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9.3 圓錐曲線大題篇課后練習
1．（2024 廣州模擬）已知 B( 2,0)，C(2,0)為 ABC的兩個頂點，P為 ABC的重心，邊 AC， AB上的兩
條中線長度之和為 3 6 ．
（1）求點 P的軌跡 的方程；
2．（2024 江西模擬）在平面直角坐標系 xOy中，點 P到 F1(0, 5)和 F2 (0, 5)的距離之和等于 6，記動點 P
的軌跡為W ．
（1）求W 的軌跡方程；
3．（2024 廣西模擬）在平面直角坐標系中，F (1,0)，直線 l1 : x 1，動點M 在直線 l1 上，過點M 作直線 l1
的垂線，與線段 FM 的中垂線交于點 P．
（1）求點 P的軌跡C1的方程 t．
4．（2024 陜西模擬）已知T是 A : (x 1)2 y2 16上的動點 (A點是圓心）．定點 B(1,0)，線段TB的中垂線
交直線TA于點 P．
（1）求 P點軌跡 ；
5．（2024 福建模擬）在直角坐標系 xOy中，點 P到直線 x 2的距離等于點 P到原點O的距離，記動點 P
的軌跡為W ．
（1）求W 的方程；
6．（2024 錦州模擬）已知G是圓T : (x 1)2 y2 12上一動點 (T 為圓心），點H 的坐標為 (1,0)，線段GH 的
垂直平分線交TG于點 R，動點 R的軌跡為C．
（1）求曲線C 的方程；

（2）設 P是曲線C上任一點，延長OP至點Q，使OQ 2OP，點Q的軌跡為曲線 E．
(i)求曲線 E的方程；
7．（2024 江蘇模擬）在平面直角坐標系 xOy中，已知點 A1(2,0)，A2 ( 2,0)，P為平面內一動點，記直線 PA1
的斜率為 k，直線 PA2的斜率為 k2 ，且 k1k2 4，記動點 P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C 的方程；
8．（2024 3 遼陽模擬）在平面直角坐標系 xOy內，已知定點 F (2,0)，定直線 l : x ，動點 P到點 F 和直線 l
2
2 3
的距離的比值為 ，記動點 P的軌跡為曲線 E．
3
（1）求曲線 E的方程．

9．（2024 蘇州模擬）已知點 A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)和動點 P(x, y)滿足 y2是 PA PB，PA PC的等差中項．
（1）求 P點的軌跡方程；
10．（2024 重慶月考）已知C1( 2,0)，C2 (2,0)，動點 P滿足 PC
1
1與 PC2 的斜率之積為定值 ．4
（1）求動點 P的軌跡 的方程；
11．（2024 重慶模擬）在平面直角坐標系 xOy中，點 D為 x2 y2 1上一動點，點 A，B分別在 x軸， y軸

上且 DA x軸， DB y軸，若 BA AW ，點W 的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C 的軌跡方程；
x2 y212．（2020 海南）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)過點M (2,3)
1
，點 A為其左頂點，且 AM 的斜率為 ．
a b 2
（1）求C 的方程；
（2）點 N為橢圓上任意一點，求 AMN的面積的最大值．
2 2
13 x y 3．（2024 桂林模擬）已知橢圓C : 2 1(a b 0)的離心率為 ，且橢圓C 的短軸長為 2 6．a b2 3
（1）求橢圓C 的方程．
（2）設 P是橢圓C上第一象限內的一點， A是橢圓C的左頂點， B是橢圓C的上頂點，直線 PA與 y軸相
交于點M ，直線 PB與 x軸相交于點 N．記 ABN 的面積為 S1 ， AMN的面積為 S2 ．證明： | S1 S2 |為定
值．
2 2
14（. 2024 x y 2 武漢模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左右頂點分別為 A , B ,過橢圓內點D( ，0)且不與a b 3
x軸重合的動直線交橢圓C于 P，Q兩點,當直線 PQ與 x軸垂直時,
PD BD 4 .
3
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)設直線 AP， AQ和直線 l : x t分別交于點M ,N ,若MD⊥ND恒成立,求 t的值.
x2 y2
15.（2024 北京模擬）已知 F1，F2 分別為橢圓 E : 2 2 1(a b 0)的左、右焦點，點M (0, 1)為橢圓的a b
一個頂點，△ F1MF2 是頂角為120 的等腰三角形．
（1）求橢圓 E的方程；
（2）過點M 分別作直線MA，MB交橢圓 E于 A，B兩點，設兩直線的斜率分別為 k1，k2 ，且 k1 k2 4，
求證：直線 AB過定點．
x2 y2
16.(2024 南寧模擬)如圖，橢圓 E : 2 1(a b 0)經過點 A(0， 1)
2
，且離心率為 ．
a b2 2
(Ⅰ)求橢圓 E的方程；
(Ⅱ)經過點 (1，1)，且斜率為 k的直線與橢圓 E交于不同的兩點 P，Q（均異于點 A)，證明：直線 AP與 AQ
的斜率之和為 2．
x2 y2 2
17.（2024 廣東模擬）已知點 P( 2，1)是橢圓 E : 2 2 1(a b 0)上一點,且 E的離心率為 .a b 2
(1)求橢圓 E的方程;
(2)點 A，B在橢圓 E上, PD AB，D 1為垂足,若直線 PA和直線 PB斜率之積為 .求證:存在定點 N ,使
6
得 | ND |為定值.
2 2
18.（2024 x y 湖南模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左、右頂點分別為 A， B ,右焦點 F , | AF | 3，a b
過 F 的直線 l與橢圓C交于M ， N兩點,且△AMN 面積是△BMN 面積的 3 倍.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線 AM ，AN與直線 x 4分別交于 P，Q兩點,試問:以 PQ為直徑的圓是否過定點 若是,求出定點
坐標;若不是,說明理由.
19.（2024 福州模擬）已知拋物線 E : y2 2px(p 0)，過點 ( 2,0)的兩條直線 l1 ， l2 分別交 E于 AB兩點和
C，D 2兩點．當 l1 的斜率為 時， | AB | 13．3
（1）求 E的標準方程；
（2）設G為直線 AD與 BC的交點，證明：點G必在定直線上．
20.（2024 甘肅模擬）已知拋物線C : y2 2px(p 0)，焦點為 F ，點M (4， y0 )(y0 0)在拋物線C 上，且
|MF | 5．
（1）求拋物線C的方程；

（2）若 A(x1， y1)、B(x2 ， y2 )在拋物線C 上，點M 、 A、B中任意兩點不重合，且MA MB 0，判斷直
線 AB是否過定點，若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．
21.（2024 貴州模擬）已知拋物線C : x2 2py(p 0)上的點 P(x0 ，1)到其焦點 F 的距離為 2．
（1）求拋物線C的方程及點 F 的坐標；
（2）過拋物線C上一點Q作圓M : x2 (y 3)2 4的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線C 交于異于點Q
的 A， B兩點．證明：直線 AB與圓M 相切．
x2 y2 2 2 3
22.(2024 河北模擬)已知橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的離心率 e ，且過點 P ( 6， ) .a b 3 3
(1)求橢圓C的方程;
x y
(2)設 A1， A2為橢圓C的左.右頂點，直線 l : 1與橢圓C交于 E， F 兩點，點 F 關于原點O的對稱m n
點為 F ，直線 A1E與直線 A2G交于點M ，求證:直線OM 與直線 EF 的交點 N在定直線上.
x2 y2
23.(2024 湖北模擬)設橢圓C : 2 2 1(a b 0) 的左.右頂點分別為 A , B ,上頂點為 D ,點 P是橢圓Ca b
3
上異于頂點的動點,已知橢圓的離心率 e ,短軸長為 2,
2
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線 AD與直線 BP交于點M ，直線 DP與 x軸交于點 N ,求證:直線MN 恒過某定點，并求出該定點.
x2 y2
24.（2024 黑龍江模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的離心率 e
1
，短軸長為 2 3．
a b 2
（1）求橢圓C 的方程；
3
（2）已知經過定點 P(1,1)的直線 l與橢圓相交于 A，B兩點，且與直線 y x相交于點Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否為定值？若是，請求出具體數值；若不是，請說明理由．
25.（2024 四川模擬）設拋物線C : y2 2px(p 0)的焦點為 F ，過點 P(0 , 4)的動直線 l與拋物線C交于 A,B
兩點，當 F 在 l上時，直線 l的斜率為 2 .
(1)求拋物線的方程:

(2)在線段 AB上取點D，滿足 PA PB,AD DB，證明:點D總在定直線上.
x2 y22024 126.（ 黑龍江模擬）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的離心率 e ，短軸長為 2 3．a b 2
（1）求橢圓C 的方程；

（2）已知經過定點 P(1,1) 3的直線 l與橢圓相交于 A，B兩點，且與直線 y x相交于點Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否為定值？若是，請求出具體數值；若不是，請說明理由．
x2
27.(2020 新課標 I)已知 A,B 分別為橢圓 E : 2 y
2 1(a 1) 的左、右頂點， G 為 E 的上頂點，
a

AG .GB 8 . P為直線 x 6上的動點， PA與 E的另一交點為C,PB與 E的另一交點為 D .
(1)求 E的方程;
(2)證明:直線CD過定點.
2
M : x y
2
28.(2018 北京文)已知橢圓 2 2 1(a b
6
0)的離心率為 ，焦距為 2 2 .斜率為 k的直線 l與橢圓
a b 3
M 有兩個不同的交點 A、 B .
(1)求橢圓M 的方程;
(2)若 k 1，求 | AB |的最大值;
(3)設 P( 2 , 0)，直線 PA與橢圓M 的另一個交點為C，直線 PB與橢圓M 的另一個交點為 D .若C,D和點
Q( 7 1 , ) 共線，求 k .
4 4
2 2
29.（2024 x y 南京月考）如圖，在平面直角坐標系中， F1， F2 分別為雙曲線 : 2 2 1(a 0,b 0)的左、a b
右焦點，雙曲線離心率為 2 ，若點 A為雙曲線右支上一點，且 | AF1 | | AF2 | 2 2，直線 AF2 交雙曲線于 B
點，點 D為線段 F1O的中點，延長 AD， BD，分別與雙曲線 交于 P，Q兩點．
（1）若 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，求證： x1y2 x2 y1 2(y2 y1)；
2 k k（ ）若直線 AB，PQ的斜率都存在，且依次設為 k1，k2 .試判斷 2 是否為定值，如果是，請求出 2 的值；k1 k1
如果不是，請說明理由．
x2 230.（2010 y江蘇）橢圓 1的左右頂點為 A， B，右焦點為 F ．設過點T (9，m)的直線TA，TB分
9 5
別與橢圓交于M (x1，y1)， N (x2 ，y2 )，其中m 0， y1 0， y2 0．求證：直線MN 必過 x軸上一個定
點．
x2 y231.（2016 山東）已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的長軸長為 4，焦距為 2 2．a b
（1）求橢圓C的方程；
（2）過動點M (0，m)(m 0)的直線交 x軸與點 N，交C于點 A， P(P在第一象限），且M 是線段 PN 的
中點．過點 P作 x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM 交C于點 B．
①設直線 PM，QM k的斜率分別為 k ， k 21 2，證明 為定值；k1
②求直線 AB的斜率的最小值．
2
32.（2024 x 上海模擬）已知橢圓C的方程為 y2 1．
2
x x
（1）設M (xM ， yM )是橢圓C 上的點，證明：直線 M yM y 1與橢圓C有且只有一個公共點；2
（2）過點 N (1, 2)作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為 A、 B，點 N在直線 AB上的射
影為點Q，求點Q的坐標；
（3）互相垂直的兩條直線 l1 與 l2 相交于點 P，且 l1 、 l2 都與橢圓C只有一個公共點，求點 P的軌跡方程．
33．（2024 福建模擬）在 ABC中， ABC 90 ，AB 6， ACB的平分線交 AB于點 D，AD 2DB．平
面 過直線 AB，且與 ABC所在的平面垂直．
（1）求直線CD與平面 所成角的大小；
（2）設點 E ，且 ECD 30 ，記 E的軌跡為曲線 ．
(i)判斷 是什么曲線，并說明理由；
(ii)不與直線 AB重合的直線 l過點 D且交 于 P，Q兩點，試問：在平面 內是否存在定點T，使得無論 l
繞點 D如何轉動，總有 PTC QTC？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
9.3 圓錐曲線大題篇課后練習
1．（2024 廣州模擬）已知，為的兩個頂點，為的重心，邊，上的兩條中線長度之和為．
（1）求點的軌跡的方程；
2．（2024 江西模擬）在平面直角坐標系中，點到和的距離之和等于6，記動點的軌跡為．
（1）求的軌跡方程；
3．（2024 廣西模擬）在平面直角坐標系中，，直線，動點在直線上，過點作直線的垂線，與線段的中垂線交于點．
（1）求點的軌跡的方程．
4．（2024 陜西模擬）已知是上的動點點是圓心）．定點，線段的中垂線交直線于點．
（1）求點軌跡；
5．（2024 福建模擬）在直角坐標系中，點到直線的距離等于點到原點的距離，記動點的軌跡為．
（1）求的方程；
6．（2024 錦州模擬）已知是圓上一動點為圓心），點的坐標為，線段的垂直平分線交于點，動點的軌跡為．
（1）求曲線的方程；
（2）設是曲線上任一點，延長至點，使，點的軌跡為曲線．
求曲線的方程；
7．（2024 江蘇模擬）在平面直角坐標系中，已知點，，為平面內一動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且，記動點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
8．（2024 遼陽模擬）在平面直角坐標系內，已知定點，定直線，動點到點和直線的距離的比值為，記動點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程．
9．（2024 蘇州模擬）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．
（1）求點的軌跡方程；
10．（2024 重慶月考）已知，，動點滿足與的斜率之積為定值．
（1）求動點的軌跡的方程；
11．（2024 重慶模擬）在平面直角坐標系中，點為上一動點，點，分別在軸，軸上且軸，軸，若，點的軌跡記為曲線．
（1）求曲線的軌跡方程；
12．（2020 海南）已知橢圓過點，點為其左頂點，且的斜率為．
（1）求的方程；
（2）點為橢圓上任意一點，求的面積的最大值．
13．（2024 桂林模擬）已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長為．
（1）求橢圓的方程．
（2）設是橢圓上第一象限內的一點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，直線與軸相交于點，直線與軸相交于點．記的面積為，的面積為．證明：為定值．
14.（2024 武漢模擬）已知橢圓的左右頂點分別為,,過橢圓內點且不與軸重合的動直線交橢圓于，兩點,當直線與軸垂直時,
.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)設直線，和直線分別交于點,若恒成立,求的值.
15.（2024 北京模擬）已知，分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的一個頂點，△是頂角為的等腰三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，求證：直線過定點．
16.(2024 南寧模擬)如圖，橢圓經過點，且離心率為．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，（均異于點，證明：直線與的斜率之和為2．
17.（2024 廣東模擬）已知點是橢圓上一點,且的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)點，在橢圓上,，為垂足,若直線和直線斜率之積為.求證:存在定點,使得為定值.
18.（2024 湖南模擬）已知橢圓的左、右頂點分別為，,右焦點,，過的直線與橢圓交于，兩點,且面積是面積的3倍.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線，與直線分別交于，兩點,試問:以為直徑的圓是否過定點 若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
19.（2024 福州模擬）已知拋物線，過點的兩條直線，分別交于兩點和，兩點．當的斜率為時，．
（1）求的標準方程；
（2）設為直線與的交點，證明：點必在定直線上．
20.（2024 甘肅模擬）已知拋物線，焦點為，點，在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）若，、，在拋物線上，點、、中任意兩點不重合，且，判斷直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．
21.（2024 貴州模擬）已知拋物線上的點，到其焦點的距離為2．
（1）求拋物線的方程及點的坐標；
（2）過拋物線上一點作圓的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線交于異于點的，兩點．證明：直線與圓相切．
22.(2024 河北模擬)已知橢圓的離心率，且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設，為橢圓的左.右頂點，直線與橢圓交于，兩點，點關于原點的對稱點為，直線與直線交于點，求證:直線與直線的交點在定直線上.
23.(2024 湖北模擬)設橢圓的左.右頂點分別為,,上頂點為,點是橢圓上異于頂點的動點,已知橢圓的離心率,短軸長為2,
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線交于點，直線與軸交于點,求證:直線恒過某定點，并求出該定點.
24.（2024 黑龍江模擬）已知橢圓的離心率，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經過定點的直線與橢圓相交于，兩點，且與直線相交于點，如果，，那么是否為定值？若是，請求出具體數值；若不是，請說明理由．
25.（2024 四川模擬）設拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于兩點，當在上時，直線的斜率為.
(1)求拋物線的方程:
(2)在線段上取點，滿足，證明:點總在定直線上.
26.（2024 黑龍江模擬）已知橢圓的離心率，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經過定點的直線與橢圓相交于，兩點，且與直線相交于點，如果，，那么是否為定值？若是，請求出具體數值；若不是，請說明理由．
27.(2020 新課標I)已知分別為橢圓的左、右頂點，為的上頂點，..為直線上的動點，與的另一交點為與的另一交點為.
(1)求的方程;
(2)證明:直線過定點.
28.(2018北京文)已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點、.
(1)求橢圓的方程;
(2)若，求的最大值;
(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.若和點共線，求.
29.（2024 南京月考）如圖，在平面直角坐標系中，，分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線離心率為，若點為雙曲線右支上一點，且，直線交雙曲線于點，點為線段的中點，延長，，分別與雙曲線交于，兩點．
（1）若，，，，求證：；
（2）若直線，的斜率都存在，且依次設為，試判斷是否為定值，如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．
30.（2010 江蘇）橢圓的左右頂點為，，右焦點為．設過點的直線，分別與橢圓交于，，其中，，．求證：直線必過軸上一個定點．
31.（2016 山東）已知橢圓的長軸長為4，焦距為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過動點，的直線交軸與點，交于點，在第一象限），且是線段的中點．過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點．
①設直線PM，QM的斜率分別為，，證明為定值；
②求直線的斜率的最小值．
32.（2024 上海模擬）已知橢圓的方程為．
（1）設，是橢圓上的點，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點；
（2）過點作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為、，點在直線上的射影為點，求點的坐標；
（3）互相垂直的兩條直線與相交于點，且、都與橢圓只有一個公共點，求點的軌跡方程．
33．（2024 福建模擬）在中，，，的平分線交于點，．平面過直線，且與所在的平面垂直．
（1）求直線與平面所成角的大小；
（2）設點，且，記的軌跡為曲線．
判斷是什么曲線，并說明理由；
不與直線重合的直線過點且交于，兩點，試問：在平面內是否存在定點，使得無論繞點如何轉動，總有？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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9.3 圓錐曲線大題篇
俗話說“小題靠結論，大題靠模板”，的確，無論是新高考還是老高考，平常積累的一些二級結論確實對解決小題有著很大的幫助，尤其一些有著幾何背景和數據的模型，對解決離心率之類問題幫助很大。到了解答題，課本給到我們最直接的就是“直曲聯立”，將直線代入圓錐曲線，得到二次方程，這也是最常規的方法，被廣泛認同，甚至成為了官方標答。
但是，這個真的好算嗎？老師課堂上最常見的就是聯立后交給學生們去自行操作，巨大的計算量不知不覺“勸退”了不少學生，他們拿第一問分數，第二問技巧性的聯立“騙分”。新高考模式下，一些常規聯立能解決的問題由于都考過，所以越來越少，所以導致簡單的大家都會，難一點的大家都跪。我們陸陸續續介紹了圓錐曲線的各種方法，并給予解答題的匯總，以及什么情況下用什么方法，以便我們更加高效地學習并理解圓錐曲線。
年份 新高考1 新高考2 甲卷 乙卷 北京 天津 浙江
2023 垂直弦 弦長 斜率比 極點極線背景 拋物線焦半徑 簡單面積處理 斜率和定值 調和線束平行中點定理 單動點 五邊形 帕斯卡定理背景 面積比轉化為坐標比
2022 斜率和 2.面積 1.中點 2.斜率 3.退化二次曲線布利安桑定理背景 1.拋物線截距等比 2.最大張角 定點 隱藏斜率倒數和定值 隱藏斜率倒數和為定值 切線 單動點 隱藏斜率積為定值 弦長最值
2021 四點共圓 弦長 焦點弦 拋物線彭塞列閉合 阿基米德三角形面積 隱藏斜率積為定值 軸點弦 切線 單動點 長度等比
年份 新高考山東卷 I卷 II卷 III卷 北京 天津 浙江
2020 斜率積定值 過定點 斜率比 定點 極點極線背景 焦點弦長 兩圓錐曲線交點 面積 軸點弦 定值 切線 中點弦 兩圓錐曲線交點 定比分點
2019 理科：拋物線弦長 文科：拋物線數形結合長度差最值 理科：第三定義+面積最值 文科：焦點三角形 阿基米德三角形面積 拋物線兩點式方程 常規聯立 求斜率 拋物線兩點式方程 面積比值
2018 斜率互補的角平分線模型 拋物線焦點弦 中點弦 理科：拋物線兩點式方程 文科：軸點弦蝴蝶模型 常規聯立 求斜率 平行弦定比分點 面積最值
通過對近五年的高考題進行分析，由于教材內容的區別，上海卷筆者沒有采納，在2018、2019的高考題當中，圓錐曲線難度偏低，考題模型相對固定，甚至作為高考倒數第三題出現，當時就出現了一些聲音，比如概率壓軸常態化，比如圓錐曲線難度大大降低，只需要基本聯立和代入計算。
當2020年新高考在山東卷進行試點時，圓錐曲線作為壓軸題出現，將橢圓上共頂點的兩垂直弦作為條件，隱藏第三條邊過定點，從而開啟了新高考圓錐曲線的命題核心——“藏”。而一卷則模仿2010年江蘇卷命制了以極點極線為背景的求定點問題，其破題本質還是隱藏了斜率比值為定值。而北京卷卻以軸點弦為背景，兩個三點共線為輔助，也是經典的“1+2”模型，背景來自調和線束平行線中點定理，這種命題模型在2018年文科卷作為壓軸題就出現，只是18年出現了兩條軸點弦輔助一條三點共線，屬于經典“2+1”模型，這種類型常規聯立非常難算，而專門破解此類問題的定比點差法應運而生，其背景也是調和線束平行線中點定理。2020年，就是新高考起點，促使我們需要學習一些解決圓錐曲線的新技能。
2021年高考，屬于老教材新高考最后一年，題型不會大幅度創新，但是“藏”的命題邏輯和新方法引入已經是不可逆趨勢，新高考一卷的四點共圓問題，可以常規聯立，也可以用參數方程快速求出，甲卷和乙卷的拋物線問題涉及到了兩點式方程和同構方程思想，此思想方法在北京卷2018年就出現，阿基米德三角形在2013年江西卷和2019年II卷也出現，屬于老題新作。北京卷則延續了2020年的風格，延續了軸點弦，同時將斜率積為定值做了隱藏，這個命題邏輯延續到了2022年，北京卷總是一個風向標，值得我們重視。
2022年高考，來到了斜率和積隱藏的最高峰，除了新高考2卷和多年風格不變的天津卷，連浙江卷也加入了斜率積為定值的隱藏。甲卷延續之前III卷風格，拋物線常規聯立即可破解，其背景加入了米勒定理。這一年高考，成為了常規聯立越來越難在考場中操作完成，甚至因為選填題的難度加大導致很多考生做不到圓錐曲線第二問，而乙卷的計算量巨大也導致了很多師生開始懷疑之前的圓錐曲線學習方法，其對極點極線背景的隱藏，最終還是指向了調和線束平行線中點定理。新課標2卷，當大家在思考如何簡化計算時，按照退化二次曲線方程的解法完全實現了降維打擊，其背景也是指向了布利安桑定理，新高考的圓錐曲線，越來越強調對背景的挖掘和翻譯.
2023年高考，北京卷再次創新，引入了帕斯卡六邊形為背景，乙卷繼續沿用22年的調和線束平行線中點定理，2卷沿用2020年1卷的簡單極點極線的自極三角形翻譯，區別僅僅是解讀在了雙曲線上，1卷的弦長問題，則是在垂直環境下的一道經典題型，可追溯到2009年的垂直弦，最佳方法是復數旋轉來解讀垂直，將函數方程不等式思想在最后一題用拋物線為載體呈現。本文我們以近三年的高考題為參考，揣摩每一種方法在高考中如何應用得恰到好處。
考向1 方程與曲線
題型1 定義法
1．定義法
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點P和滿足焦點標志的定點連起來判斷．
熟記焦點的特征：
①關于坐標軸對稱的點；②標記為F的點；③圓心；④題上提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．注意求出軌跡方程后，也要查漏補缺．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐標系中，已知點，，，，點滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
【例2】（2016 新課標Ⅰ）設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點．
（Ⅰ）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；
跟蹤訓練
【訓練1】已知為坐標原點，，，點滿足，記點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
【訓練2】動圓與圓和圓都內切，記動圓圓心的軌跡為．
（1）求的方程；
題型2 直譯法
2．直譯法
根據題上條件，直接表示軌跡方程． 一般步驟為：
（1）建系設點 建立適當的坐標系，設曲線上任意動點坐標M為；
（2）等量關系 根據條件列出與M有關的等式；
（3）聯立化簡 化成最簡形式；
（4）確定范圍 驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點檢查方程表示的曲線是否有多余的點，或者曲線上是否有遺漏的點． 要檢查軌跡上是否所有的點是否都符合題干，常見的限制范圍有：題干涉及三角形，軌跡里面不能構成三角形的點要去掉；題干有斜率關系，斜率不存在的時候要去掉；軌跡為雙曲線的時候，要檢查是否左右兩支上的點都符合題意．
【例3】（2023 新高考Ⅰ）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
（1）求的方程；
【例4】（2019 新課標Ⅱ）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．
（1）求的方程，并說明是什么曲線；
跟蹤訓練
【訓練3】已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數．
（1）求動點的軌跡方程，并說明軌跡即曲線的形狀．
【訓練4】（2019 全國）已知點，，動點滿足與的斜率之積等于，記的軌跡為．
（1）求的方程；
題型3 相關點法
3．相關點法
若所求軌跡上的動點P與另一個已知曲線上的動點Q存在著某種聯系，可設點，用點P的坐標表示出來點Q，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法（或稱代入法）．
【例5】從圓上任取一點向軸作垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡為曲線（當為軸上的點時，規定與重合）．
（1）求的方程，并說明曲線的類型；
跟蹤訓練
【訓練5】在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點在線段上，且滿足．
（Ⅰ）當點在橢圓上運動時，求點的軌跡的方程；
考向2 韋達聯立與弦長面積問題
題型1 聯立之正設反設問題
1．直線和曲線聯立
（1）橢圓與直線相交于兩點，設，
，（正設）
橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，（反設）
注意：
①如果直線沒有過橢圓內部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關系．
②焦點在軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不再贅述．
（2）拋物線與直線相交于兩點，設，
聯立可得，時，
特殊的，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據此時A、B坐標來記憶．
拋物線與直線相交于兩點，設，，聯立可得，時，．
【例1】（2023 北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點，、分別為的左、右頂點，．
（1）求的方程；
（2）點為第一象限內上的一個動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標原點，左焦點為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點分別為，，過點的直線與的左支交于，兩點，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
跟蹤訓練
【訓練1】（2017 北京）已知拋物線過點．過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點作軸的垂線分別與直線、交于點，，其中為原點．
（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（2）求證：為線段的中點．
【訓練2】在平面直角坐標系中，點為上一動點，點，分別在軸，軸上且軸，軸，若，點的軌跡記為曲線．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點的直線與交于，兩點，若點，直線為的角平分線，求直線的方程．
題型2 韋達聯立與弦長問題
1．根的判別式和韋達定理
與聯立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為
可簡單記．
同理和聯立,為了方便敘述，將上式簡記為,，可簡記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
2．弦長公式
設，根據兩點距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得．
（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐標系中，已知點，，，，點滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
【例2】（2019 新課標Ⅰ）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
跟蹤訓練
【訓練3】（2021 新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點為，，且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，是橢圓上的兩點，直線與曲線相切．證明：，，三點共線的充要條件是．
【訓練4】已知橢圓過和兩點．，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點不在軸上），過橢圓右焦點的直線與橢圓交于、兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求的范圍．
題型3 韋達聯立與面積問題
三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高
圖4-6-2
證明：
（3）在平面直角坐標系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．
證明：直線的方程為，到它的距離為，
則．
【例1】（2023 甲卷）已知直線與拋物線交于，兩點，．
（1）求；
（2）設為的焦點，，為上兩點，且，求面積的最小值．
【例2】（2023 天津）設橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為，已知，．
（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；
（Ⅱ）已知點是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線交軸于點，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．
【例3】（2015 上海）已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為．
（1）設，，，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明；
（2）設與的斜率之積為，求面積的值．
跟蹤訓練
【訓練5】已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，點在橢圓C上.
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）已知，直線l：（）與橢圓C交于A，B兩點，若直線AP，BP的斜率之和為0，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
【訓練6】（2020 江蘇）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在第一象限內，，直線與橢圓相交于另一點．
（1）求△的周長；
（2）在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；
（3）設點在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點的坐標．
【訓練7】（2014 新課標Ⅰ）已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設過點的直線與相交于，兩點，當的面積最大時，求的方程．
考向3 聯立之曲線反代入直線
題型一 切線單動點語言體系
單動點就等于換元，我們本章介紹了三角代換，最大的優勢就是單動點在曲線上，如果是切點，最好用換元，這樣實現了曲線代入直線，.天津卷近年考得最多.
我們嘗試來求橢圓上一點處的切線方程，
當點位于第一或第二象限時，，求導得，當時，，故，代入切線方程得：
當點位于第三或第四象限時，，求導得
，當時，，故，代入切線方程得：．
【例1】（2021 乙卷）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
， B．， C．， D．，
橢圓的切線參數方程：；
雙曲線的切線參數方程：
【例2】(2022 天津卷)橢圓離心率為，直線與橢圓有唯一公共點，與軸交于點異于，記為原點，若，且△面積為，求橢圓方程 .
【例3】（2021 天津）已知橢圓中，，其上頂點為，右焦點為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓有唯一交點，與軸正半軸交于點，過作的垂線，交軸于點，已知，求直線的方程．
【例4】如圖，已知，分別為橢圓的左，右頂點，，為橢圓上異于點，的動點，若，且直線與直線的斜率之積等于．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過動點，作橢圓的切線，分別與直線和相交于，兩點，記四邊形的對角線，相交于點，問：是否存在兩個定點，，使得，為定值？若存在，求，的坐標；若不存在，說明理由．
跟蹤訓練
【訓練1】（2021 乙卷）設是橢圓的上頂點，點在上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【訓練2】如圖，已知，分別為橢圓的左，右頂點，，為橢圓上異于點，的動點，若，且面積的最大值為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線與橢圓相切于點，，且與直線和分別相交于，兩點，記四邊形的對角線，相交于點．
問：是否存在兩個定點，，使得為定值？若存在，求，的坐標；若不存在，說明理由．
題型二 單動點與四個頂點連線的三角換元
橢圓：，雙曲線：，不妨令，
通常單個動點在圓錐曲線上，用參數換元連接四個頂點是能大大簡化計算的.
以橢圓為例，
，，計算量瞬間被簡化.同理，關于上下頂點，，，
記憶方法：將作為第一象限角，則，顯然，所以左乘右除，左正右負，，；上負下正，上小下大，，，
【例5】（2023 北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點，、分別為的左、右頂點，．
（1）求的方程；
（2）點為第一象限內上的一個動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
【例6】(2013江西文)橢圓：（）的離心率為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，，，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于N直線交于點，設的斜率為，的斜率為，證明為為定值.
跟蹤訓練
【訓練3】設橢圓的左.右頂點分別為,,上頂點為,點是橢圓上異于頂點的動點,已知橢圓的離心率,短軸長為2,
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線交于點，直線與軸交于點,求證:直線恒過某定點，并求出該定點.
【訓練4】已知橢圓的離心率為，直線交粗圓所截得的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是第四象限橢圓上的動點，，分別為左，右頂點，，分別為上下頂點，交直線于點，交于點，求證:直線的斜率為定值.
題型三 拋物線兩點式同構方程體系
一．拋物線的兩點聯立式
過拋物線上兩點、的直線方程是:.
證明:以曲代直，，故直線方程為:，
化簡可得:.
記憶方法:把拋物線化成標準方程，然后將最左端的二次自動降為一次，再在最左端和最右端加上“、”皆可.同理，如果拋物線的形式是，直線的方程是:.
【例7】(2022全國甲卷)已知拋物線焦點為，點過焦點做直線交拋物線于兩點，當軸時，.
（1）求拋物線方程
（2）若直線與拋物線的另一個交點分別為.若直線，的傾斜角為，當最大時，求的方程
【例8】已知拋物線，焦點為，點，，過點作拋物線的切線，切點為，，又過作直線交拋物線于不同的兩點，，直線交拋物線于另一點．
（1）求拋物線方程；
（2）求證過定點．
【例9】(2018 北京理)已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于.
(I)求直線的斜率的取值范圍;
(II)設為原點，，求證:為定值.
跟蹤訓練
【訓練5】(2017 新課標Ⅰ文)設，為曲線上兩點,與的橫坐標之和為4.
(1)求直線的斜率;
(2)設為曲線上一點,在處的切線與直線平行,且,求直線的方程.
【訓練6】已知拋物線的準線與軸的交點為，直線過拋物線的焦點且與交于，兩點，的面積的最小值為4．
（1）求拋物線的方程；
（2）若過點的動直線交于，兩點，試問拋物線上是否存在定點，使得對任意的直線，都有，若存在，求出點的坐標；若不存在，則說明理由．
【訓練7】設拋物線的焦點為，點，過的直線交于，兩點．當直線垂直于軸時，．
（1）求的方程；
（2）若點，，過點的動直線交拋物線于、，直線交拋物線于另一點，連接并延長交拋物線于點．證明直線與直線的斜率之和為定值．
二．拋物線的雙切圓同構與彭塞列閉合圓
【例10】(2011·浙江理)已知拋物線，圓的圓心為，是上一點(異于原點)，過作圓的兩條切線，交于、兩點，.求的方程。
【例11】(2021·全國甲卷)拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，直線交于、兩點，且，已知點，且圓與相切.
(1)求，圓的方程;
(2)設、、是上的三個點，直線，均與圓相切，判斷直線與圓的位置關系，并說明理由.
【例11】已知拋物線的焦點到準線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點重合．
（1）求拋物線和圓的方程；
（2）設，為圓外一點，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個不同的點，，，和點，，，．且，證明：點在一條定曲線上．
【例12】(2021浙江文)如圖，已知點是軸左側(不含軸)一點，拋物線上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上.
(I)設中點為，證明:垂直于軸;
(II)若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍.
跟蹤訓練
【訓練8】過拋物線上一點作圓的兩條切線交于點，，求直線的方程.
【訓練9】拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．
（1）求拋物線的方程；
（2）設是拋物線上位于第一象限的一點，過作圓（其中的兩條切線，分別交拋物線于點，，證明：直線經過定點．
【訓練10】如圖，已知點是拋物線的準線上的動點，拋物線上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上．
（1）求拋物線的方程；
（2）記直線，，的斜率分別為，，，請問是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
考向4 斜率關系翻譯之齊次化
題型1 斜率關系與齊次化
已知點是平面內一個定點，橢圓C：上有兩動點
若直線，則直線過定點．
若直線，則直線過定點．
證明：將橢圓按向量方向平移，得橢圓：，展開得：．
平面內的定點和橢圓C上的動點分別對應橢圓上的定點和動點，設直線的方程為，代入展開式得（構造齊次式），當時，兩邊同時除以整理得，
因為點的坐標滿足這個方程，所以和是關于的方程的兩根．
若，由平移性質知，故，
整理可得到m和n的關系，從而可知直線過定點，由平移性質可得直線AB過定點．
若，由平移性質知，所以，整理可得到和的關系，從而可知直線過定點，由平移性質可得直線過定點．
注意：雙曲線的齊次化如法炮制
【例1】(2022新高考Ⅰ卷)已知在雙曲線上,直線交于、兩點,直線,斜率之和為0.
(1)求的斜率;
【例2】(2020 山東)已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求的方程;
(2)點,在上,且，，為垂足.證明:存在定點,使得為定值.
【例3】(2020全國1卷)已知分別為橢圓的左、右頂點,為的上頂點,
.為直線上的動點,與的另一交點為，與的另一交點為.
(1)求的方程;
(2)證明:直線過定點.
跟蹤訓練
【訓練1】(2017 新課標I理)已知橢圓,四點，，，，中恰有三點在橢圓上.
(1)求的方程;
(2)設直線不經過點且與相交于，兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明:過定點.
【訓練2】已知橢圓，點在橢圓上，橢圓的四個頂點的連線構成的四邊形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設點為橢圓長軸的左端點，、為橢圓上異于橢圓長軸端點的兩點，記直線、斜率分別為、，若，請判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由．
【訓練3】已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上任意一點（異于，，直線，分別交直線于，兩點．
（1）求證：；
（2）設直線交橢圓于另一點，求證：直線恒過定點．
題型2 隱藏斜率關系與齊次化
從曾經的直接考查斜率和積為定值，到如今斜率和積為定值都作為了隱藏條件，為最后的解答指明方向，本節我們介紹一下那些隱藏的斜率和積為定值問題，新高考，在于藏，不在于難.
高考中出現斜率和積問題，最早可以追溯到近二十年前，考題的日新月異決定了不會永遠局限于斜率和與積的問題,所以需要通過題目給到的定點或者探索定點的過程中,找到北后的本質邏輯.2022年新課標一巻的斜率和積成為了第一問就能看出來,壓軸問往往要根據已知的定點或者定值來探索斜率的關系.
1.已知點是橢圓右頂點,
①橢圓上弦過定點,則定值;
②橢圓上弦過定點,則定值;
證明:將橢圓按向量平移得橢圓,
①動點，分別對應橢圓上的動點,，根據題意直線過定點，的方程為
,即,當時,兩邊除以得:,
定值;
②動點,分別對應橢圓上的動點,,根據題意直線過定點，的方程為,代入①得,當時,兩邊除以得:,定值;
2.已知點是橢圓上頂點,
①橢圓上弦過定點,則定值;
②橢圓上弦過定點,則定值;
證明:將橢圓按向量平移得橢圓,
①動點,分別對應橢圓上的動點,,根據題意直線,過定點，,的方程為,即,當時,兩邊除以得:,定值;
②動點,分別對應橢圓上的動點,,根據題意直線,過定點，,的方程為
,即,當時,兩邊除以得:,
定值;
我們不需要記憶這個定值,但是我們可以提前預判定值的類型,從而進行定點定值的必要性探路,
【例4】已知橢圓的左右頂點分別為,,過橢圓內點且不與軸重合的動直線交橢圓于，兩點,當直線與軸垂直時,
.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)設直線，和直線分別交于點,若恒成立,求的值.
3.中點與斜率關系轉化
如圖,為的中線,設直線的斜率分別為,
①若與軸平行,則:；②若與軸平行,則:
【例5】（2023 乙卷）已知橢圓的離心率為，點在上．
（1）求的方程；
（2）過點的直線交于點，兩點，直線，與軸的交點分別為，，證明：線段的中點為定點．
【例6】(2022北京卷)已知橢圓的一個頂點為,焦距為.
(1)求橢圓的方程
(2)過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點,,直線，分別與軸交于點,.當時,求的值.
高考中隱藏的斜率比值問題
若為橢圓長軸頂點,直線交橢圓于兩點,交長軸于點,則為定值,反之,為定值,則過長軸上定點;
【例7】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標原點，左焦點為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點分別為，，過點的直線與的左支交于，兩點，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
【例8】(2022浙江卷)如圖,已知橢圓.設，是橢圓上異于的兩點,且點在線段上,直線分別交直線于，兩點.
(1)求點到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求的最小值.
【例9】(2022全國乙卷)已知橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為軸、軸,且過，兩點.
(1)求的方程;
(2)設過點的直線交于兩點,過且平行于軸的直線與線段交于點,點滿足.證明:直線過定點.
跟蹤訓練
【訓練4】已知橢圓的離心率為,橢圓上的點，與的最大距離為.
求橢圓的方程；
設橢圓的下、上頂點分別為A、B,過點P的直線與橢圓Q交于C、D兩點，與y軸交于點M，直線AC與直線BD交于點N，試探究是否為定值.
【訓練5】（2021·北京）已知橢圓：（）的一個頂點，以橢圓的四個頂點圍成的四邊形面積為.
（I）求橢圓的方程；
（II）過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線、分別與直線交于點、，當時，求的取值范圍.
【訓練6】已知動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數.
（1）求動點的軌跡方程，并說明軌跡即曲線的形狀.
（2）過作兩直線與拋物線（）相切，且分別與曲線交于，兩點，直線，的斜率分別為，.
①求證：為定值；
②試問直線DE是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.
考向5 平行垂直問題之參數方程與復數代換
類型一.長度參數方程構造
一．參數方程與四點共圓
【例1】（2021 新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點和，兩點，且
，求直線的斜率與直線的斜率之和．
補充：圓冪定理　
①相交弦定理：圓內的兩條相交弦與交于，則（左圖）．
②切割線定理：從圓外一點P引圓的切線PA和割線交圓于B、C兩點，則（中圖）．
③割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B和C、D，則（右圖）．
二． 參數方程破解類圓冪定理
在圓的切線長定理當中，存在，當這個問題出現在橢圓當中，則滿足類圓冪定理，確定的數值.
【例2】（2016 四川）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點．
（1）求橢圓的方程及點的坐標；
（2）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點．證明：存在常數，使得，并求的值．
【例3】已知拋物線，直線與拋物線有且只有一個公共點．
（1）求拋物線的方程以及點坐標；
（2）設為坐標原點，直線平行于與交于不同的兩點，，且與直線交于點，是否存在常數，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
跟蹤訓練
【訓練1】已知直線交拋物線于，兩點．
（1）設直線與軸的交點為．若，求實數的值；
（2）若點，在拋物線上，且關于直線對稱，求證：，，，四點共圓．
【訓練2】已知橢圓的左焦點為，為橢圓上一點，交
軸于點，且為的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，平行于的直線交于，交橢圓于不同的兩點，
，問是否存在常數，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
類型二 復數變換與垂直問題
我們來看一下圓錐曲線的參數方程，就是把圓錐曲線上的點進行參數換元，達到簡化計算的效果.
一 復數的模與輻角表示圓錐曲線方程
設是平面內任意一點，它的直角坐標是，轉化為復平面，，可以得出它們之間的關系：，．又可得到關系式：，．這就是復平面坐標與直角坐標的互化公式．
由于新教材刪除了原來的極坐標和參數方程內容，故我們在上一講介紹了三角代換，由于2019版本的人教A版教材介紹了復數的三角形式，雖然加了*號，但是也在另一個層面提示我們一些涉及坐標變換的，尤其是旋轉類型的題，完全可以利用復數的三角形式來解決.
【例4】（2016 新課標Ⅱ）已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，．
（1）當，時，求的面積；
（2）當時，求的取值范圍．
【例5】（2023年全國1卷）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到的距離，記動點的軌跡為
求的方程
已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于
【例6】（2024 南寧月考）已知拋物線的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）設橫坐標依次為，，的三個點，，都在拋物線上，且，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．
跟蹤訓練
【訓練3】焦點在軸上的橢圓經過點，橢圓的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點為的中點為坐標原點），過且平行于的直線交橢圓于，兩點，是否存在實數，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
【訓練4】已知橢圓的方程為，過點作直線與橢圓交于，兩點，是橢圓的右頂點．
（1）求證：；
（2）求的最大值．
【訓練5】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由；
（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)9.3 圓錐曲線大題篇
俗話說“小題靠結論，大題靠模板”，的確，無論是新高考還是老高考，平常積累的一些二級結論確實
對解決小題有著很大的幫助，尤其一些有著幾何背景和數據的模型，對解決離心率之類問題幫助很大。到
了解答題，課本給到我們最直接的就是“直曲聯立”，將直線代入圓錐曲線，得到二次方程，這也是最常規
的方法，被廣泛認同，甚至成為了官方標答。
但是，這個真的好算嗎？老師課堂上最常見的就是聯立后交給學生們去自行操作，巨大的計算量不知
不覺“勸退”了不少學生，他們拿第一問分數，第二問技巧性的聯立“騙分”。新高考模式下，一些常規聯
立能解決的問題由于都考過，所以越來越少，所以導致簡單的大家都會，難一點的大家都跪。我們陸陸續
續介紹了圓錐曲線的各種方法，并給予解答題的匯總，以及什么情況下用什么方法，以便我們更加高效地
學習并理解圓錐曲線。
年份 新高考 1 新高考 2 甲卷 乙卷 北京 天津 浙江
2023 1. 垂直弦 1. 斜率比 1. 拋物線 1. 斜率和 1. 單動點 面 積 比 轉
2. 弦長 2. 極點極 焦半徑 定值 2. 五邊形 化 為 坐 標
線背景 2. 簡單面 2. 調和線 3. 帕斯卡 比
積處理 束 平 行 中 定理背景
點定理
2022 1. 斜率和 1.中點 1.拋物線截 1. 定點 隱 藏 斜 率 1. 切線 1. 隱藏斜
2.面積 2.斜率 距等比 2. 隱藏斜 倒 數 和 為 2. 單動點 率 積 為 定
3.退化二次 2.最大張角 率 倒 數 和 定值 值
曲 線 布 利 定值 2. 弦長最
安 桑 定 理 值
背景
2021 四點共圓 1. 弦長 拋 物 線 彭 阿 基 米 德 1. 隱藏斜 1，切線 長度等比
2. 焦點弦 塞列閉合 三 角 形 面 率 積 為 定 2，單動點
積 值
2. 軸點弦
年份 新 高 考 I卷 II卷 III卷 北京 天津 浙江
山東卷
2020 1. 斜率積 1. 斜率比 1. 焦點弦 面積 1. 軸點弦 1. 切線 1. 兩圓錐
定值 2. 定點 長 2. 定值 2. 中點弦 曲線交點
2. 過定點 3. 極點極 2. 兩圓錐 2. 定比分
線背景 曲線交點 點
2019 理科：拋物 理科：第三 阿 基 米 德 拋 物 線 兩 1. 常規聯 1. 拋物線
線弦長 定義+面積 三 角 形 面 點式方程 立 兩 點 式 方
文科：拋物 最值 積 2. 求斜率 程
線 數 形 結 文科：焦點 2. 面積比
合 長 度 差 三角形 值
最值
2018 斜 率 互 補 拋 物 線 焦 中點弦 理科：拋物 1. 常規聯 1. 平行弦
的 角 平 分 點弦 線 兩 點 式 立 定比分點
線模型 方程 2. 求斜率 2. 面積最
文科：軸點 值
弦 蝴 蝶 模
型
通過對近五年的高考題進行分析，由于教材內容的區別，上海卷筆者沒有采納，在 2018、2019的高考
題當中，圓錐曲線難度偏低，考題模型相對固定，甚至作為高考倒數第三題出現，當時就出現了一些聲音，
比如概率壓軸常態化，比如圓錐曲線難度大大降低，只需要基本聯立和代入計算。
當 2020年新高考在山東卷進行試點時，圓錐曲線作為壓軸題出現，將橢圓上共頂點的兩垂直弦作為條
件，隱藏第三條邊過定點，從而開啟了新高考圓錐曲線的命題核心——“藏”。而一卷則模仿 2010 年江蘇
卷命制了以極點極線為背景的求定點問題，其破題本質還是隱藏了斜率比值為定值。而北京卷卻以軸點弦
為背景，兩個三點共線為輔助，也是經典的“1+2”模型，背景來自調和線束平行線中點定理，這種命題模
型在 2018年文科卷作為壓軸題就出現，只是 18年出現了兩條軸點弦輔助一條三點共線，屬于經典“2+1”
模型，這種類型常規聯立非常難算，而專門破解此類問題的定比點差法應運而生，其背景也是調和線束平
行線中點定理。2020年，就是新高考起點，促使我們需要學習一些解決圓錐曲線的新技能。
2021年高考，屬于老教材新高考最后一年，題型不會大幅度創新，但是“藏”的命題邏輯和新方法引
入已經是不可逆趨勢，新高考一卷的四點共圓問題，可以常規聯立，也可以用參數方程快速求出，甲卷和
乙卷的拋物線問題涉及到了兩點式方程和同構方程思想，此思想方法在北京卷 2018年就出現，阿基米德三
角形在 2013年江西卷和 2019年 II卷也出現，屬于老題新作。北京卷則延續了 2020年的風格，延續了軸點
弦，同時將斜率積為定值做了隱藏，這個命題邏輯延續到了 2022年，北京卷總是一個風向標，值得我們重
視。
2022年高考，來到了斜率和積隱藏的最高峰，除了新高考 2卷和多年風格不變的天津卷，連浙江卷也
加入了斜率積為定值的隱藏。甲卷延續之前 III卷風格，拋物線常規聯立即可破解，其背景加入了米勒定理。
這一年高考，成為了常規聯立越來越難在考場中操作完成，甚至因為選填題的難度加大導致很多考生做不
到圓錐曲線第二問，而乙卷的計算量巨大也導致了很多師生開始懷疑之前的圓錐曲線學習方法，其對極點
極線背景的隱藏，最終還是指向了調和線束平行線中點定理。新課標 2卷，當大家在思考如何簡化計算時，
按照退化二次曲線方程的解法完全實現了降維打擊，其背景也是指向了布利安桑定理，新高考的圓錐曲線，
越來越強調對背景的挖掘和翻譯.
2023年高考，北京卷再次創新，引入了帕斯卡六邊形為背景，乙卷繼續沿用 22年的調和線束平行線中
點定理，2 卷沿用 2020年 1 卷的簡單極點極線的自極三角形翻譯，區別僅僅是解讀在了雙曲線上，1 卷的
弦長問題，則是在垂直環境下的一道經典題型，可追溯到 2009年的垂直弦，最佳方法是復數旋轉來解讀垂
直，將函數方程不等式思想在最后一題用拋物線為載體呈現。本文我們以近三年的高考題為參考，揣摩每
一種方法在高考中如何應用得恰到好處。
考向 1 方程與曲線
題型 1 定義法
1．定義法
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點 P和滿足焦點標志的定點連起來判斷．
熟記焦點的特征：
①關于坐標軸對稱的點；②標記為 F的點；③圓心；④題上提到的定點等等．當看到以上的標志的時
候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．注意求出軌跡方程
后，也要查漏補缺．
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 F1( 17 ， 0) ， F2 ( 17 ， 0) ，點M 滿足
|MF1 | |MF2 | 2．記M 的軌跡為C．
（1）求C 的方程；
【例 2】（2016 新課標Ⅰ）設圓 x2 y2 2x 15 0的圓心為 A，直線 l過點 B(1,0)且與 x軸不重合， l交圓
A于C ，D兩點，過 B作 AC的平行線交 AD于點 E．
（Ⅰ）證明 | EA | | EB |為定值，并寫出點 E的軌跡方程；
跟蹤訓練
【訓練 1】已知O為坐標原點， F1( 2,0)， F2 (2,0)，點 P滿足 | PF1 | | PF2 | 2，記點 P的軌跡為曲線 E．
（1）求曲線 E的方程；
【訓練 2】動圓C與圓C 2 21 : (x 2) y 50和圓C2 : (x 2)
2 y2 2都內切，記動圓圓心C的軌跡為 E．
（1）求 E的方程；
題型 2 直譯法
2．直譯法
根據題上條件，直接表示軌跡方程． 一般步驟為：
（1）建系設點 建立適當的坐標系，設曲線上任意動點坐標 M為（x, y）；
（2）等量關系 根據條件列出與 M有關的等式；
（3）聯立化簡 化成最簡形式；
（4）確定范圍 驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點檢查方程表示的曲線是否有多余的點，或者
曲線上是否有遺漏的點． 要檢查軌跡上是否所有的點是否都符合題干，常見的限制范圍有：題干涉及三角
形，軌跡里面不能構成三角形的點要去掉；題干有斜率關系，斜率不存在的時候要去掉；軌跡為雙曲線的
時候，要檢查是否左右兩支上的點都符合題意．
【例 3】（2023 1 新高考Ⅰ）在直角坐標系 xOy中，點 P到 x軸的距離等于點 P到點 (0, )的距離，記動點 P
2
的軌跡為W ．
（1）求W 的方程；
【例 4】（2019 新課標Ⅱ）已知點 A( 2,0)，B(2,0)，動點M (x, y)滿足直線 AM 與 BM 1的斜率之積為 ．記
2
M 的軌跡為曲線C．
（1）求C 的方程，并說明C是什么曲線；
跟蹤訓練
1
【訓練 3】已知動點M (x, y)與定點 F (1,0)的距離和M 到定直線 l : x 4的距離的比是常數 ．
2
（1）求動點M 的軌跡方程，并說明軌跡即曲線C的形狀．
1
【訓練 4】（2019 全國）已知點 A1( 2,0)， A2 (2,0)，動點 P滿足 PA1與 PA2的斜率之積等于 ，記 P的軌4
跡為C．
（1）求C 的方程；
題型 3 相關點法
3．相關點法
若所求軌跡上的動點 P與另一個已知曲線上的動點 Q存在著某種聯系，可設點 P(x, y)，用點 P的坐標
表示出來點 Q，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法（或稱
代入法）．
【例 5】從圓O : x2 y2 4上任取一點 P向 x軸作垂線段 PD，D為垂足．當點 P在圓上運動時，線段 PD
的中點Q的軌跡為曲線C （當 P為 x軸上的點時，規定Q與 P重合）．
（1）求C 的方程，并說明曲線C的類型；
跟蹤訓練
2 2
【訓練 5】在橢圓C : x y 1上任取一點 P，過點 P作 x軸的垂線段 PD，D為垂足，點M 在線段 PD上，
4 2
且滿足 | DP | 2 | DM |．
（Ⅰ）當點 P在橢圓C上運動時，求點M 的軌跡 E的方程；
考向 2 韋達聯立與弦長面積問題
題型 1 聯立之正設反設問題
1．直線和曲線聯立
x2 y2
（1）橢圓 2 2 1(a b 0)與直線 l : y kx m相交于 AB兩點，設 A(x1，y1)， B(x ，y )a b 2 2
x2 y2
2 2 1 2 2 2 a b ， (b k a )x2 2a2kmx a2m2（正設）
y kx m
x2 y2
橢圓 2 2 1(a 0，b 0) 與過定點 (m，0)的直線 l相交于 AB兩點，設為 x ty m，如此消去 x，保留 y，a b
x2 y2
2 1構造的方程如下： a b2 ， (a2 t2b2 )y2 2b2tmy b2m2 a2b2 0（反設）
x ty m
注意：
①如果直線沒有過橢圓內部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出 0，滿
足此條件，才可以得到韋達定理的關系．
②焦點在 y軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不再贅述．
（2）拋物線 y2 2px(p 0)與直線 x ty m相交于 A、B兩點，設 A(x1，y1)， B(x2，y2 )
y y 2pt
聯立可得 y2 2p(ty m)， 0時， 1 2
y1y2 2pm
特殊的，當直線 AB過焦點的時候，即m p
y 2 2y y 2pm p2 x x 1 y2 1 ， 1 2 ，
2
2 1 2
p ，因為 AB為通徑
2p 2p 4
的時候也滿足該式，根據此時 A、B 坐標來記憶．
拋物線 x2 2py(p 0) 與直線 y kx m 相交于 C、D 兩點，設 C(x1，y1) ， D(x2，y2 ) ，聯立可得
x x 2pk
x2 2p(kx m)， 0時， 1 2 ．
x1x2 2pm
2 2
【例 1 2023 E : x y】（ 北京）已知橢圓 2 2 1(a b 0)
5
的離心率為 ，A、C分別為 E的上、下頂點，B、
a b 3
D分別為 E的左、右頂點， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）點 P為第一象限內 E上的一個動點，直線 PD與直線 BC交于點M ，直線 PA與直線 y 2交于點 N．求
證：MN / /CD．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線C中心為坐標原點，左焦點為 ( 2 5， 0)，離心率為 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）記C 的左、右頂點分別為 A1， A2，過點 ( 4,0)的直線與C的左支交于M ， N兩點，M 在第二象限，
直線MA1與 NA2 交于 P，證明 P在定直線上．
跟蹤訓練
1
【訓練 1】（2017 北京）已知拋物線C : y2 2px過點 P(1,1)．過點 (0, )作直線 l與拋物線C 交于不同的兩
2
點M ， N，過點M 作 x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點 A， B，其中O為原點．
（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（2）求證： A為線段 BM 的中點．
【訓練 2】在平面直角坐標系 xOy中，點D為 x2 y2 1上一動點，點 A，B分別在 x軸， y軸上且DA x

軸， DB y軸，若 BA AW ，點W 的軌跡記為曲線C ．
（1）求曲線C 的軌跡方程；
（2）過點G(1,0)的直線 l與C交于M ，N兩點，若點 H (0,1)，直線GH 為 MHN 的角平分線，求直線 l的
方程．
題型 2 韋達聯立與弦長問題
1．根的判別式和韋達定理
x2 y2
2 2 1(a b 0)與 y kx m聯立，兩邊同時乘上 a
2b2 2 2 2即可得到 (a k b )x2 2kma2x a2(m2 b2) 0，為a b
了方便敘述，將上式簡記為 Ax2 + Bx +C = 0．該式可以看成一個關于 x的一元二次方程，判別式為
D = 4a2b2 (a2k 2 +b2 -m2 )可簡單記 4a2b2 (A m2 )．
x2 y2
同理 + =1(a > b > 0)和 x = ty +m聯立 (a2 + t 2b2 )y2 + 2b2tmy +b2m2 - a22 2 b
2 = 0 ,為了方便敘述，將上式簡記
a b
為 Ay2 +By +C = 0, D = 4a2b2 (a2 + t2b2 -m2 )，可簡記 4a2b2 (A m2 )．
l與 C 相離 D < 0； l與 C 相切 D = 0； l與 C 相交 D > 0．
B C
注意：（1）由韋達定理寫出 x1 x2 ， x1x2 ，注意隱含條件 0．A A
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點在 y 軸上的橢圓，只需要把 a2 ， b2互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯立結果類似，焦點在 x 軸的雙曲線，只要把 b2換成 -b2 即可；
焦點在 y軸的雙曲線，把 a2 2 2 2換成 -b 即可， b 換成 a 即可．
2．弦長公式
設M (x1，y1)， N(x2，y2)根據兩點距離公式 |MN | (x1 x )
2
2 (y y
2
1 2 ) ．
（1）若M、N在直線 y kx m上，代入化簡，得 |MN | 1 k 2 x1 x2 ；
（2）若M、N所在直線方程為 x ty m，代入化簡，得 |MN | 1 t2 y1 y2 ．
（3）構造直角三角形求解弦長， |MN | | x2 x1 | | y y | 2 1 ．其中 k為直線MN 斜率， 為直線傾斜角．
| cos | | sin |
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 F1( 17 ， 0) ， F2 ( 17 ， 0) ，點M 滿足
|MF1 | |MF2 | 2．記M 的軌跡為C．
（1）求C 的方程；
2 T x 1（ ）設點 在直線 上，過T的兩條直線分別交C于 A，B兩點和 P，Q兩點，且 |TA | |TB | |TP | |TQ |，
2
求直線 AB的斜率與直線 PQ的斜率之和．
【例 2】（2019 新課標Ⅰ）已知拋物線C : y2 3x 3的焦點為 F ，斜率為 的直線 l與C的交點為 A， B，與
2
x軸的交點為 P．
（1）若 | AF | | BF | 4，求 l的方程；

（2）若 AP 3PB，求 | AB |．
跟蹤訓練
x2 y2
【訓練 3】（2021 新高考Ⅱ）已知橢圓C 的方程為 2 2 1(a b 0)，右焦點為 F ( 2 ， 0)，且離心率a b
6
為 ．
3
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M ， N是橢圓C 上的兩點，直線MN 與曲線 x2 y2 b2 (x 0)相切．證明：M ， N， F 三點共
線的充要條件是 |MN | 3．
x2 y2
【訓練 4】已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)過 (1,
3)和 ( 2, 6 )兩點．F1，F2 分別為橢圓的左、右焦點，Pa b 2 2
為橢圓上的點 (P不在 x軸上），過橢圓右焦點 F2 的直線 l與橢圓交于 A、 B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求 | AB |的范圍．
題型 3 韋達聯立與面積問題
三角形的面積處理方法
1
（1） S△ = ×底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）2
1 1 1
（2） S△ = ×水平寬·鉛錘高 = AB × x - x 或S = CD × y - y2 2 E D △ 2 A E
圖 4-6-2
證明： S△ADE = S△ABE +S
1
△ABD = | AB |×| xB - x |
1
E + | AB |×2 2 | x 1B - xD |= | AB |× | xE - xD |2
S 1△ADE = S△ACD + S△ECD = |CD |× | y
1 1
2 A
- yC |+ |CD |× | yE - yC |= |CD |× | yA - y2 2 E
|
（3）在平面直角坐標系 xOy中，已知△OMN 的頂點分別為O(0，0)，M (x1，y1)， N (x2 ，y2 )，三角形的
1
面積為 S = x1y2 - x y ．2 2 1
| x y - x y |
證明：直線OM 的方程為 y1x - x1y = 0 N (x y ) d =
1 2 2 1
， 2 ， 2 到它的距離為 2 ，x1 + y
2
1
S 1 OM d 1 x 2 y 2 d 1則 = = 1 + 1 × = x1y2 - x2 2 2 2
y1 ．
【例 1】（2023 甲卷）已知直線 x 2y 1 0與拋物線C : y2 2px(p 0)交于 A， B兩點， | AB | 4 15 ．
（1）求 p；

（2）設 F 為C的焦點，M ， N為C 上兩點，且 FM FN 0，求 MFN面積的最小值．
2 2
【例 2】（2023 x y 天津）設橢圓 2 2 1(a b 0)的左、右頂點分別為 A1，A2，右焦點為 F ，已知 | A1F | 3，a b
| A2F | 1．
（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；
（Ⅱ）已知點 P是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線 A2P交 y軸于點Q，若△ A1PQ的面積是△ A2FP面
積的二倍，求直線 A2P的方程．
【例 3】（2015 上海）已知橢圓 x2 2y2 1，過原點的兩條直線 l1 和 l2 分別于橢圓交于 A、 B和C、 D，
記得到的平行四邊形 ACBD的面積為 S．
（1）設 A(x1， y1)，C(x2， y2 )，用 A、C的坐標表示點C到直線 l1 的距離，并證明 S 2 | x1y2 x2 y1 |；
（2 l 1）設 1 與 l2 的斜率之積為 ，求面積 S的值．2
跟蹤訓練
x2 y2
【訓練 5】已知橢圓 C： 2 2 1（a＞b＞0
2
）的離心率是 ，點M (0 , 2)在橢圓 C上.
a b 2
（1）求橢圓 C的標準方程．
（2）已知 P(0 , 1)，直線 l： y kx m（ k 0）與橢圓 C交于 A，B兩點，若直線 AP，BP的斜率之和為 0，
試問△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
x2 y2
【訓練 6】（2020 江蘇）在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓 E : 1的左、右焦點分別為 F1、 F ，4 3 2
點 A在橢圓 E上且在第一象限內， AF2 F1F2，直線 AF1與橢圓 E相交于另一點 B．
（1）求△ AF1F2的周長；

（2）在 x軸上任取一點 P，直線 AP與橢圓 E的右準線相交于點Q，求OP QP的最小值；
（3）設點M 在橢圓 E上，記 OAB與 MAB的面積分別為 S1， S2 ，若 S2 3S1，求點M 的坐標．
2 2
【訓練 7】（2014 新課標Ⅰ）已知點 A(0, 2) x y ，橢圓 E : 2 2 1(a b 0)
3
的離心率為 ，F 是橢圓的右
a b 2
2 3
焦點，直線 AF 的斜率為 ，O為坐標原點．
3
（Ⅰ）求 E的方程；
（Ⅱ）設過點 A的直線 l與 E相交于 P，Q兩點，當 OPQ的面積最大時，求 l的方程．
考向 3 聯立之曲線反代入直線
題型一 切線單動點語言體系
單動點就等于換元，我們本章介紹了三角代換，最大的優勢就是單動點在曲線上，如果是切點，最好
用換元，這樣實現了曲線代入直線，.天津卷近年考得最多.
x2 y2
我們嘗試來求橢圓 2 2 1上一點 P(xa b 0
，y0 )處的切線方程，
2x
P(x x
2 b 2 bx 1
當點 0 ，y0 )位于第一或第二象限時， y b 1 2 ，求導得 k y
a ，當
a 2 2
1 x
2 a x2
2 1 a a2
x x 1 x
2 2
0
y0 b x xx yy
0 時， 2 ，故 k
0 ，代入切線方程 y y k(x x )得： 0 0 1
a b a2 y 0 0 a2 b20
2x
2 2
當點 P(x0 , y0 )
x b
位于第三或第四象限時， y b 1 2 ，求導得 k y
a
a 2 x21
a2
bx 1 2 2
2 ，當 x x 1
x y b x
0 時，
0 0 ，故 k 02 2 ，代入切線方程 y y0 k(x x0 )
xx
得： 0
yy
02 2 1．a x2 a b a y0 a b1
a2
2 2
【例 1】（2021 x y乙卷）設 B是橢圓C : 2 2 1 (a b 0)的上頂點，若C上的任意一點 P都滿足 | PB | 2b，a b
則C的離心率的取值范圍是（ ）
[ 2 1) B [1， ． ，1) C． (0 2 1， ] D． (0， ]
A． 2 2 2 2
1. xx yy xcos y sin 橢圓的切線參數方程： 02
0
2 1 1；a b a b
2. xx yy x y tan 雙曲線的切線參數方程： 02
0
a b2
1 1
a cos b
2 2
【例 2】(2022 天津卷) x y橢圓 2 2 （1 a b 0)
6
離心率為 ，直線 l與橢圓有唯一公共點M，與 y軸交于
a b 3
點 N (N異于M )，記O為原點，若 |OM | |ON |，且△OMN 面積為 3，求橢圓方程 .
x2 y23 2021 1(a b 0) e 2 5【例 】（ 天津）已知橢圓 2 2 中， ，其上頂點為 B，右焦點為 F ，且 | BF | 2 5 ．a b 5
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線 l與橢圓有唯一交點M ， l與 y軸正半軸交于點 N，過 N作 BF 的垂線，交 x軸于點 P，已知
MP / /BF ，求直線 l的方程．
x2 y2
【例 4】如圖，已知 A，B分別為橢圓M : 2 2 1(a b 0)的左，右頂點，P(x0 ， y0 )為橢圓M 上異于a b
點 A， B 4的動點，若 AB 6，且直線 AP與直線 BP的斜率之積等于 ．
9
（1）求橢圓M 的標準方程；
（2）過動點 P(x0 ，y0 )作橢圓M 的切線，分別與直線 x a和 x a相交于D，C兩點，記四邊形 ABCD的
對角線 AC，BD相交于點 N，問：是否存在兩個定點 F1，F2 ，使得 | NF1 | | NF2 |，為定值？若存在，求 F1，
F2 的坐標；若不存在，說明理由．
跟蹤訓練
2
【訓練 1】（2021 乙卷）設 B x是橢圓C : y2 1的上頂點，點 P在C上，則 | PB |的最大值為（ ）
5
A 5． B． 6 C． 5 D．2
2
A B M : x
2 y2
【訓練 2】如圖，已知 ， 分別為橢圓 2 2 1(a b 0)的左，右頂點， P(x0 ， y0 )為橢圓M 上a b
異于點 A， B的動點，若 AB 4，且 ABP面積的最大值為 2．
（1）求橢圓M 的標準方程；
（2）已知直線 l與橢圓M 相切于點 P(x0 ， y0 )，且 l與直線 x a和 x a分別相交于C，D兩點，記四邊
形 ABCD的對角線 AC， BD相交于點 N．
問：是否存在兩個定點 F1，F2 ，使得 | NF1 | | NF2 |為定值？若存在，求 F1，F2 的坐標；若不存在，說明理
由．
題型二 單動點與四個頂點連線的三角換元
x acos x
a

橢圓： 1 ，雙曲線： cos ，不妨令 t tan ，
y bsin
y1 b tan
2
通常單個動點在圓錐曲線上，用參數換元連接四個頂點是能大大簡化計算的.
以橢圓為例，

k bsin b
2sin cos 2sin cos
2 2 b b bsin b 2 2 b bPA tan t，k ，a cos a a PB2cos2 a 2 a a cos a a 2sin 2 a tan at
2 2 2
. k b(1 t) k b(1 t)計算量瞬間被簡化 同理，關于上下頂點， PC ， ，a(1 t) PD a(1 t)

記憶方法：將 t tan 作為第一象限角，則 0 t 1，顯然 kPA k
b
PB ，所以左乘右除，左正右負，kPA t ，2 a
k bPB ； kPC k k
b(1 t) k b(1 t)PD 上負下正，上小下大，at PC
，
a(1 t) PD
，
a(1 t)
x2 y2
【例 5】（2023 北京）已知橢圓 E : 2 2 1(a b 0)
5
的離心率為 ，A、C分別為 E的上、下頂點，B、
a b 3
D分別為 E的左、右頂點， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）點 P為第一象限內 E上的一個動點，直線 PD與直線 BC交于點M ，直線 PA與直線 y 2交于點 N．求
證：MN / /CD．
x2 y2
【例 6 3】(2013江西文)橢圓C： 2 2 1（ a b 0）的離心率為 e ， a b 3 .a b 2
（1）求橢圓C 的方程；
（2）如圖， A， B，D是橢圓C的頂點， P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線 DP交 x軸于 N直線 AD
交 BP于點M ，設 BP的斜率為 k，MN 的斜率為m，證明為 2m k為定值.
跟蹤訓練
2 2
【訓練 3】設橢圓C : x y2 2 1(a b 0) 的左.右頂點分別為 A , B ,上頂點為 D ,點 P是橢圓C上異于頂點a b
e 3的動點,已知橢圓的離心率 ,短軸長為 2,
2
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線 AD與直線 BP交于點M ，直線 DP與 x軸交于點 N ,求證:直線MN 恒過某定點，并求出該定點.
2 2
4 C : x y 1(a b 0) 1【訓練 】已知橢圓 2 2 的離心率為 ，直線 x 1交粗圓所截得的弦長為 3.a b 2
(1)求橢圓C的方程;
(2)若M 是第四象限橢圓上的動點，A1，A2分別為左，右頂點，B1，B2分別為上下頂點，B2M 交直線 y b
于點 P，MA1交 A2B1于點Q，求證:直線 PQ的斜率為定值.
題型三 拋物線兩點式同構方程體系
一．拋物線的兩點聯立式
過拋物線 y2 2px上兩點 A(x1，y1)、 B(x2 ，y2) 的直線 AB方程是: (y1 y2)y 2px y1y2 .
y y y y 2p 2p 2
證明:以曲代直， k 2 1 2 1AB 2 2 ，故直線 AB方程為: y y1 (x
y
1 )，
x2 x1 y2 y1 y1 y2 y1 y2 2p
2p 2p
化簡可得: (y1 y2)y 2px y1y2 .
記憶方法:把拋物線化成標準方程，然后將最左端的二次自動降為一次，再在最左端和最右端加上“ y1 y2、
y1y2 ”皆可.同理，如果拋物線的形式是 x
2 2py( p 0)，直線 AB的方程是: (x1 x2 )x 2py x1x2 .
【例 7】(2022全國甲卷)已知拋物線C：y2 2px( p 0)焦點為 F ，點 D(p，0)過焦點 F 做直線 l交拋物線于
M，N 兩點，當MD x軸時， |MF | 3 .
（1）求拋物線方程
（2）若直線MD，ND與拋物線的另一個交點分別為 A，B .若直線MN ，AB的傾斜角為 ， ，當 最
大時，求 AB的方程
【例 8】已知拋物線C : y2 2px，焦點為 F ，點M ( 2,0)， N (2,2)，過點M 作拋物線的切線MP，切點為
P， | PF | 3，又過M 作直線交拋物線于不同的兩點 A， B，直線 AN交拋物線于另一點 D．
（1）求拋物線方程；
（2）求證 BD過定點．
【例 9】(2018 北京理)已知拋物線C : y2 2px經過點 P(1，2)，過點Q(0，1) 的直線 l與拋物線C有兩個不
同的交點 A， B，且直線 PA交 y軸于M，直線 PB交 y軸于 N .
(I)求直線 l的斜率的取值范圍;

(II)設O為原點，QM QO，QN QO 1 1求證: 為定值.

跟蹤訓練
x2
【訓練 5】(2017 新課標Ⅰ文)設 A， B為曲線C : y 上兩點, A與 B的橫坐標之和為 4.
4
(1)求直線 AB的斜率;
(2)設M 為曲線C上一點,C在M 處的切線與直線 AB平行,且 AM⊥BM ,求直線 AB的方程.
【訓練 6】已知拋物線C : y2 2px(p 0)的準線與 x軸的交點為H ，直線過拋物線C的焦點 F 且與C交于 A，
B兩點， HAB的面積的最小值為 4．
（1）求拋物線C的方程；
（2 17）若過點Q( ,1)的動直線 l交C于M ，N兩點，試問拋物線C上是否存在定點 E，使得對任意的直線
4
l，都有 EM EN ，若存在，求出點 E的坐標；若不存在，則說明理由．
【訓練 7】設拋物線C : y2 2px(p 0)的焦點為 F ，點D( p,0)，過 F 的直線交C于M ，N兩點．當直線MD
垂直于 x軸時， |MF | 3．
（1）求C 的方程；
（2）若點 A( 1,0)， B(1, 1)，過點 A的動直線 l交拋物線C于 P、Q，直線 PB交拋物線C 于另一點 R，
連接QB并延長交拋物線于點 S．證明直線QR與直線 PS 的斜率之和為定值．
二．拋物線的雙切圓同構與彭塞列閉合圓
【例 10】(2011·浙江理)已知拋物線C : x21 y，圓C2 : x
2 (y 4)2 1的圓心為M ，P是C1上一點(異于原
點)，過 P作圓C2 的兩條切線，交C1于 A、 B兩點，MP AB .求 PM 的方程。
【例 11】(2021·全國甲卷)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在 x軸上，直線 l : x 1交C于 P、Q兩點，
且OP OQ，已知點M (2，0)，且圓M 與 l相切.
(1)求C，圓M的方程;
(2)設 A1、 A2、 A3是C上的三個點，直線 A1A2 ， A1A3 均與圓M 相切，判斷直線 A2A3 與圓M 的位置關系，
并說明理由.
【例 11】已知拋物線C : y2 2px(p 0)的焦點 F 到準線的距離為 2，圓M 與 y軸相切，且圓心M 與拋物線
C的焦點重合．
（1）求拋物線C和圓M 的方程；
（2）設 P(x0 ，y0 )(x0 2)為圓M 外一點，過點 P作圓M 的兩條切線，分別交拋物線C于兩個不同的點 A(x1，
y1)， B(x2 ， y2 )和點Q(x3， y3 )， R(x4 ， y4 )．且 y1y2 y3 y4 16，證明：點 P在一條定曲線上．
【例 12】(2021浙江文)如圖，已知點 P是 y軸左側(不含 y軸)一點，拋物線C : y2 4x上存在不同的兩點 A，
B滿足 PA， PB的中點均在C上.
(I)設 AB中點為M ，證明: PM 垂直于 y軸;
y2
(II)若 P是半橢圓 x2 1(x 0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍.
4
跟蹤訓練
2
【訓練 8】過拋物線C1 : x y上一點 P( 2，4)作圓C2 : x
2 (y 2)2 1的兩條切線交C1于點 A，B，求直線
AB的方程.
【訓練 9】拋物線C 21 : y 2px(p 0)的焦點到準線的距離等于橢圓C2 : x
2 16y2 1的短軸長．
（1）求拋物線C1的方程；
（2）設 D(1,t)是拋物線C1上位于第一象限的一點，過 D作圓 E : (x 2)
2 y2 r2 （其中 0 r 1)的兩條切
線，分別交拋物線C1于點M ， N，證明：直線MN 經過定點．
【訓練 10】如圖，已知點 P是拋物線C : y2 2px(p 0)的準線 l : x 1上的動點，拋物線C 上存在不同的
兩點 A， B滿足 PA， PB的中點均在C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）記直線 PA，PB，PO 1 1的斜率分別為 k1，k2 ，k3 ，請問是否存在常數 ，使得 k3？若存在，k1 k2
求出 的值；若不存在，請說明理由．
考向 4 斜率關系翻譯之齊次化
題型 1 斜率關系與齊次化
2 2
已知點 P x y是平面內一個定點，橢圓 C： 2 2 1(a b 0)上有兩動點 A、Ba b
（1）若直線 kPA kPB ，則直線 AB過定點．
（2）若直線 kPA kPB ，則直線 AB過定點．
(x x )2 (y y )2
證明：將橢圓C按向量 PO x0 ， y0 方向平移，得橢圓C ： 02
0
2 1，展開得：a b
x2 y2 2x0 2y0 x
2 y 2
2 2 2 x y
0 0
2 2 2 1 0．a b a b a b
平面內的定點 P(x0 ，y0 )和橢圓C上的動點 A、B分別對應橢圓C 上的定點O和動點 A 、B ，設直線 A B 的
x2 y2 2x 2y x 2 y 2
方程為mx ny 1，代入展開式得 2 2 (
0
2 x
0
2 y) mx ny ( 02 02 1) mx ny
2 0（構造齊
a b a b a b
次式），當 x 0時，兩邊同時除以 x2 整理得，
2 2 2 2 2
2 2 2
n x
[ 0
ny0 1 n 2 ] y
2 2mnx0 2x0n 2mny0 2y0m y mx0 1 m y( 2mn) [ 0 2
2 m ] 0a b 2 x 2 a2 b2 x a2 b2
因為點 A y、B 的坐標滿足這個方程，所以 kOA '和 kOB ' 是關于 的方程的兩根．x
2mnx20 2x n 2mny
2
0 0
2y0m
2 2 2mn
（1）若 kPA kPB ，由平移性質知 kOA k ，故 k k a bOB OA OB 2 ，
n2x20 ny 0 1 2 2 n2a b
整理可得到 m 和 n 的關系，從而可知直線 A B 過定點，由平移性質可得直線 AB 過定點．
mx 1 2 m2 y20 02 2 m2
（2）若 k a bPA kPB ，由平移性質知 kOA kOB ，所以 kOA kOB 2 2 ，整理可得到mn x20 ny 1
2
0
2 n
2
a b
和 n的關系，從而可知直線 A B 過定點，由平移性質可得直線 AB過定點．
注意：雙曲線的齊次化如法炮制
x2 y2
【例 1】(2022 新高考Ⅰ卷)已知 A(2，1)在雙曲線C : 1(a 1)上,直線 l交C于 P、Q兩點,直線
a2 a2 1
AP , AQ斜率之和為 0.
(1)求 l的斜率;
x2 y2
【例 2】(2020 山東)已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)
2
的離心率為 ,且過點 A(2，1) .
a b 2
(1)求C的方程;
(2)點M , N在C上,且 AM⊥AN ， AD⊥MN ，D為垂足.證明:存在定點Q ,使得 |DQ |為定值.
2
【例 3】(2020 x全國 1 卷)已知 A,B分別為橢圓 E : 2 y
2 1(a 1) 的左、右頂點,G為 E的上頂點,
a AG GB
8. P為直線 x 6上的動點, PA與 E的另一交點為C， PB與 E的另一交點為D .
(1)求 E的方程;
(2)證明:直線CD過定點.
跟蹤訓練
2 2
【訓練 1】(2017 新課標 I理)已知橢圓C : x y2 2 1(a b 0)
3
,四點 P
a b 1
(1，1)， P2 (0，1)， P3( 1， )，2
P4 (1
3
， )，中恰有三點在橢圓C上.
2
(1)求C的方程;
(2)設直線 l不經過 P2點且與C相交于 A，B兩點.若直線 P2A與直線 P2B的斜率的和為 1，證明: l過定點.
x2 y2
2 3【訓練 】已知橢圓C : 2 a b2
1(a b 0)，點M ( 1， )在橢圓C上，橢圓C 的四個頂點的連線構成的
2
四邊形的面積為 4 3．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設點 A為橢圓長軸的左端點， P、Q為橢圓上異于橢圓C 長軸端點的兩點，記直線 AP、 AQ斜率分別
為 k1、k2 ，若 k1k2 2，請判斷直線 PQ是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由．
x2
【訓練 3】已知橢圓C : y2 1的左、右頂點分別為 A，B，P為C 上任意一點（異于 A，B)，直線 AP，
4
BP 10分別交直線 x 于M ， N兩點．
3
（1）求證： BM BN ；
（2）設直線 BM 交橢圓C于另一點Q，求證：直線 PQ恒過定點．
題型 2 隱藏斜率關系與齊次化
從曾經的直接考查斜率和積為定值，到如今斜率和積為定值都作為了隱藏條件，為最后的解答指明方
向，本節我們介紹一下那些隱藏的斜率和積為定值問題，新高考，在于藏，不在于難.
高考中出現斜率和積問題，最早可以追溯到近二十年前，考題的日新月異決定了不會永遠局限于斜率
和與積的問題,所以需要通過題目給到的定點或者探索定點的過程中,找到北后的本質邏輯.2022 年新課標
一巻的斜率和積成為了第一問就能看出來,壓軸問往往要根據已知的定點或者定值來探索斜率的關系.
x2 y2
1.已知點 P(a，0)是橢圓C : 2 2 1(a b 0)右頂點,a b
2
①橢圓上弦 AB過定點 (a，t) ,則 kPA k
2b
PB 定值;at
b2 (t 2a)
②橢圓上弦 AB過定點 (a t，0) ,則 kPAkPB 2 定值;a t
C C : (x a)
2 y2 x2 y21 2a證明:將橢圓 按向量 PO( a 平移得橢圓 x 0 ,，0) a2 b2 a2 b2 a2
①動點 A， B分別對應橢圓C 上的動點 A , B ，根據題意直線 A B 過定點 (0，t)， A B 的方程為
2 2 2
mx y 1 , x y 2a x(mx y ) 0 , x 0 , 1 y 2 y 1 2am即 2 2 2 當 時 兩邊除以 x
2 得: 0 ,
t a b a t b2 x2 at x a2
k 2b
2
PA kPB 定值;at
x
②動點 A , B 分別對應橢圓C 上的動點 A , B ,根據題意直線 A B 過定點 (t，0)， A B 的方程為 ny 1 ,代
t
x2 y2 2a x 1 y2 2n y 1 2 b2 (t 2a)
入①得 2 2 2 x( ny) 0 ,當 x 0時,兩邊除以 x
2 得: 2 2 2 0 , k k a b a t b x a x a at PA PB a2t
定值;
2 2
2.已知點 P(0 x y，b)是橢圓C : 2 1(a b 0)上頂點,a b2
(t b) 1 1 2a
2
①橢圓上弦 AB過定點 ， ,則 定值;kPA kPB bt
2b2
②橢圓上弦 AB過定點 (0，b t) ,則 kPAkPB 定值;at
x2 (y b)2 x2 y2 2b
證明:將橢圓C按向量 PO(0， b)平移得橢圓C :
a2

b2
1 2 y 0 ,a b2 b2
x
①動點 A , B 分別對應橢圓C 上的動點 A , B ,根據題意直線 A , B 過定點 (t，0)，A , B 的方程為 ny 1,
t
x2 y2 2b x
, x 0 , y( ny) 0 2 :1 2bn y
2 2 y 1 1 1 2a2
即 當 時 兩邊除 以 x 得 0 , 2 定值;a b2 b2 t b2 x2 bt x a2 kPA kPB bt
②動點 A , B 分別對應橢圓C 上的動點 A , B ,根據題意直線 A , B 過定點 (0，t)， A , B 的方程為
2 2 2
mx y 1 , x y 2b即 2 2 y(mx
y
) 0 ,當 x 1 2 y 2m y 1 0時,兩邊除以 x2 得: ( ) 0 ,t a b b2 t b2 bt x2 b x a2
2
kPAk
b t
PB 2 定值;a (t 2b)
我們不需要記憶這個定值,但是我們可以提前預判定值的類型,從而進行定點定值的必要性探路,
x2 y2
【例 4】已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左右頂點分別為 A , B ,過橢圓內點D(
2
，0)且不與 x軸重合的動
a b 3
直線交橢圓C于 P，Q兩點,當直線 PQ與 x軸垂直時,
PD 4 BD .
3
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)設直線 AP， AQ和直線 l : x t分別交于點M ,N ,若MD⊥ND恒成立,求 t的值.
3.中點與斜率關系轉化
如圖, PC為 PAB的中線,設直線 AP,BP,CP的斜率分別為 k1,k3 ,k2 ,
1 1 2
①若 AB與 x軸平行,則: ；②若 AB與 y軸平行,則: k1 k3 2k2 .k1 k3 k2
y2 x2
【例 5】（2023 乙卷）已知橢圓C : 1(a b 0) 5的離心率為 ，點 A( 2,0)在C上．
a2 b2 3
（1）求C 的方程；
（2）過點 ( 2,3)的直線交C于點 P，Q兩點，直線 AP，AQ與 y軸的交點分別為M ，N，證明：線段MN
的中點為定點．
2 2
【例 6】(2022北京卷)已知橢圓 E : x y2 2 1(a b 0)的一個頂點為 A(0，1) ,焦距為 2 3 .a b
(1)求橢圓 E的方程
(2)過點 P( 2，1)作斜率為 k的直線與橢圓 E交于不同的兩點 B ,C ,直線 AB，AC 分別與 x軸交于點M , N .
當 |MN | 2時,求 k的值.
4. 高考中隱藏的斜率比值問題
若 A、B k為橢圓長軸頂點,直線MN 交橢圓于M、N兩點,交長軸于點 P(m，0) ,則 AM 為定值,反
kBN
k
之, AM 為定值,則MN 過長軸上定點 P(m，0) ;
kBN
【例 7】（2023 新高考Ⅱ）已知雙曲線C中心為坐標原點，左焦點為 ( 2 5， 0)，離心率為 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）記C 的左、右頂點分別為 A1， A2，過點 ( 4,0)的直線與C的左支交于M ， N兩點，M 在第二象限，
直線MA1與 NA2 交于 P，證明 P在定直線上．
2
【例 8】(2022 x 1浙江卷)如圖,已知橢圓 E : y 2 1 .設 A
12 ，
B是橢圓上異于 P(0，1)的兩點,且點Q(0， )在
2
線段 AB 1上,直線 PA,PB分別交直線 y x 3于C， D兩點.2
(1)求點 P到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求 |CD |的最小值.
【例 9】(2022全國乙卷)已知橢圓 E的中心為坐標原點,對稱軸為 x軸、 y軸,且過 A(0 3， 2) B( ， 1)兩
， 2
點.
(1)求 E的方程;
(2)設過點 P(1， 2) 的直線交 E于M ,N 兩點,過M 且平行于 x軸的直線與線段 AB 交于點T ,點 H 滿足

MT TH .證明:直線HN過定點.
跟蹤訓練
x2 y2 2
【訓練 4】已知橢圓 Q : 2 2 1(a b 0) 的離心率為 ,橢圓 Q上的點，與 P(1，0) 的最大距離為a b 2
2 2 1.
(1) 求橢圓Q的方程；
(2) 設橢圓Q的下、上頂點分別為 A、B,過點 P 的直線與橢圓 Q交于 C、D 兩點，與 y軸交于點 M，直線 AC
與直線 BD 交于點 N，試探究OM ON 是否為定值.
x2 y2
【訓練 5】（2021·北京）已知橢圓 E： 2 2 1（ a b 0）的一個頂點 A(0, 2)，以橢圓 E的四個頂a b
點圍成的四邊形面積為 4 5 .
（I）求橢圓 E的方程；
（II）過點 P 0, 3 作斜率為 k的直線與橢圓 E交于不同的兩點 B，C，直線 AB、AC分別與直線 y 3交
于點M 、 N ，當 PM PN 15時，求 k的取值范圍.
【訓練 6】已知動點M (x , y) 1與定點 F (1, 0)的距離和M 到定直線 l： x 4的距離的比是常數 .
2
（1）求動點M 的軌跡方程，并說明軌跡即曲線C的形狀.
2 A( 1, 3（ ）過 )作兩直線與拋物線 y tx2（ t 0）相切，且分別與曲線C交于D，E兩點，直線 AD，AE
2
的斜率分別為 k1， k2 .
1 1
①求證： 為定值；
k1 k2
②試問直線 DE是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.
考向 5 平行垂直問題之參數方程與復數代換
類型一.長度參數方程構造
一．參數方程與四點共圓
【例 1】（2021 新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 F1( 17，0) ， F2 ( 17，0) ，點 M 滿足
|MF1 | |MF2 | 2．記M 的軌跡為C．
（1）求C 的方程；
1
（2）設點T在直線 x 上，過T的兩條直線分別交C 于 A， B兩點和 P，Q兩點，且 |TA | |TB |
2
|TP | |TQ |，求直線 AB的斜率與直線 PQ的斜率之和．
補充：圓冪定理
①相交弦定理：圓內的兩條相交弦 AB與CD交于 P，則 PA PB PC PD （左圖）．
2
②切割線定理：從圓外一點 P引圓的切線 PA和割線交圓于 B、C兩點，則 PA PB PC （中圖）．
③割線定理：從圓外一點 P引兩條割線與圓分別交于 A、B和 C、D，則 PA PB PC PD （右圖）．
二． 參數方程破解類圓冪定理
在圓的切線長定理當中，存在 PA 2 PB PC ，當這個問題出現在橢圓當中，則滿足類圓冪定理
PA 2 PB PC ，確定 的數值.
2 2
【例 2】（2016 四川）已知橢圓 E : x y2 2 1 (a b 0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的 3個a b
頂點，直線 l : y x 3與橢圓有且只有一個公共點T．
（1）求橢圓 E的方程及點T 的坐標；
（2）設O是坐標原點，直線 l '平行于OT ，與橢圓 E交于不同的兩點 A、 B，且與直線 l交于點 P．證明：
2
存在常數 ，使得 PT PA PB ，并求 的值．
【例 3】已知拋物線C : y2 2px (p 0)，直線 l : y x 1與拋物線C有且只有一個公共點T．
（1）求拋物線C的方程以及T點坐標；
（2）設O為坐標原點，直線 l 平行于OT 與C 交于不同的兩點 A， B，且與直線 l交于點Q，是否存在常
數m，使得 |QT |2 m |QA | |QB |？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．
跟蹤訓練
【訓練 1】已知直線 l : y x m交拋物線C : y2 4x于 A， B兩點．

（1）設直線 l與 x軸的交點為T．若 AT 2TB，求實數m的值；
（2）若點M ， N在拋物線C上，且關于直線 l對稱，求證： A， B，M ， N四點共圓．
2 2
【訓練 2】已知橢圓C : x y 1 F A(1 22 2 的左焦點為 ， ， )為橢圓上一點， AF 交 ya b 2
軸于點M ，且M 為 AF 的中點．
（1）求橢圓C 的方程；
（2）直線 l與橢圓C有且只有一個公共點 A，平行于OA的直線交 l于 P，交橢圓C于不同的兩點 D，
E，問是否存在常數 ，使得 | PA |2 | PD | | PE |，若存在，求出 的值，若不存在，請說明理由．
類型二 復數變換與垂直問題
我們來看一下圓錐曲線的參數方程，就是把圓錐曲線上的點進行參數換元，達到簡化計算的效果.
一 復數的模與輻角表示圓錐曲線方程
設M 是平面內任意一點，它的直角坐標是 (x，y)，轉化為復平面， zM x yi r(cos i sin )，可
以得出它們之間的關系： x r cos ， y r sin ．又可得到關系式： r 2 x2 y2，arg zM ．這就是復平
面坐標與直角坐標的互化公式．
由于新教材刪除了原來的極坐標和參數方程內容，故我們在上一講介紹了三角代換，由于 2019 版本
的人教 A版教材介紹了復數的三角形式，雖然加了*號，但是也在另一個層面提示我們一些涉及坐標變換的，
尤其是旋轉類型的題，完全可以利用復數的三角形式來解決.
2 2
【例 4】（2016 新課標Ⅱ）已知橢圓 E : x y 1的焦點在 x軸上， A是 E的左頂點，斜率為 k(k 0)的直
t 3
線交 E于 A，M 兩點，點 N在 E上，MA NA．
（1）當 t 4， | AM | | AN |時，求△AMN 的面積；
（2）當 2 | AM | | AN | 時，求 k的取值范圍．
1
【例 5】（2023 年全國 1卷）在直角坐標系 xOy中，點 P到 x軸的距離等于點P到 (0, )的距離，
2
記動點P的軌跡為W
（1）求W的方程
（2）已知矩形 ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形 ABCD的周長大于3 3
【例 6】（2024 南寧月考）已知拋物線 E : x2 2py(p 0)的焦點為 F ，直線 x 4分別與 x軸交于點M ，與
拋物線 E交于點Q，且 |QF | 5 |MQ |．
4
（1）求拋物線 E的方程；
（2）設橫坐標依次為 x1，x2，x3 的三個點 A，B，C都在拋物線 E上，且 x1 0 x2 x3，若 ABC 是以 AC

為斜邊的等腰直角三角形，求 AB AC的最小值．
跟蹤訓練
C : x
2 y2 2
【訓練 3】焦點在 x軸上的橢圓 2 2 1經過點 (2， 2)，橢圓C 的離心率為 ．F1，F2 是橢圓的左、a b 2
右焦點， P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M 為OF2 的中點 (O為坐標原點），過M 且平行于OP的直線 l交橢圓C于 A，B兩點，是否存在
實數 ，使得 |OP |2 |MA | |MB |；若存在，請求出 的值，若不存在，請說明理由．
x2 y2
【訓練 4 2】已知橢圓C的方程為 1，過點Q( ，0)作直線與橢圓交于 A， B兩點， P是橢圓的右
4 2 3
頂點．
（1）求證： PA PB；
（2）求 | PA | | PB |的最大值．
x2 y2 1
【訓練 5】如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓C :
a2
2 1(a b 0)的離心率 e ，左頂點為b 2
A( 4，0)，過點 A作斜率為 k(k 0)的直線 l交橢圓C于點 D，交 y軸于點 E．
（1）求橢圓C 的方程；
（2）已知 P為 AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的 k(k 0)都有OP EQ，若存在，求出點Q的坐
標；若不存在說明理由；
（3）若過O點作直線 l AD AE的平行線交橢圓C 于點M ，求 的最小值．
OM

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