
令 AF1 = l F1B ，即 = ecosa = l > 1 ，代入弦長公式可得 AF =
( ) ．
a - c cosa a + c cosa l +1 ( ) 1 2a
b2 lb2 ecosa l +1
l -1 b2
若交于兩支時， = = l > 1 ，代入弦長公式可得 AF = ( ) ．
ccosa - a a + ccosa l -1 ( ) 1 2a
2 2
【例 1】設橢圓C : y x 1的焦點分別為 F1 ， F2 ，過 F2 的直線與橢圓相交于 A， B兩點，則 ABF1 的16 12
周長為 ( )
A．6 B．8 C．10 D．16
y2
【例 2】已知雙曲線C : x2 2 1(m 0) 的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ，直線 l經過 F2 且與C的右支相交于m
A， B兩點，若 | AB | 2，則 ABF1 的周長為 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2 2
【例 3 x y】過橢圓 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一個焦點 F作弦 AB，若 | AF |= d1，| BF |= d
1 1
2 ，則 的數值為a b d1 d2
（ ）
A 2b B 2a C a + b． 2 ． 2 ． 2 D．與 a、 b斜率有關a b a
2 2
【例 4】已知橢圓C : x y2 2 1(a b 0) 的左右焦點為 F1 ， F2 ，過 F1 的直線交橢圓C于 P，Q兩點，若a b
4 PF1 F1Q，且 | PF2 | | F1F3 2
|，則橢圓C的離心率為 ．
【例 5】（2019 新課標Ⅰ）已知橢圓C的焦點為 F1( 1,0)， F2 (1,0)，過點 F2 的直線與橢圓C交于 A， B兩
點．若 | AF2 | 2 | F2B | ， | AB | | BF1 |，則C的方程為 ( )
A x
2 2 2 2 2 2 2
． y2 1 B x y 1 C x y． ． 1 D x y． 1
2 3 2 4 3 5 4
2 2
【例 6】（2022 x y 新高考 1）已知橢圓C : 1(a b 0) ，C的上頂點為 A，兩個焦點為 F ， F ，離心
a 2 b 2 1 2
1
率為 ，過 F1 且垂直于AF2 的直線與C交于點D， E兩點， DE 6 ，則△ADE的周長是 ．2
2 2
【例 7 x y】（多選）已知橢圓 E : 1，過橢圓 E的左焦點 F1 的直線 l1 交 E于 A， B兩點（點 A在 x軸4 3
的上方），過橢圓 E的右焦點 F2 的直線 l2 交 E于C， D兩點，則 ( )

A．若 AF1 2F1B，則 l k
6 27
1 的斜率 B． | AF2 1
| 4 | BF1 |的最小值為 4
C．以 AF 為直徑的圓與圓 x2 y21 4
288
相切 D．若 l1 l2 ，則四邊形 ADBC 面積的最小值為 49
跟蹤訓練
x2 2
【訓練 1】橢圓C : y2 2 1(a b 0) 左右焦點分別為 F1 、F2 ，焦距為 2，直線 l經過 F2 交橢圓于 A，Ba b
兩點，若 ABF1 的周長為 12，則橢圓標準方程為 ( )
x2 x2 x2 y2 x2A y2 y
2
． 1 B． y2 1 C． 1 D． 1
3 4 9 5 9 8
【訓練 2】已知雙曲線C : x2 y2 1的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ，若左支上的兩點 A，B與左焦點 F1 三點
共線，且 ABF2 的周長為 8，則 | AB | ( )
A．2 B．3 C．4 D．6

【訓練 3】已知 F1 ， F2 為橢圓的焦點且 | F1F2 | 2 5 ，M ， N是橢圓上兩點，且MF1 2F1N ，以 F1F2 為直
徑的圓經過M 點，則 MNF2 的周長為 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
C : x
2 y2
【訓練 4】已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的左焦點為 F1 ，直線 y kx(k 0) 與雙曲線C交于 P，Q兩a b
2
點，且 PFQ 2 1 b1 ， PF1 F1Q 4 ，則當 a
2 2 取得最小值時，雙曲線C的離心率為 ( )3 2 a
A．3 B． 3 C．2 D． 2
x2 y2
【訓練 5】（多選）在平面直角坐標系 xOy中，已知 F1 ，F2 分別是橢圓C : 1的左，右焦點，點 A，4 2

B是橢圓C 上異于長軸端點的兩點，且滿足 AF1 F1B，則 ( )
A． ABF2 的周長為定值 B． AB的長度最小值為 1
C．若 AB AF2 ，則 3 D． 的取值范圍是 [1， 5]
3.雙曲線漸近線與焦點弦相關
x2 y2
雙曲線 1 a 0 , b 0 的焦點到漸近線的距離為定值 b，如左圖所示，由于漸近線 OP的斜
a2 b2
b
率為 ，又 OF c， a2 b22 c
2 ，顯然 PF2的長度是定值 b．
a
x2 y2
如右圖所示，過雙曲線 2 2 1 a 0 , b 0 的左焦點 F ( c , 0) (c 0)作圓 x
2 y21 a
2 的切線，切
a b
2 2
點為 P b a，那么，點 P在漸近線 y x上，也在左準線 x 上，即點 P a ab ,a c c c
．

y
P
F O F x1 2
2
x a
c
x2 y2
【例 8】（2018 新課標Ⅲ）設 F1 ，F2 是雙曲線C : 2 2 1(a 0，b 0)的左，右焦點，O是坐標原點．過a b
F2 作C的一條漸近線的垂線，垂足為 P，若 | PF1 |= 6 |OP | ，則C的離心率為（ ）
A． 5 B． 2 C． 3 D． 2
2
9 2023 x y
2
【例 】（ 天津）雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ．過 F2 作其中一條漸近線a b
的垂線，垂足為 P．已知 | PF2 | 2，直線 PF
2
1的斜率為 ，則雙曲線的方程為 ( )4
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
8 4 4 8 4 2 2 4
【例 10】（2022 乙卷）雙曲線C的兩個焦點為 F1 ， F2 ，以C的實軸為直徑的圓記為 D，過 F1 作 D的切線
與C交于M N cos F NF 3， 兩點，且 1 2 ，則C的離心率為 ( )5
A B x
2 y2
、 是雙曲線 2 2 1左支上兩點， F1 是左焦點， AF1O為 ， AB過 F1 ，c是雙曲線半焦距，a b
如左圖，
2 2 2 2
由于 cos b b b b b ，如右圖所示， AF ， BF ;
c 2 a ccos a b 2 a ccos a b
2
A x y
2
是雙曲線 2 2 1左支上一點，B 是雙曲線右支上一點， F1 是左焦點， AF1O為 ， AB過 F ，a b 1
2
c b b a是雙曲線半焦距，如圖，由于交兩支時，有 k ，平方得：tan 2 2 ，即 cos ，故 a ccos 0a a c
cos b b
2 b2 2 2
由于 ，如右圖所示， AF2 ， BF
b b
;
c a ccos a b 2 ccos a b a
x2 y2
【例 11】已知雙曲線 E : 2 2 1(a 0，b 0)的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ，過 F2 作 E的一條漸近線的垂a b
線，垂足為T，交 E的左支于點 P．若T恰好為線段 PF2 的中點，則 E的離心率為（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
x2 y2
【例 12】已知雙曲線 2 2 1 (a 0，b 0)的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ，以OF1 為直徑的圓與雙曲線的a b
一條漸近線交于點M （異于坐標原點O），若線段MF1交雙曲線于點 P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心
率為（ ）
A． 2 B． 3 C 6． D． 6
2
跟蹤訓練
x2 y2
【訓練 6】已知雙曲線 2 2 1(a 0，b 0) 的右焦點為 F ，過 F 作雙曲線兩漸近線的垂線，垂足分別a b
為點 A， B（ A， B分別在一、四象限），若 2 | AB |=| FA | ，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． 2 B． 2 3 C． 4 D． 4 3
x2 y2
【訓練 7】已知雙曲線C : 2 2 2
a2
2 1(a 0,b 0) 的左，右焦點分別為 F1 ，F2 ，過 Fb 1
的直線與圓 x y a
相切于點Q，與雙曲線的右支交于點 P，若線段 PQ的垂直平分線恰好過右焦點 F2 ，則雙曲線C的離心率
為 ( )
A 13 B 13． ． C 5． D．2
2 3 2
4.焦點弦與直角三角形相關
1
如左圖所示，橢圓若 AF2 AB，且 AF1 F1B， AF1F2 ，我們可以借助公式 ecos 可得 1
c 1 b2 1 1
來求出 a和 b的關系，由于 1，從而求出離心率．
a 2 a 2c 1
如右圖所示，若 BF2 AC ， AB 過原點，且 AF2 F2C(0 1) ，通過補全矩形，可得 AF1 AC，
AF 1 b
2 1 c 1 b2 1 1
2 ，借助公式 ecos 可得 來求出 a和b的關系，從而求出離心2 a 1 a 2 a 2c 1
率．
2
注意：若直線 AB交雙曲線兩支于 A、 B兩點， AF FB ( 1) ，則 AF 1 b ， AFF ' 時，
2 a
ecos 1 ，本節前面已經論述.
1
13 C : x
2 y2
【例 】已知橢圓 2 2 1(a b 0) 的右焦點為 F ，點 P ， Q在橢圓 C 上， O為坐標原點，且a b

PF 4FQ， |OP | |OF | ，則橢圓的離心率是 ．
x2 y2
【例 14】雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦點分別為 F1 ， F2 ，直線 l過 F1 與雙曲線C的左支和a b

右支分別交于 A ， B 兩點， BF1 BF2 ．若 x 軸上存在點 Q 滿足 BQ 3AF2 ，則雙曲線 C 的離心率
為 ．
x2 y2
【例 15】已知點 F 為雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的左焦點，過原點O的直線與雙曲線交于 A、B兩點（點a b
B在雙曲線左支上），連接 BF 并延長交雙曲線于點C，且 | BC | 3 | BF | ，AF BC，則該雙曲線的離心率
為 ( )
A 10 B 17 C 10． ． ． D 10．
2 3 3 5
跟蹤訓練
x2 y2
【訓練 8】如圖所示，F1 ，F2 是雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦點，雙曲線C 的右支上存在一a b
點 B滿足 BF1 BF2 ， BF1與雙曲線C的左支的交點 A平分線段 BF1，則雙曲線C的離心率為 ( )
A．3 B． 2 3 C． 13 D． 15
2 2
【訓練 9 x y】如圖，已知 F1 、 F2 分別為 2 2 1(a b 0) 橢圓的左、右焦點，過 Fa b 2
的直線與橢圓交于 P、

Q兩點，若QF 21 QP | PQ | ， PF2 2F2Q，則 F1PQ ，橢圓的離心率為 ．
2 2
【訓練 10】已知 A， B C x y， 是雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 上的三個點，直線 AB經過原點O， AC經過a b
右焦點 F ，若 BF AC ，且3AF CF，則該雙曲線的離心率為（ ）
A 10 B 5． ． C 10 2． D．
2 2 3 3
5.焦點弦與雙曲線等腰三角形相關
第一類：等腰三角形的 2a隱藏
2 2
【例 16】已知 F1 ，F2 分別為雙曲線C :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的左，右焦點，過點 F2 且斜率為 1 的直線 l與a b
雙曲線C的右支交于 P，Q兩點，若△ F1PQ是等腰三角形，則雙曲線C的離心率為 ．
第二類：等腰三角形的 4a隱藏
如圖，若 F2A F2B m與 AB 4a互為充要條件．
證明：（充分性） AF1 m 2a， BF1 m 2a，故 AB AF1 BF1 4a．
（必要性） BF2 2a BF1 ， AF2 AF1 2a AB BF1 2a 2a BF1 ，故 F2A F2B
2ab2 1 k 2
核心技能： AB 4a 2 2 2 e
2 (cos2 sin 2 ) 1 e2
c cos a 1 k 2
2 2
【例 17】已知 F1，F2 是雙曲線 C
x y 2
： 2 - 2 = 1(a，b > 0) 的左，右焦點，過點 F 作斜率為 的直線 l與雙a b 1 2
曲線的左，右兩支分別交于M ， N兩點，以 F2 為圓心的圓過M ， N，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
2
【例 18】（2016 y上海）雙曲線 x2 2 1(b 0) 的左、右焦點分別為 F1 ，F2 ，直線 l過 F2 且與雙曲線交于 A，b
B兩點．
（1 ）直線 l的傾斜角為 ，△ F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；2

（2）設 b 3 ，若 l的斜率存在，且 (F1A F1B) AB 0 ，求 l的斜率．
2
19 E : x y
2
【例 】設雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦點分別為 F1 ， F2 ， B為雙曲線 E上在第一象限內a b
的點，線段 F1B與雙曲線 E相交于另一點 A，AB的中點為M ，且 F2M AB，若 AF1F2 30 ，則雙曲線
E的離心率為 ( )
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
跟蹤訓練
2 2
【訓練 11】已知 F1 ，F2 是雙曲線C :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦點，過 F1 的直線 l與雙曲線C 交于M ，a b

N兩點，且 F1N 3F1M ， | F2M | | F2N |，則下列說法正確的是 ( )
A．△ F2MN是等邊三角形 B．雙曲線C的離心率為 7
C．雙曲線C的漸近線方程為 y 6x D．點 F1 到直線 6x y 0的距離為 6a9.2 圓錐曲線小題篇課后練習
1．（2024 北京模擬）橢圓的兩個焦點是 ( 4,0)和 (4,0)，橢圓上的點M 到兩個焦點的距離之和等于 10，則
橢圓的標準方程是 ( )
x2 y2A 1 B x
2 y2 x2 y2 21 C 1 D x y
2
． ． ． ． 1
5 4 5 3 25 9 16 9
2．（2024 甘肅模擬）已知兩定點 F1(5,0)， F2 ( 5,0)，曲線C上的點 P到 F1、 F2的距離之差的絕對值是 8，
則曲線C的方程為 ( )
x2 y2 2 2A． 1 B x y． 1
9 16 16 9
x2 y2 y2 x2C． 1 D． 1
25 36 25 36
3 2．（20024 四川模擬）到定點 (2,0)的距離與到定直線 x 8的距離之比為 的動點的軌跡方程是 ( )
2
x2 y2A 1 B x
2 y2
． ． 1
16 12 12 16
C． x2 2y2 8x 56 0 D． 3x2 2y2 8x 68 0
x2 24 y．（2024 廣東模擬）如圖， A， B分別是橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左、右頂點，點 P在以 AB為直a b
徑的圓O上（點 P異于 A， B兩點），線段 AP與橢圓C 交于另一點Q，若直線 BP的斜率是直線 BQ的斜
率的 4倍，則橢圓C的離心率為 ( )
A 3． B 1 3 3． C． D．
3 2 2 4
2 2
5．（2024 x y 安徽月考）已知橢圓 1以及橢圓內一點 P(2,1)，則以 P為中點的弦所在直線的斜率為 (
16 9
)
A 32． B 8 9 9． C． D．
9 9 32 8
x2 26．（2024 y 重慶模擬）已知 P為雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)左支上的一點，雙曲線的左、右頂點分別為 A、a b
B，直線 BP交雙曲線的一條漸近線于點Q，直線 AP、AQ的斜率為 k1、k2 ，若以 AB為直徑的圓經過點Q，
且 2k1 k2 0，則雙曲線的離心率為 ( )
A 3． B．2 C 6． 2 D．
2 2
2 2
7．（2024 貴州月考）設直線 y kx x y與雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)相交于 A，B兩點，P為C上不同于a b
A， B的一點，直線 PA， PB的斜率分別為 k1， k2 ，若C 的離心率為 2 ，則 k1 k2 ( )
A．3 B．1 C．2 D． 3
8．（2024 四川模擬）下列命題是真命題的是 ( )
A．到兩定點距離之和為常數的點的軌跡是橢圓
2
B a c．到定直線 x 和定點 F (c,0)的距離之比為 的點的軌跡是橢圓
c a
a2C c．到定點 F ( c,0)和定直線 x 的距離之比為 (a c 0)的點的軌跡是左半個橢圓
c a
2
D a．到定直線 x 和定點 F (c,0) a的距離之比為 (a c 0)的點的軌跡是橢圓
c c
9．（2024 多選 山東模擬）《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然
界的事物都是成雙成對的．已知動點 P與定點 F (4,0) 25 4的距離和它到定直線 l : x 的距離的比是常數 ．若
4 5
某條直線上存在這樣的點 P，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結論正確的是 ( )
x2 y2A．動點 P的軌跡方程為 1
24 8
B．直線 l1 : 2x y 5 0為成雙直線
C．若直線 y kx與點 P的軌跡相交于 A，B兩點，點M 為點 P的軌跡上不同于 A，B的一點，且直線
MA，MB的斜率分別為 k1， k2 ，則 k1 k
9
2 25
D．點M 為點 P的軌跡上的任意一點，Q( 4,0)， FMQ 60 ，則 MFQ面積為 9 3
2 2
10．（2024 x y 遼寧模擬）若橢圓 2 2 1的兩個焦點到一條準線的距離之比為 3 : 2，則橢圓的離心率是 ．a b
2 2
11．（20 x y24 江西模擬）已知點 P在雙曲線 1上，并且 P到這條雙曲線的右準線的距離恰是 P到這
16 9
條雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，那么， P的橫坐標是 ．
12．（2023 乙卷）已知點 A(1, 5)在拋物線C : y2 2px上，則 A到C 的準線的距離為 ．
13．（2024 海南模擬）已知 F 是拋物線C : y2 2px(p 0) 的焦點，過 F 且傾斜角為 的直線 l與C交于M ，
3
N兩點，與C的準線交于點 P（點 N在線段MP上）， | PN | 2，則 |MF | ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024 南京模擬）已知拋物線C : y2 8x的焦點為 F ，過點 F 且傾斜角為 的直線 l與拋物線C交于 A，
4
B兩點，則 | AB | ( )
A．8 B．8 2 C．16 D．32
15．（2024 山西月考）直線 l經過拋物線 y2 6x的焦點 F ，且與拋物線交于 A，B兩點．若 | AF | 3 | BF |，
則 | AB | ( )
A 4 B 9． ． C．8 D 9．
2 4
16．（2024 廣西模擬）已知拋物線C的焦點 F 在 x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為 2，過點 F 且傾
斜角為 60 的直線交拋物線C于 A， B兩點，則 | FA | | FB | ( )
A 17 B 16 C 14． ． ． D．2
3 3 3

17．（2024 湖南模擬）已知 A， B均為拋物線C : x2 2py(p 0)上的點， F 為C 的焦點，且 3AF 7FB，
則直線 AB的斜率為 ( )
A 2 21 2 5 5 10． B． C． D．
21 9 5 10
18．（2024 長沙模擬）已知拋物線C : y2 2px(p 0)的焦點為 F ，斜率為 k的直線 l經過點 F ，并且與拋物

線C交于 A、 B兩點，與 y軸交于點M ，與拋物線的準線交于點 N，若 AF 2MN ，則 k ( )
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
19．（2024 多選 湖北模擬）已知拋物線C : y2 2px(p 0)上存在一點 E(2, t)到其焦點的距離為 3，點 P為
直線 x 2上一點，過點 P作拋物線C的兩條切線，切點分別為 A， B，O為坐標原點．則 ( )
A．拋物線的方程為 y2 4x B．直線 AB一定過拋物線的焦點
C．線段 AB長的最小值為 4 2 D．OP AB
20．（2024 多選 江西模擬）已知拋物線 E : x2 2py(p 0)，過其準線上的點 A( 1, 1)作 E的兩條切線，切
點分別為 B，C ，則下列說法正確的是 ( )
A．拋物線 E的方程為 x2 2y B． AB AC
C．直線 BC 1的斜率為 D．直線 BC的方程為 x 2y 2 0
2
21．（2024 河南模擬）已知拋物線C : x2 4y的焦點為 F ，點 P為直線 x y 2 0上的動點，過點 P作拋
物線C的兩條切線 PA， PB，其中 A， B為切點．則原點O到直線 AB距離的最大值為 ．
22．（2024 寧波模擬）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一
個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角 不同時，可以得到不同的截口曲線，
它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線．記圓錐軸
截面半頂角為 ，截口曲線形狀與 ， 有如下關系：當 時，截口曲線為橢圓；當 時，截口曲

線為拋物線：當 時，截口曲線為雙曲線．其中 ， (0, )，現有一定線段 AB，其與平面 所成角
2
（如圖）， B為斜足， 上一動點 P滿足 BAP ，設 P點在 的運動軌跡是 ，則 ( )
A ．當 , 時， 是橢圓 B．當 , 時， 是雙曲線
4 6 3 6
C ．當 , 時， 是拋物線 D．當 , 時， 是圓
4 4 3 4
23．（2024 多選 安徽模擬）兩千多年前，古希臘大數學家阿波羅尼奧斯發現，用一個不垂直于圓錐的軸的
平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為 2 ，一個不過圓錐頂點的平面與

圓錐的軸的夾角為 ．當 時，截口曲線為橢圓；當 時，截口曲線為拋物線；當 0 時，
2
截口曲線為雙曲線．在長方體 ABCD A1B1C1D1中， AB AD 1， AA1 2，點 P在平面 ABCD內，下列說
法正確的是 ( )
A．若點 P到直線CC1的距離與點 P到平面 BB1C1C的距離相等，則點 P的軌跡為拋物線
B．若點 P到直線CC1的距離與點 P到 AA1的距離之和等于 4，則點 P的軌跡為橢圓
C．若 BD1P 45 ，則點 P的軌跡為拋物線
D．若 BD1P 60 ，則點 P的軌跡為雙曲線
24．（2024 赤峰模擬）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，
x2 y2
反射光線經過橢圓的另一個焦點．根據橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程為 1，
25 16
其左、右焦點分別是 F1， F2 ，直線 l與橢圓C切于點 P，且 | PF1 | 4，過點 P且與直線 l垂直的直線 l 與橢
圓長軸交于點M ，則 | F1M |:| F2M | ( )
A．1: 3 B．1: 2 C．1: 3 D． 2 : 3
25．（2024 浙江模擬）古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質：從橢圓的一
x2 y2
個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點，設橢圓方程 2 2 1(a b 0)，F1，a b
F 42 為其左、右焦點，若從右焦點 F2 發出的光線經橢圓上的點 A和點 B反射后，滿足 AB AD ，cos ABC ，5
則該橢圓的離心率為 ( )
A 1． B 1 2 3． C． D．
3 2 2 2
26．（2024 多選 江蘇模擬）雙曲線具有以下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，
反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦
2
點連線的夾角．已知 F F C : x1， 2 分別為雙曲線 y
2 1的左，右焦點，過C右支上一點 A(x0 , y0 )(x0 3) 作3
雙曲線的切線交 x軸于點M ，交 y軸于點 N，則 ( )
A．平面上點 B(4,1)， | AF2 | | AB |的最小值為 37 2 3
B．直線MN 的方程為 xx0 3yy0 3
C．過點 F1作 F1H AM ，垂足為H ，則 |OH | 2(O為坐標原點）
D．四邊形 AF1NF2面積的最小值為 4
27．（2024 湖南模擬）如圖，雙曲線的光學性質：F1，F2 是雙曲線的左、右焦點，從 F2 發出的光線m射在
雙曲線右支上一點 P，經點 P反射后，反射光線的反向延長線過 F1；當 P異于雙曲線頂點時，雙曲線在點 P
x2 y2
處的切線 PT 平分 F1PF2．若雙曲線C 的方程為 1，則下列結論正確的是 ( )16 9
A 3 3．若射線 n所在直線的斜率為 k，則 k ( , )
4 4
B．當m n時， | PF1 | | PF2 | 18
C．當 F1PF2 60 時， S F1PF 3 32
D．若點T的坐標為 (1,0)，直線 PT 與C相切，則 | PF2 | 16
28．（2024 多選 廣東模擬）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋
物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．知拋
物線C : y2 px(p 0)，O為坐標原點，一條平行于 x軸的光線 l1 從點M (5,2) 射入，經過C 上的點 A反射
后，再經C上另一點 B反射后，沿直線 l2 射出，經過點 N．設 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，下列說法正確的是
( )
A 1．若 p 2，則 x1x2 4
B．若 p 2， NA平分 BAM ，則 N點橫坐標為 3
C．若 p 4，拋物線在點 A處的切線方程為 x y 1 0
D．若 p 4，拋物線上存在點 P，使得 PA PB
29．（2024 河北模擬）探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是
利用了拋物線的光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射之后沿對稱軸方向射出．根據光路可逆圖，
在平面直角坐標系中，拋物線C : y2 8x，一條光線經過點M (10, y0 )，與 x軸平行射到拋物線C上，經過兩
次反射后經過點 N (10, 8)射出，則光線從點M 到點 N經過的總路程為 ．
3
2
30．（2024 吉林模擬）已知點 F y是雙曲線 C 21 : x 1的上焦點， M 是 C1 下支上的一點，點 N 是圓4
C : x22 y
2 4x 3 0上一點，則 |MF | |MN |的最小值是 ( )
A．7 B．6 C．5 D． 4 2 1
2 2
31．（2024 x y 青海模擬）已知 F (1,0)為橢圓 1的焦點，P為橢圓上一動點，A(1,1)，則 | PA | | PF |的
9 m
最小值為 ( )
A． 6 5 B．1 C． 6 2 5 D． 6 3
32．（2024 云南模擬）已知定點M (1,3)和拋物線C : x2 8y，F 是拋物線C的焦點，N是拋物線C 上的點，
則 | NF | | NM |的最小值為 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2 2
33．（2024 x y 多選 廣東模擬）已知橢圓 1上有不同兩點 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，F (4,0)，則 (25 9
)
A．若 AB過原點 (0,0)，則 | AF | | BF | 10
B． D( 1,4)， | AD | | AF |的最小值為 5

C．若 FA FB，則 FA BA的最大值為 9
D．C(4, 9)， | AF | | BF | 2 |CF | ，若線段 AB 5的垂直平分線與 x軸相交于點T，則直線CT 的斜率為
5 4
34．（2024 多選 黑龍江模擬）設拋物線 y2 4x，F 為其焦點，P為拋物線上一點，則下列結論正確的是 (
)
A．拋物線的準線方程是 x 1
B．焦點到準線的距離為 4
C．若 A(2,1)，則 | PA | | PF |的最小值為 3
D．以線段 PF 為直徑的圓與 y軸相切
x 3cos 35．（2024 新疆模擬）已知橢圓 C 的參數方程 ( 為參數），在橢圓 C 上有一點 M 到直線
y 2sin
x 2y 10 0 的距離最小，則最小距離是 ( )
A．3 B．5 C． 3 D． 5

36．（2024 x 3 cos 內蒙古模擬）已知 P(x, y)是橢圓 ( 為參數）上任意一點，則點 P到 x y 4 0的
y sin
距離的最大值為 ( )
A． 2 B．3 2 C． 2 3 D． 2 3
37．（2024 山西模擬）已知 x， y滿足 2x2 3y2 6，則 2x 3y的最大值為 ．
38．（2024 江蘇模擬）過橢圓的右焦點 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于 A， B兩點， F1為橢圓的左焦點，若
△ F1AB為正三角形，則橢圓的離心率為 ( )
A 3 B 3． ． C． 2 3 D． 2 1
3
2 2
39．（2024 x y 福建模擬）已知 F1，F2 是雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦點，A1，A2是雙曲線C的a b
3
左、右頂點，點 P在過 F1且斜率為 的直線上，△ PA1A2為等腰三角形， A1A2P 120 ，則雙曲線C 的4
離心率為 ( )
A 3． B．2 C．3 D．4
2
2 2
40．（2024 x y 安徽月考）已知橢圓C : 2 1(a b 0)

的左焦點為 F ，過左焦點 F 作傾斜角為 的直線
a b2 1 1 6

交橢圓于 A， B兩點，且 AF1 3F1B，則橢圓C的離心率為 ( )
A 1 2 3 2 2． B． C． D．
2 3 3 3
x241 y
2
．（2024 西安模擬）已知雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)的右焦點為 F ，關于原點對稱的兩點 A、 B分a b

別在雙曲線的左、右兩支上，以 AB為直徑的圓恰好過右焦點 F ，3BF FC，且點C 在雙曲線上，則雙曲
線的離心率為 ( )
A 10． B 10 C 5． ． D 2 3．
3 2 2 3
2 2
42．（2024 x y 廣西模擬）已知 A，B，C是雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)上的三個點， AB經過原點，BC經a b
過左焦點 F ，若 AF BC 且 3 | BF | |CF |，則該雙曲線的離心率是 ( )
A 5 17 10 9． B． C． D．
3 3 2 4
2 2
43．（2024 x y 多選 浙江模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦點分別為 F1，F2 ，過 Fa b 2
的直線 l與
C交于 P，Q兩點，若 | F2Q |:| PQ |:| F1Q | 1: 4 : 5，則 ( )
2
A． PF1 PF2 B．△QF
a
1F2的面積等于 6
C l 2 D C 2．直線 的斜率為 ． 的離心率等于
2 2
2 2
44 x y．（2024 多選 山西模擬）如圖，雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦點分別為 F1、 F2 ，過右焦a b

點 F2 且斜率為 3的直線 l交雙曲線C的右支于 A、 B兩點，且 AF2 7F2B，則 ( )
A 7．雙曲線C的離心率為
3
B．△ AF1F2與△ BF1F2 面積之比為 7 :1
C．△ AF1F2與△ BF1F2 周長之比為 7 : 2
D．△ AF1F2與△ BF1F2 內切圓半徑之比為 3 :1
2 2
45．（2023 x y 新高考Ⅰ）已知雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦點分別為 F1，F2 ．點 A在C上，點a b

B在 y軸上， F1A F1B， F2A
2
F2B，則C 的離心率為 ．3
2 2
46．（2024 x y 西安月考）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦點分別是 F1， F2 ，過右焦點 F2 且斜率a b

為 1的直線與橢圓相交于 A， B兩點，若滿足 AF2 3F2B，則橢圓的離心率為 ．
2 2
47．（2024 x y 3 廣東模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的離心率為 ，過右焦點 F 且斜率為 k(k 0)的a b 2

直線與橢圓C 相交于 A， B兩點．若 AF 2FB，則 k ．中小學教育資源及組卷應用平臺
9.2 圓錐曲線小題篇課后練習
1．（2024 北京模擬）橢圓的兩個焦點是和，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于10，則橢圓的標準方程是　　
A． B． C． D．
2．（2024 甘肅模擬）已知兩定點，，曲線上的點到、的距離之差的絕對值是8，則曲線的方程為　　
A． B．
C． D．
3．（20024 四川模擬）到定點的距離與到定直線的距離之比為的動點的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
4．（2024 廣東模擬）如圖，，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
5．（2024 安徽月考）已知橢圓以及橢圓內一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為　　
A． B． C． D．
6．（2024 重慶模擬）已知為雙曲線左支上的一點，雙曲線的左、右頂點分別為、，直線交雙曲線的一條漸近線于點，直線、的斜率為、，若以為直徑的圓經過點，且，則雙曲線的離心率為　　
A． B．2 C． D．
7．（2024 貴州月考）設直線與雙曲線相交于，兩點，為上不同于，的一點，直線，的斜率分別為，，若的離心率為，則　　
A．3 B．1 C．2 D．
8．（2024 四川模擬）下列命題是真命題的是　　
A．到兩定點距離之和為常數的點的軌跡是橢圓
B．到定直線和定點的距離之比為的點的軌跡是橢圓
C．到定點和定直線的距離之比為的點的軌跡是左半個橢圓
D．到定直線和定點的距離之比為的點的軌跡是橢圓
9．（2024 多選 山東模擬）《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對的．已知動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數．若某條直線上存在這樣的點，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結論正確的是　　
A．動點的軌跡方程為
B．直線為成雙直線
C．若直線與點的軌跡相交于，兩點，點為點的軌跡上不同于，的一點，且直線，的斜率分別為，，則
D．點為點的軌跡上的任意一點，，，則面積為
10．（2024 遼寧模擬）若橢圓的兩個焦點到一條準線的距離之比為，則橢圓的離心率是　　．
11．（2024 江西模擬）已知點在雙曲線上，并且到這條雙曲線的右準線的距離恰是到這條雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，那么，的橫坐標是　　．
12．（2023 乙卷）已知點在拋物線上，則到的準線的距離為 　　．
13．（2024 海南模擬）已知是拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線與交于，兩點，與的準線交于點（點在線段上），，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024 南京模擬）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，則　　
A．8 B． C．16 D．32
15．（2024 山西月考）直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則　　
A．4 B． C．8 D．
16．（2024 廣西模擬）已知拋物線的焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為2，過點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，則　　
A． B． C． D．2
17．（2024 湖南模擬）已知，均為拋物線上的點，為的焦點，且，則直線的斜率為　　
A． B． C． D．
18．（2024 長沙模擬）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經過點，并且與拋物線交于、兩點，與軸交于點，與拋物線的準線交于點，若，則　　
A． B． C． D．
19．（2024 多選 湖北模擬）已知拋物線上存在一點到其焦點的距離為3，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，為坐標原點．則　　
A．拋物線的方程為 B．直線一定過拋物線的焦點
C．線段長的最小值為 D．
20．（2024 多選 江西模擬）已知拋物線，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為，，則下列說法正確的是　　
A．拋物線的方程為 B．
C．直線的斜率為 D．直線的方程為
21．（2024 河南模擬）已知拋物線的焦點為，點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點．則原點到直線距離的最大值為 　　．
22．（2024 寧波模擬）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與，有如下關系：當時，截口曲線為橢圓；當時，截口曲線為拋物線：當時，截口曲線為雙曲線．其中，，現有一定線段，其與平面所成角（如圖），為斜足，上一動點滿足，設點在的運動軌跡是，則　　
A．當時，是橢圓 B．當時，是雙曲線
C．當時，是拋物線 D．當時，是圓
23．（2024 多選 安徽模擬）兩千多年前，古希臘大數學家阿波羅尼奧斯發現，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為，一個不過圓錐頂點的平面與圓錐的軸的夾角為．當時，截口曲線為橢圓；當時，截口曲線為拋物線；當時，截口曲線為雙曲線．在長方體中，，，點在平面內，下列說法正確的是　　
A．若點到直線的距離與點到平面的距離相等，則點的軌跡為拋物線
B．若點到直線的距離與點到的距離之和等于4，則點的軌跡為橢圓
C．若，則點的軌跡為拋物線
D．若，則點的軌跡為雙曲線
24．（2024 赤峰模擬）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．根據橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則　　
A． B． C． D．
25．（2024 浙江模擬）古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點，設橢圓方程，，為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經橢圓上的點和點反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
26．（2024 多選 江蘇模擬）雙曲線具有以下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作雙曲線的切線交軸于點，交軸于點，則　　
A．平面上點，的最小值為
B．直線的方程為
C．過點作，垂足為，則為坐標原點）
D．四邊形面積的最小值為4
27．（2024 湖南模擬）如圖，雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左、右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分．若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是　　
A．若射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當時，
D．若點的坐標為，直線與相切，則
28．（2024 多選 廣東模擬）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．知拋物線，為坐標原點，一條平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經上另一點反射后，沿直線射出，經過點．設，，，，下列說法正確的是　　
A．若，則
B．若，平分，則點橫坐標為3
C．若，拋物線在點處的切線方程為
D．若，拋物線上存在點，使得
29．（2024 河北模擬）探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射之后沿對稱軸方向射出．根據光路可逆圖，在平面直角坐標系中，拋物線，一條光線經過點，與軸平行射到拋物線上，經過兩次反射后經過點射出，則光線從點到點經過的總路程為 　　．
30．（2024 吉林模擬）已知點是雙曲線的上焦點，是下支上的一點，點是圓上一點，則的最小值是　　
A．7 B．6 C．5 D．
31．（2024 青海模擬）已知為橢圓的焦點，為橢圓上一動點，，則的最小值為　　
A． B．1 C． D．
32．（2024 云南模擬）已知定點和拋物線，是拋物線的焦點，是拋物線上的點，則的最小值為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（2024 多選 廣東模擬）已知橢圓上有不同兩點，，，，，則　　
A．若過原點，則
B．，的最小值為
C．若，則的最大值為9
D．，，若線段的垂直平分線與軸相交于點，則直線的斜率為
34．（2024 多選 黑龍江模擬）設拋物線，為其焦點，為拋物線上一點，則下列結論正確的是　　
A．拋物線的準線方程是
B．焦點到準線的距離為4
C．若，則的最小值為3
D．以線段為直徑的圓與軸相切
（2024 新疆模擬）已知橢圓的參數方程為參數），在橢圓上有一點到直線的距離最小，則最小距離是　　
A．3 B．5 C． D．
36．（2024 內蒙古模擬）已知是橢圓為參數）上任意一點，則點到的距離的最大值為　　
A． B． C． D．
37．（2024 山西模擬）已知，滿足，則的最大值為　　．
38．（2024 江蘇模擬）過橢圓的右焦點作橢圓長軸的垂線交橢圓于，兩點，為橢圓的左焦點，若△為正三角形，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
39．（2024 福建模擬）已知，是雙曲線的左、右焦點，，是雙曲線的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，△為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為　　
A． B．2 C．3 D．4
40．（2024 安徽月考）已知橢圓的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，且，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
41．（2024 西安模擬）已知雙曲線的右焦點為，關于原點對稱的兩點、分別在雙曲線的左、右兩支上，以為直徑的圓恰好過右焦點，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．
42．（2024 廣西模擬）已知，，是雙曲線上的三個點，經過原點，經過左焦點，若且，則該雙曲線的離心率是　　
A． B． C． D．
43．（2024 多選 浙江模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，若，則　　
A． B．△的面積等于
C．直線的斜率為 D．的離心率等于
44．（2024 多選 山西模擬）如圖，雙曲線的左、右焦點分別為、，過右焦點且斜率為的直線交雙曲線的右支于、兩點，且，則　　
A．雙曲線的離心率為
B．△與△面積之比為
C．△與△周長之比為
D．△與△內切圓半徑之比為
45．（2023 新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點分別為，．點在上，點在軸上，，，則的離心率為 　 　．
46．（2024 西安月考）已知橢圓的左、右焦點分別是，，過右焦點且斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，若滿足，則橢圓的離心率為 　　．
47．（2024 廣東模擬）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點．若，則　　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
9.2 圓錐曲線小題篇
考向1 橢圓雙曲線的第一定義
題型1 橢圓第一定義
1．橢圓的第一定義
平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡；其中，兩個定點稱做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．
設是橢圓上任意一點，焦點和，由上述橢圓的定義可得：，將這個方程移項，兩邊平方得：，兩邊再平方，整理得：
注意：1.橢圓的標準方程　
后面我們僅以展開性質介紹分析．
2.頂點　，，，．
3. 長軸和短軸　長軸為2a，短軸為2b，注意區分長半軸為a，短半軸為b．
4. 焦點　，．
5. 焦距　，同時：．
6. 離心率　；離心率越大，橢圓越扁．
橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數據．因為，所以e的取值范圍是；
①e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；
②e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓．
7.P為橢圓上一點，則(利用極化恒等式證明).
【例1】兩個焦點的坐標分別為，的橢圓上的任一點到兩焦點的距離之和為8，則橢圓的標準方程為　　
A． B． C． D．
【例2】（2021 新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為　　
A．13 B．12 C．9 D．6
題型2橢圓最值問題：
一．橢圓最值問題：
1.若Q在橢圓外，求最小值，則構造利用三點共線求最值（如左圖所示），當且僅當三點共線時等號成立.此類型的題目叫做聲東擊西，即問左焦點，則連接右焦點，問右焦點則連左焦點，三點共線是關鍵．
2.若Q為橢圓外一定點（如右圖所示），則，當且僅當三點共線時，左邊等號成立，當且僅當三點共線時（位于延長線上），等號成立.
3. 若Q為橢圓內一定點（如下圖所示），則，當且僅當三點共線時，左邊等號成立，當且僅當三點共線時（位于延長線上），右邊等號成立，
【例3】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為 　 　．
【例4】已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為　　
A． B．13 C．3 D．5
跟蹤訓練
【訓練1】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為26，則該橢圓方程為 　　．
【訓練2】若點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為 　 　．
【訓練3】設橢圓的左、右焦點分別為、，其焦距為，點在橢圓內部，點是橢圓上動點，且恒成立．則橢圓離心率的取值范圍是 　 　．
題型3 雙曲線第一定義
雙曲線的第一定義
平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數且小于的點的軌跡；其中，兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距．
注意：與（）分別表示雙曲線的一支．若有“絕對值”，點的軌跡表示雙曲線的兩支；若無“絕對值”，點的軌跡僅為雙曲線的一支；
根據，化簡得：.
注意：1.雙曲線的標準方程：
2．頂點：，．
3．實軸和虛軸　實軸長為2a，虛軸長為2b；
4．焦點　，．
5．焦距　，滿足關系式：．
離心率　，離心率越大，開口越大；
P為雙曲線上一點，則(利用極化恒等式證明).
【例1】已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
題型4 雙曲線最值問題：求最值，則構造，當且僅當三點共線時等號成立.（如下圖所示）．
注意：由于橢圓和雙曲線的第二定義已經不在高考范圍內，形如“”的最值已經不是考試的常考范圍，關于問焦點則連接準線的類型題目只適合拋物線，這里不做詳述．其它雙曲線最值類比橢圓，畫圖仔細分析即可.
【例2】已知，是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為 　　．
【例3】已知、分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓上一動點，則的最小值為 　 　．
跟蹤訓練
【訓練4】平面內有兩個定點和，動點滿足條件，則動點的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
【訓練5】設為雙曲線上一動點，、為上、下焦點，為原點，則下列結論正確的是　　
A．若點，則最小值為7
B．若過點的直線交于、兩點、與均不重合），則
C．若點，在雙曲線的上支，則最小值為
D．過的直線交于、不同兩點，若，則有4條
考向2 橢圓雙曲線的第二定義
題型1 橢圓第二定義與焦半徑公式
1．橢圓的第二定義
平面內與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數的點的軌跡，其中，定點為焦點，定直線叫做準線，常數e叫做離心率．
設是橢圓上任意一點，定點為，定直線為，常數，由上述橢圓的定義可得：，變形即可．
焦半徑　橢圓上的點到焦點的距離；設為橢圓上的一點，
① 焦點在軸：焦半徑(左加右減)；② 焦點在軸：焦半徑(上加下減)．
注意：利用第二定義快速進行證明，結合圖像，長的加，短的減。
注意：焦半徑公式，在大題中不能直接使用，大題建議使用余弦定理推導。
【例1】點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數，則的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
【例2】已知是橢圓上一點，，為橢圓的兩個焦點，則的最大值與最小值的差是　 　．
【例3】平面內到定點及到定直線的距離之比為的點的軌跡方程是　　
A． B． C． D．
【例4】設、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第二象限．若，則點的坐標為 　　．
跟蹤訓練
【訓練1】動點到點的距離與到定直線的距離之比是，則動點的軌跡方程是　 　．
【訓練2】已知橢圓的焦點為，，橢圓上的動點坐標，在第一象限，且為銳角，則的取值范圍為 　 　．
【訓練3】若雙曲線上一點到它的右焦點的距離是8，則點到它的右準線的距離是　 　．
【訓練4】（2010 江西）點，在雙曲線的右支上，若點到右焦點的距離等于，則　　．
考向3 橢圓雙曲線的第三定義
題型1 橢圓雙曲線第三定義與點差法
1．橢圓的第三定義
已知關于原點對稱的兩個定點，那么到這兩定點連線的斜率之積為定值的點的軌跡是橢圓，通常這兩個定點分別為長軸或者短軸頂點．
另一方面，設是橢圓上任意一點，兩個定點為、，常數，，根據橢圓方程：將，變形成，所以，橢圓上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數．
若橢圓與直線交于兩點，其中，，，為中點，
定理1：（橢圓）；
2．雙曲線的第三定義
到關于原點對稱的兩個定點連線的斜率之積為定值的點的軌跡是雙曲線；通常定點為實軸或虛軸頂點，定值為正值．
另一方面，設是雙曲線上任意一點，兩個定點為、，常數，，根據雙曲線方程：將，變形成，所以，雙曲線上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數．
若雙曲線與直線交于兩點，其中，，，為中點，
定理1：（雙曲線）
【例1】（2022 甲卷）橢圓的左頂點為，點，均在上，且關于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【例2】（2013 新課標Ⅰ）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點．若的中點坐標為，則的方程為　　
A． B．
C． D．
【例3】已知點，是雙曲線上關于原點對稱的任意兩點，點在雙曲線上（異于，兩點），若直線，斜率之積為，則雙曲線的離心率為
A． B．2 C． D．3
【例4】已知橢圓的離心率為，點，是橢圓的長軸頂點，直線與橢圓交于，兩點，記，分別為直線和直線的斜率，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【例5】（2022 新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點，與軸、軸分別相交于，兩點，且，，則的方程為 　 　．
跟蹤訓練
【訓練1】橢圓的左頂點為，點，均在上，且關于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【訓練2】（2014 江西）過點作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于　 　．
【訓練3】過原點的直線與雙曲線交于，兩點，點為雙曲線上一點，若直線的斜率為2，則直線的斜率為　　
A．4 B．1 C． D．
【訓練4】已知雙曲線上有不同的三點，，，且，關于原點對稱，直線，的斜率分別為，，且，則離心率的取值范圍是 　 　．
【訓練5】已知點在橢圓:上，點在第一象限，點關于原點的對稱點為，點關于軸的對稱點為，設，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率( )
A． B． C． D．
拓展：中點弦存在定理
在橢圓中，只需要AB中點在橢圓內，即；
在雙曲線中，一定有①或；②
【例6】（2023 乙卷）設，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是　　
A． B． C． D．
【例7】已知雙曲線的實軸長為4，離心率為，直線與交于，兩點，是線段的中點，為坐標原點．若點的橫坐標為1，則的取值范圍為 　 　．
跟蹤訓練
【訓練6】已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線相交于，兩點，若是線段的中點，則直線的方程為　　
A． B． C． D．該直線不存在
考向4 橢圓雙曲線的焦點三角形
1．橢圓的焦點三角形問題
周長問題:過橢圓的左焦點F1的弦與右焦點F2圍成的三角形的周長是4a；　
角度問題:①已知橢圓的左、右兩焦點分別為，P是橢圓上一動點，在焦點三角形中，若最大，則點P為橢圓短軸的端點．
證明　，故當取得最大值b時，當點P位于短軸端點時，取得最大值。
②已知橢圓的左、右兩焦點分別為，若橢圓上存在一點P，使得，則橢圓離心率．
面積問題:橢圓焦點為，，P為橢圓上的點，，如圖1，
則（靈動橢圓焦點三角形面積公式）
圖1
2.雙曲線焦點三角形性質
雙曲線的焦點為F1、F2，為雙曲線上的點，，如圖，則（靈動雙曲線焦點三角形面積公式）．
【例1】（2021 甲卷）已知，為橢圓的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為 　 　．
【例2】（2020 新課標Ⅰ）設，是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則△的面積為　　
A． B．3 C． D．2
【例3】（2019 新課標II）已知，是橢圓的兩個焦點，為上的點，為坐標原點．
（1）若為等邊三角形，求的離心率；
（2）如果存在點，使得，且△的面積等于16，求的值和的取值范圍．
【例4】已知是橢圓的一個焦點，若橢圓上存在關于原點對稱的，兩點滿足，則橢圓離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【例5】、是雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，點在軸上，滿足，若，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】已知點是橢圓的左焦點，過原點作直線交橢圓于、兩點，、分別是、的中點，若，則橢圓離心率的最小值為　　
A． B． C． D．
【訓練2】已知是橢圓的左焦點，經過原點的直線與橢圓交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
3.橢圓雙曲線共焦點問題
圖17
橢圓雙曲線共焦點三角形的問題：如圖17，橢圓和雙曲線共焦點，由于兩個式子不同，將橢圓寫成，雙曲線寫成可以知道，
①當時，橢圓和雙曲線的離心率；
②當時，一定有．
證明：．
【例6】（2014 湖北卷）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為 ．
【例7】（多選）是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結論正確的是　　
A．， B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．
【訓練3】已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值是　　
A． B． C．2 D．3
4.有關|PF1|·|PF2|的結論
（1）.設、是橢圓的兩個焦點，O是橢圓的中心，P是橢圓上任意一點，，則．
（2）.設、是雙曲線的兩個焦點，O是雙曲線的中心，P是雙曲線上任意一點，，則．
（3）.等軸雙曲線滿足：；
證明：（1）.，利用等面積法，，故；也可以利用中線定理，，從而
（2）.，或者利用中線定理，，整理得，再利用等面積法，故
（3）.由于等軸雙曲線滿足，所以．
【例8】（2023 甲卷）已知橢圓，，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則　　
A． B． C． D．
【例9】（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，下列命題正確的有　　
A．當點為線段的中點時，直線的斜率為
B．若，則
C．
D．若直線的斜率為，且，則
【例10】已知橢圓的兩焦點，，若橢圓上存在點，
使得為原點），，則橢圓的離心率的取值范圍是 　　．
【訓練4】已知點P是雙曲線上的動點，是其左、右焦點，O坐標原點，若存在四個點P滿足，則此雙曲線的離心率取值范圍 ．
【訓練5】已知橢圓的焦點為，，若點在橢圓上，且滿足（其中為坐標原點）的的個數　　
A．0 B．2 C．4 D．8
考向5 橢圓雙曲線的焦點弦問題
橢圓焦長公式：
A是橢圓上一點，、是左、右焦點，為，過，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）；（3）．
2．雙曲線的焦長公式
周長問題：雙曲線（，）的兩個焦點為、，弦過左焦點（、都在左支上），，則的周長為（如下圖）
焦長公式：（1）當AB交雙曲線于一支時，，（圖左）
（2）當AB交雙曲線于兩支時，，（圖右）
雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：
令，即，代入弦長公式可得．
若交于兩支時，，代入弦長公式可得．
【例1】設橢圓的焦點分別為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，則的周長為　　
A．6 B．8 C．10 D．16
【例2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經過且與的右支相交于，兩點，若，則的周長為　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【例3】過橢圓的一個焦點F作弦AB，若，，則 的數值為（ ）
A． B． C． D．與、斜率有關
【例4】已知橢圓的左右焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為 　 　．
【例5】（2019 新課標Ⅰ）已知橢圓的焦點為，，過點的直線與橢圓交于，兩點．若，，則的方程為　　
A． B． C． D．
【例6】（2022 新高考1）已知橢圓，的上頂點為，兩個焦點為，離心率為，過且垂直于的直線與交于點，兩點，，則的周長是 ．
【例7】（多選）已知橢圓，過橢圓的左焦點的直線交于，兩點（點在軸的上方），過橢圓的右焦點的直線交于，兩點，則　　
A．若，則的斜率 B．的最小值為
C．以為直徑的圓與圓相切 D．若，則四邊形面積的最小值為
跟蹤訓練
【訓練1】橢圓左右焦點分別為、，焦距為2，直線經過交橢圓于，兩點，若的周長為12，則橢圓標準方程為　　
A． B． C． D．
【訓練2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若左支上的兩點，與左焦點三點共線，且的周長為8，則　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【訓練3】已知，為橢圓的焦點且，，是橢圓上兩點，且，以為直徑的圓經過點，則的周長為　　
A．4 B．6 C．8 D．12
【訓練4】已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線交于，兩點，且，，則當取得最小值時，雙曲線的離心率為　　
A．3 B． C．2 D．
【訓練5】（多選）在平面直角坐標系中，已知，分別是橢圓的左，右焦點，點，是橢圓上異于長軸端點的兩點，且滿足，則　　
A．的周長為定值 B．的長度最小值為1
C．若，則 D．的取值范圍是，
3.雙曲線漸近線與焦點弦相關
　雙曲線的焦點到漸近線的距離為定值b，如左圖所示，由于漸近線OP的斜率為，又，，顯然PF2的長度是定值b．
如右圖所示，過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為P，那么，點P在漸近線上，也在左準線上，即點．
【例8】（2018 新課標Ⅲ）設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【例9】（2023 天津）雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為　　
A． B． C． D．
【例10】（2022 乙卷）雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為　　
A、B是雙曲線左支上兩點，是左焦點，為，過，c是雙曲線半焦距，如左圖，
由于，如右圖所示，，;
A是雙曲線左支上一點，B是雙曲線右支上一點，是左焦點，為，過，c是雙曲線半焦距，如圖，由于交兩支時，有，平方得：，即，故
由于，如右圖所示，，;
【例11】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，交的左支于點．若恰好為線段的中點，則的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【例12】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點（異于坐標原點），若線段交雙曲線于點，且，則該雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練6】已知雙曲線的右焦點為，過作雙曲線兩漸近線的垂線，垂足分別為點，（，分別在一、四象限），若，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【訓練7】已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線與圓相切于點，與雙曲線的右支交于點，若線段的垂直平分線恰好過右焦點，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．2
4.焦點弦與直角三角形相關
如左圖所示，橢圓若，且，，我們可以借助公式可得來求出和的關系，由于，從而求出離心率．
如右圖所示，若，過原點，且，通過補全矩形，可得，，借助公式可得來求出和的關系，從而求出離心率．
注意：若直線交雙曲線兩支于、兩點，，則，時，，本節前面已經論述.
【例13】已知橢圓的右焦點為，點，在橢圓上，為坐標原點，且，，則橢圓的離心率是 　 　．
【例14】雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過與雙曲線的左支和右支分別交于，兩點，．若軸上存在點滿足，則雙曲線的離心率為 　 　．
【例15】已知點為雙曲線的左焦點，過原點的直線與雙曲線交于、兩點（點在雙曲線左支上），連接并延長交雙曲線于點，且，，則該雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練8】如圖所示，，是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足，與雙曲線的左支的交點平分線段，則雙曲線的離心率為　　
A．3 B． C． D．
【訓練9】如圖，已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則　 　，橢圓的離心率為 　　．
【訓練10】已知，，是雙曲線上的三個點，直線經過原點，經過右焦點，若，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5.焦點弦與雙曲線等腰三角形相關
第一類：等腰三角形的2a隱藏
【例16】已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過點且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于，兩點，若△是等腰三角形，則雙曲線的離心率為 　 　．
第二類：等腰三角形的4a隱藏
如圖，若與互為充要條件．
證明：（充分性），，故．
（必要性），，故
核心技能：
【例17】已知F1，F2是雙曲線C：的左，右焦點，過點作斜率為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，以為圓心的圓過，，則雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C．2 D．
【例18】（2016 上海）雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過且與雙曲線交于，兩點．
（1）直線的傾斜角為，△是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設，若的斜率存在，且，求的斜率．
【例19】設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線上在第一象限內的點，線段與雙曲線相交于另一點，的中點為，且，若，則雙曲線的離心率為　　
A． B．2 C． D．
跟蹤訓練
【訓練11】已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線交于，兩點，且，，則下列說法正確的是　　
A．△是等邊三角形 B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的漸近線方程為 D．點到直線的距離為
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑