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拓展1 利用遞推公式求通項公式常用的方法（精講）
考點一 公式法
【例1-1】（2022·青海）已知數列的前項和，則＝________.
【例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和，則數列的通項公式為______．
【例1-3】（2022·廣東）已知正項數列的前項和為，滿足.求數列的通項公式 ；
【例1-4】（2022·北京）已知數列滿足，求的通項公式 ．
【一隅三反】
1．（2022·上海）設數列的前項和為，且.求數列的通項公式 .
2．（2022·廣西）設數列滿足，且，求．
3．（2023·安徽省舒城中學）若數列是正項數列，且，則_______．
4．（2022·福建 ）已知數列的前n項和為，且滿足，則數列的通項公式為______．
考點二 累乘法
【例2-1】（2022·江蘇）已知數列滿足，，則數列的通項公式是
【例2-2]（2022·湖南）已知，，則數列的通項公式是
【一隅三反】
1．（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且，則( )
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高二）已知數列滿足， ，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022河北）已知數列的前n項和為，且滿足，則數列的通項公式等于___________
考點三 累加法
【例3-1】（2022·黑龍江）已知數列滿足，．
(1)求，；
(2)求數列的通項公式．
【例3-2】（2022·哈爾濱）在數列中，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2022山東）已知在數列的前項之和為，若，則_______．
2．（2022·云南）已知數列滿足，，，求通項公式．
3．（2021·全國·高二課時練習）設{an}是首項為1的正項數列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an.
考點四 構造法
【例4-1】（2022·寧夏）已知數列中，，則等于
【例4-2】（2022·上海）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為______．
【例4-3】（2022·湖北）已知在數列中，，，則______．
【例4-4】（2022·江西）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.
【一隅三反】
1．（2022·青海）在數列中，，，則通項公式______．
2．（2022·山西）在數列中，若，則________.
3．（2022湖南）若數列滿足，，則數列的通項公式________.
拓展1 利用遞推公式求通項公式常用的方法（精講）
考點一 公式法
【例1-1】（2022·青海）已知數列的前項和，則＝________.
答案：
【解析】由于數列的前項和.
當時，；
當時，.
滿足.因此，對任意的，.故答案為：.
【例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和，則數列的通項公式為______．
答案：
【解析】因為，
當時，，
當時，，
所以．故答案為：．
【例1-3】（2022·廣東）已知正項數列的前項和為，滿足.求數列的通項公式 ；
答案：
【解析】①；
當時，代入①得.
當時，②；
①-②得，
整理得，
因為，所以，
所以數列為等差數列，公差為1，
所以.
【例1-4】（2022·北京）已知數列滿足，求的通項公式 ．
答案：.
【解析】對任意的，，
當時，則，
當時，由，可得，
上述兩個等式作差可得，
，
滿足，
因此，對任意的，.
【一隅三反】
1．（2022·上海）設數列的前項和為，且.求數列的通項公式 .
答案：
【解析】當時，；
當時，，
；
經檢驗：滿足；
綜上所述：.
2．（2022·廣西）設數列滿足，且，求．
答案：
【解析】當時，，
即，
兩邊同時除以，
得，
所以數列是常數數列，
所以，
所以．
3．（2023·安徽省舒城中學）若數列是正項數列，且，則_______．
答案：
【解析】數列是正項數列，且所以，即
時
兩式相減得，
所以（ ）當時，適合上式，所以
4．（2022·福建 ）已知數列的前n項和為，且滿足，則數列的通項公式為______．
答案：
【解析】因為，所以，即．
當時，，
當時，，
顯然不滿足上式.
所以．
故答案為：.
考點二 累乘法
【例2-1】（2022·江蘇）已知數列滿足，，則數列的通項公式是
答案：
【解析】因為，
所以，，，，，，
所以，
即，又，所以；
故選：A
【】例2-2（2022·湖南）已知，，則數列的通項公式是
答案：n
【解析】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且，則( )
A． B． C． D．
答案：D
【解析】數列滿足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故選：D﹒
2．（2022·全國·高二）已知數列滿足， ，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，
即，則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：A．
3．（2022河北）已知數列的前n項和為，且滿足，則數列的通項公式等于___________
答案：
【解析】由得：，當時，，
兩式相減得：，化簡整理得：，
當時，，即有，解得，因此，，，，
，
而滿足上式，所以.故答案為：
考點三 累加法
【例3-1】（2022·黑龍江）已知數列滿足，．
(1)求，；
(2)求數列的通項公式．
答案：(1)，(2)
【解析】（1），，，.
（2）由得：，
，
又滿足，.
【例3-2】（2022·哈爾濱）在數列中，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】因，則有，
于是得，當時，
，
因此，，顯然，滿足上式，
所以.
故選：C
【一隅三反】
1．（2022山東）已知在數列的前項之和為，若，則_______．
答案：
【解析】 .
.
2．（2022·云南）已知數列滿足，，，求通項公式．
答案：.
【解析】因為，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為滿足上式，
所以.
3．（2021·全國·高二課時練習）設{an}是首項為1的正項數列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an.
答案：an＝n(n∈N*)
【解析】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.
因為{an}是首項為1的正項數列，故an＋1+an為正數，
故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝，
所以an＝a1·＝1.
且當時，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)．
綜上可知， an＝n(n∈N*)．
考點四 構造法
【例4-1】（2022·寧夏）已知數列中，，則等于
答案：
【解析】
所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，
所以.故選：C
【例4-2】（2022·上海）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為______．
答案：
【解析】由兩邊取倒數可得，即．
所以數列是首項為2，公差為3等差數列.
所以，所以．
故答案為：.
【例4-3】（2022·湖北）已知在數列中，，，則______．
答案：
【解析】因為，，所以，
整理得，所以數列是以為首項，
為公比的等比數列，所以，解得．
故答案為：.
【例4-4】（2022·江西）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.
答案：．
【解析】∵，所以，即，
∴是等差數列，而，
所以，
所以．故答案為：．
【一隅三反】
1．（2022·青海）在數列中，，，則通項公式______．
答案：
【解析】由得：，又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，則.
故答案為：.
2．（2022·山西）在數列中，若，則________.
答案：
【解析】取倒數得:，
所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，
所以，所以.
故答案為：
3．（2022湖南）若數列滿足，，則數列的通項公式________.
答案：
【解析】由，可得，設
則，則
所以是以1為首項，3為公比的等比數列.
則，則，所以
故答案為：

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