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拓展2 數列求和常用的方法（精講）
考點一 公式法
【例1】（2022嘉興）已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和．
【一隅三反】
1（2022·惠州）已知正項等比數列的前項和為，，且，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和
2．（2022高二·昌平）已知等差數列的前項和為，且滿足，各項均為正數的等比數列滿足.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
考點二 裂項相消求和
【例2-1】（2022高三上·鞍山月考）已知等差數列滿足首項為的值，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
【例2-2】（2022·衡水）已知數列滿足，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
【例2-3】（2022·天津市模擬）已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）記的前n項和為，證明：；
（3）記，求數列的前項和．
【一隅三反】
1．（2022安徽）已知數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
2．（2022·廣東梅州 ）已知是數列的前項和，，___________.
①，；②數列為等差數列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設，求數列的前項和.
3．（2022·全國·模擬預測）已知數列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
4．（2022河南）已知數列，滿足，；
（1）求的通項公式；
（2）若，求的前2n項和．
考點三 錯位相減求和
【例3】（2022高三上·湖北月考）已知數列的前項和為，，.
（1）證明：為等比數列；
（2）求.
【一隅三反】
1．（2022河北）已知數列的前n項和為，且，.
（1）證明：為等比數列，并求的通項公式；
（2）求數列的前n項和.
2．（2022·安徽黃山）已知數列、滿足，若數列是等比數列，且 ．
(1)求數列、的通項公式；
(2)令，求的前項和為.
3．（2022 如皋 ）從條件①，②，③，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.
已知數列的前項和為，____.
（1）求的通項公式；
（2）設，記數列的前項和為，是否存在正整數使得.
考點四 分組轉化求和
【例4-1】（2022河南）設等比數列的前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
【例4-2】（2022·濱海模擬）已知數列中，，，令．
（1）求數列的通項公式；
（2）若求數列的前23項和．
【一隅三反】
5．（2022·福建省福州第一中學）已知等差數列中，．
(1)求；
(2)設，求的前項和．
2．（2022高二下·楚雄期末）已知數列的前項和滿足，數列是公差為-1的等差數列，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
3．（2022黃岡）已知數列各項均為正數且滿足，數列滿足，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求的前n項和．
拓展2 數列求和常用的方法（精講）
考點一 公式法
【例1】（2022嘉興）已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和．
答案：
【解析】（1）解：設等差數列的公差為，由可得，
解得，
（2）解：，且，故數列為等比數列，且首項為2，公比為4，
因為
【一隅三反】
1（2022·惠州）已知正項等比數列的前項和為，，且，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：設的公比為（），
因為，且，，成等差數列，
所以，即，解得，所以
（2）解：由（1），
2．（2022高二·昌平）已知等差數列的前項和為，且滿足，各項均為正數的等比數列滿足.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
答案：（1）
【解析】（1）解：設等差數列的公差為，則，
所以.
設等比數列的公比為，
由于，
所以，
所以
（2）解：，
所以
考點二 裂項相消求和
【例2-1】（2022高三上·鞍山月考）已知等差數列滿足首項為的值，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
答案：見解析
【解析】（1）解：根據題意得，，
因為數列是等差數列，設公差為，則由，得，解得，所以.
（2）解：由（1）可得，
所以.
【例2-2】（2022·衡水）已知數列滿足，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
答案：見解析
【解析】（1）解：因為數列滿足，設，則，與已知矛盾，所以，
又，所以，所以
所以數列是等比數列，
設數列的公比是q，首項是，則q＝3.
由，可得，所以，所以
（2）解：因為，
所以.
【例2-3】（2022·天津市模擬）已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）記的前n項和為，證明：；
（3）記，求數列的前項和．
答案：見解析
【解析】（1）解：設等差數列公差為d，等比數列公比為q，
所以，所以
（2）證明：的前n項和為
，(當時，取等號)
命題得證
（3）解：由（1）得，，
所以數列的前項和，
【一隅三反】
1．（2022安徽）已知數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：因為，，
令 ， 則 ， 即， 解得，
由題知， 由， 兩邊同除以，得，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，
所以，即.
（2）解：由（1）及條件可得，
所以
2．（2022·廣東梅州 ）已知是數列的前項和，，___________.
①，；②數列為等差數列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設，求數列的前項和.
答案：(1)條件選擇見解析，(2)
【解析】(1)解：選條件①：，，得，所以，，
即數列、均為公差為的等差數列，
于是，
又，，，所以；
選條件②：因為數列為等差數列，且的前項和為，
得，所以，
所以的公差為，
得到，則，
當，.
又滿足，所以，對任意的，.
(2)解：因為，
所以
.
3．（2022·全國·模擬預測）已知數列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
答案：(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以當時，，，，，
將上述式子進行累加得，-
將代入可得，即.
當時也滿足上式，
所以數列的通項公式.
(2)解：由（1）得，
則.
4．（2022河南）已知數列，滿足，；
（1）求的通項公式；
（2）若，求的前2n項和．
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：∵，
∴，即，又，
∴數列是首項為1，公差為的等差數列，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
.
考點三 錯位相減求和
【例3】（2022高三上·湖北月考）已知數列的前項和為，，.
（1）證明：為等比數列；
（2）求.
答案：見解析
【解析】（1）證明：，
，即，故為等比數列.
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
【一隅三反】
1．（2022河北）已知數列的前n項和為，且，.
（1）證明：為等比數列，并求的通項公式；
（2）求數列的前n項和.
答案：見解析
【解析】（1）證明：因為，所以（），
故，即（）
又，故，即，因此（）
故是以2為首項，3為公比的等比數列.因此（）
（2）解：因為①
故②
①②，得
，
即.
2．（2022·安徽黃山）已知數列、滿足，若數列是等比數列，且 ．
(1)求數列、的通項公式；
(2)令，求的前項和為.
答案：(1)，(2)
【解析】(1)
當時，， ，又，∴
是以為首項，為公比的等比數列，
∴當時，
由累加法可得：，
又當時，也適合上式，∴
(2)
∴①
∴②
①-②得：
∴
3．（2022 如皋 ）從條件①，②，③，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.
已知數列的前項和為，____.
（1）求的通項公式；
（2）設，記數列的前項和為，是否存在正整數使得.
答案：見解析
【解析】（1）解：若選擇①，因為，所以，
兩式相減得，整理得，
即，所以為常數列，而，所以；
若選擇②，因為，所以，
兩式相減，
得，
因為，
所以是等差數列，所以；
若選擇③，由變形得，，
所以，
由題意知，所以，所以為等差數列，
又，所以，
又時，也滿足上式，所以；
（2）解：若選擇①或②，，
所以
所以，
兩式相減得
，
則，故要使得，即，整理得，，
當時，，所以不存在，使得.
若選擇③，依題意，，
所以，
故，
兩式相減得：
，則，令，則，
即，令，則，
當時，，
又，故，
綜上，使得成立的最小正整數的值為5.
考點四 分組轉化求和
【例4-1】（2022河南）設等比數列的前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
答案：見解析
【解析】（1）解：設數列的公比為，則解得，．
故．
（2）解：由（1）可得．
則
．
【例4-2】（2022·濱海模擬）已知數列中，，，令．
（1）求數列的通項公式；
（2）若求數列的前23項和．
答案：見解析
【解析】（1）解：當n=1時，a1a2=2，又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②兩式相除可得，
則，且b1=a2=2，
所以數列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數列，
故
（2）解：當n為偶數時，；
當n為奇數時，，
，
所以數列的前23項和為，
=，
=
．
【一隅三反】
5．（2022·福建省福州第一中學）已知等差數列中，．
(1)求；
(2)設，求的前項和．
答案：(1)(2)
【解析】(1)設等差數列的公差為，∵，所以，
可得，兩式相減可得：，所以
所以可得：；
(2)由（1）知：，所以，
2．（2022高二下·楚雄期末）已知數列的前項和滿足，數列是公差為-1的等差數列，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
答案：見解析
【解析】（1）解：因為，所以，
當時，，
由于滿足，所以的通項公式為，
因為數列是公差為的等差數列，，
所以，所以
（2）解：因為，
所以.
3．（2022黃岡）已知數列各項均為正數且滿足，數列滿足，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求的前n項和．
答案：見解析
【解析】（1）解：由可得，
，
，左右兩邊同除以，得，所以數列是公差為1的等差數列，
，，；
（2）解：設的前n項和為，的前n項和為
由（1）可得的前n項和，
的前n項和①
所以②
②①得
所以，
因為，所以的前n項和.

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