資源簡介

拓展思維第 2節 新定義問題
考向一 小題篇
題型一 切線法與“牛頓數列”
1.切線法：用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值.這種方法叫做“切線法”.由
圖可得，在點( 0, ( 0))處做切線 ( 0) = '( 0)( 0)，令 =0，就得到切線與 x軸交點的橫坐標為 1 =
( 0)0 ′ ，顯然 1比 0更接近方程的根 r. 同理可得：在點( 1, ( 1))處做切線,可得根的近似值 2；由此遞 ( 0)
( )
推，在點( , ( ))處作切線，得根的近似值 +1 = ′( )
2.牛頓數列：若數列{x } ( )n 的通項關系滿足 +1 = ′( )
則稱數列{ }為函數 ( )的牛頓數列
【例 1】（多選）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點．如圖，在橫坐標為 x1的點處作 f
（x）的切線，切線與 x軸交點的橫坐標為 x2；用 x2代替 x1重復上面的過程得到 x3；一直下去，得到數列{xn}，
叫作牛頓數列．若函數 f（x）＝x2﹣x﹣6， =
+2
3
且 a1＝1，xn＞3，數列{an}的前 n項和為 Sn，則下
列說法正確的是（ ）
A = ( ． ) +1 ′( )
B．數列{an}是遞減數列
C．數列{an}是等比數列
D． 2023 = 22023 1
【例 2】（多選）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點．已知二次函數 f（x）有兩個不相
等的實根 b，c，其中 c＞b．在函數 f（x）圖象上橫坐標為 x1的點處作曲線 y＝f（x）的切線，切線與 x軸
交點的橫坐標為 x2；用 x2代替 x1，重復以上的過程得到 x3；一直下去，得到數列{x }

．記 = n ，且
a1＝1，xn＞c，下列說法正確的是（ ）
A = ． 1 1（其中 lne＝1） B．數列{an}是遞減數列
C 1 1． 1 6 = 32 D．數列{ + }的前 n項和 = 2 2 + 1
【訓練 1】給定函數 f（x），若數列{xn}滿足 +1 =
( )
，則稱數列{xn}為函數 f（x）的牛頓數列．已 ′( )
知數列{xn}為函數 f（x

）＝x2﹣x﹣2的牛頓數列， = ( 2 +1 )，且 a1＝1，xn＞2（n∈N+），數列{an}的前
n項和為 Sn．則 S2024＝（ ）
A．22024﹣1 B．22023﹣1
C．( 1 )20242 1 D．(
1 )20232 1
【訓練 2】（多選）牛頓選代法是求函數零點近似值的一種方法，它的原理是利用曲線一系列切線與 x軸交
點的橫坐標來通近函數的零點．已知 f（x）＝x2﹣x﹣1，設α，β為 f（x）的兩個零點（α＜β），令 a1＝﹣1，
在點（a1，f（a1））處作函數 f（x）的切線，設切線與 x軸的交點為 a2，繼續在點（a2，f（a2））處作 f（x）
的切線，切線與 x軸的交點為 a3，…如此重復，得到一系列切線，它們與 x軸的交點的橫坐標形成數列{an}，

易得 an＜0（n∈N*）．設 bn＝ln （n∈N*），{bn}的前 n項和為 Tn，則下列說法中，正確的是（ ）
A = 3． 2 5 B．an＜α
C．{an}是單調遞增數列 D．T4＝15b1
題型二 取整數列
【例 1】在數列 an 中，a1 2，a2 4，且 an 2 2an 1 an 2 0． x
a
表示不超過 x的最大整數，若b nn
n2
，

數列 bn 的前 n項和為Tn，則T2023 ( )
A．2 B．3 C．2022 D．2023
【訓練 1】符號 x 表示不超過實數 x的最大整數，如 2.3 2， 1.9 2 .已知數列 an 滿足 a1 1，a2 5，
8100
an 2 4an 5an 1.若bn log2an 1 ， Sn為數列 的前 n項和，則 Sb b 2025 ( ) n n 1
A．2023 B． 2024 C． 2025 D． 2026
題型三 非典型新定義命題
【例 1】已知數列 a 滿足：對任意的 n N ，總存在m N n ，使得 Sn am，則稱 an 為“回旋數列”．以下
結論中正確的個數是( )
①若 an 2023n，則 an 為“回旋數列”；
②設 an 為等比數列，且公比 q為有理數，則 an 為“回旋數列”；
③設 an 為等差數列，當 a1 1， d 0時，若 an 為“回旋數列”，則 d 1；
④若 a 為“回旋數列”，則對任意 n N ，總存在m N n ，使得 an Sm．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 2】(多選)若數列 an 滿足：對 i, j N*，若 i j，則 ai a j ，稱數列 an 為“鯉魚躍龍門數列”.下列
數列 an 是“鯉魚躍龍門數列”的有( )
A． an n
2 4n 1 a n 1B． n n 2
C． an sin nπ D． an ln
n
n 1
1 2 k 1
1 a 2 3 k k
【例 3】對于數列{an}，記： n 1n ， n 1 n 1 n 1 *n 1 ， n 2 ，…， n k 1 (其中 n N )，并稱數列 a n n n n n
{a } k k為數列 n 的 階商分數列.特殊地，當{ n }為非零常數數列時，稱數列{an}是 k階等比數列.已知數列{an}
是 2階等比數列，且 a1 2，a2 2048，a3 2
20
，若 an am n，則 m=___________.
【訓練 1】對于一個給定的數列 an ，把它的連續兩項 an 1與 an 的差 an 1 an記為bn ，得到一個新數列 bn ，
把數列 bn 稱為原數列 an 的一階差數列.若數列 bn 為原數列 an 的一階差數列，數列 cn 為原數列 bn
的一階差數列，則稱數列 cn 為原數列 an 的二階差數列.已知數列 an 的二階差數列是等比數列，且
a1 2,a2 3,a3 6,a4 13，則數列 an 的通項公式 an .
【訓練 2】定義:對于任意數列 an ,假如存在一個常數 a使得對任意的正整數 n都有 a a ,且 lim a an n n ,則
稱 a為數列 an 的“上漸近值”．已知數列 an 有 a1 a,a2 p ( p為常數,且 p 0 ),它的前 n項和為 Sn ,并且滿
n
S a足 n a1
S S
p n 2 n 1 100
n ,令 n2 S S
,記數列 p1 p2 pn 2n 的“上漸近值”為 k ,則 cos 的值為
n 1 n 2 k
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拓展思維第2節 新定義問題
考向一 小題篇
題型一 切線法與“牛頓數列”
1.切線法：用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值.這種方法叫做“切線法”.由圖可得，在點處做切線，令=0，就得到切線與x軸交點的橫坐標為，顯然比更接近方程的根r. 同理可得：在點處做切線,可得根的近似值；由此遞推，在點處作切線，得根的近似值
2.牛頓數列：若數列{xn}的通項關系滿足
則稱數列{}為函數的牛頓數列
【例1】（多選）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點．如圖，在橫坐標為x1的點處作f（x）的切線，切線與x軸交點的橫坐標為x2；用x2代替x1重復上面的過程得到x3；一直下去，得到數列{xn}，叫作牛頓數列．若函數f（x）＝x2﹣x﹣6，且a1＝1，xn＞3，數列{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．
B．數列{an}是遞減數列
C．數列{an}是等比數列
D．
【例2】（多選）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點．已知二次函數f（x）有兩個不相等的實根b，c，其中c＞b．在函數f（x）圖象上橫坐標為x1的點處作曲線y＝f（x）的切線，切線與x軸交點的橫坐標為x2；用x2代替x1，重復以上的過程得到x3；一直下去，得到數列{xn}．記，且a1＝1，xn＞c，下列說法正確的是（　?。?br/>A．（其中lne＝1） B．數列{an}是遞減數列
C． D．數列的前n項和
【訓練1】給定函數f（x），若數列{xn}滿足，則稱數列{xn}為函數f（x）的牛頓數列．已知數列{xn}為函數f（x）＝x2﹣x﹣2的牛頓數列，，且a1＝1，xn＞2（n∈N+），數列{an}的前n項和為Sn．則S2024＝（　　）
A．22024﹣1 B．22023﹣1
D．
【訓練2】（多選）牛頓選代法是求函數零點近似值的一種方法，它的原理是利用曲線一系列切線與x軸交點的橫坐標來通近函數的零點．已知f（x）＝x2﹣x﹣1，設α，β為f（x）的兩個零點（α＜β），令a1＝﹣1，在點（a1，f（a1））處作函數f（x）的切線，設切線與x軸的交點為a2，繼續在點（a2，f（a2））處作f（x）的切線，切線與x軸的交點為a3，…如此重復，得到一系列切線，它們與x軸的交點的橫坐標形成數列{an}，易得an＜0（n∈N*）．設bn＝ln（n∈N*），{bn}的前n項和為Tn，則下列說法中，正確的是（　?。?br/>A． B．an＜α
C．{an}是單調遞增數列 D．T4＝15b1
題型二 取整數列
【例1】在數列中，，，且．表示不超過的最大整數，若，數列的前項和為，則( )
A．2 B．3 C．2022 D．2023
【訓練1】符號表示不超過實數的最大整數，如，.已知數列滿足，，.若，為數列的前項和，則( )
A． B． C． D．
題型三 非典型新定義命題
【例1】已知數列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數列”．以下結論中正確的個數是( )
①若，則為“回旋數列”；
②設為等比數列，且公比q為有理數，則為“回旋數列”；
③設為等差數列，當，時，若為“回旋數列”，則；
④若為“回旋數列”，則對任意，總存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】(多選)若數列滿足：對，若，則，稱數列為“鯉魚躍龍門數列”.下列數列是“鯉魚躍龍門數列”的有( )
A． B．
C． D．
【例3】對于數列，記：…，(其中)，并稱數列為數列的k階商分數列.特殊地，當為非零常數數列時，稱數列是k階等比數列.已知數列是2階等比數列，且，若，則m=___________.
【訓練1】對于一個給定的數列，把它的連續兩項與的差記為，得到一個新數列，把數列稱為原數列的一階差數列.若數列為原數列的一階差數列，數列為原數列的一階差數列，則稱數列為原數列的二階差數列.已知數列的二階差數列是等比數列，且，則數列的通項公式 .
【訓練2】定義:對于任意數列,假如存在一個常數使得對任意的正整數都有,且,則稱為數列的“上漸近值”．已知數列有(為常數,且),它的前項和為,并且滿足,令,記數列的“上漸近值”為,則的值為 _____．
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