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拓展3 導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式的綜合運(yùn)用（精講）
考點(diǎn)一 不等式成立
【例1】（2022遼寧省）已知函數(shù)，定義域都是，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，．
(1)求函數(shù)和的解析式；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【一隅三反】
1．（2022·寧夏）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2（2022·貴州 ）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)當(dāng)時(shí)，.若對恒成立，求的取值范圍.
考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)
【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
【一隅三反】
1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).
3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)若的極小值為－16，求；
(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
考點(diǎn)三 雙變量問題
【例3】（2021·江西·高安中學(xué)高二期中（理））巳知函數(shù).
(1)求函數(shù)f（x）的最大值;
(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根證明:
【一隅三反】
1（2022·陜西安康·高二期末（理））已知函數(shù)．
(1)若時(shí)，，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數(shù)（k為常數(shù)），函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，時(shí)，有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且；有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，且．證明：．
3．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二期中）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：.
拓展3 導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式的綜合運(yùn)用（精講）
考點(diǎn)一 不等式成立
【例1】（2022遼寧省）已知函數(shù)，定義域都是，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，．
(1)求函數(shù)和的解析式；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案：(1)，(2)
【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，
所以，
由，，.
（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)， ，當(dāng)時(shí)，，
所以為上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以．
根據(jù)題意，恒成立，所以．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【一隅三反】
1．（2022·寧夏）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案：(1)見解析(2)
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br/>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，，有兩根－1，，
且，
，則；
，則；
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上可知：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立.
令，則，
，，，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
所以，則，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2（2022·貴州 ）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)當(dāng)時(shí)，.若對恒成立，求的取值范圍.
答案：(1)0(2)
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
必要性：，，故，即.
充分性：當(dāng)時(shí)，，故，恒成立.
函數(shù)在上是減函數(shù)，恒成立，滿足.
綜上所述：的取值范圍是.
考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)
【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
答案：(1)；
(2)；
(3)3
【解析】（1），則，
∵函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，
∴ ；
（2）由（1）得，則，
則，由得x＝1，
由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，
要使在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足，即，
解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）對任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意的，恒成立，
①當(dāng)時(shí)，，顯然成立，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)， 恒成立，
令，則，
∵x＞0，∴恒成立，
由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，取得極小值也是最小值，且，
∴；
③當(dāng)時(shí)， 恒成立，
令，此時(shí)m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上單調(diào)遞增，
又，
由零點(diǎn)存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值，且＝，∴，
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，
∴實(shí)數(shù)k的最大值為3．
【一隅三反】
1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案：(1)答案見解析(2)
【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，對任意的，，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，，故.令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，所以，，所以，，，又因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
2（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).
答案：(1)答案見解析(2)兩個(gè)
【解析】（1）由知定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，在上 ，故單調(diào)遞減，所以無極值.
②當(dāng)時(shí)，由得:，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，.
所以函數(shù)有極小值為，無極大值.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，
故在上存在使得，而當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
所以，又，
故由零點(diǎn)的存在性定理在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上也存在一個(gè)零點(diǎn).
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).
3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)若的極小值為－16，求；
(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
答案：(1)
(2)答案見解析
【解析】（1）
由題得，其中，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，
所以，解得.
（2）
由（1）知當(dāng)時(shí)，的極小值為，
的極大值為，
當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，如圖①曲線 ；
當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖②曲線；
當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，如圖③曲線；
當(dāng)時(shí)，，易知有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).
考點(diǎn)三 雙變量問題
【例3】（2021·江西·高安中學(xué)高二期中（理））巳知函數(shù).
(1)求函數(shù)f（x）的最大值;
(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根證明:
答案：(1)2(2)證明見詳解
【解析】（1）因?yàn)椋?
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
（2）方程
可化為.
設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，
所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.
由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，
則，要證，即證.
，
需證.
需證.
不妨設(shè)，令，則，即要證.
設(shè)，則，
所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.
【一隅三反】
1（2022·陜西安康·高二期末（理））已知函數(shù)．
(1)若時(shí)，，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
答案：(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）∵， ，∴，
設(shè) ，，
當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，與已知矛盾．
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；
綜上，取值范圍是．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，則，要證，只需證，
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，
∵，∴只需證．
設(shè)，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，
∴．
2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數(shù)（k為常數(shù)），函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，時(shí)，有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且；有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，且．證明：．
答案：(1)詳見解析；
(2)證明見解析.
【解析】（1）
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）
當(dāng)時(shí)，，，
∴，
所以方程與的根互為倒數(shù)，
又因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，
方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，
所以，，可得，，
所以，
故要證，只需證明，
要證，只需證，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以只需證，
進(jìn)而只需證，
因?yàn)椋?br/>只需證明，
構(gòu)造函數(shù)，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，
則，即，
所以，即，
故．
3．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二期中）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：.
答案：(1)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
(2)；詳見證明過程．
【解析】(1)的定義域?yàn)椋遥?br/>當(dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，
②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；
綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
(2)結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，取得極小值，
又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，
綜上所述，；
下面證明結(jié)論成立：
不妨設(shè)，
設(shè)，，
可得，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，，，
∴當(dāng)時(shí)， ，
又∵，，∴，
又∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴，即，
設(shè)，，則，兩式相比得，
即，∴，
又∵，
令，則，
令，則，
則在內(nèi)單調(diào)遞減，即，即，
故，故在上單調(diào)遞減，
∴，
∴，即；
綜上所述，．

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