資源簡介

3.1 導數小題篇課后練習
1．（2024 上猶縣期末）下列求導運算正確的是 ( )
A． (x 1 ) 1 1 2 B． (log2x)
1

x x xln2
C． (5x ) 5x log x D． (x25 cos x) 2xcos x x
2 sin x
2．（2024 白云區期中）下列命題正確的是 ( )
A．若 f (x) xsin x cos x，則 f (x) sin x x cos x sin x
B．設函數 f (x) xlnx ，若 f (x0 ) 2，則 x0 e
C．已知函數 f (x) 3x2ex ，則 f （1） 12e
D．設函數 f (x)的導函數為 f (x)，且 f (x) x2 3xf （2） lnx，則 f (2) 9
4
3．（2024 2 惠州期末）若函數 f (x) cos x aln | x | bx2 c滿足 f ( ) ，則 f ( ) ( )
2 2
A 2． B 2 ． C． D．
2 2
4．（2024 新余期末）已知函數 f (x) x3 x 1，其導函數記為 f (x)，則
f (2023) f (2023) f ( 2023) f ( 2023) ．
5．（2024 南陽月考）有一些網絡新詞，如“ yyds”“內卷”“躺平”等，現定義方程 f (x) f (x) 的實數根 x
叫做函數 f (x)的“躺平點”，若函數 g(x) ex x， h(x) lnx， (x) 1024x 1024 的躺平點分別為 a，b，
c，則 a， b， c的大小關系為 ( )
A．b a c B． a b c C． c a b D． c b a
6．（2024 湖州月考）定義方程 f (x) f (x)的實數根 x0 叫做函數 f (x)的“新駐點”．設 f (x) cos x，則 f (x)
在 (0, )上的“新駐點”為 ．
7．（2024 丹東模擬）計算器計算 ex ， lnx，sin x，cos x等函數的函數值，是通過寫入“泰勒展開式”程序
的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數 f (x)在含有 x0 的某個開區間 (a,b)內可以多次進行求導數運算，
f (x0 ) 0 f (x0 ) f (x0 ) 2 f x (a,b) x x f (x) (x )則當 ，且 0 時，有 (x x0 ) (x x0 ) (x x ) 0
3
0 (x x0 ) ．0! 1! 2! 3!
其中 f (x)是 f (x)的導數， f (x)是 f (x)的導數， f (x)是 f (x)的導數 ．
取 x0 0，則 sin x的“泰勒展開式”中第三個非零項為 ， sin1精確到 0.01的近似值為 ．
8．（2019 新課標Ⅱ）曲線 y 2sin x cos x 在點 ( , 1)處的切線方程為 ( )
A． x y 1 0 B． 2x y 2 1 0 C． 2x y 2 1 0 D． x y 1 0
9．（2024 五華區模擬）過點 P(0, e)作曲線 y xlnx的切線，則切線方程是 ．
10．（2022 新高考Ⅱ）曲線 y ln | x |過坐標原點的兩條切線的方程為 ．
11．（2024 許昌二模）已知函數 y x 1 lnx在點 A(1,2)處的切線 l，若 l與二次函數 y ax2 (a 2)x 1的
圖象也相切，則實數 a的取值為 ( )
A．12 B．8 C．0 D．4
12．（2024 渾南區模擬）已知曲線 f (x) x 與曲線 g(x) alnx(a R)相交，且在交點處有相同的切線，則
a ．
13．（2024 鼓樓模擬）寫出曲線 y ex 1與曲線 y ln(x 1)的公切線的一個方向向量 ．
14．（2023 湖南模擬）已知 f (x) ex (e為自然對數的底數），g(x) lnx 2 ，直線 l是 f (x)與 g(x)的公切線，
則直線 l的方程為 ．
15.（2024 正定月考）過點 (3,0)作曲線 f (x) xex 的兩條切線，切點分別為 (x1 ， f (x1))， (x2 ， f (x2 ))，則
x1 x2 ( )
A． 3 B． 3 C． 3 D．3
16.（2024 濠江區月考）若過點 (m， n)(m 0)可作曲線 y x3 3x三條切線，則 ( )
A． n 3m B． n m3 3m
C． n m3 3m或 n 3m D． 3m n m3 3m
17. x 1（2023 自貢模擬）已知函數 f (x) x ．若過點 P( 1,m)可以作曲線 y f (x)三條切線，則m的取值范e
圍是 ( )
A． (0, 4) B． (0, 8) C． ( 1 , 4) D 1 8． ( , )
e e e e e e
18．（2024 連云港月考）已知直線 l分別與曲線 f (x) lnx， g(x) ex 相切于點 (x1 ， lnx1)， (x ,e
x2
2 )，則
1 2
的值為 ．
x1 x2 1
19.（2024·全國· π π高三專題練習）函數 = sin cos 在區間 , 上的最小值為（ ）
2 2
A 3 3 π． B 3 6． 1 C． D．0
6 12
20．（2024 涪城區期中）若函數 f (x) (x2 ax 2) ex 在 R上既有極大值也有極小值，則實數 a的取值范圍
( )
A． ( 2,2) B． ( ， 2) (2， )
C． ( ， 2] [2， ) D． [ 2， 2]
21 1．（2023 泉州模擬）設點 P在曲線 y e(x 1) 上，點Q在曲線 y ln(2x 2)上，則 | PQ |的最小值為 ( )
2
A．1 ln2 B． 2(1 ln2) C．1 ln2 D． 2(1 ln2)
ea 122. 2024 b d c 2（ 北海期末）若實數 a， ， c， 滿足 1，則 (a c)2 (b d)2 的最小值為 ( )
b d
A．2 B． 2 2 C．4 D．8
23．（2024 五華區期中）已知函數 f (x) x3 2ax2 a2x 1在 x 1處有極小值，則 a的值為 ( )
A．1 B．3 C．1或 3 D． 1或 3
24．（2024 1 平羅縣期中）已知函數 f (x) x3 ax2 ax 1(a 1)在 x1， x2 (x1 x2 )處的導數相等，則不等式3
f (x1 x2 ) m恒成立時m的取值范圍為 ( )
A． ( 4 ， 1] B． ( ， 0] C． ( ，1] D． ( , ]
3
25．（2024 武陵區月考）已知 x 3 21， x2為函數 f (x) x 3x ax 1的兩個不同的極值點，
若 f (x1) f (x ) f (
x1 x2
2 )，則 a的取值范圍是 ( )2
A． ( ,3) B． (0,3) C． ( ,0) D． ( 3,3)
26.（2023 成都模擬）若正實數 x1是函數 f (x) xe
x x e2 的一個零點，x2 是函數 g(x) (x e)(ln x 1) e
3
x (x e)
的一個大于 e的零點，則 1 22 的值為 ．e
A 1 B 1． ． 2 C． e D． e
2
e e
m
1
27.（2023 江西模擬）已知函數 f (x) 2x3 ln x (m x)e x ，當 x e時， f (x) 0恒成立，則實數m的取值
范圍為 ．
28.（2023 蘇州模擬）若不等式 ae x ln x ln a 0，則 a的取值范圍是 ．
29.（2023 ax蚌埠模擬）已知函數 f (x) x 1 x ln(ax) 2(a 0)，若函數 f (x)在區間 (0， )內存在零點，e
則實數 a的取值范圍是（ ）
A． (0，1] B．[1， )
C． (0，e] D． [3， )
30.（2023 成都零診）若正實數 x 是函數 f (x) xe x x e21 的一個零點，
x2 是函數 g(x) (x
x (x e)
e)(ln x 1) e3的一個大于 e的零點，則 1 22 的值為（ ）e
A 1 1． B． C． e D． e2
e e2
31.（2024 北京期末）曲線 f（x）= ，g（x）= ，及直線 y＝a（a∈R），下列說法中正確的個數為（ ）
①存在直線與曲線 f（x）與 g（x）均相切；②曲線 f（x）與 g（x）有且只有一個公共點；③存在直線 y
＝a與曲線 f（x）、g（x）均有公共點；④若直線 y＝a 與曲線 f（x）交于點 A（x1，y1），B（x2，y2），與曲
線 g（x）交于點 B（x2，y2），C（x3，y3），則 x1x3= 22．
A．1 B．2 C．3 D．4
31.（2023 2k b 2浙江模擬）設 k，b R，若關于不等式 ln x x k(x 1) b在 (0， )上恒成立，則 的
k 1
最小值是 .
32.（2023 1 1 b湖南十五校模擬）已知 x + e2ax+b對 x (- ，+ )恒成立，則 的最小值為 ．
a a a
33.（2023 武漢調研）已知函數 f (x) = e x - a ln(ax - a) + a(a > 0) ，若關于 x的不等式 f (x) > 0恒成立，則實數
a的取值范圍為________．
ex e x ex 1
34.（2024 荊州期末）求證： ex sin x sin(1 lnx)．
2
35.（2024 金太陽聯考）對任意 a，b R，都有 (b a)eb a be b a恒成立，則實數 的值為（ ）
A． e B．1 C．0 D． e
36.（2023 天一大聯考）對任意的 a， b R，不等式 (6a 6b 1)e2a b 6a 1 mbea 恒成立，
則實數m的取值范圍是 ．
37（. 2024 運城月考）已知函數 f (x) ex (2x 1) ax 2a 1，其中 a ，若存在唯一的整數 x0 ，使得 f (x2 0
) 0，
則實數 a的取值范圍是 ( )
A [ 3． , 1) B．[ 3 , 1] C 1 1 1 1．[ , ) D． ( , ]
2e 2 2e 4 e 2 4 e
38．（2023 長沙模擬）已知函數 f (x) (mx 1)ex x2，若不等式 f (x) 0的解集中恰有兩個不同的正整數解，
則實數m的取值范圍 ( )
A． ( 2 1 1 2 1 12 ， 1) B．[ ， 1)e 2 e e2 2 e
C [ 3 1 2 1 3 1 2 1． 3 ， 2 ) D． ( 3 ， )e 3 e 2 e 3 e2 2
39．（2024 湖北期中）已知函數 f (x) xex 1 kx k，有且只有一個負整數 x0 ，使 f (x0 ) 0成立，則 k的取
值范圍是 ( )
A 2． ( , 1] B 1 2． (0, ] C． [ , 1) D． [0, 1)
3e 2 2 3e 2 2
2．（2024 楊陵區月考）已知函數 f (x)的定義域是 ( 5,5)，其導函數為 f (x)，且 f (x) xf (x) 2，則不等
式 (2x 3) f (2x 3) (x 1) f (x 1) 2x 4 的解集是 ．
40．（2024 浦東新區期中）定義在 R上的函數 f (x)滿足 f (x) f (x) ex 0，其中 f (x)為 f (x)的導函數，
若 f （3） 3e3，則 f (x) xex 的解集為 ．
41．（2024 青羊區月考）已知函數 f (x)的定義域為 ( , )，其導函數是 f (x)．有 f (x)cos x f (x)sin x 0 ，
2 2

則關于 x的不等式 f (x) 2 f ( )cos x 的解集為 ( , ) ．
3 2 3
42．（2024 ln 2 ln3 1江西金太陽聯考）設實數 a ， b ， c 2 ，則 a、b、c的大小關系為 ( )3 8 e 1
A． a b c B．b a c C． a c b D． b c a
43.（2024 常德月考）已知 0 a 4，0 b 2，0 c 3，且16ln a a2 ln 4，4lnb b2 ln2，9ln c c2 ln3，
則 ( )
A． c b a B． c a b C． a c b D．b c a
44.（2024 四川模擬）已知 a，b，c為負實數，且 a ln a 1 2，b ln b 1 3，c 2ec 1 1，則
3 4
( )
A． b a c B． c b a C． a b c D． a c b
45. e（2024 湖北開學）已知 a sin ，b ， c ln 2，則 a， b， c的大小關系為 ( )
5 2
A． a c b B． a b c C． c a b D． c b a
46.（2024 運城月考）已知 a 1 sin 0.1，b 1 ln1.1， c 1.0110，則 ( )
A． a b c B．b a c C． c a b D．b c a
47.（2024 2 2 11 北京月考）設 a ，b sin ， c ln ，則 ( )
21 21 10
A． a b c B． a c b C． c a b D．b c a
48.（2024 山東月考 多選）若 a ln1.1 1， b ， c sin 0.1 d 21， ，則 ( )
11 220
A． a b B．b c C． a d D． c d3. 1 導數小題篇
考向 1 導數的運算
1．求導的基本公式
基本初等函數 導函數
f (x) c（ c為常數） f (x) 0
f (x) xa (a R) f (x) axa 1
f (x) a x (a 0，a 1) f (x) a x ln a
f (x) 1 loga x (a 0，a 1) f (x) x ln a
f (x) e x f (x) e x
f (x) ln x f (x) 1
x
f (x) sin x f (x) cos x
f (x) cos x f (x) sin x
2．導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：[ f (x) g(x)] f (x) g (x)；
（2）函數積的求導法則：[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x)；

（3）函數商的求導法則： g(x) 0 [ f (x) ，則 ] f (x)g(x) f (x)g (x) ．
g(x) [g(x)]2
3．復合函數求導數
復合函數 y f [g(x)]的導數和函數 y f (u)，u g(x)的導數間關系為 y y u x u x ：
如 y (3x 1)2我們將分三步：
y u2
①將復合函數分解為基本初等函數 ；
u 3x 1
②將 y對u的導數記為 yu 2u，將 u對 x的導數記為 ux 3；
③ y yu u x 2u 3 6(3x 1) 18x 6 ．
注意：奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
題型 1 基本求導
【例 1】下列式子正確的是 ( )
A． (sin ) cos B 1． (lnx)
6 6 x
x
C ( e ) e
x
． D． (xsin x) cos x
2x 2
【例 2】若函數 f (x) 3x sin 2x，則 ( )
A． f (x) 3x ln3 2cos2x B． f (x) 3x 2cos2x
C． f (x) 3x ln3 cos2x D． f (x) 3x ln3 cos2x
【例 3】已知函數 f (x) ex f (0)x2 f (0)(x 2)（其中 f (x)是 f (x)的導函數），則 f （1） ( )
A． e 2 B． e 3 C． e 2 D． e 3
(x 1)2 sin x
【例 4】函數 f (x) 2 ，其導函數記為 f (x)，f (2022) f (2022) f ( 2022) f ( 2022) ( )x 1
A． 3 B．3 C． 2 D．2
【例 5】已知函數 f (x) x(x 3)(x 32 )(x 33)(x 34 )(x 35 )，則 f (0) ( )
A． 315 B． 314 C． 314 D． 315
跟蹤訓練
【訓練 1】設函數 f (x)在 R上可導，且 f (lnx) x lnx，則 f (0) ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1 x2
【訓練 2】下列給出四個求導的運算：① (x ) 2 ；② (ln(2x 1))
2
；③ (x2ex ) 2xex ；④
x x 2x 1
(log2x)
1
．其中運算結果正確的個數是 ( )
xln2
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【訓練 3】函數 f (x) asin3x bx3 4(a R,b R)， f (x)為 f (x)的導函數，
則 f (2023) f ( 2023) f (2022) f ( 2022) ( )
A．0 B．8 C．2022 D．2023
【訓 4】若函數 f (x) (x 2019)(x 2020)(x 2021)(x 2022) ，則 f (2021) ．
解：令 g(x) (x 2019)(x 2020)(x 2022) ，則 f (x) (x 2021) g(x) ，
因為 f (x) g(x) (x 2021) g (x) ，所以 f (2021) g(2021) 2 1 ( 1) 2 ，故答案為： 2．
題型 2 必備拓展知識
【例 1】給出定義：若函數 f (x)在D上可導，即 f (x)存在，且導函數 f (x)在D上也可導，則稱 f (x)在D
上存在二階導函數，記 f (x) ( f (x)) ．若 f (x) 0在 D上恒成立，則稱 f (x)在 D上為凸函數（反之
f (x) 0為凹函數）．以下四個函數在 (0, )上不是凸函數的是 ( )
2
A． f (x) cos x sin x B． f (x) lnx 3x
C． f (x) x3 4x 8 D． f (x) xex
【例 2】【多選】已知函數 f (x)的導函數為 f (x)，若存在 x0 使得 f (x0 ) f (x0 )，則稱 x0 是 f (x)的一個“新
駐點”，下列函數中，具有“新駐點”的是 ( )
A． f (x) sin x B． f (x) x3 C． f (x) lnx D． f (x) xex
【例 3】給出定義：設 f (x)是函數 y f (x)的導函數，若方程 f (x) 0有實數解，則稱點 (x0 ， f (x0 ))為
函數 y f (x)的“拐點”．已知函數 f (x) 3x 4sin x cos x 的拐點為M (x0， f (x0 ))，則下列結論正確的
為 ( )
A． tan x0 4 B．點M 在直線 y 3x上
C． sin 2x 40 D．點M 在直線 y 4x上17
【例 4】以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映函數與導數之間的
重要聯系，是微積分學重要的理論基礎，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其內容如下：如
果函數 y f (x)在閉區間 [a， b]上連續，在開區間 (a,b)內可導，則 (a,b)內至少存在一個點 x0 (a,b)，使
得 f （b） f （a） f (x0 )(b a)，其中 x x0 稱為函數 y f (x)在閉區間 [a，b]上的“中值點”．請問函
數 f (x) 5x3 3x在區間 [ 1，1]上的“中值點”的個數為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
跟蹤訓練
【訓練 5】設函數 y f (x)是 y f (x)的導函數．某同學經過探究發現，任意一個三次函數
f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)的圖像都有對稱中心 (x0 ， f (x0 ))，其中 x0 滿足 f (x0 ) 0．
已知三次函數 f (x) x3 2x 1，若 x1 x2 0，則 f (x1) f (x2 ) ．
【訓練 6】設函數 f (x)的導函數為 f (x)，將方程 f (x) f (x)的實數根稱為函數 f (x)的“新駐點”．記函
數 f (x) ex x， g(x) lnx x， h(x) sin x x的“新駐點”分別為 a，b， c，則 ( )
A． c a b B． c b a C．b a c D． a c b
【訓練 7】給出定義：設 f (x)是函數 y f (x)的導函數，
f (x)是函數 f (x)的導函數，若方程 f (x) 0有實數解 x0 ，則稱點 (x0 ， f (x0 ))為函數 y f (x)的“拐點”，
已知函數 f (x) 2sin x cos x x 1的拐點是M (x0， f (x0 ))，則點M ( )
A．在直線 y 1 x上 B．在直線 y x 1上
C．在直線 y x上 D．在直線 y x上
【訓練 8】拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，定理內容如下：如果函數 f (x)在閉區間 [a， b]上
的圖象連續不間斷，在開區間 (a,b)內的導數為 f (x)，那么在區間 (a,b)內至少存在一點 c，使得 f（b） f
（a） f （c） (b a)成立，其中 c叫做 f (x)在[a， b]上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函
數 f (x) (x 2)lnx在 [1， 2]上的“拉格朗日中值點”的個數為 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考向 2 導數的切線問題
題型 1 在點的切線方程
切線方程 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )的計算：函數 y f (x)在點 A(x0 ，f (x0 ))處的切線方程為：
y f (x )
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
0 0
，一定要抓住關鍵 ．
k f (x0 )
x
【例 1】（2023 e 甲卷）曲線 y 在點 (1, e )處的切線方程為 ( )
x 1 2
A y e e． x B． y x C． y e x e e 3e D． y x
4 2 4 4 2 4
【例 2】（2019 新課標Ⅲ）已知曲線 y aex xlnx在點 (1,ae)處的切線方程為 y 2x b，則 ( )
A． a e， b 1 B． a e， b 1 C． a e 1， b 1 D． a e 1， b 1
【例 3】已知函數 f (x) e2x (x 1)2，則曲線 y f (x)在點 P(0， f (0))處的切線與坐標軸圍成的三角形的
面積是 ( )
A 1． B 1． C．1 D．2
4 2
跟蹤訓練
1 2021 y 2x 1【訓練 】（ 甲卷）曲線 在點 ( 1, 3)處的切線方程為 5x y 2 0 ．
x 2
【訓練 2】（2020 新課標Ⅰ）曲線 y lnx x 1的一條切線的斜率為 2，則該切線的方程為 ．
【訓練 3】已知 f (x 1) x 1 ex 1，則函數 f (x)在點 (0， f (0))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為
( )
A 1 B 1． ． C．1 D．2
4 2
題型 2 過點的切線方程
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k f (x0 )，過切點的切線方程為 y y0 f (x0 )(x x0 )，又因為切線方程過點
A(m，n)，所以 n y0 f (x0 )(m x0 )然后解出 x0的值．
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
【例 1】已知函數 f (x) 2x ln x，若過點 (0， 1)的直線與曲線 y f (x)相切，則該直線斜率為 ．
【例 2】已知 f (x) x3，則函數 f (x)的圖象過點 (1，1)的切線方程為 ．
跟蹤訓練
【訓練 4】設函數 f (x) x3 (a 1)cos x 3x，若 f (x)為奇函數，則曲線 y f (x)過點 (2a, 6)的切線方程
為 ．
題型 3 切線條數問題
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k f (x0 )，過切點的切線方程為 y y0 f (x0 )(x x0 )，又因為切線方程過點
A(m，n)，所以 n y0 f (x0 )(m x0 )然后解出 x0的值， x0 有幾個值，就有幾條切線．
【例 1】經過點 (2，0)作曲線 y x2ex 的切線有 ( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【例 2】（2021 新高考Ⅰ）若過點 (a,b)可以作曲線 y ex 的兩條切線，則 ( )
A． eb a B． ea b C． 0 a eb D． 0 b ea
跟蹤訓練
【訓練 5】函數 y x3 3x過點 (1, 2)的切線條數為 ( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【訓練 6】若過點 (a,b)可以作曲線 y lnx的兩條切線，則 ( )
A． a lnb B．b lna C． lnb a D． lna b
【訓練 7】（2022 新高考Ⅰ）若曲線 y (x a)ex 有兩條過坐標原點的切線，則 a的取值范圍是 ．
題型 4 公切線問題
公切線代數表達：
當 y = f (x)與 y = g(x)具有公切線時，設直線與 y = f (x)切于點 (x1，f (x1))與 y = g(x)切于點 (x2 ，g(x2 ))，
①當 y = f (x)與 y = g(x) f (x ) g (x )切于同一點，設切點為 P(x0 ，y0 )，則有
0 0
；
f (x0 ) g(x0 )
②公切線方程的等量關系 f (x ) g (x ) f (x ) g(x ) 1 2 ，求參數取范圍或者切點的取值范圍．1 2 x1 x2
【例 1】若曲線 y mex (m 0)和曲線 y x2在交點 P處的切線相同，則m的值為 ( )
A 1 B 1 C 2 4． ． ． D．
2 4 e e2
【例 2】曲線 y ex 在點 (x1 ， y1)處的切線與 y lnx在點 (x2 ， y2 )處的切線相同，則 (x1 1)(x2 1) ( )
A． 1 B． 2 C．1 D．2
跟蹤訓練
【訓練 8】若曲線 y aex與曲線 y x 在公共點處有相同的切線，則實數 a ．
【訓練 9】一條直線與函數 y lnx和 y ex 的圖象分別相切于點 P(x1， y1)和點Q(x ， y )
x (x
，則 2 1
1)
2 2 的x1 1
值為 ．
【訓練 10】已知直線 l與曲線 y ex 1和 y ln(x 1)都相切，請寫出符合條件的兩條直線 l的方程： ．
考向 3 單調性與極值最值
1．函數單調性和導數的關系
(1)函數的單調性與導函數 f'(x)的正負之間的關系
①單調遞增：在某個區間(a,b)上，如果 f'(x)>0，那么函數 y=f(x)在區間(a, b) 上單調遞增；
②單調遞減：在某個區間(a,b)上，如果 f'(x)<0，那么函數 y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
③如果在某個區間(a,b)內恒有 f'(x)=0，那么函數 y=f(x)在這個區間上是一個常數函數.
(2)函數值變化快慢與導數的關系
一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，
函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范圍內
函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.
2．函數的極值
(1)極小值點與極小值：
如圖，函數 y=f(x)在點 x=a處的函數值 f(a)比它在點 x=a附近其他點的函數值都小，f'(a)=0，而且在點
x=a附近的左側 f'(x)<0，右側 f'(x)>0，則把點 a叫做函數 y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數 y=f(x)的極小值.
(2)極大值點與極大值：
如圖，函數 y=f(x)在點 x=b處的函數值 f(b)比它在點 x=b附近其他點的函數值都大，f'(b)=0，而且在點
x=b附近的左側 f'(x)>0，右側 f'(x)<0，則把點 b叫做函數 y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數 y=f(x)的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
3．函數的最大值與最小值
(1)一般地，如果在區間[a,b]上函數 y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且
函數的最值必在極值點或區間端點處取得.當 f(x)的圖象連續不斷且在[a,b]上單調時，其最大值和最小值分別
在兩個端點處取得.
(2)函數的極值與最值的區別
①極值是對某一點附近(即局部) 而言的，最值是對函數的整個定義區間而言的.
②在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.
③函數 f(x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點.
題型 1 最值與求參
【例 1】下列函數中，在區間 0,1 內不單調的是（ ）
A． = ln + 1 B． = 21
C． = tan2 D． = 2 +
【例 2】（2022 乙卷）函數 f (x) cos x (x 1)sin x 1在區間 [0， 2 ]的最小值、最大值分別為 ( )
A B 3 ． ， ． ， C． ， 2 D 3 ． ， 2
2 2 2 2 2 2 2 2
【例 3 1】已知函數 = 3 + 16ln 在區間 1,3 上單調遞增，則 的取值范圍是（ ）
3
A ∞,12 B ∞, 43． ． C． ∞,12 D． ∞, 43
3 3
跟蹤訓練
【訓練 1】函數 = 1 2 ln 的單調遞減區間為（ ）
2
A． 1,1 B． 0,1 C． 1, + ∞ D． 0, + ∞
【訓練 2】已知函數 f (x) ln(x 2) ln(6 x) ，則 ( )
A． f (x)在 (2,6)上單調遞增
B． f (x)在 (2,6)上的最小值為 2ln2
C． f (x)在 (2,6)上單調遞減
D． y f (x)的圖象關于直線 x 4對稱
【訓練 3】若函數 = + e 在區間 1, + ∞ 上單調遞增，則 k的取值范圍是（ ）
A． 1, + ∞ B． 1, + ∞ C． 2, + ∞ D． 2, + ∞
【訓練4】（2023 乙卷）設 a (0,1)，若函數 f (x) ax (1 a)x在 (0, )上單調遞增，則 a的取值范圍是 ．
題型 2 極值與求參
【例 1】已知函數 = 的定義域為 , ，導函數 = ′ 在 , 內的圖像如圖所示，則函數 =
在 , 內的極小值有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例 2】若函數 f (x) 1 x2 x alnx有兩個不同的極值點，則實數 a的取值范圍為 ( )
2
A． (0, 1) B 1 1． (0, ) C． ( , ) D． ( , 1]
4 2 4 4
【例 3】已知函數 = 3 + 3 2 + + 2在 = 1處有極值 0，則實數 + 的值為（ ）
A．4 B．4或 11 C．9 D．11
跟蹤訓練
【訓練 5】定義在 R上的可導函數 y f (x)的導函數圖象如圖所示，下列說法正確的是 ( )
A． f （1） f （6） B．函數 y f (x)的最大值為 f （5）
C．1是函數 y f (x)的極小值點 D．3是函數 y f (x)的極小值點
3 x 1
【訓練 6】若函數 f (x) alnx (a 0)既有極大值也有極小值，則 a ( )
x 2x2
A． (0, 9) B． (0,3)
4
C 9． (0, )
4 (9, ) D． (0， 3) (9， )
【訓練 7】函數 f (x) ax2 (2a 1)x lnx在 x 1處取得極小值，則 a的取值范圍為 ( )
A a 1． B． a 1 C． 0 1 a D． 0 a 1
2 2
題型 2 距離問題
定理 函數 y e x與函數 y ln x間的距離最小值為 2 ，即為切線 y x 1到切線 y x 1的距離．
【例 1】若點 P是曲線 y lnx x2上任意一點，則點 P到直線 l : x y 4 0距離的最小值為 ( )
A 2． B． 2 C． 2 2 D． 4 2
2
2 x y a lnx【例 】已知直線 0與曲線 y eex， y 分別交于點 A， B，則 | AB |的最小值為 ( )
e
A 2 B 2 2． ． C．1 D． e
e e
3 a b c d lna 1 c 2【例 】已知實數 ， ， ， 滿足 1，則 (a c)2 (b d)2 的最小值為 ( )
b 1 d 3
A．8 B．4 C．2 D． 2
跟蹤訓練
【訓練 8】若動點 P在曲線 y ex x上，則動點 P到直線 y 2x 4的距離的最小值為 ( )
A． 5 B． e 1 C． 2 5 D． 2e
1
【訓練 9】已知函數 f (x) e2x， g(x) lnx 分別與直線 y a交于點 A， B，則 | AB |的最小值為 ( )
2
A．1 1 ln2 B 1．1 ln2 C． 2 1 ln2 D． 2 1 ln2
2 2 2 2
【訓練 10】點 P，Q分別是函數 f (x) 3x 4，g(x) x2 2lnx圖象上的動點，則 | PQ |2 的最小值為 ( )
A 3． (2 3 ln2)2 B． (2 ln2)2 C 2 2． (1 ln2)2 D． (1 ln2)2
5 5 5 5
考向 4 必備函數模型
題型一 三次函數的圖像和性質
1．基本性質
設三次函數為： f (x) ax3 bx2 cx d ( a、 b、 c、 d R 且 a 0 ),其基本性質有：
性質 1：①定義域為 R．②值域為 R，函數在整個定義域上沒有最大值、最小值．③單調性和圖像：
a 0 a 0
0 0 0 0
圖
像
性質 2：三次方程 f (x) 0的實根個數
對于三次函數 f (x) ax3 bx2 cx d ( a、 b、 c、 d R 且 a 0 ),其導數為 f (x) 3ax2 2bx c
2
b2 3ac 0 f (x) 0 x x x x b b 3ac當 ，其導數 有兩個解 1， 2，原函數有兩個極值 1， 2 ．3a
①當 f (x1) f (x2 ) 0時,原方程有且只有一個實根；
②當 f (x1) f (x2 ) 0時,原方程有兩個實數根；
③當 f (x1) f (x2 ) 0時,原方程三個實數根；
性質 3：對稱性
b b
三次函數是中心對稱曲線，且對稱中心是； ( ，f ( )) ，其中橫坐標為其函導數的對稱軸；
3a 3a
【例 1】（2022 新高考Ⅰ）已知函數 f (x) x3 x 1，則 ( )
A． f (x)有兩個極值點
B． f (x)有三個零點
C．點 (0,1)是曲線 y f (x)的對稱中心
D．直線 y 2x是曲線 y f (x)的切線
【例 2】（2021 乙卷）設 a 0，若 x a為函數 f (x) a(x a)2 (x b)的極大值點，則 ( )
A． a b B． a b C． ab a2 D． ab a2
【例 3】已知函數 f (x) (x 3)3 2x 6，且 f (2a b) f (6 b) 0(a， b R)，則 ( )
A． sin a sinb B． ea eb C 1 1 ． D． a2024 b2024
a b
跟蹤訓練
【訓練 1】（2022 華僑、港澳臺聯考）設 x1和 x2是函數 f (x) x
3 2ax2 x 1的兩個極值點．若 x2 x1 2，
則 a2 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【訓練 2】已知函數 f (x) x3 3x 1，則下列結論正確的是 ( )
A． f (x)有兩個零點
B．點 (1,1)是曲線 y f (x)的對稱中心
C． f (x)有兩個極值點
D．直線 y 3x 2是曲線 y f (x)的切線
【訓練 3】已知 a，b R，若 x b是函數 f (x) a(x a)(x b)2的極小值點，則 ( )
A． a b B． a b C． ab a2 D． ab a2
【訓練 4】（2018 江蘇）若函數 f (x) 2x3 ax2 1(a R)在 (0, )內有且只有一個零點，則 f (x)在 [ 1，
1]上的最大值與最小值的和為 ．
題型二 六大同構函數模型
x x
八大同構函數分別是：① y xex ，② y x ，③ y
e
，④ y ln x x x ln x，⑤ y ，⑥ y ，
e x x ln x
⑦ y e x x 1，⑧ y x ln x 1．我們通過基本的求導來看看這八大同構函數的圖像，再分析單調區間及
極值，以及它們之間的本質聯系．
圖 1-2-1 圖 1-2-2
①如圖 1-2-1，對于函數 y xex ，求導后可得： f (x) (x 1) e x ， f (x)在區間 ( ， 1) 遞減，在區間
( 1 1， )遞增，且 f (x)min f ( 1) ；e
②如圖 1-2-2，對于 y x ln x，求導后可得： f (x) ln x 1， f (x) 1 1在區間 (0， )遞減，在區間 ( ， )遞
e e
f (x) f (1) 1增，且 min ；e e
反思 關于圖 1-2-1和圖 1-2-2，我們仔細觀察會發現對于 y xex 函數，我們把 x換成 ln x即可得到 y x ln x．
圖 1-2-3 圖 1-2-4
x
③如圖 1-2-3，對于函數 y x ，求導后可得： f (x)
1 x
x ， f (x)在區間 ( ，1)遞增，在區間 (1， )e e
遞減， f (x) 1max f (1) ；e
1-2-4 y ln x 1 ln x④如圖 ，對于函數 ，求導后可得： f (x)
x x2
， f (x)在區間 (0，e)遞增，在區間 (e， )
1
遞減， f (x)max f (e) ；e
x lnx
反思 關于圖 1-2-3和圖 1-2-4，我們仔細觀察會發現對于 y x 函數，我們把 x換成 ln x即可得到 y ．e x
圖 1-2-5 圖 1-2-6
x x
⑤如圖 1-2-5 e e (x 1)，對于函數 y ，求導后可得：當 x 0時， f (x) 2 0，在區間 ( ，0) 遞減；x x
x
當 x 0時， f (x) e (x 1) 2 ，在區間 (0，1)遞減，在區間 (1， )遞增， f (x)min f (1) e；x
x ln x 1
⑥如圖 1-2-6，對于函數 y ，求導后可得：當 0 x 1時， f (x) 2 0，在區間 (0，1)遞減；ln x (ln x)
當 x 1時， f (x) ln x 1 2 ，在區間 (1，e)遞減，在區間 (e， )遞增， f (x)min f (e) e；(ln x)
x
反思 關于圖 1-2-5和圖 1-2-6 e x，我們仔細觀察會發現對于 y 函數，我們把 x換成 ln x即可得到 y ．
x lnx
圖 1-2-7 圖 1-2-8
⑦如圖 1-2-7，對于函數 y e x x 1，求導后可得： f (x) e x 1， f (x)在區間 ( ，0) 遞減，在區間
(0， )遞增， f (x)min f (0) 0；
⑧如圖 1-2-8 1，對于函數 y x ln x 1，求導后可得： f (x) 1 ， f (x)在區間 ( ，1)遞減，在區間
x
(1， )遞增， f (x)min f (1) 0；
反思 關于圖 1-2-7 和圖 1-2-8，仔細觀察會發現對于 y e x x 1函數，我們把 x換成 ln x 即可得到
y x ln x 1．
我們可以利用八大函數進行快速求解最值或單調區間
注意：改變單調區間的因素： f (x) f (x a)、 f (x) f (ax)、 f (x) f (x)；
改變最值的因素： f (x) f (x) a、 f (x) af (x)、 f (x) f (x)；
【例 1】利用八大函數（不求導）求下列函數的單調區間：
① f (x) (x 1) e x f (x) 1 ln x；② ；
x x
【例 2】利用八大函數（不求導）求下列函數的最值：
① f (x) x2 e x 1(x 0)；② f (x) 2e x 2x；
③ f (x) x(1 ln x) f (x) 1 ln x f (x) ln x ；④ ；⑤ 2 ；x x x
x 2
【例 3 e】已知函數 f (x) xex ln x x 2， g(x) ln x x的最小值分別為 a，b，則 ( )
x
A． a b B． a b
C． a b D． a，b的大小關系不確定
跟蹤訓練
【訓練 5】利用八大函數（不求導）求下列函數的單調區間；
x
① f (x) e ；② f (x) x(1 ln x)；
x 2
【訓練 6】利用八大函數（不求導）求下列函數的最值；
x2 x
① f (x) x 1 (x 0)；② f (x)
e
(x 2) x；③ f (x) ；④ f (x) xe x x ln x；
e x 2 2 ln x
【訓練 7】已知關于 x的不等式 ax2 2(1 ln x)eb 1 (a 1 0，b 0) ，對任意的 x 恒成立，則（ ）
2
A． a 2eb 1 B． a 2eb 1
C． a eb D． a eb
題型三 飄帶函數
函數 y ax b （ a 0， b 0）的圖像類似兩條無限延伸的飄帶，故把它稱為飄帶函數．由于一條飄帶
x
y 1 (x 1函數 )與對數函數 ln x具有緊密的放縮關系，為使整個函數放縮關系完整，我們通常用一個反比
2 x
2(x 1)
例函數 y 對 y ln x進行逼近放縮，如圖，從圖像可以看出三個函數在 x 1的左右兩邊大小關系徹
x 1
1 1 2(x 1) 2(x 1) 1 1
底發生改變，既有結論：① (x ) ln x ， x (0，1)；② ln x （x )， x [1， )，
2 x x 1 x 1 2 x
此不等式在多變元問題中是常見有效的放縮方法，是多元問題的一條主線，萬萬不能忘記．
2
證明①構造函數 f (x) ln x
1 1
(x ) f (x) 1 1 1 (x 1)，則 0，而 f (1) 0，
2 x x 2 2x2 2x2
1 1 1 1
故當 0 x 1時， lnx (x )；當 x 1時 ln x (x )．
2 x 2 x
2(x 1) 1 4 (x 1)2
②構造函數 g(x) ln x ，則 g (x) 0，而 f (1) 0，
x 1 x (x 1)2 x(x 1)2
ln x 2(x 1) 2(x 1)故當 0 x 1時， ；當 x 1時， ln x ．
x 1 x 1
飄帶函數在高考中應用廣泛，如：證明對數平均不等式、比大小、導數與數列結合等．
【例 1】已知函數 f (x) = x(ln x - ax) + a，對任意的 x 1，都有 f (x) 0，則實數 a的取值
范圍是（ ）
A． (0，1) B．[1 1，+ ) C． (0，+ ) D． [ ，+ )
2
2 a 1 b ln 7 1【例 】設 ， ，c sin ，則 ( )
3 5 3
A． c a b B．b c a C． c b a D． a b c
考向 3 同構體系
題型 1 單變量同構
【例 1】設實數 0，若對任意的 x (0， )，不等式 e x ln x 0恒成立，則 的取值范圍是 ．

1 1
【例 2】若對任意的 x (0， )，不等式 eax x sin 2ax ax sin(ln x
2 )恒成立，則實數 a的取值范圍
e x
是 ．
a
【例 3】函數 f (x) aex ln 2(a 0)，若 f (x) 0恒成立，則實數 a的取值范圍為 ．
x 2
【例 4】已知函數 f (x) = e x - a ln(ax - a)+ a (a > 0)，若關于 x的不等式 f (x) > 0恒成立，則實數 a的取值
范圍為________．
跟蹤訓練
1
【訓練 1】已知對任意的 x (0， )，都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0，則實數 k的取值范圍是 ．
x
1 a
【訓練 2】函數 f (x) e2x a ln x 在定義域內沒有零點，則 a的取值范圍是________．
2 2
【訓練 3】若關于不等式 (a2 a)x a ln x e x 2a ln a在 (0， )上恒成立，則實數 a的最大值是 ．
【訓練 4】（2020 新高考）已知函數 f (x) aex 1 ln x ln a，若 f (x) 1，求 a的取值范圍．
【訓練 5】若不等式 e(m 1)x 3mxe x 3e x ln x 7xe x對任意的 x (0， )恒成立，
則實數m的取值范圍是 ．
題型 2 雙變量同構與等量關系
八大同構函數中，會經常形成內部同構的關聯，成為了近幾年常考題型.
①若 h(x) xe x ，則 g(x) x ln x h(ln x)，當 h(x1) g(x2 )時，g(x2 ) h(ln x2 ) h(x ) x 1 0 x
1
1 ，當 1 ， 2 e
x 1 x 1（或者 ， ）時，一定有 x ln x ，或者 x e x11 2 ；e 1 2 2
x
② 若 h(x) e ( x 或 x )
x ln x
， 則 g(x) h(ln x) （ 或 g(x) h(ln x) ） ， 當 h(x
x e ln x x 1
) g(x2 ) 時 ，
g(x2 ) h(ln x2 ) h(x1)，當 0 x1 1，1 x2 e（或者 x1 1，x2 e）時，一定有 x1 ln x2 ，或者 x2 e
x1 ；
③若 h(x) e x x，則 g(x) x ln x h(ln x)，當 h(x1) g(x2 )時，g(x2 ) h(ln x2 ) h(x1)，當 x1 0，0 x2 1
（或者 x x11 0，x2 1）時，一定有 x1 ln x2 ，或者 x2 e ；
【例 1】已知實數 ， 滿足 e 3 1， (ln 1) e4，其中 e是自然對數的底數，則 的值為 ( )
A． e3 B． 2e3 C． 2e4 D． e4
【例 2】已知函數 f (x) ln x ，g(x) x e x，若存在 x1 (0， )，x2 R，使得 f (x1) g(x2 ) k(k 0)成x
x
立，則（ 2）2 ek 的最大值為 .
x1
【例 3】（2022 新高考 1）已知函數 f (x) e x ax和 g(x) ax ln x有相同的最小值．
（1）求 a；
（2）證明：存在直線 y b，其與兩條曲線 y f (x)和 y g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個
交點的橫坐標成等差數列．
跟蹤訓練
【訓練 6】已知實數 x ，x 滿足 x e x1 1 21 2 1 e ， x2 (ln x2 2) e
5，求 x1 x2的值 ．
x
【訓練 7】已知函數 f (x) xex , g(x) lnx ，若 f (x ) g(x ) t( 0)，則 11 2 t 的最大值為 ( )x x2e
A e B 1 C 1． ． ． D 1．
e e2
ex x
【訓練 8】【多選】已知函數 f (x) m(x 0)，g(x) m(x 1)，則 ( )
x ln x
A．若函數 f (x) 0恒成立，則m 1
B．若函數 g(x)有兩個不同的零點，記為 x1， x2，則 x1 x2 2e
C．若函數 f (x)和 g(x)共有兩個不同的零點，則m e
D．若函數 f (x)和 g(x)共有三個不同的零點，記為 x1， x2， x3 ，且 x1 x2 x3，則 x1 x3 x
2
2
題型 3朗博同構的保值性
ex
1.朗博函數指的是形如 xn ex 或 n 類型的函數，我們可以將這類函數進行“改頭換面”處理，x
x
比如 x ex eln x x
e
， ex ln x (x 0)；關于朗博函數我們統一往母函數 f (x) e x x 1 (x R)同構，
x
即 f (x) 0恒成立，當且僅當 x0 0時等號成立；或 f (x ln x) 0，當且僅當 x0 0.567時等號成立，等等，
要確保“ f (x) 0”能成立，且取等條件滿足定義域，我們稱之為保值性．
2.常見變形總結（ a 0，x 0）（注意定義域）
1 ln e， 2 ln e2，1 ln x ln(ex) ln x x， 1 ln ；
e
xex ex ln x ，aex ex lna ，x ln x ln(xex ) ；
ex ex ln x e
x
ex lna x lnx ln e
x
， ， ；
x a x
x2ex ex 2ln x ，a2ex ex 2ln a ，x 2ln x ln(x2ex ) ；
ex ex ex
2 e
x 2ln x ， 2 e
x 2lna ，x 2lnx ln( )；
x a x2
【例 1】已知函數 f (x) xe x 1 1，g(x) x a ln x，若 f (x) g(x)恒成立，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． ( ， 1] B． ( ，0] C． ( ，1] D． ( ，e]
【例 2】若 x 0時，恒有 x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0成立，則實數 k的取值范圍是 ．

【例 3】若 + + 2 ≥ 0( ＞0)，則 a的取值范圍為（ ）

2 2
A．（0 1 1 ，e2] B．(0， ] C．[ ， 22 ] D．[ ， 2 ]
跟蹤訓練
【訓練 9 ln x 2a】若對任意的 x (0， )，不等式 e x 1 恒成立，則實數 a的取值范圍是 ．
x
【訓練 10】不等式 x 3e x a ln x x 1對任意的 x (1， )恒成立，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． ( ，1 e] B． ( ，2 e2 ] C． ( ， 2] D． ( ， 3]
【訓練 11】若函數 f (x) x(e2x a) ln x 1無零點，則整數 a的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【訓練 12】不等式 x ln x x2 x aex 0對任意 x 0都成立，則實數 a的最大值為 ( )
A 2． B 3． C 1． D． 1
e 2e e
題型 4 雙變量同構的新考法
1. 一類題型是不同同構方式下的內部關系或外部關系
2. 一類題型是同構結合其他知識點進行考察
3. 一類題型是不完整同構的考察
【例 1】【多選】已知 a 0， b 0， abea lnb 1 0，則 ( )
A 1 1． lnb B． ea C． a lnb 1 D． ab 1
a b
【例 2】【多選】已知實數 a，b滿足 aea blnb 3，則 ( )
A． a lnb B． ab e C． b a e 1 D． e 1 a b 4
【例 3】已知 a，b (1, )，且 a b eb lna 1， e為自然對數的底數，則 ( )
A．b a eb B． eb a e3b C． a b D． a e3b
【訓練 13】（2023 MST利哥）對任意m，n R，都有 (n m)en nem n em em恒成立，則實數 的取值
范圍為 .
【訓練 14】【多選】已知 x， y R，若 x (ex lnx x) 1， y [2lny ln(lny)] 1，
其中 e 2.71828 是自然對數的底數，則 ( )
A． 0 x 1 B xy 2 C y x 1 D y x 3． ． ．
2
【訓練 15】已知 a，b滿足 aea e3，b lnb e4 b，則（ ）
5 2 4
A． ＜ ＜ B．ab＞e4 C．b＜e2a D． 4＜ ＜
2 5 2
拓展思維
拓展 1 數形結合與公切線問題
考向一 平移函數公切線問題
當 y f (x)與 y g(x)為平行曲線，即 g(x) f (x a) b，則有 f (x ) f (x )
f (x1) f (x ) b
1
2
2 x1 x2 a
證明:因為 y f (x)與 g(x) f (x a) b有公切線，設 y f (x)切點為 (x1，f (x1))，y g(x) f (x a) b
切點為 (x2 ，f (x2 a) b)，則一定有 f (x1) f (x2 a) ，所以 x1 x2 a，根據公切線方程 y2 y1 k (x2 x1 )
b
可得: f (x2 a) b f (x1) f (x1)(x2 x1) ，所以 b af (x1)，即 f (x1) k 如果按照數形結合來理解，a
就是 y f (x)與 y g (x) f (x a) b ，兩點確定公切線，兩切點連線的斜率就是公切線斜率，即將切點
(x1，f (x1))左移 a單位，再下移b單位，這樣得到點 (x1 a，f (x1) b)，所以公切線斜率
k f (x1) b f (x 1) b
x1 a x1 a
【例 1】(2016 新課標 II)若直線 y kx b是曲線 y lnx 2的切線，也是曲線 y ln(x 1)的切線，則
b ．
【例 2】若直線 y kx b與曲線C1 : y 3 e
x和曲線C2 : y e
x 2 同時相切，則 b （ ）
A. 9 3 ln 3 B. 2 ln2 C. 1 ln 1 D. 3 ln3
2 2 2 2 2
【訓練 1】若直線 y kx b是曲線 y lnx 3的切線，也是曲線 y ln(x 2)的切線，則實數b的值是（ ）
A. 2 ln 2 B. 2 ln6 C. 2 ln6 D. 2 ln 3
3 2
考向二 公切線方程中的隱形同構
y g(x) f (x0 ) g (x0 )兩曲線公共點公切線問題：當 y f (x)與 切于同一點，設切點為 P(x0 , y0 )，則有 ，
f (x0 ) g(x0 )
單參數求定值，雙參數轉化為單參數后確定參數的取值范圍，這里面要看清楚同構.
【例 1】直線 y kx b是曲線 y x2 (a 1)的切線，也是曲線 y alnx 1的切線，則 k的最大值是 ( )
A 2 B 4． ． C． 2e D． 4e
e e
【例 2】已知 f (x) x2 4ax b， g(x) 6a2lnx b，a 0 .若 y f (x)， y g(x)圖象有公共點 P，且在該
點處的切線重合，則 b的可能取值為（ ）
2 3 2 1 2A． e 3 B． e
3 C 2 5． e D． e3
2 2 2
【訓練 1】已知 a 0，曲線 f (x) 3x2 4ax與 g(x) 2a2 ln x b有公共點，且在公共點處的切線相同，則實
數 b的最小值為（ ）
A 1 2 4． 0 B． 2 C． 2 D． e e e2
考向三 凹凸性數形幾何解讀公切線條數
y f (x)與 y g(x)是否有公切線，決定它們公切線條數的是函數凹凸性和相同的單調區間交點.
凹凸性相同的兩曲線，在兩個曲線 f (x) 0，g (x) 0時，兩個函數均為凹函數，且 f (x) 0，g (x) 0時
均在遞增區間，
①如圖，若 y f (x)與 y g(x)無交點，可以類比于兩個圓的外公切線，當小圓內含于大圓時，無公切線;
②若 y f (x)與 y g(x)有唯一交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓內切時，有唯一的外公切線;
③若 y f (x)與 y g(x)有兩個交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓相交時，有兩條外公切線;
內含型無公切線 內切型有一條外公切線 同旁相交型兩條外公切線
同理，凹凸性不同的兩條曲線，在兩個曲線 f (x) 0為凹函數，g (x) 0為凸函數時，且 f (x) 0，g (x) 0，
兩個函數均在遞增區間;
④如圖，若 y f (x)與 y g(x)有兩個交點，可以類比圓的內公切線，當兩圓相交時，無內公切線;
⑤若 y f (x)與 y g(x)有唯一交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓外切時，有唯一的內公切線.
⑥若 y f (x)與 y g(x)無交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓相離時，有兩條內公切線.
非同旁相交型無公切線 外切型有一條內公切線 外離型有兩條內公切線
【例 1】已知直線 y kx b與曲線 y ex 2和曲線 y ln(e2x)均相切，則實數 k的解的個數為 ( )
A．0 B．1 C．2 D．無數
【例 2】若函數 f (x) 4lnx 1與函數 g(x) 1 x2 2x(a 0)的圖象存在公切線，則 a的取值范圍為 ( )
a
A (0, 1． ] B． [1 , ) C [2 ． ,1) D [1 , 2． ]
3 3 3 3 3
【例 3】(多選)若兩曲線 y x2 1與 y alnx 1存在公切線，則正實數 a的取值可能是（ ）
A.1.2 B.4 C. 5.6 D. 2e
【訓練 1】(多選)若曲線 y ax2 (a 0)與 y lnx 1存在公共切線，則實數 a的可能取值是（ ）
e 1
A． 1 B．e C． D．
2 2
【訓練 2】若存在直線與函數 f (x) e
x 1
， g(x) lnx a的圖象都相切，則實數 a的最大值為 ．
考向四 分段函數公切線條數問題
【例 1】（多選）關于曲線 f (x) lnx和 g(x) a (a 0)的公切線，下列說法正確的有 ( )
x
A 1．無論 a取何值，兩曲線都有公切線 B．若兩曲線恰有兩條公切線，則 a
e
C．若 a 1 1，則兩曲線只有一條公切線 D．若 2 a 0，則兩曲線有三條公切線e
【例 2】若曲線 y lnx與曲線 y x2 2x a(x 0)有公切線，則實數 a的取值范圍是 ( )
A． ( ln2 1, ) B． [ ln2 1， ) C． ( ln2 1, ) D．[ ln2 1， )
【訓練 1】若曲線 f (x) k (k 0)與 g(x) ex 有三條公切線，則 k的取值范圍為 ( )
x
A 1． ( ,0) B 1 2． ( , ) C． ( ,0) D． ( , 2 )
e e e e
【訓練 2】已知曲線 y x 2 1在點 P (x0 , x
2
0 +1)處的切線為 l，若 l也與函數 y lnx, x 0,1 的圖象
相切，則 x0滿足( ) （其中 e 2.71828...）
A．1 x0 2 B． 2 x0 e C． e x0 3 D． 3 x0 2
拓展 1 切線條數與拐點切線界定
題型一 數形結合凹凸性分析：
我們可以參考圓的切線，對于圓上一點只能作一條切線，圓外一點能作兩條切線，圓內一點不能作切
線，所以對于一個凹凸性不改變的函數，即二階導沒有變號零點的函數，在“圓外”一點能作兩條切線如
下左圖所示．
【例 1】（2021 新高考 I）若過點 (a，b)可以作曲線 y ex 的兩條切線，則（ ）
A． eb a B． ea b C． 0 a eb D． 0 b ea
【訓練 1】若過點 (s，t)可以作曲線 y lnx的兩條切線，則（ ）
A. s ln t B. s ln t C. t ln s D. t ln s
題型二 三次函數切線條數
b b
一般地，如圖，過三次函數 f x 圖象的拐點 ( ，f ( ))（對稱中心或拐點）作切線 l ,則坐標平面
3a 3a
被切線 l和函數 f x 的圖象分割為四個區域，有以下結論：
（1）由于區域Ⅰ、IV 屬于外弧區域，故過區域Ⅰ、IV 內的點作 f x 的切線，有 3 條；
（2）由于區域 II、Ⅲ屬于內弧區域，過區域 II、Ⅲ內的點或者對稱中心作 f x 的切線，有且僅有 1條；
（3）過切線 l或函數 f x 圖象（除去對稱中心）上的點作 f x 的切線，有且僅有 2 條．
【例 1】（2022 多選 新高考Ⅰ）已知函數 f (x) x3 x 1，則 ( )
A． f (x)有兩個極值點 B． f (x)有三個零點
C．點 (0,1)是曲線 y f (x)的對稱中心 D．直線 y 2x是曲線 y f (x)的切線
【例 2】過點 (1，2)可作三條直線與曲線 f (x) x3 3x a相切，則 a的取值范圍為 ( )
A． (1，2) B． (2，3) C． (3，4) D． (4，5)
【例 3】若過點 (m， n)(m 0)可作曲線 y x3 3x三條切線，則 ( )
A． n 3m B． n m3 3m
C． n m3 3m或 n 3m D． 3m n m3 3m
【訓練 1】（多選）定義：設 f (x)是 f (x)的導函數， f (x)是函數 f (x)的導數，若方程 f (x) 0有實數
解 x0，則稱點 (x0 ， f (x0 ))為函數 y f (x)的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且
5
“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數 f (x) ax3 bx2 (ab 0)的對稱中心為 (1,1)，則下列
3
說法中正確的有 ( )
A a 1． ，b 1 B．函數 f (x)既有極大值又有極小值
3
C．函數 f (x) 1有三個零點 D．過 ( 1, )可以作兩條直線與 y f (x)圖像相切
3
【例 9】（多選）已知函數 f (x) ax3 3ax2 b，其中實數 a 0，b R，點 A(2,a)，
則下列結論正確的是 ( )
A． f (x)必有兩個極值點
B．當 b 2a時，點 (1,0)是曲線 y f (x)的對稱中心
C．當 b 3a時，過點 A可以作曲線 y f (x)的 2條切線
D．當 5a b 6a時，過點 A可以作曲線 y f (x)的 3條切線
題型三 含漸近線和拐點的函數切線界定
（1）關于 f (x) (x a)e x 切線條數問題，由于 f (x) (x a 1)e x， f (x) (x a 2)e x ，當 x a 2時，
f (x) 0，此處 ( a 2， 2e a 2 )為函數的拐點，易求拐點處切線方程為 y e a 2 (x a 4)，當 x 時，
f (x) 0，我們把 y 0稱為此函數的漸近線，區別于三次函數只有拐點，故我們通過拐點切線和漸近線，
將平面分為 7個區域，我們可以對此類型題進行歸納總結，如下：
當 y 0時，函數 y f (x)與拐點處切線 y e a 2 (x a 4)以及 x軸（漸近線）將平面分成四個區域（如
圖所示），分別由兩個外弧區域和兩個內弧區域組成，
①區域 1和區域 4屬于雙外弧區域，位于此區域的點能作 y f (x)三條切線；
②區域 2和區域 3屬于一內弧一外弧區域，位于此區域的點能作 y f (x)一條切線；
我們將拐點切線作為內外弧分界點，區域 2就是拐點右側曲線的內弧區域，但是相對于曲線左側，則
是外弧區域，所以只能往拐點左側區域作唯一一條切線，也是“遠切線”；同理，區域 3是拐點左側曲線
的內弧區域，也是拐點右側曲線的外弧區域，所以過區域 3的任意一點能作唯一一條切點位于拐點右側的
“遠切線”；那么區域 1和區域 4就是拐點左右兩側的雙外弧區域，在本側能作兩條切點位于拐點同側的
“近切線”，以及一條拐點另一側的“遠切線”．
③過曲線上拐點處僅能作一條切線，過拐點以外的曲線上任意一點能作兩條切線；
在曲線上任意一點能作一條切線，這可以理解為拐點同側外弧的兩條切線合二為一，類比于圓，圓上
一點能作一條切線，就是圓外的兩條切線在這里合二為一，還有一條切線源自拐點另一處的“遠切線”．
④過拐點處切線上除了拐點以外的任意一點，僅能作兩條切線；
拐點切線，就是一條“近切線”和一條“遠切線”合二為一，否則就會有三條切線．
當 y 0時，函數 y f (x)與拐點處切線 y e a 2 (x a 4)以及 x軸將平面分成三個區域（如圖所示），
分別由兩個外弧區域和一個內弧區域組成，由于不在漸近線內側，故少了一條“遠切線”．
⑤區域 5和區域 7屬于雙外弧區域，位于此區域的點能作 y f (x)兩條切線，相比區域 1和區域 4，少了一
條位于 x 處的遠切線；
⑥區域 6屬于一內弧一外弧區域，由于唯一一條遠切線的缺失，故位于此區域的點不能作 y f (x)的切線；
⑦由于缺失了一條遠切線，故過曲線上任意一點僅能作一條切點在曲線上切線；
⑧過曲線與 x軸的交點僅能作唯一切線．
【例 1】（2022 新課標 1卷）若曲線 y (x a)e x有兩條過坐標原點的切線，則 a的取值范圍是 ．
【例 2】已知過點 A(a,0)作曲線 y (1 x)ex 的切線有且僅有 1條，則 a的可能取值為 ( )
A． 5 B． 3 C． 1 D．1
【例 3】若曲線 f (x) x x 有三條過點 (0,a)的切線，則實數 a的取值范圍為 ( )e
A 1． (0， 2 ) B (0
4
． ， 2 ) C
1
． (0， ) D． (0 4， )
e e e e
【例 4】若過點（a，b）（a＞0）可以作曲線 y＝xex的三條切線，則（ ）
A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0
C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0
【例 5】（無拐點）過點 A(a，0)作曲線 y x ln x的切線有且僅有兩條，則實數 a的取值范圍為 ( )
A． (0, ) B． (1, ) C． (1 , ) D． (e, )
e
【例 6】若過點 P(t,0)可以作曲線 y (1 x)ex的兩條切線，切點分別為 A(x1， y1)，B(x2 ， y2 )，則 y1y2 的
取值范圍是 ( )
A． (0，4e 3) B． ( ， 0) (0， 4e 3)
C． ( ，4e 2 ) D． ( ， 0) (0， 4e 2 )
【訓練 1】已知過點 A(0，b) y ln x作曲線 的切線有且僅有兩條，則b的取值范圍為 ( )
x
A 2． (0 1， ) B． (0 2， ) C． (0，e) D． (0， )
e e 3e2
【訓練 2】經過點 (2，0)作曲線 y x2ex 的切線有 ( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
+1
【訓練 3】（多選）若過點 P（﹣1，t）最多可以作出 n（n∈N*）條直線與函數 ( ) = 的圖像相切，則
（ ）
A．tn可以等于 2022 B．n不可以等于 3
C．te+n＞3 D．n＝1 4時， ∈ {0} ∪ ( ， +∞)
拓展 3 零點比大小破解雙參比值問題
1． kx +b f (x) b恒成立，求 的最值和取值范圍；2． kx +b b f (x)恒成立，求 的最值和取值范圍．
k k
如圖 2-2-1 所示，通常的方法是構造函數 g(x) = f (x) - kx，則 g(x)min b時，從而達到解決此類型的目的，
這種解答方法適合解答題，但此類型題目出現在選填壓軸題的幾率更大，常規思路由于計算量大，對一道
客觀題來說沒必要，故需要采納一些高觀點低運算的方法，此類型可以利用數形結合的思想，如圖 2-2-2
所示，通常 y = f (x)是一個凹函數 ( f (x) > 0)，如 kx +b f (x)意味著 y = f (x)與 y = kx + b相切時即恒成立，
( b- ，0)是直線和 x軸的交點，記為 (x 0) b2 ， ，將 y = f (x)的唯一零點 x1求出，滿足 xk 1
x2 = - 即可．k
圖 2-2-1 圖 2-2-2 圖 2-2-3 圖 2-2-4
同理，在比較 kx +b f (x)時，也是一類型轉化，此時 y = f (x)為凸函數 ( f (x) < 0)，也將圖 2-2-3 的方案
b
轉化為圖 2-2-4，構造 x1 x2 = - ；四個圖中的虛線直線是不可能滿足題目要求的，此方法叫零點比大小．k
注意：直曲分離是關鍵，問題與直線零點有直接關系，所以我們可以根據問題來將原式進行變形．
【例 1 e x 1】若不等式 mx n 2n 3 0對 x R恒成立，其中m 0，則 的最大值為（ ）
m
ln 3e
A． B． ln 3e C． ln3e ln 3eD．
2 2
2 a b R ex 1 ax b x b - a +1【例 】已知 ， ，若 - - 對任意實數 恒成立恒成立，則 的取值范圍為_______．
a
【例 3】已知函數 f (x) (e a)ex ma x， (m， a為實數），若存在實數 a，
使得 f (x) 0對任意 x R恒成立，則實數m的取值范圍是 ( )
A [ 1． ， ) B．[ e 1 1， ) C．[ ， e] D． [ e， ]
e e e
跟蹤訓練
【訓練 1】設 k，b R，若不等式 kx +b +1 ln x在 (0 b，+ )上恒成立，則 的最小值是（ ）
k
A e2 B 1 1． - ． - C． - 2 D． -ee e
【訓練 2】已知m，n為實數， f (x) e x mx n 1，若 f (x) 0 x n m 對 R恒成立，則 的最小值
m
為 ．
【訓練 3】不等式 ex - 4x + 2 ax b (a b - 4、b R，a -4)對任意實數 x恒成立，則 的最大值為（ ）
a + 4
A． - ln 2 B． -1- ln 2 C． -2ln 2 D． 2 - 2ln 2
拓展 4 抽象函數的導函數構造
角度 1 導數和差，構造和差型函數
f (x) c [ f (x) cx] ； f (x) g (x) [ f (x) g(x)] ； f (x) g (x) [ f (x) g(x)] ；
和與積聯系，構造乘積型函數； 差與商聯系，構造分式型函數：
f (x)g(x) f (x)g (x) f (x)
f (x)g(x) f (x)g (x) [ f (x)g(x)] ； 2 [ ] g (x) g(x) ．
角度 2 冪函數及其抽象構造
定理 1 xf (x) f (x) 0 [xf (x)] 0； xf (x) f (x) 0 [ f (x)] 0
x
xf
證明：因為 xf (x) f (x) (x) f (x) f (x) [xf (x)] ； 2 [ ] ，所以 xf (x) f (x) 0，x x
y f (x)則函數 xf (x)單調遞增； xf (x) f (x) 0，則 y 單調遞增．
x
2 x f (x)定理 當 0時， xf (x) nf (x) 0 [x n f (x)] 0 ； xf (x) nf (x) 0 [ ] 0
xn
n n 1
xn f (x) nxn 1 f (x) [xn f (x)] x f (x) nx f (x) f (x)證明 因為 ； [ ] 2n n ，所以 xf (x) nf (x) 0 ，則函數x x
y xn f (x)單調遞增； xf (x) nf (x) 0 y f (x) ，則 n 單調遞增．x
角度三 指數函數與抽象構造
定理 3 f (x) f (x) 0 [ex f (x)] 0； f (x) f (x) 0 [e x f (x)] 0
f (x) f (x) 0 [ f (x) ] x 0 ； f (x) f (x) 0
f (x)
[ x ] 0e e
f (x) f (x) f (x)
證明： 因為 f (x)e
x e
x f (x)+f (x) ， [ ] x ，所以 f (x) f (x) 0，e ex
則 y f (x)e x 單調遞增；反之 y f (x)e x 單調遞減； f (x) f (x) 0 y f (x) ，則 x 單調遞增；e
y f (x)反之 x 單調遞減．e
4 f (x) f (x) a [e x( f (x) a)] 0 f (x) f (x) a [ ( f (x) a)定理 ； ] x 0 ．e
x
f (x) f (x) a [e ( f (x) a)]

f (x) f (x) a e x[ ( f (x) a)證明：因為 x ； ] x ，所以 f (x) f (x) a ，則e e
y ex ( f (x) a) 單調遞增； f (x) f (x) a， y ex ( f (x) a) 單調遞減；
若 f (x) f (x) f (x) a a，則 y x 單調遞增，e
若 f (x) f (x) a y f (x) a，則 x 單調遞減．e
角度四 三角函數與抽象構造
定理 5 正弦同號，余弦反號定理
f (x)sin x f (x)cos x 0 [ f (x)sin x] 0 ，當 x ( ， )， f (x) tan x f (x) 0 [ f (x)sin x] 0 ；
2 2
f (x)sin x f (x)cos x 0 [ f (x)] 0 f (x) ，當 x ( ， )， f (x) tan x f (x) 0 [ ] 0 ；
sin x 2 2 sin x
cos xf (x) f (x)sin x 0 [ f (x)cos x] 0 ，當 x ( , )， f (x) f (x) tan x 0 [ f (x)cos x] 0 ；
2 2
f (x)cos x f (x)sin x 0 [ f (x)] 0，當 x ( ， )， f (x) f (x) tan x 0 [ f (x) ] 0．
cos x 2 2 cos x
遇正切時化切為弦，請自己證明相關結論．
【例 1】設函數 f (x)是函數 f (x)(x R) 的導函數； f （3） e3 ，且 f (x) f (x) 0 恒成立，則不等式
f (x) ex 0的解集為 ( )
A． (0,3) B． (1,3) C． ( ,3) D． (3, )
【例 2】（2015 新課標 II）設函數 f ' (x)是奇函數 f (x)（ x R）的導函數， f ( 1) 0，當 x 0時，
xf ' (x) f (x) 0，則使得 f (x) 0成立的 x的取值范圍是（ ）
A． ( ， 1) (0，1) B． ( 1，0) (1， )
C． ( ， 1) ( 1，0) D． (0，1) (1， )
【例 3】已知定義在 R 上的函數 f (x) 的導函數為 f (x) ，且 3 f (x) f (x) 0 ， f (ln3) 1，則不等式
f (x) 27e 3x的解集為 ( )
A． ( ,3) B． ( , ln3) C． (ln3, ) D． (3, )

【例 4】已知函數 f (x)的定義域為 ( ， )，其導函數是 f (x)，且滿足 f (x)cos x f (x)sin x 0 ，則關
2 2
于 x 的不等式 f (x) 2 f ( )cos x的解集為 ( )
3
A． ( ， ) B． ( ， ) C． ( ， ) D． ( ， )
3 2 2 3 2 3 2 6
跟蹤訓練
【訓練 8】設函數 f (x)是定義在 R上的偶函數， f (x)為其導函數，當 x 0時，xf (x) f (x) 0，且 f （1）
f (x)
0，則不等式 0的解集為 ( )
x
A． ( 1， 0) (0，1) B． ( 1， 0) (1， )
C． ( ， 1) (1， ) D． ( ， 1) (0，1)
【訓練 9】已知可導函數 f (x)的導函數為 f (x)，若對任意的 x R，都有 f (x) f (x) 1，且 f (0) 2022，
則不等式 f (x) 1 2023ex 的解集為 ( )
A． ( ,0) B． (0, 1 ) C． ( , ) D． ( ,1)
e
【訓練 10 1】若可導函數 f (x) 是定義在 R 上的奇函數，當 x 0時，有 lnx f (x) f (x) 0，則不等式
x
(x 2) f (x) 0的解集為 ( )
A． ( 2,0) B． (0,2) C． ( 2,2) D． (2, )
【訓練 11】已知函數 y f (x 2) 的圖象關于點 (2，0)對稱，函數 y f (x) 對于任意的 x (0， ) 滿足
f (x)cos x f (x)sin x （其中 f (x)是函數 f (x)的導函數），則下列不等式成立的是（ ）
A． f ( ) 3 f ( ) B ． f ( ) 3 f ( )
3 6 3 6
C． 2 f ( ) 3 f ( ) D． 2 f ( ) 3 f ( )
4 6 4 3
拓展 5 比大小常用不等式及泰勒公式
題型一 利用六大同構函數比大小
1. 由 f (x) ln x 引出的大小比較問題
x
（1 f (x) ln x 1） 在區間 (0，e)上單調遞增，在區間 (e， )單調遞減；當 x e時, 取得最大值 ；
x e
（2）極大值左偏，且 f (2) f (4)；
3 e a b 1 b lnb a b e b lnb（ ）當 時， ，當 時， ；
a ln a a ln a
4 f (2) ln 2 ln 4（ ） f (4)，注意: 3只能比較 f (3)，f (4)，f (5)，或者 f (1)，f ( )，f (2)之類屬于 e的左邊
2 4 2
或者右邊， f (2) f (4)涉及左右互換．
1 1 1 1
關于函數 x x 和函數 x x比大小問題，都可以按照構造對數來比較，例如在比較 2 2 ，e e ，33 大小時，即比較
ln 2 ln e ln3 (1
1 1
) 2 (1) 3 (1
1 1 1 1

， ， 大小，在比較 ， ， ) 5 ，即構造 2 2 ，3 3 ，5 5 ln 2 ln3 ln5即比較 ， ， 的大小．
2 e 3 2 3 5 2 3 5
【例 1】（2017 新課標Ⅰ）設 x， y， z為正數，且 2x 3y 5z ，則（ ）
A． 2x 3y 5z B．5z 2x 3y
C．3y 5z 2x D． 3y 2x 5z
2
2 a 3 e5 b 2 2
3
【例 】設 ， ， c e 4 ，則 ( )
4 5 5
A．b c a B．b a c C． c b a D． c a b
3
【例 3 1 2 3 e】比較大小 a ，b ， c ，則 ( )
e ln 2 e 4
A． a c b B．b a c C． c b a D． c a b
1 1 ln 2 ln 2 ln3
【例 4】已知 a ( ) e b ( ) 2 c (ln3， ， ) 3 ，試比較 a，b， c的大小關系 ( )
e 2 3
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【例 5】已知實數 a，b，c (0，e)，且 2a a2，3b b3， 5c c5 ，則（ ）
A． c a b B． a c b C．b c a D．b a c
6 a sin ln 【例 】設 ，b ，c 2 ln 2 ，其中 e為自然對數的底數，則 ( )e e
A． a c b B． b a c C． b c a D． c b a
【訓練 12】 p 11下列四個命題：① ln 5 < 5 ln 2；② lnp > ；③ 2 <11；④ 3e ln 2 > 4 2 ；
e
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1
【訓練 13】已知 a ln 2a b 1， ln 3b， c e ln c ，其中 a 1 ，b 1 ， c e，則 a，b， c的大小
2 3 e 2 3
關系為 ( )
A． c a b B． c b a C． a b c D． a c b
14 a 3(2 ln 3) b 1 c ln 3【訓練 】設 2 ， ， ，則 a， b， c的大小順序為 ( )e e 3
A． a c b B． c a b C． a b c D．b a c
題型二 放縮及泰勒展開比較大小
1．基本切線不等式
① e x x 1 ( x 0， x R )；
② x 1 ln x ( x 1， x 0 )；
③ tan x x sin x (x 0 0 x ， )；
2
④ x sin x ln(1 x) (x 0，0 x 1)．
2．飄帶函數
1
① (x 1 ) ln x 2(x 1) ，x (0，1)；
2 x x 1
2(x 1)
② ln x 1 (x 1 )，x [1， )．
x 1 2 x
3．常用泰勒公式
① e x 1 1 x x2 1 x3 (x3 )；
2 6
② ln(x 1) x 1 x2 1 x3 (x3 )；
2 3
③ sin x x 1 x3 (x3 )；
6
④ cos x 1 1 x2 (x4 )；
2
【例 1】設 a 0.9 9， b e0.9 1， c ln( e)，則 a，b， c的大小關系為 ( )
10
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b
【例 2】已知 a e0.1 e 0.1， b ln1.21， c 0.2，則 ( )
A．b a c B． c b a C． a c b D．b c a
【例 3】若 a 0.1，b ln 10 ，c sin 1 ，則 ( )
9 9
A．b a c B． a c b C． a b c D． c b a
【例 4】（2022 新高考Ⅰ）設 a 0.1e0.1，b 1 ， c ln0.9，則 ( )
9
A． a b c B． c b a C． c a b D． a c b
ln1.1
【訓練 15】已知 a e0.05， b 1， c 1.1，則（ ）
2
A． a b cB． c b a C． b a c D． a c b
【訓練 16】比較大小 a sin 0.1， b ln1.1， c e0.1 1
A． c b a B． a b c C． c a b D．b a c
1 9
【訓練 17】設 a ，b 1 ln 4，c ln ，則 a，b， c的大小關系為4 7 ( )
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b
【訓練 18】（2022 31 1 1 甲卷）已知 a ，b cos ， c 4sin ，則 ( )
32 4 4
A． c b a B． b a c C． a b c D． a c b
2
【訓練 19】設 a ，b ln2， c sin1，則 ( )
3
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b中小學教育資源及組卷應用平臺
3.1 導數小題篇課后練習
1．（2024 上猶縣期末）下列求導運算正確的是　　
A． B．
C． D．
2．（2024 白云區期中）下列命題正確的是　　
A．若，則
B．設函數，若，則
C．已知函數，則（1）
D．設函數的導函數為，且（2），則
3．（2024 惠州期末）若函數滿足，則　　
A． B． C． D．
4．（2024 新余期末）已知函數，其導函數記為，則　 　．
5．（2024 南陽月考）有一些網絡新詞，如“”“內卷”“躺平”等，現定義方程的實數根叫做函數的“躺平點”，若函數，，的躺平點分別為，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
6．（2024 湖州月考）定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”．設，則在上的“新駐點”為 　 　．
7．（2024 丹東模擬）計算器計算，，，等函數的函數值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數在含有的某個開區間內可以多次進行求導數運算，則當，且時，有．
其中是的導數，是的導數，是的導數．
取，則的“泰勒展開式”中第三個非零項為 　 　，精確到0.01的近似值為 　　．
8．（2019 新課標Ⅱ）曲線在點處的切線方程為　　
A． B． C． D．
9．（2024 五華區模擬）過點作曲線的切線，則切線方程是 　　．
10．（2022 新高考Ⅱ）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 　　　　．
11．（2024 許昌二模）已知函數在點處的切線，若與二次函數的圖象也相切，則實數的取值為　　
A．12 B．8 C．0 D．4
12．（2024 渾南區模擬）已知曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，則　 　．
13．（2024 鼓樓模擬）寫出曲線與曲線的公切線的一個方向向量 　 　．
14．（2023 湖南模擬）已知為自然對數的底數），，直線是與的公切線，則直線的方程為 　 　．
15.（2024 正定月考）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，，，則　　
A． B． C． D．3
16.（2024 濠江區月考）若過點，可作曲線三條切線，則　　
A． B．
C．或 D．
17.（2023 自貢模擬）已知函數．若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
18．（2024 連云港月考）已知直線分別與曲線，相切于點，，，則的值為 　 　．
19.（2024·全國·高三專題練習）函數在區間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
20．（2024 涪城區期中）若函數在上既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍　　
A． B．，，
C．，， D．，
21．（2023 泉州模擬）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為　　
A． B． C． D．
22.（2024 北海期末）若實數，，，滿足，則的最小值為　　
A．2 B． C．4 D．8
23．（2024 五華區期中）已知函數在處有極小值，則的值為　　
A．1 B．3 C．1或3 D．或3
24．（2024 平羅縣期中）已知函數在，處的導數相等，則不等式恒成立時的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．
25．（2024 武陵區月考）已知，為函數的兩個不同的極值點，
若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
26.（2023 成都模擬）若正實數是函數的一個零點，是函數的一個大于的零點，則的值為 ．
A． B． C． D．
27.（2023 江西模擬）已知函數，當時，恒成立，則實數的取值范圍為　　 ．
28.（2023 蘇州模擬）若不等式，則的取值范圍是 ．
29.（2023 蚌埠模擬）已知函數，若函數在區間內存在零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
30.（2023 成都零診）若正實數是函數的一個零點，
是函數的一個大于的零點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
31.（2024 北京期末）曲線f（x），g（x），及直線y＝a（a∈R），下列說法中正確的個數為（　　）
①存在直線與曲線f（x）與g（x）均相切；②曲線f（x）與g（x）有且只有一個公共點；③存在直線y＝a與曲線f（x）、g（x）均有公共點；④若直線y＝a 與曲線f（x）交于點A（x1，y1），B（x2，y2），與曲線g（x）交于點B（x2，y2），C（x3，y3），則x1x3．
A．1 B．2 C．3 D．4
31.（2023 浙江模擬）設，若關于不等式在上恒成立，則的最小值是 .
32.（2023 湖南十五校模擬）已知對恒成立，則的最小值為 ．
33.（2023 武漢調研）已知函數，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為________．
34.（2024 荊州期末）求證：．
35.（2024 金太陽聯考）對任意，都有恒成立，則實數的值為（ ）
A． B．1 C．0 D．
36.（2023 天一大聯考）對任意的，，不等式恒成立，
則實數的取值范圍是 ．
37.（2024 運城月考）已知函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
38．（2023 長沙模擬）已知函數，若不等式的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數的取值范圍　　
A．， B．，
C．， D．，
39．（2024 湖北期中）已知函數，有且只有一個負整數，使成立，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
2．（2024 楊陵區月考）已知函數的定義域是，其導函數為，且，則不等式的解集是 　　．
40．（2024 浦東新區期中）定義在上的函數滿足，其中為的導函數，若（3），則的解集為 　　．
41．（2024 青羊區月考）已知函數的定義域為，其導函數是．有，則關于的不等式的解集為 　　．
42．（2024 江西金太陽聯考）設實數，，，則的大小關系為　　
A． B． C． D．
43.（2024 常德月考）已知，，，且，，，則　　
A． B． C． D．
44.（2024 四川模擬）已知，，為負實數，且，，，則　　
A． B． C． D．
45.（2024 湖北開學）已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
46.（2024 運城月考）已知，，，則　　
A． B． C． D．
47.（2024 北京月考）設，，，則　　
A． B． C． D．
48.（2024 山東月考 多選）若，，，，則　　
A． B． C． D．
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3. 1 導數小題篇
考向1 導數的運算
1．求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2．導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3．復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為 ：
如我們將分三步：
①將復合函數分解為基本初等函數；
②將對的導數記為，將對的導數記為；
③．
注意：奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
題型1 基本求導
【例1】下列式子正確的是　　
A． B．
C． D．
【例2】若函數，則　　
A． B．
C． D．
【例3】已知函數（其中是的導函數），則（1）　　
A． B． C． D．
【例4】函數，其導函數記為，　　
A． B．3 C． D．2
【例5】已知函數，則　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】設函數在上可導，且，則　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【訓練2】下列給出四個求導的運算：①；②；③；④．其中運算結果正確的個數是　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【訓練3】函數，為的導函數，
則　　
A．0 B．8 C．2022 D．2023
【訓4】若函數，則　 　．
解：令，則，
因為，所以，故答案為：．
題型2 必備拓展知識
【例1】給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上為凸函數（反之為凹函數）．以下四個函數在上不是凸函數的是　　
A． B．
C． D．
【例2】【多選】已知函數的導函數為，若存在使得，則稱是的一個“新駐點”，下列函數中，具有“新駐點”的是　　
A． B． C． D．
【例3】給出定義：設是函數的導函數，若方程有實數解，則稱點，為函數的“拐點”．已知函數的拐點為，，則下列結論正確的為　　
A． B．點在直線上
C． D．點在直線上
【例4】以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映函數與導數之間的重要聯系，是微積分學重要的理論基礎，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其內容如下：如果函數在閉區間，上連續，在開區間內可導，則內至少存在一個點，使得（b）（a），其中稱為函數在閉區間，上的“中值點”．請問函數在區間，上的“中值點”的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
跟蹤訓練
【訓練5】設函數是的導函數．某同學經過探究發現，任意一個三次函數的圖像都有對稱中心，，其中滿足．
已知三次函數，若，則　 　．
【訓練6】設函數的導函數為，將方程的實數根稱為函數的“新駐點”．記函數，，的“新駐點”分別為，，，則　　
A． B． C． D．
【訓練7】給出定義：設是函數的導函數，
是函數的導函數，若方程有實數解，則稱點，為函數的“拐點”，
已知函數的拐點是，，則點　　
A．在直線上 B．在直線上
C．在直線上 D．在直線上
【訓練8】拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，定理內容如下：如果函數在閉區間，上的圖象連續不間斷，在開區間內的導數為，那么在區間內至少存在一點，使得（b）（a）（c）成立，其中叫做在，上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數在，上的“拉格朗日中值點”的個數為　　
A．0 B．1 C．2 D．3
考向2 導數的切線問題
題型1 在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為：，一定要抓住關鍵．
【例1】（2023 甲卷）曲線在點處的切線方程為　　
A． B． C． D．
【例2】（2019 新課標Ⅲ）已知曲線在點處的切線方程為，則　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知函數，則曲線在點，處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是　　
A． B． C．1 D．2
跟蹤訓練
【訓練1】（2021 甲卷）曲線在點處的切線方程為 　　．
【訓練2】（2020 新課標Ⅰ）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為 　 　．
【訓練3】已知，則函數在點，處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為　　
A． B． C．1 D．2
題型2 過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
【例1】已知函數，若過點的直線與曲線相切，則該直線斜率為 　 　．
【例2】已知，則函數的圖象過點的切線方程為 　 　．
跟蹤訓練
【訓練4】設函數，若為奇函數，則曲線過點的切線方程為 　 　．
題型3 切線條數問題
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為，又因為切線方程過點，所以然后解出的值，有幾個值，就有幾條切線．
【例1】經過點作曲線的切線有　　
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【例2】（2021 新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練5】函數過點的切線條數為　　
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【訓練6】若過點可以作曲線的兩條切線，則　　
A． B． C． D．
【訓練7】（2022 新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是 　 　．
題型4 公切線問題
公切線代數表達：
當與具有公切線時，設直線與切于點與切于點，
①當與切于同一點，設切點為，則有；
②公切線方程的等量關系，求參數取范圍或者切點的取值范圍．
【例1】若曲線和曲線在交點處的切線相同，則的值為　　
A． B． C． D．
【例2】曲線在點，處的切線與在點，處的切線相同，則　　
A． B． C．1 D．2
跟蹤訓練
【訓練8】若曲線與曲線在公共點處有相同的切線，則實數　　．
【訓練9】一條直線與函數和的圖象分別相切于點，和點，，則的值為 　 　．
【訓練10】已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：　　　　．
考向3 單調性與極值最值
1．函數單調性和導數的關系
(1)函數的單調性與導函數f'(x)的正負之間的關系
①單調遞增：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數y=f(x)在區間(a, b) 上單調遞增；
②單調遞減：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
③如果在某個區間(a,b)內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間上是一個常數函數.
(2)函數值變化快慢與導數的關系
一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.
2．函數的極值
(1)極小值點與極小值：
如圖，函數y=f(x)在點x=a處的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f'(a)=0，而且在點
x=a附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0，則把點a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.
(2)極大值點與極大值：
如圖，函數y=f(x)在點x=b處的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f'(b)=0，而且在點
x=b附近的左側f'(x)>0，右側f'(x)<0，則把點b叫做函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
3．函數的最大值與最小值
(1)一般地，如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數的最值必在極值點或區間端點處取得.當f(x)的圖象連續不斷且在[a,b]上單調時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.
(2)函數的極值與最值的區別
①極值是對某一點附近(即局部) 而言的，最值是對函數的整個定義區間而言的.
②在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.
③函數f(x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點.
題型1 最值與求參
【例1】下列函數中，在區間內不單調的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2022 乙卷）函數在區間，的最小值、最大值分別為　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】已知函數，則　　
A．在上單調遞增
B．在上的最小值為
C．在上單調遞減
D．的圖象關于直線對稱
【訓練3】若函數在區間上單調遞增，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【訓練4】（2023 乙卷）設，若函數在上單調遞增，則的取值范圍是 　　．
題型2 極值與求參
【例1】已知函數的定義域為，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在內的極小值有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例2】若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【例3】已知函數在處有極值0，則實數的值為（ ）
A．4 B．4或11 C．9 D．11
跟蹤訓練
【訓練5】定義在上的可導函數的導函數圖象如圖所示，下列說法正確的是　　
A．（1）（6） B．函數的最大值為（5）
C．1是函數的極小值點 D．3是函數的極小值點
【訓練6】若函數既有極大值也有極小值，則　　
A． B．
C． D．，，
【訓練7】函數在處取得極小值，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
題型2 距離問題
定理 函數與函數間的距離最小值為，即為切線到切線的距離．
【例1】若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為　　
A． B． C． D．
【例2】已知直線與曲線，分別交于點，，則的最小值為　　
A． B． C．1 D．
【例3】已知實數，，，滿足，則的最小值為　　
A．8 B．4 C．2 D．
跟蹤訓練
【訓練8】若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為　　
A． B． C． D．
【訓練9】已知函數，分別與直線交于點，，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【訓練10】點，分別是函數，圖象上的動點，則的最小值為　　
A． B． C． D．
考向4 必備函數模型
題型一 三次函數的圖像和性質
1．基本性質
設三次函數為： (、、、 且),其基本性質有：
性質1：①定義域為．②值域為，函數在整個定義域上沒有最大值、最小值．③單調性和圖像：
圖像
性質2：三次方程的實根個數
對于三次函數 (、、、 且),其導數為
當，其導數有兩個解 ，，原函數有兩個極值 ，．
①當時,原方程有且只有一個實根；
②當時,原方程有兩個實數根；
③當時,原方程三個實數根；
性質3：對稱性
三次函數是中心對稱曲線，且對稱中心是；，其中橫坐標為其函導數的對稱軸；
【例1】（2022 新高考Ⅰ）已知函數，則　　
A．有兩個極值點
B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
【例2】（2021 乙卷）設，若為函數的極大值點，則　　
A． B． C． D．
【例3】已知函數，且，，則　　
A． B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練1】（2022 華僑、港澳臺聯考）設和是函數的兩個極值點．若，則　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【訓練2】已知函數，則下列結論正確的是　　
A．有兩個零點
B．點是曲線的對稱中心
C．有兩個極值點
D．直線是曲線的切線
【訓練3】已知，，若是函數的極小值點，則　　
A． B． C． D．
【訓練4】（2018 江蘇）若函數在內有且只有一個零點，則在，上的最大值與最小值的和為　 　．
題型二 六大同構函數模型
八大同構函數分別是：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．我們通過基本的求導來看看這八大同構函數的圖像，再分析單調區間及極值，以及它們之間的本質聯系．
圖1-2-1 圖1-2-2
①如圖1-2-1，對于函數，求導后可得：，在區間遞減，在區間遞增，且；
②如圖1-2-2，對于，求導后可得：，在區間遞減，在區間遞增，且；
反思 關于圖1-2-1和圖1-2-2，我們仔細觀察會發現對于函數，我們把換成即可得到．
圖1-2-3 圖1-2-4
③如圖1-2-3，對于函數，求導后可得：，在區間遞增，在區間遞減，；
④如圖1-2-4，對于函數，求導后可得：，在區間遞增，在區間遞減，；
反思 關于圖1-2-3和圖1-2-4，我們仔細觀察會發現對于函數，我們把換成即可得到．
圖1-2-5 圖1-2-6
⑤如圖1-2-5，對于函數，求導后可得：當時，，在區間遞減；
當時，，在區間遞減，在區間遞增，；
⑥如圖1-2-6，對于函數，求導后可得：當時，，在區間遞減；當時，，在區間遞減，在區間遞增，；
反思 關于圖1-2-5和圖1-2-6，我們仔細觀察會發現對于函數，我們把換成即可得到．
圖1-2-7 圖1-2-8
⑦如圖1-2-7，對于函數，求導后可得：，在區間遞減，在區間遞增，；
⑧如圖1-2-8，對于函數，求導后可得：，在區間遞減，在區間遞增，；
反思 關于圖1-2-7和圖1-2-8，仔細觀察會發現對于函數，我們把換成即可得到．
我們可以利用八大函數進行快速求解最值或單調區間
注意：改變單調區間的因素：、、；
改變最值的因素：、、；
【例1】利用八大函數（不求導）求下列函數的單調區間：
①；②；
【例2】利用八大函數（不求導）求下列函數的最值：
①；②；
③；④；⑤；
【例3】已知函數，的最小值分別為，，則　　
A． B．
C． D．，的大小關系不確定
跟蹤訓練
【訓練5】利用八大函數（不求導）求下列函數的單調區間；
①；②；
【訓練6】利用八大函數（不求導）求下列函數的最值；
①；②；③；④；
【訓練7】已知關于的不等式，對任意的恒成立，則（ ）
A． B．
C． D．
題型三 飄帶函數
函數（，）的圖像類似兩條無限延伸的飄帶，故把它稱為飄帶函數．由于一條飄帶函數與對數函數具有緊密的放縮關系，為使整個函數放縮關系完整，我們通常用一個反比例函數對進行逼近放縮，如圖，從圖像可以看出三個函數在的左右兩邊大小關系徹底發生改變，既有結論：①，；②，，此不等式在多變元問題中是常見有效的放縮方法，是多元問題的一條主線，萬萬不能忘記．
證明①構造函數，則，而，
故當時，；當時．
②構造函數，則，而，
故當時，；當時，．
飄帶函數在高考中應用廣泛，如：證明對數平均不等式、比大小、導數與數列結合等．
【例1】已知函數，對任意的，都有，則實數的取值
范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】設，則　　
A． B． C． D．
考向3 同構體系
題型1 單變量同構
【例1】設實數，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是　　 ．
【例2】若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
【例3】函數，若恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【例4】已知函數，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為________．
跟蹤訓練
【訓練1】已知對任意的，都有，則實數的取值范圍是 ．
【訓練2】函數在定義域內沒有零點，則的取值范圍是________．
【訓練3】若關于不等式在上恒成立，則實數的最大值是 ．
【訓練4】（2020 新高考）已知函數，若，求的取值范圍．
【訓練5】若不等式對任意的恒成立，
則實數的取值范圍是 ．
題型2 雙變量同構與等量關系
八大同構函數中，會經常形成內部同構的關聯，成為了近幾年常考題型.
①若，則，當時，，當（或者）時，一定有，或者；
②若，則（或），當時，，當（或者）時，一定有，或者；
③若，則，當時，，當（或者）時，一定有，或者；
【例1】已知實數，滿足，，其中是自然對數的底數，則的值為　　
A． B． C． D．
【例2】已知函數，若存在，使得成立，則的最大值為 .
【例3】（2022 新高考1）已知函數和有相同的最小值．
（1）求；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
跟蹤訓練
【訓練6】已知實數滿足，，求的值 ．
【訓練7】已知函數，若，則的最大值為　　
A． B．1 C． D．
【訓練8】【多選】已知函數，則　　
A．若函數恒成立，則
B．若函數有兩個不同的零點，記為，，則
C．若函數和共有兩個不同的零點，則
D．若函數和共有三個不同的零點，記為，，，且，則
題型3朗博同構的保值性
1.朗博函數指的是形如或類型的函數，我們可以將這類函數進行“改頭換面”處理，
比如；關于朗博函數我們統一往母函數同構，
即恒成立，當且僅當時等號成立；或，當且僅當時等號成立，等等，要確保“”能成立，且取等條件滿足定義域，我們稱之為保值性．
2.常見變形總結（）（注意定義域）
，，，；
；
；
；
；
【例1】已知函數，，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】若時，恒有成立，則實數的取值范圍是 ．
【例3】若，則a的取值范圍為（　　）
A．（0，e2] B． C． D．
跟蹤訓練
【訓練9】若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
【訓練10】不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【訓練11】若函數無零點，則整數的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【訓練12】不等式對任意都成立，則實數的最大值為　　
A． B． C． D．
題型4 雙變量同構的新考法
一類題型是不同同構方式下的內部關系或外部關系
一類題型是同構結合其他知識點進行考察
一類題型是不完整同構的考察
【例1】【多選】已知，，，則　　
A． B． C． D．
【例2】【多選】已知實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【例3】已知，，且，為自然對數的底數，則　　
A． B． C． D．
【訓練13】（2023 MST利哥）對任意，都有恒成立，則實數的取值范圍為 .
【訓練14】【多選】已知，，若，，
其中是自然對數的底數，則　　
A． B． C． D．
【訓練15】已知a，b滿足，則（　　）
A．B．ab＞e4 C．b＜e2a D．
拓展思維
拓展1 數形結合與公切線問題
考向一 平移函數公切線問題
當與為平行曲線，即，則有
證明:因為與有公切線，設切點為，切點為，則一定有，所以，根據公切線方程
可得:，所以，即如果按照數形結合來理解，就是與，兩點確定公切線，兩切點連線的斜率就是公切線斜率，即將切點左移單位，再下移單位，這樣得到點，所以公切線斜率
【例1】(2016 新課標II)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
【例2】若直線與曲線和曲線同時相切，則（ ）
A. B. C. D.
【訓練1】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的值是（ ）
A. B. C. D.
考向二 公切線方程中的隱形同構
兩曲線公共點公切線問題：當與切于同一點，設切點為，則有，單參數求定值，雙參數轉化為單參數后確定參數的取值范圍，這里面要看清楚同構.
【例1】直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則的最大值是　　
A． B． C． D．
【例2】已知，，.若，圖象有公共點，且在該點處的切線重合，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】已知，曲線與有公共點，且在公共點處的切線相同，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
考向三 凹凸性數形幾何解讀公切線條數
與是否有公切線，決定它們公切線條數的是函數凹凸性和相同的單調區間交點.
凹凸性相同的兩曲線，在兩個曲線，時，兩個函數均為凹函數，且，時均在遞增區間，
①如圖，若與無交點，可以類比于兩個圓的外公切線，當小圓內含于大圓時，無公切線;
②若與有唯一交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓內切時，有唯一的外公切線;
③若與有兩個交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓相交時，有兩條外公切線;
內含型無公切線 內切型有一條外公切線 同旁相交型兩條外公切線
同理，凹凸性不同的兩條曲線，在兩個曲線為凹函數，為凸函數時，且，，兩個函數均在遞增區間;
④如圖，若與有兩個交點，可以類比圓的內公切線，當兩圓相交時，無內公切線;
⑤若與有唯一交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓外切時，有唯一的內公切線.
⑥若與無交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓相離時，有兩條內公切線.
非同旁相交型無公切線 外切型有一條內公切線 外離型有兩條內公切線
【例1】已知直線與曲線和曲線均相切，則實數的解的個數為　　
A．0 B．1 C．2 D．無數
【例2】若函數與函數的圖象存在公切線，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【例3】(多選)若兩曲線與存在公切線，則正實數的取值可能是（ ）
A. B.4 C. D.
【訓練1】(多選)若曲線與存在公共切線，則實數的可能取值是（ ）
A． B．e C． D．
【訓練2】若存在直線與函數，的圖象都相切，則實數的最大值為 ．
考向四 分段函數公切線條數問題
【例1】（多選）關于曲線和的公切線，下列說法正確的有　　
A．無論取何值，兩曲線都有公切線 B．若兩曲線恰有兩條公切線，則
C．若，則兩曲線只有一條公切線 D．若，則兩曲線有三條公切線
【例2】若曲線與曲線有公切線，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
【訓練1】若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練2】已知曲線在點P處的切線為l，若l也與函數的圖象相切，則x0滿足( ) （其中）
A． B． C． D．
拓展1 切線條數與拐點切線界定
題型一 數形結合凹凸性分析：
我們可以參考圓的切線，對于圓上一點只能作一條切線，圓外一點能作兩條切線，圓內一點不能作切線，所以對于一個凹凸性不改變的函數，即二階導沒有變號零點的函數，在“圓外”一點能作兩條切線如下左圖所示．
【例1】（2021 新高考I）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A. B. C. D.
題型二 三次函數切線條數
一般地，如圖，過三次函數圖象的拐點（對稱中心或拐點）作切線,則坐標平面被切線和函數的圖象分割為四個區域，有以下結論：
由于區域Ⅰ、IV屬于外弧區域，故過區域Ⅰ、IV內的點作的切線，有3條；
由于區域II、Ⅲ屬于內弧區域，過區域II、Ⅲ內的點或者對稱中心作的切線，有且僅有1條；
過切線或函數圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有2條．
【例1】（2022 多選 新高考Ⅰ）已知函數，則　　
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【例2】過點可作三條直線與曲線相切，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【例3】若過點，可作曲線三條切線，則　　
A． B．
C．或 D．
【訓練1】（多選）定義：設是的導函數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點，為函數的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有　　
A．， B．函數既有極大值又有極小值
C．函數有三個零點 D．過可以作兩條直線與圖像相切
【例9】（多選）已知函數，其中實數，，點，
則下列結論正確的是　　
A．必有兩個極值點
B．當時，點是曲線的對稱中心
C．當時，過點可以作曲線的2條切線
D．當時，過點可以作曲線的3條切線
題型三 含漸近線和拐點的函數切線界定
（1）關于切線條數問題，由于，，當時，，此處為函數的拐點，易求拐點處切線方程為，當時，，我們把稱為此函數的漸近線，區別于三次函數只有拐點，故我們通過拐點切線和漸近線，將平面分為7個區域，我們可以對此類型題進行歸納總結，如下：
當時，函數與拐點處切線以及軸（漸近線）將平面分成四個區域（如圖所示），分別由兩個外弧區域和兩個內弧區域組成，
①區域1和區域4屬于雙外弧區域，位于此區域的點能作三條切線；
②區域2和區域3屬于一內弧一外弧區域，位于此區域的點能作一條切線；
我們將拐點切線作為內外弧分界點，區域2就是拐點右側曲線的內弧區域，但是相對于曲線左側，則是外弧區域，所以只能往拐點左側區域作唯一一條切線，也是“遠切線”；同理，區域3是拐點左側曲線的內弧區域，也是拐點右側曲線的外弧區域，所以過區域3的任意一點能作唯一一條切點位于拐點右側的“遠切線”；那么區域1和區域4就是拐點左右兩側的雙外弧區域，在本側能作兩條切點位于拐點同側的“近切線”，以及一條拐點另一側的“遠切線”．
③過曲線上拐點處僅能作一條切線，過拐點以外的曲線上任意一點能作兩條切線；
在曲線上任意一點能作一條切線，這可以理解為拐點同側外弧的兩條切線合二為一，類比于圓，圓上一點能作一條切線，就是圓外的兩條切線在這里合二為一，還有一條切線源自拐點另一處的“遠切線”．
④過拐點處切線上除了拐點以外的任意一點，僅能作兩條切線；
拐點切線，就是一條“近切線”和一條“遠切線”合二為一，否則就會有三條切線．
當時，函數與拐點處切線以及軸將平面分成三個區域（如圖所示），分別由兩個外弧區域和一個內弧區域組成，由于不在漸近線內側，故少了一條“遠切線”．
⑤區域5和區域7屬于雙外弧區域，位于此區域的點能作兩條切線，相比區域1和區域4，少了一條位于處的遠切線；
⑥區域6屬于一內弧一外弧區域，由于唯一一條遠切線的缺失，故位于此區域的點不能作的切線；
⑦由于缺失了一條遠切線，故過曲線上任意一點僅能作一條切點在曲線上切線；
⑧過曲線與軸的交點僅能作唯一切線．
【例1】（2022 新課標1卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是 ．
【例2】已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的可能取值為　　
A． B． C． D．1
【例3】若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【例4】若過點（a，b）（a＞0）可以作曲線y＝xex的三條切線，則（　　）
A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0
C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0
【例5】（無拐點）過點作曲線的切線有且僅有兩條，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【例6】若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，，，，則的取值范圍是　　
A． B．，，
C． D．，，
【訓練1】已知過點作曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【訓練2】經過點作曲線的切線有　　
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【訓練3】（多選）若過點P（﹣1，t）最多可以作出n（n∈N*）條直線與函數的圖像相切，則（　　）
A．tn可以等于2022 B．n不可以等于3
C．te+n＞3 D．n＝1時，
拓展3 零點比大小破解雙參比值問題
1．恒成立，求的最值和取值范圍；2．恒成立，求的最值和取值范圍．
如圖2-2-1所示，通常的方法是構造函數，則時，從而達到解決此類型的目的，這種解答方法適合解答題，但此類型題目出現在選填壓軸題的幾率更大，常規思路由于計算量大，對一道客觀題來說沒必要，故需要采納一些高觀點低運算的方法，此類型可以利用數形結合的思想，如圖2-2-2所示，通常是一個凹函數，如意味著與相切時即恒成立，是直線和軸的交點，記為，將的唯一零點求出，滿足即可．
圖2-2-1 圖2-2-2 圖2-2-3 圖2-2-4
同理，在比較時，也是一類型轉化，此時為凸函數，也將圖2-2-3的方案轉化為圖2-2-4，構造；四個圖中的虛線直線是不可能滿足題目要求的，此方法叫零點比大小．
注意：直曲分離是關鍵，問題與直線零點有直接關系，所以我們可以根據問題來將原式進行變形．
【例1】若不等式對恒成立，其中，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，若對任意實數恒成立恒成立，則的取值范圍為_______．
【例3】已知函數，，為實數），若存在實數，
使得對任意恒成立，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
跟蹤訓練
【訓練1】設，若不等式在上恒成立，則的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【訓練2】已知為實數，，若對恒成立，則的最小值為 ．
【訓練3】不等式對任意實數恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
拓展4 抽象函數的導函數構造
角度1 導數和差，構造和差型函數
；；；
和與積聯系，構造乘積型函數； 差與商聯系，構造分式型函數：
；．
角度2 冪函數及其抽象構造
定理1 ；
證明：因為；，所以，
則函數單調遞增；，則單調遞增．
定理2 當時，；
證明 因為；，所以，則函數單調遞增；，則單調遞增．
角度三 指數函數與抽象構造
定理3 ；
；
證明： 因為，，所以，
則單調遞增；反之單調遞減；，則單調遞增；
反之單調遞減．
定理4 ；．
證明：因為；，所以，則單調遞增；，單調遞減；
若，則單調遞增，
若，則單調遞減．
角度四 三角函數與抽象構造
定理5 正弦同號，余弦反號定理
，當，；
，當，；，當，；，當，．
遇正切時化切為弦，請自己證明相關結論．
【例1】設函數是函數的導函數；（3），且恒成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【例2】（2015 新課標II）設函數是奇函數（）的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（　　）
B．
C． D．
【例3】已知定義在上的函數的導函數為，且，，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【例4】已知函數的定義域為，，其導函數是，且滿足，則關于的不等式的解集為　　
A．， B．， C．， D．，
跟蹤訓練
【訓練8】設函數是定義在上的偶函數，為其導函數，當時，，且（1），則不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【訓練9】已知可導函數的導函數為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【訓練10】若可導函數是定義在上的奇函數，當時，有，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【訓練11】已知函數的圖象關于點對稱，函數對于任意的滿足（其中是函數的導函數），則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
拓展5 比大小常用不等式及泰勒公式
題型一 利用六大同構函數比大小
1. 由引出的大小比較問題
（1）在區間上單調遞增，在區間單調遞減；當時, 取得最大值；
（2）極大值左偏，且；
（3）當時，，當時，；
（4），注意: 只能比較，或者之類屬于的左邊或者右邊，涉及左右互換．
關于函數和函數比大小問題，都可以按照構造對數來比較，例如在比較大小時，即比較大小，在比較，即構造即比較的大小．
【例1】（2017 新課標Ⅰ）設，，為正數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【例2】設，，，則　　
A． B． C． D．
【例3】比較大小，，，則　　
A． B． C． D．
【例4】已知，試比較，，的大小關系　　
A． B． C． D．
【例5】已知實數，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】設，其中為自然對數的底數，則　　
A． B． C． D．
【訓練12】下列四個命題：①；②；③；④；
其中真命題的個數是（ ）
A． B． C． D．
【訓練13】已知，，，其中，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【訓練14】設，，，則，，的大小順序為　　
A． B． C． D．
題型二 放縮及泰勒展開比較大小
1．基本切線不等式
①(，)；
②(，)；
③；
④．
2．飄帶函數
①，；
②．
3．常用泰勒公式
①；
②；
③；
④；
【例1】設，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【例2】已知，，，則　　
A． B． C． D．
【例3】若，則　　
A． B． C． D．
【例4】（2022 新高考Ⅰ）設，，，則　　
A． B． C． D．
【訓練15】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【訓練16】比較大小，，
A． B． C． D．
【訓練17】設，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【訓練18】（2022 甲卷）已知，，，則　　
A． B． C． D．
【訓練19】設，，，則　　
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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