資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
9.4 調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線論
考向1 單比與交比
一．單比的概念及性質(zhì)
1.單比的定義
如果共線三點(diǎn)滿足,則稱為共線三點(diǎn)的單比，也可以表示為P分為。其中稱為基點(diǎn),稱為分點(diǎn)。
對(duì)單比的概念我們需要理解以下幾點(diǎn):
⑴單比的定義是有順序的,共線三點(diǎn)的順序不可隨意調(diào)整，;
⑵當(dāng)位于線段之間時(shí),，否則,當(dāng)位于線段之外時(shí)，，為線段中點(diǎn)時(shí)；
⑶如果為定點(diǎn),也給定,則點(diǎn)的位置唯一確定;
⑷在平面直角坐標(biāo)系中,,由向量坐標(biāo)運(yùn)算,得出定比分點(diǎn)公式：
⑸所謂共線三點(diǎn)的單比,即為定比分點(diǎn)中的定比。
最早出現(xiàn)定比分點(diǎn)高考題是在2006年山東高考卷，由于年代久遠(yuǎn)，所以我們就用同類型題來解讀。
2.為定值的參數(shù)同構(gòu)與點(diǎn)差法
當(dāng)圓錐曲線上兩點(diǎn)作為定比分點(diǎn)，線段兩個(gè)端點(diǎn)分別位于焦點(diǎn)和另一條坐標(biāo)軸上時(shí)，這里會(huì)涉及一個(gè)為定值的問題，我們介紹參數(shù)同構(gòu)法，點(diǎn)差思想來處理．
【例1】已知焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:為定值.
【例2】已知橢圓的離心率，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經(jīng)過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，如果，，那么是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由．
二．單比與交比
1.單比角元形式
兩條直線的有向角滿足下面幾個(gè)性質(zhì):
(1).如果直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線,則為正角;如果直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線,則為負(fù)角;
(2)..
如下圖,分別連接共線三點(diǎn)與其所在直線外一點(diǎn),記所形成的直線分別為,若,則.
2、交比的概念及性質(zhì)
點(diǎn)列的交比:如果共線四點(diǎn)滿足,則稱為共線四點(diǎn)的交比,記為。其中稱為基點(diǎn)偶(對(duì)),稱為分點(diǎn)偶(對(duì))。
點(diǎn)列交比的角元形式：如下圖,分別連接共線四點(diǎn)與其所在直線外一點(diǎn),記所形成的直線分別為,則
從交比的角元形式可以看出,交比的值只與直線的有向角有關(guān)系,與線段長度沒有關(guān)系。于是我們很容易據(jù)此得到交比的射影不變性。
3.交比的射影不變性
交比的射影不變性：如圖所示,過點(diǎn)引四條相交直線,分別與另外兩條直線交于和,則
交比的射影不變性,是交比的角元形式的直接推論，交比的射影不變性表明，交比經(jīng)中心射影后不變。
關(guān)于交比射影不變性的斜率公式，我們會(huì)在后面章節(jié)進(jìn)行解讀，交比射影不變性的推論，結(jié)合調(diào)和點(diǎn)列，基本上可以打通高考.
【例3】射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)，，，經(jīng)過中心投影之后的投影點(diǎn)分別為，，，．對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn)，，，，定義比值叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比，記作．
（1）證明：；
（2）已知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，求．
【例4】交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如為，，，四點(diǎn)的交比，記為，；，．
（1）證明：；
（2）若，，，為平面上過定點(diǎn)且互異的四條直線，，為不過點(diǎn)且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：，；，，；，；
（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若與△的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則與△對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上．
三．調(diào)和點(diǎn)列與定比點(diǎn)差
1．調(diào)和點(diǎn)列的概念
如下圖①，點(diǎn)在線段上，則滿足的點(diǎn)是唯一存在的．但是，如果將線段改為直線，此時(shí)，滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，如下圖②，不妨記另一個(gè)點(diǎn)為，則，在此種情況下，我們稱點(diǎn)、、、為調(diào)和點(diǎn)列，或者稱點(diǎn)、調(diào)和分割點(diǎn)、．按照交比的調(diào)和比解釋，就是
圖①
圖②
特別的，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．
2．調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)　
如下圖所示：對(duì)于線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)滿足、調(diào)和分割線段，即，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則有以下結(jié)論成立：
①點(diǎn)、也調(diào)和分割、，即；
②（是與的調(diào)和平均數(shù)）．
【例5】(2011山東卷改編)設(shè)、、、是平面直角坐標(biāo)系中相異的四點(diǎn)，若，，且，則稱，調(diào)和分割已知平面上的點(diǎn)，調(diào)和分割點(diǎn)，，則下面說法正確的是　　
A．、、、四點(diǎn)共線 B．可能是線段的中點(diǎn)
C．、可能同時(shí)在線段上 D． 、不可能同時(shí)在線段的延長線上
3.定比分點(diǎn)和調(diào)和分點(diǎn)支配下的圓錐曲線
在橢圓或雙曲線中，設(shè)，為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)，若存在，兩點(diǎn)，滿足，，則一定有：
證明 若，且，則；若，則
，有，
（1）-（2）可得：
即得：，
故．
在拋物線中，設(shè)，為拋物線上的兩點(diǎn)．若存在，兩點(diǎn)，滿足，，一定有．
證明 若，，則，，則
，有
①—②得：
即，
所以，故．
定比點(diǎn)差的原理謎題解開，就是兩個(gè)互為調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程．
【例6】過的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，在線段上取點(diǎn)，滿足.
求證:點(diǎn)在某定直線上.
【例7】已知雙曲線過點(diǎn)，且焦距為10．
（1）求的方程；
（2）已知點(diǎn)，，為線段上一點(diǎn)，且直線交于，兩點(diǎn)．證明：．
四．定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差
若出現(xiàn)或者，則，此時(shí);若出現(xiàn)或者，則，此時(shí).對(duì)于公式中，成對(duì)出現(xiàn)的“”或者“”，由于公式的背景和極點(diǎn)極線有關(guān)，不妨可以稱它們?yōu)椤罢{(diào)和共軛數(shù)”.
【例8】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與直線交于點(diǎn).若，且點(diǎn)滿足，求面積的最小值.
類型一 定點(diǎn)在軸
過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，則在直線上一定存在點(diǎn)滿足，根據(jù)定比點(diǎn)差法可知.
一定有
證明:
類型二 定點(diǎn)在軸
過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，則在直線上一定存在點(diǎn)滿足，根據(jù)定比點(diǎn)差法可知.同理:
由于在考試當(dāng)中我們經(jīng)常要拿出這三個(gè)等式，故我們稱之為:“三炮齊鳴，天下太平”
【例9】(2018 浙江高考)已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)、滿足，則當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為．
（1）求拋物線的方程；
（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上．
【訓(xùn)練2】已知橢圓的焦距為2，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)，，與橢圓分別交于點(diǎn)，，各點(diǎn)均不重合且滿足，．若，證明：直線恒過定點(diǎn)．
【訓(xùn)練3】點(diǎn)是直線外一點(diǎn),點(diǎn)在直線上(點(diǎn)與點(diǎn)任一點(diǎn)不重合).若點(diǎn)在線段上,記,若點(diǎn)在線段外,記.記.
記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,點(diǎn)是射線上一點(diǎn),且.
(1)若,求，
(2)射線上的點(diǎn)滿足,
(i)當(dāng)時(shí),求的最小值，
(ii)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作于,記,求證，數(shù)列的前項(xiàng)和.
考向2 極點(diǎn)極線與完全四邊形
一．極點(diǎn)極線的定義
1．二次曲線的替換法則　
對(duì)于一般式的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代，常數(shù)項(xiàng)不變，
可得方程：．
2.極點(diǎn)極線的綜合模型——自極三角形
極點(diǎn)極線的幾何意義:
（1）若點(diǎn)是圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線．
（2）如圖所示（以橢圓圖形為例），若點(diǎn)是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，且不為原點(diǎn)，過點(diǎn)作割線、依次交圓錐曲線于、、、四點(diǎn)，連結(jié)直線、交于點(diǎn)，連結(jié)直線、交于點(diǎn)，則直線為極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線．類似的，也可得到極點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線為直線，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為直線，因此，我們把稱為自極三角形．【即的任一頂點(diǎn)作為極點(diǎn)，則頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊即為對(duì)應(yīng)的極線，“補(bǔ)全自極三角形”這個(gè)技巧很常用，后面結(jié)合例題了解！】
如圖所示，如果我們連結(jié)直線交圓錐曲線于點(diǎn)、，則直線、恰好為圓錐曲線的兩條切線，此時(shí)，直線不僅是極點(diǎn)的極線，我們也稱直線為漸切線．
下面的共軛點(diǎn)模型，實(shí)際都是極點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的特例模型的應(yīng)用，也是高考題常見．
完全四邊形
1.完全四邊形定義
完全四邊形兩兩相交，如下圖的四邊形ABCD，沒有三線共點(diǎn)的四條直線AB、BC、CD、DA，及它們的六個(gè)交點(diǎn)，兩兩相交于六點(diǎn)，六個(gè)點(diǎn)可分成三對(duì)相對(duì)的頂點(diǎn),它們的連線是三條對(duì)角線.則即為完全四邊形
2.退化二次曲線構(gòu)造曲線系解讀完全四邊形
模型構(gòu)造：
如圖，、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，、為橢圓上任意兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，我們可以理解為，，，四點(diǎn)確定橢圓（雙曲線和拋物線也一致），那么四點(diǎn)之間連線有6條，我們選取兩條交點(diǎn)在橢圓內(nèi)的直線乘積式構(gòu)造弱化二次曲線，再選取兩條交點(diǎn)在橢圓外的直線乘積式構(gòu)造另一條弱化的二次曲線，可以理解為兩條弱化的二次曲線形成了這個(gè)橢圓，即
注意：這里最終結(jié)果會(huì)指向一個(gè)極點(diǎn)極線性質(zhì)，故在設(shè)計(jì)，，，，
，從而得出：；
記住：曲線系只需要對(duì)比系數(shù)，確定參數(shù)，無需展開求出和，，，均是斜率倒數(shù)，不是斜率．
【例1】（2020 新課標(biāo)Ⅰ）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，．為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為，與的另一交點(diǎn)為．
（1）求的方程；
（2）證明：直線過定點(diǎn)．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】（2011 四川）如圖，橢圓有兩頂點(diǎn)、，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)． 當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．
【訓(xùn)練2】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)的左右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線上．
三．調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理
1.調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束
根據(jù)完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列可知，完全四邊形的任意一條對(duì)角線的兩端,都被它和另外兩條對(duì)角線的交點(diǎn)所調(diào)和分割.如果我們以S點(diǎn)為射影中心，為調(diào)和點(diǎn)列，利用交比不變性，如下圖，，
則，，，均為S點(diǎn)的調(diào)和線束.
2.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和點(diǎn)列解讀
如圖所示，，，，，均為S點(diǎn)的調(diào)和線束，過延長線上任意一點(diǎn)A作分別交和于點(diǎn)B和C，則.
證明：根據(jù)交比不變性，，則,故.
3.調(diào)和平行中點(diǎn)定理推論
若A，M，B，N是調(diào)和點(diǎn)列，如下圖所示，過A作任意直線l，在l上任取一點(diǎn)C，連接CM，CN，過N作DE//CM交AC和BC于D、E兩點(diǎn)，則必有：
①DN=EN，
②在CN上任取一點(diǎn)R，作PQ//CM//DE交AC于P，交BC于Q，則PR=QR.
注意：本定理的逆定理也成立.
題型一 角平分線定理
已知交橢圓)長軸(短軸)于點(diǎn)是橢圓上關(guān)于長軸(短軸)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線交長軸(短軸)于，則或.(雙曲線也有相同調(diào)和共軛性質(zhì))
極點(diǎn)極線背景分析：如右圖，由于點(diǎn)P與Q符合調(diào)和共軛，則以P為極點(diǎn)的極線是QN，故N、A、P、B是調(diào)和點(diǎn)列，，作A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則.
【例3】已知橢圓，其短軸長為，離心率為，雙曲線的漸近線為，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，動(dòng)直線不垂直于坐標(biāo)軸）交橢圓于，不同兩點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率為，，若，試探究該動(dòng)直線是否過軸上的定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．
題型二．斜率和為0與內(nèi)外角平分線解讀
已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),,直線的斜率和為0,則直線的斜率為.
如圖所示,過點(diǎn)作軸的平行線,分別交于點(diǎn),則分別是的內(nèi)角,外角平分線,所以所以是橢圓的一組調(diào)和共軛點(diǎn),即
【例4】(2022新高考Ⅰ卷)已知在雙曲線上,直線交于、兩點(diǎn),直線,斜率之和為0.求的斜率;
題型三 內(nèi)外角平分線與焦點(diǎn)準(zhǔn)線
1.橢圓外角平分線與焦準(zhǔn)模型
外角平分線模型設(shè)和是圓雉曲線一組對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,圓雉曲線的弦交準(zhǔn)線于點(diǎn),則到的距離是相等的,亦即是的內(nèi)角平分線或者外角平分線.
顯然,當(dāng)且僅當(dāng)弦交雙曲線于兩支時(shí),是的內(nèi)角平分線.
證明:如圖,過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,則根據(jù)外角平分線的逆定理,所以平分的外角.
雙曲線內(nèi)角平分線與焦準(zhǔn)模型
證明:如圖,過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,則根據(jù) 內(nèi)角平分線的逆定理,所以平分的外角.
【例5】設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，不垂直于軸且不過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，在中，若的外角平分線與直線交于點(diǎn)，則的橫坐標(biāo)為　 　．
雙外角平分線垂直模型
設(shè)，MN是過橢圓焦點(diǎn)的兩條弦,分別交對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線于則有;
注意：一般考試中，MN通常為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以會(huì)經(jīng)常利用調(diào)和線束+平行弦構(gòu)造中點(diǎn)來考查.
【例6】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的最大值為3，橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)，與直線交于一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練3】(2018全國卷I)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明:.
【訓(xùn)練4】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)（異于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，的角平分線交直線于點(diǎn)，證明：是的中點(diǎn)．
題型四 調(diào)和點(diǎn)列+平行弦中點(diǎn)
【例7】(2020北京)已知橢圓過點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).求的值.
【例8】(2018北京文)已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.
(1)求橢圓的方程;
(2)若，求的最大值;
(3)設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若和點(diǎn)共線，求.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練5】（2023 全國一模）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)的直線交雙曲線于點(diǎn)、．直線、分別交直線于點(diǎn)、，求的值．
【訓(xùn)練6】已知橢圓，斜率為1的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于，求證:直線過定點(diǎn).
考向3 調(diào)和線束斜率關(guān)系
1.調(diào)和線束的斜率關(guān)系
調(diào)和線束的斜率關(guān)系:若是調(diào)和線束,則它們的斜率滿足
，
題型一：利用斜率關(guān)系判斷定點(diǎn)定值
【例1】（2023 乙卷）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【例2】(2022北京卷)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦距為.
(1)求橢圓的方程
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,直線，分別與軸交于點(diǎn),.當(dāng)時(shí),求的值.
【例3】(2022全國乙卷)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過兩
點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足.證明:直線過定點(diǎn).
題型二. 調(diào)和共軛點(diǎn)與斜率等差
橢圓或雙曲線中，設(shè)直線與橢圓或雙曲線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸、軸的交點(diǎn)分分別為、，點(diǎn)和點(diǎn)均不是橢圓頂點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)在直線上，則；
【例4】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，且直線且與圓相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使直線與直線的斜率之和為2？若存在，求出該定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）若是直線上任一點(diǎn)，則．
（3）過圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）焦點(diǎn)的任一直線交圓錐曲線于、兩點(diǎn)，交對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)，點(diǎn)位于圓錐曲線的通徑所在直線上，則．
注意：本結(jié)論將F換成，且軸，M與N滿足調(diào)和共軛，也成立.
【例5】已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的離心率為，點(diǎn)M（3，﹣1）在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P（﹣4，2），直線AP交直線x＝﹣2于點(diǎn)Q．設(shè)直線QA，QB的斜率分別k1，k2，求證：k1﹣k2為定值．
【例6】(2013江西文)橢圓：（）的離心率為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，，，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于N直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，證明為為定值.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】已知雙曲線E：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線E于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，.
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，證明：直線PB過定點(diǎn).
【訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中, 點(diǎn), 點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn). 若為直徑的圓與圓內(nèi)切, 記點(diǎn)的軌跡為曲線
(1) 求的方程;
(2) 設(shè)點(diǎn),直線,分別與曲線交于點(diǎn)異于) , 垂足為,求 的最小值.
【訓(xùn)練3】（2013江西理）如圖，橢圓C：（）經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.
（1）求橢圓的方程；
（2）是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，.問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【例7】過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn),當(dāng)與軸平行時(shí),,當(dāng)與軸平行時(shí),.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)是直線上一定點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練4】已知橢圓 的離心率為 , 過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn), 當(dāng) 過坐標(biāo)原點(diǎn) 時(shí), .
(I )求橢圓 的方程;
(II) 線段 上是否存在定點(diǎn) , 使得直線 與直線 的斜率之積為定值. 若存在,求出點(diǎn) 的坐標(biāo); 若不存在, 請(qǐng)說明理由.
考向4 帕斯卡定理
一．帕斯卡（Pascal）定理及其逆定理
圖1 L，M，N三點(diǎn)共線
圖2 L，M，N三點(diǎn)共線
已知是二階點(diǎn)列上任意六個(gè)點(diǎn),我們記:
12與45的交點(diǎn)為,
23與56的交點(diǎn)為,
34與61的交點(diǎn)為,
那么L、M和三點(diǎn)共線(此直線叫Pascal線)。
二．帕斯卡定理中點(diǎn)的名稱的替換
帕斯卡定理中,123456六個(gè)點(diǎn)的排列次序是任意的,但無論怎樣排列,必須構(gòu)成一回路。圖1和2的回路按順時(shí)針排列次序分別為152463和156423。下面我們?cè)倥e幾個(gè)不同排列次序,看它們的結(jié)果怎樣
我們考察順序?yàn)?36425的六點(diǎn)。根據(jù)定理:12與45的交點(diǎn)為,23與56的交點(diǎn)為與61的交點(diǎn)為,可得到下圖所示結(jié)果:
圖3對(duì)于136425六點(diǎn)排列次序的帕斯卡定理
可以看出,與圖1(或3)的差別是L,N兩點(diǎn)的上下位置進(jìn)行了互換,M仍在它們中間。
再考察順序?yàn)?63524(或,416352)的六點(diǎn)。根據(jù)定理,可得到下圖所示結(jié)果:
圖4對(duì)于163524排列次序的帕斯卡定理
可以看出,點(diǎn)位于和兩點(diǎn)的中間,跑到了曲線外邊。LNM三點(diǎn)仍保持共線。
再考察六點(diǎn)位置完全為遞增的自然順序123456。根據(jù)定理的陳述,可得到下圖所示結(jié)果:
圖5對(duì)于123456六點(diǎn)原始次序的Pascal定理
從上圖可以看出,三點(diǎn)的排列位置和圖2類似,且三點(diǎn)也都位于曲線之外部。
L，M，N三個(gè)點(diǎn)中,也允許有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如,圖5中若有一對(duì)邊平行,如23與56平行,則它們的交點(diǎn)是與23和56有共同方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),如圖6所示。
圖6帕斯卡定理中允許有無窮遠(yuǎn)交點(diǎn)
究竟有多少種不同的情況呢 對(duì)于6點(diǎn)位置,共有種排列,但輪換相同的6種排列(如,612345)構(gòu)成的回路相同,順時(shí)針和逆時(shí)針排,如123456和564321,也代表相同回路,不同排列的回路（即Hamilton回路）情況為(6-1)!/2=60種。帕斯卡定理說明對(duì)于這60種不同的回路都會(huì)使它們的6頂點(diǎn)的三組對(duì)邊的交點(diǎn)L、M、N共線。
最后還要說明兩點(diǎn):六個(gè)頂點(diǎn)中,如相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)有1到3個(gè)重合,這樣六個(gè)點(diǎn)就變成5個(gè)、4個(gè)或3個(gè),這時(shí)帕斯卡定理仍然成立。
【例1】（2023 北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
【例2】已知點(diǎn)，是橢圓的左，右頂點(diǎn)，橢圓的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與橢圓交于點(diǎn)，，直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【例3】已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．
【例4】已知如圖，點(diǎn)，為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)，，（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線，于點(diǎn)，．求證：四邊形為平行四邊形．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練1】已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左、右和上頂點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于第二象限內(nèi)，兩點(diǎn)，且在，之間，與直線交于點(diǎn)，試判斷直線與是否平行，并說明理由．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)9.4 調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線論
考向 1 單比與交比
一．單比的概念及性質(zhì)
1.單比的定義

如果共線三點(diǎn) P1,P2 ,P滿足 P1P PP2 ,則 稱為共線三點(diǎn) P1,P2 ,P的單比，也可以表示為 P分 P1P2 為
。其中 P1,P2稱為基點(diǎn),P稱為分點(diǎn)。
對(duì)單比的概念我們需要理解以下幾點(diǎn):
⑴單比的定義是有順序的,共線三點(diǎn) P1,P2 ,P的順序不可隨意調(diào)整，起點(diǎn) 分點(diǎn) (分點(diǎn) 終點(diǎn)) ;
⑵當(dāng) P位于線段 P1,P2之間時(shí), 0，否則,當(dāng) P位于線段 P1,P2之外時(shí)， 0，P為線段 P1P2中點(diǎn)時(shí) 1；
⑶如果 P1,P2為定點(diǎn), 也給定,則點(diǎn) P的位置唯一確定;
⑷在平面直角坐標(biāo)系中, P1 x1, y1 ,P2 x2 , y2 ,由向量坐標(biāo)運(yùn)算,得出定比分點(diǎn)公式：
x x1 x y yP 2 , y 1 21 P 1
⑸所謂共線三點(diǎn)的單比,即為定比分點(diǎn)中的定比。
最早出現(xiàn)定比分點(diǎn)高考題是在 2006年山東高考卷，由于年代久遠(yuǎn)，所以我們就用同類型題來解讀。
2. 為定值的參數(shù)同構(gòu)與點(diǎn)差法
當(dāng)圓錐曲線上兩點(diǎn)作為定比分點(diǎn)，線段兩個(gè)端點(diǎn)分別位于焦點(diǎn)和另一條坐標(biāo)軸上時(shí)，這里會(huì)涉及一個(gè)
為定值的問題，我們介紹參數(shù)同構(gòu)法，點(diǎn)差思想來處理．
2 5
【例 1】已知焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線 x2 4y的焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn) F 的
5
y 直線 l交橢圓于 A， B兩點(diǎn)，交 軸于點(diǎn)M，且MA 1AF，MB 2BF
(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 1 2 為定值.
x22 y
2
【例 】已知橢圓C : 2 1(a b 0) e
1
2 的離心率 ，短軸長為 2 3．a(chǎn) b 2
（1）求橢圓C 的方程；

（2）已知經(jīng)過定點(diǎn) P(1,1) 3的直線 l與橢圓相交于 A，B兩點(diǎn)，且與直線 y x相交于點(diǎn)Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由．
二．單比與交比
1.單比角元形式
兩條直線的有向角滿足下面幾個(gè)性質(zhì):
(1).如果直線 a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線b ,則 (a,b)為正角;如果直線 a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線b ,則 (a,b)為負(fù)角;
(2). sin(a,b) sin(b,a) .

如下圖,分別連接共線三點(diǎn) A,C,B與其所在直線外一點(diǎn) S ,記所形成的直線分別為 a,c,b ,若 AC CB ,則
SAsin(a,c) .
SB sin(c,b)
2、交比的概念及性質(zhì)

點(diǎn)列的交比:如果共線四點(diǎn) P1,P2 ,P3 ,P4滿足 P1P3 P3P2 ,P1P4 P4P2 ,則 稱為共線四點(diǎn) P1,P 2
,P3 ,P4的
交比,記為 P1,P2 ;P3 ,P4 。其中 P1,P2稱為基點(diǎn)偶(對(duì)), P3 ,P4 稱為分點(diǎn)偶(對(duì))。
點(diǎn)列交比的角元形式：如下圖,分別連接共線四點(diǎn) P1,P2 ,P3 ,P4與其所在直線外一點(diǎn) S ,記所形成的直線分別
為 a,b,c,d P sin(a,c)sin(d ,b),則 1,P2;P3,P4 .sin(c,b)sin(a,d)
從交比的角元形式可以看出,交比 P1,P2 ;P3 ,P4 的值只與直線的有向角有關(guān)系,與線段長度沒有關(guān)系。于是我
們很容易據(jù)此得到交比的射影不變性。
3.交比的射影不變性
交比的射影不變性：如圖所示,過點(diǎn) S 引四條相交直線,分別與另外兩條直線交于 A,B,C,D和 P1,P2 ,P3 ,P4 ,
則 P1,P2 ;P3 ,P4 (A,B;C,D)
交比的射影不變性,是交比的角元形式的直接推論，交比的射影不變性表明，交比經(jīng)中心射影后不變。
關(guān)于交比射影不變性的斜率公式，我們會(huì)在后面章節(jié)進(jìn)行解讀，交比射影不變性的推論，結(jié)合調(diào)和
點(diǎn)列，基本上可以打通高考.
【例 3】射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖，O為透視中心，平面內(nèi)四
個(gè)點(diǎn) E，F(xiàn) ，G，H 經(jīng)過中心投影之后的投影點(diǎn)分別為 A，B，C，D．對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn) A，B，C，D，
CA
定義比值 x CB 叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比，記作 (ABCD)．
DA
DB
（1）證明： (EFGH ) (ABCD) ；
（2）已知 (EFGH ) 3 ，點(diǎn) B為線段 AD sin ACO 3的中點(diǎn)， AC 3OB 3, ，求 cos A．
2 sin AOB 2
【例 4】交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè) A，B，C，D是直線 l上互異且
AC BD
非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱 （分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如 AB BA)為 A， B，C， D四點(diǎn)
BC AD
的交比，記為 (A， B；C，D)．
（1）證明：1 (D,B;C, A) 1 ；
(B, A;C,D)
（2）若 l1 ， l2 ， l3， l4 為平面上過定點(diǎn) P且互異的四條直線， L1，L2 為不過點(diǎn) P且互異的兩條直線，L1與
l1 ， l2 ， l3， l4 的交點(diǎn)分別為 A1， B1，C1，D1， L2 與 l1 ， l2 ， l3， l4 的交點(diǎn)分別為 A2， B2，C2 ， D2 ，證
明： (A1， B1；C1， D1) (A2 ， B2；C2 ，D2 )；
（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若 EFG與△ E F G 的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同
一點(diǎn)，則 EFG與△ E F G 對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上．
三．調(diào)和點(diǎn)列與定比點(diǎn)差
1．調(diào)和點(diǎn)列的概念

AP
如下圖①，點(diǎn) P在線段 AB上，則滿足 ( 0)的點(diǎn) P是唯一存在的．但是，如果將線段 AB改為直
PB

AP AP AQ
線 AB，此時(shí)，滿足 的點(diǎn)有兩個(gè)，如下圖②，不妨記另一個(gè)點(diǎn)為Q，則 ( 1)
PB PB QB
，在此
種情況下，我們稱點(diǎn) A、 P、 B、Q為調(diào)和點(diǎn)列，或者稱點(diǎn) P、Q調(diào)和分割點(diǎn) A、 B．按照交比的調(diào)和比
解釋，就是 (AB,PQ) 1
A P B
圖①
A P B Q
圖②
特別的，當(dāng) 1時(shí)，即點(diǎn) P為 AB的中點(diǎn)，則Q為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．
2．調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)
AC AD
如下圖所示：對(duì)于線段 AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn) D滿足C、D調(diào)和分割線段 AB，即 ，設(shè)O為
CB DB
線段 AB的中點(diǎn)，則有以下結(jié)論成立：
A O C B D
CA CB
①點(diǎn) A、 B也調(diào)和分割C、D，即 ；
AD BD
2 1 1
② （ AB是 AC與 AD的調(diào)和平均數(shù)）．
AB AC AD

【例 5】(2011山東卷改編)設(shè) A1、 A2、 A3、 A4是平面直角坐標(biāo)系中相異的四點(diǎn)，若 A1A3 A1A2 ( R)，

A1A4 A1A2 ( R)
1 1
，且 2，則稱 A3，A4調(diào)和分割 A1A2 .已知平面上的點(diǎn)C ，D調(diào)和分割點(diǎn) A，B，
則下面說法正確的是 ( )
A． A、 B、C、D四點(diǎn)共線 B．D可能是線段 AB的中點(diǎn)
C．C、D可能同時(shí)在線段 AB上D． C、D不可能同時(shí)在線段 AB的延長線上
3.定比分點(diǎn)和調(diào)和分點(diǎn)支配下的圓錐曲線

在橢圓或雙曲線中，設(shè) A，B為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)，若存在 P，Q兩點(diǎn)，滿足 AP PB，AQ QB，
xPxQ y P
yQ
則一定有： 2 2 1a b

證明 若 A(x ，y ) x x，B(x ，y )，且 AP PB，則 P( 1 2
y1 y2
1 1 2 2 ， ) ；若 AQ QB，則1 1
ì
x
2 2
1 y
2 ±
1
2 = 1 （1）
Q( x1 x2 y y

， 1 2 )，有 í a b ，
1 1 l 2x2 l 2 y2
2 22 ± 2 = l
2（2）
a b
（1）-（2）可得：
(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y 2) 1 2 1 x x x即得： 1 2 1 x2 1 y1 y22 2 2 2
y1 y2 1，
a b a 1 1 b 1 1
xPxQ y P
yQ
故 1．
a2 b2

在拋物線 y2 2px中，設(shè) A，B為拋物線上的兩點(diǎn)．若存在 P，Q兩點(diǎn)，滿足 AP PB，AQ QB，
一定有 yP yQ p(xP xQ ) ．
x x y y
證明 若 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 ) ， AP PB，則 P( 1 2 ， 1 2 ) ， AQ QB，則1 1
x 2Q( 1 x y y
ì y = 2px ①2 ， 1 2 ) ，有 í 1 1
1 1 l 2 y 2 2 2 = 2l px2 ②
2 2 2
①—②得： y1 y2 p(x1 x1
2x2
2x2 )
即(y1 y2)(y1 y2) p(x1 x2 x1 x2 x1
2x2 x1
2x2 )，
(y y
所以 1 2
)(y1 y2) p(x1 x2)(1 ) p(x1 x )(1 ) 2 ，故 y y p(x x ) ．
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) P Q P Q
定比點(diǎn)差的原理謎題解開，就是兩個(gè)互為調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程．

2 2
【例 6】過 P(4，1) x y
| AP | | AQ |
的直線交橢圓 1于不同兩點(diǎn) A， B，在線段 AB上取點(diǎn)Q，滿足 .
4 2 | PB | |QB |
求證:點(diǎn)Q在某定直線上.
7 x
2 y2
【例 】已知雙曲線C : 2 2 1(a 0,b 0)過點(diǎn) A(4 2,3)，且焦距為 10．a(chǎn) b
（1）求C 的方程；
2 |GD | | HD |（ ）已知點(diǎn) B(4 2, 3)，D(2 2,0)，E為線段 AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H 兩點(diǎn)．證明： ．
|GE | | HE |
四．定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差
2
若出現(xiàn) yP 0( 或者 yQ 0)，則 xPxQ a
2 a，此時(shí) xP m, xQ ;若出現(xiàn) xP 0( 或者 xQ 0) ，則m
2 2 2
yP yQ b
2，此時(shí) yP n, y
b a b
Q .對(duì)于公式中，成對(duì)出現(xiàn)的“m, ”或者“ n, ”，由于公式的背景和極點(diǎn)n m n
極線有關(guān)，不妨可以稱它們?yōu)椤罢{(diào)和共軛數(shù)”.
x2 y2
【例 8】已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)
1
的離心率 e ，且經(jīng)過點(diǎn) (1 , 3)，點(diǎn) F1,F2為橢圓C的左、右焦點(diǎn).a b 2 2
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn) F1 分別作兩條互相垂直的直線 l1,l2 ，且 l1 與橢圓交于不同兩點(diǎn) A,B,l2 與直線 x 1交于點(diǎn) P .若

AF1 F1B，且點(diǎn)Q滿足QA QB，求 PQF1面積的最小值.
類型一 定點(diǎn)在 x軸
x2 y2
過定點(diǎn) P(xP , 0)的直線與橢圓 2 2 1(a b 0)相交于 A、 B兩點(diǎn)，設(shè) AP PB( 1),A(x1 , y1) ，a b
a2
B(x2 , y2 )，則在直線 AB上一定存在點(diǎn)Q滿足 AQ QB，根據(jù)定比點(diǎn)差法可知 xQ .xP
xP xx Q
xP xQ
1
2 2
xP xQ xP xQ
一定有 x2
2 2
y1 y2 0


x x x1 2 x x p
xQ x p
xQ

1

p 1 x1 x2 x p (1 )
2 2
x x x x x x
證明: 1 2 xQ x1 x2 xp (1 )
p Q p Q
1
x2
2 2
y1 y
y1 y2 0
2 y y 0 1 2 0
1
類型二 定點(diǎn)在 y軸
2 2
過定點(diǎn) P(0 , y p )
x y
的直線與橢圓 2 2 1(a b 0)相交于 A、 B兩點(diǎn)，設(shè) AP PB( 1),A(x , y ) ，a b 1 1
2
B(x2 , y2 ) ，則在直線 AB 上一定存在點(diǎn) Q 滿足 AQ QB y
b
，根據(jù)定比點(diǎn)差法可知 Q .同yP
y y y y
y
P Q P Q
1
2 2
yP yQ yP yQ
理: y2 .
2 2
x1 x2 0


由于在考試當(dāng)中我們經(jīng)常要拿出這三個(gè)等式，故我們稱之為:“三炮齊鳴，天下太平”
x2
【例 9】(2018 浙江高考)已知點(diǎn) P(0 , 1) ，橢圓 y2 m(m 1) 上兩點(diǎn) A、 B 滿足 AP 2PB ，則當(dāng)
4
m 時(shí)，點(diǎn) B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】設(shè)拋物線C : y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為 F ，過點(diǎn) P(0，4)的動(dòng)直線 l與拋物線C 交于 A， B兩點(diǎn)，
當(dāng) F 在 l上時(shí)，直線 l的斜率為 2．
（1）求拋物線的方程；

（2）在線段 AB上取點(diǎn) D，滿足 PA PB， AD DB，證明：點(diǎn) D總在定直線上．
x2 y2
2 1【訓(xùn)練 】已知橢圓C : 2 2 1 (a b 0)的焦距為 2，離心率為 ．a(chǎn) b 2
（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線 l與 x軸正半軸和 y軸分別交于點(diǎn)Q， P ，與橢圓分別交于點(diǎn)M ， N ，各點(diǎn)均不重合且滿足

PM MQ， PN NQ．若 4，證明：直線 l恒過定點(diǎn)．
【訓(xùn)練 3】點(diǎn) S 是直線 PQ外一點(diǎn),點(diǎn)M ,N 在直線 PQ上(點(diǎn)M ,N 與點(diǎn) P,Q任一點(diǎn)不重合).若點(diǎn)M 在線段
PQ (P,Q;M ) | SP | sin PSM | SP | sin PSM上 ,記 ,若點(diǎn) M 在線段 PQ 外 ,記 (P,Q;M ) .記
| SQ | sin MSQ | SQ | sin MSQ
(P,Q;M ,N ) (P,Q;M ) .
(P,Q;N )
記 ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c ,已知 b 2, A 60 ,點(diǎn) D 是射線 BC 上一點(diǎn) ,且
(B,C;D) c .
2
(1)若 AD 3 1 ,求 ADC，
1 3n
(2)射線 BC上的點(diǎn)M0 ,M1,M2 , 滿足 B,C3M n ,D ,n N ,2
(i)當(dāng) n 0時(shí),求 AM0 8AD的最小值，
CP
(ii)當(dāng) n 0時(shí),過點(diǎn)C作CPn AMn于P nn ,記 an ,求證，數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn 2 2 .n
考向 2 極點(diǎn)極線與完全四邊形
一．極點(diǎn)極線的定義
1．二次曲線的替換法則
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 x2 y2 x0 y xy對(duì)于一般式的二次曲線 ： ，用 xx 00 代 ，用 yy0代 ，用 代 xy，2
x x y y
用 0 代 x，用 0 代 y，常數(shù)項(xiàng)不變，
2 2
x y xy x x y y
可得方程： Axx0 B 0 0 Cyy0 D 0 E 0 F 0．2 2 2
2.極點(diǎn)極線的綜合模型——自極三角形
極點(diǎn)極線的幾何意義:
（1）若點(diǎn) P是圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn) P的切線即為極點(diǎn) p對(duì)應(yīng)的極線．
（2）如圖所示（以橢圓圖形為例），若點(diǎn) P是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，且不為原點(diǎn)O，過點(diǎn) P作割線 PAB 、
PCD依次交圓錐曲線于 A、B、C、D四點(diǎn)，連結(jié)直線 AD、BC交于點(diǎn)M ，連結(jié)直線 AC、BD交于點(diǎn) N，
則直線 lMN 為極點(diǎn) P對(duì)應(yīng)的極線．類似的，也可得到極點(diǎn) N 對(duì)應(yīng)的極線為直線 lPM ，極點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)的極線為直
線 lPN ，因此，我們把△PMN 稱為自極三角形．【即△PMN 的任一頂點(diǎn)作為極點(diǎn)，則頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊即為對(duì)
應(yīng)的極線，“補(bǔ)全自極三角形”這個(gè)技巧很常用，后面結(jié)合例題了解！】
如圖所示，如果我們連結(jié)直線 NM 交圓錐曲線于點(diǎn) E、F ，則直線 PE、PF 恰好為圓錐曲線的兩條切
線，此時(shí)，直線 lEF 不僅是極點(diǎn) P的極線，我們也稱直線 lEF 為漸切線．
下面的共軛點(diǎn)模型，實(shí)際都是極點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的特例模型的應(yīng)用，也是高考題常見．
二．完全四邊形
1.完全四邊形定義
完全四邊形兩兩相交，如下圖的四邊形 ABCD，沒有三線共點(diǎn)的四條直線 AB、BC、CD、DA，及它們
的六個(gè)交點(diǎn)， ABE, ADF ,BCF ,DCE兩兩相交于 A,B,C ,D,E,F 六點(diǎn)，六個(gè)點(diǎn)可分成三對(duì)相對(duì)的頂點(diǎn),
它們的連線 AC ,BD,EF是三條對(duì)角線.則 ABCDEF 即為完全四邊形
2.退化二次曲線構(gòu)造曲線系解讀完全四邊形
模型構(gòu)造： f1(x，y) f2 (x，y) f3 (x，y)
x2 y2
如圖， A、B分別為橢圓 2 2 1(a b 0)的左右頂點(diǎn)，M 、N為橢圓上任意兩點(diǎn)，MN 與 x軸交a b
于點(diǎn)Q， AM 與 BN 交于點(diǎn) P，我們可以理解為 A，M ，B，N四點(diǎn)確定橢圓（雙曲線和拋物線也一致），
那么四點(diǎn)之間連線有 6條，我們選取兩條交點(diǎn)在橢圓內(nèi)的直線乘積式構(gòu)造弱化二次曲線 f1(x，y) 0，再選
取兩條交點(diǎn)在橢圓外的直線乘積式構(gòu)造另一條弱化的二次曲線 f2 (x，y) 0，可以理解為兩條弱化的二次曲
x2 y2
線形成了這個(gè)橢圓 f3 (x，y) 2 2 1 0，即 f1(x，y) f2 (x，y) f3 (x，y)a b
注意：這里最終結(jié)果會(huì)指向一個(gè)極點(diǎn)極線性質(zhì) xPxQ a
2 ，故在設(shè)計(jì) lAB : y 0， lMN : x ky m 0，
f1(x，y) y (x ky m) 0 ， lAM : x k1y a 0， lBN : x k2y a 0
2 2
f2 (x y) (x k y a) (x k y a) 0 y (x ky m) (x k y a) (x k y a) (
x y
， 1 2 ，從而得出： 1 2 2 2 1)；a b
記住：曲線系只需要對(duì)比系數(shù)，確定參數(shù)，無需展開求出 和 ， k， k1， k2 均是斜率倒數(shù)，不是斜率．
2
【例 1】（2020 新課標(biāo)Ⅰ）已知 A， B 分別為橢圓 E : x 22 y 1(a 1)的左、右頂點(diǎn)，G 為 E 的上頂點(diǎn)，a

AG GB 8． P為直線 x 6上的動(dòng)點(diǎn)， PA與 E的另一交點(diǎn)為M ， PB與 E的另一交點(diǎn)為 N．
（1）求 E的方程；
（2）證明：直線MN 過定點(diǎn)．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ( 2 5， 0)，離心率為 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）記C 的左、右頂點(diǎn)分別為 A1， A2，過點(diǎn) ( 4,0)的直線與C的左支交于M ， N兩點(diǎn)，M 在第二象限，
直線MA1與 NA2 交于 P，證明 P在定直線上．
跟蹤訓(xùn)練
【訓(xùn)練 1】（2011 四川）如圖，橢圓有兩頂點(diǎn) A( 1，0)、B(1，0)，過其焦點(diǎn) F (0，1)的直線 l與橢圓交于C，D
兩點(diǎn)，并與 x軸交于點(diǎn) P．直線 AC與直線 BD交于點(diǎn)Q． 當(dāng)點(diǎn) P異于 A，B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OP OQ為定
值．
2 2
【訓(xùn)練 2】已知橢圓C x y： 2 2 1(a b 0)
3
的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2 ，點(diǎn) P(1， )在C上，且 PF2 F Fa b 2 2 1
．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)C的左右頂點(diǎn)分別為 A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l過右焦點(diǎn) F2 且不與坐標(biāo)軸垂直，l與C交于M ，
N兩點(diǎn)，直線 AM 與直線 BN 相交于點(diǎn)Q，證明點(diǎn)Q在定直線上．
三．調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理
1.調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束
根據(jù)完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列可知，完全四邊形的任意一條對(duì)角線的兩端,都被它和另外兩條對(duì)角線
的交點(diǎn)所調(diào)和分割.如果我們以 S 點(diǎn)為射影中心， P1,P2 ,P3 ,P4 為調(diào)和點(diǎn)列，利用交比不變性，如下圖，
(P1P2 ,P3P4 ) (AB,CD) 1，
則 SP1， SP2， SP3 ， SP4均為 S點(diǎn)的調(diào)和線束.
2.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和點(diǎn)列解讀
如圖所示，若(P1P2,P3P4)=-1， SP1， SP2 ， SP3 ， SP4 均為 S點(diǎn)的調(diào)和線束，過 P4S 延長線上任意一
點(diǎn) A作 AB // SP1分別交 SP3 和 SP2于點(diǎn) B和 C，則 AC BC .
證明：根據(jù)交比不變性，若(P1P2,P3P4)=-1，則 (A，B；C， ) 1 ,故 AC CB .
3.調(diào)和平行中點(diǎn)定理推論
若 A，M，B，N是調(diào)和點(diǎn)列，如下圖所示，過 A作任意直線 l，在 l上任取一點(diǎn) C，連接 CM，CN，過
N作 DE//CM交 AC和 BC于 D、E兩點(diǎn)，則必有：
①DN=EN，
②在 CN上任取一點(diǎn) R，作 PQ//CM//DE交 AC于 P，交 BC于 Q，則 PR=QR.
注意：本定理的逆定理也成立.
題型一 角平分線定理
2 2
已知 AB x y交橢圓 2 2 1 a b 0 )長軸(短軸)于點(diǎn) P,B,B
r 是橢圓上關(guān)于長軸(短軸)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直
a b
x x y y
線 AB Q P Q P Q交長軸(短軸)于 ，則 2 1或 2 1.(雙曲線也有相同調(diào)和共軛性質(zhì))a b
極點(diǎn)極線背景分析：如右圖，由于點(diǎn) P 與 Q 符合調(diào)和共軛，則以 P 為極點(diǎn)的極線是 QN，故 N、A、P、B 是調(diào)
BP BQ BN BQ BQ
和點(diǎn)列， (內(nèi)角平分線定理)，作 A 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn) A ，則 .
PA AQ NA QA QA
x2 y2
【例 3】已知橢圓C1 : 2 2 1 (a b 0)，其短軸長為 2 3，離心率為 ea b 1
，雙曲線
x2C y
2
2 : 1(p 0，q 0)的漸近線為 y 3x，離心率為 e2，且 e1 e2 1．p q
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的右焦點(diǎn)為 F ，動(dòng)直線 l(l不垂直于坐標(biāo)軸）交橢圓C1于M ，N不同兩點(diǎn)，設(shè)直線 FM 和 FN
的斜率為 k1， k2 ，若 k1 k2 ，試探究該動(dòng)直線 l是否過 x軸上的定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說
明理由．
題型二．斜率和為 0與內(nèi)外角平分線解讀
x2 y2
已知點(diǎn) A,B是橢圓 1(a b 0)上的動(dòng)點(diǎn), P x , y ,直線 PA,PB的斜率和為 0,則直線a2 2 ABb 0 0
b2x0
的斜率為 2 .a y0
如圖所示,過點(diǎn)P作 x, y軸的平行線,分別交 AB于點(diǎn)N ,M ,則 PM ,PN 分別是 APB的內(nèi)角,外角平分
線,所以 (AB,MN ) 1,所以M (x0 ,m),N n, y
x n m y
0 是橢圓的一組調(diào)和共軛點(diǎn),即
0 0
2 2 1,a b
2
k m y0 b x 0AB .x0 n a
2y0
x2 y2
【例 4】(2022 新高考Ⅰ卷)已知 A(2，1)在雙曲線C : 2 2 1(a 1)上,直線 l交C于 P、Q兩點(diǎn),直線a a 1
AP , AQ斜率之和為 0.求 l的斜率;
題型三 內(nèi)外角平分線與焦點(diǎn)準(zhǔn)線
1.橢圓外角平分線與焦準(zhǔn)模型
外角平分線模型設(shè) F 和 l是圓雉曲線一組對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,圓雉曲線的弦 AB交準(zhǔn)線 l于點(diǎn)M ,則M 到
AF ,BF的距離是相等的,亦即MF是 AFB的內(nèi)角平分線或者外角平分線.
顯然,當(dāng)且僅當(dāng)弦 AB交雙曲線于兩支時(shí),MF是 AFB的內(nèi)角平分線.
證明:如圖,過點(diǎn) A,B
AF AM AP
作準(zhǔn)線 l的垂線,垂足分別為M ,N ,則 ,根據(jù)外角平分線的逆定理,所
BF BN PB
以 PF平分 AFB的外角.
2. 雙曲線內(nèi)角平分線與焦準(zhǔn)模型
證明:如圖,過點(diǎn) A,B M ,N
AF AM AP
作準(zhǔn)線 l的垂線,垂足分別為 ,則 ,根據(jù) 內(nèi)角平分線的逆定理,所
BF BN PB
以 PF平分 AFB的外角.
2 2
【例 5】設(shè) F 為橢圓C : x y 1的右焦點(diǎn)，不垂直于 x軸且不過點(diǎn) F 的直線 l與C交于M ， N兩點(diǎn)，在
4 3
MFN中，若 MFN 的外角平分線與直線MN 交于點(diǎn) P，則 P的橫坐標(biāo)為 ．
3. 雙外角平分線垂直模型
設(shè) AB，MN是過橢圓焦點(diǎn) F 的兩條弦,MA,NA分別交對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線于 P,Q則有 FM FN ;
注意：一般考試中，MN通常為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以會(huì)經(jīng)常利用調(diào)和線束+平行弦構(gòu)造中點(diǎn)來考查.
6 E : x
2 y2
【例 】已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左、右頂點(diǎn)分別為 A、B，點(diǎn) F 是橢圓 E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢a b
1
圓 E上，且 |QF |的最大值為 3，橢圓 E的離心率為 ．
2
（1）求橢圓 E的方程；
（2）若過點(diǎn) A的直線與橢圓 E交于另一點(diǎn) P（異于點(diǎn) B)，與直線 x 2交于一點(diǎn)M ， PFB的角平分線與
直線 x 2交于點(diǎn) N，求證：點(diǎn) N是線段 BM 的中點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練
2
【訓(xùn)練3 x】(2018全國卷 I)設(shè)橢圓C : y2 1的右焦點(diǎn)為 F ，過 F 的直線 l與C交于 A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M 的坐
2
標(biāo)為 (2 , 0) .
(1)當(dāng) l與 x軸垂直時(shí)，求直線 AM 的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明: OMA OMB .
x2 y2
【訓(xùn)練 4】已知雙曲線 E : 2 1(a 0)的左焦點(diǎn)為 F ， A， B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到雙a 3
3
曲線的漸近線的距離為 ．
2
（1）求 E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn) B的直線與雙曲線左支交于點(diǎn) P（異于點(diǎn) A)，直線 BP與直線 l : x 1交于點(diǎn)M ， PFA的角平
分線交直線 l于點(diǎn) N，證明： N是MA的中點(diǎn)．
題型四 調(diào)和點(diǎn)列+平行弦中點(diǎn)
2 2
【例 7 x y】(2020 北京)已知橢圓C :
a2
2 1過點(diǎn) A( 2 , 1)，且 a 2b .b
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn) B( 4 , 0) l | PB |的直線 交橢圓C于點(diǎn)M ,N ，直線MA,NA分別交直線 x 4于點(diǎn) P,Q .求 的值.
| BQ |
y
Q
M
N
B O x
A
P
x2 y2
【例 8】(2018 6北京文)已知橢圓M : 2 2 1(a b 0)的離心率為 ，焦距為 2 2 .斜率為 k的直線 l與a b 3
橢圓M 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A、 B .
(1)求橢圓M 的方程;
(2)若 k 1，求 | AB |的最大值;
(3)設(shè) P( 2 , 0)，直線 PA與橢圓M 的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線 PB與橢圓M 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D .若C,D和點(diǎn)
Q( 7 , 1 ) 共線，求 k .
4 4
跟蹤訓(xùn)練
2 2
【訓(xùn)練 5】（2023 x y 全國一模）已知雙曲線 C :
a2

b2
1(a 0,b 0) 過點(diǎn) A(3, 2) ，且漸近線方程為
x 3y 0．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）如圖，過點(diǎn) B(1,0)的直線 l交雙曲線C于點(diǎn)M 、 N．直線MA、 NA分別交直線 x 1于點(diǎn) P、Q，求
| PB |
的值．
| BQ |
x2 y2
【訓(xùn)練 6】已知橢圓C : 1，斜率為 1的直線 l與橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M (4 , 0)，直線 AM 與橢
4 3
圓交于點(diǎn) A1，直線 BM 與橢圓交于 B1，求證:直線 A1B1過定點(diǎn).
考向 3 調(diào)和線束斜率關(guān)系
1.調(diào)和線束的斜率關(guān)系
調(diào)和線束的斜率關(guān)系:若 l1, l3;l2 , l4 是調(diào)和線束,則它們的斜率滿足
k1 k2 k k 1 1 2 1 4
k2 k3 k3 k
，
4 k1 k2 k1 k4 k1 k3
2 k1k3 k2k4 k1 k3 k2 k4
題型一：利用斜率關(guān)系判斷定點(diǎn)定值
2 2
【例 1】（2023 y x 乙卷）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)
5
的離心率為 ，點(diǎn) A( 2,0)在C上．
a b 3
（1）求C 的方程；
（2）過點(diǎn) ( 2,3)的直線交C于點(diǎn) P，Q兩點(diǎn)，直線 AP，AQ與 y軸的交點(diǎn)分別為M ，N，證明：線段MN
的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
x2 y2
【例 2】(2022北京卷)已知橢圓 E : 2 2 1(a b 0)的一個(gè)頂點(diǎn)為 A(0，1) ,焦距為 2 3 .a b
(1)求橢圓 E的方程
(2)過點(diǎn) P( 2，1)作斜率為 k的直線與橢圓 E交于不同的兩點(diǎn) B ,C ,直線 AB，AC 分別與 x軸交于點(diǎn)M , N .
當(dāng) |MN | 2時(shí),求 k的值.
【例 3 3】(2022 全國乙卷)已知橢圓 E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x軸、 y軸，且過 A(0 , 2),B( , 1)兩
2
點(diǎn).
(1)求 E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn) P(1 , 2) 的直線交 E于M ,N 兩點(diǎn)，過M 且平行于 x軸的直線與線段 AB交于點(diǎn)T，點(diǎn) H 滿足

MT TH .證明:直線 HN 過定點(diǎn).
題型二. 調(diào)和共軛點(diǎn)與斜率等差
x2 y2
橢圓或雙曲線 2 2 1中，設(shè)直線 AB與橢圓或雙曲線交于 A、 B兩點(diǎn)，且直線 AB與 x軸、 y軸的交點(diǎn)a b
分分別為M(m，0)、N(0，n)，點(diǎn)M 和點(diǎn) N均不是橢圓頂點(diǎn)．
a2
（1）若點(diǎn) P在直線 x 上，則 k
m PA
kPB 2kPM；
x24 y
2
【例 】已知橢圓 E : 1 (a b 0)經(jīng)過點(diǎn)Q( 2,0) ，且直線bx cy bc 0(c a2 b2 且 c b)2 2 與a b
x2圓 y2
3
相切．
4
（1）求橢圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)M (1，0)的直線 l交 E于 A，B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn) P，使直線 AP與直線 BP的斜率之和為 2？
若存在，求出該定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
b2 1 1 2
（2）若 P是直線 y 上任一點(diǎn)，則 ．
n kPA kPB kPN
（3）過圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）焦點(diǎn) F 的任一直線交圓錐曲線于 A、B兩點(diǎn)，交對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)
N，點(diǎn) P位于圓錐曲線的通徑所在直線上，則 kPA kPB 2kPN．
注意：本結(jié)論將 F換成M (m，0)，且 PM x軸，M與 N滿足調(diào)和共軛， kPA kPB 2kPN也成立.
2 2
【例 5】已知雙曲線 C： 2 2 =1（a＞0，b＞0）的離心率為 2，點(diǎn) M（3，﹣1）在雙曲線 C上．
（1）求雙曲線 C的方程；
（2）若 F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn) F作直線 l交 C的左支于 A，B兩點(diǎn)．點(diǎn) P（﹣4，2），直線 AP交直
線 x＝﹣2于點(diǎn) Q．設(shè)直線 QA，QB的斜率分別 k1，k2，求證：k1﹣k2為定值．
2 2
【例 6】(2013 ) x y 3江西文 橢圓C： 2 2 1（ a b 0）的離心率為 e ， a b 3 .a b 2
（1）求橢圓C 的方程；
（2）如圖， A， B，D是橢圓C的頂點(diǎn)， P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線 DP交 x軸于 N直線 AD
交 BP于點(diǎn)M ，設(shè) BP的斜率為 k，MN 的斜率為m，證明為 2m k為定值.
跟蹤訓(xùn)練
2 2
【訓(xùn)練 1 x y 3】已知雙曲線 E： 2 2 1的左右焦點(diǎn)為 F1， F2，其右準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) F 到直線 l的距離為 ，過a b 2 2
點(diǎn) F2的動(dòng)直線交雙曲線 E于 A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線 AB與 x軸垂直時(shí)， AB 6 .
(1)求雙曲線 E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線 AF1與直線 l的交點(diǎn)為 P，證明：直線 PB過定點(diǎn).
【訓(xùn)練 2】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, 點(diǎn) F( 3,0) , 點(diǎn)D(x, y)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn). 若 DF為直徑的圓與圓
O : x2 y2 4內(nèi)切, 記點(diǎn)D的軌跡為曲線 E
(1) 求 E的方程;
(2) 設(shè)點(diǎn) A(0,1),M (t,0),N (4 t,0)(t 2) ,直線 AM , AN 分別與曲線 E交于點(diǎn) S ,T (S ,T 異于 A ) AH ST ,
垂足為H ,求 |OH | 的最小值.
x2 y2
【訓(xùn)練 3】（2013江西理）如圖，橢圓 C： 2 2 1（ a b 0）經(jīng)過點(diǎn) P(1 ,
3)，離心率 e 1 ，直線 l的
a b 2 2
方程為 x 4 .
（1）求橢圓C 的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn) F 的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn) P），設(shè)直線 AB與直線 l相交于點(diǎn)M ，記 PA，PB，PM
的斜率分別為 k1，k2，k3 .問：是否存在常數(shù) ，使得 k1 k2 k3？若存在，求 的值；若不存在，說明理
由.
2 2
【例 7】過點(diǎn) (4, 2) x y的動(dòng)直線 l與雙曲線 E : 1(a 0,b 0)交于 M ,N 兩點(diǎn)2 2 ,當(dāng) l與 x 軸平行a b
時(shí), |MN | 4 2 ,當(dāng) l與 y軸平行時(shí), |MN | 4 3 .
(1)求雙曲線 E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P是直線 y x 1上一定點(diǎn),設(shè)直線 PM ,PN 的斜率分別為 k1, k2 ,若 k1k2為定值,求點(diǎn) P的坐標(biāo).
【解析】(1)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 y2 4 ;
跟蹤訓(xùn)練
x2 y2
【訓(xùn)練 4】已知橢圓 C : 2 2 1(a b 0)
3
的離心率為 , 過點(diǎn) P(a,b) 的直線 l 與橢圓 C
a b 2
交于 A,B 兩點(diǎn), 當(dāng) l 過坐標(biāo)原點(diǎn) O 時(shí), | AB | 10 .
(I )求橢圓 C 的方程;
(II) 線段 OP 上是否存在定點(diǎn) Q , 使得直線 QA 與直線 QB 的斜率之積為定值. 若存在,求出點(diǎn) Q
的坐標(biāo); 若不存在, 請(qǐng)說明理由.
考向 4 帕斯卡定理
一．帕斯卡（Pascal）定理及其逆定理
圖 1 L，M，N三點(diǎn)共線
圖 2 L，M，N三點(diǎn)共線
已知1,2,3,4,5,6是二階點(diǎn)列上任意六個(gè)點(diǎn),我們記:
12與 45的交點(diǎn)為L ,
23與 56的交點(diǎn)為M ,
34與 61的交點(diǎn)為 N ,
那么 L、M和 N 三點(diǎn)共線(此直線叫 Pascal線)。
二．帕斯卡定理中點(diǎn)的名稱的替換
帕斯卡定理中,123456 六個(gè)點(diǎn)的排列次序是任意的,但無論怎樣排列,必須構(gòu)成一回路。圖 1和 2 的回
路按順時(shí)針排列次序分別為 152463和 156423。下面我們?cè)倥e幾個(gè)不同排列次序,看它們的結(jié)果怎樣
我們考察順序?yàn)?136425的六點(diǎn)。根據(jù)定理:12與 45的交點(diǎn)為 L ,23與 56的交點(diǎn)為M ,34與 61的交點(diǎn)
為 N ,可得到下圖所示結(jié)果:
圖 3對(duì)于 136425六點(diǎn)排列次序的帕斯卡定理
可以看出,與圖 1(或 3)的差別是 L,N兩點(diǎn)的上下位置進(jìn)行了互換,M仍在它們中間。
再考察順序?yàn)?163524(或635241,352416,524163,241635 ,416352)的六點(diǎn)。根據(jù)定理,可得到下圖所示結(jié)果:
圖 4對(duì)于 163524排列次序的帕斯卡定理
可以看出,點(diǎn) L位于M 和 N 兩點(diǎn)的中間, N 跑到了曲線外邊。LNM三點(diǎn)仍保持共線。
再考察六點(diǎn)位置完全為遞增的自然順序 123456。根據(jù)定理的陳述,可得到下圖所示結(jié)果:
圖 5對(duì)于 123456六點(diǎn)原始次序的 Pascal定理
從上圖可以看出, L,M ,N 三點(diǎn)的排列位置和圖 2類似,且三點(diǎn)也都位于曲線之外部。
L，M，N三個(gè)點(diǎn)中,也允許有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如,圖 5中若有一對(duì)邊平行,如 23與 56平行,則它們的交點(diǎn)M
是與 23和 56有共同方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),如圖 6所示。
圖 6帕斯卡定理中允許有無窮遠(yuǎn)交點(diǎn)
究竟有多少種不同的情況呢 對(duì)于 6 點(diǎn)位置 ,共有 6! 720 種排列 ,但輪換相同的 6 種排列 (如
123456,234561, ,612345)構(gòu)成的回路相同,順時(shí)針和逆時(shí)針排,如 123456和 564321,也代表相同回路,不同
排列的回路（即 Hamilton回路）情況為(6-1)!/2=60種。帕斯卡定理說明對(duì)于這 60種不同的回路都會(huì)使它們
的 6頂點(diǎn)的三組對(duì)邊的交點(diǎn) L、M、N共線。
最后還要說明兩點(diǎn):六個(gè)頂點(diǎn)中,如相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)有 1到 3個(gè)重合,這樣六個(gè)點(diǎn)就變成 5個(gè)、4個(gè)或 3個(gè),
這時(shí)帕斯卡定理仍然成立。
x2 y2
【例 1】（2023 北京）已知橢圓 E : 2 2 1(a b
5
0)的離心率為 ，A、C分別為 E的上、下頂點(diǎn)，B、
a b 3
D分別為 E的左、右頂點(diǎn)， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）點(diǎn) P為第一象限內(nèi) E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 PD與直線 BC交于點(diǎn)M ，直線 PA與直線 y 2交于點(diǎn) N．求
證：MN / /CD．
2 2
【例 2】已知點(diǎn) A， B是橢圓 E : x y 32 2 1(a b 0)的左，右頂點(diǎn)，橢圓 E的短軸長為 2，離心率為 ．a(chǎn) b 2
（1）求橢圓 E的方程；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l經(jīng)過點(diǎn) P( 2,2)，并且與橢圓 E交于點(diǎn)M ，N，直線 BM 與直線OP交于點(diǎn)T，
設(shè)直線 AT ， AN的斜率分別為 k1， k2 ，求證： k1k2為定值．
2 2
【例 3】已知 A1( 3,0)和 A
x y
2 (3,0)是橢圓 : 2 2 1(a b 0)的左、右頂點(diǎn)，直線 l與橢圓 相交于M ，Na b
5
兩點(diǎn)，直線 l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且不與坐標(biāo)軸平行，直線 A1M 與直線 A2M 的斜率之積為 ．9
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線OM 與橢圓 的另外一個(gè)交點(diǎn)為 S，直線 A1S與直線 A2N 相交于點(diǎn) P，直線 PO與直線 l相交于
點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求出該定直線的方程．
【例 4】已知如圖，點(diǎn) B1， B
2
2為橢圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且 B2的坐標(biāo)為 (0,1)，橢圓C的離心率為 ．2
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線 l不經(jīng)過橢圓C的中心，且分別交橢圓C與直線 y 1于不同的三點(diǎn) D， E， P（點(diǎn) E在線
段DP上），直線 PO分別交直線 DB2 ， EB2 于點(diǎn)M ， N．求證：四邊形 B1MB2N 為平行四邊形．
跟蹤訓(xùn)練
x2 y2
【訓(xùn)練 1】已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)
3
的離心率為 , A1, A2 ,B分別為橢圓C的左、右和上頂點(diǎn)，直線a b 2
A1B交直線 l : y x于點(diǎn) P，且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 2．
（1）求橢圓C 的方程；
（2）過點(diǎn) P的直線與橢圓C 交于第二象限內(nèi) D， E兩點(diǎn)，且 E在 P，D之間， A1E與直線 l交于點(diǎn)M ，
試判斷直線 A1D與 A2M 是否平行，并說明理由．

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