資源簡介

5.1 導數的概念及意義（精講）
考點一 平均速度
【例1】（2021·江蘇省灌南高級中學）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1（2022·浙江·高二期中）函數在區間上的平均變化率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2022·陜西）一個物體做直線運動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系為，且這一物體在這段時間內的平均速度為，則實數的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2022·四川·成都七中高二期末（文））吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為，為的導函數．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
考點二 瞬時速率
【例2-1】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【2-2】（2022·北京·牛欄山一中高二階段練習）為了評估某種藥物的療效，現有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量.設該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如下圖所示，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率相同.
B．在內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率不相同.
C．若，則在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率一定不同
D．若，則在時刻，甲血管中藥物濃度不高于乙血管中藥物濃度
【一隅三反】
1．（2022·北京市育英學校高二期中）已知某物體運動的位移關于時間的函數為，則當時的瞬時速度是（ ）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
2．（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則物體在t=0 s時的瞬時速度為______m/s；瞬時速度為9 m/s的時刻是在t=______s時．
3．（2022·北京通州·高二期中）假設某高山滑雪運動員在一次高山滑雪訓練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數關系為，則該運動員在這段時間的平均速度為______m/s；在時的瞬時速度為______m/s．
考點三 某處導數
【例3-1】（2022·廣東·南海中學高二期中）設，則（ ）
A． B． C．4 D．8
【例3-2】．（2022·山東·文登新一中高二期中）設存在導函數且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．2
【一隅三反】
1．（2022·全國·高三專題練習）若函數在處的導數為2，則 ( )
A．2 B．1 C． D．6
2．（2022·天津市武清區楊村第一中學高二階段練習）設函數，則（ ）
A．1 B．5 C． D．0
3．（2022·全國·高二課時練習）已知函數的導函數為，且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
考點四 導數的幾何意義及應用
【例4-1】（2021·江蘇·南京市中華中學高二期中）已如函數在處的切線斜率為2，則 等于（ ）
A．2 B．1 C．4 D．12
【例4-2】（2021·全國·高二課時練習）函數的圖象在點處的切線的傾斜角的大小為______．
【一隅三反】
1．（2021·全國·高二課前預習）拋物線y＝x2＋1在點(1，2)處的切線的斜率是________.
2.（2022·全國高二課時練習）曲線y＝x＋上任意一點P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是
3.（2022廣東）曲線y＝x2－2在點x＝1處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．135° D．165°
4．（2022·全國·高二課時練習）（多選）若當，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．曲線上點處的切線斜率為
D．曲線上點處的切線斜率為
5.1 導數的概念及意義（精講）
考點一 平均速度
【例1】（2021·江蘇省灌南高級中學）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因為函數，所以該函數在區間上的平均變化率為
，故選：A
【一隅三反】
1（2022·浙江·高二期中）函數在區間上的平均變化率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
答案：C
【解析】因為，，
所以，即函數在區間上的平均變化率為；故選：C
2．（2022·陜西）一個物體做直線運動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系為，且這一物體在這段時間內的平均速度為，則實數的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
答案：A
【解析】，，
因為物體在這段時間內的平均速度為，所以，解得，
故選：A
3．（2022·四川·成都七中高二期末（文））吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為，為的導函數．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
答案：D
【解析】A：設，由圖得，
所以所以，所以該選項錯誤；
B:由圖得圖像上點的切線的斜率越來越小，根據導數的幾何意義得，所以該選項錯誤；
C:設，因為
所以，所以該選項錯誤；
D:表示兩點之間的斜率，表示處切線的斜率，由于，所以可以平移直線使之和曲線相切，切點就是點,所以該選項正確.故選：D
考點二 瞬時速率
【例2-1】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
答案：D
【解析】因為，所以，令，得瞬時速度為．故選：D.
【2-2】（2022·北京·牛欄山一中高二階段練習）為了評估某種藥物的療效，現有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量.設該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如下圖所示，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率相同.
B．在內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率不相同.
C．若，則在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率一定不同
D．若，則在時刻，甲血管中藥物濃度不高于乙血管中藥物濃度
答案：D
【解析】對于A選項，在時刻，兩曲線交于同一點，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，瞬時變化率為切線的斜率，故不相同，故A錯誤；
對于B選項，在兩個時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度相同，因此在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，故B錯誤；
對于C選項， 這個時間段內，在時刻時，甲血管中藥物濃度的瞬時變化率大于乙血管中藥物濃度的瞬時變化率，在時刻時，甲血管中藥物濃度的瞬時變化率小于乙血管中藥物濃度的瞬時變化率，故存在使得甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同，故C錯誤；
對于D選項，在內，乙血管中藥物濃度始終大于甲血管中藥物濃度，在時刻，甲乙血管中藥物濃度相同，故若，則在時刻，甲血管中藥物濃度不高于乙血管中藥物濃度，D正確.故選：D．
【一隅三反】
1．（2022·北京市育英學校高二期中）已知某物體運動的位移關于時間的函數為，則當時的瞬時速度是（ ）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
答案：A
【解析】因為，所以當時的瞬時速度是.故選：A
2．（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則物體在t=0 s時的瞬時速度為______m/s；瞬時速度為9 m/s的時刻是在t=______s時．
答案： 1 4
【解析】，
即物體在t=0 s時的瞬時速度為1 m/s．設物體在時刻的瞬時速度為9 m/s，
又，
所以，物體在t=4 s時的瞬時速度為9 m/s．故答案為：1；4
3．（2022·北京通州·高二期中）假設某高山滑雪運動員在一次高山滑雪訓練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數關系為，則該運動員在這段時間的平均速度為______m/s；在時的瞬時速度為______m/s．
答案：
【解析】答題空1：該運動員在這段時間的平均速度為：
答題空2：由得，當時，．
故答案為：，
考點三 某處導數
【例3-1】（2022·廣東·南海中學高二期中）設，則（ ）
A． B． C．4 D．8
答案：C
【解析】
故選：C
【例3-2】．（2022·山東·文登新一中高二期中）設存在導函數且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：A
【解析】因為存在導函數且滿足，
所以，即曲線上的點處的切線的斜率為，
故選：A.
【一隅三反】
1．（2022·全國·高三專題練習）若函數在處的導數為2，則 ( )
A．2 B．1 C． D．6
答案：B
【解析】由函數在處的導數為2，得，
所以，故選：B
2．（2022·天津市武清區楊村第一中學高二階段練習）設函數，則（ ）
A．1 B．5 C． D．0
答案：B
【解析】由題意，所以，所以原式等于.
故選：B.
3．（2022·全國·高二課時練習）已知函數的導函數為，且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，解得故選：D
考點四 導數的幾何意義及應用
【例4-1】（2021·江蘇·南京市中華中學高二期中）已如函數在處的切線斜率為2，則 等于（ ）
A．2 B．1 C．4 D．12
答案：C
【解析】函數在處的切線斜率為2，所以，
所以.故選：C
【例4-2】（2021·全國·高二課時練習）函數的圖象在點處的切線的傾斜角的大小為______．
答案：135°
【解析】，即函數的圖象在點處的切線的斜率為－1，所以切線的傾斜角．
故答案為：135°
【一隅三反】
1．（2021·全國·高二課前預習）拋物線y＝x2＋1在點(1，2)處的切線的斜率是________.
答案：2
【解析】k＝ ＝ (2＋Δx)＝2.答案　2
2.（2022·全國高二課時練習）曲線y＝x＋上任意一點P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是
答案：(－∞，1)
【解析】上任意一點P(x0，y0)處的切線斜率為
＝＝ ＝<1，即k<1.
3.（2022廣東）曲線y＝x2－2在點x＝1處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．135° D．165°
答案：B
【解析】因為，故，故，
設曲線在處的切線的傾斜角為，則，而，故，故選：B.
4．（2022·全國·高二課時練習）（多選）若當，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．曲線上點處的切線斜率為
D．曲線上點處的切線斜率為
答案：AD
【解析】由得：，即，
曲線上點處的切線斜率為，C錯誤；D正確；
，A正確；B錯誤.故選：AD.

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