資源簡介

5.2 導(dǎo)數(shù)的運算（精講）
考點一 基本函數(shù)的求導(dǎo)
【例1】（2022·內(nèi)蒙古）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)； (2)； (3)；(4).
【一隅三反】
1．（2022·廣西）下列各式正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）下列選項正確的是（ ）
A．，則 B．，則
C．，則 D．，則
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算法則
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【一隅三反】
（2022·陜西·延安市）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)； (2)； (3)；
(4). (5)； (6)；
(7)．
考點三 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；(2)；(3)；(4).
2．（2021·全國高二專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)；
（4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1).
考點四 求導(dǎo)數(shù)值
【例4-1】（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則 （ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，且，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京八十中高二期中）如圖，函數(shù)的圖像在點P處的切線方程是，則（　?。?br/>A．-2 B．3 C．2 D．-3
考點五 切線方程
【例5-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x＋y－2＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x－y－5＝0
【例5-2】（2022·浙江·高二階段練習(xí)）曲線在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）（多選）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中）若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-6】（2022·江西師大附中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，則過點可作曲線的切線的條數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【一隅三反】
1．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）曲線在點處的切線方程為________．（用一般式表示）
2．（2022·四川瀘州·高二期末（文））曲線在處切線的斜率為
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點且與曲線相切的直線方程為______．
4．（2022·貴州·貴陽市白云區(qū)第二高級中學(xué)高二期末（理））若函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行，則
5．（2022·遼寧鐵嶺·高二期末）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是
6．（2022·全國·高二期末）過軸上一點作函數(shù)的圖象的切線，則切線的最多條數(shù) 為
7．（2022·廣東·中山市迪茵公學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）過點作曲線的切線，則切線方程 是
A． B． D．
8．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期中）已知函數(shù)的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則實數(shù)a的值為
5.2 導(dǎo)數(shù)的運算（精講）
考點一 基本函數(shù)的求導(dǎo)
【例1】（2022·內(nèi)蒙古）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)； (2)； (3)；(4).
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】（1），則
（2），則
（3），則
（4），則
【一隅三反】
1．（2022·廣西）下列各式正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式，
，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C.
2．（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）下列選項正確的是（ ）
A．，則 B．，則
C．，則 D．，則
答案：BCD
【解析】A：，錯誤；
B：，則，正確；
C：，正確；
D：正確.
故選：BCD
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，
可得.
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算法則
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）
．
【一隅三反】
（2022·陜西·延安市）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)； (2)； (3)；
(4). (5)； (6)；
(7)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【解析】（1）由，可得
（2）由，可得
（3）由，可得
（4）由，可得
（5）因為，
所以，
即；
（6）因為，則.
（7）因為，所以.
考點三 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
答案：(1)(2)(3)(4)
(5)
【解析】（1），.
（2），
，.
（3），
.
（4），
.
（5），
．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；(2)；(3)；(4).
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）
（2）因為，所以
（3）.
（4）
2．（2021·全國高二專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)；
（4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1).
答案：（1）；（2）2e2x＋1；（3）；（4）；（5） ；（6）.
【解析】（(1)設(shè)，，則；
(2)設(shè)則.
(3)設(shè)，則
(4)設(shè)，則
(5)設(shè)，
則；
(6)設(shè)，則
考點四 求導(dǎo)數(shù)值
【例4-1】（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因為，
所以，所以，
解得；故選：B
【例4-2】（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由，得，令，則，解得，所以，.故選：D.
【一隅三反】
1．（2022·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則 （ ）
A． B． C．1 D．
答案：B
【解析】由，可得，所以 ，則 .
故選：B.
2．（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，且，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，，解得.故選：D
3．（2022·北京八十中高二期中）如圖，函數(shù)的圖像在點P處的切線方程是，則（　?。?br/>A．-2 B．3 C．2 D．-3
答案：B
【解析】因為函數(shù)的圖像在點P處的切線方程是，
所以，所以，故選：B.
考點五 切線方程
【例5-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x＋y－2＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x－y－5＝0
答案：B
【解析】因為，所以．當(dāng)x＝1時，，
所以曲線在點處的切線方程為，即3x＋y－2＝0．故選：B．
【例5-2】（2022·浙江·高二階段練習(xí)）曲線在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得,故當(dāng)時,斜率，
又切線過點，故切線方程為，即
故選：C.
【例5-3】（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）（多選）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（ ）
A． B． C． D．
答案：AB
【解析】設(shè)切點為，則，所以，
所以切線方程為，
因為切線過點（1，3），所以，即，即，
解得或，所以切線方程為或，故選：AB
【例5-4】（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中）若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，
因為函數(shù)在點處的切線與直線垂直，
所以，解得，
故選：A
【例5-5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：B
【解析】將代入，得，
易知直線的斜率為8．
因為，所以，所以．故選：B．
【例5-6】（2022·江西師大附中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，則過點可作曲線的切線的條數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
【解析】因為，所以，
設(shè)切點為，
所以在切點處的切線方程為，
又在切線上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以過點可作曲線的切線的條數(shù)為2.
故選：C．
【一隅三反】
1．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）曲線在點處的切線方程為________．（用一般式表示）
答案：
【解析】由，得，
所以切線的斜率為，
所以所求的切線方程為，即.
故答案為：.
2．（2022·四川瀘州·高二期末（文））曲線在處切線的斜率為
答案：
【解析】，則，當(dāng)時，，
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點且與曲線相切的直線方程為______．
答案：或
【解析】由題意，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，
又由函數(shù)，可得，可得，所以，
根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即，
解得或，所以切線的斜率為或，
所以切線方程為或，即或.
故答案為：或.
4．（2022·貴州·貴陽市白云區(qū)第二高級中學(xué)高二期末（理））若函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行，則
答案：
【解析】由函數(shù)得，
，所以，
直線的斜率，
因為函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，所以.
5．（2022·遼寧鐵嶺·高二期末）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是
答案：9
【結(jié)節(jié)性】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點為，
因為，直線的斜率為，
所以，，
所以，
因為
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值是.
6．（2022·全國·高二期末）過軸上一點作函數(shù)的圖象的切線，則切線的最多條數(shù) 為
答案：3
【解析】由題意知，，
設(shè)切點為，
則切線方程為，
設(shè)軸上一點，代入切線方程，
得，即，
該方程有可能有一個，兩個或三個零點，所以可作切線的條數(shù)為1,2或3條，
7．（2022·廣東·中山市迪茵公學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）過點作曲線的切線，則切線方程 是
A． B． D．
答案：、
【解析】.
當(dāng)點是切點時，此時切線的斜率為：，
所以切線方程為：；
當(dāng)點是不切點時，設(shè)切點為，即，
此時切線的斜率為：，
所以切線方程為：，把點代入得：
，
，解得：，或舍去，
所以切線方程為：，
8．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期中）已知函數(shù)的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則實數(shù)a的值為
答案：-1
【解析】，，，可得切線方程為，代入得.

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