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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)：空間直線、平面的垂直（新教材新高考）
一 直線與平面的垂直
1 定義
若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.
符號(hào)表述:若任意都有，則
2 判定定理
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
符號(hào)表述: (線線垂直線面垂直)
3 性質(zhì)定理
垂直同一平面的兩直線平行
符號(hào)表述：.
4 證明線面垂直的方法
定義法(反證)
判定定理(常用)
5 線面所成的角
(1) 定義
如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則.
(2) 范圍
直線和平面所成的角的取值范圍是.
二 直線與平面的垂直
1 二面角
(1) 定義
從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條棱叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.棱為，面分別為，的二面角記作二面角.
在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.
(2) 范圍 二面角的平面角的取值范圍是.
2 面面垂直
(1) 定義
若二面角的平面角為，則；
(2) 判定定理
如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.
(線面垂直面面垂直)
(3) 性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.
【題型1】 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
【典題1】 (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段(包括端點(diǎn))上一點(diǎn)，則的面積的最大值為( )

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，確定的最大值，即可求解△BCQ面積的最大值.
【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接CE，過Q作，垂足為M，
過M作，垂足為N，連接QN，PE，

則，且，點(diǎn)E到BC的距離為.
由直三棱柱的性質(zhì)知平面ABC，
所以平面ABC，MN，平面ABC，
則，，且，QM，平面QMN，
所以平面QMN，且平面QMN，
則，可知，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為.
故選：A.
【典題2】(2024·山東棗莊·一模)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可證；
(2)由等腰直角三角形內(nèi)心的特點(diǎn)確定點(diǎn)的位置，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線面角的空間向量公式計(jì)算可得出結(jié)果.
【詳解】(1)因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br/>因?yàn)榕c平面所成的角為平面，
所以，且，所以，
又為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面．
(2)略.
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·河北邯鄲·二模)已知是兩個(gè)平面，是兩條直線，且，則“”是“”的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】用平面代表平面，平面代表平面，
當(dāng)如圖所示時(shí)顯然m與平面不垂直，
反之，當(dāng)時(shí)，又，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：A.
2.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐是棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A．點(diǎn)共面 B．平面 平面
C． D．平面
【答案】D
【分析】取中點(diǎn)，連接，，，，利用線面垂直的判斷定理證明平面
，平面，得到四點(diǎn)共面，再利用平行四邊形的性質(zhì)判斷A，利用面面平行的判定定理判斷B，利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷C，假設(shè)平面，由線面垂直的性質(zhì)可知，進(jìn)而得到四邊形是菱形，與已知矛盾判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，
因?yàn)槭钦睦忮F，是正四面體，為的中點(diǎn)，
所以，，，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>所以四點(diǎn)共面，
由題意知，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以四點(diǎn)共面，故A說法正確；
選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A知，
又平面，平面，所以 平面，
因?yàn)椋移矫妫矫妫?平面，
又平面，平面，且，
所以平面 平面，故B說法正確；
C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A可得平面，
又平面，所以，故C說法正確；
D選項(xiàng)：假設(shè)平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，
由選項(xiàng)A知四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，
與，矛盾，故D說法錯(cuò)誤;
故選：D
3.(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模)已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為
( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取的中點(diǎn)，由，證得，再由平面，證得，從而得到平面，同理證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面截正方體的截面為，進(jìn)而求得截面的面積，得到答案.
【詳解】如圖所示，
取的中點(diǎn)，分別連接，
在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，
所以，，
因?yàn)椋裕裕矗?br/>又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕裕?br/>又因?yàn)榍移矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕砜勺C：，
又因?yàn)榍移矫妫云矫妫?br/>即平面截正方體的截面為，
由正方體的棱長(zhǎng)為，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的面積為.
故選：D.
4.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得出，再結(jié)合余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，最后結(jié)合圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可求解.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，易得，
又，平面，所以平面，
又，所以，，，
在中，，由余弦定理得，
作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，所以，
在中，，則，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
故選：C，
5. (2024·四川成都·三模)已知在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，滿足，若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))．
(1)求證：平面；
(2)若線段上的點(diǎn)在平面內(nèi)，求的值．
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】(1)連接AC，利用余弦求得AN，可證，由已知可證平面APD，可得，進(jìn)而證明平面CPD，可得，可證結(jié)論成立；
(2)連接QN，求得PB，在三角形PBC中，利用余弦定理可求得，進(jìn)而可得PQ，可求得的值.
【詳解】(1)連接AC，由AD∥BC,，若PA=AD=DC=2,
可得，由平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，AC，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)N為PC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P)，所以,
在三角形PAN中，由余弦定理可得,
所以，所以三角形PAN是直角三角形，所以，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，所以，又，，
所以平面APD，平面APD，所以，
由點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，所以，又，所以平面CPD，
平面PCD，所以，，所以平面AMN，
(2)略.
6.(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析,(2)存在，且
【分析】
(1)利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
(2)在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出平面，可得出，可得出，推導(dǎo)出，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論.
【詳解】(1)證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫?
(2)解：在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.

由題意得，平面平面.
因?yàn)椋矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以，平面，
因?yàn)槠矫妫裕?
在中，因?yàn)椋裕?br/>所以，，
翻折前，為等邊三角形，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因?yàn)椋瑒t.
又因?yàn)椋瑒t平分，
因?yàn)槭切边吷系闹芯€，則，且，
所以，是等邊三角形，則，
又因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
【題型2】 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
【典題1】 (2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐的底面為菱形，其中，點(diǎn)在線段上，若平面平面，則 ．
【答案】/0.4
【分析】設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，證明，然后證明平面，得證，從而由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，得，設(shè)出，計(jì)算出后可得結(jié)論。
【詳解】設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫?br/>又平面 平面，平面，所以，從而，
又菱形中，，所以是等邊三角形，則，
而，所以，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，從而，
因?yàn)槠矫?平面，平面 平面 ，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>設(shè)，則由已知得，，
，，
中，，
從而，，，
，
所以.
故答案為：.
【典題2】(2024·陜西西安·三模)如圖，已知是圓的直徑，平面，是的中點(diǎn)，．

(1)證明：平面；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析
【分析】(1)由面面平行判斷定理可證得平面平面，結(jié)合面面平行性質(zhì)可證得平面.
(2)由直徑所對(duì)的圓周角為直角可證得，由線面垂直性質(zhì)可證得，結(jié)合線面垂直判斷定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)及面面垂直判定定理可證得平面平面.
【詳解】(1)在中，由題可知，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面平面，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面.
(2)因?yàn)槭菆A的直徑，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
又因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面.
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·安徽·二模)已知是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列正確的命題是( )
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)即可選出正確答案.
【詳解】選項(xiàng)A：根據(jù)給定條件有 或；
選項(xiàng)B：根據(jù)給定條件有 或；
選項(xiàng)C：根據(jù)給定條件有與的位置可能平行、相交或m在α內(nèi)；
選項(xiàng)D：因?yàn)椋源嬖谥本€使得，
又因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?
故選：D.
2. (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
【答案】D
【分析】利用面面垂直的判定定理結(jié)合題意逐個(gè)分析判斷.
【詳解】如圖所示：

因?yàn)椋运倪呅螢橹苯翘菪?
所以.
又因?yàn)椋裕?
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
若平面平面，那么平面，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫?又，，平面，所以平面.
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫蔇正確；
因?yàn)槠矫嫫矫妫^點(diǎn)作平面的垂線，垂足落在上，顯然垂線不在平面內(nèi)，所以平面與平面不垂直，故C錯(cuò)誤，同理B也錯(cuò)誤.

故選：D
3.(2023·山東威海·二模)已知等邊三角形SAB為圓錐的軸截面，AB為圓錐的底面直徑，O，C分別是AB，SB的中點(diǎn)，過OC且與平面SAB垂直的平面記為，若點(diǎn)S到平面的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，作出點(diǎn)到平面的距離，再結(jié)合圖形，求出底面半徑和母線，即可求解.
【詳解】如圖，作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br/>所以平面，，點(diǎn) 為的中點(diǎn)，則，
且為等邊三角形，則，所以，
所以底面半徑，母線，
則該圓錐的側(cè)面積

故選：B
4.(2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，平面平面，且該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，利用勾股定理求出、，再求出點(diǎn)到底面的距離，依題意可得球心在經(jīng)過底面中心且與底面垂直的直線上，設(shè)到底面的距離為，利用勾股定理求出，即可得到外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，則，
又，，，解得 (負(fù)值舍去)，
所以，
取的中點(diǎn)，連接，則，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，即點(diǎn)到底面的距離為，
設(shè)，則，，
球心在經(jīng)過底面中心且與底面垂直的直線上，
設(shè)到底面的距離為 ，
那么，，
由可解得，故，即外接球的半徑，
故球的表面積為.
故選：C.
5.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則四棱錐外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可證明平面，從而得到平面平面，再取的中點(diǎn)，連接、、，推導(dǎo)出為外接圓的圓心，再設(shè)的外接圓的圓心為，四棱錐外接球的球心為，即可求出外接球的半徑，從而求出球的表面積.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，
所以，，
又，，，所以，
在中，由余弦定理，
即，又，所以，
所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
取的中點(diǎn)，連接、、，則、及均為等邊三角形，
易知且，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
所以等腰梯形外接圓的圓心為，設(shè)的外接圓的圓心為，則，
設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接、、，
則平面，平面，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以外接球的半徑，
所以外接球的表面積.
故選：C
6.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖所示，四棱錐中，點(diǎn)在線段上(不含端點(diǎn)位置)，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若四面體的體積為，判斷是否為直角三角形．若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直
角，若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析,(2)是，．
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，由題意得，且，由余弦定理得，由勾股定理可得，證得平面，從而得證；
(2)由(1)知平面，過作交于，則平面，由題意求得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，由余弦定理得，結(jié)合勾股定理即可得解．
【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．
由題意得，，且，
∴在中，由余弦定理得，則，
∵，∴．
易得，且，則四邊形為矩形，∴．
在中，，∴，
而，，平面，∴平面，
而平面，故平面平面．

(2)由(1)知平面平面，平面平面，
平面，．則平面，
過作交于，則平面，
∴，
∴，∴，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
在中，，
由余弦定理得，，
易得，故為直角三角形，．
7.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在中，分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，得到如圖2所示的四棱錐．
(1)求證：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析，(2)8
【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；
(2)根據(jù)條件求得,再根據(jù)錐體體積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】(1)因?yàn)榉謩e是邊中點(diǎn)，
所以，則，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，又，平面
所以平面，又平面，
所以平面平面．
(2)由(1)知平面，又平面，所以．
設(shè)，則，
由，得，
由，得，
又，所以，
則，得，即，
又平面，故四棱錐的體積
.
8. (2024·湖北·模擬預(yù)測(cè))如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面⊥平面；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面 說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，理由見解析
【分析】(1)由題意可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
(2)根據(jù)勾股定理的逆定理可得，由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，再次利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
(3)取的中點(diǎn)，連接.由(1)可得，由(2)可得平面，即可證明.
【詳解】(1)在五面體中，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?
又平面，平面，所以平面.
(2)因?yàn)椋?br/>所以，所以，即.
因?yàn)樗倪呅问钦叫危?
因?yàn)槠矫?平面，平面 平面 平面，
所以平面.
因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)槠矫?所以平面.
因?yàn)槠矫妫云矫妗推矫?
(3)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.
證明如下：取的中點(diǎn)，連接.
由(1)知，平面ABFE，又平面，平面∩平面 ，
所以.因?yàn)椋?
所以四邊形是平行四邊形．所以.
由(2)知，平面，所以平面.
9. (2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖，等腰梯形中，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖．

(1)證明：平面；
(2)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析,(2)．
【分析】(1)證明，即可證明平面；
(2)由平面，得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，找出點(diǎn)到平面的距離即可求解.
【詳解】(1)證明：在等腰梯形中，，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)椋?br/>所以為等邊三角形，則.
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
在等腰梯形中，可得.
連接，在中，由余弦定理可得,
則，所以，則.
因?yàn)椤⒎謩e是、中點(diǎn)，
所以，所以，
從而可得，，
因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面．
(2)由(1)可知，，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半.
取的中點(diǎn)為，連接.

因?yàn)闉榈冗吶切危裕?br/>由(1)知，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，平面，
所以平面.
因?yàn)槠矫妫?
又因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面，
則點(diǎn)到平面的距離為.
因?yàn)槭堑冗吶切危呴L(zhǎng)為，故 ，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
故點(diǎn)到平面的距離為．
【題型3】 線面角
【典題1】 (2024·貴州安順·一模)已知在正四面體中，，則直線與平面
所成角的正弦值為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)為三角形的中心，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)正四面體的性質(zhì)得到平面，且，即為直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】如圖，在正四面體中，設(shè)為三角形的中心，取中點(diǎn)，連接，
由正四面體的性質(zhì)可知平面，且，則即為直線與平面所成角，
因?yàn)椋瑒t，
故，故，
由勾股定理得，
故，
即直線與平面所成角的正弦值為．
故選：D．
【典題2】(多選) (2024·山西臨汾·二模)在正四面體ABCD中，P，Q分別為棱AB和CD(包括端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與平面ABC、平面ABD所成角分別為，則下列說法正確的是( )
A．的正負(fù)與點(diǎn)P，Q位置都有關(guān)系
B．的正負(fù)由點(diǎn)位置確定，與點(diǎn)位置無關(guān)
C．的最大值為
D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)分別作，垂足分別為，利用線面角的定義可判斷AB選項(xiàng)；求出的最大值和最小值，結(jié)合線面角的定義即可判斷選項(xiàng)CD.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)分別作，
垂足分別為，如圖所示，
在正四面體ABCD中，均為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，又因?yàn)椋云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋云矫?
所以直線與平面所成的角為，
即，同理可得：，
所以的正負(fù)只由點(diǎn)位置確定，與點(diǎn)位置無關(guān)，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
設(shè)，則，且,
在中，，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，
則，
將正四面體ABCD補(bǔ)成正方體，如圖所示：
連接，在線段上取點(diǎn)，使得，
因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以平行四邊形為矩形，則，
因?yàn)榍遥运倪呅螢榫匦危?br/>則，且.
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>所以，且，
則，
所以，
則，
，
故選項(xiàng)C，D都正確，
故選：BCD.
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·遼寧沈陽(yáng)·二模)正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，記為正方形的中心，直線與平面所成角分別為，．若，則點(diǎn)在( )
A．線段上 B．線段上 C．線段上 D．線段上
【答案】B
【分析】根據(jù)線面角的定義可得直線與直線所成角大小關(guān)系，再根據(jù)判斷即可.
【詳解】直線與平面所成角大小分別為，
等價(jià)于直線與直線成角大小分別為，
由，可知P在線段上，又，則與所成角更小，
則點(diǎn)P在線段上.
故選：B.
2.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)是正四面體 的4個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合正四面體的性質(zhì)和線面角的定義與計(jì)算，即可求解.
【詳解】設(shè)是正四面體 的4個(gè)頂點(diǎn)，
則點(diǎn)在平面的射影是正三角形的中心D,
再設(shè)，則，可得，
則高，
則直線與平面所成的角的正弦值．
故選：D.

3.(2024·甘肅定西·一模)在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，利用線面角的定義，結(jié)合正切函數(shù)的和差公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】如圖，設(shè)，
因?yàn)樵诰匦沃校裕?br/>因?yàn)榈酌妫?br/>所以分別是與底面所成的角，即，
所以.
因?yàn)?，
所以，解得 (負(fù)根舍去)，
所以 .
故選：D.
4.(2024·廣東·二模)將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點(diǎn)到平
面的距離的最大值為 .
【答案】
【分析】作出輔助線，判斷出當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)A到的距離最大，進(jìn)而算出，最后得到答案．
【詳解】如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，
因?yàn)樵谥校?，
則，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)A到的距離最大．
因?yàn)椤停允荁C與平面所成的角，則，則，
于是，，即A到的最大距離為．
故答案為：．
5.(2024·廣東·一模)已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，，利用線面垂直的性質(zhì)作出面，故為直線BP與平面所成角，再利用，得知當(dāng)與重合時(shí)，最小，再利用對(duì)頂角相等，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，分別是上下底面的中心，設(shè)球心為，半徑為，易知，
由題知，得到，又，，得到，
所以與重合，由，得到，
所以，又，所以，
因?yàn)槊妫妫裕?br/>又，，面，所以面，
連接并延長(zhǎng)，過作，交的延長(zhǎng)線于，
又面，所以，又，面，
所以面，連接，則為直線BP與平面所成的角，，
在中，易知，，所以，
所以當(dāng)最小時(shí)，直線BP與平面所成角的正弦值的最大值，
又動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)與重合時(shí)，最小，
此時(shí)為直線BP與平面所成的角，所以直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為，

故答案為：.
6. (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析，(3)
【分析】(1)由題意可證四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；
(2)如圖，易證，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
(3)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得為二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性質(zhì)確定為直線與平面所成的角，即可求解.
【詳解】(1)因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>則，又平面，平面，
所以平面；
(2)由平面，平面，得，
連接，由且，
所以四邊形為平行四邊形，又，
所以平行四邊形為正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面 平面；
(3)由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故為二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足為M，
由(2)知，平面 平面，平面 平面 ，平面，
所以平面，則為直線在平面上的投影，
所以為直線與平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直線與平面所成角的正弦值為.

【題型4】 二面角
【典題1】 (2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，測(cè)得從D，C到庫(kù)底與水壩的交線AB的距離分別為 m， m.又測(cè)得AB的長(zhǎng)為5 m，CD的長(zhǎng)為 m，則水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的大小為 .
【答案】/
【分析】作且，連接,可得是所求二面角的平面角，進(jìn)而求得，再利用余弦定理可求得，可求得.
【詳解】如圖，作且，連接.又，則四邊形是矩形，
.又，所以是所求二面角的平面角.
因?yàn)椋瑒t.
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，，
所以，，
由題可知，
則.
又是三角形的內(nèi)角，所以.
故答案為：.
【典題2】(2024·福建·模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.
(1)求點(diǎn)P到平面的距離；
(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求：
(Ⅰ)二面角的余弦值；
(Ⅱ)直線與平面所成角.
【答案】(1),(2)(Ⅰ),(Ⅱ)
【分析】(1)可得，，過P作的垂線交其于點(diǎn)D，過P作平面的垂線交其于點(diǎn)O，可得平面，進(jìn)而可得為二面角的平面角，可求得；
(2)(Ⅰ)，令，，利用導(dǎo)數(shù)可求體積的最大值，可求得；
(Ⅱ)由(Ⅰ)求得，，記點(diǎn)C到平面的距離為h，利用等體積法求得h，可
求直線與平面所成的角.
【詳解】(1)由已知，得，，
過P作的垂線交其于點(diǎn)D，
過P作平面的垂線交其于點(diǎn)O，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以為二面角的平面角，，
故；
(2)(Ⅰ) 三棱錐 的體積為，
令，則三棱錐的體積，
所以，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)；
所以二面角的余弦值為；
(Ⅱ)求得此時(shí)體積為，可知此時(shí)，，
由平面幾何知識(shí)知，，
記點(diǎn)C到平面的距離為h，
由等體積法可知，求得，
記直線與平面所成角為，則，即，
所以直線與平面所成的角為.
【鞏固練習(xí)】
1.(多選) (2024·河北·模擬預(yù)測(cè))已知直線和平面與所成銳二面角為.則下列結(jié)論正確的是( )
A．若，則與所成角為
B．若，則與所成角為
C．若，則與所成角最大值為
D．若，則與所成角為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)線線角，線面角，二面角的定義結(jié)合題意逐一分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋c所成銳二面角為，
所以與所成角為，故A正確；
對(duì)于B，若，此時(shí)不能確定與所成角，
如直線時(shí)，此時(shí)與所成角為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，設(shè)平面的交線為直線，
當(dāng)時(shí)，與所成角為，
當(dāng)與不平行時(shí)，設(shè)，在直線上取點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
作于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋裕?br/>又，所以平面，
又平面，所以，則即為與所成銳二面角的平面角，
則，
因?yàn)椋约礊榕c所成角的平面角，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以與所成角最大值為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋c所成銳二面角為，
所以與所成角為，故D正確.
故選：ACD.
2.(2024·四川·模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).沿直線將翻折，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置.當(dāng)平面與平面所成角為時(shí)，三棱錐的體積為 .

【答案】
【分析】
根據(jù)二面角的幾何法可得為平面與平面所成角的平面角，故,進(jìn)而可得點(diǎn)到平面的距離，即可由錐體的體積公式求解.
【詳解】
如圖，取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn).
由翻折前后的不變性可知，.由已知，四邊形為正方形，則
所以(或其補(bǔ)角)為平面與平面所成角的平面角，故或；
由于平面,所以平面，平面，
故平面平面，即在平面上的射影在直線上(點(diǎn)在線段或上均可).
由題意可知，在Rt中，，則
，又，則.
故答案為：
3.(2024·廣東韶關(guān)·二模)在三棱錐中，側(cè)面所在平面與平面的夾角均為，若，且是直角三角形，則三棱錐的體積為 ．
【答案】或或或
【分析】過作面于，過作，根據(jù)題設(shè)可得，，分為三角形的內(nèi)心或旁心討論，設(shè)，利用幾何關(guān)系得到，再根據(jù)條件得到在以為焦點(diǎn)的橢圓上，再利用是直角三角形，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，過作面于，過作，
因?yàn)槊妫妫裕郑妫?br/>所以面，又面，所以，故為二面角的平面角，
由題知，，同理可得，
當(dāng)在三角形內(nèi)部時(shí)，由，即為三角形的內(nèi)心，
設(shè)，則，得到，所以，
三棱錐的體積為；

又因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，
如圖，以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則
，
由題知，橢圓中的，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)，因?yàn)槭侵苯侨切危?br/>當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)，所以，得到，
當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)，所以，得到，
又因?yàn)椋室詾閳A心，為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即，
綜上所述，；
同理，當(dāng)在三角形外部時(shí)，由，即為三角形的旁心，
設(shè)，則，得到，
所以，三棱錐的體積為；
或，得到，
所以，三棱錐的體積為；
或，得到，
所以，三棱錐的體積為.

故答案為：或或或.
4.(2024·浙江紹興·二模)如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，求二面角的平面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析，(2)2
【分析】(1)先由解三角形知識(shí)證得，進(jìn)一步由，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；
(2)解法一：一方面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可以證明是二面角的平面角，另一方面可以通過解三角形知識(shí)即可得解；解法二：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)一步由法向量夾角的余弦坐標(biāo)公式，結(jié)合平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系即可運(yùn)算求解.
【詳解】(1)在中，由余弦定理得
，
所以，所以，
又，，面，面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
(2)解法一：
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫妫?br/>所以平面，因?yàn)槊妫裕?br/>過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋妫妫?br/>所以面，因?yàn)槊妫瑒t，
所以是二面角的平面角.
由(1)知，平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以，
又，所以三角形是正三角形，
所以，.
在直角三角形中，，
所以.
所以，二面角的平面角的正切值是2.

1.(2022·全國(guó)·高考真題)在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
2.(2023·全國(guó)·高考真題)已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危覟樾边叄瑒t有，
又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，顯然平面平面，
直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，
從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
顯然是銳角，，
所以直線與平面所成的角的正切為.
故選：C
3.(多選)(2022·全國(guó)·高考真題)已知正方體，則( )
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
【答案】ABD
【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】如圖，連接、，因?yàn)椋灾本€與所成的角即為直線與所成的角，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t ，故直線與所成的角為，A正確；
連接，因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，
因?yàn)?，，所以平面，
又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，
因?yàn)椋云矫妫?br/>所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫詾橹本€與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
4.(2023·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】(1)根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；
(2)利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.
【詳解】(1)如圖，

底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
過作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距離為1，，
在中，，
設(shè)，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
(2)，
，
過B作，交于D，則為中點(diǎn)，
由直線與距離為2，所以
，，，
在，，
延長(zhǎng)，使，連接，
由知四邊形為平行四邊形，
，平面，又平面，
則在中，，，
在中，，，
,
又到平面距離也為1，
所以與平面所成角的正弦值為.
5. (2021·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角
的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【詳解】(1)因?yàn)椋琌是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?br/>且平面平面，所以平面．
因?yàn)槠矫妫?
(2)如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．
作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br/>為二面角的平面角．
因?yàn)椋裕?br/>由已知得，故．
又，所以．
因?yàn)椋?br/>．
6.(2023·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).
【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.
(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.
【詳解】(1)連接，設(shè)，
則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
(2)由(1)可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，所以平面平面.
(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，
由，得，且，
又由(2)知，，則為二面角的平面角，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，則，
從而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值為.
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)：空間直線、平面的垂直（新教材新高考）
一 直線與平面的垂直
1 定義
若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.
符號(hào)表述:若任意都有，則
2 判定定理
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
符號(hào)表述: (線線垂直線面垂直)
3 性質(zhì)定理
垂直同一平面的兩直線平行
符號(hào)表述：.
4 證明線面垂直的方法
定義法(反證)
判定定理(常用)
5 線面所成的角
(1) 定義
如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則.
(2) 范圍
直線和平面所成的角的取值范圍是.
二 直線與平面的垂直
1 二面角
(1) 定義
從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條棱叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.棱為，面分別為，的二面角記作二面角.
在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.
(2) 范圍 二面角的平面角的取值范圍是.
2 面面垂直
(1) 定義
若二面角的平面角為，則；
(2) 判定定理
如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.
(線面垂直面面垂直)
(3) 性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.
【題型1】 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
【典題1】 (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段(包括端點(diǎn))上一點(diǎn)，則的面積的最大值為( )

A． B． C．2 D．
【典題2】(2024·山東棗莊·一模)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值．
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·河北邯鄲·二模)已知是兩個(gè)平面，是兩條直線，且，則“”是“”的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐是棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A．點(diǎn)共面 B．平面 平面 C． D．平面
3.(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模)已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為( )
A． B． C． D．
4.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為( )
A． B． C． D．
5. (2024·四川成都·三模)已知在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，滿足，若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))．
(1)求證：平面；
(2)若線段上的點(diǎn)在平面內(nèi)，求的值．
6.(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【題型2】 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
【典題1】 (2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐的底面為菱形，其中，點(diǎn)在線段上，若平面平面，則 ．
【典題2】(2024·陜西西安·三模)如圖，已知是圓的直徑，平面，是的中點(diǎn)，．

(1)證明：平面；(2)求證：平面平面．
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·安徽·二模)已知是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列正確的命題是( )
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
2. (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
3.(2023·山東威海·二模)已知等邊三角形SAB為圓錐的軸截面，AB為圓錐的底面直徑，O，C分別是AB，SB的中點(diǎn)，過OC且與平面SAB垂直的平面記為，若點(diǎn)S到平面的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為( )
A． B． C． D．
4.(2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，平面平面，且該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為( )
A． B． C． D．
5.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則四棱錐外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
6.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖所示，四棱錐中，點(diǎn)在線段上(不含端點(diǎn)位置)，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若四面體的體積為，判斷是否為直角三角形．若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角，若不是，請(qǐng)說明理由．
7.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖1，在中，分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，得到如圖2所示的四棱錐．
(1)求證：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
8. (2024·湖北·模擬預(yù)測(cè))如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面⊥平面；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面 說明理由．
9. (2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖，等腰梯形中，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖．

(1)證明：平面；
(2)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．
【題型3】 線面角
【典題1】 (2024·貴州安順·一模)已知在正四面體中，，則直線與平面所成角的正弦值為( )
A． B． C． D．
【典題2】(多選) (2024·山西臨汾·二模)在正四面體ABCD中，P，Q分別為棱AB和CD(包括端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與平面ABC、平面ABD所成角分別為，則下列說法正確的是( )
A．的正負(fù)與點(diǎn)P，Q位置都有關(guān)系
B．的正負(fù)由點(diǎn)位置確定，與點(diǎn)位置無關(guān)
C．的最大值為
D．的最小值為
【鞏固練習(xí)】
1. (2024·遼寧沈陽(yáng)·二模)正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，記為正方形的中心，直線與平面所成角分別為，．若，則點(diǎn)在( )
A．線段上 B．線段上 C．線段上 D．線段上
2.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為( )
A． B． C． D．
3.(2024·甘肅定西·一模)在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則( )
A． B． C． D．
4.(2024·廣東·二模)將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為 .
5.(2024·廣東·一模)已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為 ．
6. (2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【題型4】 二面角
【典題1】 (2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，測(cè)得從D，C到庫(kù)底與水壩的交線AB的距離分別為 m， m.又測(cè)得AB的長(zhǎng)為5 m，CD的長(zhǎng)為 m，則水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的大小為 .
【典題2】(2024·福建·模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.
(1)求點(diǎn)P到平面的距離；
(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求：
(Ⅰ)二面角的余弦值；
(Ⅱ)直線與平面所成角.
【鞏固練習(xí)】
1.(多選) (2024·河北·模擬預(yù)測(cè))已知直線和平面與所成銳二面角為.則下列結(jié)論正確的是( )
A．若，則與所成角為
B．若，則與所成角為
C．若，則與所成角最大值為
D．若，則與所成角為
2.(2024·四川·模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).沿直線將翻折，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置.當(dāng)平面與平面所成角為時(shí)，三棱錐的體積為 .

3.(2024·廣東韶關(guān)·二模)在三棱錐中，側(cè)面所在平面與平面的夾角均為，若，且是直角三角形，則三棱錐的體積為 ．
4.(2024·浙江紹興·二模)如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，求二面角的平面角的正切值.
1.(2022·全國(guó)·高考真題)在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2.(2023·全國(guó)·高考真題)已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為( )
A． B． C． D．
3.(多選)(2022·全國(guó)·高考真題)已知正方體，則( )
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
4.(2023·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
5. (2021·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
6.(2023·全國(guó)·高考真題)如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.

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